[VALÉRIA ZUMA MEDEIROS MIHAIL LERMONTOV] EQUAQÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS APOSTILA_COMPLETA

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 
1
1 Equações diferenciais de 1a ordem 
 
1.1 Equações diferenciais 
 
Definição 1: Uma equação cujas incógnitas são funções e que contém, pelo 
menos, uma derivada ou diferencial dessas funções é denominada de equação 
diferencial. 
 
Definição 2: Se uma equação diferencial só contém diferenciais ou derivadas 
totais é denominada de equação diferencial ordinária. 
 
Definição 3: Se uma equação diferencial contém, pelo menos, uma derivada 
parcial é denominada de equação diferencial parcial. 
 
Exemplos: 
a) 2
dx
dy
dx
yd
x 2
2
=−⋅ 
b) 0dxydyx =⋅−⋅ ordinárias 
c) xeyy =+′′ 
d) ( )yx,zz , 0
y
z
x
z
2
2
2
2
==
∂
∂
+
∂
∂
 parciais 
e) ( )zy,x,uu , 0
z
u
y
u
x
u
2
2
2
2
2
2
==
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
 
 
Definição 4: Chama-se ordem de uma equação diferencial a ordem da “maior” 
derivada que aparece na equação. 
 
Definição 5: O grau de uma equação diferencial é o grau da derivada de maior 
ordem envolvida na equação. 
 
Exemplos: 
a) 0y
dx
dy
dx
yd
2
2
=++ 
b) ( ) 0
dt
xd
tcos22t
dt
dx
3
3
2
10
=⋅⋅+−�
�
�
�
�
�
 
c) x
43
2
2
e
dx
dy
x
dx
yd
=�
�
�
�
�
�
⋅+�
�
�
�
�
�
�
�
 
d) 
3
2
22
2
3
y
uy
yx
u
x �
�
�
�
�
�
�
�
∂
∂
⋅=�
�
�
�
�
�
�
�
∂⋅∂
∂
⋅ 
e) 0
y
u
x
u
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
 
 
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2
1.2 Resolução 
 
Resolver uma equação diferencial significa determinar as funções que 
satisfazem tal equação. Dessa forma, é pela integração de uma diferencial que se dá a 
solução e, geometricamente, as curvas que representam soluções são chamadas 
curvas integrais. 
 
Existem 3 tipos de soluções: 
 
1.2.1 Solução geral: é a solução da equação que contém tantas constantes 
arbitrárias quantas forem as unidades da ordem de integração; 
1.2.2 Solução particular: é a solução deduzida da solução geral atribuindo-se 
valores particulares às constantes; 
1.2.3 Solução singular: é uma solução não deduzida da solução geral e que só 
existe em alguns casos. 
 
Exemplos: 
a) Dada a equação 2x
dx
dy
= , determine a solução geral e represente 
geometricamente. 
 (esta família de curvas recebe o nome de curvas integrais) 
 
b) Sendo dadas as curvas seguintes determinar, para cada uma delas, a equação 
diferencial de menor ordem possível que não contenha nenhuma constante arbitrária: 
 i) ( ) ( )xcoscxsency 21 ⋅+⋅= 
 ii) 2xcy ⋅= 
 iii) 221 cxcy +⋅= 
 iv) ( )bxcosay +⋅= , onde a e b são constantes 
 v) 2x23x1 ececy −⋅+⋅= 
 
Definição 6: Uma condição inicial é uma condição da solução de uma equação 
diferencial num ponto. 
 
Definição 7: Uma condição de contorno é uma condição da solução de uma 
equação diferencial em 2 ou mais pontos. 
 
Definição 8: Uma equação diferencial com uma condição inicial é chamada 
problema de valor inicial (PVI). Aquelas que envolvem condições de contorno são 
chamadas problema de valor de contorno (PVC). 
 
Exemplos: 
a) Seja a equação diferencial 0yy =+′′ . Verifique que a função 
( ) ( )xcoscxsency 21 ⋅+⋅= é solução da equação diferencial e determine o valor das 
constantes (a solução particular) através do PVI ( )( )��
	
=′
=
10y
20y
. 
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3
b) Idem para 06y
dx
dy
dx
yd
2
2
=−− , 
2x
2
3x
1 ececy
−
⋅+⋅= , 
( )
( )��
	
−=′
=
100y
00y
. 
c) Idem para 04yy =+′′ , ( ) ( )2xsenc2xcoscy 21 ⋅+⋅= , ( )( )
�
�
	
−=′
−=
54y
34y
pi
pi
. 
 
 
1.3 Exercícios 
 
1) Sendo dadas as curvas seguintes, determinar para cada uma delas a equação 
diferencial de menor ordem possível que não contenha nenhuma constante 
arbitrária: 
a) 222 cyx =+ R: 0dyydxx =⋅+⋅ 
b) xecy ⋅= R: 0y
dx
dy
=− 
c) ( ) 0 xe y x, yxcx 22223 ≠≠−⋅= R: ( ) 0dx3yxdy2xy 22 =⋅−+⋅ 
d) ( ) ( )2xsenc2xcoscy 21 ⋅+⋅= R: 04ydx
yd
2
2
=+ 
e) ( ) 3x21 cexccy +⋅+= R: 0dx
dy
dx
yd2
dx
yd
2
2
3
3
=+⋅− 
f) x22x1 ececy −⋅+⋅= R: 02ydx
dy
dx
yd
2
2
=−− 
g) 0y x,, ca ;ay 1
y
xln te ≠≡+=��
�
�
��
�
�
 R: 0dy
y
xlnxdxy =⋅��
�
�
��
�
�
⋅−⋅ 
 
2) Em cada caso, verificar que a função dada constitui uma solução da equação: 
a) -2xecy ; 02yy ⋅==+′ 
b) cbxaxy ; 0y 2 ++==′′′ 
c) ( ) ( )xsenbxcosay ; 0yy ⋅+⋅==+′′ 
d) xececy ;x yy x2x1 −⋅+⋅==−′′ − 
e) cxy ;2x y 2 +==′ 
f) 2xcy ; 
x
2yy ⋅==′ 
g) 2x-ecy ; 02xyy ⋅==+′ 
h) cy x; 
y
xy 22 =+−=′ 
i) 2xx2x eecy ; eyy +⋅==−′ 
j) ( )
�
�
	
=
−⋅=
=+′−′
4
xy
cxcy
 ; 0yyxy 2
2
2
12
 
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4
k) ( )xcosy ; 0yy ==+′′ 
l) ( )
( )
( )
( )
�
�
	
−=
+=
=
=′
5
4
xseny
3xseny
xseny
 ; xcosy
3
2
1
 
m) 
�
�
	
⋅−=
⋅=
=
=−′
x
3
x
2
x
1
e
5
6y
e2y
ey
 ; 0yy 
n) 
�
�
	
⋅+⋅=
=
=
=+′⋅−′′⋅
3
2
2
13
3
2
2
1
2
xcxcy
xy
xy
 ; 06yy4xyx 
 
3) Em cada caso, determinar ( )� ⋅= dxxfy e a constante de integração c, de 
modo que y satisfaça a condição dada: 
a) ( ) ( ) 02y ; xxf 2 == R: ( )8x
3
1y 3 −= 
b) ( ) ( ) ( )
2
y ; xcosxf 2 pipi == R: ( )2xsen
4
1
x
2
1y += 
c) ( ) ( ) ( ) 10y ; 2xcosxf == R: ( ) 1
2
2xseny += 
d) ( ) ( ) 00y ; exxf 2x- =⋅= R: �
�
�
�
�
� +−= − 1e
2
1y
2x
 
 
4) Em cada caso, verificar que a função dada é solução da equação diferencial 
correspondente e determinar as constantes de modo que a solução particular 
satisfaça a condição dada: 
a) 3y(0) ; ecy ; 0yy x =⋅==+′ − R: xe3y −⋅= 
b) 6y(1) ; 5ecy ; 5yy x =+⋅==+′ − R: 5ey x1 += − 
c) 2y(0) ; ecy ; 02xyy 2x −=⋅==+′ − R: 2xe2y −⋅−= 
d) 3y(1) ; xcy ; 
x
2y
dx
dy 2
=⋅== R: 2x3y ⋅= 
e) ( )( )��
	
=′
−=
+⋅==−
41y
81y
 ; cxcy ; 0
dx
dy
dx
yd
x 2
2
12
2
 R: 102xy 2 −= 
f) ( ) ( )( )
�
�
	
=′
=
+⋅==+
32
3y
2
a
2
3y
 ; bxcosay ; 0y
dx
yd
2
2
pi
pi
 R: �
�
�
�
�
�
+⋅=
6
xcos2y pi 
 
5) Suponha que r1 e r2 são duas raízes reais e distintas da equação 
( ) 0crabar2 =+−+ . Verifique se a função 21 r2r1 xdxdy += , onde d1 e d2 são 
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constantes arbitrárias, é uma solução da equação diferencial 
0cyybxyax2 =+′+′′ 
 
 
1.4 Equações de 1a ordem e 1o grau 
 
São equações do tipo ( )yx,f
dx
dy
= . 
Se ( ) ( )( )yx,N
yx,Myx,f −= , com ( ) 0yx,N ≠ , podemos escrever: 
( )
( )yx,N
yx,M
dx
dy
−= � 0NdyMdx =+ 
 
 
1.5 Equações de Variáveis Separáveis 
 
Se apresentam ou são transformáveis numa equação do tipo 0NdyMdx =+ , 
onde M e N podem ser: 
 
1.5.1 funções de uma variável ou 
1.5.2 produtos com fatores de uma só variável ou 
1.5.3 constantes. 
 
São equações de fácil solução, bastando isolar os termos de x e y e integrar. 
 
 
Exemplos: 
a) ( ) ( ) 0dyxy2ydx1y2 =+−− b) 0xdyydx =− 
c) ( ) 0dyxdxy11x 222 =⋅−⋅−⋅− d) 13x
dx
dy
−= 
e) ( ) ( ) ( ) ( ) 0dyxsecytgdxysecxtg =⋅⋅−⋅⋅ 
 
 
1.6 Exercícios 
 
1) Determine, se possível, a solução geraldas seguintes equações diferenciais: 
a) ( ) 0ydxdy1x =−− R: ( )1xky −= 
b) ( )xyx1 y1dxdy 2
2
+
+
= R: 1
1x
kxy 2
2
2
−
+
= 
c) ( ) 0xcosy
dx
dy
=⋅+ R: ( )xsene
ky = 
d) ( ) ( ) ( ) ( ) 0dy xtgysecdx ytgxsec 22 =⋅+⋅ R: ( ) ( )xcotgkytg ⋅= 
e) 
dx
dy
xy2y
dx
dy
xa =�
�
�
�
�
�
+⋅ R: ( )a2a ykxlny ⋅= 
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f) ( ) ( ) 0dyxy1dxyx1 3232 =−++ R: k
y
1
x
1
2
1
y
xln 22 =��
�
�
�
�
�
�
+−��
�
�
��
�
�
 
g) ( )( ) ( )( ) 0dybyaxdxbyax 22222222 =−−+++ 
 R: c
b
y
arctg2by
ax
axlnx
a
=�
�
�
�
�
�
⋅−+�
�
�
�
�
�
+
−
+ 
h) ( ) 0
dx
dyytg
x
1
=− R: ( ) kycosx =⋅ 
i) ( ) 0dy1xdx4xy 22 =++ R: ( ) c
y
11xln
22
=−+ 
j) ( ) 0dy2y3dxxy =⋅−−⋅ R: ( )122 kylnx6y =− 
k) 0dyyexdx 2x =+ − R: kye 2x 2 =+ 
l) ( ) ( ) 0dyx3dxy2 =−−+ R: ( )( ) kx3y2 =−+ 
m) ( ) 0dyx1dxxy 2 =⋅+−⋅ R: ( )22 x1ky += 
n) 
4x
e
dx
dy
2
2y
+
=
−
 R: k
2
x
arctge2y +�
�
�
�
�
�
= 
o) ( ) ( ) ( ) ( ) 0dyxcosysendxxsenycos2 =⋅+⋅ R: ( )( ) ( ) kysecxsecln =+ 
 
2) Resolva os seguintes problemas de valor inicial (PVI): 
a) ( ) ( ) 20y ; 0dydxyy 2 ==−− R: 
xe
2
11
1y
−
−
= 
b) ( ) 10y ; 0ydydxex ==− R: 12ey x2 −= 
c) ( ) 41y ; 0dyxdxy ==− R: ( )21xy += 
d) ( ) ( ) 10y ; 0dy1xdxy2 ==−+ R: y
y1
ex1
−
=− 
e) ( ) ( ) ( )3ln2y ; 0dyxxdx 3 ==−+ R: 
�
�
�
�
�
�
�
�
−
=
1x2
3xlny
2
 
f) ( ) ( ) ( ) 22y ; 0dyx1dxy1 22 ==−+− R: ( )1x9 1x1y 1y −+=+− 
g) ( ) ( ) 21y ; 0dyxdxy1 32 ==+− R: ���
�
�
�
�
�
−
⋅=
−
+ 2
2
x
x1
e3
1y
1y
 
h) ( ) 11y ; 0dyx1dxy1 22 ==−+− R: ( ) ( ) 0yarccosxarccos =+ 
i) ( ) ( ) ( ) 11y ; 0dyx1dxy1 22 ==+++ R: ( ) ( )xarctg
2
yarctg −= pi 
j) ( ) ( ) ( ) 17y ; 0dyx6xydx3x 2 ==−++ R: ( )
x
6x7y
3
2 −
= 
 
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k) ( ) ( ) 00y ; 0ydy1x2dxxe 2y ==+− 
 R: ( ) ( ) 3
1x
11xln1y2e y −
+
++=+− − 
l) ( ) ( ) ( ) 11y ; 0dy1xdxxlny 2 ==+−⋅ R: 
( )1xx
2xy
1x
1
+⋅
=
+
 
m) ( ) ( ) 00y ; 0dye1dxe 2xx ==+− − 
 R: ( ) ( )
2
14ln
1e
11elney
x
2xx
−+
+
−+−= 
n) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )3ln3y ; 0dyxtglnydxxtgxcotg ==−+ pi 
 R: ( )( )2xtglny = 
o) ( ) ( ) ( ) 32y ; 0dy3ycosdx2xsen pipi ==+ R: ( ) ( ) 32x3cos3y2sen += 
p) ( ) 10y ; 0dyyexdx x ==+ − R: ( ) 1x12ey x2 −−= 
q) ( ) 20r ;r 
d
dr
==
θ
 R: θ2er = 
r) ( ) 20y ; 
yxy
2x
dx
dy
2 −=+
= R: ( )[ ]2 222 x1elny += 
s) ( ) ( ) 10y ; x1xy
dx
dy 2123
=+=
−
 R: ( ) 212
2
x123
1y
+−
= 
t) ( ) 02y ; 
2y1
2x
dx
dy
=
+
= R: ( ) 4xy1y 2 −=+ 
u) ( ) ( ) 00y ; 0dy1ydxxe 5x 2 ==−+ R: ( ) 36yy3e 5x 2 =−+ 
 
3) Observe que a equação 
yx
4xy
dx
dy
−
−
= não é separável, mas se a variável y for 
substituída por uma nova variável v, definida por 
x
y
v = , então a equação se 
torna separável em x e v. Ache a solução da equação dada usando esta técnica. 
R: ( ) ( ) k2xy2xy 3 =−+ 
 
 
1.7 Equações Homogêneas 
 
Definição 9: Diz-se que uma função ( )zy,x,f é homogênea se, substituindo-se 
x por kx, y por ky e z por kz, for verdadeira a igualdade ( ) ( )zy,x,fkkzky,kx,f m ⋅= , 
onde m é dito grau de homogeneidade. 
 
Exemplos: 
a) ( ) 22 y2xyxyx,f +−= 
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b) ( ) 5 3323 zxyzyxyxzy,x,f −−++= 
c) ( ) �
�
�
�
�
�
+
++
+−
=
x
y
sen
yxyx
yxyxyx,f 22
22
 
 
Definição 10: As equações homogêneas são do tipo, ou podem ser 
transformadas, em 0NdyMdx =+ , onde M e N são funções homogêneas do mesmo 
grau. 
 
Exemplos: 
a) ( ) 0dy2xydxyx 22 =⋅−⋅− b) ( ) ( ) 0dy4yxdxy2x =⋅+−⋅− 
c) ( ) ( ) 0dy4yxdxyx 22 =⋅+−⋅− 
 
Seja 0NdyMdx =+ uma equação homogênea. 
Então, NdyMdx −= � 
N
M
dx
dy
−= . 
Como a equação é homogênea, M e N têm o mesmo grau de homogeneidade 
m. Daí, se dividirmos M e N por xm, transformaremos 
N
M
− numa função do tipo 
�
�
�
�
�
�
x
yF . 
Daí, �
�
�
�
�
�
=
x
yF
dx
dy
. (I) 
Se fizermos t
x
y
= ou txy = e derivarmos em relação a x, teremos a equação 
dx
dt
xt
dx
dy
+= . (II) 
Substituindo (II) em (I), F(t)
dx
dt
xt =+ � 
x
dx
tF(t)
dt
=
−
, que é uma equação 
de variáveis separáveis. 
 
Exemplos: 
a) ( ) 0dxx2xyydy2x 222 =⋅−−+⋅ b) ( ) 0dxyxdyxy 332 =⋅+−⋅ 
c) ( ) 0dy2xydx3yx 22 =⋅+⋅− 
 
 
1.8 Exercícios 
 
1) Determine, se possível, a solução geral das seguintes equações diferenciais: 
a) ( ) 02xydydxyx 22 =−− R: k3xyx 23 =− 
b) ( ) 0xydydxyx 22 =−+ R: 2
2
2x
y
ekx = 
c) ( ) ( ) 0dyyxdxyx =+−− R: ky2xyx 22 =−− 
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d) ( ) ( ) 0ydyy2xdxyx 22 =+++ R: ky3xyx 323 =++ 
e) ( ) ( ) 0dyxydxyx =−++ R: ( )[ ] �
�
�
�
�
�
⋅=+
x
y
arctg2yxkln 22 
f) ( ) ( ) 0dyyxdxy2xx 22 =+++ R: kyy3xx 323 =++ 
g) 0 x;dx yxydxxdy 22 >+=− R: 222 kxyyx =++ 
h) ( ) 0xydydxyxyx 22 =−+− R: ( ) k
x
yyxln =+− 
i) 
x
y
e
dx
dy
x
y
+= R: 
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
⋅−=
x
klnlnxy 
j) 0xdydxyx
x
y
senx =−��
�
�
��
�
�
++�
�
�
�
�
�
⋅ R: ( ) �
�
�
�
�
�
−�
�
�
�
�
�
=
x
y
sec
x
y
tgkxln 
k) ( ) 0 x; 0dyxxy2ydx >=−⋅+ R: ( ) kyln
y
x
=+ 
l) ( ) ( ) 0dyx3xy4ydxy3xy4x 2222 =+++++ R: ( ) ( ) kyxyx 2322 =+⋅+ 
m) 0dy
y
x
cosx
y
x
senydx
y
x
cosy =��
�
�
�
�
�
�
��
�
�
��
�
�
⋅−��
�
�
��
�
�
⋅+��
�
�
��
�
�
⋅ R: ��
�
�
��
�
�
⋅=
y
x
cossecky 
n) ( ) 0ydxdy2yx =+− R: ( ) kxyy =−⋅ 
 
2) Resolva os problemas de valor inicial (PVI) abaixo: 
a) ( ) ( ) 2y ; 1 x; 0dy4yxdxy2x ===+−− R: 092yxyx 22 =+−− 
b) ( ) 1y ; 2 x; 02xydydx3yx 22 ===+− R: 322 x
8
3
xy −=− 
c) 
( )
�
�
	
=
+
=
11y
x
xyx
dx
dy
2
2
 R: x
xy
ex
−
= 
d) 
( )
�
�
	
=
�
�
�
�
�
�
⋅−
=
4
1y
x
x
y
cosxy
dx
dy
2
pi
 R: ( )xln1
x
y
tg −=�
�
�
�
�
�
 
e) 
( )
�
�
	
=
+
=
13y
x
3xy4y
dx
dy
3
23
 R: ( )( ) ( )554 xy3
4
x4yxy ⋅=−+ 
 
3) Dadas as equações abaixo, verifique que a mudança para coordenadas polares, 
( )θcosrx ⋅= e ( )θsenry ⋅= , transforma as equações em variáveis separáveis 
e, então, resolva as equações: 
a) ( ) 0xydydxyx 22 =−+ R: ( ) 222xykxln = 
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10
b) 
x
y
y
xln
x
y
dx
dy
+��
�
�
��
�
�
⋅= R: k
y
xlnx =��
�
�
��
�
�
⋅ 
 
 
1.9 Equações Diferenciais Exatas 
 
Definição 11: Uma equação na forma, ou redutível à forma 0NdyMdx =+ é 
diferencial exata se existe ( )yx,U tal que: 
0NdyMdxdU =+=
 
(como 0dU = então ( ) cyx,U = é solução da equação diferencial dada) 
 
Teorema: Sejam M e N funções contínuas e deriváveis. 0NdyMdx =+ é 
diferencial exata se, e somente se, 
 x
N 
y 
M 
∂
∂
=
∂
∂
. 
Demonstração: 
(�) Sejam M e N funções contínuas e deriváveis tais que 0NdyMdx=+ é 
diferencial exata. 
 Então, ( )yx,U∃ tal que ( ) cyx,U = e 0NdyMdxdU =+= . 
 Pela definição de diferencial total, 
dy
y 
 Udx
 x
 UdU
∂
∂
+
∂
∂
= 
dy
y 
 Udx
 x
 UNdyMdx
∂
∂
+
∂
∂
=+ 
 x
 UM
∂
∂
= e 
y 
 UN
∂
∂
= 
 xy 
U
y 
M 2
∂∂
∂
=
∂
∂
 e 
y x 
U
 x
N 2
∂∂
∂
=
∂
∂
. 
 Pelo teorema de Schwartz, 
 xy 
U
y x 
U 22
∂∂
∂
=
∂∂
∂
. 
 Daí, 
 x
N 
y 
M 
∂
∂
=
∂
∂
. 
 
(⇐) Sejam M e N funções contínuas e deriváveis tais que 
 x
N 
y 
M 
∂
∂
=
∂
∂
. 
 Seja 0NdyMdx =+ . 
 Pelo teorema de Schwartz, ��
�
�
��
�
�
∂
∂
∂
∂
=�
�
�
�
�
�
∂
∂
∂
∂
y 
 U
 x x
 U
y 
. 
 Daí, 
 x
 UM
∂
∂
= e 
y 
 UN
∂
∂
= . 
 dx
 x
 UMdx
∂
∂
= e dy
y 
 UNdy
∂
∂
= . 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 
11
 0dUdy
y 
 Udx
 x
 UNdyMdx ==
∂
∂
+
∂
∂
=+ . 
 Logo, 0NdyMdx =+ é diferencial exata. 
 
Exemplo: Verificar se a equação ( ) 0dy2xydxyx 22 =−− é diferencial exata. 
 
Resolução: Sabemos que 
 x
N 
y 
M 
∂
∂
=
∂
∂
 e queremos determinar a função ( )yx,U 
tal que NdyMdxdU += . 
 Seja �= Mdxw a integral parcial de Mdx , isto é, a integral obtida 
quando se considera y constante ( )( )yx,MM = . 
 Mostraremos que 
y 
 wN
∂
∂
− é função apenas de y: 
 ( ) =��
�
�
��
�
�
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
=��
�
�
��
�
�
∂
∂
−
∂
∂
w
y x x
N 
y 
 wN
 x
 
 ( ) =��
�
�
��
�
�
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
= �Mdxy x x
N 
 
 ( ) =�
�
�
�
�
�
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
= �Mdx
 xy x
N 
 
 
 ( ) =
∂
∂
−
∂
∂
= M
y x
N 
 
 0
y 
M 
 x
N 
 =
∂
∂
−
∂
∂
= . 
 Se tomarmos dy 
y 
 wNwU � ��
�
�
��
�
�
∂
∂
−+= , teremos: 
 =��
�
�
��
�
�
∂
∂
−+
∂
∂
+
∂
∂
= dy 
y 
 wNdy
y 
 wdx
 x
 wdU 
 ( ) =
∂
∂
−+
∂
∂
+
∂
∂
= � dy y 
 wNdydy
y 
 wdx Mdx
 x
 
 NdyMdx += . 
 Logo, ( ) cdy 
y 
 wNwyx,U =��
�
�
��
�
�
∂
∂
−+= � , ou ainda: 
( ) ( ) cdy Mdx
y 
NMdxyx,U =
�
�
�
�
�
∂
∂
−+= � �� é a solução geral da equação. 
 
Exemplos: 
a) ( ) 0dy2yxedxe yy =−+ c) ( ) 0dy2xy dx yx 22 =−− 
b) ( ) ( )( ) 0dy ycos2xydx yx 23 =+++ 
 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 
12
1.10 Fator Integrante 
 
Quando a equação ( ) ( ) 0dyyx,Ndxyx,M =+ não é diferencial exata, isto é, 
 x
N 
y 
M 
∂
∂
≠
∂
∂
, pode-se transformá-la em uma diferencial exata multiplicando-a por 
uma função (a ser determinada) ( )yx, λ , denominado fator integrante. 
 
Exemplo: ( ) 2y
1
 ; 0xdydxxy1y ==−+ λ . 
 
Pesquisa do Fator Integrante: 
Seja ( )yx, λ fator integrante de 0NdyMdx =+ . 
Daí, ( ) ( )
 x
N 
y 
M 
∂
∂
=
∂
∂ λλ
 (1) 
 
 x
N N
 x
 
y 
M M
y 
 
∂
∂
⋅+⋅
∂
∂
=
∂
∂
⋅+⋅
∂
∂ λλλλ 
 ��
�
�
��
�
�
∂
∂
−
∂
∂
⋅=
∂
∂
⋅−
∂
∂
⋅
y 
M 
 x
N 
 x
 N
y 
 M λλλ
 (2) 
Esta equação é uma equação diferencial parcial de 1a ordem em λ e, portanto, 
sua solução não poderia ser efetuada por enquanto. 
Assim, ela se simplifica supondo-se λ função apenas de x ou apenas de y. 
Suponhamos ( )x λλ = . Então, 0
y 
 
=
∂
∂ λ
. 
Daí e de (2), temos: 
 ��
�
�
��
�
�
∂
∂
−
∂
∂
⋅=
∂
∂
⋅−
y 
M 
 x
N 
 x
 N λλ ( )N : λ 
 ��
�
�
��
�
�
∂
∂
−
∂
∂
⋅=
∂
∂
⋅−
y 
M 
 x
N 
N
1
 x
 1 λ
λ 
 ��
�
�
��
�
�
∂
∂
−
∂
∂
⋅=
∂
∂
⋅
 x
N 
y 
M 
N
1
 x
 1 λ
λ (3) 
Como 
 x
 1
∂
∂
⋅
λ
λ é função apenas de x, seja ( ) ���
�
��
�
�
∂
∂
−
∂
∂
⋅=
 x
N 
y 
M 
N
1
xR
 (4) 
 ( )
 x
 1
xR
∂
∂
⋅=
λ
λ � ( ) dx x
 1dxxR �� �
�
�
�
�
�
∂
∂
⋅=
λ
λ 
 
�
�
	
∂
∂
=
=
dx
 x
 du
u
λ
λ
 
 ( ) ( ) ( )λlnulndu 
u
1dxxR === �� 
 
( )dxxRe �=λ
 ou 
dx 
 x
N 
y 
M 
N
1
�
=
�
�
�
�
�
��
�
�
��
�
�
∂
∂
−
∂
∂
⋅
eλ
 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 
13
Analogamente, se ( )y λλ = , 
 
( )dyyRe �=λ
 ou 
dy 
y 
M 
 x
N 
M
1
�
=
�
�
�
�
�
��
�
�
��
�
�
∂
∂
−
∂
∂
⋅
eλ
 
 
Observe que, pelo processo adotado, pode-se obter um fator integrante e não 
todos os fatores, de modo que as restrições adotadas não prejudicam a pesquisa deste 
fator. 
 
 
Exemplos: 
a) ( ) 0dy1xydxy2 =++ b) dxexydxxdy x2=− 
 
 
1.11 Exercícios 
 
1) Determine, se possível, a solução geral das seguintes equações diferenciais: 
a) ( ) ( ) 0dy23yxdx1y2x =−+−+− R: k4y3y2x2xy2x 22 =+−+− 
b) ( ) ( ) 0dy
y
1
x2xycosxdx
x
y
xycosy =
�
�
�
�
�
++⋅+
�
�
�
�
�
+⋅ 
 R: ( ) ( ) Cylnx2yxysen =++ 
c) 0dy
y
3xydx
y
2x
4
22
3 =
−
+ R: C
y
1
y
x
3
2
=− 
d) ( ) ( ) 0dy4yy6xdx6xy3x 3222 =+++ R: Cyy3xx 4223 =++ 
e) 22 yx
ydxxdyydyxdx
+
+
=+ R: ( ) k4xyyx 222 =−+ 
f) ( )( ) ( )( ) 0dyxcos1dxxseny1 =−+⋅+ R: ( ) Cyxcosyx =+⋅− 
g) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 0dw2twtgwsecdtwttgtsec =+−⋅+−⋅ 
 R: ( ) ( ) k2wwsecwttsec =++− 
h) ( ) ( )( ) 0
dt
dy
e3yycosteyysen2t t22t3 =⋅+⋅+⋅+⋅ 
 R: ( ) Ceyysent t32 =⋅+⋅ 
i) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0
dt
dy
ttg2yttgtsectsecy 2 =++⋅+⋅ R: ( ) ( ) Ctsecttgyy2 =+⋅+ 
j) 
2222 yxy
xdy
y
dy
yx
dx
+⋅
=+
+
 R: kyxx 22 =++ 
k) 
yxy
xyx
dx
dy
2
2
+
+
−= R: kyyxx 2222 =++ 
l) ( ) 02xdydx2yx =−− R: ( ) C4yxx =−⋅ 
m) ( )( ) ( ) 0dyxsendxxcosyx =−⋅− R: ( ) kxsen2yx2 =⋅− 
n) ( ) ( ) ( ) ( ) 0dy xtgysecdx ytgxsec 22 =⋅+⋅ R: ( ) ( ) Cytgxtg =⋅ 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 
14
o) 0dyyxyxdxyxxy 2222 =�
�
��
�
� +⋅−+�
�
��
�
� +⋅− 
 R: ( ) Kyx3xy 2322 =+− 
p) ( )( ) ( ) ( )( ) 0dyxycosxysendxxycosy2x3x2 =⋅++⋅++ 
 R: ( ) ( ) cycosxysenxx 23 =−++ 
q) ( ) ( ) ( ) ( ) 0dy 2ysenh2xsenhdx 2ycosh2xcosh =⋅+⋅ 
 R: ( ) ( ) C2ycosh2xsenh =⋅ 
r) 0dy2y2xyeexdx2xey2xye 2222 xyyx2xy2yx =�
�
�
�
�
� +++�
�
�
�
�
� ++ 
 R: Cyxee 22xyyx
22
=+++ 
s) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0dyxcotgycotgycossec2xyedxxcossecycossece 22 y2y =�
�
�
�
�
�
⋅−+�
�
�
�
�
�
−
 R: ( ) ( ) Cxcotgycossecxe 2y =⋅+ 
t) ( ) 0dy2y2xyyx
1dx2x
yxx
yy2 =��
�
�
��
�
�
++
+
+��
�
�
��
�
�
+
+⋅
− 
 R: K
x
yxlnyxxy 222 =�
�
�
�
�
� +
+++ 
 
2) Determine os fatores integrantes para as seguintes equações: 
a) ( ) 0xdydxxyx 23 =+− R: 3x
3
e
x
1
⋅=λ 
b) ( ) 0dyyxyeydx 2y =−+ R: yee
y
1
⋅=λ 
c) ( ) ( )( ) ( ) 0dyxsendxxtgxcosy =−−⋅ R: ( )xcossec2=λ 
d) ( ) 0dyxdx2xyx 23 =+− R: 4
x
1
=λ 
 
3) Determine, se possível, a solução geral das seguintes equações diferenciais: 
a) ( ) 02xydydxyx 22 =+− R: C
x
yx 22
=
+
 
b) xdyydxdyy2 =+ R: Cyxy2 =+ 
c) ( )( ) 0dyxlnydx
x
y 3
=−+ R: ( ) kyyxln 32 =+ 
d) ( ) 0xydydxyxx 22 =−−+ R: ( ) C6y4x3xx 222 =−+ 
e) ( ) ( ) 0dyyxdxy2xyy3x 2232 =++++ R: ( ) C3xyye223x =+ 
f) 1ye
dx
dy 2x
−+= R: 1ekey x2x +⋅=− 
g) ( ) 0dyysen
y
xdx =��
�
�
��
�
�
−+ R: ( ) ( ) kysenycosyxy =−⋅+ 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 
15
h) ( ) 0dye2xyydx 2y =−+ − R: ( ) cylnxe2y =− 
i) ( ) ( )( ) 0dyycossec2yycotgedxe xx =⋅++ R: ( ) Kyysene 2x =+ 
j) ( )( ) 0xdydxxlnxy 4 =−+ R: ( )( ) Cxxln1x9y 34 =−+ 
k) ( ) 0dy3x2y2xydx 22 =−+ R: 322 Ky2yx =− 
l) ( ) ( ) 0dy4x2yxydx2yy 434 =−+++ R: ( ) 23 cy2xyxy =++ 
m) 0dy3xydx3xe2y 2x3 3 =+�
�
�
�
�
� + R: Keyx
3x32
=+ 
n) ( )( ) 0dyxedxetgxee yxyy =+++ R: ( )( ) Ceseclnxe xyx =++ 
 
4) Mostre que as equações abaixo não são exatas, mas tornam-se exatas quando 
multiplicadas pelo fator integrante dado ao lado. Portanto, resolva as equações: 
a) ( ) ( ) 3232 xy1yx, ; 0dyy1xdxyx ==++ λ R: ( ) Cylny1x 222 =+− 
b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xxx yeyx, ; 0dy
y
xcos2eycosdxxsen2e
y
ysen
==�
�
�
�
�
�
�
� +
+��
�
�
��
�
�
−
−
− λ 
 R: ( ) ( ) kxcosy2ysenex =⋅+ 
 
5) Achar a solução particular para 0x = na equação: 
( )( ) ( ) 0dyysenxdxeycos2x 2x =−−⋅ R: ( ) 1ycosxe 2x =− 
 
6) Resolver os seguintes problemas de valor inicial (PVI): 
a) ( ) 11y ; 0
dt
dyy3t2ty 223 ==+ R: 3
2
ty
−
= 
b) ( ) ( ) 10y ; 0
dt
dy2t2y4ty3t 22 ==+++ R: 1yy2tt 223 =++ 
c) ( ) 11y ; 
24y3x
53y2x
dx
dy
=
+−
+−
= R: 32y2y5x3xyx 22 =−++− 
d) ( ) 20y ; 
2y12xyxe
4yye
dx
dy
2xy
3xy
=
−+
+
−= R: 34xyey 3xy2 =−− 
e) ( ) ( ) 51y ; 
x
yxxln3x
dx
dy 22
=
−+
= R: ( ) 5xlnxxy 3 =⋅− 
 
7) Determine a constante a de modo que a equação seja exata e, então, resolva a 
equação resultante: 
a) 0
dx
dy
axeyex 2xy2xy =++ R: kex 2xy2 =+ 
b) 0
dx
dy
y
1ax
y
1
x
1
322 =
+
++ R: 222 cxyx2y2x =−− 
c) ( ) 0
dx
dy
ey2xy3xe yax322yax =+++ ++ R: Cyxe 23yx =++ 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 
16
d) ( ) ( ) 0dyxyxdxyaxxy 222 =+++ R: ( ) Kx2yyx2 =+⋅ 
 
 
1.12 Equações Lineares 
 
Se apresentam, ou podem ser colocadas, na forma QPy
dx
dy
=+ , onde P e Q 
são funções de x ou constantes. 
Observe que, neste tipo de equação, � Pdxe é fator integrante. 
De fato, QPy
dx
dy
=+ � ( ) 0dydxQPy =+− � 
� ( ) 0dyedxQPye PdxPdx =�+−� , onde ( )QPyeM Pdx −�=λ e �= PdxeN λ . 
( ) �
⋅=
∂
∂ Pdx
eP
y 
M λ
 e 
( ) �
⋅=
∂
∂ Pdx
eP
 x
N λ
 
Daí, transformamos a equação linear em outra diferencial exata. 
Vamos achar, então, sua solução: 
( ) ( ) Cdy dx QPye
y 
edxQPye PdxPdxPdx =
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
−⋅
�
∂
∂
−
�+
�
�
��
�
−⋅
� � �� (1) 
 
( ) =
�
�
��
�
⋅
�
−
�
�
��
� �
⋅⋅=
�
�
��
�
−⋅
� ��� dxQedxePydxQPye
PdxPdxPdx
 
 � 
�
�
��
�
⋅
�
−
�
⋅= dxQeey PdxPdx (2) 
( ) �=�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
−⋅
�
∂
∂
�
PdxPdx
edx QPye
y 
 (3) 
 
De (1), (2) e (3), temos: 
�� =
�
�
��
� �
−
�+
�
�
��
�
⋅
�
−
�
⋅ CdyeedxQeey PdxPdxPdxPdx � 
� CdxQeey PdxPdx +
�
�
��
�
⋅
�
=
�
⋅ � � 
� 
�
�
��
� +�
�
�
�
�
�
⋅
�
⋅
�
= �
− CdxQeey PdxPdx
 
que é a solução geral de uma equação linear de 1a ordem e 1o grau. 
 
Exemplos: 
a) 4x2y
dx
dy
x =+ c) 2x
x
y
dx
dy
−=− 
b) xey
dx
dy
=− 
 
 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 
17
1.13 Exercícios 
 
1) Determine, se possível, a solução geral das seguintes equações diferenciais: 
a) ( ) ( )xsenxtgy
dx
dy
=⋅− R: ( ) ( ) ��
�
�
�
�
�
�
+⋅= C
2
xsen
xsecy
2
 
b) ( )( ) ( ) 0dxycosdy1ysenx =−−+ 
 R: ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]Cyy2tgy2secytgysecx ++−⋅+= 
c) ( ) ( )xarctgy
dx
dy
x1 2 =++ R: ( ) ( )xarctgek1xarctgy −⋅+−= 
d) ( ) 0
x
xcotg
x
y
dx
dy
=−+ R: ( )( )[ ]Cxsenln
x
1y +⋅= 
e) ( ) ( )xcosxtgy
dx
dy
+⋅= R: ( ) ( ) �
�
�
�
�
�
++⋅= C2xsen
4
1
x
2
1
xsecy 
f) 2xy
dx
dy
x =− R: 2xCxy += 
g) 3x
x
2y
dx
dy
=+ R: 2
4
Cx
6
xy −+= 
h) ( ) 0dy32xydxy2 =+− R: 
y
1Cyx 2 −= 
i) xy
dx
dy
=+ R: xek1xy −⋅+−= 
j) ( )xseny
dx
dy
=+ R: ( ) ( ) xek
2
xcosxseny −⋅+−= 
k) 4x2e3
14y
dx
dy
+
=+ R: ( ) 
�
�
�
�
�
++⋅= − C2e3lney 8
14x4x
 
l) ( ) yyylnx
dy
dx
=⋅− R: ( )yy ek1yx −⋅+⋅= 
m) ( ) x22 ex2xy
dx
dy1x ⋅=++ R: ( )[ ]C22xxe
1x
1y 2x2 ++−⋅⋅+
= 
n) ( ) dyysece2xdydx 22y ⋅⋅=+ − R: ( )[ ]Cytgex 2y +⋅= − 
o) ( )42
2
2
1y
y
x
1y
6y
dy
dx
+
=⋅
+
+ R: ( ) ( )[ ]Cyarctgy1y
1
x 32
+−⋅
+
= 
p) ( )xarctgxy
x
2
dx
dy 2
⋅=⋅− R: ( )
�
�
��
� ++−⋅⋅= Cx1lnxarctgxxy 22 
q) ( ) ( )( ) 0dxxln2ydyxlnx =⋅−+⋅⋅ R: ( ) ( )xln
C
xlny += 
r) ( ) ( )2ysenycosx
dy
dx
=⋅+ R: ( )( ) ( )yseneC1ysen2x −⋅+−⋅= 
s) ( ) ( ) ( )( )xsen
xcosy1xsen
dx
dy ⋅−−
= 
 R: ( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]Cxcossecxcotgxcosseclnxseny ++−⋅= 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 
18
t) ( ) ( )θθ
θ
2sen5cotg3r
d
dr
⋅−=⋅+ R: ( ) ( )θθ 32 cossecksen2r ⋅+⋅−= 
u) ( ) ( ) ( )( )[ ] 0dx1xcosxsenxydyxcosx =⋅−+⋅⋅+⋅⋅ 
 R: ( ) ( )[ ]xcoskxsen
x
1y ⋅+⋅= 
v) ( )
1x
xy
dx
dy1xx
2
2
2
−
=+−⋅ R: 
�
�
�
�
�
�
+�
�
�
�
�
�
�
�
+
−
⋅
−
= C
1x
1xln
1x
xy
2
 
w) ( ) ( ) ( )xsecxtgxsecy
dx
dy 22
⋅=⋅+ R: ( ) ( )xtgeC1xtgy −⋅+−= 
x) ( ) ( )( )xlnlny
dx
dy
xlnx =+⋅⋅ R: ( )( ) ( ) 1xln
k
xlnlny −+= 
y) ( ) ( )θθ
θ
4sen2cos2r
d
dr
=⋅+ R: ( ) ( ) 1ek2senr 2sen −⋅+= − θθ 
 
2) Achar a solução particular para 0y = e 0x = na equação: 
( ) ( )xsecxtgy
dx
dy
=⋅− R: ( )xsecxy ⋅= 
 
3) Achar a solução particular para by = e ax = na equação: 
0ey
dx
dy
x
x
=−+⋅ R: ( )ax eabe
x
1y −+⋅= 
 
 
1.14 Equações Redutíveis às de Variáveis Separáveis 
 
Equações da forma ��
�
�
��
�
�
++
++
=
222
111
cybxa
cybxaF
dx
dy
 
(1)
 , onde a1, a2, b1, b2, c1, c2 são 
constantes e o determinante 0
ba
ba
22
11
= , podem ser redutíveis a variáveis 
separáveis. 
Se o determinante acima é zero, então 0baba 1221 =− . 
Daí, 1221 baba = � mb
b
a
a
1
2
1
2
== , onde 
1
2
c
c
m ≠ (caso fosse igual seria 
possível uma simplificação na forma da equação, não sendo necessário, então, o 
processo em descrição). 
Desta forma, 
�
�
	
⋅=
⋅=
12
12
bmb
ama
 
(2)
. 
Levando (2) em (1), temos: 
��
�
�
��
�
�
++
++
=
211
111
cymbxma
cybxaF
dx
dy
 � ( ) ���
�
��
�
�
++
++
=
211
111
cybxam
cybxaF
dx
dy
 
(3)
 
 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 
19
Seja ybxat 11 += (4) � xatyb 11 −= � ( )xatb
1y 1
1
−= � 
 � �
�
�
�
�
�
−= 1
1
a
dx
dt
b
1
dx
dy
 
(5)
 
Levando (5) e (4) em (3), temos: 
G(t)
cmt
ctFa
dx
dt
b
1
2
1
1
1
=��
�
�
��
�
�
+
+
=�
�
�
�
�
�
− � G(t)a
dx
dt
b
1
1
1
=�
�
�
�
�
�
− � 
� 11 aG(t)bdx
dt
+⋅= � dx
aG(t)b
dt
11
=
+⋅
, que é uma equação de variáveis 
separáveis. 
 
Exemplos: 
a) ( ) ( ) 0dx52y4xdy4y2x=+−++− c) 
13y6x
1y2x
dx
dy
−−
+−
= 
b) ( ) ( ) 0dy12y2xdx1yx =−++++ 
 
 
1.15 Equações Redutíveis às Homogêneas 
 
Equações da forma ��
�
�
��
�
�
++
++
=
222
111
cybxa
cybxaF
dx
dy
 
(1)
 , onde a1, a2, b1, b2, c1, c2 são 
constantes e o determinante 0
ba
ba
22
11 ≠ , podem ser reduzidas à forma das 
homogêneas. 
Considerando o sistema 
�
�
	
=++
=++
0cybxa
0cybxa
222
111
 
(2)
 , com solução genérica α=x 
e β=y . 
Reintroduzindo x e y na equação (1) como 
�
�
	
=∴+=
=∴+=
dydvvy
dxduux
β
α
 
(geometricamente equivale a uma translação dos eixos coordenados para o ponto 
( )βα , que é a interseção das retas componentes do sistema (2), o que é verdadeiro, 
uma vez que o determinante considerado é diferente de zero). 
( ) ( )
( ) ( ) =���
�
��
�
�
++++
++++
=��
�
�
��
�
�
++++
++++
=
22222
11111
222
111
cbvbaua
cbvbauaF
cvbua
cvbuaF
du
dv
βα
βα
βα
βα
 
( )
( )���
�
��
�
�
++++
++++
=
22222
11111
cbavbua
cbavbuaF βα
βα
 (vemos, em (2), que α e β são soluções 
do sistema) 
��
�
�
��
�
�
+
+
=
vbua
vbuaF
du
dv
22
11
, que é uma equação homogênea. 
 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 
20
Exemplos: 
a) ( ) ( ) 0dy5y2xdx42yx =−+−−+ 
b) ( ) ( ) 0dy4yxdx2yx =+−+−+ 
 
 
1.16 Exercícios 
 
Determine, se possível, a solução geral das seguintes equações diferenciais: 
a) ( ) ( ) 0dy23y2xdx13y2x =+++−+ R: ( ) k73y2xln3y3x 9 =−+++ 
b) 
1yx
13y3x
dx
dy
++
+−−
= R: ( ) k1yxlny3x 2 =+−−++ 
c) 
3y42x
12yx
dx
dy
++
++
= R: ( ) k58yx4ln4y8 =+++− x 
d) ( ) ( ) 0dy13y9xdx2y3x =+−++− R: ( ) k1y2x6lny62x =+−++ 
e) 
2y3x
13y2x
dx
dy
−+
−−
= R: k4y2xy6xy2x 22 =+−−− 
f) ( ) ( ) 0dy85yxdxx3y =−+++ 
 R: ( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) k2
12x
4y52arctg12x4y12x44y5ln 22 =�
�
�
�
�
�
+
+
−
−++−++− 
g) ( ) ( ) 0dx5y2xdy4y2x =+−++− R: ( ) 3xy1yxC 3 −−=−+ 
h) ( ) ( ) 0dy56yxdx34yx =−−−−− R: ( ) 2x3y1x2yC 2 +−=+− 
 
 
1.17 Equação de Bernoulli 
 
Se apresentam, ou podem ser transformadas, na forma nQyPy
dx
dy
=+ , onde P 
e Q são funções de x ou constantes e n é diferente de zero e de um ( )1n0n ≠∧≠ 
pois, nestes casos, teremos uma equação linear. 
A equação de Bernoulli se resolve através de sua redução a uma linear. 
Seja a equação nQyPy
dx
dy
=+ , onde 1ne0n ≠≠ . 
Dividindo ambos os membros por ny , temos: 
QPy
dx
dyy n1n =+ −− (1) 
Fazendo a substituição ty n1 =− , sendo t uma função de x, teremos: 
( )
dx
dt
n1
1
dx
dyy
dx
dt
dx
dyyn1 nn
−
=�=− −− 
Substituindo na equação (1): 
QPt
dx
dt
n1
1
=+
−
 � ( ) ( )n1Qtn1P
dx
dt
−=−+ , que é uma equação linear. 
 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 
21
Exemplos: 
a) 23xy
x
y2
dx
dy
=− 
b) 3xy2xy
dx
dy
=− 
c) ( )xlnyy
dx
dy
x
2
⋅=+ 
 
 
1.18 Exercícios 
 
Determine, se possível, a solução geral das seguintes equações diferenciais: 
a) 33yxy
dx
dy
x =+ R: 1yCxy2x 2223 =+− 
b) 33yxxy
dx
dy
=+ R: 2
x2
2
Ce1x
1y
++
= 
c) yxy
x
4
dx
dy
+= R: ( )
2
4 Cxln
2
1
xy �
�
�
�
�
�
+= 
d) 0xy
dx
dy2xy 2 =+− R: �
�
�
�
�
�
⋅=
x
Clnxy2 
e) 22y
x
2y
dx
dy
=+ R: 012xyyCx2 =−+ 
f) ( )dx1yydyx 2 += R: 222 xC xy −= 
g) ( ) 22 xyxy
dx
dy
x1 +=− R: 
1x1C
1y
2
−−
= 
 
 
1.19 Equação de Riccati 
 
Se apresentam, ou podem ser transformadas, na forma RQyPy
dx
dy 2 ++= (2), 
onde P, Q e R são funções de x ou constantes. 
Observemos que a equação linear e a de Bernoulli são casos particulares desta 
(a primeira quando P=0 e a segunda quando R=0). 
Comprovou-se que a solução dessa equação só é possível quando se conhece 
uma solução particular 0y . 
Admitamos, então, uma solução particular 0y da equação RQyPydx
dy 2 ++= . 
Seja zyy 0 += (3), onde z é uma função a determinar. Daí, dx
dz
dx
dy
dx
dy 0 += (4). 
Se 0y é solução da equação, podemos escrever: 
RQyPy
dx
dy
0
2
0
0 ++= (5) 
Substituindo (3) e (4) na equação (2), temos: 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 
22
( ) ( ) RzyQzyP
dx
dz
dx
dy
0
2
0
0 ++++=+ 
RQzQyPzz2PyPy
dx
dz
dx
dy
0
2
0
2
0
0 +++++=+ 
( ) RQyPyzQ2PyPz
dx
dz
dx
dy
0
2
00
20 +++++=+ 
Daí e da equação (5), temos: 
( ) RQyPyzQ2PyPz
dx
dzRQyPy 02002020 +++++=+++ 
( )zQ2PyPz
dx
dz
0
2 ++= 
( ) 20 PzzQ2Pydx
dz
=+− , que é uma equação de Bernoulli em z. 
 
 
Exemplos: 
1) Verificar se xy = é solução particular da equação 3
x
y
x
y
dx
dy
2
2
=++ . Em 
caso afirmativo, calcular a solução geral. 
2) Verificar que xy −= é solução particular da equação 
( ) 01yx2xy
dx
dy
x1 223 =++++ e determinar a sua solução geral. 
3) Sabendo que 1y = é solução particular da equação (verifique) 
( ) 1xxyy12x
dx
dy 2
−=−−+ , calcular a sua solução geral. 
 
 
1.20 Exercícios 
 
Mostrar que 0y é solução particular da equação dada e calcular sua solução 
geral: 
a) 
x
1y0 = e 2
2
x
2y
dx
dy
−= R: 
Cx
3x
x
1y 3
2
+
−= 
b) xy0 = e 1xy
x
112y
x
1
dx
dy 2
−+�
�
�
�
�
�
−−= R: 2
32
xC
x2xCxy
−
−+
= 
c) 1y0 −= e 023yydx
dy 2
=+++ R: 
1Ce
Ce2y
x
x
−
−
= 
d) x0 ey = e ( ) 2x2x eyy2e1dxdy −=++− R: Ce Ceeey x
xx2x
+
++
= 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 
23
e) ( )xseny0 = e ( ) ( ) ( )xsenyyxcossecxcotgdx
dy 2 +−⋅⋅= 
 R: 
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) x
x
Cexsenxcos
Cexsenxcosxsen
y
+−
++⋅
= 
 
 
1.21 Equação de Clairaut 
 
É a equação da forma �
�
�
�
�
�
+=
dx
dy
dx
dy
xy φ (6). 
Fazendo 
dx
dyp = , temos: 
( )pxpy φ+= (7) � ( )
dx
dpp
dx
dp
xpp
dx
dy φ ′++== � ( )[ ] 0
dx
dppx =′+φ (8) � 
� 0
dx
dp
= � Cp = 
A solução geral é dada substituindo-se, em (7), p pelo seu valor C. 
Assim, ( )CCxy φ+= é a solução geral da equação de Clairaut (família de 
retas). 
De (8), tem-se que: 
( ) 0px =′+ φ (9) � ( ) xp −=′φ 
Eliminando-se p entre (7) e (9) tem-se uma relação ( ) 0yx,F = que representa a 
solução singular. De fato, essa eliminação equivale a eliminar C entre a solução geral 
( )CCxy φ+= e a equação ( ) 0Cx =′+φ , o que conduz à envoltória da família de 
curvas definida pela solução geral. 
 
 
Exemplos: 
Determine, se possível, a solução geral e a solução singular das seguintes 
equações de Clairaut: 
a) �
�
�
�
�
�
−=
dx
dyln
dx
dy
xy 
b) 0y
dx
dy
x
dx
dy 2
=+−�
�
�
�
�
�
 
c) 
2
dx
dy3
dx
dy
xy �
�
�
�
�
�
=− 
d) 01
dx
dyy
dx
dy
x
23
=+�
�
�
�
�
�
−�
�
�
�
�
�
 
e) 045y
dx
dy
x
dx
dy
=+�
�
�
�
�
�
+− 
f) 
2
dx
dy4
dx
dy
xy �
�
�
�
�
�
++= 
 
 
1.22 Exercícios 
 
Determine, se possível, a solução geral e a solução singular das seguintes 
equações de Clairaut: 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 
24
a) 
2
dx
dy
dx
dy
xy �
�
�
�
�
�
−= R: 
�
�
	
−=
−=
23
2
x
4
27y
C
1Cxy
 
b) 
2
dx
dy1
dx
dy
xy �
�
�
�
�
�
++= R:�
�
	
−=
++=
2
2
x1y
C1Cxy
 
c) 
dx
dy
dx
dy
xy += R: 
�
�
	 +=
singularsoluçãoháNão
CCxy
 
d) �
�
�
�
�
�
+=
dx
dy
sen
dx
dy
xy R: 
( )
( )
�
�
	
�
�
	
−+�
�
��
�
�
−⋅=
−+⋅=
+=
22
2
x1x1arcsenxy
OU
x1xarccosxy
CsenCxy
 
 
 
1.23 Aplicações 
 
Problemas, fenômenos, processos, etc., que dependem (são funções) de uma 
variável contínua (independente) podem sempre ser representados (modelados) por 
uma equação diferencial. Geralmente a variável (contínua) independente é tempo, 
distância, tamanho, velocidade, volume, etc. A variável dependente (função) deve ser 
aquela que melhor caracteriza (descreve) o fenômeno ou processo que se deseja 
modelar. 
A modelagem – representação matemática de um enunciado em palavras – de 
um fenômeno, processo, etc., é facilitada se forem levadas em consideração as 
seguintes sugestões: 
a) No enunciado do problema reconheça a variável dependente e represente-a 
por uma função (f) da variável independente (x); 
b) Represente uma “taxa de variação” pela derivada da função em relação à 
variável independente ( )�
�
�
�
�
�
dx
xdf
; 
c) Represente a frase “proporcional a ...” por “ g(x)k ⋅= ” onde g(x) pode ser a 
própria f(x) ou o x ou uma outra função (g) de f e/ou de x, conforme 
especificado no enunciado; 
d) A constante de proporcionalidade k pode ser positiva ou negativa, 
dependendo se f(x) cresce ou decresce, de acordo com o enunciado. 
 
Após a montagem da equação diferencial esta deve ser resolvida. Os valores da 
constante k e da constante arbitrária (provenientes da solução da equação diferencial) 
serão determinados pelas condições iniciais dadas no enunciado do problema. 
 
 
 
 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 
25
Exemplos: 
 
1) A taxa de crescimento de um investimento na bolsa de valores é 
proporcional ao investimento a cada instante. Determine a equação (modelo 
matemático) que rege o investimento com o tempo. 
Solução: 
Sejam: 
 t − tempo (variável independente); 
 f(t) − valor do investimento no instante t (variável dependente); 
 
( )
dt
tdf
 − taxa de crescimento do investimento com o tempo; 
 f(t)k ⋅ − representando o “proporcional ao investimento”. 
Logo, do enunciado temos a equação diferencial que modela o problema: 
( ) f(t)k
dt
tdf
⋅=
 
onde 0k > , por ser a taxa de investimento crescente (pelo enunciado do 
problema). 
 
2) Experiências mostram que uma substância radioativa se decompõe a uma 
taxa proporcional à quantidade de material radioativo presente a cada 
instante. Obtenha a equação diferencial que modela o fenômeno. 
Solução: 
Sejam: 
 t − tempo (variável independente); 
 f(t) − quantidade (massa) de substância presente no instante t; 
 
( )
dt
tdf
 − taxa de variação da quantidade de substância; 
 f(t)k ⋅ − representando o “proporcional à quantidade de substância”. 
Logo, do enunciado temos a equação diferencial que modela o problema: 
( ) f(t)k
dt
tdf
⋅=
 
onde 0k < , por haver decaimento (pelo enunciado do problema). 
 
3) Qual a equação diferencial que vai permitir determinar a velocidade inicial 
mínima de um corpo o qual é disparado na direção radial da Terra e que é 
suposto escapar desta. Desprezar a resistência do ar e a atração gravitacional 
de outros corpos celestes. 
Solução: 
Sejam: 
 t − tempo (variável independente); 
 v(t) – velocidade do corpo no instante t. 
Aqui o problema é mais complexo por não enunciar a proporcionalidade. 
Mas, sabemos da Física Clássica (Lei de Newton) que a aceleração radial a 
uma distância r do centro da Terra (a(r)) é inversamente proporcional ao 
quadrado da distância (r) do corpo ao centro da Terra. 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 
26
Temos, então, que ( ) 2r
1kra ⋅= , onde 0k < por ser a aceleração dirigida 
para o centro da Terra. 
A constante k é facilmente determinada, lembrando que: 
( ) 2sm9,81gRa −=−= , onde R é o raio da Terra ( )m106,38R 6⋅= . 
Assim, 22 RgkR
1kg ⋅−=�⋅=− . 
Por outro lado, sabemos que ( )
dt
dv
ra = , onde ( )
dt
dr
tv = (taxa de variação da 
distância radial em relação ao tempo). 
Juntando as informações anteriores e verificando que desejamos a variação 
de v em relação à r (e não a t), temos: 
( ) 222 r
1Rg
r
1kv
dr
dv
dt
dr
dr
dv
ra ⋅⋅−=⋅=⋅=⋅= . 
Daí, a equação procurada é: 
2
2
r
1Rgv
dr
dv
⋅⋅−=⋅
 
 
4) Sabendo que o volume de uma gota, suposta esférica, decresce por 
evaporação a uma taxa proporcional à área de sua superfície, determine a 
equação do raio da gota em função do tempo. 
Solução: 
Sejam: 
 t – tempo (variável independente); 
 V(t) – volume da gota no instante t; 
 S(t) – superfície da gota no instante t. 
Do enunciado do problema, temos: 
Sk
dt
dV
⋅= , onde 0k < pois V decresce com o tempo. 
Como a gota é esférica, 3r
3
4V pi= e 2r4S pi= , onde r(t) é o raio da gota 
no instante t. 
Substituindo V e S na equação diferencial, temos: 
( )23 r4kr
3
4
dt
d
pipi ⋅=�
�
�
�
�
�
, 0k < . 
Derivando e simplificando a equação acima, teremos: 
22 r�4k
dt
dr
r3�
3
4
= � k
dt
dr
= , 0k < . 
Integrando a equação acima teremos a equação que exprime o raio da gota 
em função do tempo, isto é, 
( ) 0rtktr +⋅= , onde 0r é o raio da gota no instante 0t = (constante de 
integração). 
 
 
 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 
27
1.24 Exercícios 
 
1) No exemplo 1, sabe-se que um investimento de R$ 100,00 rendeu R$ 44,00 
após 6 anos. Determine qual foi o rendimento deste investimento nos 3 
primeiros anos. 
R: R$ 20,00 
 
2) No exemplo 3, determine: 
a) A distância radial do centro da Terra na qual o corpo para e começa a 
retornar a Terra em queda livre sabendo que a velocidade inicial no 
lançamento foi de 3600 km/h; 
b) A velocidade inicial mínima necessária para o corpo escapar da 
gravitação terrestre e nunca mais retornar. 
R: a) 6431 km; b) 4027 km/h. 
 
3) No exemplo 4, determine o tempo necessário para a gota evaporar por 
completo, sabendo que a gota inicialmente tinha 1 mm de diâmetro e que o 
tempo em que uma outra gota de 0,5 mm de diâmetro evaporou foi de 10 
minutos. 
R: 20 minutos 
 
4) a) Determine a equação diferencial cujas curvas integrais são círculos de 
raio 10 e cujos centros estejam sobre o eixo das ordenadas. 
b) Quais são as duas soluções singulares da equação diferencial determinada 
no item (a)? 
R: a) 22
22
x10
x
dx
dy
−
=�
�
�
�
�
�
 ; b) Retas 10x ±= 
 
5) Um tanque vertical tem uma pequena fenda no fundo. Supondo que a água 
escape do tanque a uma taxa proporcional à pressão da água sobre o fundo e 
sabendo que 5% de água escapou no primeiro dia, determine o tempo 
necessário para que o nível da água no tanque chegue à metade. 
R: 13,5 horas 
 
6) De acordo com a Lei de Newton, a taxa a que uma substância se resfria é 
proporcional à diferença das temperaturas da substância e do ar. Se a 
temperatura do ar é de 20oC e a substância se resfria de 100oC para 60oC em 
30 minutos, quando a temperatura da substância atingirá 40o. 
R: 60,2 minutos 
 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 
28
2 Equações diferenciais lineares de ordem n 
 
2.1 Definição 
 
São equações da forma: 
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0xa ; b(x)xyxaxyxaxyxaxyxa 0n1n1n1n0 ≠=+′+++ −− � , 
onde: 
i) ( )xy é a função incógnita; 
ii) Se ( )xa ,n 0,...,i i=∀ é constante então a equação é denominada de equaçãode coeficientes constantes; 
iii) Se ( )xa que tal,n 0,...,i i=∃ é função de x, então a equação é denominada de 
equação de coeficientes variáveis; 
iv) Se ( ) 0xb = a equação é denominada equação linear homogênea; 
v) Se ( ) 0xb ≠ a equação é denominada equação linear não homogênea. 
 
Exemplos: 
a) ( )( )xcosln2xyyxyx2 ⋅=+′−′′ é uma equação diferencial linear de 2a 
ordem com coeficientes variáveis e não homogênea. 
b) 8yy =−′′ é uma equação diferencial linear de 2a ordem com coeficientes 
constantes e não homogênea. 
c) ( ) 0y2xy7y vi =′+′′′− é uma equação diferencial linear de 6a ordem com 
coeficientes variáveis e homogênea. 
d) xey
x
2y =+′ é uma equação diferencial linear de 1a ordem com coeficientes 
variáveis e não homogênea. 
e) 2yyx2yy =′−′′ não é uma equação linear. 
 
 
2.2 Equação diferencial linear homogênea de ordem n e coeficientes 
constantes 
 
É a equação da forma: 
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 0a ; 0xyaxyaxyaxyaxya 0n1n2n21n1n0 ≠=+′++++ −−− � e 
constantea i ≡ . 
 
1ª ORDEM: 0a ; 0yaya 010 ≠=+′ 
 �=+′ 0y
a
ay
0
1 �−=′ y
a
ay
0
1 �= py
dx
dy
�⋅= dxp
y
dy
( ) �+=� Cpxyln �⋅=⋅== + keeeey pxCpxCpx pxkey = 
 
2ª ORDEM: 0a ; 0yayaya 0210 ≠=+′+′′ 
 ��
�
�
��
�
�
===+′+′′
0
2
0
1
a
aqe
a
ap 0qyypy 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
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29
 Suponhamos rxey = solução da equação. 
 
rx2rx eryerey =′′=′ 
 Substituindo na equação: 
 �=+′+′′ 0qyypy �=++ 0qepreer rxrxrx2 ( ) �=++ 0qprre 2rx 
 � 0qprr2 =++ (equação característica) 
 
 �
2
4qpp
r
2
−±−
=
 
 Daí, teremos 2 raízes 21 rer . 
 Assim, as soluções serão: xr2
xr
1
21 eyeey == . 
 
 
Teorema da superposição: Se 21 yey são soluções linearmente independentes (LI) 
de uma equação diferencial linear de 2ª ordem ( ) ( ) 0yxbyxay =+′+′′ então 
2211 ycycy += também é solução e é denominada de solução geral desta equação. 
Demonstração: Sejam 21 yey soluções LI da equação, isto é, 
( ) ( ) 0yxbyxay 111 =+′+′′ e ( ) ( ) 0yxbyxay 222 =+′+′′ . 
Vamos mostrar que 2211 ycycy += também é solução da equação dada, isto é, 
substituindo na equação encontraremos 0. 
�+= 2211 ycycy �′+′=′ 2211 ycycy 2211 ycycy ′′+′′=′′ . 
Substituindo na equação: 
( ) ( ) =+′+′′ yxbyxay ( ) ( )( ) ( )( ) =++′+′+′′+′′ 221122112211 ycycxbycycxaycyc 
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) =+′+′′++′+′′= 22221111 yxbyxaycyxbyxayc 00c0c 21 =⋅+⋅ . 
 
 
Teorema: Sejam n21 y,...,y,y funções com derivadas de ordem n contínuas. Estas 
funções serão LI se o Wronskiano for diferente de zero, isto é: 
( ) ( ) ( )
0
yyy
yyy
yyy
W
1n
n
1n
2
1n
1
n21
n21
≠
′′′
=
−−− �
���
�
�
 
 
Exemplos: 
1) ( ) ( )xcosyexseny 21 == 
2) x3x22x1 eyeey,ey === − 
3) Em que casos as soluções xr2xr1 21 eyeey == serão LI? 
 �≠= 0
erer
eeW
xr
2
xr
1
xrxr
21
21
�≠− 0eereer xrxr1
xrxr
2
2112 ( ) ( ) �≠− + 0err xrr12 21 
 �≠−� 0rr 12 12 rr ≠ 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
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30
Voltando ao nosso texto, teremos que 
2
4qpp
r
2
−±−
= nos leva a três casos: 
04qp2 >−=∆ , 04qp2 <−=∆ e 04qp2 =−=∆ . 
 
1º caso: 04qp2 >−=∆ 
 Aqui teremos duas raízes reais e distintas 21 rer . Assim, as soluções 
xr
1
1ey = e xr2 2ey = serão LI. Logo a solução geral da equação será 
xr
2
xr
12211
21 ececycycy +=+= , onde 21 cec são constantes arbitrárias. 
 
 
Exemplos: 
1) 0y2y =′−′′ 
2) 02yy3y =+′−′′ 
 
 
2º caso: 04qp2 <−=∆ 
 Teremos 2 raízes complexas conjugadas do tipo biar1 += e biar2 −= (que 
serão diferentes). Assim, as soluções ( )xbia1 ey += e ( )xbia2 ey −= serão LI e temos, como 
solução geral da equação, ( ) ( ) ( )ibx2ibx1axxbia2xbia1 ececeececy −−+ +=+= . 
 Reescreveremos esta solução com a cara de uma solução real. 
 Lembremos primeiro as equações de Euler: ( ) ( )�seni�cosei� += e 
( ) ( )�seni�cose i� −=− . 
 Assim, 
 
( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]bxsenBbxcosAe
bxseniccbxcoscce
bxsenibxcoscbxsenibxcosce
ececey
ax
2121
ax
21
ax
ibx
2
ibx
1
ax
⋅+⋅=
=−++=
=−++=
=+= −
 
é a solução geral, onde A e B são constantes arbitrárias. 
 
 
Exemplos: 
1) 02yyy =+′+′′ 
2) 0yy =+′′ 
 
 
3º caso: 04qp2 =−=∆ . 
 Neste caso teremos duas raízes 21 rer reais e iguais a 2
p
− , isto é, 
2
p
rrr 21 −=== . 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
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31
 Sendo assim, teremos apenas uma solução rx1 ey = e precisamos encontrar 
uma 2ª solução, LI com a 1ª, para montarmos a solução geral. 
 Para isso usaremos o Método da Redução de Ordem (MRO), enunciado a 
seguir: 
 
Método da Redução de Ordem (MRO): 
Seja a equação ( ) ( ) ( ) 0yxayxayxa 210 =+′+′′ , onde 1y é solução da equação. 
Podemos supor ( ) 12 yxvy ⋅= como uma 2ª solução da equação. 
 
Exemplo: 
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) xxy;0yxcos2xx6sen
yxcos2xx6xsenyxcosxxsen3xyxsenx
1
2
2323
==⋅+−
+′⋅++′′⋅+−′′′⋅
 
 
No nosso caso, seja a equação 0qyypy =+′+′′ , onde x2
p
rx
1 eey
−
== é solução da 
equação, isto é, 0qyypy 111 =+′+′′ . 
Vamos supor 12 yvy ⋅= , ( )xvv = , solução da equação. 
Assim, 112 yvyvy ′⋅+⋅′=′ e 1112 yvyv2yvy ′′⋅+′⋅′+⋅′′=′′ . 
Substituído na equação 0qyypy =+′+′′ , temos: 
( ) ( ) 0yvqyvyvpyvyv2yv 111111 =⋅⋅+′⋅+⋅′⋅+′′⋅+′⋅′+⋅′′ � 
� ( ) ( ) 0vyqypyvypy2vy
0
111111 =⋅⋅+′⋅+′′+′⋅⋅+′⋅+′′⋅
=
��� ���� ��
 � 
� ( ) 0vypy2vy 111 =′⋅⋅+′⋅+′′⋅ � 
� ( ) 0veper2ve rxrxrx =′⋅⋅+⋅⋅+′′⋅ � 
� ( ) 0vp2rv
0
=′⋅++′′
=
���
 �
�
�
�
�
�
−=
2
p
rpois � 
� 0v =′′ � 2cv =′ � 12 cxcv += . 
Logo, ( ) rx2rx1rx211 excecexccyvy ⋅⋅+⋅=⋅+=⋅= . 
Assim, temos duas soluções: rx2
rx
1 exyeey ⋅== . 
Falta determinar se elas são LI. 
Utilizando o Wronskiano, temos: 
( ) 0eerxrx1
rexere
exeW 2rx2rx
rxrxrx
rxrx
>=⋅−+=
⋅+
⋅
= . 
Sendo assim, rx2
rx
1 excecy ⋅⋅+⋅= é a solução geral da equação, onde 21 cec são 
constantes arbitrárias. 
 
Exemplos: 
1) 0y61y8y =+′+′′ 2) 0yy2y =+′−′′ 
 
Generalização: Determine a solução geral da equação diferencial linear homogênea e 
coeficientes constantes, cujas raízes de sua equação característica são: 
1; 2; 3; 3; 3; 3; 2+3i; 2−3i; −1+4i; −1−4i; −1+4i; −1−4i 
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32
2.3 Exercícios 
 
1) Determine, se possível, a solução geral das seguintes equações diferenciais: 
i) 02yy3y =+′−′′ R: 2x2x1 ececy += 
ii) 0 w, 0ywy 2 >=+′′ R: ( ) ( )wxsencwxcoscy 21 ⋅+⋅= 
iii) 02y1yy =−′−′′ R: 4x2x31 ececy += − 
iv) 0y6yy =−′+′′ R: 2x2x31 ececy += − 
v) 0y25y =+′′ R: ( ) ( )5xsenc5xcoscy 21 ⋅+⋅= 
vi) 02yy2y =+′−′′ R: ( ) ( )[ ]xsencxcoscey 21x ⋅+⋅⋅= 
vii) 0yy2y =+′−′′ R: [ ]xccey 21x +⋅= 
viii) 0yy2y =+′+′′ R: [ ]xccey 21x +⋅= − 
ix) 0yy3y3y =−′+′′−′′′ R: [ ]2321x xcxccey ++⋅= 
x) 0y2y =′′−′′′ R: 2x321 ecxccy ++= 
xi) 0yy =′′−′′′ R: x321 ecxccy ++= 
xii) 0yyy4y4 =+′−′′−′′′ R: 0,5x30,5x2x1 ecececy −++= 
xiii) 0yy2yiv =+′′− R: x4x3x2x1 xececxececy −− +++= 
xiv) ( ) ( )3r 2;r 1;r 012yy14y52yy 321ivv ==−==+′+′′′−− 
 R: ( ) ( )[ ]xsencxcosceecececy 54x3x32x2x1 ⋅+⋅⋅+++= −− 
xv) 0yyiv =− R: ( ) ( )xsencxcoscececy 43x2x1 ⋅+⋅++= − 
xvi) 0y36y13yiv =+′′− R: x34x233x22x1 ececececy −− +++= 
xvii) 012yy4y3y =−′−′′+′′′ R: x33x222x1 ecececy −− ++= 
xviii) 0y5y4y =′+′′−′′′ R: ( ) ( )[ ]xsencxcoscecy 32x21 ⋅+⋅⋅+= 
xix) 0y7y5y =′+′′−′′′ R: 
�
�
	
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
⋅+�
�
�
�
�
�
�
�
⋅+=
2
x3
senc
2x3
coscecy 32
2,5x
1 
xx) ( )2r 02yy5y3yy 1iv ==−′−′′−′′′+ 
 R: x24
x
3
x
2
2x
1 excxecececy
−−− +++= 
xxi) ( ) ( ) 0y127yy ivv =′′′+− R: 25434x23x1 xcxccececy ++++= 
xxii) ( ) 0yy2y iv =+′′+ 
 R: ( ) ( ) ( ) ( )[ ]xsencxcoscxxsencxcoscy 4321 ⋅+⋅⋅+⋅+⋅= 
xxiii) ( ) 09yy iv =− 
 R: ( ) ( ) x34x3321 ececx3sencx3coscy ⋅+⋅+⋅+⋅= − 
 
2) Resolva os seguintes problemas de valor inicial: 
i) 3(0)y 0,y(0) ; 010yy2y =′==+′+′′ R: ( )3xseney x ⋅= − 
ii) 3(0)y ,1y(0) ; 0y5y4y −=′==+′+′′ R: ( ) ( )[ ]xsenxcosey 2x −⋅= − 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
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33
iii) 1(0)y 3,y(0) ; 05yy2y =′−==+′−′′ 
 R: ( ) ( )[ ]xsen2xcos3ey x ⋅−⋅⋅−= 
iv) 3(0)y ,0y(0) ; 0y4y4y =′==+′+′′ R: 2xe3xy −⋅= 
v) 8(0)y ,4y(0) ; 0y4y4y =′==+′−′′ R: 2xe4y ⋅= 
vi) 1(0)y ,2y(0) ; 05y2,0yy =′−==+′+′′ R: 0,5xe2y −⋅−= 
vii) 2(1)y ,5y(1) ; 0y10yy2 =′==−′+′′ R: ( ) ( )x12,51x2 e
9
16
e
9
29y −− += 
viii) 4(0)y 0,y(0) ; 0yy6y =′==+′−′′ 
 R: ( ) ( ) �	
��
 −= −+ x223x223 ee2
2y 
ix) 2(0)y ,1y(0) ; 0y2yy −=′==+′+′′ 
 R: 
�
�
	
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
⋅−�
�
�
�
�
�
�
�
⋅=
−
2
x7
sen
7
73
2
x7
cosey 0,5x 
x) 1(0)y y(0) ; 0y3yy2 =′==+′−′′ 
 R: 
�
�
	
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
⋅+�
�
�
�
�
�
�
�
⋅=
4
x23
sen
23
233
4
x23
cosey 0,25x 
xi) 0)(y ,e)y( ; 0y
3
10y2y3 3 =′==+′−′′ pipi
pi
 
 R: ( ) ( )�	
��
−⋅⋅= xcosxsen
3
1
ey 3
x
 
xii) 0(0)y 1,y(0) ; 0yy6y9 =′==+′+′′ R: �	
��
+⋅=
−
3
x1ey 3
x
 
xiii) pipi pipi 33 e)(y ,e)y( ; 025yy6y −=′==+′−′′ 
 R: ( ) ( )[ ]4xsen4xcosey 3x −⋅= 
 
3) Verifique se 1y é solução da equação e, utilizando o método de redução de 
ordem, determine a solução geral da equação: 
i) x1 ey;0yy ==−′′ R: x2x1 ececy −+⋅= 
ii) 212 xy;04yy3xyx ==+′−′′ R: ( )( )xlnccxy 212 ⋅+⋅= 
iii) ( ) 2x12 ey;0y24xy4xy ==−+′−′′ R: ( ) 2x21 exccy += 
iv) ( ) ( ) xy;0yx6yxx6y3xyx 12223 ==−−′−+′′−′′′ 
 R: ( ) xececcy x3x21 ⋅⋅+⋅+= − 
v) ( ) xy ; 02yy2xyx1 12 ==−′+′′− R: ( ) xc1xcy 221 ++⋅= 
vi) ( ) xy ; 02yy2xyx1 12 ==+′−′′− 
 R: xc
1x
1xln
x
1
cy 21
��
�
�
�
��
�
�
�
+�
	
�
�
+
−
+⋅= 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
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34
vii) ( ) ( ) x1y ; 0yy1xyxx 12 +==−′++′′− 
 R: ( ) ( )1xc1xcy 20,521 +⋅�	
��
 +−⋅= − 
 
 
2.4 Equações de Euler-Cauchy homogêneas 
 
É a equação da forma: 
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 0;xyaxyxaxyxaxyxaxyxa n1n2n2n21n1n1nn0 =+′++++ −−−−− � 
0a0 ≠ e constantea i ≡ . 
 
1ª ORDEM: 0a ; 0yayxa 010 ≠=+′ 
 �=+ 0y
a
a
dx
dy
x
0
1 �−= y
a
a
dx
dy
x
0
1 �= py
dx
dy
x �=
x
dxp
y
dy
( ) ( ) �+⋅=� Cxlnpyln ( ) ( ) ( )�+⋅= klnxlnpyln ( ) ( )�= pkxlnyln 
 � pkxy = 
 
2ª ORDEM: 0a ; 0yayxayxa 021
2
0 ≠=+′+′′ 
 ��
�
�
��
�
�
===+′+′′
0
2
0
12
a
aqe
a
ap 0qyypxyx 
 Suponhamos rxy = solução da equação. 
 ( ) 2r1r x1rryerxy −− −=′′=′ 
 Substituindo na equação: 
 �=+′+′′ 0qyypxyx2 ( )[ ] [ ] �=++− −− 0qxrxpxx1rrx r1r2r2 
 ( )[ ] �=++−� 0qpr1rrx r ( ) 0qpr1rr =++− ou ( ) 0qr1pr2 =+−+ 
(equação característica) 
 �
( ) ( )
2
4q1pp1
r
2
−−±−
=
 
 Daí, teremos 2 raízes 21 rer . 
 Assim, as soluções serão: 21 r2
r
1 xyexy == . 
 
 Vamos verificar quando 21 yey serão LI: 
 0
xrxr
xxW 1r
2
1r
1
rr
21
21
≠=
−−
 � 0xrxr 1rr1
1rr
2
2121 ≠− −+−+ � 
 � ( ) 0xrr 1rr12 21 ≠− −+ � 0rr 12 ≠− � 21 rr ≠ 
 Isto significa que, quando as raízes forem distintas, as soluções serão LI 
e, conseqüentemente, sua solução geral será uma combinação linear das 
soluções. 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
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35
 
( ) ( )
2
4q1pp1
r
2
−−±−
= nos leva a três casos: 
 ( ) 04q1p 2 >−−=∆ , ( ) 04q1p 2 <−−=∆ e ( ) 04q1p 2 =−−=∆ . 
 
1º caso: ( ) 04q1p 2 >−−=∆ 
 Aqui teremos duas raízes reais e distintas 21 rer . Assim, as soluções 
1r
1 xy = e 2
r
2 xy = serão LI. Logo a solução geral da equação será 
21 r
2
r
12211 xcxcycycy +=+= , onde 21 cec são constantes arbitrárias. 
 
 
Exemplos: 
1) 02yy2xyx2 =+′−′′ 2) 0y6yx2 =−′′ 
 
 
2º caso: ( ) 04q1p 2 <−−=∆ 
 Teremos 2 raízes complexas conjugadas do tipo biar1 += e biar2 −= (que 
serão diferentes). Assim, as soluções bia1 xy += e bia2 xy −= serão LI e temos, como 
solução geral da equação, ( )bi2bi1abia2bia1 xcxcxxcxcy −−+ +=+= . 
 Reescreveremos esta solução com a cara de uma solução real. 
 Observemos, primeiramente, que: ( ) ( ) ( )( ) ( )( )bbxlnixlnbi xlnsenixlncoseex bbi +=== ⋅ 
e ( ) ( ) ( )( ) ( )( )bbxlnixlnbi xlnsenixlncoseex bbi −=== ⋅−− − . 
 Assim, 
 
( )
( )( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( )( )[ ]{ }
( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ]
( )( ) ( )( )[ ]bba
b
21
b
21
a
bb
2
bb
1
a
bi
2
bi
1
a
xlnsenBxlncosAx
xlnseniccxlncosccx
xlnsenixlncoscxlnsenixlncoscx
xcxcxy
⋅+⋅=
=⋅⋅−+⋅+=
=−++=
=+= −
 
 é a solução geral, onde A e B são constantes arbitrárias. 
 
 
Exemplos: 
1) 04yyxyx2 =+′−′′ 
2) 0yyxyx2 =+′+′′ 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
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36
 
 
3º caso: ( ) 04q1p 2 =−−=∆ . 
 Neste caso teremos duas raízes 21 rer reais e iguais a 2
p1−
, isto é, 
2
p1
rrr 21
−
=== . 
 Sendo assim, teremos apenas uma solução r1 xy = e precisamos encontrar uma 
2ª solução, LI com a 1ª, para montarmos a solução geral. 
 Utilizando o MRO, temos que, sendo 0qyypxyx2 =+′+′′ a equação de Euler-
Cauchy cujas raízes da equação característica são reais e iguais a 
2
p1
rrr 21
−
=== , isto é, 
r
1 xy = é uma solução da equação, podemos supor ( ) r12 xvyxvy ⋅=⋅= como uma 2ª 
solução da equação. 
 Assim, 1rr2 xrvxvy
−
⋅⋅+⋅′=′ e ( ) 2r1rr2 x1rrvxrv2xvy −− ⋅−⋅+⋅⋅′⋅+⋅′′=′′ . 
 Substituído na equação 0qyypxyx2 =+′+′′ , temos: 
( )( ) ( ) ( ) 0xvqxrvxvpxx1rrvxrv2xvx r1rr2r1rr2 =⋅+⋅⋅+⋅′+⋅−⋅+⋅⋅′⋅+⋅′′ −−− � 
� [ ] ( )[ ] 0vxqpr1rrvxp2rvx r
0
1r2r
=⋅⋅++−+′⋅⋅++′′⋅
=
++
�� ��� ��
 � 
� [ ] 0vxp2rvx 1r
1
2r
=′⋅⋅++′′⋅ +
=
+
���
 �
�
�
�
�
� −
=
2
p1
rpois � 
� 0vxvx 1r2r =′⋅+′′⋅ ++ � 0vvx =′+′′⋅ 
 Fazendo vuvu ′′=′�′= , a equação se torna: 
0uux =+′⋅ � 0u
dx
du
x =+⋅ � 
x
dx
u
du
−= � ( ) ( ) Cxlnuln +−= � 
� 12 xcu
−
⋅= 
 Como vu ′= , temos que: 
1
2 xcvu
−
⋅=′= � ( ) 12 cxlncv +⋅= . 
 Logo, ( )[ ] ( ) r2r1r211 xxlncxcxxlnccyvy ⋅⋅+⋅=⋅⋅+=⋅= 
 Temos, então, duas soluções: ( ) r2r1 xxlnyexy ⋅== . 
 Utilizando o Wronskiano verificamos que estas soluções são LI. 
 Assim, ( ) r2r1 xxlncxcy ⋅⋅+⋅== é a solução geral da equação, onde 21 cec 
são constantes arbitrárias. 
 
Exemplos: 
1) 0yyxyx2 =+′−′′ 
2) 0y4y5xyx2 =+′+′′ 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 
37
 
Generalização: Determine a solução geral da equação diferencial linear homogênea 
de Euler-Cauchy, cujas raízes de sua equação característica são: 
1; 2; 3; 3; 3; 3; 2+3i; 2−3i; −1+4i; −1−4i; −1+4i; −1−4i. 
 
2.5 Forma geral das equações de Euler-Cauchy homogêneas 
 
No item anterior trabalhamos, na verdade, com a forma particular das equações 
de Euler-Cauchy. 
A equação de Euler-Cauchy na sua forma geral é uma equação do tipo: 
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0;xyaxydbxaxydbxaxydbxa n1n1n1n1nn0 =+′++++++ −−− �
 0a0 ≠ e constantea i ≡ . 
Podemos, então, mudar a variável da equação, isto é, fazerdbxt += , e 
transformá-la na equação do item anterior. 
 
 
Exemplos: 
1) ( ) ( ) 0yy2xy2x 2 =+′+−′′+ 
2) ( ) ( ) 036yy23x3y23x 2 =−′++′′+ 
 
 
2.6 Outro método de resolução da equação de Euler-Cauchy 
 
Uma outra maneira de resolver a equação de Euler-Cauchy é transformá-la, 
primeiramente, em uma equação de coeficientes constantes. 
Observemos abaixo os tipos de soluções das duas equações (coeficientes 
constantes (CC) e Euler-Cauchy (EC)): 
( )rtrtr eeyxy
CCEC
===
 
Se chamarmos tex = na equação de Euler-Cauchy, sua solução se 
transformará na solução da equação de coeficientes constantes e, conseqüentemente, 
a equação também. 
Seja a equação de Euler-Cauchy 0qyypxyx2 =+′+′′ . 
Façamos tex = � te
dt
dx
= � te
dx
dt
−
= . 
Como ( )xyy = , temos que transformá-lo em função de t. 
Usando a regra da cadeia: 
dt
dy
ee
dt
dy
dx
dt
dt
dy
dx
dyy tt ⋅=⋅=⋅==′ −− 
2
2
2t2tt
2
2
tt
tt
2
2
dt
yd
e
dt
dy
ee
dt
yd
e
dt
dy
e
dx
dt
dt
dy
e
dt
d
dt
dy
e
dx
d
dx
dy
dx
d
dx
ydy
⋅+−=⋅�
�
�
�
�
�
�
�
⋅+⋅−=
=⋅�
�
�
�
�
�
⋅=�
�
�
�
�
�
⋅=�
�
�
�
�
�
==′′
−−−−−
−−
 
Substituindo na equação: 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
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38
0qy
dt
dy
epe
dt
dy
e
dt
yd
ee tt2t2
2
2t2t
=+�
�
�
�
�
�
⋅+�
�
�
�
�
�
�
�
−⋅
−−−
 � 
� 0qy
dt
dyp
dt
dy
dt
yd
2
2
=++− � ( ) 0qy
dt
dy1p
dt
yd
2
2
=+−+ , 
que é uma equação de coeficientes constantes em t. 
 
 
Exemplo: Resolva a equação 02yy2xyx2 =+′−′′ utilizando o método acima. 
 
 
2.7 Exercícios 
 
1) Determine, se possível, a solução geral das seguintes equações diferenciais: 
i) 04yyxyx2 =−′+′′ R: 2221 xcxcy ⋅+⋅= − 
ii) 0y3yx =′−′′ R: 421 xccy ⋅+= 
iii) 03yyx5yx2 =+′+′′ R: 3211 xcxcy −− ⋅+⋅= 
iv) 0yyx5,3yx2 =+′+′′ R: 5,0221 xcxcy −− ⋅+⋅= 
v) 0yyxyx2 =+′−′′ R: ( )[ ]xlnccxy 21 ⋅+⋅= 
vi) 0y4yxyx2 =+′−′′ R: ( )( ) ( )( )[ ]xln3sencxln3coscxy 21 ⋅⋅+⋅⋅⋅= 
vii) ( )1r 02yy2xy3xyx 123 ==+′−′′+′′′ 
 R: ( )[ ]xlnccxxcy 3221 ⋅+⋅+= − 
viii) ( )1r 02yy2xyx 13 ==−′+′′′ 
 R: ( )( ) ( )( )[ ]xlnsencxlncoscxxcy 321 ⋅+⋅⋅+= 
ix) 0y2xyx 23 =′′+′′′ R: ( ) xcxlnccy 321 +⋅+= 
x) ( ) ( )1r 1;r 08yy8xy4xyx 212iv4 −===−′+′′− 
 R: 44
2
32
1
1 xcxcxcxcy +++=
−
 
xi) ( ) �
�
�
�
�
�
−===+′−′′−′′′+
2
1
r 1;r 02yy2xy4xy7xy2x 21
23iv4
 
 R: 314
31
32
2
1
1 xcxcxcxcy
−+
−
+++= 
xii) ( )1r 06yy6xy3xyx 123 ==−′+′′−′′′ R: 33221 xcxcxcy ++= 
xiii) 03yy3xyx3 =+′−′′′ R: 33211 xcxcxcy ++= − 
xiv) ( ) ( ) 0y
4
3y1x3y1x 2 =+′++′′+ R: ( ) ( ) 0,521,51 1xc1xcy −− +⋅++⋅= 
xv) ( ) ( ) 08yy2x5y2x 2 =+′−+′′− 
 R: ( ) ( )( ) ( )( )[ ]22212 2xlnsenc2xlncosc2xy −⋅+−⋅⋅−= − 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 
39
xvi) ( ) ( ) 04yy34x8y34x 2 =+′−+′′− 
 R: ( ) ( )[ ]34xlncc34xy 210,5 −⋅+⋅−= − 
 
 
2) Resolva os seguintes problemas de valor inicial: 
i) 0(1)y 2,y(1) ; 02,25yyxyx2 =′==−′+′′ R: 1,51,5 xxy −+= 
ii) 2(1)y 0,y(1) ; 03yy3xyx2 −=′==+′−′′ R: ( )2x1xy −⋅= 
iii) 2(1)y y(1) ; 02yyxyx2 =′==+′−′′ R: ( )( )xlncos2xy ⋅= 
iv) 1(1)y 2,y(1) ; 0,25y0yxyx2 =′==−′+′′ R: 0,5x2y ⋅= 
v) 1(1)y y(1) ; 04yyx3yx2 =′==+′−′′ R: ( )[ ]xln1xy 2 −⋅= 
vi) 1(1)y ,0y(1) ; 02yyxyx2 =′==−′−′′ R: �
�
��
�
�
−⋅=
−+ 3131
xx
6
3y 
 
 
2.8 Equação diferencial linear não-homogênea de ordem n e coeficientes 
constantes 
 
É uma equação da forma: 
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) b(x)xyaxyaxyaxya n1n1n1n0 =+′+++ −− � (♦♦♦♦), onde constantea i ≡ , 
( ) 0xa0 ≠ e ( ) 0xb ≠ . 
 
 
Teorema: Seja a equação diferencial (♦♦♦♦) e cy a solução da equação 
homogênea associada desta equação, isto é, a solução da equação na qual ( ) 0xb = 
( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )0xyaxyaxyaxya cnc1n1nc1nc0 =+′+++ −− � . Suponhamos py uma solução 
particular da equação, ou seja, a solução que nos leva a ( ) 0xb ≠ 
( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )b(x)xyaxyaxyaxya pnp1n1np1np0 =+′+++ −− � . Daí, a solução geral da 
equação será pc yyy += . 
 
Estudaremos 3 métodos para determinarmos py : Método dos Coeficientes a 
Determinar, Método da Variação dos Parâmetros e o Método dos Operadores. 
 
 
1º) Método dos Coeficientes a Determinar: Este método só permite determinar 
a solução particular de equações de coeficientes constantes cujo ( )xb é uma 
exponencial, um polinômio, uma função trigonométrica do tipo seno ou cosseno ou 
uma combinação linear destas funções. 
 
i) ( )xb é da forma kxe . 
 py será da forma 
kxheAx , onde h é o número de vezes em que k é raiz da 
equação característica. 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 
40
Exemplos: 
1) 2xeyy =−′′ 2) x2eyy3y3y =−′+′′−′′′ 
 
 
ii) ( )xb é um polinômio de grau n. 
 py será um polinômio completo de grau n+k, onde k é a derivada de menor 
ordem da equação diferencial. 
 
Exemplos: 
1) 1xyy 2 +=+′′ 
2) 33xxyy2y 24 ++=′+′′−′′′ 
 
 
iii) ( )xb é ( )kxsen ou ( )kxcos . 
 py será da forma ( ) ( )[ ]kxsenBkxcosAxh ⋅+⋅ , onde h é o número de vezes 
em que ki é raiz da equação característica. 
 
Exemplos: 
1) ( )2xsen2yy ⋅=−′′ 2) ( )xcos2yy ⋅−=′+′′′ 
 
 
Exemplos gerais: 
1) ( ) ( ) ( )x3sen3x2cos2ee2x3xyyyy x2x2iv −++−+−=′−′′+′′′− 
2) ( )xlnyyxyx2 =+′+′′ 
3) 12xxyy2xyx 22 +−=−′+′′ 
4) ( )( ) 223 xxlnsen2yyxyxyx −=+′−′′+′′′ 
 
Sugestão: Nos 3 últimos exemplos, transforme as equações de Euler-Cauchy 
em equações de coeficientes constantes. 
 
 
2º) Método da Variação dos Parâmetros (Lagrange): Este método é utilizável 
tanto para equações de coeficientes constantes como para equações de coeficientes 
variáveis, de qualquer ordem, sem restrições quanto à forma da função ( )xb . 
Seja a equação ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) b(x)xyaxyaxyaxya n1n1n1n0 =+′+++ −− � . Se 
conhecemos nn2211c ycycycy +++= � , solução da homogênea associada, 
podemos supor nn2211p yuyuyuy +++= � , onde ( ) n,1,i,xuu ii �== são 
funções a serem determinadas, tal que py seja uma solução particular da equação 
dada. 
 
Equação de 2ª ordem: 
Seja ( )xbqyypy =+′+′′ , com 2211c ycycy += solução da equação 
homogênea associada. 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 
41
Podemos supor 2211p yuyuy += , ( ) 1,2i,xuu ii == . 
Assim, 22221111p yuyuyuyuy ′+′+′+′=′ . 
Faremos a seguinte imposição: 0yuyu 2211 =′+′ . 
Daí, 2211p yuyuy ′+′=′ . 
Logo, 22221111p yuyuyuyuy ′′+′′+′′+′′=′′ . 
Substituindo na equação ( )xbqyypy ppp =+′+′′ : 
( ) ( ) ( ) ( )xbyuyuqyuyupyuyuyuyu 2211221122221111 =++′+′+′′+′′+′′+′′ � 
� ( ) ( ) ( )xbuqyypyuqyypyuyuy 2
0
2221
0
1112211 =⋅+′+′′+⋅+′+′′+′′+′′
==
�� ��� ���� ��� ��
 � 
� ( )xbuyuy 2211 =′′+′′ 
Juntando a imposição com a conclusão, temos ( )��
�
=′′+′′
=′+′
xbuyuy
0uyuy
2211
2211
, que é um 
sistema em u′ . 
Resolvendo este sistema por determinante, temos: 
21
21
yy
yy
�
′′
= 
( ) 2
2
1 yxb
y0
u�
′
=′ � 
�
u�
u 11
′
=′ � dx
�
u�
u 11 �
′
=
 
( )xby
0y
u�
1
1
2
′
=′ � 
�
u�
u 22
′
=′ � dx
�
u�
u 22 �
′
=
 
2211p yuyuy += 
 
 
Exemplos: 
1) ( )xsecyy =+′′ 
2) ( )xcossecyy =′+′′′ 
3) ( )xsene2yy3y x ⋅=+′−′′ 
4) ( )xtgyy =+′′ 
5) ( )xcose4yy x ⋅=−′′ 
6) ( )axcotgyay 2 =+′′ 
7) 1xyy 2 +=+′′ 
 
 
3º) Método dos Operadores: 
 
Só pode ser utilizado quando a equação for de coeficientes constantes e as 
raízes da equação característica foremreais. 
 
Seja ( ) wvTv VV:T =→� tal que ( ) ( ) ( )v�Tu�T�v�uT +=+ . 
Daí T é chamado um operador linear. 
 
Consideremos V o espaço vetorial das funções que têm derivada de ordem n 
contínuas ( )nCV ≡ , isto é, ( ) yyD nyn CC:D ′=→� . 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
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42
( ) ( ) ( ) ( )2211221122112211 yD�yD�y�y�y�y�y�y�D +=′+′=′+=+ , ou seja, D 
é linear. 
( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( )��
�
�
�
��
�
�
�
�
−
′=−=−
=
′′′=′′==
′′=′==
′==
ayyayDyyaD
yyD
yyDyDDyD
yyDyDDyD
yDyyD
nn
23
2
�
 
 
Observação: ( )xyDxDy ≠ pois yxyyx ′+≠′ 
 
( ) ( ) b(x)yayayaya n1n1n1n0 =+′+++ −− � � 
� b(x)yaDyayDayDa n1n1n1n0 =++++ −− � � 
� ( )
( )
b(x)yaDaDaDa
DP
n1n
1n
1
n
0 =++++ −
−
������ ������� ��
� 
 
Observe que ( ) ( )CdxveeyvayyvyaD axax +⋅⋅=�=−′�=⋅− � − . 
O objetivo agora é fatorar este “polinômio” em n monômios e, então, resolver 
equações lineares de 1ª ordem. 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )xbyaDaDaDaD n1n21 =⋅−⋅−−⋅− −� � 
� ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xbyaDaDaDaD
1v
n1n21 =⋅−⋅−−⋅−
=
− �����
� � 
� ( ) ( ) ( ) ( )xbvaDaDaD
2v
11n21 =⋅−−⋅−
=
− �������
� � 
� ( ) ( ) ( ) ( )xbvaDaDaD 22n21 =⋅−−⋅− −� ��� 
� ( ) ( )xbvaD 1n1 =⋅− − , que é uma equação linear. 
 
 
Exemplos: 
1) xeyy =−′′ 2) ( )xsen6yy5y =+′−′′ 
 
 
2.9 Exercícios 
 
Determine, se possível, a solução geral das seguintes equações diferenciais: 
i) 2xxyy −−=+′′ R: ( ) ( ) 2xxxsencxcoscy 221 +−−⋅+⋅= 
ii) xe4yy −=+′′ R: ( ) ( ) x21 e5
12xsenc2xcoscy −⋅+⋅+⋅= 
iii) ( )xsenyy =+′′ R: ( ) ( ) ( )xcos
2
x
xsencxcoscy 21 ⋅−⋅+⋅= 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
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43
iv) 3xe3yy4y =+′−′′ R: 3xx23x1 e2
x
ececy ⋅++= 
v) xeyy2y −=+′+′′ R: 
�
�
	
�
�
�
+⋅+⋅= −
2
x
xccey
2
21
x
 
vi) 2xx ee2yy3y +=+′−′′ R: [ ] [ ]xcexcey 22x1x +⋅+−⋅= 
vii) ( )3xsene2xy3y 3x4 ++=′+′′ − R: +−++= − 453x21 x9
2
x
15
2
eccy 
 ( ) ( )[ ]3xcos3xsen
18
1
xe
3
1
x
81
16
x
27
8
x
27
8 3x23 +−−−−+ − 
viii) ( ) ( ) 00y1,0y ;x yy =′==−′′ R: xey x −= 
ix) ( ) ( ) 30y0y ; 48x2xyy2y 2 =′=+−=+′−′′ R: 2x x2e3y += 
x) ( ) ( ) ( ) ( ) 10y1,0y ; x7senx4cos8yy4y −=′=+=+′+′′ 
 R: ( ) ( )xsen2xcosey 2x +⋅= − 
xi) ( )xcoseyy2y x ⋅=+′+′′ − R: ( )( )xcosxccey 21x −⋅+⋅= − 
xii) x23 exyy2y ⋅=+′−′′ R: �
	
�
�
⋅−⋅+⋅= 2
7
21
x x
35
4
xccey 
xiii) ( )xcos
e2yy2y 3
x−
=+′+′′ 
 R: ( ) ( ) ( ) ( )�	
��
⋅−⋅+⋅⋅= − xcos2xcos
2
1
xsencxcoscey 21
x
 
xiv) 42 x6yy4xyx −=+′−′′ R: 43221 x42
1
xcxcy −⋅+⋅+⋅= 
xv) x2 e2xyyx ⋅=′−′′ R: ( ) x221 e22xxccy ⋅−++= 
xvi) ( ) t2 e1tyy3y2 ⋅+=+′−′′ R: t3222t1 et312t9tcecy ⋅�	
��
 ⋅+−++⋅= 
xvii) ( ) ( ) ( ) 00y 1,0y ; tseneyy4y3 t =′=⋅=+′′+′′ − 
 R: ( ) ( )( ) 3ttt e
13
24
et3sent2cos
13
ey
−
−
−
⋅+−−⋅= 
xviii) ( )xtgyy =′+′′′ 
 R: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )xtgxseclnxsenxcoslnxsencxcosccy 321 +⋅−−⋅+⋅+= 
xix) ( )3x9sec9yy 2=+′′ 
 R: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 13xtg3xsecln3xsen3xsenc3xcoscy 21 −+⋅+⋅+⋅= 
xx) ( )2x3cossec4yy =+′′ 
 R: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2xcosx
2
32xsenln2xsen
4
32xsenc2xcoscy 21 ⋅⋅−⋅⋅+⋅+⋅= 
 
 
 
 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 
44
2.10 Aplicações – oscilações harmônicas 
 
Se a posição de um ponto material de massa m é determinada pela coordenada 
x, então a 2ª Lei de Newton nos diz que ( )xF
dt
xd
m 2
2
= se a força F depende somente 
de x ou �
�
�
�
�
�
= t,
dt
dx
,xF
dt
xd
m 2
2
, no caso mais geral. 
 
Considere a figura a seguir: 
 
 
 
a) representa um Sistema Massa-Mola (supondo atrito nulo) cujo movimento é 
regido pela equação kx
dt
xd
m 2
2
−= , onde k é o coeficiente da mola pela Lei de Hook 
e m é a massa do objeto na extremidade da mola. 
 
b) representa um Pêndulo Suspenso (supondo atrito nulo) cujo movimento é 
regido pela equação ( )ϕϕ sen
l
g
dt
d
2
2
⋅−= , que para � “pequeno”, como ( ) ϕϕ ≅sen , 
pode ser aproximada por ϕϕ ⋅−=
l
g
dt
d
2
2
 e m é a massa do objeto na extremidade do 
Pêndulo. 
 
c) representa um Pêndulo de Torção (supondo atrito nulo) cujo movimento é 
regido pela equação ϕϕ ⋅−= J
dt
dI 2
2
, onde ϕ⋅J é a quantidade de movimento do 
“eixo” e I é o momento de inércia do disco. 
 
d) representa um Circuito Elétrico LC (supondo resistência nula) cuja evolução 
no tempo é regida pela equação q
c
1
dt
qd
2
2
⋅−= , onde q é a carga elétrica, L e C são a 
indutância e capacitância do circuito elétrico, respectivamente. 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 
45
Comparando as equações que regem os sistemas a), b), c) e d), vê-se que 
TODAS as equações são da forma 0x�
dt
xd 2
2
2
=+ , onde � é a freqüência angular do 
fenômeno e cuja solução será (como já visto) ( ) ( )�tcosc�tsencx 21 ⋅+⋅= que pode, 
por substituições trigonométricas, ser transformada em ( )φ+⋅= �tsenAx , onde A é 
a amplitude da solução e φ é a fase da solução. 
 
Colocando atrito (ou resistência, no caso do circuito elétrico), um termo 
correspondente é introduzido, ficando a forma da equação para todos os casos da 
figura anterior, como 0x�
dt
dx
�
dt
xd 2
2
2
=++ , onde � é o termo correspondente ao 
coeficiente de atrito (ou resistência para o circuito elétrico). 
 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 
46
3 Sistemas de Equações Diferenciais 
 
3.1 Resolução por substituição 
 
Exemplo: 
�
�
�
�
�
=++
=−−+
0y3x
dt
dx
ey4x
dt
dy
dt
dx2 t
 
 
 
3.2 Resolução por operadores 
 
Exemplos: 
1) 
�
�
�
�
�
=++
=−−+
0y3x
dt
dx
ey4x
dt
dy
dt
dx2 t
 
2) 
�
�
�
�
��
�
�
�
=+++
=++−
=++
02zy
dt
dz
dt
dy
1z2x
dt
dz
dt
dx
1y
dt
dy
dt
dx
 
 
 
3.3 Exercícios 
 
Resolva, se possível os seguintes sistemas: 
1) 
�
�
�
�
�
=++
+=−+
tx
dt
dy2
dt
dx2
12tx
dt
dy
dt
dx
 
2) 
�
�
�
�
�
=++
=++
2t2e2y
dt
dy3x
03y2x
dt
dx
 
3) 
( )
( )�
�
�
�
�
=−+++
=+−+
tcosy2x
dt
dy
dt
dx2
t2sen4y3x
dt
dy2
dt
dx
 
4) 
�
�
�
��
�
�
=++−++
=−++
2
2
2
2
2
t
tyx
dt
dy
dt
dx
dt
yd
dt
xd
eyx
dt
dy
dt
dx
 
 
 
 
 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 
47
3.4 Revisão de alguns tópicos de Álgebra Linear 
 
Derivada e integral de matrizes: 
Seja a matriz [ ]ijaA = . 
i) �
�
�
�
	
=
dt
ad
dt
dA ij
 
ii) ��
�
�	
= ��
f
e
ij
f
e
dtadtA 
 
 
Exemplos: 
1) ( ) ���
�
�
�
	
 +
=
45tsen
e1tA
2t2
 
 ( ) ���
�
�
�
	
=
0tcos
2e2t
dt
dA 2t
 e 
( ) �
�
�
�
�
�
	
++−
+++
=�
43
2
2t
1
3
c45tctcos
c
2
e
ct
3
t
dtA 
 
2) 
�
�
�
�
�
�
�
�
	
−=�
�
�
�
�
�
�
�
�
	
= �
0
1e
1
dtX
0
e
1
X
1
0
t
 
 
 
Autovalores e autovetores de operadores e matrizes quadradas: 
Seja VV:T → um operador linear, Vv ∈∀ , tal que ( ) �vvT = , onde ℜ∈� e 
Vv θ≠ . 
Diz-se que � é um autovalor de T e v é um autovetor de T associado a �. 
 
 
Exemplo: