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Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR Coordenação de Informática – COINF Curso de Engenharia de Computação Disciplina de Lógica para Computação "Você não gosta de Matemática porque não gosta, ou não gosta porque não entende. Aprenda um pouquinho, goste um pouquinho mais... Assim, cada vez será mais fácil dar o próximo passo (...)". Terceira Lista de Exercícios 1. Dada a sentença: "Se a Robótica é a evolução da Mecânica sem levar em conta que a Física não explica a Antropologia, então a Informática não é a base conceitual da Anatomia ou a Cibernética fundamenta a Física.", codificá-la segundo a linguagem do Cálculo Proposicional. R:Observa-se, primeiramente, que em tal sentença existem quatro proposições simples que podem ser enunciadas da seguinte forma: • p: A Robótica é a evolução da Mecânica • q: A Física explica a Antropologia • r: A Informática é a base conceitual da Anatomia • s: A Cibernética fundamenta a Física Logo, substituindo, respectivamente, as letras proposicionais p,q,r e s na sentença originalmente apresenta, resulta que: "Se p sem levar em conta que não q, então não r ou s." Mas, na "estrutura" acima considerada, tem-se que a forma "Se...,então..." é a principal e poderá ser substituída por "... → ...", enquanto que "...sem levar em conta que..." e "...ou..." corresponderão, respectivamente, às fórmulas "...∧∧∧∧..." e "...∨∨∨∨...". Já as formas "não q" e "não r" corresponderão, respectivamente, às fórmulas "¬¬¬¬q" e "¬¬¬¬r" 2. Dada a fórmula definida por P(p,q,r):(r ∨∨∨∨ p) ↔↔↔↔ ¬¬¬¬q, onde: • p: Tijolos amarelos são flores sintéticas. • q: Flores sintéticas são pregos vermelhos. • r: Pregos vermelhos são tijolos amarelos. Decodificar, então, uma fórmula proposicional. R: Decodificar uma fórmula proposicional significa passá-la para a linguagem comum mantendo-se, necessariamente, o sentindo (lógico) da mesma. Analisando-se uma tal fórmula proposicional, conclui-se que a mesma toma a bicondicional entre as fórmulas r ∨∨∨∨ p (disjunção inclusiva entre r e p) e ¬q (negação de q). Assim, convertendo-se os símbolos lógicos ↔, ∨ e ¬, bem como, as enunciações de p, q e r para as correspondentes formas (sentenças) da linguagem usual, tem-se a sentença: "Pregos vermelhos são tijolos amarelos ou tijolos amarelos são flores sintéticos se, e somente se, não se tem que flores sintéticos são pregos vermelhos." 3. Considere as proposições simples a seguir enunciadas: • p: A Ciência é a base da evolução humana. • q: A humanidade evolui através da lógica. • r: A Lógica determina a Matemática. • s: A Matemática é o ideal da Ciência. Tomando-se por base as mesmas, determinar as fórmulas proposicionais correspondentes às sentenças a seguir consideradas; a saber: a) "Se a Ciência é a base da evolução humana embora a humanidade não evolui através da Lógica, então a Lógica não determina a Matemática e/ou a Matemática é o ideal da Ciência." R: P(p,q,r,s): (p ∧∧∧∧ q) →→→→ (¬¬¬¬r ∨∨∨∨ s) b) "A Ciência não é a base da evolução humana ou a Lógica não determina a Matemática se e, somente se, não é verdade que a Matemática é o ideal da Ciência mas não é fato que a humanidade evolui através da Lógica." R: P(p,q,r,s): (¬¬¬¬p ∨∨∨∨ ¬¬¬¬r) ↔↔↔↔ ¬¬¬¬(s ∧∧∧∧ ¬¬¬¬q) c) "Se não é verdade que a Ciência é a base da evolução humana ou a Matemática é o ideal da Ciência, então não é verdade que não é fato que a humanidade evolui através da Lógica e não se tem que a Lógica determina a Matemática." R: P(p,q,r,s): ¬¬¬¬(p ∨∨∨∨ s) →→→→ ¬¬¬¬¬¬¬¬(q ∧∧∧∧ ¬¬¬¬r) d) "Se não é fato que a Ciência é a base da evolução humana ou a humanidade não evolui através da Lógica, então a humanidade evolui através da Lógica ou a Ciência não é a base da evolução humana ou a Matemática não é o ideal da Ciência; e reciprocamente." R: P(p,q,r,s): ¬¬¬¬(p ∨∨∨∨ ¬¬¬¬q) ↔↔↔↔ (q ∨∨∨∨ ¬¬¬¬p ∨∨∨∨ ¬¬¬¬s) e) "A Ciência é a base da evolução humana e então a humanidade evolui através da lógica ou não é fato que a Matemática é o ideal da Ciência." R: P(p,q,r,s): p ∧∧∧∧ q ∨∨∨∨ ¬¬¬¬s 4. Tomando-se as proposições simples p, q, r e s do exercício anterior, determinar as fórmulas proposicionais correspondentes às sentenças a seguir consideradas; a saber: a) "Se a Matemática não é o ideal da Ciência apesar de que também a humanidade não evolui através da Lógica." R: P(q,s): ¬¬¬¬s ∧∧∧∧ ¬¬¬¬q b) "A Ciência é a base da evolução humana sem levar em conta que a humanidade evolui através da Lógica." R: P(p,q): p ∧∧∧∧ q c) "Se a Ciência é a base da evolução humana sem levar em conta que a Matemática é o ideal da Ciência, então a humanidade não evolui através da Lógica apesar de que também não é fato que a Lógica não determina a Matemática." R: P(p,q,r,s): (p ∧∧∧∧ s) →→→→ (¬¬¬¬q ∧∧∧∧ ¬¬¬¬¬¬¬¬r) d) "Se não apenas a Lógica determina a Matemática como também a Matemática é o ideal da Ciência, então a Ciência é a base da evolução humana." R: P(p,r,s): (r ∧∧∧∧ s) →→→→ p e) "Ou a lógica determina a Matemática, ou a humanidade não evolui através da Lógica, ou ambos." R: P(q,r): r ∨∨∨∨ ¬¬¬¬q 5. Dadas as fórmulas proposicionais a seguir e considerando-se a enunciação das proposições simples p, q, r e s conforme o exercício anterior, determinar as respectivas sentenças em linguagem usual: a) P(p,q,r,s): (p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬q) ↔↔↔↔ (q ∧∧∧∧ ¬¬¬¬r) R: "A Ciência é a base da evolução humana e a humanidade não evolui através da Lógica se, e somente se, a humanidade evolui através da Lógica embora não é verdade que a Lógica determina a Matemática." b) P(p,q,r,s):¬¬¬¬(p ∨∨∨∨ ¬¬¬¬q) →→→→ ¬¬¬¬(r ∧∧∧∧ ¬¬¬¬s) R: "Se não é fato que a Ciência é a base da evolução humana ou a humanidade não evolui através da Lógica, então não se tem que a Lógica determina a Matemática embora a Matemática não é o ideal da Ciência." c) P(p,q,r,s): ¬¬¬¬(¬¬¬¬(p ∨∨∨∨ ¬¬¬¬q) →→→→ (¬¬¬¬r ∨∨∨∨ ¬¬¬¬s)) R:"Não é verdade que se não é fato que a Ciência é a base da evolução humana ou a humanidade não evolui através da Lógica, então a Lógica não determina a Matemática ou a Matemática não é o ideal da Ciência." d) P(p,q): ¬¬¬¬¬¬¬¬(p ∨∨∨∨ ¬¬¬¬q) →→→→ ¬¬¬¬q R: Se não é fato que não se tem que a Ciência é a base da evolução humana ou a humanidade não evolui através da Lógica, a humanidade não evolui através da Lógica." 6. Dadas as sentenças a seguir em linguagem usual, determinar as respectivas fórmulas proposicionais do Cálculo Proposicional; quais sejam: a) "Não é fato que o homem é um animal racional apesar de que também a vida humana é uma fantasia transcendental." R: P(p,q): ¬¬¬¬(p ∧∧∧∧ q) b) "Não é verdade que não apenas a vida é uma bola de plástico como também a fantasia não é um estado de espírito se, e somente se, não é fato que é falso que a fantasia é um estado de espírito e/ou não é verdade que a vida não é uma bola de plástico." R: P(p,q):¬¬¬¬((p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬q) ↔↔↔↔ ¬¬¬¬¬¬¬¬(q ∨∨∨∨ ¬¬¬¬¬¬¬¬p)) c) "O homem inteligente é um ser social assim como o homem sábio é aquele que conhece a Matemática." R: P(p,q): p ∧∧∧∧ q d) "Não apenas a vida do homem é marcada pela dialética, como também a dialética não determina a evolução do homem." R: P(p,q): p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬q e) "Um procedimento de refutação abstrato é uma semântica procedimental mas não se dá que a semântica procedimental fundamenta uma linguagem simbólica de primeira ordem." R: P(p,q): p∧∧∧∧ ¬¬¬¬q 7. Dadas as sentenças a seguir em linguagem usual, determinar as respectivas fórmulas proposicionais do Cálculo Proposicional;quais sejam: a) "Ou não se dá que a vida bucólica é uma fantasia campestre ou não é verdade que a lógica dos campos floridos está centrada em conceitos florestais; mas não simultaneamente." R: P(p,q): ¬¬¬¬p ⊗⊗⊗⊗ ¬¬¬¬q b) "Se o homem é um animal e os animais são entidades irracionais, então não é verdade que entidades racionais são homens embora não é verdade que os animais são homens." R: P(p,q,r,s): (p ∧∧∧∧ q) →→→→ ¬¬¬¬(r ∧∧∧∧ ¬¬¬¬s) c) "Tendo-se que a vida é uma bola amarela, então bolas amarelas não são entidades biológicas." R: P(p,q): p →→→→ ¬¬¬¬q d) Pepinos verdes são legumes artificiais, sempre que se tenha que vegetais naturais são pepinos amarelos." R: P(p,q): q →→→→ p OBS: p:Pepinos verdes são legumes artificiais. q: Vegetais naturais são pepinos amarelos. 8. Dadas as sentenças a seguir em linguagem usual, determinar as respectivas fórmulas proposicionais do Cálculo Proposicional; quais sejam: a) "A vida não é uma fantasia sem levar em conta que o homem é um animal." R: P(p,q): ¬¬¬¬p ∧∧∧∧ q b) "Sempre que cenouras vermelhas não são tijolos dourados, telhas amarelas são vermelhas cenouras." R: P(p,q): ¬¬¬¬p →→→→ q c) "Não é verdade que é falso que se não é verdade que doces alegrias não são pensamentos utópicos embora assassinas balas matam alegres vidas, não é fato que é verdade que não se tem que assassinas balas não matam alegres vidas assim como não é verdade que doces alegrias não são pensamentos utópicos." R: P(p,q): ¬¬¬¬(¬¬¬¬(¬¬¬¬(¬¬¬¬p ∧∧∧∧ q) →→→→ ¬¬¬¬(¬¬¬¬(¬¬¬¬q ∧∧∧∧ ¬¬¬¬¬¬¬¬p)))) d) "Um procedimento de refutação abstrato é uma semântica procedimental mas não se dá que a semântica procedimental fundamenta uma linguagem simbólica de primeira ordem se, e somente se, a vida não é uma fantasia sem levar em conta que o homem é um animal doméstico." R: P(p,q,r,s): (p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬q) ↔↔↔↔ (¬¬¬¬r ∧∧∧∧s) e) Se petecas coloridas são aves tropicais; não se tem que aves africanas multicoloridas são espanadores de luxo, então não é fato que petecas coloridas são espanadores africanos." R: P(p,q,r,s): p →→→→ (q →→→→ ¬¬¬¬r) 9. Dadas as sentenças a seguir em linguagem usual, determinar as respectivas fórmulas proposicionais do Cálculo Proposicional; quais sejam: a) "Tem se reciprocamente que se bananas de cera vermelha são frutas comestíveis amarelas, não é verdade que pinturas de frutas azuis são decorações de bananas alaranjadas de plásticos." R: P(p,q): p ↔↔↔↔ ¬¬¬¬¬¬¬¬q b) "Sempre que cenouras vermelhas não são tijolos dourados, telhas amarelas são vermelhas cenouras; e reciprocamente." R: P(p,q): ¬¬¬¬p ↔↔↔↔ q c) "Abóboras assassinas são entidades estrangeiras e/ou mamonas utópicas não são entidades nacionais; ou exclusivamente não apenas entidades amestradas são abóboras assassinas, como também a utopia das mamonas não é a base da nacionalidade estrangeira." R: P(p,q,r,s): (p ∨∨∨∨ ¬¬¬¬q) ⊗⊗⊗⊗ (r ∧∧∧∧ ¬¬¬¬s) d) "Uma flor não e uma pedra vegetal sem levar em conta que uma pedra é uma flor mineral; ou não apenas pedras são flores como também flores não são pedras." R: P(p,q,r,s): (¬¬¬¬p ∧∧∧∧ q) ∨∨∨∨ (r ∧∧∧∧ ¬¬¬¬s) e) "Ou um abacate verde é uma fruta sintética, ou um tomate vermelho é uma fruta natural, ou ambos." R: P(p,q): p ∨∨∨∨ q
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