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13- AÇÕES HORIZONTAIS NAS ESTRUTURAS 
DE CONTRAVENTAMENTO
• A determinação dos esforços solicitantes nas estruturas de 
contraventamento, para um carregamento dado, é feita 
empregando-se os métodos convencionais da análise estrutural. 
• Mesmo nas estruturas consideradas indeslocáveis, os 
esforços de primeira ordem, decorrentes das ações horizontais, 
devem ser calculados considerando-se a deslocabilidade da 
estrutura de contraventamento. 
• Antes de calcular os esforços, é necessário fazer a repartição 
das ações horizontais para os elementos de contraventamento. 
• Quando o contraventamento é feito por elementos do 
mesmo tipo (só pórticos; só paredes estruturais e pilares-parede), 
é possível fazer a repartição das forças horizontais sem levar em 
conta a interação ao longo da altura do edifício. Neste caso, basta 
analisar um pavimento tipo. (Processo simplificado) 
2
• Quando o contraventamento é feito pela associação de 
pórticos e paredes e/ou pilares-parede, é necessário considerar a 
interação ao longo da altura (Capítulo 10, Volume 3, terceira 
edição). (Processo rigoroso) 
• No processo simplificado, o problema pode ser isostático ou 
hiperestático. 
3
a) Sistemas isostáticos 
Exemplo 1: Estrutura de contraventamento formada por dois 
painéis e submetida à força horizontal yP no nível da laje. 
 
y
l
a b
F1 F2
Py
x
1 2
Forças transmitidas aos painéis: .; 21 yy Pl
aFP
l
bF == 
4
Exemplo 2: Estrutura formada por três painéis de 
contraventamento. 
 
y
1
2 F2
b
F3
x
3
a
F1
Py
Forças transmitidas aos painéis: .; 321 yy Pb
aFFPF === 
5
b) Sistemas hiperestáticos 
• É necessário calcular a rotação e os deslocamentos da laje 
no seu próprio plano, para a obtenção das forças em cada painel 
de contraventamento. 
• Uma vez que cada painel só pode receber cargas no seu 
plano vertical, ele pode ser representado por uma mola de rigidez 
K . 
• A rigidez de cada painel de contraventamento é definida 
como a força horizontal que deve ser aplicada em um 
determinado nível, na direção de sua maior rigidez, para provocar 
um deslocamento unitário. Se o topo da estrutura for escolhido 
como referência para a aplicação da força, como é usual, a rigidez 
K é dada por 
3
3
tot
eq
h
EI
K = (7.5.3)
onde eqEI é a rigidez equivalente do pórtico plano e toth é a 
altura total da edificação. 
6
• A rigidez equivalente eqEI é determinada da maneira 
indicada na seção 5 : Estruturas Indeslocáveis. 
• Se o painel de contraventamento for formado por um pórtico 
ou por um pilar-parede de seção variável, emprega-se um 
programa para análise de pórticos planos para a obtenção de eqEI
(software PACON calcula a rigidez equivalente com o modelo de 
carga concentrada e carga distribuída). 
A equação (7.5.3) corresponde ao modelo de carga concentrada.
7
 
Px
ey
ex
o
Py
x
3
n
i
α i
2
1
y
LAJE
Estrutura de 
contraventamento 
formada por n painéis.
Painel genérico i , inclinado de um ângulo iα em relação ao eixo 
x . 
iK = rigidez do painel, representado por uma mola concentrada 
no ponto iP , correspondente ao centro do painel. 
8
 y,v
x,u
yi
xi
Ki
Pi
α i
u'i
θ
o
Painel de 
contraventamento genérico
Movimento de corpo rígido da laje: deslocamentos ou e ov nas 
direções x e y , respectivamente, e rotação θ em torno da 
origem do sistema de eixos. 
Deslocamentos do ponto iP : 
θioi yuu −= ; θioi xvv += (7.5.4), (7.5.5) 
9
Na forma matricial: oi UNu = (7.5.6) 
 
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧=
θ
o
o
o
i
i
i
i
i v
u
x
y
v
u
UNu ;
10
01
; (7.5.7) 
Deslocamento iu′, na direção da mola: 
iiiii vuu αα sencos +=′ (7.5.8) 
Na forma matricial: oiiu UNRuR ==′ (7.5.9) 
 
 [ ]ii αα sen,cos=R (7.5.10) 
Força iF transmitida ao painel: iii uKF ′= (7.5.11) 
 
Introduzindo a equação (7.5.9): oii KF UNR= (7.5.12) 
10
 
Fyi
Fxi
Fi
yi
xi
α i
x
y
Pi
o
Decomposição da 
força no painel
Componentes de iF : iiyiiixi FFFF αα sen;cos == (7.5.13) 
Momento em relação à origem: ixiiyii yFxFM −= (7.5.14) 
Pode-se escrever: ( ) iTi FNRF = (7.5.15) 
onde 
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
i
yi
xi
i
M
F
F
F (7.5.16) 
11
Introduzindo a equação (7.5.12) em (7.5.15), resulta 
 
oii UKF = (7.5.17)
( ) ( )NRNRK Tii K= (matriz de rigidez do painel i ) (7.5.18)
Vetor de forças externas aplicadas à laje: 
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
=
yxxy
y
x
ePeP
P
P
P (7.5.19) 
Equações de equilíbrio: o
n
i
io UKUKP ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛== ∑
=1
 (7.5.20) 
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Resolvendo o sistema de equações, obtêm-se os deslocamentos de 
corpo rígido da laje, contidos no vetor oU . Encontrado oU , 
calculam-se as forças nos vários painéis de contraventamento com 
o emprego da equação (7.5.12). 
Exemplo: 
2 6 6
1 2 3
4
Py=1000
x
y
o
Contraventamento com três painéis paralelos 
13
Características dos painéis de contraventamento 
Painel K x y α 
(graus) 
1 2 2 4 90 
2 1 8 4 90 
3 1 14 4 90 
 
Painel 1: ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
2
4
10
01
N ; [ ]1,0=R ; [ ]2,1,0=RN 
( ) ( )
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=⇒=
840
420
000
111 KRNRNK
TK 
14
Painel 2: ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
8
4
10
01
N ; [ ]1,0=R ; [ ]8,1,0=RN 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
6480
810
000
2K 
Painel 3: ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
14
4
10
01
N ; [ ]1,0=R ; [ ]14,1,0=RN 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
196140
1410
000
3K 
15
Matriz de rigidez global: ∑
=
=
3
1i
iKK ; 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
268260
2640
000
K 
 
Vetor de cargas: 
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
=
8000
1000
0
yxxy
y
x
ePeP
P
P
P 
 
Solução: 
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=⇒=
99/1500
99/15000
o
oo
u
UKUP 
16
Observação: O deslocamento ou é indeterminado porque todos 
os painéis estão na direção y . O sistema de contraventamento não 
é capaz de suportar nenhuma força horizontal na direção x . Em 
uma situação real, é necessário incluir alguns elementos de 
contraventamento nessa direção. 
Forças nos painéis: ( ) oii KF URN= 
 
64,3631 =F ; 72,2722 =F ; 64,3633 =F 
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13- IMPERFEIÇÕES GEOMÉTRICAS GLOBAIS 
DOS EDIFÍCIOS
• O dimensionamento das estruturas de contraventamento 
deve levar em conta possíveis desvios da posição vertical. 
• De acordo com o CEB/90, deve-se considerar uma 
inclinação do eixo da estrutura dada por 
200
1
100
1 ≤=
la
α (7.6.1)
onde l é a altura da estrutura em metros. 
• Na figura seguinte, indica-se o funcionamento básico das 
estruturas de contraventamento. 
• O pilar contraventado é representado com uma rótula na 
base, para indicar que ele não precisa absorver nenhuma ação
horizontal nem os efeitos de imperfeições globais da estrutura. 
(10.3.1) 
18
 
u u
FVA FVB
A
l
B
FVA FVB
ΔH ΔH
u u
A B
αa
A: pilar de contraventamento; B: pilar contraventado.
Funcionamento das 
estruturas de 
contraventamento
Força horizontal no pilar de contraventamento: 
lFuH VB=Δ (7.6.2)
 
onde VBF é a carga do pilarcontraventado e lu aα= é o 
deslocamento horizontal devido à inclinação da estrutura. 
(10.3.2)
19
Momento na base do pilar de contraventamento: 
HluFM VAA Δ+= (7.6.3)
Substituindo a expressão de HΔ , resulta 
uFM VA = (7.6.4)
 
onde VBVAV FFF += é a carga total. 
Conclusão: a estrutura de contraventamento deve suportar todo o 
efeito das imperfeições globais. Os pilares contraventados devem 
ser dimensionados apenas para suas imperfeições locais, como foi 
feito anteriormente pela consideração de uma excentricidade 
acidental. 
(10.3.3)
(10.3.4)
20
 
un
ui
u1
Fvn
Fvi
Fv1
αa
hi
l
eixo inclinado
Estrutura de 
contraventamento 
desaprumada
• ViF é a carga vertical total introduzida no andar i . 
• A força ViF provoca um momento fletor na base da 
estrutura igual a iaViiVii hFuFM α==Δ (7.6.5) 
onde iu e ih representam o deslocamento horizontal e a altura do 
andar i . 
 (10.3.5)
21
Esse momento equivale a uma força horizontal aplicada no andar 
i , dada por 
Viai FH α=Δ (7.6.6)
Logo, tudo se passa como se em cada andar da estrutura de 
contraventamento atuasse uma força horizontal adicional igual a 
iHΔ . 
Quando a subestrutura de contraventamento é formada por
pórticos, a inclinação aα pode ser multiplicada pelo fator de
redução 1<nα , dado por 
 
2
11 n
n
+=α (10.3.7)
onde n é o número de prumadas do pórtico plano. 
 (10.3.6)
22
 De acordo com a NBR-6118, para edifícios com
predominância de lajes lisas ou cogumelo, deve-se considerar
1=nα . 
S e gu nd o a N B R - 61 18 , a i nc lina çã o aα de v e r e sp e ita r o
va lo r m í nim o 3 0 01≥aα , pa r a e str u tur a s r e ticu la d a s e
im p e r fe iç õ es loc a is. 
 
N a s co m b ina ç õ es e ntr e a s c a r ga s d e v en to e d e
d esa p r um o, e ss a s lim ita ç õe s de v a lor e s m ín im os p a ra
aα nã o p r e cis a m s er r es pe ita d a s, ou s e ja , c o nsid er a - s e
o va lor ob tido da e qu a çã o (1 0.3 .1) .