5 VERIFICAÇÃO DA DESLOCABILIDADE

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VERIFICAÇÃO DA DESLOCABILIDADE 
DA ESTRUTURA
Estruturas de Edifícios I
Prof. Marcos Arndt
Referências: Araújo, J. M. Projeto estrutural de edifícios de concreto armado. 
3 ed. Rio Grande: Dunas, 2014.
Modelos de análise estrutural
• A estrutura usual dos edifícios é constituída de
um pórtico espacial ligado às lajes dos pisos
(estrutura 3D formada por elementos
unidimensionais e bidimensionais).
Modelos de análise estrutural
• Com os atuais recursos computacionais é
viável realizar a análise tridimensional da
estrutura considerando as cargas verticais e as
forças horizontais devidas ao vento
simultaneamente, além da inclusão de outros
efeitos como não linearidades.
Modelos de análise estrutural
• Entretanto, com o objetivo de simplificar o
projeto, é usual separar a estrutura em duas
subestruturas: subestrutura de
contraventamento e subestrutura
contraventada.
Subestrutura de contraventamento
• Formada por elementos de maior rigidez, cuja
função principal é resistir às ações horizontais.
• Também resiste a uma parcela do
carregamento vertical.
• Deve possuir uma rigidez suficiente para
garantir a indeslocabilidade horizontal do
edifício.
• Empregaremos o modelo de pórticos planos
para carregamento horizontal e de vigas
contínuas para carregamento vertical.
Subestrutura contraventada
• Resiste apenas ao carregamento vertical.
• Os seus pilares, denominados de pilares
contraventados, podem ser calculados como
se fossem apoiados no níveis das lajes. Assim
os efeitos de segunda ordem nesses pilares
são localizados.
• Empregaremos modelo convencional de vigas
contínuas.
Exemplo – Planta de Formas
Exemplo – Pórticos de Contraventamento na 
Direção X
Exemplo – Pórticos de Contraventamento na 
Direção Y
Indeslocabilidade
• Uma estrutura aporticada pode ser
considerada indeslocável quando, sob a ação
de forças horizontais, seus nós sofrem
deslocamentos pequenos, que não geram
esforços globais de 2ª ordem significativos.
• Nesse caso, a estrutura toda pode ser
analisada de acordo com a teoria de 1ª
ordem, ou seja, desprezando-se a não
linearidade geométrica.
• Em geral, nos projetos usuais despreza-se
também a não linearidade física.
Indeslocabilidade
• Deve-se salientar que apenas os esforços
globais de 2ª ordem é que podem ser
desprezados. Os esforços de 1ª ordem devidos
às forças do vento devem sempre ser
calculados.
• Assim, após a obtenção dos esforços de 1ª
ordem através de uma análise linear,
considera-se cada pilar como uma barra
isolada e articulada em suas extremidades,
onde se aplicam os esforços obtidos na análise
linear.
Indeslocabilidade
• Os efeitos locais de 2ª ordem são
considerados na análise de cada tramo do
pilar, como uma barra isolada.
• Dessa forma, consegue-se uma razoável
simplificação na análise estrutural.
Definição das rigidezes
• Os deslocamentos nodais, obtidos da análise
como pórtico plano ou espacial, são muito
dependentes da rigidez das vigas e dos pilares.
• Os esforços solicitantes nas barras dos
pórticos dependem da rigidez relativa das
vigas e dos pilares.
• A correta definição dessas rigidezes é uma
questão sempre presente nesse tipo de
análise.
Definição das rigidezes
• Usualmente, os esforços solicitantes são
determinados através de uma análise linear,
onde se consideram as rigidezes EcsIc para
vigas e pilares. Com esses esforços realizam-se
os dimensionamentos no ELU.
Definição das rigidezes
• Se o objetivo for determinar os deslocamentos
da estrutura e os esforços de 2ª ordem no
ELU, é necessário levar em consideração a
redução de rigidez decorrente da fissuração e
as plastificações do aço e do concreto que
precedem a ruptura. Nesse caso, Araújo
(2014) sugere adotar 0,35EcsIc para vigas e
0,70EcsIc para pilares (de acordo com as
recomendações da ACI). A NBR 6118 adota
valores maiores (EcsIc).
Definição das rigidezes
• Se o objetivo for determinar os deslocamentos
horizontais característicos do edifício sob a
ação do vento, nas combinações de serviço
(ELS), é importante considerar a redução de
rigidez das vigas devido à fissuração. Nesse
caso pode-se adotar 0,50EcsIc para vigas e EcsIc
para pilares.
NBR 6118
• De acordo com a NBR 6118, a
indeslocabilidade da estrutura pode ser
comprovada através de 2 critérios:
- Parâmetro de instabilidade a;
- Coeficiente gz.
Parâmetro de Instabilidade
• De acordo com a NBR 6118 (2014): Uma estrutura
reticulada simétrica pode ser considerada como
sendo de nós fixos (indeslocável) se:
n = número de andares acima da fundação ou nível
pouco deslocável do subsolo;
htot = altura total da estrutura, medida do topo da
fundação ou de um nível pouco deslocável do subsolo;
FV = soma de todas as cargas verticais de serviço (valor
característico). O valor de Ic deve ser calculado
considerando as seções brutas dos pilares.
𝛼 = ℎ𝑡𝑜𝑡
𝐹𝑉
𝐸𝑐𝑠𝐼𝑐
≤ 𝛼1
𝛼1 = 0,2 + 0,1𝑛 , 𝑠𝑒 𝑛 ≤ 3
𝛼1 = 0,6 , 𝑠𝑒 𝑛 ≥ 4
Parâmetro de Instabilidade
• Segundo a NBR 6118 (2014), o limite 𝛼1 deve
ser alterado para:
a) 0,7 quando o contraventamento for
constituído exclusivamente por pilares-
parede;
b) 0,5 quando o contraventamento for
constituído apenas por pórticos;
c) 0,6 quando o contraventamento for
constituído por associações de pórticos e
pilares-parede.
Parâmetro de Instabilidade
• Esse parâmetro limita os efeitos globais de 2ª
ordem a um máximo em torno de 10% dos
respectivos efeitos de 1ª ordem na estrutura.
• Quanto mais alto for o edifício e quanto
maiores forem as cargas verticais, maior
rigidez de contraventamento será necessária
para garantir a indeslocabilidade.
Parâmetro de Instabilidade
• Para o cálculo do momento de inércia Ic,
adotam-se apenas as seções transversais de
concreto sem a inclusão das armaduras.
• O módulo de elasticidade secante Ecs pode ser
obtido por (CEB/90):
𝐸𝑐𝑠 = 0,85 . 21500
𝑓𝑐𝑘 + 8
10
Τ1 3
, 𝑀𝑃𝑎
Parâmetro de Instabilidade
• Quando a rigidez do pilar de
contraventamento varia ao longo do seu eixo,
é necessário determinar uma rigidez
equivalente. O mesmo deve ser feito quando
o contraventamento é constituído por
pórticos.
• A rigidez equivalente é a rigidez de um pilar de
seção constante, engastado na base e livre no
topo, de mesma altura que a estrutura real,
que, submetido ao carregamento horizontal
da estrutura, apresenta o mesmo
deslocamento horizontal no topo.
Parâmetro de Instabilidade
• O valor da rigidez equivalente depende do
carregamento usado na análise.
• Pode-se aplicar, por exemplo, uma força
horizontal FH no topo do pilar ou do pórtico.
Se U representa o deslocamento obtido na
direção da força, então:
𝐸𝐼𝑒𝑞 =
𝐹𝐻ℎ𝑡𝑜𝑡
3
3𝑈
Parâmetro de Instabilidade
• Alternativamente, o pórtico pode ser
carregado com uma força horizontal p,
uniformemente distribuída ao longo da sua
altura. Essa força uniforme é substituída por
um conjunto de forças horizontais
concentradas nos nós do pórtico, nos níveis
das lajes. Se U representa o deslocamento
horizontal no topo do pórtico, então:
𝐸𝐼𝑒𝑞 =
𝑝ℎ𝑡𝑜𝑡
4
8𝑈
Parâmetro de Instabilidade (Araújo, 2014)
• Araújo (2014) recomenda que, a estrutura
com contraventamento exclusivamente
formado por pórticos seja considerada
indeslocável se:
𝛼 = ℎ𝑡𝑜𝑡
𝐹𝑉
𝐸𝐼𝑒𝑞
≤ 𝛼𝑙𝑖𝑚
𝛼𝑙𝑖𝑚 = 0,66 1 −
0,39
𝑛
≤ 0,62
Parâmetro de Instabilidade (Araújo, 2014)
• Na análise dos pórticos para cálculo do
deslocamento horizontal U, considera-se a
rigidez 0,35EcsIc para vigas e 0,70EcsIc para
pilares.
• Para o cálculo da rigidez equivalente dos
pórticos (carga uniformemente distribuída):
𝐸𝐼𝑒𝑞 =
𝑝ℎ𝑡𝑜𝑡
4
8𝑈
Parâmetro de Instabilidade (Araújo, 2014)
• Em todo caso, não deve ser esquecido que as
alvenarias de vedação, não incluídas no
cálculo, dão uma contribuição muito
importante para a rigidez da estrutura. Dessa
forma, resultará uma margem adicional de
segurança em relação à deslocabilidade
horizontal da estrutura.
Aplicação
Planta de formas do 
pavimento tipo
Aplicação
Pórticos na direção x:
Contraventamento:
(P1,P2,P3)(P8,P9,P10)
(P11,P12,P13)
(P18,P19,P20)
Contraventados:
(P4,P5,P6)
(P15,P16,P17)
Aplicação
Pórticos na direção y:
Contraventamento:
(P18,P15,P11,P8,P4,P1)
(P20,P17,P13,P10,P6,P3)
Contraventados:
(P19,P16,P12)
(P9,P5,P2)
Aplicação
Como o sistema de contraventamento é formado
apenas por pórticos:
Para estimar a força vertical total Fv adotam-se os
seguintes valores para a carga total de serviço por
unidade de área:
- lajes de piso: 12 kN/m2;
- laje de forro: 10 kN/m2.
Como o edifício possui 8 lajes de piso e 1 de forro, todas
com área total de 184 m2:
𝛼1 = 0,5
𝐹𝑣 = 8𝑥12 + 1𝑥10 𝑥184 = 19504 𝑘𝑁
Aplicação
Altura total da estrutura de contraventamento, do nível
das fundações até a laje de cobertura (nível 2575):
Para concreto fck = 25 MPa:
ℎ𝑡𝑜𝑡 = 25,75m
𝐸𝑐𝑠 = 0,85x21500
25 + 8
10
Τ1 3
= 27208 𝑀𝑃𝑎
𝐸𝑐𝑠 = 272𝑥10
5 𝑘𝑁/𝑚2
Direção x – Pórticos (P1,P2,P3) e 
(P18,P19,P20)
Direção x – Pórticos (P1,P2,P3) e 
(P18,P19,P20)
Direção x – (P8,P9,P10) e
(P11,P12,P13)
Direção x – (P8,P9,P10) e
(P11,P12,P13)
Direção x
Propriedades geométricas das seções transversais:
Direção x
Análise do pórtico 1 para FH = 100 kN no topo:
U = 2,910 10-2 m
𝐸𝐼𝑒𝑞 =
100. 25,753
3.2,910.10−2
𝐸𝐼𝑒𝑞 = 19,56.10
6 𝑘𝑁𝑚2
Direção x
Análise do pórtico 1 para p = 10 kN/m :
U = 3,538 10-2 m
𝐸𝐼𝑒𝑞 =
10. 25,754
8.3,538.10−2
𝐸𝐼𝑒𝑞 = 15,53.10
6 𝑘𝑁𝑚2
Direção x
Análise do pórtico 2:
U = 3,215 10-2 m U = 3,949 10-2 m
𝐸𝐼𝑒𝑞 = 13,92.10
6 𝑘𝑁𝑚2𝐸𝐼𝑒𝑞 = 17,70.10
6 𝑘𝑁𝑚2
Direção x
Para carga concentrada:
𝐸𝐼𝑒𝑞 = 2 19,56 + 17,70 10
6 = 74,52.106𝑘𝑁𝑚2
𝐸𝐼𝑒𝑞 = 2 15,53 + 13,92 10
6 = 58,90.106𝑘𝑁𝑚2
Para carga distribuída:
𝛼 = 25,75
19504
74,52.106
= 0,42 < 0,5
𝛼 = 25,75
19504
58,90.106
= 0,47 < 0,5
Os 4 pórticos considerados são suficientes para garantir a
indeslocabilidade em x.
Direção y – (P18,P15,P11,P8,P4,P1)
e (P20,P17,P13,P10,P6,P3)
Direção y
Propriedades geométricas das seções transversais:
Direção y
Análise do pórtico y para FH = 100 kN no topo:
U = 1,682 10-2 m
𝐸𝐼𝑒𝑞 =
100. 25,753
3.1,682.10−2
𝐸𝐼𝑒𝑞 = 33,84.10
6 𝑘𝑁𝑚2
Direção y
Análise do pórtico y para p = 10 kN/m :
U = 2,007 10-2 m
𝐸𝐼𝑒𝑞 =
10. 25,754
8.2,007.10−2
𝐸𝐼𝑒𝑞 = 27,38.10
6 𝑘𝑁𝑚2
Direção y
Para carga concentrada:
𝐸𝐼𝑒𝑞 = 2 33,84 10
6 = 67,68.106𝑘𝑁𝑚2
𝐸𝐼𝑒𝑞 = 2 27,38 10
6 = 54,76.106𝑘𝑁𝑚2
Para carga distribuída:
𝛼 = 25,75
19504
67,68.106
= 0,44 < 0,5
𝛼 = 25,75
19504
54,76.106
= 0,49 < 0,5
Os 2 pórticos considerados são suficientes para garantir a
indeslocabilidade em y.
Aplicação - Conclusão
Uma vez que a estrutura pode ser considerada
indeslocável segundo as duas direções, permite-se
calcular os esforços solicitantes de acordo com a teoria
de primeira ordem (análise linear).