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POLINÔMIOS - QUESTÕES RESOLVIDAS

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POLINÔMIOS 
 
Definição: Um polinômio de grau n é uma função que pode ser escrita na forma 
∑
=
=+++++=
n
0i
i
i
n
n
3
3
2
210 xaxa...xaxaxaa)x(P em que cada ai é um número complexo (ou 
real) tal que n é um número natural e an ≠ 0. Os números ai são denominados coeficientes do 
polinômio P(x). O termo a0 é chamado coeficiente constante ou termo independente. 
 
Exemplos: 
1) P(x) = x3+2 x2 - 3x + 10 é um polinômio de grau 3. Note que segundo a notação acima 
temos a0=10, a1 = -3, a2 = 2 e a3 = 1. 
2) Q(x) = x2 + 1 é um polinômio de grau 2 tal que a0 = 1, a1 = 0 e a2 = 1. 
3) R(x) = 7 é um polinômio de grau zero tal que a0=7. 
 
Observe que P(x) = x2 + x + x ½ +2 não é um polinômio devido ao expoente ½. Similarmente, 
Q(X) = x3 +2x +x-2 +3 não é polinômio devido ao expoente –2. 
 
Definição: Dado o número complexo (ou real) a, o número P(a) é chamado valor numérico do 
polinômio P(x) em x = a. Além disso, se P(a) = 0 então dizemos que a é uma raiz do 
polinômio P(x). 
 
Exemplos: 
 
1) Se P(x) = x2 -3x + 2 então P(3) = 32 - 3 3 + 2 = 9 – 9 + 2 = 2 é o valor numérico de P(x) em 
x=3. 
Além disso, x = 1 e x = 2 são raízes do polinômio P(x) já que P(1) = 12 – 3 ⋅ 1 + 2 = 1 – 3 +2 = 0 
e P(2) = 22 – 3 ⋅ 2 + 2 = 4 – 6 + 2 = 0. 
 
2) As raízes do polinômio Q(x) = x2 +1 são os números complexos i e –i, já que 
Q(i) = i2 + 1 = -1 + 1 =0 e Q(-i) = (-i)2 + 1 = -1 + 1 =0. 
 
Teorema: Se x = a é uma raiz do polinômio P(x) então P(x) pode ser reescrito como o produto 
de x - a por um certo polinômio Q(x), ou seja, se x = a é raiz de P(x) então existe um polinômio 
Q(x) tal que )x(Q)ax()x(P −= . 
 
Exemplo: Já vimos que x = 1 é raiz do polinômio P(x) = x2 -3x + 2 então P(x) pode ser reescrito 
por )x(Q)1x()x(P −= . No caso, o polinômio Q(x) é dado por 2x)x(Q −= , já que 
)2x)(1x(2x3x)x(P 2 −−=+−= . 
 
Observe que o polinômio Q(x) pode ser encontrado fazendo-se a divisão do polinômio P(x) pelo 
polinômio x–a, ou seja, 
ax
)x(P)x(Q
−
= . No exemplo acima, 2x
1x
2x3x)x(Q
2
−=
−
+−
= . 
 
Observe ainda que, neste caso, o grau de Q(x) é um a menos do que o grau de P(x). 
 
Divisão de polinômios - algoritmo de Briot-Ruffini 
 
Quando dividimos dois polinômios, obtemos um quociente e um resto da divisão. Isto é, se 
dividirmos P(x) por D(x) (o divisor), vamos obter dois novos polinômios Q(x) (o quociente) e 
R(x) (o resto), de modo que )x(R)x(Q)x(D)x(P +⋅= . 
 
Existem algumas técnicas para dividirmos polinômios. Uma das mais utilizadas é o algoritmo de 
Briot-Ruffini. Esta é uma técnica prática, mas que só deve ser utilizada para efetuarmos a 
divisão do polinômio P(x) por um binômio da forma x–a. A explicação do algoritmo será feita 
através de um exemplo. 
 
Exemplo: 
Determine o quociente e o resto da divisão do polinômio P(x) = x2 –3x + 2 pelo polinômio 
1x)x(D −= . 
 
Sendo 1 a raiz do binômio D(x), pois D(1) = 0, temos que )x(R)x(Q)1x()x(P +⋅−= . 
Escreva o polinômio P(x) com as potências em x, ordenadas decrescentemente. 
Assim, os coeficientes do polinômio P(x) = x2 – 3x + 2 ordenado e completo são 1, -3 e 2. 
Escreva estes números em uma tabela do seguinte modo: 
raiz de D(x) = x–1 coeficientes de P(x) 
1 1 -3 2 
 
Copie o primeiro coeficiente de P(x) na linha abaixo: 
1 1 -3 2 
 1 
 
Multiplique a raiz de D(x) (ou seja, 1) por este coeficiente que foi copiado (ou seja, 1) e adicione 
ao segundo coeficiente de P(x) (ou seja, -3). Coloque o resultado na segunda linha, abaixo do 
segundo coeficiente de P(x). 
Temos: 231)3(11 −=−=−+⋅ e na tabela: 
1 1 -3 2 
 1 -2 
 
Repita o procedimento para o próximo número: multiplique a raiz de D(x) (ou seja, 1) pelo novo 
número que foi colocado na segunda linha (ou seja, -2) e adicione ao terceiro coeficiente de 
P(x) (ou seja, 2). Coloque o resultado na segunda linha, abaixo do terceiro coeficiente de P(x). 
Temos: 0222)2(1 =+−=+−⋅ e na tabela: 
1 1 -3 2 
 1 -2 0 
 
 
Para ler o resultado obtido, temos que separar o último número calculado (ou seja, 0). Este é o 
resto da divisão. Assim, R(x) = 0. 
Os outros números calculados são os coeficientes do quociente Q(x) da divisão, na ordem em 
que aparecem. 
Note que como o grau de Q(x) é um a menos que o grau de P(x), então Q(x) é um polinômio de 
grau 1, pois P(x) é de grau 2. 
No exemplo acima, os coeficientes do quociente são 1 e -2, ou seja, o quociente é o polinômio 
Q(x) = 1x + (-2) = x – 2. 
 
Assim, ao dividirmos P(x) = x2 -3x + 2 pelo binômio D(x) = x – 1, vamos obter o quociente 
2x)x(Q −= e o resto R(x) = 0. De modo que )x(R)x(Q)x(D)x(P +⋅= é 
0)2x)(1x(2x3x2 +−−=+− . 
 
Exemplo: 
Determine o quociente e o resto da divisão do polinômio P(x) = – 4x3 + 2x + 10 pelo binômio 
2x)x(D += . 
 
Note que 
A raiz do binômio D(x) é x = -2. 
Os coeficientes ordenados e completos do polinômio P(x) = -4x3 +2x + 10 = -4x3 + 0x2 + 2x + 10 
são -4, 0, 2 e 10 (lembre de considerar o coeficiente de x2). 
-2 -4 0 2 10 
 -4 8 -14 38 
 
Assim, ao dividirmos P(x) = -4x3 +2x + 10 pelo binômio D(x) = x + 2, vamos obter o 
quociente Q(x) = -4x2 + 8x – 14 e o resto R(x) = 38. 
De modo que )x(R)x(Q)x(D)x(P +⋅= é 38)14x8x4)(2x(10x2x4 23 +−+−+=++− . 
 
Exemplo: 
Determine o quociente e o resto da divisão do polinômio P(x) = x4 - 1 pelo polinômio 
1x)x(D 2 −= . 
 
Note que não podemos aplicar diretamente o dispositivo de Briott-Ruffini, já que o polinômio 
D(x) = x2 -1 não é da forma x-a. Mas, sabemos que D(x)=x2 –1=(x+1)(x–1), e então para dividir 
do polinômio P(x) = x4 - 1 pelo polinômio D(x) = x2 –1, basta dividir P(x) = x4 –1 pelo polinômio 
x + 1, e em seguida dividir o resultado obtido por x – 1. 
 
Dividindo dividir P(x) = x4 - 1 pelo polinômio x + 1: 
-1 1 0 0 0 -1 
 1 -1 1 -1 0 
 
Ou seja, 1xxx
1x
1x 234
−+−=
+
−
, e o resto da divisão foi zero. 
O próximo passo é dividir x3 - x2 + x - 1 por x – 1: 
1 1 -1 1 -1 
 1 0 1 0 
 
Ou seja, 1x
1x
1xxx 223 +=
−
−+−
 e o resto da divisão foi zero. 
Portanto 1x
1x
1xxx
)1x)(1x(
1x
1x
1x 2234
2
4
+=
−
−+−
=
−+
−
=
−
−
. 
 
Divisão de polinômios - Divisão pelo método das chaves 
 
Muitas vezes, não podemos aplicar o dispositivo acima, ou sua aplicação passa a ser 
trabalhosa. Nesses casos, podemos optar por usar o método básico da divisão (método das 
chaves) que se parece bastante com a divisão algébrica. 
 
Este método consiste em fazermos a divisão no seguinte formato 
P(x) D(x) 
R(X) Q(x) 
 
em que, se dividirmos P(x) por D(x) (o divisor), vamos obter dois novos polinômios Q(x) (o 
quociente) e R(x) (o resto), de modo que )x(R)x(Q)x(D)x(P +⋅= . 
 
Exemplo: 
Divida P(x) = 3x3 – 9x2 + 9x - 3 por D(x) = x2 – 2x + 1. 
 
Primeiro, organizamos os dois polinômios como em uma conta usual de divisão. 
3x3 - 9x2 + 9x - 3 x2 – 2x + 1 
 
 
Divida o termo de maior grau de P(x) pelo de maior grau de D(x): x3
x
x3
2
3
= , obtendo-se o 
primeiro termo de Q(x). 
 
Em seguida, multiplica-se o quociente obtido (3x) por D(x). O resultado é colocado, com o sinal 
trocado, sob os termos semelhantes de P(x). 
 
3x3 -9x2 + 9x - 3 x2 - 2x + 1 
-3x3 +6x2 - 3x 3x 
 
 
Na coluna da esquerda, somam-se os termos semelhantes. 
3x3 -9x2 + 9x - 3 x2 - 2x + 1 
-3x3 +6x2 - 3x 3x 
 -3x2 +6x -3 
 
Repete-se o procedimento, dividindo-se o termo de maior grau de –3x2+6x–3 pelo de maior 
grau de D(x): 3
x
x3
2
2
−=
− , obtendo-se o segundo termo de Q(x). 
Em seguida, multiplica-se o quociente obtido (-3) por D(x). O resultado é colocado, com o sinal 
trocado, sobos termos semelhantes de –3x2+6x–3, para então somarmos os termos 
semelhantes. 
 
3x3 -9x2 + 9x - 3 x2 - 2x + 1 
-3x3 +6x2 - 3x 3x -3 
 -3x2 +6x -3 
 3x2 +6x -3 
 0 
 
 
O procedimento se encerra quando o polinômio da “esquerda” (que será o resto da divisão) 
tiver grau menor que do polinômio D(x). 
 
Assim, pelo procedimento acima, temos que o resto da divisão de P(x)=3x3 -9x2 + 9x – 3 por 
D(x)=x2 - 2x + 1 é zero (R(x)=0) e o quociente é Q(x)=3x -3. 
Portanto, escrevendo, como antes, na forma )x(R)x(Q)x(D)x(P +⋅= , temos 
3x3 –9x2 + 9x – 3 = (x2 - 2x + 1)( 3x -3)+0, ou seja, 3x3 -9x2 + 9x – 3 = (x2 - 2x + 1)( 3x -3). 
 
Note que neste caso, ao dividirmos 3x3 – 9x2 + 9x – 3 por x2 - 2x + 1, obtemos 3x –3, ou seja, 
3x3
12x-x
 39x9x-3x
2
23
−=
+
++
. 
 
Exemplo: 
Divida 6x3 – x + 10 por 2x2 – 3x: 
 
6x3 – x + 10 2x2 – 3x 
 
O procedimento é análogo ao exemplo anterior, lembrando que para somar polinômios temos 
que somar os coeficientes dos termos com o mesmo grau, isto é, somar x3 com x3, x2 com x2... 
6 x3 +0x2 – x + 10 2x2 – 3x 
-6x3+9x2 3x 
 9x2 –x +10 
 
E, então: 
6 x3 +0x2 – x + 10 2x2 – 3x 
-6x3+9x2 3x + 4,5 
 9x2 – x +10 
 -9x2 + 13,5x 
 12,5 x +10 
 
Como o grau de 12,5 x +10 é menor do que o grau de 2x2 – 3x então a divisão está terminada e 
temos que 6x3 – x + 10 = (2x2 – 3x)( 3x + 4,5) + 12,5 x +10. 
 
PRODUTOS NOTÁVEIS 
 
 Na multiplicação de expressões algébricas, algumas vezes é possível determinar o 
produto sem efetuar a operação. Nesses casos, os resultados são conhecidos como produtos 
notáveis. 
 
Quadrado da soma de dois termos ou quadrado perfeito 
 
 Observe a figura ABCD formada por dois quadrados e dois retângulos. O quadrado 
ABCD tem 5cm de lado e sua área é: 
A B 
 
 
 
 
 52 = 25cm2 
 
 
 
C D 
 
Podemos desdobrar o quadrado ABCD em quatro quadriláteros: 
 3cm 3cm 2cm 2cm 
 
 
 333 3cm 2cm 3cm 2cm 
 
 
 
Comparando a área do quadrado ABCD com a soma das áreas dos quatros quadriláteros, 
podemos escreve, ( 3 + 2 )2 = 32 + 2 . 3 . 2 + 22 
Portanto: 
 
O quadrado da soma de dois termos ( a + b )2 é igual ao quadrado do primeiro termo (a2) , 
mais duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo ( +2ab), mais o quadrado do 
segundo termo (+b2). 
 
Escrevemos: 
( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 
Exemplos: 
1x2x11x2x)1x( 222 ++=+⋅⋅+=+ 
25x20x455)x2(2)x2()5x2( 36232323 ++=+⋅⋅+=+ 
 
Exemplo: Fatore 4x2+4x+1. 
Note que 2222 )1x2(11x22)x2(1x4x4 +=+⋅⋅+=++ 
Assim, 22 )1x2(1x4x4 +=++ . 
 
Quadrado da diferença de dois termos 
 
O quadrado da diferença de dois termos (a – b)2 é igual ao quadrado do primeiro termo 
(a2), menos duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo (-2ab), mais o 
quadrado do segundo termo (+b2). 
 
Escrevemos: 
( a – b)2 = a2 – 2ab + b2 
Exemplos: 
16x8x44x2x)4x( 2222 +−=+⋅⋅−=− 
9y12y433y22)y2()3y2( 2222 +−=+⋅⋅−=− 
 
Produto da soma pela diferença: 
 
O produto da soma pela diferença de dois termos (a+b) . (a-b) é igual ao quadrado do 
primeiro termo (a2) menos o quadrado do segundo termo (-b2). 
 
Escrevemos: 
(a+b) (a –b) = a2 – b2 
Note que expressão acima é verdadeira visto que se fizermos a distributiva de ( a – b)(a + b) 
obteremos 2222 babababa)ba)(ba( −=−+−=+− . 
 
Exemplos: 
(x-2). (x+2)= x2 - 22 = x2 – 4 
(x-y) (x+y)=x2 – y2 
242222 1x1)x()1x)(1x( −=−=+− 
 
Cubo da soma de dois termos ou cubo perfeito 
 
Observe o desenvolvimento das potências a seguir: 
 
(x+1)3 = (x + 1)2 (x+1)= (x2 +2x +1) (x+1)= 
 = x2 .x + x2 .1 + 2x . x + 2x . 1 + 1.x + 1.1= 
 = x3 + x2 + 2x2 + 2x + x + 1= 
 = x3 + 3x2 + 3x + 1 
 
O cubo da soma de dois termos (a+b)3 é igual ao cubo do primeiro termo (a3), mais três 
vezes o produto do quadrado do primeiro termo pelo segundo (+3 a2b), mais três vezes o 
produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo (+3 ab2), mais o cubo do segundo 
termo (+b3). 
 
Escrevemos: 
(a + b )3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3 
Exemplos: 
3232233 xx6x128xx23x232)x2( +++=+⋅⋅+⋅⋅+=+ 
9
1
3
xxx
3
1
3
1x3
3
1x3x
3
1x 23
32
23
3
+++=





+





⋅⋅+⋅⋅+=





+ 
 
Cubo da diferença de dois termos 
 
Observe o desenvolvimento a seguir: 
 
(x – 1)3 = (x-1)2 (x-1) = (x2 – 2x + 1) (x-1)= 
 = x2 .x – x2 .1 – 2x . x – 2x(-1) + 1.x + 1. (-1)= 
 = x3 – x2 – 2x2 + 2x + x –1= x3 – 3x2 + 3x -1 
 
O cubo da diferença de dois termos (a – b)3 é igual ao cubo do primeiro termo (a3), 
menos três vezes o quadrado do primeiro termo pelo segundo (-3 a2b), mais três vezes o 
primeiro termo pelo quadrado do segundo (+3 ab2), menos o cubo do segundo termo 
(-b3). 
 
Escrevemos: 
(a – b)3 = a3 – 3 a2b + 3 ab2 - b3 
Exemplos: 
8y12y6y22y32y3y)2y( 2332233 −+−=−⋅⋅+⋅⋅−=− 
( ) 3232233 bb3b31bb13b131b1 −+−=−⋅⋅+⋅⋅−=− 
 
FATORAÇÃO 
 
Definição: Fatorar é transformar uma expressão algébrica em um produto de fatores. 
 
Em geral, quando se é pedido para “fatorar” uma expressão, queremos que a expressão seja 
reescrita como produto de fatores os mais simples possíveis. 
 
Temos algumas regras muito utilizadas para fatorar polinômios e que merecem destaque. 
 
Fator Comum 
ax + bx = (a+b) x 
Ex: 2x2 + 4x – 6xy = 2x(x + 2 - 3y) 
(fator comum = 2x) 
 
Agrupamento 
ax + bx + ay + by = (a+b) x + (a+b) y = (a+b) (x+y) 
Ex: 2ay2 + bx + 2by2 + ax = 2y2(a + b) + x(b + a) = (a + b)(2y2 + x) 
 
Trinômio Quadrado Perfeito 
( )222 babab2a +=++ 
 ( )222 babab2a −=+− 
 Ex: 2222 )3x(33x2x9x6x +=+⋅⋅+=++ 
 2222 )1x2(11x22)x2(1x4x4 −=+⋅⋅−=+− 
 
Trinômio do Segundo Grau 
Sejam x1 e x2 raízes da equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0), com 0≥∆ . 
A soma S dessas raízes é S = x1 + x2 = – b/a 
O produto P dessas raízes é P = x1.x2 = c/a 
Observando esses resultados, podemos escrever a equação do 2º grau citada: 
ax2 + bx + c = 0 (dividindo por a) 
x2 + b/a x + c/a = 0 
Assim: x2 – Sx + P = 0 
 Ex: )3x)(2x(6x5x2 ++=++ , já que 325 += e 326 ⋅= . 
 
Diferença de dois Quadrados 
( )( )yxyxyx 22 −+=− 
 Ex: )7x)(7x(7x49x 222 −+=−=− 
 )1x3)(1x3(1)x3(1x9 222 −+=−=− 
 )1x)(1x)(1x()1x)(1x(1)x(1x 2222224 −++=−+=−=− 
 
Soma e Diferença de Dois Cubos 
( )( )2233 yxyxyxyx +−+=+ 
( )( )2233 yxyxyxyx ++−=− 
 Ex: )4x2x)(2x()22xx)(2x(2x8x 222333 +−+=+⋅−+=+=+ 
 ( ) )9x6x4)(3x2(33x2)x2()3x2(3)x2(27x8 222333 ++−=+⋅+−=−=− 
 
Cubo Perfeito 
( )33223 yxyxy3yx3x +=+++ 
( )33223 yxyxy3yx3x −=−+− 
 Ex: 3322323 )1x(11x31x3x1x3x3x +=+⋅⋅+⋅⋅+=+++ 
 3322323 )2x(22x32x3x8x12x6x −=−⋅⋅+⋅⋅−=−+− 
 
Polinômio de segundo grau 
)rx)(rx(acbxax 21
2
−−=++ , onde r1 e r2 são as raízes (complexas ou reais) do polinômio 
cbxax2 ++ , que podem ser encontradas facilmente pela fórmula de Baskara 
a2
ac4bbr
2
−±−
= . 
 Ex: Como 2r1 = e 3r2 = são raízes do polinômio 6x5x
2 +− então 
)3x)(2x(6x5x2 −−=+− . 
 Como 1r1 −= e 4r2 = são raízes do polinômio 4x3x
2
−− então 
)4x)(1x()4x))(1(x(4x3x2 −+=−−−=−− . 
SIMPLIFICAÇÔES DE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS 
 
MDC (máximo divisor comum) é dado pelo produto dos fatores com os menoresexpoentes. 
 
MMC (mínimo múltiplo comum) é dado pelo produto dos fatores comuns tomados com os 
maiores expoentes. 
 
Exemplo: 
Simplificar, efetuando as operações indicadas: 
 
22 yx
xy2
yx
y
yx
x
−
+
−
+
+
= MMC = ( )( ) ( )22 yxyxyx −=−+ 
( )
( )( )
( )( ) yx
yx
yxyx
yxyx
yx
yx
yx
xy2yxyxyx
yx
xy2
yx
)yx(y
yx
)yx(x
22
2
22
22
222222
−
+
=
+−
++
=
=
−
+
=
−
+++−
=
−
+
−
+
+
−
−
=
 
 
NÃO COMETAM MAIS ESTES ERROS 
 
 CERTO ERRADO 
( )2ba − ( )
222 bab2aba +−=− 
( )( ) 22 bababa −=+− ( )
222 baba −=− 
( )2ba + ( ) 222 bab2aba ++=+ ( ) 222 baba +=+ 
( )ba +− ( ) baba −−=+− ( ) baba +−=+− 
( )ba −− ( ) baba +−=−− ( ) baba −−=−− 
b
ba + 1
b
a
b
b
b
a
b
ba
+=+=
+ a
b
ba
=
+ 
b
1
a
1
+ 
ab
ab
b
1
a
1 +
=+ 
ba
1
b
1
a
1
+
=+ 
b
1
a
1
− 
ab
ab
b
1
a
1 −
=− 
ba
1
b
1
a
1
−
=− 
.
a
ba − 
a
b1
a
b
a
a
a
ba
−=−=
− b
a
ba
−=
− 
ba + ( ) 21baba +=+ baba +=+ 
 
Bibliografia: 
1) Iezzi G, Dolce O, Gegenszain D, Périgo R. Matemática. Volume único. Atual editora. São 
Paulo, 2002. 
2) Iezzi G. Fundamentos da Matemática Elementar – vol.6. Atual editora. São Paulo, 2000. 
EXERCÍCIOS SOBRE POLINÔMIOS 
 
1) Encontre as raízes dos polinômios abaixo. 
a) 8x2x)x(P 2 −+= 
b) xx2x)x(G 23 +−= 
c) 2x3x)x(F 2 +−= 
 
2) Divida o polinômio P(x) pelo polinômio D(x) e apresente o resultado na forma 
)x(R)x(Q)x(D)x(P +⋅= onde R(x) é o resto e Q(x) é o quociente. 
a) 1x4x2x)x(P 23 +−+= e 1x)x(D −= 
b) 4x3x)x(P 24 −−= e 2x)x(D += 
c) 2x3xx)x(P 23 −+−= e 3x2x)x(D 2 +−= 
d) 2xx)x(P 34 −+= e 5xx)x(D 2 +−= 
 
3) Utilize produtos notáveis para expandir as expressões abaixo. 
a) ( x + 1 )2 
b) ( a + 5 )2 
c) ( a2 + 1 )2 
d) ( 3y + 2 )2 
e) 
2
4
y
2
x






+ 
f) ( 2a + 10 )2 
g) ( x2 + y2 ) 2 
h) ( 2xy + 5 )2 
i) ( 2 – s )2 
j) (2m – n )2 
k) 
2
3
y
2
x






− 
l) (a2 – b2 )2 
m) 
2
2
1a 





− 
n) ( )223 ab3a − 
o) (2+m) (2-m) 
p) 





−





+
2
d
3
c
2
d
3
c
 
q) ( 1 – 3v) (1 + 3v) 
r) ( 1 + a )3 
s) 
3
3
s
2
x






+ 
t) ( 2c + 3d)3 
u) (2 – x)3 
v) (a2 – 2)3 
w) 
3
s
2
1






− 
x) (3m – 2n )3 
y) (2m –b) (2m + b) 
z) 
3
4
3
a






+ 
 
4) Fatore (ao máximo) os polinômios abaixo. 
 
a) 222232 zx3zyx5zx2zx +−− 
b) 2222222 yt3zy5xyt12xyz20tx12zx20 −+−+− 
c) ( ) ( ) ( )22 cz5)cz5(yx2yx ++++−+ 
d) 
4
3
x
12
63
x9 2 ++ 
e) ( ) ( ) 2222 36191219 xxxx ++−+ 
f) nn xx 236 + 
g) 22
22
363
16
ybabxyxa +− 
 
5) Simplifique as expressões abaixo utilizando as operações necessárias. 
 
a) 
xy
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
22 22
.
+
+
−
+
−
+
+
−
−
−
+
 
b) 
2
22
44
22
22
2
4
.
42
x
yx
yx
yx
yx
x
yx
x
yx
x −








−
+
+
+
+
+
−
 
c) 
2222
22
xa
bx
ba
xa
+
÷
−
 
d) 
b
b
aba
1
1
11
3
+−
+
 
 
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE POLINÔMIOS 
 
1) a) x = - 4 e x = 2 b) x = 0 e x = 1 (raiz dupla) c)x = 1 e x = 2 
 
2) a) 1x3x)x(Q 2 −+= ; 0)x(R = portanto, ( )( ) 01x3x1x1x4x2x 223 +−+−=+−+ 
b) 2xx2x)x(Q 23 −+−= ; 0)x(R = portanto, ( )( ) 02xx2x2x4x3x 2324 +−+−+=−− 
c) 1x)x(Q += ; 5x2)x(R −= portanto, ( )( ) 5x21x3x2x2x3xx 223 −+++−=−+− 
d) 3x2x)x(Q 2 −+= ; 13x13)x(R +−= portanto, 
( )( ) 13133252 2234 +−−++−=−+ xxxxxxx 
 
3) 
a) x2 + 2x + 1 
b) a2 + 10a + 25 
c) a4 + 2 a2 + 1 
d) 9y2 + 12y + 4 
e) 
16
y
4
xy
4
x 22
++ 
f) 4 a2 +40a + 100 
g) x4 + 2x2y2 + y4 
h) 4x2y2 + 20xy + 
25 
i) 4 – 4s + s2 
j) 4m2 – 4mn + n2 
k) 
2 2
4 3 9
x xy y
− + 
l) a4 – 2a2b2 + b4 
m) 2 1
4
a a− + 
n) 6 4 2 2 46 9a a b a b− +
 
o) 4-m2 
p) 
2 2
9 4
c d
− 
q) 1 – 9v2 
r) 1 + 3 a + 3 a2 + a3 
s) 
3 2 2 3
8 4 6 27
x x s xs s
+ + + 
t) 8c3 + 36c2d + 54cd2 + 27d3 
u) 8 – 12x + 6x2 – x3 
v) a6 – 6 a4 + 12 a2 – 8 
w) 2 31 3 3
8 4 2
s s s− + − 
x) 27m3-54m2n+36mn2-8n3 
y) 4m2 – b2 
z) 3 21 4 16 64
27 3
a a a+ + + 
 
4) 
a) x2z(1 – 2xz – 5y + 3z) 
b) 2 2(2 ) (5 3 )x y z t+ − 
c) 2( 5 )x y z c+ − − 
d) 





+





+
4
1x
3
1x9 
e) 4(3 1)x − 
f) 2 (6 1)n nx x + 
g) 
2
by6
4
ax






− 
 
5)a) 
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
( ) ( )
2 2 2( ) 2 2 2( )( )( ). . .
( ) ( ) 2 2
( )( )
4 2( )
. 4
2( )
x y x y x y x y
x y x y x xy y x xy y x yx y x y x y x y
x y x y xy xy xyx y x y x xy y x xy y
x y x y x y x y
xy x y
xyx y
+ − + − −
−
+ + + + − + − +− + + −
= = =
+ − + + − + + + − ++
− + + −
+
=
+
 
b) x4 – y4 = (x2 – y2 ). (x2 +y2) = ( x+y).(x-y). (x2 +y2) 
2 2 2 2 2
2 2 4 4 2
2 4
( ).
4
x x x x y x y
x y x y x y x y x
−
+ + + =
− + + −
 
=
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
( )( ) ( )( ) 2 ( )( ) 4 ( )( )
( ).
( )( )( ) 4
x x y x y x x y x y x x y x y x y x y x y
x y x y x y x
+ + + − + + + − + + −
+ − +
= 
=
4 2 2 3 3 4 2 2 3 3 4 2 2 2 2
2 2 2
2 2 4 1
( ).
4
x x y x y xy x x y x y xy x x y x y
x y x
+ + + + + − − + − +
+
= 
=
4 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
4 4 1 4 ( ) 1
( ). . 1
4 4
x x y x x y
x y x x y x
+ +
= =
+ +
 
 
c) 
2 2 2 2 2 2 4 4
2 2 2 2 2 2 2 3
.
a x bx a x a x a x
bxa b a x a b a b x
− − + −
÷ = =
+
 
 
d) 
3
3 23 3
2 3 2 2 2 2
1 1 1
1 ( 1)( 1) 1
.
1 1 1 ( 1)1
b
a b b b b b bab ab
b b ab b b ab b b abb
b b
+
+
+ + − + +
= = = =
− + − + − +
− +

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