importancia algebra linear engenharia

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A IMPORTÂNCIA DA DISCIPLINA ÁLGEBRA LINEAR NOS CURSOS DE 
ENGENHARIA 
 
Solange dos Santos Nieto1, Célia Mendes Carvalho Lopes 2 
 
 
 
1 Solange dos Santos Nieto, Universidade Presbiteriana Mackenzie, Rua Itambé, 45, 01239-902, São Paulo, SP, Brazil, solangenieto@mackenzie.com.br 
2 Célia Mendes Carvalho Lopes, Universidade Presbiteriana Mackenzie, Rua Itambé, 45, 01239-902, São Paulo, SP, Brazil, celiagiz@mackenzie.com.br 
Abstract  Linear Algebra plays an important role in the 
mathematics and its applications. Teaching the elements of 
linear algebra is an excellent chance to initiate the student 
in the precision of the mathematical argument, as well as in 
the construction of demonstrations. Its teaching goes from 
the simplest and direct presentation, aiming at, particularly, 
the users not mathematicians, to the deepened theories more 
as, for example, the concept of Vectorial Spaces in more 
advanced algebraic theories. In this work, it is discussed the 
main causes of failure in the teaching of this discipline, 
having as guide in our analysis the previous knowledge of 
Mathematics of the freshman students in the course of 
Engineering. 
 
Key words - Linear Algebra, Construction of Knowledge, 
Quality in Teaching. 
 
A Álgebra Linear ocupa papel importante nas diversas 
áreas da Matemática – da Análise à Estatística, onde se 
utilizam, constantemente, os Cálculos Matricial e Vetorial. 
A importância da Álgebra Linear tem crescido nas últimas 
décadas, os modelos matemáticos lineares assumiram um 
importante papel juntamente com o desenvolvimento da 
informática e como seria de se esperar, esse 
desenvolvimento estimulou um notável crescimento de 
interesse em Álgebra Linear. 
Sua importância vai desde as ciências sociais às ciências 
exatas, permitindo seu uso diário em áreas como economia, 
aviação, exploração petrolífera e circuitos eletrônicos. 
A disciplina Álgebra Linear surge no terceiro grau, na 
grade curricular de diversas áreas, como na Matemática, 
Física, Engenharia, Economia e, geralmente, no primeiro 
ano contendo quatro ou duas horas aulas. 
Em cada uma dessas áreas, a ênfase dada a essa 
disciplina é diferente, podendo-se dizer que existem diversos 
cursos de Álgebra linear. 
Os livros didáticos apresentam esse conteúdo 
matemático de formas bem diferenciadas. Alguns autores, 
preocupados com o julgamento dos alunos, colocam no 
prefácio de seus livros, esclarecimentos que o conteúdo 
desenvolvido é tangível e concreto. 
Sabemos que ensinar Álgebra Linear para os cursos, dos 
quais ela faz parte, não é uma tarefa fácil, constituindo-se 
um desafio e requerendo um grande esforço. 
Os livros mais antigos de Álgebra Linear apresentavam 
uma abordagem expositiva tradicional, o que para os alunos 
atuais é incompatível. O desenvolvimento axiomático, 
apesar de importante, não parece apropriado, dependendo a 
que curso se destina. 
Mas, é surpreendente que poucos livros sobre Álgebra 
Linear acompanharam as necessidades diversificadas das 
pessoas que utilizam seus conteúdos dependendo de cada 
campo de atuação. 
Porém, resta outro problema, também importante, que 
consiste na Álgebra Linear necessária para cada curso no 
qual a Álgebra Linear não é um fim, mas um meio para seu 
melhor exercício. 
Barufi [1], em sua tese de doutorado, nos revela dados 
alarmantes sobre o “fracasso no ensino de Cálculo” 
disciplina que é tema de vários trabalhos em eventos 
nacionais e internacionais. 
Nosso trabalho irá abordar, com alguns exemplos, as 
dificuldades que esta disciplina, a Álgebra Linear, apresenta 
para o seu aprendizado, alertando que o nível de reprovação 
já está alcançando o de Cálculo Diferencial e Integral. 
Nesse sentido, cabe destacar e apresentar alguns 
elementos fundamentais que influenciam e determinam as 
transformações do saber ensinado na escola. 
A transição da matemática desenvolvida no ensino 
médio para a do ensino universitário apresenta uma série de 
dificuldades para os alunos. 
A introdução de idéias abstratas implica numa mudança 
profunda de como o aluno deve mudar sua forma de 
raciocinar. 
Para Guzman et.al. [2] ao se ingressar na universidade 
os alunos passam por “uma transição difícil, [...] as 
demonstrações adquirem novo e importante valor. Eles têm 
que completar e estabelecer através de deduções lógicas 
propriedades e definições formais”. 
A definição de espaço vetorial é apresentada no livro [3] 
é: “Seja V um conjunto de elementos chamados vetores, no 
qual as operações de adição de vetores e multiplicação de 
vetores por escalares. Isto é, dados os vetores u e v de V e 
um escalar k, os vetores u + v e ku também pertencem a V 
(isto é, V é fechado para a adição de vetores e a 
multiplicação de vetores por escalares). Então V é chamado 
espaço vetorial se, dados três vetores quaisquer u, v e w de 
V e dois escalares k e m, as propriedades a seguir são 
válidas” (não apresentaremos as 8 propriedades, pois a 
definição já esclarece nossa preocupação). 
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Exemplificando, ao utilizarmos o espaço vetorial das 
matrizes quadradas de ordem 2 (geralmente notado por M2), 
teríamos condição de recordar as operações envolvendo as 
matrizes, que a soma de matrizes só é possível se elas 
tiverem mesma ordem e que a multiplicação de um escalar 
por uma matriz, não altera a ordem da matriz. 
Usando como referência o exemplo das matrizes, 
podemos observar como são as relações estabelecidas pelos 
alunos entre o conteúdo desenvolvido no ensino médio e na 
universidade. 
Que tipo de ligação o aluno vai fazer? Como os novos 
significados são construídos? Primeiramente, devemos 
mencionar que a idéia de significado liga-se diretamente 
com a idéia de conhecimento. Segundo Machado [4] 
conhecer é, cada vez mais, conhecer o significado. 
A cultura das escolas de ensino médio é complexa, 
imprevisível e erroneamente inclinada para uma série muito 
específica de valores acadêmicos. 
Não é que as escolas de ensino médio não se importem 
com seus alunos, mas as estruturas existentes e as culturas 
sagradas do ensino médio estão arraigadas em uma 
orientação acadêmica tradicional, isto é, a estrutura é feita 
para um cumprimento da matéria e não para uma maior 
atenção ao aluno. 
Os currículos fixam as matérias, a carga horária e os 
alunos devem aprendê-las para que ao final do ensino médio, 
sejam aprovados no vestibular e possam dar seqüência a 
mais disciplinas no ensino superior. 
Para Grécia [5] (2001, p. 27), 
 
A maneira como os sistemas educativos organizam o ensino 
dos temas incluídos nos currículos envolve uma determinada 
concepção dos processos de aquisição dos conhecimentos. Até agora, 
tem predominado uma concepção segundo a qual basta decompor um 
saber, em sua modalidade cultural, em pequenos pedacinhos isolados, 
e então organizar sua ingestão por parte dos alunos, em períodos 
breves e bem delimitados, segundo seqüências determinadas sobre a 
base da análise do próprio saber. Esta maneira de organizar o ensino 
não atribui importância ao contexto específico em que os 
conhecimentos são adquiridos, nem à sua significação e valor 
funcional, durante sua aquisição. 
 
O funcionamento das nossas escolas, e dos próprios 
processos educativos de hoje, nasceu no início do século 
XIX, em plena sociedade industrial, onde os valores 
reinantes eram do glorioso mundo mecanizado. 
Mas é nesse ambiente que ainda estamos, o aluno é 
como uma peça de máquina. O conhecimento que é 
confundido com conteúdo, passa das cabeças dos 
professores, para as cabeçasvazias dos alunos. 
No Brasil, o Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM) 
evidenciou os problemas, que muitos já sabiam, mas poucos 
se preocupam em tentar solucionar. 
A transição que o aluno sofre do ensino médio para o 
ensino superior é uma mudança de status importante na vida 
de um jovem, mais independência, experiência, 
oportunidades mais interessantes e expectativas 
desconhecidas. 
Com um olhar mais didático, podemos sugerir 
mudanças metodológicas que influenciassem e interessassem 
o estudante. Se nosso objetivo é ensinar ao aluno o conceito 
de Espaços Vetoriais, uma sugestão é começar com exemplo 
do ensino médio. 
Wenger [6] define quatro componentes fundamentais 
para uma teoria social de aprendizagem: significado, prática, 
comunidade e identidade, que estão intimamente interligadas 
como mostra a figura a seguir: 
 
FIGURA 1 
• Significado: capacidade que temos de encontrar 
um sentido ao que aprendemos. 
• Prática: aprendemos fazendo. 
• Comunidade: aprendizagem como presença. 
• Identidade: aprendemos através do processo de 
construção da nossa própria identidade. 
 
Se quisermos oferecer mais aos alunos de hoje e um 
futuro melhor para o mundo que herdarão amanhã, não há 
dúvidas que é necessário buscar mudanças para o nosso 
ensino, sejam eles, fundamental, médio ou superiores. 
Mudanças também já estão ocorrendo de uma cultura 
escrita para uma visual, as novas tecnologias apresentam 
questões significativas para as relações entre professores e 
alunos, escola e casa, sala de aula e o mundo fora da escola. 
Precisamos valorizar as oportunidades da procura de 
significado, da prática, da comunidade, da procura de 
identidade. Cabe a nós educadores nos empenharmos em 
criar perspectivas para além da tradicional preocupação com 
os conteúdos abrindo espaço à imaginação. 
Apesar de muitos conceitos de Álgebra Linear serem 
muito abstratos, conseguimos aplicar técnicas que envolvem 
uma matemática simples para resolver alguns problemas 
práticos, como a aplicação na teoria de grafos, uma área 
recente da matemática tendo como pré-requisito 
propriedades das operações com matrizes. 
Grafos podem ser aplicados em estudos de logística, 
planejamentos de auto-estradas, localizações de 
distribuidoras, tabelas de placares dos jogos de um 
campeonato, redes de comunicação etc. 
De acordo com Moore [7], um “grafo orientado é uma 
coleção não vazia de um número finito de vértices Pi 
juntamente com um número finto de arestas direcionadas 
PiPj que ligam alguns ou todos desses. Um grafo orientado é 
chamado um dígrafo se ele não contém nenhum “loop” 
significado 
comunidade 
prática aprendizagem identidade
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(laço) e possui no máximo uma aresta de Pi a Pj, para cada i 
e j”. A figura 2 ilustra um dígrafo. 
 
 
FIGURA 2 
 
Grafos orientados podem ser representados 
matricialmente de modo que cada elemento aij da matriz 
possuirá o número de arestas direcionadas do vértice Pi para 
o Pj. No caso dos dígrafos, o elemento um representa uma 
aresta orientada ligando Pi a Pj e zero caso contrário. 
 
 
 SP RJ BH PA BR GO 
SP 0 1 1 1 1 0 
RJ 1 0 1 1 1 0 
BH 1 1 0 0 0 0 
PA 1 1 0 0 0 0 
BR 1 1 0 0 0 1 
GO 0 0 0 0 1 0 
 
 
O que corresponde à matriz 
 










=
010000
100011
000011
000011
011101
011110
M 
 
Se elevarmos tal matriz ao quadrado então os elementos 
bij da nova matriz indicam o número de formas que podemos 
ir do vértice Pi para o vértice Pj em exatamente dois passos. 
 










==
100011
032211
022211
022211
111143
111134
M]b[ 2ij 
 
Note que o elemento b35=2 indica que existem dois 
modos de ir de Belo Horizonte para Brasília com exatamente 
uma escala intermediária. No caso, as possibilidades são 
Belo Horizonte – Rio de Janeiro – Brasília ou Belo 
Horizonte – São Paulo – Brasília. O elemento b16=1 indica 
que há somente uma forma de sair de São Paulo com destino 
a Goiânia com exatamente uma escala, no caso o trecho 
correspondente é São Paulo – Brasília – Goiânia. 
Se calcularmos o cubo da matriz, então se tem o número 
de modos que o vértice Pi é levado ao vértice Pj, em 
exatamente três passos, e assim sucessivamente. 
 










==
032211
322288
222277
222277
187767
187776
M]c[ 3ji 
 
A matriz soma M + M2, isto é, a matriz do dígrafo 
somada à sua matriz quadrada indica o número de forma que 
o vértice Pi é levado em Pj em até dois passos. De modo que 
é possível se saber se é possível ir de um ponto a outro com 
no máximo uma escala. 
 










=+=
110011
132222
022222
022222
122244
122244
MM]d[ 2ij 
 
O elemento d36=0 indica que não é possível ir de Belo 
Horizonte para Goiânia diretamente e nem com uma só 
escala. Mas, pela matriz M3, segue que tal percurso pode ser 
feito com exatamente duas escalas e de dois modos 
possíveis, já que elemento c36=2. 
Com base nesses dados, se uma outra companhia aérea 
que desejasse realizar vôos nessa rota pode, através da 
informação da figura 2, implantar novos trechos de vôos e 
analisando as matrizes poderia fazer uma verificação se é 
uma boa estratégia enfrentar concorrência com as rotas 
existentes, ou se mudaria a quantidade de escalas para se 
chegar de um lugar ao outro. 
É claro que a teoria dos grafos é um dos muitos fatores 
que deverão ser analisados, mas com o exemplo exibido 
poder-se-ia tirar boas conclusões. Essa teoria pode ser 
utilizada em um grande número de situações. 
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REFERÊNCIAS 
[1] Barufi, M.C.B., A Construção/negociação de significados no curso 
universitário de Cálculo Diferencial e Integral. Tese de doutorado. 
São Paulo: FE-USP, 1999. 
[2] Guzman, M., Hodgson, B.R., Robert, A., Villani, V., Difficulties in 
the passage from secondary to tertiary education. Documenta 
mathematica, extra volume ICM 1998, pp. 747-762. 
[3] Edwards, C.H.Jr., Penney, E.D., Introdução à Álgebra Linear. Trad. 
João P C. dos Santos e outros. Prentice-Hall do Brasil, Rio de Janeiro, 
1987. 
[4] Machado, N.J., Epistemologia e didática: as concepções de 
conhecimentos e inteligência e a prática docente. 5ª edição. São 
Paulo: Cortez, 2002. 
[5] Grecia, G., A didática da matemática, in Parra, C.; Saiz, J., Didática 
da Matemática: reflexes psicopedagógicas. Trad. Juan Acuña Llorens. 
Porto Alegre, Artes Médicas, 2001. 
[6] Wenger, E., Communities of Practice. Learning, Meaning and 
Identity. Cambridge University Press, 1998. 
[7] Moore, H.G., Yaquad, A. A First Course in Linear Algebra with 
Applications. 3ed. San Diego: Academic Press, 1998. 
 
 
 
 
 
 
 
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