18 Cálculo Numérico - Aplicação da Diferenciação

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CÁLCULO NUMÉRICO
- EAMB018 / ECIV019 -
Período Letivo: 2013-1
Carga Horária: 60h
Horários: 2ª feira (11:10 – 12:50)
4ª feira (11:10 – 12:50)
Professor: Eduardo Toledo de Lima Junior
limajunior@lccv.ufal.br
DIFERENCIAÇÃO NUMÉRICA
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Na última aula… 
• Usamos o Método das Diferenças Finitas (MDF) para 
encontrar a derivada aproximada de uma função.
• Apresenta-se um resumo de fórmulas:
n
x=x0 x=x1 x=x2
1
2
3
4
DIFERENCIAÇÃO NUMÉRICA
3
Na última aula…
Derivada de segunda ordem, para polinômio de grau 2 
(a derivada resulta constante, portanto igual para x=x0, 
x=x1 e x=x2)
DIFERENCIAÇÃO NUMÉRICA
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Tabelas de diferenças finitas
Coeficientes das expressões das derivadas para ponto central
APLICAÇÃO DA DIFERENCIAÇÃO NUMÉRICA
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Solução de equações diferenciais ordinárias
• O que são equações diferenciais?
APLICAÇÃO DA DIFERENCIAÇÃO NUMÉRICA
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Solução de equações diferenciais ordinárias
• O que é problema de valor inicial?
• Exemplo:
APLICAÇÃO DA DIFERENCIAÇÃO NUMÉRICA
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Solução de equações diferenciais ordinárias
• O que é problema de valor de contorno?
• Exemplo:
APLICAÇÃO DA DIFERENCIAÇÃO NUMÉRICA
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Solução de equações diferenciais ordinárias: Método de Euler
• Dentre vários métodos aproximados para solução de 
EDO’s, seja o Método Explícito de Euler.
• O método de Euler:
– Método numérico que podemos aplicar à solução 
aproximada de um PVI
– Baseado no MDF, formulado para n=1, em sua versão 
avançada
– Consiste em, conhecendo x0 e y0=y(x0), sabemos 
calcular y’(x0) = f(x0,y0) (usando a diferenciação 
numérica)
– Assim, a reta (r0(x)) que passa por (x0,y0) com 
coeficiente angular y’(x0), é conhecida.
APLICAÇÃO DA DIFERENCIAÇÃO NUMÉRICA
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Solução de equações diferenciais ordinárias: Método de Euler
• Graficamente:
APLICAÇÃO DA DIFERENCIAÇÃO NUMÉRICA
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Solução de equações diferenciais ordinárias: Método de Euler
• Partindo do PVI:
• Usando o MDF linear (avançadas):
• Assim:
APLICAÇÃO DA DIFERENCIAÇÃO NUMÉRICA
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Método de Euler
• Temos a fórmula de recorrência do Método de Euler!
• Observe que dados um xk e um yk, podemos calcular 
o yk+1.
APLICAÇÃO DA DIFERENCIAÇÃO NUMÉRICA
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Método de Euler: Exemplo
• Encontrar y(0,2), y(0,4), y(0,6) e y(0,8) dada a 
seguinte equação diferencial. Utilizar o Método de 
Euler.
• Solução exata:
APLICAÇÃO DA DIFERENCIAÇÃO NUMÉRICA
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Método de Euler: Exemplo
• Soluções:
x exata Euler (0,1) erro rel
0,2 0,192308 0,19701 0,0239
0,4 0,344828 0,365804 0,0573
0,6 0,441176 0,465566 0,0524
0,8 0,487805 0,513707 0,0504
Comprimento de intervalo h=0,1
APLICAÇÃO DA DIFERENCIAÇÃO NUMÉRICA
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Método de Euler: Exemplo
• Soluções:
x exata Euler (0,05) erro rel
0,2 0,192308 0,194843 0,013
0,4 0,344828 0,352871 0,0228
0,6 0,441176 0,453142 0,0264
0,8 0,487805 0,500487 0,0253
Comprimento de intervalo h=0,05