CÁLCULO_ EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

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1. 
Uma equação diferencial pode conter muitas derivadas, de várias ordens, de uma função desconhecida. Além disso, uma equação diferencial pode ser classificada quanto ao tipo (EDO ou EDP), à ordem (primeira, segunda, terceira, ...) e à linearidade (linear ou não linear).
Nesse contexto, determine qual das equações diferenciais dadas é de terceira ordem e não linear, assinalando a alternativa que contém a resposta correta:
Você acertou!
D. 
    y''' + 2(y')2 + 3y = 5.
2. 
As equações diferenciais são importantes para a modelagem matemática, pois permitem modelar determinadas situações práticas da Física, da Biologia, da Engenharia, entre outras áreas do conhecimento.
Nesse contexto, determine qual dos modelos a seguir pode representar um modelo de crescimento populacional, assinalando a alternativa que contém a resposta correta:​​​​​​​
Você acertou!
A. 
    P'(t) = kP(t).
3.
As equações diferenciais podem ser classificadas quanto ao tipo (equação diferencial ordinária [EDO] ou equação diferencial parcial [EDP]), à ordem (primeira, segunda, terceira, ...) e à linearidade (linear ou não linear). Assim, classifique a equação
sob esses três aspectos, assinalando a alternativa que contém a resposta correta:
Você acertou!
C. 
EDO; segunda ordem; não linear.
4.
Os modelos matemáticos podem ser imaginados como equações, e, por meio de equações diferenciais, muitos problemas práticos podem ser solucionados. No entanto, é importante analisar o comportamento da equação para decidir se ela atende a determinada necessidade prática. Propõe-se, aqui, a análise do comportamento de uma equação. Considere a equação diferencial
Quanto ao comportamento de y em y=1 e y=2, é correto afirmar que:
Você acertou!
E. 
y é uma constante.
5.
Uma equação diferencial ordinária de ordem n que envolva as variáveis y e x pode ser expressa da seguinte forma:
assumindo que y = y(x). Isso mostra, genericamente, que existe relação entre as variáveis que figuram como argumento da função real F, relação esta que constitui uma equação diferencial. Assim, uma solução dessa equação diferencial é qualquer relação entre as variáveis x e y que não contenha derivadas e que verifique a equação
Nesse contexto, verifique qual das equações a seguir é uma solução da equação diferencial 
Você acertou!
D. 
y(x) = x2.​​​​​​​
1.
Se P(t) é o valor em reais em uma conta bancária de poupança que rende uma taxa de juros anual de r% compostos continuamente, então:
t em anos.
Considere que os juros sejam de 5% anualmente, P(0)=R$ 1.000,00 e nenhum dinheiro seja sacado. Quando a conta chegará a R$ 4.000,00?
Você acertou!
D. 
Aproximadamente 28 anos.
2. 
Determine se a equação (1-x)y"-4xy'+5y=cos ⁡x é linear ou não linear e qual a ordem dela. Assinale a alternativa que contém a resposta correta:
Você acertou!
E. 
Linear de segunda ordem.
Linear de segunda ordem: (1-x)y"-4xy'+5y=cos x.
A ordem de uma equação diferencial (EDO ou EDP) é a ordem da maior derivada na equação. Para ser linear:
A variável dependente y e todas as duas derivadas y',y", yn são do primeiro grau, ou seja, o expoente de cada termo envolvendo y é um.
Os coeficientes a0, a1, an de y, y', yn dependem, quando muito, da variável independente x.
Uma equação diferencial ordinária não linear é simplesmente uma que não é linear.​​​​​​​
3. 
Determine se a equação t5y(4)-t3y"+6y=0 é linear ou não linear e qual a ordem dela.
Você acertou!
A. 
Linear de quarta ordem.
Linear de quarta ordem: t5y(4)-t3y"+6y=0.
A ordem de uma equação diferencial (EDO ou EDP) é a ordem da maior derivada na equação. Para ser linear:
A variável dependente y e todas as duas derivadas y',y", yn são do primeiro grau, ou seja, o expoente de cada termo envolvendo y é um.
Os coeficientes a0, a1, an de y, y', yn dependem, quando muito, da variável independente x.
Uma equação diferencial ordinária não linear é simplesmente uma que não é linear.
4.
Determine se a equação:
É linear ou não linear e qual a ordem dela.
Você acertou!
C. 
Não linear de segunda ordem.
A ordem de uma equação diferencial (EDO ou EDP) é a ordem da maior derivada na equação. Para ser linear:
A variável dependente y e todas as duas derivadas y',y", yn são do primeiro grau, ou seja, o expoente de cada termo envolvendo y é um.
Os coeficientes a0, a1, an de y, y', yn dependem, quando muito, da variável independente x.
Uma equação diferencial ordinária não linear é simplesmente uma que não é linear.
5.
Resolva o seguinte problema de valor inicial:
1. 
Qual é o resultado da equação diferencial ordinária a seguir, no domínio do tempo para condição inicial Y(0)=9?
y´(t) +y (t) = 2:
Você acertou!
C. 
​​​​​2+7.e-t
Como y´(t)+y(t)=2 com y(0)=9
aplicando a transformada dos dois lados:
L(y´+y)=L(2)
L(y´)+L(y)=L(2)
s.Y(s)-Y(0)+Y(s)=2/s
sY(s)-9+Y(s)=2/s
Y(s).(s+1)-9=2/s
Y(S)=(9s+2)/s.(s+1)
y(t)=L-1((9s+2)/s.(s+1))
y(t)=2+7.e-t
2. 
Considerando que uma equação difrencial ordinária pode apresentar várias curvas como solução, qual das alternativas é possível solução da equação diferencial ordinária homogênea seguir?
y´´+ 2.y´+ y = 0.
Resposta correta.
A. 
​​​​​​​e-t
Achando o polinômio característico que é
t2+2t+1=0
extrai-se as raízes
r1=r2=r=-1
A solução então pertencerá a familia de curvasA.ert
Resposta: e-t 
3. 
Resolva a equação diferencial ordinária homogênea de grau 3 a seguir e responda qual alternativa traz sua solução geral:
y´´´- 2y´´+ 5y´ = 0
Você acertou!
A. 
​​​​​​​A+B.ex.cos(2x)+C.ex.sen(2x)
Transcrevendo na forma polinomial
t3-2t2+5t=0
encontra-se as raízes
t=0 t1=1+2j e t2=1-2j
Assim, escreve-se na forma linear abaixo para raízes complexas:
A.e0+B.e1.x.cos(2.x)+C.e1.x.sen(2.x)
ou : A+B.ex.cos(2.x)+C.ex.sen(2.x)
4. 
Resolva a equação diferencial ordinária homogênea a seguir e indique a alternativa que indica sua resposta correta:
ý´´- 9y´´ + 26y´- 24y = 0
Você acertou!
E. 
​​​​​​​ A.e2x+B.e3x+C.e4x
Escrevendo a característica vem:
t3-9t2+26t-24=0
as raízes serão: 2,3 e 4
portanto a base será: e2x,e3x e e4x
solução geral: A.e2x+B.e3x+C.e4x
5. 
Encontre a solução geral para a equação y´´ - 3y´ + 2y = x e aponte a alternativa correta.
Você acertou!
C. 
y(x)=A.ex+B.e2x+((1/2)x)+3/4
Primeiramente iguala-se a zero e encontra-se a solução geral da equação homogênea:
t2-3t+2=0
raízes: 1 e 2
Então: y(x)=A.ex+B.e2x
Agora a solução particular vem da comparação com segundo lado da equação que é um polinômio de grau 1: yp(x)=ax+b
deriva-se: y´p(x)=a
deriva-se mais uma vez y´´p(x)=0
daí substitui-se na original: 0-3a +2ax+2b=x
então: 2b-3a=0 e 2ax=x
portanto: a=1/2 e b=3/4
Assim, montando a solução fica:
y(x)=A.ex+B.e2x+((1/2)x)+3/4
1. 
A depender da ordem da EDO, podemos fixar a solução por meio da aplicação de condições de contorno. Nesse caso, estamos interessados em obter a solução para valores da variável independente restritos a um intervalo fechado. O problema de encontrar a solução de uma EDO com condições de contorno, é chamado de problema de valor de contorno (PVC).
​​​​​​​Nesse contexto, sobre um PVC, é correto afirmar que:
Você acertou!
A. 
apresenta várias soluções, uma única solução ou nenhuma solução.
Um tipo de problema que pode ocorrer consiste em resolver uma equação diferencial linear de segunda ordem ou superior em que a variável dependente y ou suas derivadas são especificadas em pontos diferentes. Esse é o chamado PVC, que pode ter muitas, uma ou nenhuma solução.
2. 
Uma EDO linear de segunda ordem é uma equação da forma
a(x)y’’ + b(x)y’ + c(x)y = d(x)
Onde a = a(x), b = b(x), c = c(x) e d = d(x), sendo funções conhecidas somente da variável independente x. Uma EDO linear de segunda ordem pode ser homogênea ou não homogênea. É importante ter cuidado para não confundir a palavra homogênea empregada em uma EDO linear de segunda ordem com a homônima usada no estudo de EDO homogêneas de primeira ordem.
​​​​​​​Sabendo disso, assinale a alternativa que apresenta uma equação diferencial linear homogênea.
Você acertou!
E. 
x3y''' –2xy' + 4y = 0.
3. 
As EDOs englobam uma área ampla da matemática e são de extrema relevância para explicar diversos modelosdo cotidiano. Resolver uma equação diferencial implica encontrar uma família de curvas adequada. Nas ciências, existe uma grande quantidade de problemas em que recorremos a essas equações para encontrar uma solução.
Assim sendo, resolva a equação y" + y = 0, que satisfaz às condições y(0) = 1 e y’(0) = –2. Assinale a alternativa que contém a solução da equação.
Você acertou!
C. 
y = cos⁡ x –2 sen x.
4. 
Existem diferentes formas de resolver uma EDO de segunda ordem. É fundamental observar: i) se a equação linear tem coeficientes constantes; ii) se a EDO é não homogênea e, para tanto, os dois métodos mais usados são o dos coeficientes a determinar e o da variação dos parâmetros de Lagrange. Um método pode ser mais eficiente do que o outro, a depender da EDO em questão. Por isso, é essencial dominar essas formas de resolução.
Nesse contexto, assinale a alternativa que contém a resposta correta para a resolução da equação diferencial y"– y = 0 .
Você acertou!
B. 
y = c1et + c2e–t.
Às vezes, é interessante estudar o comportamento da derivada de um problema de valor inicial qualquer. Podemos resolver o problema para encontrar a solução e, depois, a derivamos para fazer, de fato, o estudo. Nesse contexto, um resultado de muita importância para o estudo das EDOs de segunda ordem envolve a existência e a unicidade que diz: se p, q e f são funções contínuas em um intervalo aberto I, então o problema de valor inicial descrito a seguir admite uma única solução definida em todo o intervalo I.
1. 
Em equações diferenciais parciais, o espaço das variáveis independentes é multidimensional. Quando são impostas condições sobre o valor da solução e de suas derivadas no bordo da região, tem-se um problema de valores de contorno, ou simplesmente problema de contorno.
Sendo assim, considere o problema de valores de contorno y" + 2y = 0, y(0) = 0, y(π) = 0 e encontre a solução, assinalando a alternativa que contém a resposta correta.​​​​​​
Você acertou!
B. 
y = 0
2. 
Aplicações físicas levam, muitas vezes, a um tipo de problema, no qual o valor da variável dependente y, ou de sua derivada, é especificado em dois pontos diferentes. Tais condições são denominadas condições de contorno, para distingui-las das condições iniciais que especificam os valores de y e de y′ no mesmo ponto. Uma equação diferencial junto com uma condição de contorno apropriada forma um problema de valores de contorno com dois pontos.
Sendo assim, considere o problema de valores de contorno y" + y = 0, y(0) = 0, y(π) = 0 e encontre a solução, assinalando a alternativa que contém a resposta correta.​​​​​​​​​​​​​
Você acertou!
E. 
Infinidade de soluções da forma y = c2 sin x, c2 arbitrário.
3. 
Se uma função u(x, y, z, ...) for suficientemente diferenciável, é possível verificar se é uma solução simplesmente diferenciando u o número de vezes que for necessário em relação às variáveis apropriadas; substitui-se, então, essas expressões na equação diferencial parcial. Se uma identidade for obtida, então u soluciona a equação diferencial parcial. Uma técnica de solução é a integração básica.
Neste contexto, considere u = u(x, y), por integração, determine a solução geral de ux = 2x​​​​​​​, e assinale a alternativa que contém a resposta correta.
4. 
Se uma função u(x, y, z, ...) for suficientemente diferenciável, é possível verificar se é uma solução simplesmente diferenciando u o número de vezes que for necessário em relação às variáveis apropriadas; substitui-se, então, essas expressões na equação diferencial parcial. Se uma identidade for obtida, então u soluciona a equação diferencial parcial. Uma técnica de solução é a integração básica.
Neste contexto, considere u = u(x, y), por integração, determine a solução geral de ux = 2x, u(0, y) = In y​​​​​​​, e assinale a alternativa que contém a resposta correta.​​​​​​​
Você acertou!
C. 
A solução geral é u(x, y) = x2 + In y​​​​​​​.
5. 
Se uma função u(x, y, z, ...) for suficientemente diferenciável, é possível verificar se é uma solução simplesmente diferenciando u o número de vezes que for necessário em relação às variáveis apropriadas; substitui-se, então, essas expressões na equação diferencial parcial. Se uma identidade for obtida, então u soluciona a equação diferencial parcial. Uma técnica de solução é a integração básica.
Neste contexto, considere u = u(x, y), por integração, determine a solução geral de uy = 2x​​​​​​​, e assinale a alternativa que contém a resposta correta.
Você acertou!
D. 
A solução geral é 2xy + g(x)​​​​​​​.
1. 
A equação (1 – x) y'' – 4xy' + 5y = cos ⁡x é linear ou não linear? Qual é a sua ordem?
Você acertou!
E. 
Linear de segunda ordem.
2. 
Considere a equação diferencial dada por y’’ + 2x = 3.
Qual é a sua solução? 
3. 
Determine se a equação x5y'' – cosy – 12 = x + y é linear ou não linear e sua ordem.​​​​​
Você acertou!
D. 
Não linear de segunda ordem.
4. 
Determine se a equação t5y(4) – ​​​​​​​t3y" + 6y = 0 é linear ou não linear e sua ordem.​​​​​​
Você acertou!
A. 
Linear de quarta ordem.
5. 
Para o problema de valor inicial (PVI) da equação y = c1 –​​​​​​​ 20x, onde y(0) = 40, determine c1.
Você acertou!
A. 
40.
1. 
Sendo y = c1ex + c2e−x  solução geral para y’’ − y = 0, no intervalo (∞, −∞), encontre a solução, tendo os valores iniciais y(0) = 0,  y’(0) = 1.
2. 
Determine se as funções f1(x) = x, f2(x) = x2 e f3(x) = 4x − 3x2 são linearmente dependentes ou não dependentes.
Você acertou!
A. 
Linearmente dependentes com coeficientes c1 = −4, c2 = 3, c3 = 1.
3. 
Resolva a equação diferencial 2y’’ − 5y’ − 3y = 0.
Você acertou!
C. 
y = k1e−0,5x + k2e3x
4. 
Encontre a solução particular para y’' − 5y’ + 4y = 8ex.
5.
Considere um circuito LC com e(t) = 0. Determine a carga q(t) no capacitor, se q(0) = q0 e i(0) = 0, sabendo que a equação de malha é 
1. 
Classifique a equação (1 – x)y" – 4xy' + 5y² = cos x por linearidade e grau.
B. 
Não linear de segunda ordem.
2. 
Resolva a equação diferencial não linear y' = y² com a condição inicial y(0) = 1.
3. 
Faça a mudança para a variável w da equação de Bernoulli:
y' + x/y = 1/xy–2.
4. 
Determine os termos p(x), q(x) e r(x) para a equação de Riccati:
y' = –2 – y + y2.
D. 
p(x) = –2, q(x) = –1, r(x) = 1.
5.
Um estudante está com uma doença contagiosa e vai para a faculdade, onde estudam 1.000 alunos. A taxa com que o vírus se espalha pode ser modelada pela função logística:
B. 
276.