Geometria Descritiva 1

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EBA / UFRJ GEOMETRIA DESCRITIVA I Danusa Chini Gani 
 
GENERALIDADES SOBRE PROJEÇÕES 
 
Elementos Fundamentais da operação projetiva: projetar e cortar 
 
 
1. centro de projeção 
 
2. projetantes 
 
3. objeto 
 
4. superfície de projeção 
 
 
 
Sistemas usuais de projeção 
 
Sistema Cônico 
 
 
 
 
 
Sistema Cilíndrico 
Cilíndrico Oblíquo Cilíndrico Ortogonal 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
SketchUp 
Procedimentos iniciais para utilizar o SketchUp no padrão brasileiro de vistas ortográficas: 
1- deletar a figura humana 
2- selecionar câmara: projeção paralela 
3- comando orbitar para alterar a posição dos eixos 
4- deslocar os eixos com o comando panorâmica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3 
Exercício: F01 
1) no SketchUp: 
Representar as peças abaixo, utilizando a malha como unidade de medida. 
2) em folha A4: (sem pauta ou quadriculada) – desenho a mão livre 
Dividir a folha em 4 partes iguais e desenhar as vistas ortográficas (desenho da direita), frontal e 
superior, de cada peça, nomeando cada um de seus vértices, conforme exemplo a seguir: 
 
 
 
No SketchUp Em folha A4 
 
 
BERTOLINE, G.; WIEBE, E. Fundamentals of Graphics Communication, p. 364 
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GEOMETRIA DESCRITIVA 
 
Sistema cilíndrico ortogonal de projeção 
Planos referenciais ortogonais: 
 PH – plano horizontal de projeção (π) 
 PV – plano vertical de projeção (π’) 
Coordenadas do ponto: 
 abscissa; afastamento; cota 
 
 
 
Épura 
 
 
 
 
 
 
 5 
Diedros 
 
1º D 
 
2º D 
3º D 
 
4º D 
 
 
Sinal das coordenadas: 
Abscissa zero 
 
Abscissa negativa 
 
Abscissa positiva 
 
Afastamento zero 
 
Afastamento negativo 
 
Afastamento positivo 
 
Cota zero 
 
Cota negativa 
 
Cota positiva 
 
 
 
 
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Notação do ponto: 
(PONTO) [abscissa; afastamento; cota] 
 
Exemplo: 
 
(A) [ 2,0; 1,0; 3,0] 
 
(B) [ -1,0; 2,0; -4,0] 
 
 
Exercícios: F02 
1 – Fazer a épura dos pontos dados por suas coordenadas. Utilize uma única linha de terra. 
 (A) [2,0; 3,0; 4,0] (B) [-1,0; 1,5; -3,5] (C) [ 4,0; -2,0; 0,0] (D) [ -3,0; -2,0; -6,0] 
 (E) [7,0; 0,0; 5,0] (F) [ 9,0; -3,0; 2,0] (G) [ -5,0; 0,0; -3,0] (H) [ 0,0; 6,0; 0,0] 
 (I) [10,0; 0,0; 0,0] (J) [-2,0; ? ; -5,5] ∈ (π’) 
 (K) é simétrico de (A) em relação ao plano (π) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 – Ler a épura dos pontos do exercício 1 (dar a localização espacial) 
 (A) ∈_______ (B) ∈ _______ (C) ∈ _______ (D) ∈ _______ (E) ∈_______ 
 (F) ∈ _______ (G) ∈ _______ (H) ∈ _______ (I) ∈ _______ (J) ∈ _______ 
 (K) ∈ _______ 
 
 7 
SketchUp 
Posições absolutas da reta (segmento de reta) 
Preparação: 
1- desenhar um retângulo (sem encostar nos eixos) 
2- puxar o retângulo criando um prisma 
3- visualizar as arestas invisíveis (posteriores) 
 
 
Exercícios: F03 
Pesquisar as sete diferentes posições da reta em relação aos planos de projeção por intermédio das arestas 
do prisma e de segmentos unindo seus vértices, considerando: paralelismo, perpendicularidade e 
obliquidade. 
1) no SketchUp: 
Selecionar a aresta (ou segmento) considerada, deixando que fique em azul, e nomear seus pontos 
extremos. Para nomear, abra a caixa ferramentas e use o comando texto. 
Verifique as projeções ortogonais pela caixa câmera, exibições padrão, alto e frontal. 
 
 
 
 
Projeção paralela Exibição padrão alto 
(projeção em π) 
Exibição padrão frontal 
(projeção em π’) 
 
2) em folha A4 – desenho a mão livre 
Dividir a folha em 7 partes e desenhar as épuras de cada uma das retas, conforme exemplo dado: 
a) Reta fronto-horizontal b) reta vertical: paralela à π’ e perpendicular à π 
c) reta de topo: paralela à π e perpendicular à π’ 
d) reta frontal: paralela à π’ e oblíqua à π 
e) reta horizontal: paralela à π e oblíqua à π’ 
f) reta de perfil: paralela à π” e oblíqua à π e π’ 
g) reta genérica: oblíqua à π, π’, π” 
 
Paralela à π e à π’ 
Obs: atenção voltada às posições das projeções em relação à LT; não considere o valor algébrico das coordenadas. 
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Figura plana 
Preparação: 
1- desenhar um prisma e nomear seus vértices 
2- selecionar uma face e mover para o lado: selecione o comendo mover, clique e solte a tecla ctrl 
(para criar uma cópia da face) e desloque, a face copiada, para o lado. 
3- verifique as projeções ortogonais: alto (projeção horizontal) e frontal (projeção vertical) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exibição padrão frontal (projeção em π’) Exibição padrão horizontal (projeção em π) 
 
Exercícios: F04 
Pesquisar diferentes posições da figura em relação aos planos de projeção por intermédio das faces do 
prisma e de figuras criadas a partir de seus vértices, considerando: paralelismo, perpendicularidade e 
obliquidade. 
1) no SketchUp: proceder como exemplificado acima 
 
2) em folha A4 – desenho a mão livre 
Dividir a folha em 7 partes e desenhar as épuras de cada uma das figuras, conforme exemplo dado: 
 
a) Figura frontal (A)(B)(F)(E) 
b) figura horizontal: (E)(F)(G)(H) 
c) figura de perfil: ((A)(E)(H)(D) 
d) figura vertical: (B)(F)(H)(D) 
e) figura de topo: (A)(D)(G)(F) 
f) figura paralela a LT: (A)(B)(G)(H) 
g) figura genérica: (D)(B)(G) 
 
Paralela à π’ e perpendicular à π 
Obs: atenção voltada às posições das projeções em relação à LT; não considere o valor algébrico das coordenadas. 
 
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Pertinência de ponto e reta 
 
Se um ponto pertence a uma reta então, as projeções do ponto pertencem às respectivas projeções da reta. 
 
 
Exercício: F05 
Folha A4, na vertical, dividida em 2 partes iguais, uma para a reta (r) e outra para a reta (s). Uso do 
instrumental de desenho. 
Origem a 8 cm da margem esquerda. 
 
Fazer as épuras das retas, conhecendo dois de seus pontos: 
 1) reta (r): (A) [ 1,0; 3,0; 2,0] (B) [ 4,0; 1,0; 3.0] 
 2) reta (s): (C) [-2,0. -4,0; 3,0] (D) [ 2,0; 2,0; 1,0] 
Localizar os seguintes pontos nas retas dos exercícios anteriores: 
 na reta (r): (P) [ 2,0; ?; ?] (Q) [ ?; ?; 1,0] (T) [ ?; -2,0; ?] 
 na reta (s): (M) [ 0,0; ?; ?] (N) [ ?; ?; 4,0] (L) [ ?; 0,0; ?] 
 
Dar a localização espacial dos pontos marcados nas retas (r) e (s) 
 
Traços de reta nos planos de projeção (pontos notáveis) 
 
 
 
(H) – traço no plano horizontal de projeção π (V) – traço no plano vertical de projeção π’ 
Determinar os pontos notáveis (H) e (V) das retas do exercício F05 e dar suas trajetórias (diedros que 
atravessam). 
 
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Exercício: F06 
1) no SketchUp: 
Representar as peças dadas, utilizando a malha como unidade de medida. 
2) em folha A4: (sem pauta ou quadriculada) – desenho a mão livre 
Dividir a folha em 4 partes iguais e desenhar a épura de cada peça (duas para cada folha), identificando as 
posições das arestas (segmentos) e das faces (figuras planas) em relação aos planos de projeção. Basta um 
elemento de cada tipo; nomeie, apenas, os vértices que correspondem aos elementos identificados, 
conforme exemplo a seguir. 
Ou, represente a épura de cada peça em uma folha e desenhe as épuras dos segmentos e das figuras 
identificadas separadamente. 
 
 
Peça dada No SketchUp 
 
 
 
 
 
 
 
Segmentos: 
(A)(F) – fronto-horizontal 
(A)(B) – de topo 
(C)(I) – vertical 
(F)(G) – frontal 
 
Figuras: 
(A)(B)(C)(D)(E)(F) – horizontal 
(C)(D)(H)(I) – de perfil 
(D)(E)(H) – frontal 
(E)(F)(H)(G) – de topo 
 
Épura Segmentos e Figuras 
 
 
 11BERTOLINE, G.; WIEBE, E. Fundamentals of Graphics Communication, pp. 364-371 
 
 
 
 12 
Verdadeira Grandeza de segmentos e de ângulos com os planos de projeção 
 
 
Segmento paralelo a plano 
 
(A)(B) // π → AB = (A)(B) 
 
Segmento oblíquo a plano 
(A)(B) ∠ π’ → A’B’ <	
 (A)(B) 
 
 
 
Segmento perpendicular a plano 
 
(A)(B) ⊥ π’ → A’ Ξ B’ 
(A)(B) // π → AB = (A)(B) 
 
 
Verdadeira grandeza (VG) de figura plana 
 
 
 
Figura paralela a plano 
 
(A)(B)(C) // π → Δ ABC = Δ (A)(B)(C) 
 
(A)(B)(C) ⊥ π’ → A’B’C’ = segmento 
 
 
 
Figura oblíqua a plano 
 
(A)(B)(C) ∠ π → Δ ABC ≠ Δ (A)(B)(C) 
(A)(B)(C) ∠ π’ → A’B’C’ ≠Δ (A)(B)(C) 
Exercício: F07 
Folha A4, na vertical, dividida em 4 partes iguais. Origem a 3 cm da margem esquerda. 
1) Representar os segmentos (A)(B) e (C)(D) e identificar as projeções em VG. 
 (A) [1,0; 2,0; 1,0] (B) [3,0; 2,0; 4,0] (C) [5,0; 1,0; 1,5] (D) [5,0; 1,0; 3,0] 
2) Construir o segmento (A)(B) sabendo que tem 4,5 cm e é // à π’ no 1º diedro, dados: 
 (A) [1,0; 2,0; 1,0] (B) [5,0; ?; ? ] 
3) Representar a reta (r) sabendo que contém o ponto (M), é paralela à π e faz 45º com π’ no sentido 
horário. (M) [1,0; 2,0; 1,0] 
4) Construir o segmento (A)(B) de 3.0 cm, perpendicular à π no 1ª diedro. (A) [2,0; 2,0; 2,0] 
Identificar a VG dos segmentos da F03 e das figuras da F04 
 13 
 3ª Projeção: 3º plano de projeção (p”) 
 
 π” ⊥ π e π” ⊥ π’ giro no sentido anti-horário 
 
 
Nos demais diedros Épura (no 1º diedro) 
Exercício: F08 
Folha A4, na vertical, dividida em 3 partes. Origem a 3 cm da margem esquerda. 
1) Representar os pontos (M) e (N) sabendo que pertencem à reta que contém (A)(B): 
 (A) [1,0; 1,0; 1,0] (B) [1,0; 4,0; 3,0] (M) [ ?; 3,0; ? ] (N) [ ?; ? ; 4,0] 
2) Fazer a épura do segmento (A)(B) sabendo que tem 3,0 cm no 1º diedro, dados: 
 (A) [1,0; 1,0; 3,0] (B) [1,0; ?; 1,0] 
 Determinar os pontos notáveis da reta. 
3) Determinar a VG do triângulo (A)(B)(C) dado: 
 (A) [1,0; 2,0; 1,0] (B) [1,0; 5,0; 3,0] (C) [1,0; 4,0; 4,0] 
 
Exercício: F09 
Duas folhas A4, na horizontal, divididas em 2 partes iguais. Origem a 3 cm da margem esquerda. 
1) Representar o triângulo equilátero (A)(B)(C) de lado 7,0 cm no 1º diedro. 
 (A) [1,0; 3,0; 4,0] (B) [7,5; 3,0; ?] (C) [?; 3,0; ?] (B) tem a menor cota possível. 
2) Construir o quadrado (A)(B)(C)(D) sabendo que é // à π” no 1º diedro, dados: 
 (A) [0,0; 6,0; 1,0] (B) [0,0; 2,0; 3,0 ] 
3) Representar o triângulo (A)(B)(C) no 1º diedro, dados: 
 (A)(B) é // π’ com 8,0 cm. (A)(C) é ⊥ π’ com 4,0 cm 
 (A) [2,0; 1,0; 1,0] (B) [7,0; ?. ?] 
4) Construir o paralelogramo (A)(B)(C)(D) no 1º diedro, dados: 
 (A)(B) = 5,0 cm (A)(D) = 9,0 cm 
 (A) [0,0; 1,0; 1,0] (B) [4,0; ?; 1,0] (D) [6,0; 1,0; ?] 
 
 14 
SketchUp 
Posições relativas de retas (segmentos de reta) 
Preparação: 
1- desenhar um cubo; 
2- girar o cubo, na aresta indicada, 20º no sentido anti-horário; 
3- traçar os segmentos indicados, selecioná-los e movê-los para o lado. 
 
 
 
 
 
PARALELAS 
(A)(B) // (C)(D) 
 
 
COPLANARES 
(A)(B)(D)(C) superfície 
plana 
 
 
CONCORRENTES 
(A)(B) conc. (B)(C) 
(B) = ponto de concorrência 
 
 
COPLANARES 
(A)(B)(C) superfície plana 
 
 
 
REVERSAS 
(A)(B) rev. (B)(C) 
 
 
NÃO COPLANARES 
(A)(B)(C)(D) superfície 
reversa 
 
 
 
 
 
 15 
 
 
 
Paralelas: (A)(B) // (C)(D) Projeção vertical 
 
 
 
Épura Projeção horizontal 
 
 
 
 
 
 
Concorrentes: (A)(B) conc. (C)(D) Projeção vertical 
 
 
 
Épura Projeção horizontal 
 16 
 
 
 
Reversas: (A)(B) rev. (C)(D) Projeção vertical 
 
 
 
Épura Projeção horizontal 
 
Exercício: F10 
Identificar as posições relativas de retas. 
1) no SketchUp: 
Reproduzir o sólido dado, nomeando seus vértices. Selecionar os pares de segmentos relacionados 
identificando suas posições relativas e as projeções horizontais e verticais. 
 
 
 
Projeção paralela Projeção horizontal Projeção vertical 
2) em folha A4: (sem pauta ou quadriculada) – desenho a mão livre 
Desenhar a épura de cada par de segmentos identificando suas posições relativas, conforme exemplo: 
 
b) (E)(H) e (K)(J) 
c) (E)(H) e (I)(L) 
d) (E)(H) e (F)(G) 
e) (E)(H) e (K)(L) 
f) (F)(G) e (I)(L) 
g) (F)(G) e (B)(J) 
h) (L)(G) e (E)(F) 
(E)(H) e (I)(F) são reversas 
 
 17 
Representação do plano 
 
 
 
 
Elementos definidores do plano Interseções com os planos de projeção (traços) 
 
Pertinência de reta e plano 
 
 
 (r) ϵ plano (A)(B)(C) 
 
 → (r) concorrente (A)(B) e concorrente (B)(C) 
 
 ou 
 
→ (r) paralela (A)(B) e concorrente (B)(C) 
 
 ou 
 
→ (r) paralela (B)(C) e concorrente (A)(B) 
Plano dado por 3 pontos não colineares 
 
 
 
 
(r) ϵ plano (α) 
 
↕ 
 
(H) de (r) ϵ (α) → H ϵ απ 
 
e 
 
(V) de (r) ϵ (α) → V’ ϵ απ' 
Plano dado por seus traços 
Exercícios: F11 
Folha A4 na vertical, dividida em 2 partes iguais; origem a 3 cm da margem esquerda. 
 
1) Representar a reta (r) sabendo que contém os pontos (M) e (N) e pertence ao plano definido pelos 
pontos (A); (B) e (C) 
 (A) [2; 1; 2] (B) [5; 4; 5] (C) [11; 3; 2] (M) [6; ?; 3] (N) [10; ?; 1,5] 
 18 
2) Completar as projeções dos segmentos (A)(B) e (C)(D) sabendo que pertencem ao plano (a) 
 (a): ao = 15 ap = 30º aH ap’ = 45º H 
 (A) [6; ?; 1] (B) [9; ? 4] (C) [12; 1; ? ] (D) [14; ?; 4] 
 
Retas principais do plano 
 
 
reta horizontal 
 
(h) ϵ plano (α) 
 
↕ 
 
 h // απ 
 
 απ é a reta horizontal de cota zero 
 do plano (α) 
 
 
reta frontal 
 
(f) ϵ plano (α) 
 
↕ 
 
 f’ // απ’ 
 
 απ’ é a reta frontal de afastamento 
zero do plano (α) 
 
 
Exercícios: Completar a épura da reta (r) sabendo que pertence ao plano (α) 
 
 
 
 19 
Exercício: F12 
Pesquisar as retas pertencentes aos planos 
1) No SketchUp: 
• desenhar um prisma (conforme figura abaixo) encostado nos planos de projeção; 
• selecionar uma face (ou criar uma figura nas posições do ex. F04); 
• identificar os traços (απ; απ’) com os planos de projeção; 
• mover (copiando) a figura para o lado; 
• desenhar as possíveis retas do plano da figura, nomeando-as; 
• apagar os lados da figura que não sejam interseção com os planos de projeção; 
• verificar as projeções ortogonais das retas e as respectivas relações com os traços dos planos de 
projeção. 
 
 
 
Frontal – projeção em π’ Alto – projeção em π 
 
 2) em folha A4 – desenho a mão livre. IMPORTANTE: consultar F03 e F04 
• desenhar a épura do plano representado por seus traços com os planos de projeção e cada uma das 
retas pertencentes; 
• repetir o procedimento para cada uma das sete posições de planos em relação aos planos de 
projeção. 
 
 
 
Plano horizontal ( α) 
(h) – reta horizontal 
(t) – reta de topo 
(fh) – reta fronto-horizontal 
 20 
Pertinência de ponto e plano 
 
 
 
(P) ϵ plano (α) → (P) ϵ (h) e (h) ϵ plano (α) 
(A) ϵ (α) e ϵ (π’) → (A) ϵ (απ’) 
(B) ϵ (α) e ϵ (π) → (B) ϵ (απ) 
Plano dado por 3 pontos não colineares Plano dado por seus traços 
 
Exercício: F13 
Folha A4 na vertical, dividida em 2 partes iguais; origem a 3 cm da margem esquerda. 
 
1) Completar as projeções dos pontos sabendo que pertencemao plano dado: 
αo = 2,0 απ’= 45º aH απ= 30º H 
(A) [ 3,0; 0,0; ? ] (B) [ 6,0; ?; 2,0 ] (C) [ ? ; 2,0; 4,0 ] 
 
2) Construir o losango (M)(N)(P)(Q) de lado 3,0 cm pertencente ao plano dado, 
 sabendo que está no 1º diedro: 
 αo = 12,0 απ’= 120º aH απ= 150º H 
 (P) [ 7,0; ?; 6,0 ] (P) (N) é // ao plano π’ e a cota de (N) < (P) (M)(N) é // ao plano π 
 
Exercícios: 
1) completar as projeções do ponto (P) pertencente ao plano: 
 
 
 
 
 
(P) ϵ plano (A)(B)(C) 
 
 ↕ 
 
 (P) ϵ (r) e 
 
(r) ϵ plano (A)(B)(C) 
 21 
Retas principais do plano / ângulo com os planos de projeção 
 
 
reta de maior declive 
 
(md) ϵ plano (α) 
 (md) ⊥ απ 
 
↕ 
 
md ⊥ απ 
 (md) é a reta que mede a declividade 
 do plano (α) com o plano (π) 
 
 
 
 
reta máxima inclinação 
 
(mi) ϵ plano (α) 
 (mi) ⊥ απ’ 
 
↕ 
 
mi' ⊥ απ’ 
 (mi) é a reta que mede a inclinação 
 do plano (α) com o plano (π’) 
 
 
Exercícios: 
1) Conduzir pelo ponto (P) a reta do plano (α), sabendo que é: 
(md) – reta de máximo declive 
 
(mi) – reta de máxima inclinação 
 
(mi) – reta de máxima inclinação 
 
 
(md) – reta de máximo declive 
 
(mi) – reta de máxima inclinação 
 
(md) – reta de máximo declive 
 
 
 22 
Exercício F14: 
Pesquisar as retas de interseção de planos secantes 
 
1) SketchUp: 
• desenhar um prisma encostado nos planos de projeção; 
• apagar as faces, deixando só as arestas; 
• representar um plano (com os traços nos planos de projeção); 
• representar outro plano (com os traços nos planos de projeção); 
• selecionar os planos e movê-los para o lado; 
• com os planos selecionados, pedir a interseção em : editar – interseccionar faces – com seleção 
• identificar a interseção e apagar os segmentos que não correspondem aos traços do plano; 
• verificar as projeções ortogonais da reta de interseção dos planos e as relações com os respectivos 
traços. 
 
 
Representação do plano (α) Representação do plano (γ) Projeção vertical 
 
 
 
 
 
 
Deslocamento de (α) e (γ) Interseção dos planos (α) e (γ) Projeção horizontal 
 
2) em folha A4 – desenho a mão livre 
• desenhar a épura dos planos representados por seus traços e determinar a reta de interseção; 
• repetir o procedimento para os planos relacionados abaixo: 
 
 
• um plano genérico e um frontal 
• um plano genérico e um vertical 
• um plano genérico e um paralelo a linha 
de terra 
• dois planos de verticais, não paralelos 
• um plano vertical e um frontal 
• um plano vertical e um de topo 
• um plano de topo e um paralelo a linha 
de terra 
(i) - reta de interseção 
 
(α) ∩ (γ) = (i) 
↕ 
(i) ϵ (α) 
(i) ϵ (γ) 
 
(V) ϵ (α) ; (γ); (π’) 
(H) ϵ (α) ; (γ); (π) 
 
 23 
Exercícios: interseção de planos 
1) Determinar a reta (i) de interseção dos planos dados: 
 
 
Interseção entre reta e plano 
 
Interseção da reta (r) com o plano (α) Plano auxiliar (γ) que contém a reta (r) 
 
 
Planos auxiliares: planos projetantes (perpendiculares a um dos planos de projeção) 
- plano horizontal 
- plano frontal 
- plano de topo 
- plano vertical 
 
 
 24 
 
Exercícios: interseção de reta e plano 
1) Determinar o ponto (I) de interseção entre a reta e o plano dados 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício F15: 
 
Folha A4 na vertical, dividida em 4 partes iguais. Origem a 3 cm da margem esquerda. 
 
1) Determinar a reta de interseção (i) entre os planos (α) e (γ) 
 
 αo = -1,0 απ’ = 30º aH απ = 45º H 
 (γ) // π’ γπ tem afastamento 3,0 
 
2) Idem para os planos: 
 
 αo = -2,5 απ’ = 60º aH απ = 45º H 
 γo = 6,5 γπ’ = 150º aH γπ = 120º H 
 
3) Determinar o ponto de interseção (I) entre a reta suporte do segmento (A)(B) e o plano (a) 
 
 αo = -1,0 απ’ = 45º aH απ = 30º H 
 (A) [ 0,0; 5,0; 4,0 ] (B) [ 4,0; 1,0; 2,0 ] 
 
4) Idem para: 
 
 αo = 1,0 απ’ = 120º aH απ = 30º H 
 (A) [ 2,0; 3,0; 2,0 ] (B) [ 5,0; 1,0; 4,0 ] 
 25 
Sólidos Poliédricos 
 
 
Prisma reto de base triangular 
 
 
Pirâmide de base triangular (tetraedro) 
 
Exercício F16: 
Folha A4 na vertical, dividida em 4 partes iguais. Origem a 3 cm da margem esquerda.Nomear todos os 
vértices e representar as arestas invisíveis com linha tracejada. 
 
1) Representar o prisma reto de base quadrada (A)(B)(C)(D) apoiada em (π) e altura 5,0 cm sabendo que 
está no 1º diedro. 
 (A) [ 1,0; 1,0; ? ] (B) [3,0; 2,0; ?] 
 
2) Representar a pirâmide reta de base triangular regular (A)(B)(C) apoiada em (π’) e altura 4 cm sabendo 
que está no 1º diedro. 
 (A) [ 1,0; ?; 2,0] (B) [ 5,0; ?; 1,0] 
 
3) Representar a pirâmide de base triangular (A)(B)(C) apoiada no plano (π) e vértice principal (V) 
 
 (A) [ 2,0; 1,0; ?] (B) [ 3,0; 4,0; ? ] (C) [ 6,0; 2,0; ? ] (V) [ -1,0; 4,0; 4,0 ] 
 
4) Construir o prisma reto de base triangular regular (A)(B)(C) paralela ao terceiro plano de projeção 
(π’’) sabendo que a base (A)(B)(C) é a de maior abscissa. 
 
 (A) [ 2,0; 1,0 ; 4,0] (B) [ 2,0; 2,0 ; 1,0] (C) [ 2,0; ? ; ? ] 
 h = 3,0 cm 
 26 
Exercício F17: 
Folha A4 na vertical, dividida em 2 partes iguais. Origem a 3 cm da margem esquerda.Nomear todos os 
vértices e representar as arestas invisíveis com linha tracejada. 
1) Representar o prisma oblíquo de base quadrada (A)(B)(C)(D) paralela a (π) e altura 3,5 cm sabendo 
que está no 1º diedro. 
 (A) [ 3,0; 1,0; 1,0 ] (B) [ 5,0; 2,0; ? ] (E) [ 6,0; 3,5; ? ] 
 
 (A)(E) = aresta lateral 
 
2) Representar a pirâmide de base triangular regular (A)(B)(C) apoiada em (π’) e altura 4 cm sabendo que 
está no 1º diedro. 
 (V) = vértice principal (V) [ 11,0; ? ; 1,0 ] 
 (A) [ 5,0; ?; 5,0] (B) [ 7,0; ?; 1,0] (C) tem a maior cota possível 
 
 Seção de sólidos 
 
Vista frontal (projeção vertical) 
 
 
Vista superior (projeção horizontal) 
 27 
Plano auxiliar 
 
Vista frontal (projeção vertical) 
Exercício F18: 
 
Fazer as seções nos poliedros representados no 
exercício F16 pelos planos relacionados abaixo: 
 
1) plano genérico 
 αo = -2,0 
 απ’ = 45º aH 
 απ = 60º H 
2) plano vertical 
 αo = 0,0 
 απ = 30º H 
3) plano horizontal de cota 1,0 
4) plano frontal, de afastamento 3,0 
 
Fazer as seções nos poliedros representados no 
exercício F17 pelos planos relacionados abaixo: 
 
1) plano de topo 
 αo = 9,0 
 απ’ = 120º aH 
2) plano genérico 
 αo = 15,0 
 απ’ = 135º aH 
 απ = 150º H 
 
 
 
 
Vista superior (projeção horizontal) 
 
 
 28 
Exercício F19: 
Folha A4 na horizontal, LT a 12 cm da margem superior e origem a 10 cm da margem esquerda 
 
Construir o prisma reto de base retangular (A)(B)(C)(D) apoiada no plano horizontal (π), dados: 
 
 (A) [3,0; 4,0; 0,0] (B) [ 5,0; 1,0; 0,0] 
 
 lado (A)(D) = 6,0 cm 
 altura do prisma = 8,0 cm 
 
a) Fazer a seção do prisma pelo plano de topo (α) 
 
αo = 1,5 απ’ faz 30º aH com a LT 
 
b) Planificar o tronco do prisma (só SketchUp) 
 
c) Construir o modelo físico (maquete) 
 
 
Exercício F20: 
Folha A4 na horizontal, LT a 12 cm da margem superior e origem a 10 cm da margemesquerda 
 
Construir a pirâmide reta de base quadrada (A)(B)(C)(D) apoiada no plano horizontal (π), dados: 
 
 (A) [3,0; 4,0; 0,0] (B) [ 7,0; 1,0; 0,0] 
 
 altura da pirâmide = 10,0 cm 
 
a) Fazer a seção da pirâmide pelo plano de topo (α) 
 
αo = 0,0 απ’ faz 30º aH com a LT 
 
b) Planificar o tronco da pirâmide (só SketchUp) 
 
c) Construir o modelo físico (maquete) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 29 
Métodos descritivos 
Mudança de plano de projeção 
 
Mudança de plano vertical de projeção Épura com a nova LT 
 
Exercício F21: 
Folha A4 na vertical, dividida em 4 partes iguais. Origem a 3 cm da margem esquerda. 
1) Fazer com que o segmento (A)(B) fique paralelo ao plano vertical de projeção (π’), dados: 
 (A) [ 1,0; 1,0; 2,0] (B) [5,0; 3,0; 3,0] 
2) Determinar a projeção vertical do ponto (B) sabendo que: 
 (A) [ 1,0; 1,0; 2,0] (B) [5,0; 3,0; ?] (A)(B) = 5,0 cm no 1º diedro 
3) Determinar a VG do triângulo (A)(B)(C) pertencente a um plano perpendicular a (π’), dados: 
 (A) [ 0,0; 3,0; 1,0] (B) [2,5; 4,0; 2,5] (C) [3,5; 2,0; ?] 
4) Construir o triângulo equilátero (A)(B)(C) pertencente a plano perpendicular a (π), dados: 
 (A) [ 2,0; 1,0; 2,0] (B) [5,0; 4,0; 1,0] 
 
Rotação 
 
 
Rotação em torno de eixo vertical Épura com o eixo (e) de rotação 
Exercício F22: Fazer os mesmos exercícios da F19, utilizando o método das rotações. 
 30 
MÉTODOS DESCRITIVOS NO SKECTHUP 
 
1) Mudança de plano / eixos 
• direção dos eixos (default) 
 
 
 
Lados paralelos aos eixos Nova posição dos eixos (x na diagonal) 
 
 
Reta perpendicular à base (eixo z) Reta perpendicular ao plano inclinado ( novo z) 
 
2) Rotação 
• eixo perpendicular ao plano de rotação 
 
 
Em torno do eixo z Em torno do eixo x Em torno do eixo y 
 
 
Rotação em torno de z Rotação em torno de x Rotação em torno de y 
 
 
 
 31 
Rebatimento 
 
 
Regra geral: triângulo de rebatimento Épura 
 
 
Plano projetante Épura 
 
Exercício F23: 
Folha A4 na vertical, dividida em 4 partes iguais. Origem a 3 cm da margem esquerda. 
1) Determinar a VG do segmento (A)(B) pertencente ao plano (α), dados: 
 αo = 1,0 απ’ = 45º aH απ = 60º H 
 (A) [ 3,0; 1,0; ?] (B) [5,0; 3,0; ?] 
2) Determinar a VG do triângulo (A)(B)(C), pertencente a um plano perpendicular a (π), dados: 
 (A) [ 4,0; 1,0; 2,0] (B) [5,0; 3,0; 4,0] (C) [ 6,0; ?; 3,0] 
3) Determinar a VG do triângulo (A)(B)(C) pertencente a um plano perpendicular a (π’), dados: 
 (A) [ -2,0; 3,0; 2,5] (B) [0,5; 4,0; 1,0] (C) [1,5; 2,0; ?] 
4) Construir o triângulo equilátero (A)(B)(C) pertencente a plano perpendicular a (π), dados: 
 (A) [ 4,0; 1,0; 2,0] (B) [6,0; 4,0; 1,0]