EXERCICIOS DE CALCULO II LISTA 09

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EXERCÍCIOS DE CÁLCULO II – LISTA 9 
 
EQUAÇÃO DIFERENCIAL LINEAR 
 
Equação Diferencial Linear. 
Definição. Equação diferencial de primeira ordem é denominada linear quando a função 
incógnita y e sua derivada y′ são ambas de primeiro grau. 
A forma padrão da equação diferencial linear é 
dy
dx
+ P(x)y = Q(x) 
onde P e Q são funções contínuas de x. 
Se, em particular, Q(x) = 0 a equação se diz linear incompleta ou linear homogênea e toma a 
forma 
dy
dx
+ P(x)y = 0. 
É óbvio que a equação diferencial 
dy
dx
+ P(x)y = Q(x) bem que Q(x) ≠ 0 é dita linear completa. 
Exemplo. As equações 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
−
2𝑦
𝑥
= 0 e 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑦 cos 𝑥 =
1
2
sen 2𝑥 são equações diferenciais lineares 
Resolução de Equações Lineares. 
I) Se a equação é da forma 
dy
dx
+ P(x)y = 0, resolve-se, sem dificuldade, por separação de 
variáveis. Veja! 
dy
dx
+ P(x)y = 0 ⟺ dy + P(x)ydx = 0 ⟺
dy
y
+ P(x)dx = 0. Integrando, tem-se 
∫
dy
y
+ ∫ P(x)dx = C ⟺ ∫
dy
y
+ ∫ P(x)dx = ln k 
ln y = − ∫ P(x)dx + ln k ⟺ ln y − ln k = − ∫ P(x)dx ⟺ ln
y
k
= − ∫ P(x)dx ⟺ 
y
K
= e− ∫ P(x)dx ⟹ y = ke− ∫ P(x)dx. 
Exemplo. Resolver a equação 
dy
dx
−
2y
x
= 0. 
 
Sol.1 
dy
dx
−
2y
x
= 0 ⟺
dy
y
−
2
x
dx = 0 
∫
dy
y
− 2 ∫
dx
x
= ln k ⟺ ln y − 2 ln x = ln k ⟺ ln y − ln x2 = ln k ⟺ ln
y
x²
= ln k ⟺ 
y
x²
= k ⟺ y = kx2. 
 
Sol.2 
Usando y = ke− ∫ P(x)dx. 
P(x) = −
2
x
 
y = ke∫
2
x
dx ⟺y = ke2 ln x ⟺ y = keln x
2
⟺ y = kx2. 
 
II) Se a equação é da forma 
dy
dx
+ P(x)y = Q(x) em que Q(x) ≠ 0. 
Sol. 
dy
dx
+ P(x)y = Q(x). 
As equações lineares possuem a propriedade através da qual se pode, sempre, encontrar uma 
função positiva I(x), chamada fator de integração, de modo que se tem 
I(x)[
dy
dx
+ P(x)y] = I(x)Q(x) ⟺ I(x)
dy
dx
+ P(x)I(x)y = I(x)Q(x). 
Se for possível encontrar essa função ela será tal que I(x)Q(x) = 
𝑑
𝑑𝑥
(I(x)y) isto é, 
I(x)[
dy
dx
+ P(x)y] =
𝑑
𝑑𝑥
(I(x)y) ⟺ I(x)
dy
dx
+ I(x)P(x)y = I(x)
dy
dx
+ y
𝑑
𝑑𝑥
(I(x)) 
Cancelando I(x) e y na igualdade vem que 
I(x)P(x) = 
𝑑
𝑑𝑥
(I(x)) 
Esta é uma equação de variável separável para I, que é resolvida como a seguir: 
dI
dx
= PI ⟺
dI
I
= Pdx ⟺ ∫
dI
I
= ∫ Pdx ⟺ ln I = ∫ Pdx ⟺ I = e∫ Pdx 
Conclusão: Para resolver a equação 
dy
dx
+ P(x)y = Q(x), multiplicam-se seus dois lados pelo 
fator integrante I(x) = 𝑒∫ 𝑃𝑑𝑥 e se integram ambos os membros: 
e∫ Pdx[
dy
dx
+ P(x)y] = e∫ PdxQ(x) 
Exemplo. Resolver a equação 
1
x
dy
dx
−
2
x²
y = x cos x, x > 0. 
 
Sol. 
1
x
dy
dx
−
2
x2
y = x ⟺
dy
dx
−
2
x
y = x2cos x (1) 
Aqui P(x) = −
2
x
 de modo que 
∫ P(x)dx = ∫ −
2
x
dx = −2 ln|x|. Assim o fator integrante é I(x) = e−2 ln|x| = eln x
−2
= x−2. 
Multiplicando a equação (1) por I(x), tem-se 
x−2
dy
dx
− 2x−3y = cos x ⟺
d
dx
(x−2y) = cos x (2) 
Integrando ambos os membros da equação (2) e resolvendo para y, tem-se: 
x−2y = ∫ cos x dx ⟺ x−2y = sen x + C ⟺ y = x² sen x + Cx2. 
 
EXERCÍCIOS 
 
01. Achar a solução geral para cada equação diferencial dada. 
a) 
dy
dx
= 5y b) 3
dy
dx
+ 12y = 4 c) 
dy
dx
+ y = e3x d) xdy = (x sen x − y)dy 
e) (1 + ex)
dy
dx
+ exy = 0 f) (1 + x²)
dy
dx
+ y = tg−1 x g) cos x
dy
dx
+ y sen x = 1 
h) cos² x sen x dy + (y cos³ x − 1)dx = 0 i) 
dy
dx
−
y
x
= x − 2 
R: a) y = Ce5x b) y =
1
3
+ Ce−4x c) y =
1
4
e3x + Ce−x d) y = − cos x +
sen x
x
+
C
x
 
 e) y =
C
ex+1
 f) y = tg−1 x − 1 + Cetg
−1 x g) y = sen x + C cos x 
 h) y = sec x + C cossec x i) y = x2 − 2x ln x + Cx 
02. Resolver cada equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada. 
a) L
di
dt
+ Ri = E; i(0) = i0 com E, L e R constantes. 
b) 
dy
dx
+ (tg x)y = cos2 x; y(0) = −1 
c) 
dT
dt
= k(T − 50); T(0) = 200, com k constante. 
d) (x + 1)
dy
dx
+ y = ln x; y = 10, quando x = 1. 
e) 
dy
dx
=
y
y−x
; y = 2 quando x = 5. 
R: a) I(t) =
E
R
+ (i0 −
E
R
)e−
R
L
t
 b) y = sen x cos x − cos x c) T(t) = 50 + 150ekt 
 d) (x + 1)y = x ln x − x + 21 e) x =
1
2
y +
8
y