Métodos da Física Teórica II - Paulo Miranda

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Universidade Federal da Bahia
Instituto de F´ısica
Notas de Aula
Me´todos de F´ısica Teo´rica II
Prof Paulo Miranda
Salvador, 12 de julho de 2011
Fa´bio de O. Paiva
2
Suma´rio
1 EDP’s Lineares de 2 Ordem e sua Classificac¸a˜o 5
1.1 Equac¸a˜o Hiperbo´lica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Equac¸a˜o Parabo´lica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Equac¸a˜o El´ıptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Problemas Elementares Descritos por EDP’s 19
2.1 Problemas F´ısicos Elementares Descritos por Equac¸o˜es Hiperbo´licas . . . . . 19
2.1.1 Pequenas Oscilac¸o˜es Transversais de uma Corda Vibrante . . . . . . . 19
2.1.2 Equac¸a˜o das Pequenas Oscilac¸o˜es Longitudinais . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.3 Equac¸o˜es da Hidrodinaˆmica e da Acu´stica . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.4 Equac¸o˜es dos Campos Ele´trico e Magne´tico (va´cuo) . . . . . . . . . . 28
2.2 Problemas F´ısicos Elementares Descritos por Equac¸o˜es Parabo´licas . . . . . . 28
2.2.1 Propagac¸a˜o Linear do Calor (Caso Unidimensional) . . . . . . . . . . 29
2.2.2 Propagac¸a˜o do calor no espac¸o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.3 Equac¸a˜o da difusa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3 Problemas F´ısicos Elementares Descritos por Equac¸o˜es El´ıpticas . . . . . . . 35
2.3.1 Processos Estaciona´rios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.2 Processos Perio´dicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.3 Fenoˆmenos F´ısicos (dependentes ou na˜o do tempo) Descritos por Equac¸o˜es
do Tipo Poisson e Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.4 Equac¸a˜o da Sondagem Ele´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4 Formulac¸a˜o ou Colocac¸a˜o Matema´tica de um Problema . . . . . . . . . . . . 37
3 Me´todos de Soluc¸a˜o das Equac¸o˜es da F´ısica Matema´tica 41
3.1 Me´todo da Separac¸a˜o de Varia´veis (ou de Fourier) . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3 A Esseˆncia do Me´todo de Separac¸a˜o de Varia´veis (Me´todo de Fourier) . . . . 49
3.4 Separac¸a˜o de Varia´veis Espaciais e Sistemas de Coordenadas . . . . . . . . . 63
3.4.1 Separac¸a˜o de Varia´veis Espaciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.5 Exemplos de Fixac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.6 Valores de Contorno - Formulac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4 Func¸o˜es Especiais 89
4.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.2 Pontos Singulares em Equac¸o˜es Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3
4.3 Me´todo de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.4 Equac¸a˜o de Bessel do 1 Tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.4.1 Fo´rmulas de Recorreˆncia de Jν(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.4.2 Ana´lise das Soluc¸o˜es da Func¸a˜o de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.4.3 Func¸a˜o Geradora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.4.4 Func¸a˜o de Neumann ou Func¸a˜o de Bessel do Segundo Tipo, Nν(x) . . 112
4.4.5 Func¸o˜es de Hankel ou Func¸o˜es de Bessel do Terceiro Tipo . . . . . . . 113
4.4.6 Func¸a˜o Modificada de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.4.7 Func¸o˜es Esfe´ricas de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.4.8 Ortogonalidade das Func¸o˜es de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.4.9 Comportamento das Func¸o˜es de Bessel na Origem e no Infinito . . . . 121
4.5 Se´ries de Fourier-Bessel e Transformadas de Fourier-Bessel . . . . . . . . . . . 121
4.5.1 Se´rie de Fourier-Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.5.2 Transformadas de Fourier-Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.5.3 Aplicac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.6 Polinoˆmio de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.6.1 Determinac¸a˜o dos Polinoˆmios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.6.2 Fo´rmulas de Recorreˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.6.3 Ortogonalidade de Pn(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.6.4 Se´rie de Legendre - Expansa˜o de Func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.6.5 Polinoˆmio Associado de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.6.6 Relac¸o˜es de Recorreˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.6.7 Ortogonalidade de P (m)n (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.7 Func¸o˜es Esfe´ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5 O Me´todo da Func¸a˜o de Green e Aplicac¸o˜es 145
5.1 A Func¸a˜o de Green em uma Dimensa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4
Cap´ıtulo 1
EDP’s Lineares de 2 Ordem e sua
Classificac¸a˜o
Examinemos a equac¸a˜o de 2 ordem da func¸a˜o u, dependente das varia´veis x e y:
a11uxx + 2a12uxy + a22uyy + F1(x, y, u, ux, uy) = 0 . (1.1)
Se a11, a12 e a22 dependem de x, y, u, ux e uy, enta˜o (1.1) se chama na˜o-linear. Se a11, a12 e
a22 so´ dependem de x e y e se
F1(x, y, u, ux, uy) = b1ux + b2uy + Cu+ f(x, y) ,
onde b1, b2 e C so´ dependem de x e y, enta˜o (1.1) se chama linear.
Se os coeficientes a11, a12, a22, b1, b2 e C na˜o dependem de x nem de y, enta˜o (1.1)
se chama equac¸a˜o diferencial de derivadas parciais lineares com coeficientes constantes e de
2 ordem. Se f(x, y) = 0, enta˜o (1.1) se chama homogeˆnea; caso contra´rio, na˜o-homogeˆnea.
Para um caso mais geral (n varia´veis) temos:
n∑
i=1
n∑
j=1
aijuxiyj +
n∑
i=1
biuxi + Cu = f(x1, x2, · · · , xn) . (1.2)
A forma canoˆnica (a mais compacta e simples) de uma EDP linear de 2 ordem deve ser
procurada atrave´s de mudanc¸a das varia´veis independentes x e y. Vamos propor um par
(ξ, η) que substitua o par (x, y) e que possua a forma{
ξ = ϕ(x, y)
η = ψ(x, y)
, (1.3)
que deve possuir inversa (por queˆ?), isto e´:{
x = θ(ξ, η)
y = γ(ξ, η)
. (1.4)
Apliquemos (1.3) a (1.1), escrevendo antes u, ux, uy, uxx, uxy, uyy, C, b1, b2, a11, a12 e a22
nas novas varia´veis:
ux =
∂u
∂x
=
∂u(x, y)
∂x
=
∂u(ξ, η)
∂x
=
∂u
∂ξ
∂ξ
∂x
+
∂u
∂η
∂η
∂x
= uξξx + uηηx , (1.5)
uy =
∂u
∂y
=
∂u(x, y)
∂y
=
∂u(ξ, η)
∂y
=
∂u
∂ξ
∂ξ
∂y
+
∂u
∂η
∂η
∂y
= uξξy + uηηy . (1.6)
5
Agora, calculamos uxx, uxy e uyy1:
uxx =
∂ux
∂x
=
∂
∂x
(uξξx + uηηx)
=
∂uξ
∂x
ξx + uξ
∂ξx
∂x
+
∂uη
∂x
ηx + uη
∂ηx
∂x
=
(
∂uξ
∂ξ
∂ξ
∂x
+
∂uξ
∂η
∂η
∂x
)
ξx + uξξxx +
(
∂uη
∂ξ
∂ξ
∂x
+
∂uη
∂η
∂η
∂x
)
ηx + uηηxx ,
ou
uxx = uξξξ
2
x + 2uξηξxηx + uηηη
2
x + uξξxx + uηηxx . (1.7)
Analogamente se escreve uyy, isto e´:
uyy = uξξξ
2
y + 2uξηξyηy + uηηη
2
y + uξξyy + uηηyy . (1.8)
Para uxy, temos:
uxy =
∂ux
∂y
=
∂
∂y
(uξξx + uηηx)
=
∂uξ
∂y
ξx + uξ
∂ξx
∂y
+
∂uη
∂y
ηx + uη
∂ηx
∂x
=
(
∂uξ
∂ξ
∂ξ
∂y
+
∂uξ
∂η
∂η
∂y
)
ξx + uξξxy +
(
∂uη
∂ξ
∂ξ
∂y
+
∂uη
∂η
∂η
∂y
)
ηx + uηηxy
= uξξξxξy + uξηξxηy + uξξxy + uξηξyηx + uηηηxηy + uηηxy ,
ou
uxy = uξξξxξy + uξη (ξxηy + ξyηx) + uηηηxηy + uξξxy + uηηxy . (1.9)
Substituindo (1.5)-(1.9) em (1.1), temos:
a11
(
uξξξ
2
x + 2uξηξxηx + uηηη
2
x + uξξxx + uηηxx
)
+
2a12 [uξξξxξy + uξη (ξxηy + ξyηx) + uηηηxηy + uξξxy + uηηxy] +
a22
(
uξξξ
2y + 2uξηξyηy + uηηη
2
y + uξξyy + uηηyy
)
+
b1 (uξξx + uηηx) + b2 (uξξy + uηηy) + Cu+ f(ξ, η) = 0 .
Coletando os termos em uξξ, uηη, uξη, uξ, uη e u, chegamos a:(
a11ξ
2
x + 2a12ξxξy + a22ξ
2
y
)
uξξ + 2 [a11ξxηx + a12 (ξxηy + ηxξy) + a22ξyηy]uξη +(
a11η
2
x + 2a12ηxηy + a22η
2
y
)
uηη + (a11ξxx + 2a12ξxy + a22ξyy + b1ξx + b2ξy)uξ+
(a11ηxx + 2a12ηxy + a22ηyy + b1ηx + b2ηy)uη + Cu+ f(ξ, η) = 0 ,
1Note-se que:
∂uξ
∂x
=
∂uξ
∂ξ
∂ξ
∂x
+
∂uξ
∂η
∂η
∂x
e
∂uη
∂x
=
∂uη
∂ξ
∂ξ
∂x
+
∂uη
∂η
∂η
∂x
6
que pode ser escrito como
a11uξξ + 2a12uξη + a22uηη + β1uξ + β2uη + ζu+ δ = 0 ,
ou
a11uξξ + 2a12uξη + a22uηη + F (ξ, η, u, uξ, uη) = 0 (1.10)
onde 
a11 = a11ξ2x + 2a12ξxξy + a22ξ
2
y
a12 = a11ξxηx + a12 (ξxηy + ηxξy) + a22ξyηy
a22 = a11η2x + 2a12ηxηy + a22η
2
y
F = β1uξ + β2uη + ζu+ δ
β1 = a11ξxx + 2a12ξxy + a22ξyy + b1ξx + b2ξy
β2 = a11ηxx + 2a12ηxy + a22ηyy + b1ηx + b2ηy
C = ζ
f = δ
(1.11)
Sob a transformac¸a˜o (1.3), a equac¸a˜o (1.1) continua linear. Note que:
a212 = a
2
11ξ
2
xη
2
x + a
2
12 (ξxηy + ηxξy)
2 + a222ξ
2
yη
2
y + 2a11a12 (ξxηy + ηxξy) + 2a11a22ξxξyηxηy
= a211ξ
2
xη
2
x + a
2
12ξ
2
xη
2
y + 2a
2
12ξxηyξyηx + a
2
12ξ
2
yη
2
x + a
2
22ξ
2
yη
2
y + 2a11a12ξ
2
xηxηy +
2a11a12ξxξyη
2
x + 2a11a22ξxηxξyηy + 2a12a22ξxξyη
2
y + 2a11a22ξ
2
yηxηy .
E tambe´m,
a11a22 =
(
a11ξ
2
x + 2a12ξxξy + a22ξ
2
y
) (
a11η
2
x + 2a12ηxηy + a22η
2
y
)
= a211ξ
2
xη
2
x + 2a11a12ξ
2
xηxηy + a11a12ξ
2
xη
2
y + 2a11a12ξxξyη
2
x + 4a
2
12ξxξyηxηy +
2a12a22ξxξyη
2
y + a11a22ξ
2
yη
2
x + 2a11a22ξ
2
yηxηy + a
2
22ξ
2
yη
2
y .
Enta˜o, combinando essas duas u´ltimas expresso˜es, chegamos a:
a212 − a11a22 = a212
(
ξ2xη
2
y − 2ξxξyηxηy + ξ2yη2x
)− a11a22 (ξ2xη2y − 2ξxξyηxηy + ξ2yη2x)
= [a212 − a11a22][ξxηy − ξyηx]2
= [a212 − a11a22]
∣∣∣∣∣ξx ξyηx ηy
∣∣∣∣∣
2
= [a212 − a11a22] J2 , (1.12)
onde J = ∂(ξ,η)∂(x,y) (jacobiano da transformac¸a˜o) "= 0, o que mostra que (1.1) e´ invariante sob a
mudanc¸a de coordenadas do tipo (1.3)-(1.4).
Na transformac¸a˜o (1.3) as func¸o˜es ϕ(x, y) = ξ e ψ(x, y) = η esta˜o sujeitas a` nossa escolha
a fim de que a equac¸a˜o (1.10) tome a sua forma mais simples. Vamos mostrar que e´ poss´ıvel
7
escolheˆ-las de tal modo que uma das condic¸o˜es seguintes seja satisfeita, ou seja, vamos impor :
1) a11 = a22 = 0 e a12 "= 0 , ou
2) a11 = a12 = 0 e a22 "= 0 , ou
3) a11 = a22 "= 0 e a12 = 0 .
(1.13)
Assim, a equac¸a˜o transformada (1.10) assumira´ uma das formas mais simples (canoˆnica),
respectivamente:
2a12uξη + F (ξ, η, u, uξ, uη) = 0 , (1.14)
a22uηη + F (ξ, η, u, uξ, uη) = 0 , (1.15)
a11uξξ + a11uηη + F (ξ, η, u, uξ, uη) = 0 . (1.16)
Vamos examinar (1.14) a partir da escolha das varia´veis ξ e η tais que em (1.13) tenhamos:{
a11 = 0 = a11ξ2x + 2a12ξxξy + a22ξ
2
y = 0
a22 = 0 = a11η2x + 2a12ηxηy + a22η
2
y = 0
(1.17)
Devemos, portanto, estudar a EDP de 1 ordem do tipo:
a11Z
2
x + 2a12ZxZy + a22Z
2
y = 0 ;
(
Z =
{
ξ
η
)
(1.18)
Note que a questa˜o da escolha de novas varia´veis independentes esta´ relacionada com a soluc¸a˜o
de (1.18), pois: “seja Z = ϕ(x, y) (ou Z = ψ(x, y)) uma soluc¸a˜o particular de (1.18); enta˜o,
neste caso, os coeficientes a11 e a22 sera˜o nulos”. Para encontrar uma soluc¸a˜o particular de
(1.18) examinaremos o seguinte lema:
Lema 1 Se Z = ϕ(x, y) (ou Z = ψ(x, y)) e´ soluc¸a˜o particular de (1.18), enta˜o ϕ(x, y) =
Z = cte representa uma soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial ordina´ria
a11dy
2 − 2a12dxdy + a22dx2 = 0 . (1.19)
Demonstrac¸a˜o: Como Z = ϕ(x, y) satisfaz a (1.18), enta˜o
a11Z
2
x + 2a12ZxZy + a22Z
2
y = 0 = a11ϕ
2
x + 2a12ϕxϕy + a22ϕ
2
y ⇒
⇒ a11
(
ϕx
ϕy
)2
− 2a12
(
−ϕx
ϕy
)
+ a22 = 0 (1.20)
e´ uma identidade, por ser satisfeita para todos x e y na regia˜o onde ϕ(x, y) e´ dada. A expressa˜o
ϕ(x, y) = C so´ sera´ integral geral da equac¸a˜o (1.19) se a func¸a˜o y, determinada a partir da
relac¸a˜o impl´ıcita ϕ(x, y) = C, satisfizer a` equac¸a˜o (1.19). Seja, portanto, y = f(x,C) esta
func¸a˜o. Enta˜o,
dϕ(x, y) = dC = 0 =
∂ϕ
∂y
dy +
∂ϕ
∂x
dx , (1.21)
8
de onde temos
df
dx
=
dy
dx
= −
(
ϕx(x, y)
ϕy(x, y)
)∣∣∣∣
y=f(x,C)
= −
(
∂ϕ
∂x
)
(
∂ϕ
∂y
)
∣∣∣∣∣∣∣∣
y=f(x,C)
. (1.22)
De (1.22) segue-se que y = f(x,C) satisfaz a` equac¸a˜o (1.19), porque:
a11
(
dy
dx
)2
− 2a12
(
dy
dx
)
=
[
a11
(
ϕx
ϕy
)2
− 2a12
(
−ϕx
ϕy
)
+ a22
]∣∣∣∣∣
y=f(x,C)
= 0 , (1.23)
pois a expressa˜o entre pareˆnteses satisfaz a (1.18), isto e´: e´ nula para todos os valores de x e
y da regia˜o e na˜o somente para y = f(x,C). Assim, o Lema 1 fica demonstrado. Mostremos
que a rec´ıproca do Lema 1 e´ verdadeira.
Lema 2 Se ϕ(x, y) = cte representa a integral geral da equac¸a˜o diferencial ordina´ria (1.19),
enta˜o a func¸a˜o Z = ϕ(x, y) satisfaz a` equac¸a˜o (1.18).
Demonstrac¸a˜o: Seja ϕ(x, y) = C a soluc¸a˜o geral de (1.19). Demonstremos que:
a11ϕ
2
x + 2a12ϕxϕy + a22ϕ
2
y = 0 (1.24)
para todos x, y pertencentes ao domı´nio de definic¸a˜o de ϕ(x, y) = C. Seja (x0, y0) um
ponto arbitra´rio deste domı´nio. Passemos a soluc¸a˜o geral de (1.19) por este ponto, isto e´,
ϕ(x0, y0) = C0, e examinemos a curva y = f(x,C0) (e e´ claro que y0 = f(x0, C0)), cujos
pontos devem satisfazer a` igualdade:
a11
(
dy
dx
)2
− 2a12 dy
dx
+ a22 = a11
(
ϕx
ϕy
)2
− 2a12
(
−ϕx
ϕy
)
+ a22 = 0 . (1.25)
Supondo em (1.25) x = x0, e e´ claro, y = y0 = f(x0, C0), temos:
a11ϕ
2
x(x0, y0) + 2a12ϕx(x0, y0)ϕy(x0, y0) + a22ϕ
2
y(x0, y0) = 0 . C.Q.D. (1.26)
A equac¸a˜o (1.19) e´ chamada de equac¸a˜o caracter´ıstica da equac¸a˜o a derivadas parciais (1.1).
Escolhendo agora ξ = ϕ(x, y), de sorte que ϕ(x, y) = cte seja a integral geral de (1.19),
enta˜o o coeficiente a11 de uξξ em (1.10) sera´ nulo. Analogamente, escolhendo η = ψ(x, y)
de sorte que ψ(x, y) = cte represente outra integral geral, independente de ϕ(x, y) = cte, da
equac¸a˜o (1.19), enta˜o o coeficiente a22 de uηη em (1.10) sera´ tambe´m nulo e teremos (1.14).
Examinemos com mais detalhes a equac¸a˜o caracter´ıstica (1.19):
a11dy
2 − 2a12dxdy + a22dx2 = 0 ∴ a11
(
dy
dx
)2
− 2a12 dy
dx
+ a22 = 0 ,
ou enta˜o,
(
dy
dx
)
=
a12 ±
√
a212 − a11a22
a11
=

a12 +
√
a212 − a11a22
a11
a12 −
√
a212 − a11a22
a11
(1.27)
9
ou
(
dy
dx
)
=
a12 ±
√
∆
a11
=

a12 +
√
∆
a11
a12 −
√
∆
a11
, ∆ = a212 − a11a22 . (1.28)
Como se veˆ de (1.28), as ra´ızes da equac¸a˜o caracter´ıstica dependem do valor do discriminante
∆, que vai definir, em u´ltima ana´lise, o tipo de EDP que (1.1) representa em um dado ponto
do domı´nio de definic¸a˜o de ϕ e de ψ. Observe que ∆ = ∆(x, y) e por isso pode mudar de sinal
ou mesmo ser nulo para determinados valores de x e y. Isto significa que a equac¸a˜o (1.1) pode
ter uma classificac¸a˜o de um tipo em uma sub-regia˜o do domı´nio Γ e classificac¸a˜o de outro
tipo em outra(s) subregia˜o(o˜es) de Γ. No entanto, (1.12) assegura que (1.1) e´ invariante em
cada subdomı´nio de Γ, onde pertenc¸a a um dado tipo de classificac¸a˜o. Mais concretamente,
temos que a equac¸a˜o diferencial
a11uxx + 2a12uxy + a22uyy + b1ux + b2uy + Cu+ f︸ ︷︷ ︸
F (u,ux,uy ,f)
= 0 (1.29)
sera´, no ponto r, chamada do tipo
HIPERBO´LICO , se ∆ > 0 ou a212 − a11a22 > 0 , (1.30)
ELI´PTICO , se ∆ < 0 ou a212 − a11a22 < 0 , (1.31)
PARABO´LICO , se ∆ = 0 ou a212 − a11a22 = 0 . (1.32)
Figura 1.1: Domı´nio de definic¸a˜o de ϕ, ψ.
Suponha agoraque em Γ, na subregia˜o G1, ∆ > 0 (Figura 1.1). Enta˜o a´ı (1.29) sera´
hiperbo´lica. Na subregia˜o G2, ∆ < 0, enta˜o a´ı (1.29) sera´ el´ıptica e ao longo da curva Λ que
separa G1 e G2, ∆ = 0; enta˜o a´ı (1.29) sera´ parabo´lica. Vejamos em detalhes.
1.1 Equac¸a˜o Hiperbo´lica
Neste caso, ∆ = a212 − a11a22 > 0, e sera˜o duas as equac¸o˜es caracter´ısticas de (1.29), isto
e´:
dy
dx
=
a12 +
√
∆
a11
, (1.33)
10
e
dy
dx
=
a12 −
√
∆
a11
. (1.34)
Sejam ϕ(x, y) = C1 e ψ(x, y) = C2 suas integrais gerais, que definem famı´lias de func¸o˜es
caracter´ısticas reais. Fac¸amos agora ϕ(x, y) = ξ e ψ(x, y) = η (liberando as constantes C1 e
C2), onde ξ e η sa˜o tambe´m as novas varia´veis independentes que levadas a (1.29) anulara˜o
os coeficientes a11 e a22 em (1.10); consequ¨entemente, teremos:
uξη = Φ(ξ, η, u, uξ, uη) , onde Φ = − F2 a12 ; a12 "= 0 . (1.35)
Esta e´ chamada de primeira forma canoˆnica da equac¸a˜o hiperbo´lica.
Fac¸amos a seguinte mudanc¸a de varia´veis em (1.35):
ξ = α+ β (1.36)
η = α− β (1.37)
o que nos leva a
α =
ξ + η
2
β =
ξ − η
2
, onde α e β sa˜o novas varia´veis independentes.
Nestas varia´veis, teremos: ((ξ, η) −→ u(α,β))
uξ =
∂u
∂ξ
=
∂u
∂α
∂α
∂ξ
+
∂u
∂β
∂β
∂ξ
= uααξ + uββξ =
1
2
(uα + uβ) . (1.38)
Da mesma forma,
uη =
∂u
∂η
=
∂u
∂α
∂α
∂η
+
∂u
∂β
∂β
∂η
= uααη + uββη =
1
2
(uα − uβ) , (1.39)
e
uξη = uηξ =
∂2u
∂ξ∂η
=
∂
∂ξ
(
∂u
∂η
)
=
∂
∂ξ
(
uα − uβ
2
)
=
1
2
∂uα
∂ξ
− 1
2
∂uβ
∂ξ
=
1
2
[
∂uα
∂α
∂α
∂ξ
+
∂uα
∂β
∂β
∂ξ
− ∂uβ
∂α
∂α
∂ξ
− ∂uβ
∂β
∂β
∂ξ
]
=
1
2
[uαα
2
+
uαβ
2
− uβα
2
− uββ
2
]
,
ou
uξη =
1
4
[uαα − uββ ] . (1.40)
E ainda
F = β1uξ + β2uη + γu+ f −→ Φ1(α,β) ,
Φ1 =
β1 + β2
2
uα +
β1 − β2
2
uβ + γu+ f = Φ1(u, uα, uβ , f) . (1.41)
Finalmente:
uαα − uββ = Φ2 = 4Φ1 (1.42)
Esta e´ chamada de segunda forma canoˆnica da equac¸a˜o hiperbo´lica.
11
1.2 Equac¸a˜o Parabo´lica
Neste caso, ∆ = a212 − a11a22 = 0, as equac¸o˜es caracter´ısticas coincidem e obteremos,
consequ¨entemente, uma u´nica integral geral para a equac¸a˜o (1.19), isto e´: ϕ(x, y) = cte.
Fac¸amos, neste caso:
ξ = ϕ(x, y) , (1.43)
η = η(x, y) – func¸a˜o qualquer, independente de ϕ . (1.44)
Com esta escolha das novas varia´veis independentes, os coeficientes a11 e a12 sera˜o:
a11 = a11ξ
2
x + 2a12ξxξy + a22ξ
2
y
= a11ξ
2
x + 2
√
a12
√
a22ξxξy + a22ξ
2
y
= (
√
a11ξx +
√
a22ξy)
2 ,
a12 = a11ξxηx + a12 (ξxηy + ξyηx) + a22ξyηy
=
√
a11
√
a11ξxηx +
√
a11
√
a22 (ξxηy + ξyηx) +
√
a11
√
a22ξyηy
= (
√
a11ξx +
√
a22ξy) (
√
a11ηx +
√
a22ηy) = 0 , pois o 1 fator e´ nulo. (1.45)
O coeficiente a22 "= 0, pois η = η(x, y) e´ uma func¸a˜o arbitra´ria, sendo escolhida para na˜o
satisfazer a` equac¸a˜o caracter´ıstica (1.19), como o foi a func¸a˜o ϕ(x, y) = ξ. Desse modo, a
considerac¸a˜o (13 – 2) fica provada e apo´s a divisa˜o por a22 "= 0, a equac¸a˜o (1.29) tera´ a forma:
uηη = Φ3(ξ, η, u, uξ, uη, f)
(
Φ3 = − F
a22
)
. (1.46)
Esta e´ a forma canoˆnica da equac¸a˜o parabo´lica.
1.3 Equac¸a˜o El´ıptica
Neste caso, ∆ = a212−a11a22 < 0, e as equac¸o˜es (1.33) e (1.34) tera˜o seus membros direitos
complexos e distintos2. Seja enta˜o ϕ(x, y) = C a integral complexa de (1.33); logo:
ϕ∗(x, y) = C∗ = C2 = cte ; ϕ∗ – complexo conjugado da func¸a˜o ϕ (1.47)
devera´ representar a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o (1.34), que e´ complexa conjugada com (1.33).
Definamos aqui as varia´veis complexas
ξ = ϕ(x, y) e η = ϕ∗(x, y) , (1.48)
2 
(
dy
dx
)
1
=
a12 +
√
∆
a11
=
a12 + i
√
∆
a11(
dy
dx
)
2
=
a12 −
√
∆
a11
=
a12 − i
√
∆
a11
∴

(
dy
dx
)∗
1
=
(
dy
dx
)
2
=
(
dy
dx
)
1
()∗ = () complexo conjugado
12
que satisfazem a (1.18). Com isso a equac¸a˜o do tipo el´ıptico adquirira´ a mesma forma que a
equac¸a˜o hiperbo´lica em sua 1 forma canoˆnica (1.35), pois se anulara˜o a11 e a22, e a12 "= 0.
Para contornar as grandezas complexas que aparecem na equac¸a˜o el´ıptica, fac¸amos a
seguinte mudanc¸a de varia´veis:
α =
ξ + η
2
e β =
ξ − η
2i
, (1.49)
ξ = α+ iβ e η = α− iβ , (1.50)
pois de (1.33) e (1.34), as func¸o˜es ξ e η sa˜o complexas conjugadas: ξ∗ = η e ξ = η∗. Assim, a
primeira forma canoˆnica da equac¸a˜o el´ıptica sera´:
uξη = Φ(ξ, η, u, uξ, uη, f) Φ = − F2a12 ; a12 "= 0 . (1.51)
Apliquemos a` (1.51) a transformac¸a˜o definida em (1.50), isto e´:
uξη =
∂2u
∂η∂ξ
=
∂
∂η
(
∂u
∂ξ
)
=
∂
∂η
[
∂u
∂α
∂α
∂ξ
+
∂u
∂β
∂β
∂ξ
]
=
∂
∂η
[uααξ + uββξ] =
1
2
∂
∂η
[
uα +
uβ
i
]
=
1
2
[
∂uα
∂η
+
1
i
∂uβ
∂η
]
=
1
2
[
∂uα
∂α
∂α
∂η
+
∂uα
∂β
∂β
∂η
+
1
i
(
∂uβ
∂α
∂α
∂η
+
∂uβ
∂β
∂β
∂η
)]
=
1
4
[uαα + iuαβ − iuβα + uββ ] = 14 [uαα + uββ ] = Φ ∴
uαα + uββ = Φ1 = 4Φ (1.52)
Esta e´ a segunda forma canoˆnica da equac¸a˜o el´ıptica. Outra forma de se chegar ao mesmo
resultado e´ a seguinte:
a11ξ
2
x + 2a12ξxξy + a22ξ
2
y = a11 (αx + iβx)
2 + 2a12 (αx + iβx) (αy + iβy) + a22 (αy + iβy)
2
= α2x + 2 ia11αxβx − a11β2x + 2 a12αxαy + 2 ia12αxβy +
2 ia12βxαy − 2 a12βxβy + a22α2y + 2 ia22αyβy − a22β2y
=
[
a11α
2
x + 2 a12αxαy + a22α
2
y
]︸ ︷︷ ︸
a11
+
2i [(αxβy + βxαy) a12 + a11αxβx + a22αyβy]︸ ︷︷ ︸
a12
−
[
a11β
2
x + 2 a12βxβy + a22β
2
y
]︸ ︷︷ ︸
a22
= 0 .
13
Consequ¨entemente, para que esta expressa˜o seja nula, devemos ter:
a11 = a22 "= 0 (1.53)
e
a12 = 0 . (1.54)
Exemplos
1. Considere a equac¸a˜o: x2
∂2u
∂x2
− y2∂
2u
∂y2
= 0, (x > 0, y > 0). Determine a que tipo pertence,
encontre sua equac¸a˜o caracter´ıstica e forma canoˆnica.
Soluc¸a˜o:
1. Tipo: e´ dado pelo discriminante ∆, segundo (1.30), (1.31) e (1.32), isto e´:
∆ = a212 − a11a22 = 0− (x2)(−y2) = x2y2 > 0 ; Hiperbo´lico.
2. Equac¸a˜o Caracter´ıstica:
a11dy2 − 2a12dydx+ a22dx2 = 0 ∴
x2dy2 − 2 · 0 · dydx− y2dx2 = 0 ∴
(xdy − ydx) (xdy + ydx) = 0 =⇒
{
xdy + ydx = 0
xdy − ydx = 0
dy
y
+
dx
x
= 0
dy
y
− dx
x
= 0
=⇒
{
ln y + lnx = lnC1
ln y − lnx = lnC2
=⇒
{
ln (xy) = lnC1
ln (y/x) = lnC2
=⇒
{
xy = C1
y/x = C2
}
Integrais gerais da eq. caracter´ıstica.
As novas varia´veis e a forma canoˆnica da equac¸a˜o dada sera˜o obtidas fatorando-se:{
xy = ξ
y/x = η
.
De (1.7) e (1.9), veˆm as expresso˜es:{
uxx = uξξξ2x + 2uξηξxηx + uηηη
2
x + uξξxx + uηηxx
uyy = uξξξ2y + 2uξηξyηy + uηηη
2
y + uξξyy + uηηyy
.
Onde: {
ξx = y ∴ ξ2x = y2
ξy = x ∴ ξ2y = x2
e
{
ξxx = 0
ξyy = 0
,
14

ηx = − y
x2
∴ η2x =
y2
xy
ηy =
1
x
∴ η2y =
1
x2
e

ηxx =
2y
x3
ηyy = 0
.
Finalmente: 
uxx = y2uξξ +
y2
xy
uηη − 2y
2
x2
uξη +
2y
x3
uη
uyy = x2uξξ +
1
x2
uηη + 2uξη
x2uxx − y2uyy = −4y2uξη + 2yx uη = 0 , ou
uξη − 12xyuη = 0 =⇒ uξη −
1
2ξ
uη = 0 forma canoˆnica .
2. Considere a equac¸a˜o abaixo. Classifique-a e represente-a na forma canoˆnica.
∂2u
∂x2
− 2 sinx ∂
2u
∂x∂y
− cos2 x∂
2u
∂y2
− cosx∂u
∂y
= 0 .
Soluc¸a˜o: Vamos resolver este exemplo com todos os detalhes para que ele fique como modelo
para exerc´ıcios futuros. Em nossa notac¸a˜o, teremos:
uxx − 2 sinxuxy − cos2 xuyy − cosxuy = 0 ,
que comparada termo a termo com , isto e´, com:
a11uxx + 2a12uxy + a22uyy + b1ux + b2uy + Cu+ f = 0 ,
nos da´:
a11 = 1 , a12 = − sinx , a22 = − cos2 x ,
b1 = 0 , b2 = − cosx e c = 0 .
Poroutro lado,
ux = uξξx + uηηx ,
uy = uξξy + uηηy ,
uxx = uξξξ
2
x + 2uξηξxηx + uηηη
2
x + uξξxx + uηηxx ,
uyy = uξξξ
2
y + 2uξηξyηy + uηηη
2
y + uξξyy + uηηyy ,
uxy = uξξξxξy + uξη (ξxηy + ξyηx) + uηηηxηy + uξξxy + uηηxy .
Estas relac¸o˜es sera˜o usadas para compor a equac¸a˜o dada nas novas varia´veis: ξ e η. O tipo
da equac¸a˜o dada e´ obtido atrave´s do discriminante ∆ = a212 − a11a22, isto e´:
∆ = (− sinx)2 − 1 · (− cos2 x) = sin2 x+ cos2 x = 1 > 0 .
15
Logo, a equac¸a˜o e´ do tipo hiperbo´lico. As novas varia´veis que a expressam na forma mais
simples sa˜o obtidas da soluc¸a˜o da equac¸a˜o caracter´ıstica da equac¸a˜o dada, isto e´:
a11dy
2 − 2a12dxdy + a22dx2 = 0 , que no caso, e´:
dy2 + 2 sinxdxdy − cos2 xdx2 = 0 .
Daqui, segundo (1.33) e (1.34), as soluc¸o˜es poss´ıveis sa˜o:
dy
dx
=
a12 +
√
∆
a11
dy
dx
=
a12 −
√
∆
a11
,
as quais, para o caso acima, sera˜o:
dy
dx
= − sinx+ 1 e dy
dx
= − sinx− 1
Integrando separadamente essas duas equac¸o˜es diferenciais ordina´rias, temos:
ˆ
(dy + sinxdx− dx) = 0
ˆ
(dy + sinxdx+ dx) = 0
=⇒
{
y − cosx− x = C1
y − cosx+ x = C2
.
Relaxando as constantes C1 e C2 e identificando-as com as novas varia´veis ξ e η respectiva-
mente, vem: {
ξ = y − x− cosx
η = y + x− cosx .
Da´ı, temos:
ξx = −1 + sinx ; ξxx = cosx ; ξy = 1 ; ξyy = 0 ;
ηx = 1 + sinx ; ηxx = cosx ; ηy = 1 ; ηyy = 0 ;
ξxy = ηxy = 0 .
Vamos finalmente escrever a equac¸a˜o dada nas novas coordenadas (varia´veis).
uxx =
(
1− 2 sinx+ sin2 x)uξξ + 2 (−1 + sin2 x)uξη
+
(
1 + 2 sinx+ sin2 x
)
uηη + (cosx)uξ + (cosx)uη
−2 sinxuxy =
(
2 sinx− 2 sin2 x)uξξ
+ 2
(
sinx− sin2 x− sinx− sin2 x)uξη + (−2 sinx− 2 sin2 x)uηη
− cos2 xuyy =
(− cos2 x)uξξ + 2 (− cos2 x)uξη + (− cos2 x)uηη
− cosxuy = (− cosx)uξ + (− cosx)uη
————————————————————————————————————
0 =
(
1− sin2 x− cos2 x)uξξ + 2 (−1− sin2 x− cos2 x)uξη
+
(
1− sin2 x− cos2 x)uηη + (cosx− cosx)uξ
+ (cosx− cosx)uξ = −4uξη .
16
Logo:
uξη = 0 (primeira forma canoˆnica da equac¸a˜o hiperbo´lica)
Nota: a classificac¸a˜o das EDP’s de 2 ordem na˜o se esgota aqui. Maiores detalhes sobre a
classificac¸a˜o de equac¸o˜es do tipo (1.1) para os quais o discriminante ∆ = a212 − a11a22 muda
de sinal a` medida que x e y variam em Γ, e ainda a classificac¸a˜o para casos mais gerais onde
a equac¸a˜o dada tem n varia´veis independentes, isto e´:
n∑
i=1
n∑
j=1
aijuxiyj +
n∑
i=1
biuxi + Cu = f(x1, x2, · · · , xn) ,
podem ser encontrados em Tikhonov & Samarskii.
Para encerrar este assunto, notemos que se a equac¸a˜o (1.1) ja´ estiver expressa na forma
canoˆnica, isto e´:
uξξ + uηη + b1uξ + b2uη + Cu+ f = 0 (El´ıptica) (1.55)
{
uξη + b1uξ + b2uη + Cu+ f = 0
uξξ − uηη + b1uξ + b2uη + Cu+ f = 0
}
(Hiperbo´lica) (1.56)
uξξ + b1uξ + b2uη + Cu+ f = 0 (Parabo´lica) (1.57)
e se seus coeficientes forem constantes, enta˜o a mudanc¸a da varia´vel dependente:
u(ξ, η) = eλξ+µη v(ξ, η) (1.58)
onde λ e µ sa˜o constantes a determinar, pela imposic¸a˜o de que os termos em primeiras
derivadas sejam nulos na nova varia´vel v(ξ, η), leva (1.55)-(1.57) a`s seguintes formas canoˆnicas:
vξξ + vηη + γv + f1 = 0 (El´ıptica) (1.59){
vξη + γv + f1 = 0
vξξ − vηη + γv + f1 = 0
}
(Hiperbo´lica) (1.60)
vξξ + b2vη + f1 = 0 (Parabo´lica) (1.61)
17
1.4 Problemas
Classificac¸a˜o
1. Classifique as equac¸o˜es abaixo e escreva-as na forma canoˆnica em cada regia˜o
de seu domı´nio de definic¸a˜o onde seu tipo (classificac¸a˜o) se conserva.
1.a) (a+ x)uxx + 2xyuxy − y2uyy = 0 (Analise sua classificac¸a˜o em func¸a˜o do
paraˆmetro real a.)
1.b) uxx + yuyy = 0
1.c) uxx + yuyy +
1
2uy = 0
1.d) yuxx + xuyy = 0
1.e) y2uxx − x2uyy = 0
1.f ) x2uxx + y2uyy = 0
1.g) x2uxx + 2xyuxy + y2uyy = 0
1.h) 4y2uxx − e2xuyy − 4y2ux = 0
1.i) x2uxx + 2xyuxy − 3y2uyy − 2xux + 4yuy + 16x4u = 0
1.j ) (1 + x2)uxx + (1 + y2)uyy + xux + yuy = 0
1.l) sin2 xuxx − 2y sinxuxy + y2uyy = 0
1.m) b4 sin4 (2x+ c)uxx + 4b4 sin4 (2x+ c)uxy − uyy = 0
2. Classifique as equac¸o˜es abaixo e, com o aux´ılio da mudanc¸a da func¸a˜o depen-
dente na forma u(x, y) = v(x, y) eαx+βy, escreva-as na forma mais simples poss´ıvel.
2.a) auxx + 4auxy + auyy + bux + cuy = 0
2.b) 2auxx + 2auxy + auyy + 2bux + 2cuy + u = 0
2.c) auxx + 2auxy + auyy + bux + cuy + u = 0
18
Cap´ıtulo 2
Problemas Elementares Descritos
por EDP’s
2.1 Problemas F´ısicos Elementares Descritos por Equac¸o˜es
Hiperbo´licas
2.1.1 Pequenas Oscilac¸o˜es Transversais de uma Corda Vibrante
Definic¸a˜o: Corda vibrante e´ o fio flex´ıvel que na˜o oferece resisteˆncia a` flexa˜o mas a
oferece a` distensa˜o (≡ fio flex´ıvel, mas indistens´ıvel). Na˜o resisteˆncia a` flexa˜o significa fisica-
mente que a tensa˜o no fio e´ sempre tangente ao seu perfil instantaˆneo em qualquer ponto x
(fio disposto ao longo do eixo−x).
Examinaremos aqui somente o caso das pequenas oscilac¸o˜es da corda, cujas extremidades
esta˜o presas em O e A (veja a Figura 2.1). O seu deslocamento (afastamento) de sua posic¸a˜o
de repouso (eixo−x) sera´ representado por u(x, t). As oscilac¸o˜es da corda ocorrem somente
no plano xu.
Figura 2.1: Pequenas oscilac¸o˜es transversais.
Da hipo´tese sobre as pequenas oscilac¸o˜es,
ux =
∂u(x, t)
∂x
= lim
∆x=x2−x1→0
[u(x2, t)− u(x1, t)]
x2 − x1 ≈ lim∆x→0
∆u(x, t)
∆x
(2.1)
19
e´ muito pequeno e, consequ¨entemente, u2x(x, t) ≈ 0; da´ı, decorre que a tensa˜o T (x, t) que
aparece na corda depende do tempo t. Examinemos um pedac¸o da corda em repouso (t0 = 0)
e no instante t "= t0, delimitado por x1 e x2 (Fig. 2.1). Teremos:
– No instante t = t0 = 0.
S = x(0)2 − x(0)1 = S0 , para t = t0 = 0 . (2.2)
– No instante t "= t0.
ds2 = dx2+[u(x1 + dx, t)− u(x1, t)]2 ≈ dx2+u2xdx2 ∴ ds ≈
√
1 + u2x dx ≈ dx . (2.3)
Logo:
S =
ˆ
dS =
ˆ x2
x1
dx = x(t)2 − x(t)1 = x(0)2 − x(0)1 = S0 . (2.4)
Isto significa que, com precisa˜o de ate´ 2 grau em ux, o arco S na˜o varia com o tempo, ou seja,
a corda na˜o se distende de modo irrevers´ıvel, isto e´, aqui vale a lei de Hooke: “A deformac¸a˜o
ela´stica e´ proporcional a` forc¸a deformante aplicada”. Desse modo, temos forc¸osamente que:
T = T (x) , e na˜o T = T (x, t) . (2.5)
Como estamos interessados somente nas oscilac¸o˜es transversais, examinaremos somente a
componente vertical do vetor tensa˜o T.
(T)u = T sinα =
T∆u√
∆x2 +∆u2
=
T (∆u/∆x)√
1 + (∆u/∆x)2
≈ Tux√
1 + u2x
≈ Tux . (2.6)
Escrevamos agora a equac¸a˜o de movimento do trecho ∆x = x2 − x1, da corda considerada
aqui na˜o-homogeˆnea. A quantidade de movimento no trecho x2 − x1 e´ˆ x2
x1
ut(ξ, t)ρ(ξ) dξ (2.7)
no instante t; ρ(ξ) e´ a densidade linear de massa da corda. Examinemos a componente vertical
da corda recorrendo a` segunda lei de Newton.
Pela 2 lei de Newton, a variac¸a˜o da quantidade de movimento (no trecho x2−x1) durante
o intervalo ∆t = t2 − t1, e´ igual ao impulso das forc¸as atuantes (no caso, a forc¸a de tensa˜o
Tux (restauradora) e a forc¸a externa F (x, t), cuja densidade e´ f(x, t)), isto e´1:
ˆ x2
x1
[ut(ξ, t2)− ut(ξ, t1)] ρ(ξ) dξ =
ˆ t2
t1
[T (x2)ux(x2, τ)− T (x1)ux(x1, τ)] dτ +
ˆ t2
t1
ˆ x2
x1
f(ξ, τ) dξ dτ . (2.8)
Esta e´ a equac¸a˜o integral das pequenas oscilac¸o˜es de trecho (x2, x1) da corda vibrante.
1 ˆ
dp =
ˆ
dItensa˜o +
ˆ
dIoutras forc¸as .
20
Vamos procurar a forma diferencial da (2.8), notando que:
ut(ξ, t2)− ut(ξ, t1) ≈ utt∆t
e
T (x2)ux(x2, τ)− T (x1)ux(x1, τ) ≈ ∂
∂x
[
T (x′)ux(x′, t)
]
∆x .
Enta˜o:
ˆ x2
x1
utt(ξ, t
′)ρ(ξ) dξ∆t =
ˆ t2
t1
∂
∂x
[
T (x′)ux(x′, t)
]
dτ∆x+
ˆ t2
t1
ˆ x2
x1
f(ξ, τ) dξ dτ .
Usando aqui o teorema do valor me´dio, vem:
utt(x
′, t′)ρ(x′)∆x∆t =
∂
∂x
[
T (x′′)ux(x′′, t′′)
]
∆x∆t+f(x′′′, t′′′) ,
onde x′, x′′, x′′′ ∈ (x1, x2) e t′, t′′, t′′′ ∈ (t1, t2). Cancelando-se ∆x∆t e passando o limite
∆x→ 0 e ∆t→ 0, tem-se x′ → x′′ → x′′′ → x e t′ → t′′ → t′′′ → t ; logo:
utt(x, t)ρ(x) =
∂
∂x
[T (x)ux(x, t)] + f(x, t) (2.9)
Esta e´ a equac¸a˜o diferencial da corda vibrante.
Para pequenas oscilac¸o˜es transversais, a tensa˜o T e´ a mesma para qualquer ponto da
corda, isto e´, independe de x. Realmente, sua componente x sera´:
T cosα =
T (x)∆x√
(∆x)2 + (∆u)2
≈ T (x)√
1 + u2x
.
Portanto:
T (x2) cosα2 = T (x1) cosα1 ∴
T (x2)√
1 + u2x
=
T (x1)√
1 + u2x
,
e finalmente:
T (x2) = T (x1) = T = cte .
E assim:
utt(x, t)ρ(x) = Tuxx(x, t) + f(x, t) (2.10)
Se ρ(x) = cte, teremos:
utt = a2uxx + f(x, t)
(
f(x, t) =
f(x, t)
ρ
, a2 =
T
ρ
)
(2.11)
Os casos mais frequ¨entes de uso da equac¸a˜o da corda vibrante sa˜o da forma (2.10) e (2.11).
Os me´todos de soluc¸a˜o poss´ıveis sera˜o vistos mais tarde. Veremos agora outro problema
relacionado com as oscilac¸o˜es.
21
2.1.2 Equac¸a˜o das Pequenas Oscilac¸o˜es Longitudinais
As pequenas oscilac¸o˜es longitudinais de cordas, basto˜es, molas, etc. sa˜o descritas por uma
equac¸a˜o diferencial de derivadas parciais de 2 ordem, da func¸a˜o u(x, t) que mede o desvio de
uma sec¸a˜o reta do objeto vibrante no momento t, sabendo-se que sua posic¸a˜o no repouso e´ x.
Vamos admitir o objeto vibrante unidimensional, disposto ao longo de x, sua sec¸a˜o reta S(x),
sua densidade ρ(x) e seu mo´dulo de Young K(x) > 0. Sendo as oscilac¸o˜es supostas pequenas,
as deformac¸o˜es do objeto obedecem a` lei de Hooke.
Analisemos um trecho do basta˜o compreendido entre x e x +∆x, nos instantes t0 = 0 e
t "= t0. As coordenadas dos extremos deste trecho em t0 e t sera˜o, respectivamente,{
x e x+∆x → (t0 = 0)
x+ u(x, t) e x+∆x+ u(x+∆x, t) → (t "= t0)
(2.12)
O alongamento relativo do trecho devido a` passagem da onda longitudinal e´:
[x+∆x+ u(x+∆x, t)− (x+ u(x, t))]− (x+∆x− x)
x+∆x− x ≈ ux(x, t) +O(∆x
2) (2.13)
Fazendo-se aqui ∆x→ 0, a grandeza ux(x, t)+O(∆x2) tende a ux(x, t) no ponto x. Aplicando
ao trecho do corpo vibrante compreendido entre os pontos x1 e x2 a 2 lei de Newton, isto
e´: “a variac¸a˜o da quantidade de movimento no trecho ∆x = x2 − x1, durante o intervalo de
tempo ∆t = t2 − t1, e´ igual ao impulso das forc¸as atuantes (no caso, a tensa˜o T (x, t) e a
densidade das forc¸as externas fx(x, t))”, temos:
ˆ x2
x1
[ut(ξ, t2)− ut(ξ, t1)] ρ(ξ)S(ξ) dξ =
ˆ t2
t1
[T (x2, τ)− T (x1, τ)] dτ +
ˆ t2
t1
ˆ x2
x1
f1(ξ, τ) dξ dτ . (2.14)
Esta e´ a equac¸a˜o das pequenas oscilac¸o˜es longitudinais, na forma integral, onde T (x, t) e´ a
tensa˜o do corpo no ponto x e no instante t, que, para pequenas oscilac¸o˜es deve obedecer a` lei
de Hooke, isto e´:
T (x, t) = K(x)S(x)ux(x, t) .
Por procedimento ana´logo ao caso da sec¸a˜o 2.1.1, obteremos:
ρ(x)S(x)utt(x, t) =
∂
∂x
[K(x)S(x)ux(x, t)] + f1(x, t) (2.15)
Se
ρ(x) = ρ = cte ,
S(x) = S = cte ,
K(x) = K = cte ,
enta˜o temos:
utt(x, t) = a2uxx(x, t) + f(x, t)
(
f =
1
ρS
f1 , a
2 =
K
ρ
)
(2.16)
22
2.1.3 Equac¸o˜es da Hidrodinaˆmica e da Acu´stica
Para caracterizar o movimento dos fluidos vamos utilizar:
– a func¸a˜o vetor velocidade v no ponto (x, y, z) no instante t;
– a densidade do fluido ρ = ρ(x, y, z, t);
– a pressa˜o P , e
– a densidade das forc¸as externas aplicadas a` unidade de massa: F(x, y, z, t).
Figura 2.2: Um elemento de volume do fluido.
Examinemos um certo volume de fluido V e consideremos as forc¸as que nele atuam. Vamos
imaginar um fluido ideal (sem viscosidade ou atrito). A resultante das forc¸as de pressa˜o e´:
f(x, y, z, t) =
‹
S
P (x, y, z, t) nˆ dS , (2.17)
onde S e´ a superf´ıcie do volume V e nˆ e´ o vetor unita´rio normal externo a S. Da fo´rmula de
Gauss-Ostrogradskii, vem:
f(x, y, z, t) = −
‹
S
P (x, y, z, t) nˆdS = −
‹
S
[P cos(nˆ, i)i+ P cos(nˆ, j)j+ P cos(nˆ,k)k] dS
= −
‹
S
P cos(nˆ, i) dS
 i+
‹
S
P cos(nˆ, j) dS
 j+
‹
S
P cos(nˆ,k) dS
k

= −
˚
V
∂P
∂x
dV
 i+
˚
V
∂P
∂y
dV
 j+
˚
V
∂P
∂z
dV
k

= −
˚
V
(
∂P
∂x
i+
∂P
∂y
j+
∂P
∂z
k
)
dV
= −
˚
V
(∇P ) dV . (2.18)
23
Para calcular a acelerac¸a˜o de qualquer ponto do fluido, deve-se ter em conta que o ponto
em questa˜o esta´ em movimento; logo: x = x(t), y = y(t), z = z(t). Por isso, a acelerac¸a˜o de
um ponto (x, y, z) qualquer do l´ıquido sera´:
d
dt
v =
∂v
∂x
∂x
∂t
+
∂v
∂y
∂y
∂t
+
∂v
∂z
∂z
∂t
+
∂v
∂t
=
∂v
∂t
+ x˙
∂v
∂x
+ y˙
∂v
∂y
+ z˙
∂v
∂z
=
∂v
∂t
+ (v ·∇)v =
(
∂
∂t
+ v ·∇
)
v . (2.19)
Pela 2 lei de Newton, tem-se:
˚
V
ρ
dv
dt
dV = −
˚
V
(∇P ) dV +
˚
V
ρF dV . (2.20)
A u´ltima equac¸a˜o em (2.20) e´ a resultante das forc¸as externas atuantes em V. Por forc¸a da
arbitrariedade do volume V do fluido, a expressa˜o
˚
V
[
ρ
dv
dt
+∇P − ρF
]
dV = 0
e´ uma identidade, significando que:
ρ
dv
dt
+∇P − ρF = 0 (2.21)
ou
vt + (v ·∇)v = − 1
ρ
∇P + F . (2.22)
Esta e´ a forma de Euler; temos 3 equac¸o˜es e 5 func¸o˜es desconhecidas. Devemos procurar mais
duas equac¸o˜es para completar o sistema (5 equac¸o˜es e 5 inco´gnitas). Uma delas e´ a equac¸a˜o
da continuidade. Vamos deduzi-la.
Se no interior do volume V na˜o existem fontes nem sorvedouros do fluido, enta˜o a variac¸a˜o
da quantidade de fluido encerrado em V e´ igual ao seu fluxo (Φ) atrave´s da superf´ıcie S, isto
e´:
dM
dt
= lim
∆t→0
∆M
∆t
= −Φ . (2.23)
Esta lei de conservac¸a˜o pode ser expressa matematicamente da seguinte maneira: admi-
tamos que no instante t exista em V uma massa m do fluido e que em t + ∆t exista em V
uma massa m+∆m. A variac¸a˜o ∆m de massa so´ pode ter ocorrido por ganho de massa do
exterior de S (∆m > 0) ou por perda de massa do interior de S (∆m < 0), isto e´, pelo fluxo
atrave´s de S. Determinemos este fluxo.
So´ atravessara˜o um elemento dS de S aquelas part´ıculas contidas em um cilindro de
base dS e de comprimento ∆l = v⊥∆t, onde v⊥ e´ a componente da velocidade v me´dia do
fluido perpendicular a dS. O cilindro pode ser tanto interno quanto externo a V. Fixemo-
nos no cilindro interno. Enta˜o, o fluxo sera´ positivo (sai de V) mas a variac¸a˜o de massa
sera´ negativa (∆m < 0). Exatamente o contra´rio ocorrera´ se tomarmos o cilindro externo.
Matematicamente, temos:
∆m
∆t
= −∆Φ ; ∆Φ - fluxo elementar atrave´s de ∆S . (2.24)
24
∆Φ = −
(
∆m
∆t
)
= −
(
ρ∆S∆l
∆t
)
= −ρv⊥∆S = −ρv ·∆S , (2.25)
onde ∆S = nˆ∆S e nˆ e´ o vetor unita´rio normal (externo) a ∆S. Finalmente, fazendo ∆t→ 0,
vem:
lim
∆t→0
∆m
∆t
=
dm
dt
= −ρv · dS . (2.26)
A variac¸a˜o total de massa atrave´s de S na unidade de tempo sera´ igual ao fluxo total atrave´s
de S:
d
dt
˚
V
ρ dV = −
‹
S
ρv · dS = −
˚
V
∇ · (ρv) dV . (2.27)
Figura 2.3: Cilindros de fluxo.
Pela arbitrariedade da escolha de V no fluido, temos:
∂ρ
∂t
+ div(ρv) = 0 . (2.28)
Outra equac¸a˜o a ser adicionada e´ a de estado termodinaˆmico, que tomamos na forma:
P = f(ρ) , (2.29)
onde P e´ a pressa˜o e ρ e´ a densidade. Finalmente, temos as equac¸o˜es procuradas:
∂v
∂t
+ (v ·∇)v = − 1
ρ
∇P + F
∂ρ
∂t
+ div(ρv) = 0
P = f(ρ)
(2.30)
Vamos aplicar (2.30) ao processo de propagac¸a˜o do som, sendo o meio fluido um ga´s. Fac¸amos
as seguintes hipo´teses:
1. Forc¸as externas ausentes: F = 0.
25
2. O processo de propagac¸a˜o do som e´ adiaba´tico, logo:
P
P0
=
(
ρ
ρ0
)γ
, onde γ =
CP
CV
, (2.31)
sendo ρ0 a densidade inicial, P0 a pressa˜o inicial e CP e CV as capacidadeste´rmicas.
3. Oscilac¸o˜es do ga´s sa˜o pequenas, logo pode-se desprezar poteˆncias superiores da veloci-
dade, do gradiente de velocidade, das variac¸o˜es de densidade.
Introduzamos a grandeza:  S =
ρ− ρ0
ρ0
ρ = ρ0 (1 + S)
(2.32)
Com as hipo´teses feitas, o sistema (2.32) pode ser simplificado. Temos:
1
ρ
=
1
ρ0
1
1 + S
=
1
ρ0
(
1− S + S2 − S3 + S4 + . . .) ≈ 1
ρ0
(1− S) (2.33)
P = P0
(
ρ
ρ0
)γ
= P0 (1 + S)
Γ ≈ P0 (1 + γS) (2.34)
1
ρ
∇P ≈ 1
ρ0
(1− S)∇ [P0 (1 + γS)] ≈ P0γ
ρ0
∇S , se ρ0 = cte (2.35)
div(ρv) = ρ0 div [(1 + S)v] = ρ0 div(v) + ρ0 div(Sv) ≈ ρ0 div(v) , (2.36)
se ρ0 = cte. Substituindo esses resultados em (2.30), vem:
∂v
∂t
+
1
ρ0
1
1 + S
∇P = 0
∂
∂t
[ρ0 (1 + S)] + div [ρ0 (1 + S)v] = 0
P = f(ρ) = P0
(
ρ
ρ0
)γ ∴

vt +
γP0
ρ0
∇S = 0
ρ0 St + ρ0 divv = 0
P = f(ρ) = P0
(
ρ
ρ0
)γ

vt +
γP0
ρ0
∇S = 0
ρ0 St + ρ0∇ · v = 0
∴

vt + a2∇S = 0
St +∇ · v = 0
; a2 =
γ P0
ρ0
(2.37)
Aplicando a` 1 equac¸a˜o de (2.37) o operador ∇ e a` 2 equac¸a˜o de (2.37) o operador ∂
∂t
= ∂t,
temos, apo´s eliminar os termos comuns:
Stt = a2∇2S (2.38)
Da definic¸a˜o de S = S(x, y, z, t) =
ρ− ρ0
ρ0
; ρ0 = cte, vem:
ρtt = a2∇2ρ (2.39)
26
Igualmente, da definic¸a˜o de P = P0
(
ρ
ρ0
)γ
, vem:
Ptt = a2∇2P (2.40)
As equac¸o˜es (2.38), (2.39) e (2.40) sa˜o conhecidas como equac¸o˜es da acu´stica.
Potencial de Velocidades
Uma vez que na˜o existem fontes ou sorvedouros do fluido na regia˜o em ana´lise, podemos
esperar que o campo de velocidades v(x, y, z, t) possa ser descrito atrave´s de um potencial de
velocidades. Para procura´-lo, vamos determinar v a partir da 1 equac¸a˜o de (2.37)
∂v
∂t
= −a2∇S ∴ v(x, y, z, t) = v0(x, y, z, 0)− a2∇
(ˆ t
0
S dt
)
,
onde v0(x, y, z, 0) e´ a distribuic¸a˜o de velocidades inicial. Se v(x, y, z, t) prove´m de um poten-
cial de velocidades, enta˜o temos:
v(x, y, z, t)|t=0 = −∇f(x, y) = v0(x, y, z, 0) .
Enta˜o:
v(x, y, z, t) = −∇
[
f(x, y, z) + a2
ˆ t
0
S dt
]
= −∇u(x, y, z, t) , (2.41)
pois ∇×v = −∇×∇u = 0 (auseˆncia de fontes e sorvedouros) e u e´ o potencial procurado e
que deve ser suficiente para descrever todo o processo de oscilac¸o˜es nos fluidos. Assim, temos
o sistema: 
v(x, y, z, t) = −∇u(x, y, z, t)
vt(x, y, z, t) + a2∇S = 0
St(x, y, z, t) +∇ · v(x, y, z, t) = 0
(2.42)
Da 1 e da 2 equac¸o˜es, vem:
−vt = −∂v
∂t
= +
∂
∂t
(∇u) = +∇ut
+vt = −a2∇S
=⇒ ∇ut − a2∇S = 0
∇ (ut − a2S) = 0 ∴ S = 1
a2
ut ∴ St =
1
a2
utt
∇ · v =∇ · (−∇u) = −∇2u
St =
1
a2
utt
St +∇ · v = 1
a2
utt −∇2u = 0 ∴ a2∇2u = utt
27
2.1.4 Equac¸o˜es dos Campos Ele´trico e Magne´tico (va´cuo)
Das equac¸o˜es de Maxwell no va´cuo, isto e´:
∇×E = −∂B
∂t
∇ ·E = 0
∇ ·B = 0
∇×B = /0µ0∂E
∂t
(2.43)
Aplicando ∇× e ∂/∂t a` 1 e a` 4 equac¸o˜es respectivamente e eliminando os termos seme-
lhantes surgidos, vem:
∇× (∇×E) = −∇× ∂B
∂t
= − ∂
∂t
(∇×B) = − ∂
∂t
(
/0µ0
∂E
∂t
)
= −/0µ0∂
2E
∂t2
e
∇× (∇×E) =∇ (∇ ·E)︸ ︷︷ ︸
=0
− (∇ ·∇)E = −∇2E . (veja a 2 equac¸a˜o)
Finalmente, temos:
∇2E = /0µ0∂
2E
∂t2
(2.44)
Esta e´ a equac¸a˜o para o campo ele´trico no va´cuo.
A equac¸a˜o de B no va´cuo se obte´m de modo ana´logo, aplicando ∇× e ∂/∂t a` 4 e a`
1 equac¸o˜es respectivamente, isto e´:
∇× (∇×B) = −∇×
(
/0µ0
∂E
∂t
)
= /0µ0
∂
∂t
(∇×E) = /0µ0 ∂
∂t
(
−∂B
∂t
)
= −/0µ0∂
2B
∂t2
e
∇× (∇×B) =∇ (∇ ·B)︸ ︷︷ ︸
=0
− (∇ ·∇)B = −∇2B . (veja a 3 equac¸a˜o)
Finalmente, temos:
∇2B = /0µ0∂
2B
∂t2
(2.45)
Esta e´ a equac¸a˜o para o campo magne´tico no va´cuo.
2.2 Problemas F´ısicos Elementares Descritos por Equac¸o˜es
Parabo´licas
Os fenoˆmenos mais frequ¨entemente encontrados sa˜o os processos de transfereˆncia de calor
e de difusa˜o.
28
2.2.1 Propagac¸a˜o Linear do Calor (Caso Unidimensional)
Vejamos um caso bastante ideal! Seja uma haste retil´ınea uniforme de comprimento l e
sec¸a˜o reta S = cte, com os lados (laterais) termicamente isolados e ainda suficientemente fina
para que em qualquer instante t a temperatura de qualquer sec¸a˜o reta seja constante.
Se as extremidades da haste forem mantidas a`s temperaturas u1 = cte e u2 = cte, enta˜o
ao longo da haste estabelecer-se-a´ uma distribuic¸a˜o linear de temperatura (caso estaciona´rio):
u(x) = u1 +
u2 − u1
l
x . (2.46)
Estabelece-se um fluxo de calor q, da extremidade mais quente para a extremidade mais fria
da haste.
Figura 2.4: Haste com extremidades isoladas.
A quantidade de calor que atravessa a sec¸a˜o reta da haste de a´rea S, na unidade de tempo,
e´ dada pela lei emp´ırica devida a Fourier:
Q = −k u2 − u1
l
S ⇒ Q
S
= −k ∂u
∂x
= q ∴ q = −k ∂u
∂x
xˆ , (2.47)
onde k e´ o coeficiente de conduc¸a˜o te´rmica.
Vejamos agora um caso menos ideal, ainda que unidimensional. Seja uma haste qualquer
de sec¸a˜o reta S(x) e de constante de conduc¸a˜o te´rmica k(x), disposta ao longo do eixo-x,
e com superf´ıcie lateral termicamente isolada. A haste e´ suposta suficientemente fina, de
sorte que a temperatura em qualquer sec¸a˜o reta S(x) pode ser considerada constante, em
dado instante t. O processo de propagac¸a˜o na haste pode ser descrito pela temperatura (da
haste) em cada ponto x e em cada instante t, isto e´, pela func¸a˜o u(x, t) – temperatura. Para
determinar a equac¸a˜o que descreve o fenoˆmeno, devemos observar o balanc¸o te´rmico em um
trecho arbitra´rio da haste durante um certo intervalo de tempo ∆t, no qual admitiremos a
existeˆncia dos seguintes eventos:
1. Presenc¸a de fontes de calor cuja densidade em cada ponto x e instante t e´ F (x, t).
Estas fontes ou sorvedouros podem ser de origem ele´trica (corrente), qu´ımica (reac¸o˜es),
radiativa, etc.
2. Variac¸a˜o da temperatura em cada ponto do trecho durante o intervalo de tempo ∆t =
t2 − t1.
3. Fluxo de calor para fora (ou para dentro) do trecho em estudo (dado pela lei de Fourier).
O evento 1 fornece (absorve) a quantidade de calor ∆Q1, onde dQ1 = S(x)F (x, t)dx dt.
∆Q1 =
ˆ t2
t1
ˆ x2
x1
S(ξ)F (ξ, η) dξ dη . (2.48)
29
O evento 2 gasta, para aumentar a temperatura do trecho estudado em ∆u, a quantidade de
calor ∆Q2, isto e´: dQ2 = c(x)m∆u. Logo:
∆Q2 =
ˆ x2
x1
c(x)ρ(x)S(x) [u(x, t2)− u(x, t1)] dx , (2.49)
onde:
c(x) – capacidade te´rmica espec´ıfica (da amostra).
m – massa do trecho (da amostra).
ρ(x) – densidade do corpo (da amostra).
dV = S(x) dx – volume elementar da amostra.
O evento 3 representa a quantidade de calor ∆Q3 cedida (adquirida) pelo trecho atrave´s do
fluxo te´rmico, isto e´, fluxo que ocorre segundo a lei de Fourier:
Se a temperatura u(x, t) de um corpo na˜o for uniforme, enta˜o nele aparece(m)
fluxo(s) te´rmico(s) dirigido(s) da(s) regia˜o(o˜es) de temperatura(s) mais elevada(s)
para regia˜o(o˜es) de temperatura(s) mais baixa(s), e que sa˜o proporcionais ao gra-
diente de temperatura local.
Para o caso da haste, temos que a quantidade de calor que atravessa a sec¸a˜o reta S(x) no
ponto x, no intervalo de tempo ∆t = t2 − t1 e´ igual a2:
dQ3 = qS(x) · n dt
q = −k(x)∂u
∂x
xˆ
. (2.50)
Enta˜o:
dQ3 = −S(x)k(x)∂u
∂x
dt . (2.51)
Daqui, vem:
dQ3 =
ˆ
“fluxo atrave´s de S(x2)” +
ˆ
“fluxo atrave´s de S(x1)” ,
isto e´:
dQ3 = −
ˆ t2
t1
[(
S(x2)k(x2)
∂u(x2, τ)
∂x
)
−
(
S(x1)k(x1)
∂u(x1, τ)
∂x
)]
dτ . (2.52)
Pela lei de conservac¸a˜o da energia te´rmica, a quantidade de calor necessa´ria para variar a
temperatura em ∆u (∆Q2) e´ igual a` soma das quantidades de calor devido a fontes (∆Q1) e
devido a fluxos (−∆Q3). Logo:
∆Q2 = ∆Q1 −∆Q3 (2.53)
2Fluxo decalor : e´ definido como a quantidade de calor que atravessa a unidade de a´rea (sec¸a˜o reta) na
unidade de tempo.
30
ou
ˆ x2
x1
c(x)S(x) [u(x, t2)− u(x, t1)] dx =
ˆ t2
t1
ˆ x2
x1
F (ξ, η)S(ξ) dξ dη+
ˆ t2
t1
[
S(x2)k(x2)
∂u(x2, τ)
∂x
− S(x1)k(x1)∂u(x1, τ)
∂x
]
dτ . (2.54)
Esta e´ a forma integral da equac¸a˜o da conduc¸a˜o de calor (unidimensional). A forma diferencial
sera´ obtida utilizando-se o teorema do valor me´dio em (2.54):
c(x′)ρ(x′)S(x′)
∂u(x′, t′)
∂t
∆x∆t =
∂
∂x
[
S(x′′)k(x′′)
∂u(x′′, t′′)
∂x
]
∆x∆t+ S(x′′′)F (x′′′, t′′′)∆x∆t .
Fazendo aqui ∆x → 0 e ∆t → 0, enta˜o x′, x′′, x′′′ → x e ainda t′, t′′, t′′′ → t, teremos
finalmente:
c(x)ρ(x)S(x)ut =
∂
∂x
(S(x)k(x)ux(x, t)) + S(x)F (x, t) (2.55)
Esta e´ a forma diferencial da equac¸a˜o de conduc¸a˜o de calor. Se a sec¸a˜o reta da haste for
constante, S(x) = cte:
c(x)ρ(x)ut =
∂
∂x
(k(x)ux(x, t)) + F (x, t) (2.56)
ou
c(x)ρ(x)S(x)
∂u
∂t
=
∂
∂x
(
k(x)
∂u
∂x
)
+ F (x, t) (2.57)
que e´ a equac¸a˜o da conduc¸a˜o de calor em uma dimensa˜o.
Casos Particulares
A – Haste homogeˆnea: k = cte, c(x) = cte, ρ = cte. Enta˜o, segue-se que:
ut = a2uxx + f(x, t) ∴ a2 =
k
ρc
, f(x, t) =
F (x, t)
ρc
(2.58)
B – Densidade das fontes (ou de sorvedouros) de calor pode depender da tem-
peratura u(x, t). Isto pode ocorrer quando existe troca de calor entre a haste e o meio
envolvente. Seja esta troca uma perda de calor da haste. Newton descobriu que:
Lei de Newton: A quantidade de calor perdida pela haste por unidade de
comprimento e de tempo e´ dada pela seguinte relac¸a˜o:
F0(x, t) = h [u(x, t)−Θ(x, t)] , (2.59)
onde Θ(x, t) e´ a temperatura do meio envolvente e h e´ o coeficiente de troca
de calor.
31
Assim, a densidade de fontes deve ser escrita como:
F (x, t) = F1(x, t)− F0(x, t) = F1(x, t)− h [u(x, t)−Θ(x, t)] . (2.60)
A densidade de outras fontes de calor e´ representada por F1(x, t). Se a haste for agora
homogeˆnea, teremos:
ut = a2uxx − αu+ f1(x, t) ∴

a2 =
h
ρc
,
f1(x, t) = αΘ(x, t) +
F1(x, t)
ρc
(2.61)
C – Grandes variac¸o˜es da temperatura:
As equac¸o˜es (2.55) – (2.61) so´ sa˜o verdadeiras para pequenas variac¸o˜es da temperatura
u(x, t). Realmente, quando ocorrem grandes variac¸o˜es da temperatura, a densidade
do corpo (haste) ρ(x) passa a depender da temperatura, isto e´: ρ = ρ(x, u), o mesmo
acontecendo com os outros coeficientes c = c(x, u) e k = k(x, u).
Estes novos valores dos coeficientes acima devem ser introduzidos nas equac¸o˜es da
conduc¸a˜o te´rmica unidimensional, isto e´:
∂
∂x
[
k(x, u)
∂u
∂x
]
+ F (x, t) = c(x, u)ρ(x, u)
∂u
∂t
(2.62)
Esta e´ a equac¸a˜o na˜o-linear da conduc¸a˜o te´rmica. A soluc¸a˜o desta equac¸a˜o foge ao
escopo de nosso curso.
2.2.2 Propagac¸a˜o do calor no espac¸o
A propagac¸a˜o do calor no espac¸o e´ caracterizada pela func¸a˜o temperatura u(x, y, z, t).
Se u(x, y, z, t) na˜o for a mesma em todo o corpo, surgira˜o fluxos de calor das regio˜es mais
aquecidas para as menos aquecidas (supondo o meio isotro´pico), e que obedecem lei de Fourier.
Examinemos dentro do meio um certo volume V limitado pela superf´ıcie S. Seja ρ(x, y, z)
a sua densidade, k(x, y, z) o seu coeficiente de conduc¸a˜o te´rmica e finalmente, seja c(x, y, z)
sua capacidade te´rmica espec´ıfica.
Figura 2.5: Volume V delimitado pela superf´ıcie S
Seja dS um elemento da superf´ıcie S cuja normal n no ponto P (ξ, η, ζ) ∈ S e´ dirigida para
fora. Neste caso, o fluxo de calor, isto e´, a quantidade de calor que atravessa dS na unidade
32
de tempo, de acordo com a lei de Fourier, e´:
qndS = (q · n) dS = −k ∂u
∂n
dS , (2.63)
onde:
qn – componente normal da densidade do fluxo
∂u
∂n
– gradiente de temperatura, ou seja:
∂u
∂n
=
∂u
∂x
cos (n, xˆ) +
∂u
∂y
cos (n, yˆ) +
∂u
∂z
cos (n, zˆ)
=
∂u
∂x
(n · xˆ) + ∂u
∂y
(n · yˆ) + ∂u
∂z
(n · zˆ)
= n ·
(
xˆ
∂u
∂x
)
+ n ·
(
yˆ
∂u
∂y
)
+ n ·
(
zˆ
∂u
∂z
)
= n ·
(
xˆ
∂
∂x
+ yˆ
∂
∂y
+ zˆ
∂
∂z
)
u
= n ·∇u . (2.64)
Desse modo, teremos em (2.63):
qndS = (q · n) dS = −k ∂u
∂n
dS = −k n ·∇udS , (2.65)
onde
q = −k∇u (2.66)
e´ o vetor densidade de fluxo de calor (lei de Fourier).
Se o meio for isotro´pico, enta˜o k e´ um escalar (func¸a˜o de x, y, z e possivelmente tambe´m
de t) e se o meio for anisotro´pico, enta˜o k tera´ diferentes valores para diferentes componentes
do vetor q, isto e´, sera´ um tensor e a lei de Fourier tera´ portanto a forma:
qi = −κij ∂u
∂xj
(2.67)
Examinaremos somente meios isotro´picos, para os quais deduziremos a equac¸a˜o da conduc¸a˜o
do calor no espac¸o por racioc´ınio ana´logo ao usado no caso unidimensional. Assim, o balanc¸o
de energia te´rmica no volume arbitra´rio V durante ∆t = t2 − t1, sera´ ∆Q2 = ∆Q1 −∆Q3.˚
V
cρ [u(P, t2)− u(P, t1)] dVP = −
ˆ t2
t1
‹
qn dS dt+
ˆ t2
t1
˚
V
F (P, t) dVp dt . (2.68)
Esta e´ a forma integral da equac¸a˜o da conduc¸a˜o do calor no espac¸o. P = P (ξ, η, ζ) e´ o ponto
de integrac¸a˜o onde dVP = dξ dη dζ. Pore´m, usando o teorema de Gauss-Ostrogradskii:‹
qndS =
‹
(q · n) dS =
˚
V
(div q) dVP (2.69)
33
e ˚
V
cρ [u(P, t2)− u(P, t1)] dV =
˚
V
cρ
∂u
∂t
dVR∆t . (2.70)
Logo: ˚
V
cρ
∂u
∂t
dVR∆t = −
ˆ t2
t1
˚
V
(∇ · q) dVP dt+
ˆ t2
t1
˚
V
F (P, t) dVP dt ,
ou
˚
V
cρ
∂u
∂t
dVR∆t = −
ˆ t2
t1
˚
V
∇ · [k(P )∇u(P, t)] dVP dt+
ˆ t2
t1
˚
V
F (P, t) dVP dt .
Usando aqui o teorema do valor me´dio, vem apo´s o processo limite de ∆V → 0 e ∆t→ 0:
cρ
∂u
∂t
= ∇ · [k∇u] + F (2.71)
Esta e´ a equac¸a˜o da conduc¸a˜o do calor no espac¸o. Se o meio for homogeˆneo, isto e´: k = cte,
ρ = cte, temos:
ut = a2∇2u+ f , a2 = k
ρc
. (2.72)
2.2.3 Equac¸a˜o da difusa˜o
E´ o processo de propagac¸a˜o de uma grandeza f´ısica (mole´culas, neˆutrons, fo´tons) atrave´s
de um certo meio (fluido, l´ıquido, material opaco, etc.), sem as caracter´ısticas das ondas.
Exemplos: fumac¸a do cigarro no ar, gota de anilina em a´gua, neˆutrons em um reator, luz em
um vidro fosco, etc. . . A difusa˜o ocorre sempre de regio˜es de maior concentrac¸a˜o para as de
menor concentrac¸a˜o atrave´s de fluxos.
Φ =
“coisa”
∆t
.
Seja J a densidade de corrente da “coisa”,
J =
“coisa”
∆S∆t
,
e u(x, y, z, t) a sua concentrac¸a˜o, isto e´, densidade volume´trica:
u =
“coisa”
∆V
.
Tomemos um volume arbitra´rio V do meio, sendo S sua fronteira. Seja dS uma certa a´rea
elementar no ponto P (ξ, η, ζ) com normal nˆ. A quantidade de “coisa” que atravessa dS na
unidade de tempo e´ dada, de acordo com a lei de Fick, por
Jn dS = J · nˆ dS = −D ∂u
∂n
dS = −D nˆ · (∇u) dS ,
ou
J = −D∇u . (2.73)
34
onde D e´ o coeficiente de difusa˜o.
Supondo que na˜o existem fontes nem sorvedouros da “coisa” em difusa˜o, deve haver uma
equac¸a˜o da continuidade, isto e´:
∂u
∂t
+ div J = 0 . (2.74)
Combinando (2.73) e (2.74), vem
∂u
∂t
= D∇2u (2.75)
que e´ a equac¸a˜o da difusa˜o para D = cte, e
∂u
∂t
=∇ · (D∇u) (2.76)
que e´ a equac¸a˜o da difusa˜o para D varia´vel. Caso haja criac¸a˜o ou aniquilac¸a˜o da “coisa”,
vem:
∂u
∂t
+ div J = S (2.77)
e
∂u
∂t
=∇ · (D∇u) + S (2.78)
onde S e´ a densidade volume´trica das fontes/sorvedouros.
Caso na˜o haja criac¸a˜o ou aniquilamento da grandeza em processo de difusa˜o, S representa
ou fontes de criac¸a˜o (S > 0) ou de aniquilac¸a˜o (S < 0).
Se u(x, y, z, t) mede a concentrac¸a˜o de certo material f´ıssil, enta˜o a densidade das fontes
sera´ proporcional a u, isto e´:
S = αu (2.79)
O sinal de α sera´ negativo se u medir a concentrac¸a˜o do material f´ıssil (esta diminui com o
tempo) e sera´ positivose umedir a concentrac¸a˜o de neˆutrons livres criados pela partic¸a˜o de
nu´cleons, como acontece nas reac¸o˜es nucleares em cadeia. Sua concentrac¸a˜o deve portanto
aumentar com o tempo. Isto significa que α > 0.
2.3 Problemas F´ısicos Elementares Descritos por Equac¸o˜es
El´ıpticas
2.3.1 Processos Estaciona´rios
Todos os fenoˆmenos elementares ate´ aqui discutidos, independentemente de sua natureza e
da equac¸a˜o que o descreve no estado na˜o-estaciona´rio sera˜o, no estado estaciona´rio, descritos
por equac¸o˜es el´ıpticas, uma vez que as derivadas temporais sera˜o nulas.
Ex.:
∂u
∂t
= D∇2u+ αu = 0 ∴ ∇2u+ α
D
u = 0 .
35
2.3.2 Processos Perio´dicos
Neste caso, a dependeˆncia temporal pode ser representada por eiωt (ω = 2pi/T – frequ¨eˆncia
angular; T – per´ıodo) e as grandezas procuradas tera˜o, nos processos ate´ aqui estudados, a
seguinte forma:
u(x, y, z, t) = v(x, y, z) eiωt , (2.80)
o que possibilita trabalhar somente com grandezas espaciais (x, y, z), como nos exemplos que
se seguem.
Ex.: Oscilac¸o˜es forc¸adas sob a ac¸a˜o de forc¸as perio´dicas externas.
∇2u = 1
a2
utt − F (x, y, z)e
iω t
a2
=⇒ u = v eiω t =⇒
=⇒ ∇2v(x, y, z) + k2v(x, y, z) = −F (x, y, z)
a2
; k =
ω
a
. (2.81)
As equac¸o˜es do tipo (2.81) sa˜o conhecidas como equac¸o˜es de Helmholtz (na˜o-homogeˆnea).
2.3.3 Fenoˆmenos F´ısicos (dependentes ou na˜o do tempo) Descritos por
Equac¸o˜es do Tipo Poisson e Helmholtz
∇2u = −ρ equac¸a˜o de Poisson (2.82)
∇2u+ k2u = −ρ equac¸a˜o de Helmholtz (2.83)
2.3.4 Equac¸a˜o da Sondagem Ele´trica
O problema consiste em aplicar a um semi-espac¸o homogeˆneo, infinito e isotro´pico uma
corrente ele´trica de intensidade I, para medir o potencial ele´trico gerado por estas cargas,
deslocando-se no interior do semi-espac¸o. A corrente I e´ por hipo´tese ou cont´ınua ou de
frequ¨eˆncia desprez´ıvel.
Figura 2.6:
Admitindo a inexisteˆncia de fontes ou sorvedouros de cargas no semi-espac¸o, deve ser
satisfeita a equac¸a˜o da continuidade:
∂ρ
∂t
+ div J = 0 (2.84)
36
e tambe´m a lei de Ohm:
J = σE = −σ∇ϕ . (2.85)
Enta˜o, segue que:
∂ρ
∂t
−∇ · (σ∇ϕ) = 0 . (2.86)
Notando que no caso acima a densidade de carga e´ dada por:
ρ(x, y, z, t) = −e(t)δ(r− r′) (2.87)
e que, portanto,
∂ρ
∂t
= −e
t
δ(r− r′) = −Iδ(r− r′) , (2.88)
vem:
∇ · (σ∇ϕ) = −Iδ(r− r′) (2.89)
Se σ = cte (σ e´ a condutividade do meio), vem:
∇2ϕ = − I
σ
δ(r− r′) (2.90)
As equac¸o˜es (2.89) e (2.90) determinam o potencial ϕ gerado por uma fonte (eletrodo) de
corrente localizada no ponto r′ da superf´ıcie do solo que se quer pesquisar. As variac¸o˜es do
potencial ϕ em meios geolo´gicos podem determinar a presenc¸a de jazidas minerais no subsolo
e que representem interesse.
Encerramos neste ponto esta fase de deduc¸a˜o e criac¸a˜o de um acervo de fenoˆmenos f´ısicos
elementares descritos por equac¸o˜es diferenciais parciais lineares de 2 ordem. A etapa seguinte
sera´ a busca das soluc¸o˜es das EDP’s pelos me´todos mais difundidos.
2.4 Formulac¸a˜o ou Colocac¸a˜o Matema´tica de um Problema
Para resolver um problema qualquer da F´ısica ou de outro ramo da Cieˆncia por me´todos
matema´ticos, e´ necessa´rio, antes de mais nada, formular ou colocar matematicamente o pro-
blema, ou seja:
1. Escrever a equac¸a˜o (ou sistema de equac¸o˜es) a que deve satisfazer a func¸a˜o procurada
(ou sistema de func¸o˜es procuradas) que descreve (ou descrevem) o fenoˆmeno em estudo;
2. escrever as condic¸o˜es complementares a que a func¸a˜o procurada (ou sistema de func¸o˜es
procuradas) deve (ou devem) satisfazer.
Se nas condic¸o˜es complementares a varia´vel envolvida for o tempo t, devera˜o ser conhecidos
os valores que a func¸a˜o procurada (ou sistema de func¸o˜es procuradas) assume(m) no instante
em que se inicia a contagem do tempo (t = t0). teremos enta˜o as condic¸o˜es iniciais do
problema.
Se nas condic¸o˜es complementares forem conhecidos os valores que a func¸a˜o procurada (ou
sistema de func¸o˜es procuradas) assume(m) ou enta˜o o(s) seu(s) gradiente(s) ou ainda a com-
binac¸a˜o linear dos valores da(s) func¸a˜o(o˜es) e de seu(s) gradiente(s) na fronteira do domı´nio
de definic¸a˜o da(s) varia´vel(eis) espacial(is), para qualquer t, teremos enta˜o as chamadas
condic¸o˜es na fronteira ou valores de contorno.
37
A maioria dos problemas que estudaremos tera˜o treˆs varia´veis espaciais e o tempo, como
varia´veis independentes. A soluc¸a˜o do problema so´ estara´ univocamente determinada para
estas varia´veis da func¸a˜o procurada se o problema for corretamente formulado, isto e´, se tiver-
mos as equac¸o˜es que descrevem o fenoˆmeno, juntamente com as condic¸o˜es complementares.
Seja u(r, t) a func¸a˜o procurada, onde r e´ um ponto do espac¸o (tridimensional, bidimen-
sional ou unidimensional) e t o tempo. Os tipos mais encontrados de valores de contorno da
func¸a˜o u(r, t) sa˜o:
1. u(r, t)|S = µ(r, t) – descreve sistemas f´ısicos sem interac¸a˜o direta com o meio externo.
2.
∂u(r, t)
∂n
∣∣∣∣S = ν(r, t) – descreve sistemas f´ısicos que interagem com o meio externo atrave´s
de fluxos ou forc¸as.
3.
(
∂u(r, t)
∂n
+ hu(r, t)
)∣∣∣∣S = β(r, t) – descreve sistemas f´ısicos sem e com interac¸a˜o direta
com o meio exterior.
Aqui, S e´ a “superf´ıcie” que delimita o volume V onde a func¸a˜o u esta´ definida, isto e´, o
contorno ou fronteira do domı´nio. Observe que estas condic¸o˜es de contorno sa˜o lineares em
relac¸a˜o a` func¸a˜o u(r, t). Se as func¸o˜es µ(r, t), ν(r, t) e β(r, t) na˜o forem nulas, as condic¸o˜es
de contorno listadas acima sa˜o chamadas heterogeˆneas; caso contra´rio, sa˜o homogeˆneas.
Vamos postular que estamos estudando eventos f´ısicos descritos por equac¸o˜es do tipo:
Equac¸a˜o hiperbo´lica:
∇ · [k(r)∇u(r, t)]− q(r)u(r, t) + f(r, t) = ρ(r)utt(r, t) (2.91)
Equac¸a˜o parabo´lica
∇ · [k(r)∇u(r, t)]− q(r)u(r, t) + f(r, t) = ρ(r)ut(r, t) (2.92)
Equac¸a˜o el´ıptica
∇ · [k(r)∇u(r)]− q(r)u(r) = −f(r, t) (2.93)
As vantagens de escrevermos (2.91)–(2.93) sera˜o vistas mais tarde, no Problema de Sturm-
Liouville.
Vamos escrever como exemplo a formulac¸a˜o matema´tica de um fenoˆmeno descrito por
uma equac¸a˜o hiperbo´lica, com condic¸o˜es iniciais dadas e com valores de contorno do tipo 1.
∇ · [k(r)∇u(r, t)]− q(r)u(r, t) + f(r, t) = ρ(r)utt(r, t)
u(r, 0) = ϕ(r)
ut(r, 0) = ψ(r)
}
condic¸o˜es iniciais
u(r, t)|S = µ(r, t) , t > 0
(2.94)
Observe que u(r, 0) = ϕ(r) da´ a distribuic¸a˜o de u(r, t) em t = 0 e ut(r, 0) = ψ(r) da´ a
sua taxa de variac¸a˜o temporal.
38
Se o problema f´ısico for descrito por uma equac¸a˜o parabo´lica, nas condic¸o˜es iniciais na˜o
aparecera´ ut(r, 0) = ψ(r) e na˜o havera´ condic¸o˜es iniciais se o problema for descrito por
uma equac¸a˜o do tipo el´ıptico. De maneira ana´loga se coloca matematicamente os problemas
envolvendo as condic¸o˜es de contorno 2 e 3.
As treˆs possibilidades de valores de contorno dadas em 1, 2 e 3 podem ser escritas em
uma forma compacta, isto e´: {
γ1(r)
∂u
∂n
+ γ2(r)u
}∣∣∣∣S = λ(r, t) (2.95)
Realmente, se:
γ1 ≡ 0 e γ2 "= 0 e λ
γ2
= µ, teremos 1.
γ2 ≡ 0 e γ1 "= 0 e λ
γ1
= µ, teremos 2.
γ1 "= 0 e γ2 "= 0 e λ
γ1
= β e
γ2
γ1
= ζ, teremos 3.
Os problemas que descrevem regimes permanentes na˜o possuem condic¸o˜es iniciais e sa˜o
conhecidos como problemas sem condic¸o˜es iniciais.
Os problemas que envolvem pequeno lapso de tempo ou cujo domı´nio de definic¸a˜o espacial
e´ infinitamente grande, na˜o possuem condic¸o˜es de contorno e sa˜o conhecidos como problemas
de Cauchy. Tem-se ainda na literatura da f´ısica matema´tica as seguintes condic¸o˜es:
– Condic¸a˜o de Dirichlet: γ1 = λ = 0 ou u(r, t)|S = 0.
– Condic¸a˜o de Neumann: γ2 = λ = 0 ou
∂u(r, t)
∂n
∣∣∣∣S = 0.
39
40
Cap´ıtulo 3
Me´todos de Soluc¸a˜o das Equac¸o˜esda F´ısica Matema´tica
Existem va´rios me´todos de soluc¸a˜o das EDP’s da F´ısica Matema´tica, mas no´s nos restrin-
giremos a alguns deles, os mais difundidos, como:
a) Me´todo da Separac¸a˜o de Varia´veis (ou de Fourier)
b) O Me´todo da Func¸a˜o de Green
c) O Me´todo Variacional
d) O Me´todo das Perturbac¸o˜es
3.1 Me´todo da Separac¸a˜o de Varia´veis (ou de Fourier)
A principal proposta deste me´todo e´ procurar a soluc¸a˜o u(r, t) do problema em estudo
(equac¸a˜o + condic¸o˜es complementares) como o produto de func¸o˜es das varia´veis independen-
tes. Considerando r um ponto do espac¸o e t o tempo, teremos:
u(r, t) = R(r)T (t) . (3.1)
Se por seu turno desejarmos (e se for necessa´rio) separar as varia´veis espaciais, isto e´, se
r = r(x, y, z), vem:
R(r) = X(x)Y (y)Z(z) . (3.2)
Estas expresso˜es (3.1) e (3.2) devera˜o ser operacionalizadas no problema proposto (formu-
lado), de onde surgira˜o tantas equac¸o˜es diferenciais ordina´rias quantas sejam as varia´veis
independentes.
Antes, pore´m, de entrarmos nos pormenores da esseˆncia deste me´todo, vamos resolver
um problema bastante simples mas muito ilustrativo, apo´s o que, voltaremos aos pontos mais
gerais do me´todo.
Problema Proposto: Resolver o problema de uma corda vibrante, de compri-
mento L e de extremidades fixas, sendo conhecidos no instante t = 0 o seu perfil
e ainda a distribuic¸a˜o de velocidades de cada ponto da corda. Desprezam-se as
forc¸as externas e considera-se a corda homogeˆnea: ρ = cte, S = cte.
41
Formulac¸a˜o ou Colocac¸a˜o Matema´tica do Problema:
utt(x, t) = a
2uxx(x, t) – equac¸a˜o do evento (3.3)
{
u(x, 0) = ϕ(x)
ut(x, 0) = ψ(x)
(3.4)
As equac¸o˜es (3.4) sa˜o as condic¸o˜es iniciais, onde ϕ(x) e´ o perfil e ψ(x) e´ a distribuic¸a˜o de
velocidades. {
u(0, t) = 0
u(L, t) = 0
(3.5)
As equac¸o˜es (3.5) sa˜o as condic¸o˜es de contorno: os extremos sa˜o fixos (sempre). Procuremos
a soluc¸a˜o de (3.3)–(3.5) na forma seguinte:
u(x, t) = X(x)T (t) . (3.6)
Substituindo (3.6) em (3.3) e dividindo tudo por a2X(x)T (t), vem
X(x)T ′′(t) = a2X ′′(x)T (t) =⇒ X(x)T
′′(t)
a2X(x)T (t)
=
a2X ′′(x)T (t)
a2X(x)T (t)
=⇒ X
′′(x)
X(x)
=
1
a2
T ′′(t)
T (t)
= −λ = cte , (3.7)
pois estas func¸o˜es fraciona´rias de varia´veis independentes distintas so´ podera˜o ser iguais se
cada uma em separado for igual a uma constante (−λ). Daqui,{
X ′′ + λX = 0
X(0) = X(L) = 0
. (3.8)
Vamos determinar X(x) supondo que:
a) λ < 0: Procuremos a soluc¸a˜o de (3.8) na forma:
X(x) = eγx , (3.9)
onde γ e´ um paraˆmetro qualquer. Logo, X ′ = γ eγx, X ′′ = γ2 eγx e
γ2 + λ = 0 , (3.10)
pois, por hipo´tese, X(x) "= 0. Enta˜o,
γ = ±√−λ , (3.11)
o que nos fornece duas soluc¸o˜es diferentes:{
X1(x) = ex
√−λ
X2(x) = e−x
√−λ
(3.12)
42
A combinac¸a˜o linear de X1(x) e X2(x) e´ tambe´m soluc¸a˜o, isto e´:
X(x) = C1X1(x) + C2X2(x) = C1 e
x
√−λ + C2 e−x
√−λ . (3.13)
Determinemos os coeficientes C1 e C2 a partir das condic¸o˜es de contorno (3.8), isto e´:{
X(0) = C1X1(0) + C2X2(0) = C1 + C2 = 0 ∴ C1 = −C2
X(L) = C1X1(L) + C2X2(L) = C1 e
√−λL + C2 e−
√−λL .
E, sendo C1 = −C2, temos:
C1
[
e
√−λL − e−
√−λL
]
= 0 . (3.14)
Como o termo entre colchetes em (3.14) na˜o e´ nulo, segue que C1 deve seˆ-lo, isto
e´, C1 = 0 = −C2, e desse modo a soluc¸a˜o (3.13) e´ identicamente nula, ou seja,
X(x) = C1X1(x) + C2X2(x) e´ soluc¸a˜o trivial .
Conclusa˜o: A constante de separac¸a˜o λ < 0 confere ao problema (3.8) a soluc¸a˜o
trivial, o que na˜o nos interessa. Queremos X(x) "= 0.
b) λ = 0: Neste caso,
X ′′(x) = −λX(x) = 0 . (3.15)
Logo, integrando duas vezes (3.15), teremos:
X(x) = C ′1 x+ C
′
2 . (3.16)
Uma vez que (3.16) e´ soluc¸a˜o do seguinte problema{
X ′′(x) = 0
X(0) = X(L) = 0
, (3.17)
determinemos C ′1 e C ′2 a partir das condic¸o˜es de contorno
X(0) = C ′1 · 0 + C ′2 = 0 ∴ C ′2 = 0 ,
X(L) = C ′1 · L+ C ′2 = 0 ∴ C ′1 · L = 0 ∴ C ′1 = 0 .
Novamente, temos outra soluc¸a˜o trivial do problema (3.8).
c) λ > 0: A soluc¸a˜o possui forma ana´loga a (3.13), de sorte que
X(x) = C ′′1 e
x
√−λ + C ′′2 e
−x√−λ .
Aqui, λ > 0 e
√−λ = i√λ, do que resulta:
X(x) = C ′′1 e
i
√
λx + C ′′2 e
−i√λx
= C ′′1
[
cos
√
λx+ i sin
√
λx
]
+ C ′′2
[
cos
√
λx− i sin
√
λx
]
=
(
C ′′1 + C
′′
2
)
cos
√
λx+ i
(
C ′′1 − C ′′2
)
sin
√
λx .
43
Como X(x) e´ uma func¸a˜o real, segue que os coeficientes (C ′′1 + C ′′2 ) e i (C ′′1 − C ′′2 )
tambe´m devera˜o ser reais, pois ate´ aqui C ′′1 e C ′′2 sa˜o complexos.
Vamos enta˜o definir os coeficientes do seno e do cosseno, agora reais, do seguinte modo:{
C ′′1 + C ′′2 = D′′1
i (C ′′1 − C ′′2 ) = D′′2
∴ C∗1 =
D′′1 − iD′′2
2
e C∗2 =
D′′1 + iD′′2
2
. (3.18)
Enta˜o:
X(x) = D′′1 cos
(√
λx
)
+D′′2 sin
(√
λx
)
. (3.19)
Determinemos em (3.19) os coeficientes D′′1 e D′′2 a partir as condic¸o˜es de contorno
X(0) = X(L) = 0, isto e´:
X(0) = D′′1 +D′′2 · 0 = 0 ∴ D′′1 = 0 ,
X(L) = D′′1 cos
(√
λL
)
+D′′2 sin
(√
λL
)
= 0 · cos
(√
λL
)
+D′′2 sin
(√
λL
)
= 0 ,
ou
X(L) = D′′2 sin
(√
λL
)
= 0 .
Daqui, segue que, ou D′′2 = 0 (e teremos soluc¸a˜o trivial, o que na˜o nos interessa), ou
sin (
√
λL) = 0 (e D′′2 "= 0), o que so´ vai ocorrer para valores especiais do argumento do
seno, isto e´: sin (
√
λL) = sin (npi) = 0 ∴
√
λL = npi.
λn =
n2pi2
L2
> 0 , n = ±1,±2,±3, . . . (3.20)
λn sa˜o os auto-valores do problema, pois somente λn fornece soluc¸o˜es na˜o-triviais. A
expressa˜o (3.20) significa que existe um conjunto infinitamente grande de valores de
λ (= λn) para os quais a soluc¸a˜o de (3.8) e´ na˜o-trivial, isto e´, existem λn constantes
de separac¸a˜o que fornecem soluc¸o˜es na˜o-triviais ao problema. Para λ "= λn so´ existira˜o
soluc¸o˜es triviais.
Podemos enta˜o escrever:
Xn(x) = Dn sin
(npi
L
x
)
, n = ±1,±2,±3, . . . (3.21)
Xn e´ a auto-func¸a˜o associada ao auto-valor λn, e e´ soluc¸a˜o na˜o trivial. Como λ (= λn)
separa as equac¸o˜es em (3.7), isso significa que os valores de λ que forneceram soluc¸o˜es
na˜o triviais a (3.8) devera˜o tambe´m fornecer soluc¸a˜o na˜o-trivial para a equac¸a˜o na outra
varia´vel, isto e´, para a equac¸a˜o
T ′′(t) + a2λT (t) = 0 , (3.22)
cuja soluc¸a˜o e´ dada por
Tn(t) = an cos
(npia
L
t
)
+ bn sin
(npia
L
t
)
, (3.23)
onde an e bn sa˜o constantes reais.
44
Podemos agora construir a soluc¸a˜o dada pela n–e´sima constante de separac¸a˜o (o n–e´simo
auto-valor):
un(x, t) = Xn(x)Tn(t) =
[
(anDn) cos
(npia
L
t
)
+ (bnDn) sin
(npia
L
t
)]
sin
(npi
L
x
)
,
ou enta˜o:
un(x, t) =
[
An cos
(npia
L
t
)
+Bn sin
(npia
L
t
)]
sin
(npi
L
x
)
. (3.24)
A soluc¸a˜o geral do problema sera´ a soma de todas as soluc¸o˜es particulares poss´ıveis,
isto e´, sera´ dada pelo princ´ıpio da superposic¸a˜o:
u(x, t) =
∑
n
un(x, t) =
∑
n
[
An cos
(npia
L
t
)
+Bn sin
(npia
L
t
)]
sin
(npi
L
x
)
. (3.25)
Esta func¸a˜o deve satisfazer a`s condic¸o˜es iniciais (3.4), pois e´ soluc¸a˜o geral do problema;
logo:
u(x, 0) = ϕ(x) =
∑
n
un(x, 0) =
∑
n
An sin
(npix
L
)
, (3.26)
e
ut(x, 0) = ψ(x) =
∑
n
∂un
∂t
(x, 0) =
∑
n
(npia
L
)
Bn sin
(npix
L
)
. (3.27)
Da teoria das se´ries de Fourier, sabe-se que qualquer func¸a˜o seccionalmente cont´ınua e
seccionalmente diferencia´vel, definida em 0 ≤ x ≤ l pode ser expandida em se´rie–seno
de Fourier, bastando para isto continua´-la periodicamente ao longo do eixo–x de modo
ı´mpar. Assim, vem:
ϕ(x) =
∑
n
ϕn sin
( pi
L
x
)
=⇒ ϕn = 2
L
ˆ L
0
ϕ(ξ) sin
( npi
L
ξ
)
dξ (3.28)
ψ(x) =
∑
n
ψn sin
( pi
L
x
)
=⇒ ψn = 2
L
ˆ L
0
ψ(ξ) sin
( npi
L
ξ)
dξ (3.29)
onde ϕne ψn sa˜o os coeficientes de Fourier das expanso˜es.
Comparando (3.26) com (3.28) e (3.27) com (3.29), obtemos os valores das constantes
(ainda indeterminadas) An e Bn, isto e´:
An = ϕn =
2
L
ˆ L
0
ϕ(ξ) sin
( npi
L
ξ
)
dξ (3.30)
Bn =
L
npia
ψn =
2
npia
ˆ L
0
ψ(ξ) sin
( npi
L
ξ
)
dξ (3.31)
Conhecidos An e Bn, o problema resulta completamente resolvido.
Podemos tambe´m escrever a (3.24) na seguinte forma:
un(x, t) =
[
An cos
(npia
L
t
)
+Bn sin
(npia
L
t
)]
sin
(npi
L
x
)
= αn cos
[npia
L
(t+ δn)
]
sin
(npi
L
x
)
, (3.32)
45
onde fizemos 
An = αn cos
(npia
L
δn
)
Bn = −αn sin
(npia
L
δn
) , (3.33)
de sorte que
αn =
(
A2n +B
2
n
) 1
2 e tan
(npia
L
δn
)
= −Bn
An
.
De (3.32) nota-se que cada ponto x = x0 da corda vibrante realiza movimento harmoˆnico,
isto e´:
un(x0, t) = αn cos
[npia
L
(t+ δn)
]
sin
(npi
L
x0
)
, (3.34)
cuja amplitude e´:
an = αn sin
(npi
L
x0
)
. (3.35)
Existem, no entanto, valores particulares de x para os quais a amplitude e´ nula, ou seja,
pontos que na˜o oscilam, isto e´:
sin
(npix
L
)
= 0 = sin
(mpi
2
)
∴ x = mL
n
, m = 1, 2, . . . , (n− 2) . (3.36)
A existeˆncia destes pontos imo´veis (pois a amplitude an e´ nula), chamados no´s, da´
origem a um tipo especial de ondas chamadas estaciona´rias.
O perfil da corda vibrante em qualquer instante t e´ dado, para a n–e´sima auto-func¸a˜o
un(x, t), pela expressa˜o:
un(x, t) = Cn(t) sin
(npix
L
)
, (3.37)
onde
Cn(t) = an cos [ωn (t+ δn)] , com ωn =
npia
L
=
npi
L
√
T
ρ
. (3.38)
As vibrac¸o˜es (oscilac¸o˜es) aqui estudadas sa˜o as mesmas que ocorrem nas cordas dos
instrumentos musicais, cujo estudo detalhado implica na presenc¸a de forc¸as externas
na˜o nulas (f(x, t) "= 0).
Soluc¸o˜es da forma (3.32) sa˜o conhecidas como harmoˆnicas e os auto-valores√
λn a =
npia
L
= ωn
sa˜o conhecidos como frequ¨eˆncias pro´prias da corda vibrante. Se n = 1,
ω1 =
pia
L
=
pi
L
√
T
ρ
e´ a frequ¨eˆncia fundamental.
46
3.2 Problemas
Formulac¸a˜o Matema´tica
1. A extremidade superior de uma haste ela´stica e homogeˆnea, de comprimento
igual a l, esta´ rigidamente presa ao teto de um elevador, de sorte que seu eixo coin-
cide com a vertical local. Suponha que o elevador esteja em queda livre e ao atingir
a velocidade v0, seja bruscamente freado (parando instantaneamente). Formule
matematicamente o problema proposto para as pequenas oscilac¸o˜es longitudinais
da haste.
2. Uma corda vibrante l, esta´ imersa em um meio que lhe oferece uma resisteˆncia
ao deslocamento, oscilac¸o˜es transversais, proporcional a` sua velocidade. Formule
matematicamente o problema proposto, supondo que suas extremidades esta˜o:
a) rigidamente fixas;
b) livres, mas se movem por leis conhecidas;
c) livres;
d) elasticamente presas a molas, isto e´, cada extremidade experimenta uma forc¸a
proporcional ao seu pro´prio deslocamento.
3. Uma corda vibrante pesada, presa verticalmente por uma de suas extremidades,
oscila nas vizinhanc¸as de sua posic¸a˜o de repouso (em um plano fixo). Formule
matematicamente o problema, admitindo que seu extremo superior (x = 0) esta´
rigidamente fixo e que o inferior esta´ livre.
4. Mesmo enunciado do problema anterior, agora pore´m, a corda gira em torno
da posic¸a˜o vertical com velocidade angular constante ω.
5. Por uma haste homogeˆnea e uniforme de comprimento l e de resisteˆncia ele´trica
pequena (R, 1), imersa em um campo magne´tico H, perpendicular ao eixo x, da
haste, passa uma corrente ele´trica I(t). Identifique o tipo de oscilac¸o˜es (pequenas)
e formule matematicamente o problema admitindo que as extremidades da haste
esta˜o fixas.
6. Duas hastes semi-infinitas, homogeˆneas e ela´sticas, de mesma sec¸a˜o reta S = cte
sa˜o soldadas para compor uma reta infinita. Sejam ρ1, E1 e ρ2, E2 as respectivas
densidades e mo´dulos de Young. Formule matematicamente o problema para
pequenas oscilac¸o˜es longitudinais.
7. Uma corda vibrante homogeˆnea, de comprimento l, possui ambas as extremi-
dades rigidamente fixas. No ponto x = x0 da corda fixou-se uma massa pontual
m0. Formule matematicamente o problema para pequenas oscilac¸o˜es transversais
da corda.
8. Uma corda homogeˆnea e infinita esta´ sob a ac¸a˜o de uma forc¸a F (t) cujo ponto
de aplicac¸a˜o se desloca com velocidade v0 = cte ao longo da corda. Formule
matematicamente o problema em questa˜o se no instante t = 0 a forc¸a estava
aplicada no ponto x = x0.
47
9. Deduza a equac¸a˜o da tensa˜o ele´trica v(x, t) – ou da corrente ele´trica I(x, t) –
em um cabo condutor, de pequeno diaˆmetro, de uma rede de transmissa˜o ele´trica.
Sendo o cabo um condutor real, admita que as grandezas resisteˆncia ele´trica R,
indutaˆncia L, capacitaˆncia C e constante de fuga de carga G, sejam dadas (me-
didas) por unidade de comprimento.
10. Formule matematicamente o problema anterior supondo:
a) uma extremidade do cabo (x = 0) aterrada por meio de uma bobina pontual
de indutaˆncia L(1)0 ;
b) a outra extremidade ligada a uma fem E(t) por meio de uma bobina pontual
L(2)0 .
11. Idem, idem, se uma extremidade (x = 0) for aterrada por meio de uma
resisteˆncia pontual R0 e a outra (x = l) for aterrada por meio de um capacitor de
capacitaˆncia C0.
12. Deduza a equac¸a˜o da difusa˜o em um meio que se desloca com uma velocidade
v(x) na direc¸a˜o do eixo–x, supondo que as superf´ıcies de mesma concentrac¸a˜o
formam planos, em cada momento, perpendiculares ao eixo–x.
13. Formule matematicamente o problema do aquecimento de uma haste semi-
infinita, uma extremidade da qual se queima e a frente de combusta˜o se propaga
com velocidade v0 e possui temperatura igual a ϕ(t).
14. Formule matematicamente o problema do resfriamento de um anel delgado,
na superf´ıcie do qual ocorre troca convectiva de calor com o meio envolvente,
segundo a lei de Newton. Despreze a variac¸a˜o de temperatura na sec¸a˜o reta do
anel e suponha que o meio ambiente local possua temperatura igual a u0.
48
3.3 A Esseˆncia do Me´todo de Separac¸a˜o de Varia´veis (Me´todo
de Fourier)
Os problemas t´ıpicos, cuja soluc¸a˜o envolve o me´todo de Fourier, sa˜o os problemas de
valores de contorno definidos em domı´nios limitados do espac¸o. No entanto, o tempo pode
estar presente na EDP e consequ¨entemente na func¸a˜o procurada, como e´ o caso das equac¸o˜es
hiperbo´licas e parabo´licas. Este fato nos leva a separar inicialmente as varia´veis espaciais
(ponto r) e temporal (instante t). A separac¸a˜o de varia´veis espaciais exige a escolha pre´via
do sistema de coordenadas mais adequado a` descric¸a˜o do fenoˆmeno f´ısico em estudo.
Vamos enta˜o separar espac¸o e tempo em problemas progressivamente mais complexos. Ini-
ciaremos estudando em paralelo as equac¸o˜es hiperbo´licas e parabo´licas associadas a condic¸o˜es
complementares simples.
I - Problemas Homogeˆneos
Aqui, tanto as equac¸o˜es diferenciais quanto as condic¸o˜es complementares sa˜o homogeˆneas.
I.1 – O Problema de Sturm-Liouville
Encontrar a soluc¸a˜o u(r, t), para t > 0 e r ∈ V , volume delimitado por S, superf´ıcie
fechada, seccionalmente cont´ınua, do evento f´ısico descrito pela seguinte equac¸a˜o diferencial:
∇ · [k(r)∇u(r, t)]− q(r)u(r, t) =
{
ρ(r)utt(r, t)
ρ(r)ut(r, t)
(3.39)
e com a condic¸a˜o de contorno (
γ1(r)
∂u
∂n
+ γ2(r)u
)∣∣∣∣S = 0 (3.40)
e com as condic¸o˜es iniciais {
u(r, 0) = ϕ(r)
ut(r, 0) = ψ(r)
(3.41)
para a eq. hiperbo´lica, e
u(r, 0) = ϕ(r) (3.42)
para a eq. parabo´lica.
Vamos introduzir a seguinte representac¸a˜o:
L ≡∇ · [k(r)∇ . . .]− q(r) . . . , (3.43)
onde L e´ um operador diferencial linear, de sorte que as equac¸o˜es propostas tera˜o as formas: