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André Barcellos Ferreira – andrepoetta@hotmail.com 1 Universidade Federal do Espírito Santo HIDRÁULICA BÁSICA – 4ª edição EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Exercícios propostos do capítulo 2: 2.7, 2.10, 2.14, 2.16, 2.20, 2.21, 2.23, 2.34, 2.35, 2.36. (pg. 1) Exercícios propostos do capítulo 3: 3.1, 3.7, 3.8, 3.10, 3.13. (pg. 7) Exercícios propostos do capítulo 4: 4.1, 4.4, 4.7 e 4.9. (pg. 11) Exercícios propostos do capítulo 5: 5.1, 5.2 5.4, 5.6, 5.8, 5.14. (pg. 16) Exercícios propostos do capítulo 6: 6.1, 6.2, 6.6. (pg. 22) Exercícios propostos do capítulo 8: 8.1, 8.2, 8.3, 84, 8.5, 8.6, 8.8, 8.10, 8.19, 8.20. (pg. 27) Exercícios propostos do capítulo 9: 9.5, 9.6, 9.8. (pg. 33) Exercícios propostos do capítulo 12: 12.7, 12.9, 12.13, 12.18. (pg. 35) 2.7 Água escoa em um tubo liso, εεεε = 0,0 mm, com um número de Reynolds igual a 106. Depois de vários anos de uso, observa-se que a metade da vazão original produz a mesma perda de carga original. Estime o valor da rugosidade relativa ao tubo deteriorado.1 J → perda de carga onde f → fator de atrito V → velocidade média Na situação final, J0(Q) = J(Q/2). Portanto: ( ) ( )2 2 2 20 0/ / 2 2 2 4 Q A Q Af f f Q f Q D g D g A A ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇔ = ( ) ( ) 2 2 5,4 5,4 6 0,9 6 0,9 0,25 1 5,74 5,74log 2log 3,710 10 5,74 5,74log log 3,7 10 10 D D ε ε ∴ = ⇔ = + ⇔ + 3 5 5,4 5,4 5,4 5,74 5,74 100 5,74 2,262 10100 (1 100) 8,370 10 3,7 3,7 27,02710 10 10D D D ε ε ε − − − ⋅ ⇔ = + ⇔ = − ⇔ = = − ⋅ Resolvendo por um outro método, tem-se: (antes) 2 1 1 4 V DQ pi⋅ ⋅= 2 1 1 1 2 L VH f D g ∆ = (depois) 2 1 1 2 V V= 2 2 2 1 2 1 2 1 2 142 2 L V L VH H f f f f D g D g ∆ = ∆ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇔ = Recentemente, Swamee apresentou uma equação geral para o cálculo do fator de atrito, válida para os escoamentos laminar, turbulento liso, turbulento rugoso e de transmissão, na forma: 0,125168 6 0,9 64 5,74 25009,5 ln Re 3,7 ReRe f y D yy ε − = + + − Pela equação de Swamee, aplicada no tubo liso: 2 0,9 0,25 2 5,74log 3,7 Re f VJ f D g D y ε = = + André Barcellos Ferreira – andrepoetta@hotmail.com 2 Universidade Federal do Espírito Santo ( ) ( ) ( ) 0,125168 65 5 36,4 10 9,5 ln 2,28 10 2,5 10 0,011597f − − − − = ⋅ + ⋅ − ⋅ = Assim: 2 1 24 0,046388f f f= ⇒ = Pela equação do tubo rugoso: 1 12,04log 1,67 2,04log 1,67 20,046338 R D f ε ε = + ⇒ = + ⇔ 4,64298 2,04 log log 2 1,67 1,4573 log log 2 log 1,7584D D D ε ε ε ⇔ = − + ⇔ = − ⇔ = ⇔ 0,0174 D ε = 2.10 Em uma tubulação circular, a medida de velocidade do escoamento, a uma distância de parede igual a 0,5 R, em que R é o raio da seção, é igual a 90% da velocidade na linha central (velocidade máxima). Determine a relação entre a velocidade média V e a velocidade central vmáx, e a rugosidade relativa da tubulação. Sugestão: utilize o resultado do Exemplo 2.2 e as Equações 2.20 e 2.34. Equação 2.20 ⇒ * 2,5lnmáxv V R u y − = Equação 2.34 ⇒ 1 3,712log Df ε = Do Exemplo 2.2, *4,07 0,765máx máxv V u V v= + → = * * * 0,9 2,5ln 1,733 0,1 1,733 0,577 0,5 máx máx máx máx v v R v u u v u R − = = ⇔ = ⇔ = Pela Equação 2.32 * 2,5ln 4,73V R u ε = + , tem-se: 0,765 2,5ln 4,73 ln 3,41 30,30 0,0165 0,577 2 2 2 máx máx v D D D v D ε ε ε ε = + ⇔ = ⇔ = ⇒ = 2.14 Em relação ao esquema de tubulações do exemplo 2.8, a partir de que vazão QB, solicitada pela rede de distribuição de água, o reservatório secundário, de sobras, passa a ser também abastecedor? Para aço soldado novo, C = 130 (Tabela 2.4). Pela Tabela 2.3, determina-se β (β1 = 1,345⋅103) No trecho AB: D1 = 6”, C = 130 e J1 = 1,12 m/100 m → β1 = 1,345⋅103 1,85 3 1,85 1 1 1 1 11,12 1,345 10 0,0216J Q Q Qβ= ∴ = ⋅ ∴ = m3/s No trecho BC: D2 = 4”, C = 130, J2 = 1,12 m/100 m, β2 = 9,686⋅103 1,85 3 1,85 2 2 2 2 21,12 9,686 10 0,00745J Q Q Qβ= ∴ = ⋅ ∴ = m3/s A diferença é consumida na rede: QB = 0,0216 – 0,00745 = 0,01415 m3/s = 14,2 l/s A cota piezométrica em A é CPA = 812,0 m. Em B é a cota menos a perda: CPB = CPA – ∆HAB = 812 – J1L1 = 812 – 0,0112⋅650 = 804,72 m A partir de que vazão QB o reservatório de sobras também é utilizado? André Barcellos Ferreira – andrepoetta@hotmail.com 3 Universidade Federal do Espírito Santo Neste caso, CPB < 800m 1 812 800 0,0185 650 HJ L ∆ − = = = m/m Aço soldado novo: C = 130 (tabela 2.4) D1 = 6”, C = 130, J1 = 1,85 m/100 m, β1 = 1,345⋅103 1,85 3 1,85 1 1 1 1 11,85 1,345 10 0,02836J Q Q Qβ= ∴ = ⋅ ⇔ = m3/s = 28,36 l/s 2 800 800 0 420 J −= = Toda a vazão proveniente do reservatório superior é utilizada no abastecimento na iminência. Para que o reservatório inferior entre em operação, QB > 28,36 l/s. 2.16 Na tubulação da figura 2.10, de diâmetro 0,15 m, a carga de pressão disponível no ponto A vale 25 mH2O. Qual deve ser a vazão para que a carga de pressão disponível no ponto B seja 17 mH2O? A tubulação de aço soldado novo (C = 130) está no plano vertical. Carga de pressão em CPA = 25 mH2O. Qual deve ser a vazão para que a carga de pressão em B seja CPB = 17 mH2O? 25AP γ = m, 17BP γ = m, zA = 0, zB = 5 m 2 2 , 2 2 A A B B A B P V P V z z H g gγ γ + + = + + + ∆ vA = vB ⇒ 25 = 17 + 5 +∆H ⇔ ∆H = 3 mH2O Pela tabela 2.3, β = 1,345⋅103 3 0,0191 157,1 HJ L ∆ = = = m/m = 1,91 m/100 m 11 1,851,851,85 3 1,91 28,9 1,345 10 JJ Q Qβ β = ⇒ = = = ⋅ l/s 2.20 Em uma adutora de 150 mm de diâmetro, em aço soldado novo (εεεε = 0,10 mm), enterrada, está ocorrendo um vazamento. Um ensaio de campo para levantamento de vazão e pressão foi feito em dois pontos, A e B, distanciados em 500 m. No ponto A, a cota piezométrica é 657,58 m e a vazão, de 38,88 l/s, e no ponto B, 643, 43 m e 31,81 l/s. A que distância do ponto A deverá estar localizado o vazamento? Repita o cálculo usando a fórmula de Hazen-Williams. D = 150 mm QA = 38,88 l/s QB = 31,81 l/s ε = 0,10 mm CPA = 657, 58 m L = 500 m CPB = 643,43 m Fórmula universal da perda de carga: 2 ; 2 L VH f D g ∆ = 2 ; 2 fVJ Dg = H L J∆ = × • A – C: 3 2 38,88 10 2,20 0,075 A A Q v A pi − ⋅ = = = ⋅ m/s; ƒA = 0,0191; 20,0191 2,20 0,0314 2 2 0,15 9,8 A A A f VJ Dg ⋅ = = = ⋅ ⋅ m/m • B – C: André Barcellos Ferreira – andrepoetta@hotmail.com 4 Universidade Federal do Espírito Santo 3 2 31,81 10 1,80 0,075 B B Q v A pi − ⋅ = = = ⋅ m/s; ƒB = 0,0193; 20,0193 1,80 0,0213 2 2 0,15 9,8 B B B f VJ Dg ⋅ = = = ⋅ ⋅ m/m Pela ideia de que a energia total se mantém constante, e como o escoamento é constante, pode-se usar a equação 2 2 , 2 2 A A B B A B p V p V z z H g gγ γ + + = + + + ∆ onde .n n n p z CP γ + = Colocando os valores do problema, tem-se: 2 22,20 1,80657,58 643,43 657,83 643,60 14,23 2 9,8 2 9,8 H H H+ = + + ∆ ⇔ = + ∆ ⇔ ∆ = ⋅ ⋅ m Sabe-se que a perda de carga total é devida à perda de carga nos pontos A e B. Assim: ( )0,0314 0,0213 500 14,23A B A A B B A AH H H J L J L L L∆ = ∆ + ∆ = + = ⋅ + ⋅ − = ⇔ 3,580,0101 14,23 10,65 354,45 0,0101A A L L⇔ ⋅ = − ⇔ = = m Pela fórmula de Hazen-Williams: J = βQ1,85,βA = βB = 1,345⋅103 JA = 1,345⋅103(38,88⋅10–3)1,85 → JA = 3,309 m/100 m JB = 1,345⋅103(31,81⋅10–3)1,85 → JB = 2,283 m/100 m Portanto: ∆HA + ∆HB = ∆H ⇔ JALA + JBLB = ∆H ⇔ 0,0314LA + 0,02283(500 – LA) = 14,2 ⇔ ⇔ 14,23 500 0,02283 274,37 0,03309 0,02283A L − ⋅= = − m 2.21 Em uma tubulação horizontal de diâmetro igual a 150 mm, de ferro fundido em uso com cimento centrifugado, foi instalada em uma seção A uma mangueira plástica (piezômetro) e o nível d’água na mangueira alcançou a altura de 4,20 m. Em uma seção B, 120 m à jusante de A, o nível d’água em outro piezômetro alcançou a altura de 2,40 m. Determine a vazão. D = 150 mm = 0,15 m C = 130 Tabela 2.3 → β = 1,345⋅103 1,85J Qβ= ⋅ e HJ L ∆ = 1,85 3 4,20 2,40 1,5100 0,0253 120,00 1,345 10 J Q Q− = → = ⇒ = ⋅ m3/s = 25,3 l/s Outro método: D = 150 mm = 0,15 m CPA = 4,20 m CPB = 2,40 m DAB = 120 m VA = VB ⇒ 4,2 2,4 1,8H H= + ∆ ⇔ ∆ = m 1,8 0,015 120 H J L J∆ = ⋅ ⇒ = = 1,85 1,85 4,37 1,85 4,37 1,85 1,85 4,37 0,015 130 0,1510,65 10,65 10,65 Q J C DJ Q C D ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⇒ = = 1,85 32,878 10 0,0423Q −⇔ = ⋅ = m3/s = 42,3 l/s 2 2 2 2 2 2 2 2 A A B B A B A B A B P V P V V V z z H CP CP H g g g gγ γ + + = + + + ∆ ⇔ + = + + ∆ André Barcellos Ferreira – andrepoetta@hotmail.com 5 Universidade Federal do Espírito Santo 2.23 A ligação entre dois reservatórios, mantidos em níveis constantes, é feita por duas tubulações em paralelo. A primeira, com 1500 m de comprimento, 300 mm de diâmetro, com fator de atrito f = 0,032, transporta uma vazão de 0,056 m3/s de água. Determine a vazão transportada pela segunda tubulação, com 3000 m de comprimento, 600 mm de diâmetro, e fator de atrito f = 0,024. A perda de carga é a mesma: 1 2 1 1 2 2f fh h J L J L= ⇔ = 2 2 5 8 f QJ g Dpi = ⇒ 2 2 5 2 21 1 2 2 1 2 22 4 2 4 5 1 2 8 8 0,032 600 1500 0,056 0,259 0,024 300 3000 f Q f QL L Q g D g Dpi pi ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ = = ⋅ ⋅ m3/s Por outro método: 1. L1 = 1500 m 2. L2 = 3000 m D1 = 300 mm = 0,3 m D2 = 600 mm = 0,6 m f1 = 0,032 f2 = 0,024 Q1 = V1A1 Q2 = ? 2 1 1 0,07074 DA pi ⋅= = m2 2 2 2 0,28274 DA pi ⋅= = 1 1 1 0,7922QV A = = m/s 22 2 2 2 2 2 3,5368QQ V A V Q A = ⋅ ⇔ = = Tubulações em paralelo → ∆H1 = ∆H2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 22 2 2 2 f V f L V f L V f L V f L V f L VH J L H L D g D g D g D g D D ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∆ = ⋅ ⇔ ∆ = = ∴ = ⇔ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 2 2 2 20,032 1500 0,7922 0,024 3000 3,5368 0,3 0,6 Q⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⇒ 2 2 2 2 0,032 1500 0,7922 0,6 0,25864 0,3 0,024 3000 3,5368 Q ⋅ ⋅ ⋅⇒ = = ⋅ ⋅ ⋅ m3/s = 258,64 l/s 2.34 Uma tubulação de 0,30 m de diâmetro e 3,2 km de comprimento desce, com inclinação constante, de um reservatório cuja superfície está a uma altura de 150 m, para outro reservatório cuja superfície livre está a uma altitude de 120 m, conectando-se aos reservatórios em pontos situados 10 m abaixo de suas respectivas superfícies livres. A vazão através da linha não é satisfatória e instala-se uma bomba na altitude 135 m a fim de produzir o aumento de vazão desejado. Supondo que o fator de atrito da tubulação seja constante e igual a f = 0,020 e que o rendimento da bomba seja 80%, determine: a) a vazão original do sistema por gravidade; b) a potência necessária à bomba para recalcar uma vazão de 0,15 m3/s; c) as cargas de pressão imediatamente antes e depois da bomba, desprezando as perdas de carga localizadas e considerando a carga cinética na adutora; d) desenhe as linhas de energia e piezométrica após a instalação da bomba, nas condições do item anterior. (Sugestão: reveja a equação 1.36, observando os níveis d’água de montante e jusante.) a) hf = J⋅L =150 – 120 = 30 m 2 2 2 5 2 5 2 5 8 9,81 0,3030 30 30 0,117 8 8 0,020 3200 f Q gL Q D Qf Lg D pi pi pi ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⇒ = = ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ m3/s b) Pot = ? para Q = 0,15 m3/s ⇒ Q = V⋅A ⇔ 2,1221QV A = = onde 2 0,0707 4 DA pi= = André Barcellos Ferreira – andrepoetta@hotmail.com 6 Universidade Federal do Espírito Santo 9,8 BQ HPot η ⋅ ⋅ = 22 3 2 2 4 1 0,020 3,2 10 4 0,15 1150 120 2 0,3 2 9,80,3a b c B L Q z H z f H D gDpi pi ⋅ ⋅ ⋅ + = + ⇔ + = + ⇔ ⋅⋅ 3 2 2 2 4 0,020 3,2 10 4 0,1530 19,01 0,3 0,3 2 9,8B H pi ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇔ = − + = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 9,8 19,01 0,15 34,93 0,8 Pot ⋅ ⋅∴ = = kW c) 2 2 1 12 2 A A antes A antes A B A B p V p V p z z H z z H g gγ γ γ + + = + + + ∆ ⇔ = + + ∆ 1150 135antes p H γ ∴ = + + ∆ onde: 2 2 1 0,02 533,33 2,1221 8,17 2 2 9,8 0,3 L VH f D g ⋅ ⋅∆ = = = ⋅ ⋅ 6,83antesp γ = mH2O 2 2 1 150 19,01 135 8,172 2 depois depoisA A B B A B p pp V VH z z H g gγ γ γ + + + = + + + ∆ ⇔ = + − − ⇔ 25,84depois p γ ⇔ = mH2O 2.35 Na figura 2.14 os pontos A e B estão conectados a um reservatório mantido em nível constante e os pontos E e F conectados a outro reservatório também mantido em nível constante e mais baixo que o primeiro. Se a vazão no trecho AC é igual a 10 l/s de água, determine as vazões em todas as tubulações e o desnível H entre os reservatórios. A instalação está em um plano horizontal e o coeficiente de rugosidade da fórmula de Hazen- Willians, de todas as tubulações, vale C = 130. Despreze as perdas de carga localizadas e as cargas cinéticas das tubulações. AC BCA B f fCP CP h h= ⇒ = 1,85 ( , ) Hazen Willians J Q tabela D Cβ − = ⋅ → 1,85 1,85 3 1,85 3 1,858100 100 9,686 10 10 100 1,345 10 100AC AC AC BC BC BC BCQ L Q L Qβ β⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇔ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇔ 3 1,85 1,851,85 3 9,686 10 10 509,83 29,07 1,345 10BC Q ⋅ ⋅⇔ = = = ⋅ l/s André Barcellos Ferreira – andrepoetta@hotmail.com 7 Universidade Federal do Espírito Santo 29,07 10 39,07CD BC ACQ Q Q= + = + = l/s DEE F f f DFCP CP h h= ⇒ = ( , ) ( , )DE DF DE DF D C D C β β = = 1,85 1,85 1,85 1,85 1,85250100 100 200 DF DE DE DE DF DF DF DE DF DF DE LQ L Q L Q Q Q L β β⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇔ = = ⇔ ( )1,851,85 1,851,25 1,128DE DF DE DFQ Q Q Q⇔ = ⇒ = Conservação da matéria ⇒ QDE + QDF = QCD 39,1 1,128 39,1 18,37DE DF DF DF DFQ Q Q Q Q⇔ + = ⇔ + = ⇒ = l/s ⇒ QDE = 20,73 l/s AC CD DEA E f f fH CP CP h h h= − = + + ⇔ 1,85 1,85 1,851 100 AC AC AC CD CD CD DE DE DE H Q L Q L Q Lβ β β = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⇔ 3 1,85 2 1,85 3 1,851 9,686 10 0,01 100 3,312 10 0,0391 300 1,345 10 0,02073 200 100 H ⇔ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⇔ 6,47H⇔ = m 2.36 Determine o valor da vazão QB, e a carga de pressão no ponto B, sabendo que o reservatório 1 abastece o reservatório 2 e que as perdas de carga unitárias nas duas tubulações são iguais. Material: aço soldado revestido com cimento centrifugado. Despreze as perdas localizadas e as cargas cinéticas. 810 800 0,00758 860 460AB BC J J −= = = + m/m Aço soldado revestido com cimento centrifugado. C = 130 β1 = 1,345⋅103, β2 = 9,686⋅103 1,85 3 1,850,758 1,345 10 0,0175AB AB AB ABJ Q Q Qβ= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = m3/s = 17,5 l/s 1,85 3 1,850,758 9,686 10 0,00603BC BC BC ABJ Q Q Qβ= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = m3/s = 6,03 l/s QB = QAB – QBC ⇒ QB = 11,47 l/s Cota B = 810 – ∆HAB = 810 – JABLAB = 810 – 0,00758⋅860 = 803,48 m 803,48 780 23,48Bp γ = − = mH2O 3.1 A instalação mostrada na Figura 3.17 tem diâmetro de 50 mm em ferro fundido com leveoxidação. Os coeficientes de perdas localizadas SAP: entrada e saída da tubulação K = 1,0, cotovelo 90° K = 0,9, curvas de 45º K = 0,2 e registro de ângulo, aberto, K = 5,0. Determine, usando a equação de Darcy-Weisbach: a) a vazão transportada; b) querendo-se reduzir a vazão para 1,96 l/s, pelo fechamento parcial do registro, calcule qual deve ser a perda de carga localizada no registro e seu comprimento equivalente. André Barcellos Ferreira – andrepoetta@hotmail.com 8 Universidade Federal do Espírito Santo 2 2 1 1 2 2 1 2 ,2 2 p V p V z z perdas g gγ γ + + = + + + onde p1 = p2 =patm 1 2 50 45 5fperdas z z h h∴ = − = + ∆ = − = m a) Fórmula de Darcy-Weisbach: 2 2 2 2 5,0 5,0 2 2 2 2 V L V V V LJL K H f K f K g D g g g D + ⋅ = ∆ ⇒ + ⋅ = ⇔ + =∑ ∑ ∑ Ferro fundido com leve oxidação: ε = 0,30 mm (Tabela 2.2) ( ) ( ) 2 2 2,0 13,0 5,0 25,0 5,0 2 1,0 0,9 2 0,2 5,0 5,0 2 2 9,81 0,05 V L Vf K f g D + + + + = ⇔ + ⋅ + + ⋅ + = ⇔∑ ⋅ ( ) ( ) 2 2900 8,3 5,0 5,0 48,87 0,423 , 19,62 V f f V⇔ + = ⇔ = + 0,30ε = mm, D = 50 mm ( ) ( ) 2 2 21 3,71 1 1 12log 2log 3,71 / 2log 3,71 0,05 / 0,0003 2log618,333 D f Df ε ε = ⇔ = = = = ⋅ 21 5,58 = = 0,032 ∴ 5,0 = 1,987V2 ⇔ V = 1,586 m/s ⇒ Q = V⋅A = 1,586⋅pi⋅0,0252 = 3,114⋅10-3 m3/s b) Q = 1,96 l/s ⇒ 2 2 4 4 0,00196 1,0 0,05 QV Dpi pi ⋅ = = = ⋅ m/s 2 2 2 5,0 2 2 2 L V V V Lf K f K D g g g D + = ⇔ +∑ ∑ ε = 0,30 mm, V = 1 m/s → f = 0,0341 ( )2 2,0 13,0 5,0 25,01,0 0,034 2 1,0 0,9 2 0,2 5,0 2 9,81 0,05 K + + + ∴ + + ⋅ + + ⋅ = ⇔ ⋅ 30,6 3,3 98,1 64,2K K⇔ + + = ⇒ = 2 21,064,2 3,27 2 2 9,81reg Vh K g ∆ = = = ⋅ m 2 2 21,03,27 3,27 0,034 3,27 2 2 0,05 2 9,81 eq eq reg eq eq L Lf V Vh JL L f Dg D g ⋅∆ = ⇒ = ⇔ ⋅ = ⇔ ⋅ ⋅ = ⇔ ⋅ 94,35eqL ≅ m André Barcellos Ferreira – andrepoetta@hotmail.com 9 Universidade Federal do Espírito Santo 3.7 A instalação hidráulica predial da figura está em um plano vertical e é toda em aço galvanizado novo com diâmetro de 1”, e alimentada por uma vazão de 2,0 l/s de água. Os cotovelos são de raio curto e os registros de gaveta. Determine qual deve ser o comprimento x para que as vazões que saem pelas extremidades A e B sejam iguais. Tabela 3.6 – Comprimentos equivalentes: cotovelo 90°_raio curto LE = 0,189 + 30,53D registro_gaveta aberta LE = 0,010 + 6,89D Perdas de carga: 2,0 1,5 0,3 3,80ACL = + + = m ( ) ( )2 0,189 30,53 0,010 6,89 0,388 67,95 0,025 2,09 CAEL D D= + + + = + ⋅ = m 0,5 0,3 (0,8 )CBL x x= + + = + m ( ) ( )2 0,189 30,53 0,010 1,89 2,09 CBEL D D= + + + = m Para que QA = QB, devemos ter: ( ) ( )1,5 3,80 2,09 2,09 0,80 A BA T B Tz JL z JL J x J x+ = + ⇔ + ⋅ + = + + + ⇔ ( )3,0 1,50J x x⇔ − = − Hazen-Williams: 1,85 1,85 1,17 2 2 4 4 0,00169,81 2,04 0,025 V QJ V C D Dpi pi ⋅ = ⇒ = = = ⋅ m/s C = 125 (Tabela 2.4) 1,85 1,85 1,17 2,0469,81 0,2518 125 0,025 J J= ⇒ = m/m Logo: 0,2802 0,8406 1,50 1,83x x x+ = + ⇔ = m 3.8 Dois reservatórios, mantidos em níveis constantes, são interligados em linha reta através de uma tubulação de 10 m de comprimento e diâmetro 50 mm, de P. V. C. rígido, como mostra o esquema da Figura 3.23. Admitindo que a única perda de carga localizada seja devido à presença de um registro de gaveta parcialmente fechado, cujo comprimento equivalente é LE = 20,0 m, e usando a fórmula de Hazen-Williams, adotando C = 145, determine: a) a vazão de canalização supondo que o registro esteja colocado no ponto A; b) idem, supondo o registro colocado no ponto B; c) máxima e mínima carga de pressão na linha, em mH2O, nos casos a e b; d) desenhe em escala as linhas piezométrica e de energia. André Barcellos Ferreira – andrepoetta@hotmail.com 10 Universidade Federal do Espírito Santo Equação da continuidade: 2 2 2 2 A A B B A B p V p V z z perdas g gγ γ + + = + + + • pA = pB (os dois reservatórios com NA = 1,0 m) • vA = vB (vazão constante) perdas = zA – zB = 3,0 m ( ) 1,85 1,85 1,85 1,17 1,85 1,173,0 6,31 6,31 10,0 20,0 3145 0,05T V VJL L C D = = ⋅ ⇔ ⋅ + = ⇔ ⋅ ⋅ 1,85 4,397 2,227V V⇔ = ⇒ = m/s 20,052,27 4,37 4 Q VA pi ⋅= = = l/s a) A pressão é mínima no ponto mais alto e máxima no ponto mais baixo: 1,85 1,85 1,85 1,17 1,85 1,17 2,2276,81 6,81 0,1000 145 0,05 VJ C D = = = ⋅ ⋅ m/m 1 2 3 4 4 A B z m z z z z z = = = = • 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2( )2 2 2 A A A E E atm mín mín p V p V p V z z JL z z JL g g gγ γ γ + + = + + + ⇒ = − − − ⇔ 22,2271,0 0,1000 20,0 1,25 2 9,81 A A mín mín p p γ γ ⇔ = − − ⋅ ⇔ = − ⋅ m • 2 2 2 1 4 4 1 4 1 4( )2 2 2 A A A T T atm máx mín p V p V p V z z JL z z JL g g gγ γ γ + + = + + + ⇒ = − − − ⇔ 22,2274,0 0,1000 30 0,75 2 9,81 A A mín máx p p γ γ = − − ⋅ ⇔ = ⋅ m b) • 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2,227( ) 1,0 2 2 2 2 9,81 B B B máx máx máx p V p V p V z z z z g g gγ γ γ + + = + + ⇔ = − − = − ⇔ ⋅ 0,75B mín p γ ⇔ = m • 2 2 2 1 3 2 1 3 1 3( )2 2 2 B B B ATM máx máx p V p V p V z z JL z z g g gγ γ γ + + = + + + ⇔ = − − ⇔ 22,2271,0 0,1000 10 2 9,81 B máx p γ ⇔ = − − ⋅ ⋅ = 2,75 m 3.10 Uma tubulação retilínea de 360 m de comprimento e 100 mm de diâmetro é ligada a um reservatório aberto para a atmosfera, com nível constante, mantido 15 m acima da saída da tubulação. A tubulação está fechada na saída por uma válvula, cujo comprimento André Barcellos Ferreira – andrepoetta@hotmail.com 11 Universidade Federal do Espírito Santo equivalente é de 7,5 m de comprimento da tubulação. Se a válvula é aberta instantaneamente, com escoamento livre, determine o tempo necessário para que a velocidade média atinja 98% da velocidade em condições de regime permanente. Assuma o fator de atrito f = 0,020 e adote como coeficiente de perda de carga na entrada K = 0,5. Sugestão: utilize a Equação 1.11 e a metodologia do problema 1.4. Equação 1.11 → 2 2 1 1 2 2 1 2 122 2 p V p V L dV z z H g g g dtγ γ + + = + + + ∆ + Comprimento equivalente na entrada: Equação 3.16 → eL K D f= ⇒ 0,5 0,1 2,5 0,02e K DL f ⋅ ⋅ = = = m Equação 3.15 → 2 2 eL VH f D g ∆ = ⇒ 2 2(7,5 2,5 360)(0,02) 74 0,1 2 2 V VH g g + +∆ = = ⋅ Equação da energia para A e B: 2 2 2 2 2 2 22 2 2 A A A A p V p V L dV V L dV z z H z H g g g dt g g dtγ γ + + = + + + ∆ + ⇔ = + ∆ + ⇔ 2 2 215 74 36,7347 3,8265 36,7347 15 0 2 2 V V dV dVV g g dt dt ⇔ = + + ⇔ + − = Resolvendo-se a equação diferencial, encontramos V(t). A partir de V(t), calculamos t. 3.13 Sabendo-se que as cargas de pressão disponíveis em A e B são iguais e que as diferenças entre as cargas de pressão em A e D é igual a 0,9 mH2O, determine o comprimento equivalente do registro colocado na tubulação de diâmetro único, assentada com uma inclinação de 2° em relação à horizontal, conforme a Figura 3.26. 2 2 0,9 2 2 A D A D A D D A A p V p V p p z z H z z H z H g gγ γ γ γ + + = + + + ∆ ⇔ − = − + ∆ ⇔ = − + ∆ 2 13,96 0,9 13,96 14,46 400 h sen h H H° = ⇔ = ∴ = − + ∆ ⇔ ∆ = 0H JL∆ = onde 6,98 0,0349 14,86 0,0349 425,79200 J L L= = ∴ = ⇔ = Como LAD = 400, Le = 25,79. 4.1 Um sistema de distribuição de água é feito por uma adutora com um trecho de 1500 m de comprimento e 150 mm de diâmetro, seguido por outro trecho de 900 m de comprimento e 100 mm de diâmetro, ambos com o mesmo fator de atrito f = 0,028. A vazão total que entra no sistema é 0,025 m3/s e toda água é distribuída com uma taxa uniforme por unidade de comprimento q (vazão de distribuição unitária) nos dois trechos, de modo que a vazão na extremidade de jusante seja nula. Determine a perda de carga total na adutora, desprezando as perdas localizadas ao longo da adutora. André Barcellos Ferreira – andrepoetta@hotmail.com 12 Universidade Federal do Espírito Santo F = 0,028 D1 = 0,15 m L1 = 1500 m D2 = 0,1 m L2 = 900 m Qm = 0,025 m3/s 5 1 2 1,042 10Qq L L − = = ⋅ + m3/ms Para o trecho 1: 5 3 3 1 0,025 1,042 10 1500 9,375 10 /j m jQ Q q L Q m s− −= − ⋅ = − ⋅ ⋅ ⇔ = ⋅ 0,025 0,009375 0,0171875 2 2 m j f f Q QQ Q+ += = ⇔ = m3/s Pela equação universal: 2 2 3 15 5 0,0827 0,028 0,01718750,0827 9,008 10 0,15 ff QJ J D − ⋅ ⋅ ⋅ = = ⇒ = ⋅ m/m Assim: 1 1 1 1 13,512H J L H∆ = ⋅ ⇒ ∆ = m Para o trecho 2: 0 3 m j f QQ Q= → = 2 1 0,01443m J fQ Q Q= ⇒ = m3/s 2 2 3 25 5 0,0827 0,028 0,014430,0827 6,3528 10 0,15 fQJ f J D − ⋅ ⋅ = = ⇒ = ⋅ m/m 2 2 2 2 5,717H J L H∆ = ⋅ ⇒ ∆ = m Finalmente: 1 2 19,229T TH H H H∆ = ∆ + ∆ ⇔ ∆ = m 4.4 Quando água é bombeada através de uma tubulação A, com uma vazão de 0,20 m3/s, a queda de pressão é de 60 kN/m2, e através de uma tubulação B, com uma vazão de 0,15 m3/s, a queda de pressão é de 50 kN/m2. Determine a queda de pressão que ocorre quando 0,17 m3/s de água são bombeados através das duas tubulações, se elas são conectadas (a) em série ou (b) em paralelo. Neste último caso, calcule as vazões em cada tubulação. Use a fórmula de Darcy-Weisbach. Tubulação A: QA = 0,20 m3/s ∆P = – 60 kN/m2 2 2 1 1 2 2 1 22 2 V p V p z z H g gγ γ + + = + + + ∆ 3 1 2 3 . 60 10 60 6,1224 . 9,89,8 10A A A V const p p H H H z const γ γ → ⋅ − = ∆ ⇔ = ∆ ⇔ ∆ = = → ⋅ m 2 2 2 5 5 50,0827 0,0827 6,1224 1850,801 A A A A A A A A A A A A f L Q f L Q f L QH D D D ∆ = ⇒ = ⇒ = Tubulação B: QB = 0,15 m3/s ∆P = – 50 nK/m2 André Barcellos Ferreira – andrepoetta@hotmail.com 13 Universidade Federal do Espírito Santo 2 2 1 2 2 2 p V p V z z H g gγ γ + + = + + + ∆ . 50 . 9,8A V const H z const → ∆ = → 2 5 5 500,0287 2741,927 9,8 B B B B B B B f L Q f L D D = ⇒ = a) Em série QA = QB ∆H = ∆HA + ∆HB → ∆P = ∆PA + ∆PB 2 50,0827 A A A A A P f LH Q Dγ ∆ ⋅∆ = = ⋅ ⋅ 20,0827 1850,801 0,27 9,8AP∆ = ⋅ ⋅ ⋅ ∆PA = 43,35 kN/m2 2 50,0827 B B B B B P f LH Q Dγ ∆ ⋅∆ = = ⋅ ⋅ 20,0827 2741,927 0,17 9,8BP∆ = ⋅ ⋅ ⋅ ∆PB = 64,22 kN/m2 ∆P = 43,35 + 64,22 = 107,57 kN/m2 b) Em paralelo QA + QB = 0,17 2 2 2 2 A B 5 5H H 0,0827 0,0827 1850,801 2741,927 A B A A B B A B A B L Lf Q f Q Q Q D D ∆ = ∆ ⇔ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇔ = ⇔ 43,021 52,363 1,217A B A BQ Q Q Q⇔ = ⇔ = 2,217 0,17 0,0767B BQ Q∴ = ⇔ = m3/s ⇒ QA = 1,217⋅0,0767 = 0,0933 m3/s 2 50,0827 0,0933 9,8 13,06 A A A A A P f LH P H P P D γ γ ∆ ⋅∆ = ⇒ ∆ = ∆ ⋅ ⇔ ∆ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇔ ∆ = kN/m2 4.7 O sistema de distribuição de água mostrado na Figura 4.20 tem todas as tubulações do mesmo material. A vazão que sai do reservatório I é de 20 l/s. Entre os pontos B e C, existe uma distribuição em marcha com vazão por metro linear uniforme e igual a q = 0,01 l/(s.m). Assumindo um fator de atrito constante para todas as tubulações, f = 0,020 e desprezando as perdas localizadas e a carga cinética, determine: a) a carga piezométrica no ponto B; b) a carga de pressão disponível no ponto C, se a cota geométrica desse ponto é de 576,00 m; c) a vazão na tubulação de 4” de diâmetro. André Barcellos Ferreira – andrepoetta@hotmail.com 14 Universidade Federal do Espírito Santo Solução 1: 4” = 0,1 m (Caminho 1) 6” = 0,15 m (Caminho 2) 2 2 2 2 A B A B p V p V z z H g gγ γ + + = + + + ∆ onde AA A pCP z γ = + e BB B pCP z γ = + 590 590A B B BCP CP H CP H CP H∴ = + ∆ ⇔ = + ∆ ⇔ = − ∆ Cálculo de ∆H: 2 2 21 2 1 25 5 5 1 2 0,0827 0,0827 0,0827f L f L f LH Q Q Q D D D ⋅ ⋅ ⋅∆ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇔ 2 2 1 2 1 25 5 800 750 0,3514 0,1 0,15 Q Q Q Q⇔ ⋅ = ⋅ ⇔ = Mas 1 2 20AQ Q Q+ = = l/s 2 21,3514 20 14,799Q Q⇒ = ⇔ = l/s = 1,48⋅10–2 m3/s ( )2250,02 790590 0,0827 1,48 10 586,420,15BCP −⋅∴ = − ⋅ ⋅ = m Solução 2: Tubo de 6” = 0,15 m e 4” = 0,10 m 1,85 1,85 6 4 6 4 6 6 4 4 1,85 4,87 1,85 4,8710,65 750 10,65 800(0,15) (0,1) Q QH H J L J L C C ∆ = ∆ ⇔ ⋅ = ⋅ ⇔ ⋅ = ⋅ ⇔ ⋅ ⋅ 1,85 1,85 1,85 1,85 1,85 1,856 4 6 4 6 44,87 4,87 750 800 7.717.858,853 59.304.819,31 7,684 0,15 0,1 Q Q Q Q Q Q⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ 6 43,011Q Q⇔ = Do enunciado, tem-se que Q4 + Q6 = 0,020. Portanto: Q4 = 4,986⋅10–3 m3/s Q6 = 15,014⋅10–3 m3/s Para as respectivas vazões, tem-se: 6 6 2 6 0,8496 / 4 QV Dpi = = m/s 6 4 2 4 0,6348 / 4 QV Dpi = = m/s Na tubulação de 6” de diâmetro, tem-se: 2 2750 0,84960,02 3,6827 2 0,15 2AB AB L VH f H D g g ∆ = = ⋅ ⋅ ⇒ ∆ = m Equação da energia na superfície I e em B: 2 2 1 1 1 590 3,6827 586,31732 2 B B B AB B B p V p V z z H CP CP g gγ γ + + = + + + ∆ ⇔ = + ⇔ = m b) 586,42 576 10,42B C C CB C p p p p z z H H H γ γ γ γ + = + + ∆ ⇔ = + + ∆ ⇔ = − ∆ 0,02 0,01 0,015 2 2BC m j F F Q QQ Q+ += = → = m3/s, André Barcellos Ferreira – andrepoetta@hotmail.com 15 Universidade Federal do Espírito Santo 2 5 0,02 10000,0827 0,015 4,90 0,15 H ⋅∴∆ = ⋅ ⋅ = m 10 42 4,9 5,52Cp γ ∴ = − − = mH2O c) Da letra a, tem-se: Q1 = 0,3514Q2 = 0,3514⋅1,48⋅10–2 = 5,2⋅10–3 m3/s 4.9 No sistema de abastecimento d’água mostrado na Figura 4.21 faz parte de um sistema de distribuição de água em uma cidade, cuja rede se inicia no ponto B. Quando a carga de pressão disponível no ponto B for de 20 mH2O, determine a vazão no trecho AB e verifique se o reservatório II é abastecido ou abastecedor. Nesta situação, qual a vazão QB que está indo para a rede de distribuição? A partir de qual valor da carga de pressão em B a rede é abastecida somente pelo reservatório I? Material das tubulações: aço rebitado novo. Despreze as perdas localizadas e as cargas cinéticas e utilize a fórmula de Hazen-Williams. Tabela 2.4 → C = 110 8” = 0,20 m 6” = 0,15 m carga de pressão disponível no ponto B = 20 mH2O → 20B p γ = mH2O 740BB B pCP z γ = + = m → Em B a cota piezométrica é CPB = 740 m. Como este valor é maior que a cota piezométrica do N. A. de II, este reservatório é abastecido. Por Hazen-Williams: 1,85 1,85 1,85 1,85 4,87 1,85 4,87 10,65 10,65 4,516 110 0,2 AB AB AB Q QJ J Q C D ⋅ ⋅ = = ⇒ = ⋅ ⋅ 1,85 1,851050 4,516 4741,83AB AB AB AB ABH L J H Q Q∆ = ⋅ → ∆ = ⋅ = Equação da energiana superfície do reservatório I e em B: 2 2 1 1 1 754 720 20 142 2 B B B AB AB AB p V p V z z H H H g gγ γ + + = + + + ∆ ⇔ = + + ∆ ⇒ ∆ = m Assim: 1,851,85 314 4741,83 2.95244663 10 0,04291AB ABQ Q −= ⋅ ⇒ = ⋅ = m3/s = 42,91 l/s Como CPB > NAII, o reservatório II é abastecido, ou seja: AB B BCQ Q Q= + C = 110, D = 6” ⇒ β = 1,831⋅103 (Tabela 2.3) Portanto: 1,85 1,8518,31BC BCJ Q J Qβ= ⋅ → = 1,85 1,85650 18,31 11901,5BC BCH L J H Q Q∆ = ⋅ → ∆ = ⋅ ⋅ = Equação da energia superfície do reservatório II e em B: 2 2 2 2 2 2 720 20 7352 2 B B B B AB B AB BC p V p V p z z H z z H H g gγ γ γ + + = + + + ∆ ⇔ + = + ∆ ⇔ + = + ∆ ⇔ 5BCH⇔ ∆ = m André Barcellos Ferreira – andrepoetta@hotmail.com 16 Universidade Federal do Espírito Santo Assim: 1,85 1,855 11.901,5 14,95BC BCQ Q= ⇒ = l/s Finalmente: 42,91 14,95 27,96B AB BC B BQ Q Q Q Q= − ⇔ = − ⇔ = l/s Para a rede ser abastecida somente por I, a cota piezométrica em B deve ser igual ou maior que NA de II. Portanto: 735 735 15B BB B p pCP z γ γ ≥ ⇔ + ≥ ⇔ ≥ mH2O 5.1 As curvas características de duas bombas, para uma determinada rotação constante, são mostradas na tabela a seguir. Uma dessas duas bombas deverá ser utilizada para bombear água através de uma tubulação de 0,10 m de diâmetro, 21 m de comprimento, fator de atrito f = 0,020 e altura geométrica de 3,2 m. Selecione a bomba mais indicada para o caso. Justifique. Para a bomba selecionada, qual a potência requerida? Despreze as perdas localizadas. Q (m3/s) 0 0,006 0,012 0,018 0,024 0,030 0,036 Bba A H (m) 22,6 21,9 20,3 17,7 14,2 9,7 3,9 ηηηη (%) 0 32 74 86 85 66 28 Bba B H (m) 16,2 13,6 11,9 11,6 10,7 9,0 6,4 ηηηη (%) 0 14 34 60 80 80 60 Para a tubulação, 2 2 5 0,0827 3,2 3473,4g g F QE H H H L E Q D ⋅ ⋅ = + ∆ = + ⇒ = + Para as vazões marcadas, ( ) ( ) 3 / 0,0 0,006 0,012 0,018 0,024 0,03 0,036 3,20 3,32 3,70 4,32 5,20 6,33 7,70 Q m s E m Então, no ponto de funcionamento de A, Q1 = 0,030 m3/s → η1 = 66 % Q2 = 0,036 m3/s → η2 = 28 % QA = 0,033 m3/s Interpolando, 1 1 2 1 2 1 0,033 0,03 66 47 0,036 0,03 28 66 A A A A Q Q Q Q η η η η η η − − − − = ⇒ = ∴ = − − − − % Fazendo o mesmo para o ponto B, tem-se: Q1 = 0,030 m3/s → η1 = 80 % Q2 = 0,036 m3/s → η2 = 60 % QA = 0,035 m3/s Interpolando, tem-se: 1 1 2 1 2 1 0,035 0,03 80 63,33 % 0,036 0,03 60 80 B B B A Q Q Q Q η η η η η η − − − − = ⇒ = ∴ = − − − − ⇒ O melhor rendimento é o da bomba B. Para encontrar a potência requerida, usaremos o ponto (QB, HB) do funcionamento de B. Pela equação de B, tem-se: 2396,83 222,62 15,536BH Q Q= − − + Para Q = 0,035 m3/s, HB = 7,26 m. Com os valores de Q e H, 9800 0,035 7,26 3,93 0,6333 Q HPot γ η ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = = kW André Barcellos Ferreira – andrepoetta@hotmail.com 17 Universidade Federal do Espírito Santo 5.2 O esquema de bombeamento mostrado na Figura 5.21 é constituído de tubulações de aço com coeficiente de rugosidade da fórmula de Hazen-Williams C = 130. Da bomba até o ponto B, existe uma distribuição de vazão em marcha com taxa de distribuição constante e igual a q = 0,005 l/(SM). Para a curva característica da bomba, dada na figura, determine a vazão que chega ao reservatório superior e a cota piezométrica no ponto B. Despreze as perdas localizadas e a carga cinética. ( ) 2 2 A A C C A C AC C A AC AB AB BC BC 1,85 1,85 1 2 1,85 4,87 4,87 A B A f A 1 B A AB A 2 1,85 A 1,85 P V P V z E z H 2 2 E z z H E 5 J L J L 10,65 Q QE 5 1000 800 130 0,1524 0,1016 Q QQ Q Q 0,0025 Q 2 Q Q qL Q 0,005 Q Q 0,002510,65E 5 130 + + + = + + + ∆ γ γ = − + ∆ ⇒ = + + = + ⋅ + ⋅ + = = = − = = − = − = − = + ( ) ( ) ( ) 1,85 A 4,87 4,87 1,85 1,85 A A Q 0,005 1000 800 0,1524 0,1016 5 12.457,12 Q 0,0025 71.179,3 Q 0,005 − ⋅ + ⋅ = + − + − Q 5 10 15 20 H 20 17,5 12,5 5 E 5,2 10,4 23,1 42,3 Interpolando: ( ) ( ) C B A AB 17,5 x 10,4 x 12,7 17,5 x 5 10,4 x 222,25 12,7x 52 5x 17,5 12,5 10,4 23,1 x 15,7 m/ E H 10 y 17,5 15,7 10,y 1,8 y 11,8 Q 10 15 17,5 12,5 Q Q Q qL 11,8 5 6,8 /s − − = ⇔ − − = − ⇔ − + = − ⇔ − − ⇔ = = = − − = ⇔ = − ⇔ = = − − = = − = − = ℓ ℓ A cota piezométrica em B é: 2 2 A A B B A B AB 1,85 B 1,85 4,87 F B P V P V z E z H 2 2 10,65 0,009315,7 CP 1000 130 0,1524 11,8 6,8Q 9,3 2 CP 15,7 2,2 13,5 m + + + = + + + ∆ γ γ = + ⋅ ⋅ + = = = − = André Barcellos Ferreira – andrepoetta@hotmail.com 18 Universidade Federal do Espírito Santo 5.4 Deseja-se recalcar 10 ℓ/s de água por meio de um sistema de tubulações, com as seguintes características: funcionamento contínuo 24 h, coeficiente de rugosidade da fórmula de Hazen-Williams C = 90, coeficiente da fórmula de Bresse K = 1,5 diâmetro de recalque igual ao diâmetro de sucção, comprimentos reais das tubulações de sucção e recalque, respectivamente, de 6,0 m e 674,0 m, comprimentos equivalentes das peças existentes nas tubulações de tubulação e recalque, respectivamente, de 43,40 m e 35,10 m, altura geométrica de 20 m. Com a curva característica de uma bomba, indicada na Figura 5.22, determine: a) Associando em paralelo duas destas bombas, obtém-se a vazão desejada? b) Em caso afirmativo, qual a vazão em cada bomba? c) Qual a vazão e a altura de elevação fornecidas por uma bomba isoladamente isolada no sistema? d) Que verificações devem ser feitas antes de escolher a bomba, de acordo com os pontos de funcionamento obtidos? ( ) ( ) AB BC 2 2 A A C C A C AC AB T BC T 1,85 1,85 1,85 1,85 4,87 1,85 4,87 P V P V z E z H 2 2 E 20 J L J L 10,65 Q 10,65 QE 20 6 43,40 647 35,1 20 19.438Q 90 0,15 90 0,15 + + + = + + + ∆ γ γ = + + = + + + + = + Tabela para a bomba sozinha: Q 0 2 4 6 7 H 30 28,5 26 22 18,5 E 20 20,2 20,7 21,5 22 Tabela para as bombas em paralelo: Q 0 4 8 12 H 30 28,5 26 22 E 20 20,7 22,6 25,4 Interpolando: ( ) ( ) 1,85 3 26 x 22,6 x 2,8 2,6 x 4 22,6 x 72,8 2,8x 90,4 4x 26 22 22,6 25,4 x 24 m E 24 20 19.438Q Q 0,010 m /s (sim) − − = ⇔ − − = − ⇔ − + = − ⇔ − − ⇔ = = ∴ = + ⇔ = b) 5 ℓ/s André Barcellos Ferreira – andrepoetta@hotmail.com 19 Universidade Federal do Espírito Santo c) ( ) ( ) 1,85 26 x 22 x 21,5 x 0,5 22 x 3,5 21,5 x 11 0,5x 75,25 3,5x 26 22 22 18,5 21,5 22 x 21,6 m H 21,6 20 19.438Q Q 6,2 /s (sim) − − − = ⇔ ⇔ − − = − ⇔ − + = − ⇔ − − − ⇔ = = ∴ = + ⇔ = ℓ 5.6 Considere um sistema de abastecimento de água por gravidade entre dois reservatórios mantidos em níveis constantes e iguais a 812,00 m e 800,00 m, ligados por uma tubulação de 6” de diâmetro, 1025 m de comprimento e fator de atrito f = 0,025. Desejando-se aumentar a capacidade de vazão do sistema, instalou-se, imediatamente na saída do reservatório superior, uma bomba centrífuga cuja curva característica é dada na tabela a seguir. Desprezando as perdas de carga localizadas e a perda de carga na sucção, determine a nova vazão recalcada. Observe que, no caso, a altura geométrica da Equação 5.38 é negativa. Q (m3/s) 0 0,006 0,012 0,018 0,024 0,030 0,036 H (m) 22,6 21,9 20,3 17,7 14,2 9,7 3,9 η (%) 0 32 74 86 85 66 28 2 2 5 QE 12 H 12 JL 12 1025 0,0827f 12 25.777,72Q 0,1524 = − + ∆ = − + = − + ⋅ = − + Com uma equação para E chegamos à tabela: Q (m3/s) 0 0,006 0,012 0,018 0,024 0,030 0,036 H (m) 22,6 21,9 20,3 17,7 14,2 9,7 3,9 E (m) –12 –11 –8,3 –3,62,8 11,2 21,4 Interpolando: ( ) ( ) 2 14,2 x 2,8 x 8,4 14,2 x 4,5 2,8 x 119,28 8,4x 12,6 4,5x 14,2 9,7 2,8 11,2 x 10,22 10,22 12 25.777,72Q Q 29,3 / s CP z E 812 10,22 822,22 m − − = ⇔ − − = − ⇔ − + = − ⇔ − − ⇔ = ⇒ = − + → = = + = + = ℓ Q 0,024 0,030 H 14,2 9,7 Η 8 66 Interpolando para o rendimento, vem: 14,2 10,22 85 y 0,88 9 85 y y 77,08 % 14,2 9,7 85 66 − − = ⇔ ⋅ = − ⇔ = − − Portanto: 3 3HQ 9,8 10 10,22 29,3 10Pot 3,8 kW 0,7708 −γ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = = η 5.8 Um sistema de bombeamento é constituído por duas bombas iguais instaladas em paralelo e com sucções independentes, com curva característica e curva do N. P. S. H. dadas na Figura 5.23. As tubulações de sucção e recalque tem diâmetro de 4”, fator de atrito f = 0,030 e os seguintes acessórios: na sucção, de 6,0 m de comprimento real, existe uma válvula de pé com crivo e uma curva 90° R/D = 1. O nível d’água no poço de sucção varia com o tempo, atingindo, no verão, uma cota máxima de 709,00 m e, no inverno, uma cota mínima de 706,00 m. A cota de instalação do eixo da bomba vale 710,00 m. verifique o comportamento do sistema no inverno e no verão, determinando os pontos de funcionamento do sistema (Q e H), os valores do N. P. S. H. disponível nas duas estações e o comportamento da bomba quanto à cavitação.. Assuma temperatura d’água, em média, igual a 20°C. André Barcellos Ferreira – andrepoetta@hotmail.com 20 Universidade Federal do Espírito Santo ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 R 1 bomba: Q l/s 0 3 6 9 12 15 18 1 bomba: Q l/s 0 6 12 18 24 30 36 H m 24 22,5 20 17 13 7 0 NPSH m x 2,5 3,5 4,5 5 4,5 9 Válvula de pé com crivo → 1L 0,56 255,48D= + Curva 90° R/D = 1 → 2L 0,115 15,53D= + Válvula de retenção leve → 3L 0,247 79,43D= + Registro de globo → 4L 0,01 340,27D= + r s e 3 4 2 S r e 1 2 L L L 2L 46,563 m L 6 mD 4" 0,1 m L 70 m L L L 27,776 mf 0,030 T 20 C = + + = == = = = + == = ° ( ) ( ) [ ] s rs r s e s r e r 2 2 5 H H H H L L J L L J 0,0827QH 6 27,776 70 45,563 H 37.051Q D ∆ = ∆ + ∆ ⇔ ∆ = + + + ⇔ ⇔ ∆ = + + + ⇔ ∆ = Inverno: 2iE 13 37051Q= + Verão: 2iE 10 37051Q= + Q (l/s) 0 6 12 18 24 30 36 Ev 10 11,33 15,33 22 31,34 43,35 58,02 Ei 10 14,33 18,33 25 34,34 46,35 61,02 Verão: ( ) ( ) ( ) 2 v v v v Q l/s 12 Q 18 E m 15,33 H 22 H m 20 H 17 Inverno: v v v v v v 15,33 H 20 H H 18,55 m 15,33 22 20 17 12 Q 20 H Q 14,9 l/s 12 18 20 17 − − = ⇒ = − − − − ∴ = ⇒ = − − i i i i i i 18,33 H 20 H H 19,48 m 18,33 25 20 17 12 Q 20 H Q 13,04 l/s 12 18 20 17 − − = ⇒ = − − − − ∴ = ⇒ = − − André Barcellos Ferreira – andrepoetta@hotmail.com 21 Universidade Federal do Espírito Santo ( ) ( ) ( ) 2 i v i i Q l/s 12 Q 18 E m 18,33 H 25 H m 20 H 17 Temos que a vd s p pNPSH z H .−= − − ∆ γ Pela tabela da página 158 – T = 20°C – vp 0,24.=γ Portanto: ( ) ( ) ( ) s 2 2 d s e 5 5 Q QNPSH 9,55 0,24 z L L 0,0827f 9,31 z 6 27,776 0,0827 0,03 D 0,1 = − − − + = − − + ⋅ Inverno: i 2 dNPSH 5,31 8379,8Q= − Verão: v 2 dNPSH 8,31 8379,8Q= − v i r 1 d d d Q 0 3 6 9 12 15 18 NPSH 8,31 8,23 8,01 7,63 7,10 6,42 5,59 NPSH 5,31 5,23 5,01 4,63 4,10 3,42 2,59 NPSH x 2,5 3,5 4,5 5 7,5 9 Verão: i r máx d v d v Q 12 Q 15 NPSH 7,1 y 6,42 NPSH 5 y 7,5 Inverno: v r máx d i d i Q 9 Q 12 NPSH 4,63 y 4,10 NPSH 4,5 y 5 ⇒ Há cavitação, já que máxv v Q Q> e máxi iQ Q .> Calculando o NPSHd: 2 i i 2 vv NPSH 5,31 8379,8Q Inverno: NPSH 3,88 m Verão: NPSH 6,45 mNPSH 8,31 8379,8Q = − = ⇒ == − 5.14 Uma bomba centrífuga está montada em uma cota topográfica de 845,00 m, em uma instalação de recalque cuja tubulação de sucção tem 3,5 m de comprimento, 4” de diâmetro, em P. V. C. rígido, C = 150, constando de uma válvula de pé com crivo e um joelho 90°. Para um recalque de água na temperatura de 20°C e uma curva do N. P. S. H. requerido dada pala Figura 5.25, determine a máxima vazão a ser recalcada para a cavitação incipiente. Se a vazão recalcada for igual a 15 l/s, qual a folga do NPSH disponível e do NPSH requerido. Altura estática de sucção igual a 2,0 m e a bomba é não afogada. v v v máx v máx 7,1 y 5 y y 6,65 m 7,1 6,42 5 7,5 12 Q 5 y Q 13,98 l/s 12 15 5 7,5 − − = ⇒ = − − − − ∴ = ⇒ = − − i i i máx i máx 4,63 y 4,5 y y 4,57 m 4,5 4,10 4,5 5 9 Q 4,5 y Q 9,42 l/s 9 12 4,5 5 − − = ⇒ = − − − − ∴ = ⇒ = − − André Barcellos Ferreira – andrepoetta@hotmail.com 22 Universidade Federal do Espírito Santo 1 2 e e D 4” 0,1 m C 1560 L 28,6 m L 4,3 m T 20°C = = = = = = ( ) ( ) 1 2 1,85 e e e 1,85 4,87 1,85 1,85 4,87 1,85 Q 10,65H L L L C D Q 10,65H 3,5 28,6 4,3 150 0,1 H 2708,2 Q ⋅∆ = + + ⋅ ⋅∆ = + + ⋅ ∆ = ⋅ a a 2 p 760 0,081h13,6 1000 h 845 p 9,40 mH O − = γ ↓ = = γ 1,85a v v d v 1,85 d p p pNPSH z H 9,40 2 2708,2Q Tabela da página 158 pT 20 C 0,24 NPSH 7,16 2708,2Q − = − − ∆ = − − − γ γ ↓ = ° → = γ = − Q (l/s) 0 5 10 15 20 25 30 NPSHr (m) 0 0,6 1,2 2,8 5,2 7,6 11,2 NPSHd (m) 7,16 7,01 6,62 6,02 5,21 4,22 3,04 A interseção de NPSHr e NPSHd é em Q = 20 l/s. ⇒ Qmáx = 20 l/s. A folga para Q = 15 l/s é: Folga 6,02 2,8 3,22= − = 6.1 O sistema de recalque mostrado na Figura 6.9 faz parte de um projeto de irrigação que funciona 5 horas e meia por dia. O sistema possui as seguintes características: a) tubulação de sucção com 2,5 m de comprimento, constando de uma válvula de pé com crivo e uma curva 90º R/D = 1; b) uma bomba que mantém uma altura total de elevação de 41,90 m, para a vazão recalcada; c) uma caixa de passagem, em nível constante, com NA = 26,91 m; d) vazão de distribuição em marcha (vazão unitária de distribuição) constante a partir do ponto A igual a q = 0,02 /(sm). Determine: a) os diâmetros de recalque e sucção (adotar o mesmo) usando a Equação 5.18 (ver a Seção 5.4.3); b) a carga de pressão disponível imediatamente antes e depois da bomba; c) os diâmetros dos trechos AB e BC, sendo o ponto C uma ponta seca, vazão nula. Dimensione os diâmetros pelas vazões de montante de cada trecho; d) a potência do motor elétrico comercial. Dados: a) rendimento da bomba: 65%; b) material de todas as tubulações: ferro fundido novo (C=130); c) utilize a equação de Hazen-Williams; d) perdas de carga localizadas no recalque, desprezíveis. André Barcellos Ferreira – andrepoetta@hotmail.com 23 Universidade Federal do Espírito Santo a) A vazão de sucção é: 3(240 108) 9,96 10Q q −= + = ⋅ m3/s Equação 5.18 → 34( ) 1,3 ( / ) ,rD m X Q m s= em que X é a fração do dia de funcionamento do sistema. 5,5 0,229 24 X = = e ( )0,02 240 108 6,96Q = ⋅ + = l = 6,96⋅10–3 m3/s 341,3 0,229 6,96 10 0,0750rD −∴ = ⋅ = m b) Equação da energia em NAI e imediatamente antes de B: 2 2 2 2 1 1 1 0 0 1,22 2 2 2 B B B B B B B m B m m p V p V p V p V z z H z H H g g g gγ γ γ γ + + = + + + ∆ ⇔ = + + + ∆ ⇔ = + + + ∆ 3 2 3 6,96 10 1,57 / 4 4,418 10B Br QV V Dpi − − ⋅ = = ⇒ = ⋅ ⋅ m/s Tabela 3.6 → 1 2 ( ) : 0,56 255,48 19,721 ( ) : 0,115 15,53 1,31975 e e i Crivo L D ii Curva L D = + = = + = ( ) ( )1 2 1,85 1,85 4,8723,541 10,65 0,945m s e e m QH L L L J H C D ∆ = + + ⋅ = ⋅ ⋅ ⇔ ∆ = m ( )21,570 1,2 0,945 2,27 2 9,8 B B antesp p γ γ ∴ = + + + ⇒ = − ⋅ mH2O Equação da energia em NAI e imediatamente depois de B: ( ) 2 2 2 1 1 1 1,571,2 0,945 2 2 2 9,8 B B B B m p V p V pH z z H H II g gγ γ γ + + + = + + + ∆ ⇔ = + + + ⋅ Temos _ 2.3 4 130 3,932 10 0,075 TabelaC D m β= → = ⋅ = ( )1,854 31,85 3,932 10 6,96 10 350 14 100 100j j j j j QH L J L Hβ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∆ = = = ⋅ ⇔ ∆ = m Como (26,91 0) 0,945 14 41,855j m m jH z z H H= − + ∆ + ∆ = − + + = m, voltando a II, temos: 21,5741,855 1,2 0,945 39,58 2 9,8 B B depois p p γ γ = + + + ⇔ = ⋅ mH2O c) Em A, André Barcellos Ferreira – andrepoetta@hotmail.com 24 Universidade Federal do Espírito Santo QA = 6,96⋅10–3 m3/s Em B, ( ) ( )3 5 36,96 10 2 10 240 2,16 10B A AB BQ Q q L Q− − −= − ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ m3/s Pela Tabela 6.1, tem-se 6,96AQ = l/s < 3,14 l/s ⇒ DAB = 0,125 m. QB = 2,16 l/s < 3,14 l/s ⇒ DBC = 0,075 m d) Equação da energia em B e no NAII, 2 2 2 2 2 22 2 B B B B AB B AB p V p V p z z H z z H g gγ γ γ + + = + + + ∆ ⇔ = + + ∆ ⇔ 26,91 16,71 B AB p H γ ⇔ = + + ∆ (III) Temos _ 2.3 3 130 3,267 10 0,125 TabelaC D m β= → = ⋅ = ( )1,853 31,85 240 3,267 10 2,16 10 0,092 100 100 B AB AB AB AB AB QH L J L Hβ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∆ = ⋅ = ⋅ = ⇒ ∆ = Voltando a III, temos: 26,91 16,71 0,092 10,12B Bp p γ γ = + + ⇔ = mH2O e) 39,8 41,855 6,96 10 4,39 0,65 H QPot Potγ η − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = ⇒ = kW 3 3 310 10 6,96 10 41,855 5,97 75 75 0,65 H QPot Pot η − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = ⇒ = ⋅ cv 6.2 A rede de distribuição de água, representada na Figura 6.10, possui as seguintes características: a) os trechos BC, CE, EF, CD e EG têm uma vazão de distribuição em marcha constante e igual a q= 0,010 l/(sm) b) os pontos D, F e G são pontas secas; c) as cotas topográficas dos pontos são: ( ) 6,0 7,0 8,0 11,0 8,0 10,0 6,0 Ponto A B C D E F G Cota m Determine a cota do nível de água no reservatório, para que a mínima carga de pressão dinâmica na rede seja de 12 mH2O. Determine a máxima carga de pressão estática. Material das tubulações tem C = 130. André Barcellos Ferreira – andrepoetta@hotmail.com 25 Universidade Federal do Espírito Santo EXEMPLO 8.1 Estime o valor do fator de atrito f, do coeficiente de rugosidade C de Chézy e do coeficiente de rugosidade n de Manning em um canal largo de 1,50 m de profundidade, no qual as medidas de velocidades a 20 % e 80 % da altura d’água foram, respectivamente, v0,20 = 0,80 m/s e v0,80 = 1,20 m/s. Assuma distribuição de velocidade logarítmica na vertical, escoamento turbulento rugoso e que a altura d’água é igual ao raio hidráulico. A Equação 2.31 * 8,48 2,5lnv R u ε = + , desenvolvida a partir da hipótese de perfil logarítmico, pode ser posta em forma mais conveniente como: * 29,845,75logv R u ε = Em que y é uma ordenada medida a partir do fundo e v, a velocidade pontual. Para y = 0,80h e y = 0,20h, fica: 0,80 * 23,875,75log v h u ε = 0,20 * 5,975,75log v h u ε = Fazendo 0,80 0,20 v X v = , dividindo uma equação pela outra e desenvolvendo, vem: 0,776 1,378log 1 h X Xε − = − Usando o conceito de diâmetro hidráulico, a velocidade média é dada pela equação 2.32 * 2,5ln 4,73V R u ε = + , na forma: * 25,75log 4,73 5,75log 4,73 5,75log 4,73 5,75log 6,46 2 hV R D R h u ε ε ε ε = + = + = + = + Pela equação 2.26 * 8V u f = , que relaciona a velocidade média com o fator de atrito, tem-se: * 8 0,776 1,378 2 1,4646,46 1 1 V X X u f X X − + = = + = − − Para 1,20 1,5, 0,80 X = = o fator de atrito vale f = 0,100 e da Equação 8.7 0 0 8 8 ,h h g gV R I V C R I Cf f = ⇔ = ⇐ = 8 78,4 28 0,100 gC f= = = e, finalmente, como h = Rh = 1,50 m e 1/6 hRC n = o coeficiente de rugosidade de Manning vale n = 0,038. EXEMPLO 8.2 Determinar a altura d’água em uma galeria de águas pluviais, de concreto n = 0,013, diâmetro igual a 0,80 m, declividade de fundo I0 = 0,004 m/m, transportando uma vazão de 600 l/s em regime permanente e uniforme. O coeficiente dinâmico vale: André Barcellos Ferreira – andrepoetta@hotmail.com 26 Universidade Federal do Espírito Santo 3/8 3/8 0 0,013 0,60 0,456 0,004 nQM I ⋅ = = = Pela Equação 8.47 1 MD K = : 1 1 0,4560,80 0,570K K = ∴ = Na Tabela 8.1, para K1 = 0,570, determina-se o valor da lâmina d’água relativa, isto é, a altura normal dividida pelo diâmetro. Para K1 0,570, tira-se y0/D = 0,625, e daí y0 = 0,50 m. EXEMPLO 8.3 Qual a relação entre as vazões transportadas, em regime permanente e uniforme, em uma galeria de águas pluviais, com lâmina d’água igual a 2/3 do diâmetro e a meia seção. Na Tabela 8.1, para lâminas d’água iguais a y0/D = 0,666 e y0/D = 0,50 m, os coeficientes K1 valem, respectivamente, 0,588 e 0,498. Pela Equação 8.47 3/8 1 0 , em que M= ,M nQD K I = fórmula de Manning, como o diâmetro é o mesmo, tem-se: 1 2 1 1 2 2 1,18M M M K K M = ∴ = e para a mesma declividade e rugosidade, fica: 3/8 1 1 2 2 1,18 1,56Q QQ Q = ∴ = EXEMPLO 8.4 Dimensione um canal trapezoidal dom taludes 2H:1V, declividade de fundo I0 = 0,0010 m/m, revestimento dos taludes e fundo em alvenaria de pedra argamassada em condições regulares, para transportar uma vazão Q = 6,5 m3/s. Utilize uma razão de aspecto m = b/y0 = 4. Calcule a velocidade média e verifique se a seção encontrada é de mínimo perímetro molhado. Na Tabela 8.5, determina-se o coeficiente de rugosidade n = 0,025. Na Tabela 8.2, determina-se o coeficiente de forma K, em função de m = 4 e Z = 2, e vale K = 1,796. O coeficiente dinâmico vale: 3/8 3/8 0 0,025 6,5 1,847 0,001 nQM I ⋅ = = = Pela fórmula de Manning, Equação 8.39 3/8 0 0 , em que :M nQy M K I = = 0 1,847 1,03 1,796 My K = = = m Então: 0 4 4,12bm b y = = ∴ = m (largura do fundo) A área molhada vale: ( ) ( )2 20 4 2 1,03 6,36A m Z y= + = + ⋅ = m2. André Barcellos Ferreira – andrepoetta@hotmail.com 27 Universidade Federal do Espírito Santo A velocidade média é igual a 6,5 1,02 6,36 QV A = = = m/s. Para que a seção dimensionada tenha o mínimo perímetro molhado, é necessário que seja verificada a Equação 8.53, isto é: ( ) ( )22 1 2 1 4 2 0,47 4m Z Z= + − = + − = ≠ Conclusão: a seção não é de mínimo perímetro molhado. 8.1 Um canal de drenagem, em terra com vegetação rasteira nos taludes e fundo, com taludes 2,5H:1V, declividade de fundo I0 = 30 cm/km foi dimensionado para uma determinada vazão de projeto Q0, tendo-se chegado a uma seção com largura de fundo b = 1,75 m e altura de água y0 = 1,40 m. a) Qual a vazão de projeto? b) A vazão encontrada é de mínimo perímetro molhado? c) Se o projeto deve ser refeito para uma vazão Q1 = 6,0 m3/s e a seção é retangular, em concreto, qual será a altura de água para uma largura de fundo igual ao dobro da anterior? Taludes 2,5H:1V → Z = 2,5 Q0: vazão de projeto I0 = 30 cm/km = 0,0003 m/m B= 1,75 m y0 = 1,4 m a) Q0 = ? 3/8 0 , nQM I = onde 0 1,4 1,423 1,9922M y K M= ⋅ ⇔ = ⋅ = 3/8 43/8 3/8 4 4 0,025 0,025 1,9922 3 101,78 1,9922 4,35 0,0253 10 3 10 Q Q Q − − −⋅ ⋅ ⇒ = ⇒ = ⇒ = = ⋅ ⋅ m3/s b) ( ) ( )2 22 1 2 1 2,5 2,5 0,3852 1,25m Z Z= + − = + − = ≠ ∴ não c) 3 1 6,0 m / 0,014 ' 2 3,5 Q s seção circular concreto n b b = ⇒ = = = 8/3 8/3 40 0,014 6 0,1717 3,5 3 10 n QK K b I − ⋅ ⋅ = ⇒ = = ⋅ Pelo ábaco, 0 00,29 0,29 3,5 1,01 y y b = ⇒ = ⋅ = m 8.2 Uma galeria de águas pluviais de 1,0 m de diâmetro, coeficiente de rugosidade de Manning n = 0,013 e declividade de fundo I0 = 2,5⋅⋅⋅⋅10–3 m/m transporta, em condições de regime permanente uniforme, uma vazão de 1,20 m3/s. a) Determine a altura d’água e a velocidade média. b) A tensão de cisalhamento média, no fundo, e a velocidade de atrito. c) Qual seria a capacidade de vazão da galeria, se ela funciona na condição de máxima vazão? D = 1,0 m N = 0,013 I0 = 2,5⋅10–3 m/m Q = 1,2 m3/s 0 1,75 1,25 1,4 b m y = = = 0 ?y = André Barcellos Ferreira – andrepoetta@hotmail.com 28 Universidade Federal do Espírito Santo a) y0 = ? e V0 = ? 3/83/8 30 0,013 1,2 0,646 2,5 10 nQM I − ⋅ ⇒ = = = ⋅ 0,646 0,646 1 MK D = = = 0 00,85 0,82 y m y D = = → = m Pela Equação 8.58 2/3 2/3 1/2 0 1 1 , 2,52 senV D I n θ θ = − ⋅ com 1 0 22cos 1 ,y D θ − = − tem- se: 1 102 2 0,822cos 1 2cos 1 259,58 1 y D θ − − ⋅ = − = − = ° = 4,53 rad ( ) 2/31/22/3 31 4,531 2,5 10 1 1,53 1,14 1,742,52 0,013 4,53senV V− = ⋅ − → = ⋅ = ⋅ m/s b) 0 ,hR Iτ γ= onde 30 1 0,304 9810 0,304 2,5 10 7,46 4h senD R θ θ τ − − = = ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ = Pa * 0,086hu gR I= = m/s c) Pela Equação 8.59 ( ) 5/3 8/3 1/2 0 2/3 1 20,2 senQ D I n θ θ θ − = , tem-se: ( )5/33 2/3 5,28 5,281 2,5 10 1,29 20,2 5,28 senQ n − − = ⋅ = m3/s 8.4 Um canal trapezoidal deve transportar, em regime uniforme, uma vazão de 3,25 m3/s, com uma declividade de fundo I0 = 0,0005 m/m trabalhando na seção de mínimo perímetro molhado. A inclinação dos taludes é de 0,5H:1V e o revestimento será em alvenaria de pedra argamassada em condições regulares. Determine a altura d’água, a largura de fundo e a tensão média de cisalhamento no fundo do canal. Trapézio: Q = 3,25 m3/s mínimo perímetro y0 = ? n = 0,025 I0 = 0,0005 m/m molhado b0 = ? z = 0,5 (MPM) τ = ? 3/83/8 0,025 3,25 1,62 0,0005 nQM I ⋅ = = = ( )20 0 1,622 1 1,51,1 1,24 1,1 M My MPM m Z Z y t t m t = → = + − = = = = = m 20 , onde R 21,24 1,9 m 1,51,5 9810 0,0005 3,7 N/m 2 h h yR Ib b m b y τ γ τ = ⋅ ⋅ = = ⇒ = ⇔ = = ⋅ ⋅ = André Barcellos Ferreira – andrepoetta@hotmail.com 29 Universidade Federal do Espírito Santo 8.5 Dimensione um canal para irrigação, em terra, com vegetação rasteira no fundo e nos taludes, para transportar uma vazão de 0,75 m3/s, com declividade de fundo I0 = 0,0005 m/m, de modo que a velocidade média seja no máximo igual a 0,45 m/s. Inclinação dos taludes 3H:1V. n = 0,025 Q = 0,75 m3/s I0 = 0,0005 m/m 0,45 m/s 3V z≤ = QV A = 0 My K = 0 0,94nQM I = = ( )0 02A b y y= + ( )22 1 3 3 0,32 1,780m K= + − = ⇒ = 0,750,45 0,45Q A A ≤ ⇔ ≤ 0 0,94 0,53 1,78 y = = m ( ) ( )0 01 12 2 3 0,53 0,53 0,53 0,84272 2A b b Zy y b b b= + + = + + ⋅ ⋅ = + Mas 1,67A ≥ m2 ∴ 0,53 0,8427 1,67 1,56b b+ ≥ ⇔ ≥ m 8.6 Dimensione um canal trapezoidal, com taludes 2H:1V, declividade de fundo I0 = 0,001 m/m, com taludes e fundo em alvenaria de pedra argamassada, em boas condições, para transportar em regime uniforme uma vazão de 8,0 m3/s, sujeita às seguintes condições: a) A máxima altura d’água deve ser de 1,15 m. b) A máxima velocidade média deve ser de 1,30 m/s. c) A máxima largura na superfície livre deve ser de 8,0 m. Canal trapezoidal (alvenaria em pedra argamassada, em boas condições): n = 0,030 Q = 8,0 m3/s I0 = 0,001 m/m y0 < 1,15 m vmáx < 1,30 m/s n < 8,0 m 0 1,15 1,15 1,6 My K K < ⇒ > ⇔ ≥ → da Tabela 8.2, 0 2,8bm y = = 8 8 1,3 6,15máxQ V A v A A A= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇔ = ⇔ = m2 Mas ( ) 2 20 0 06,15 (2,8 2) 1,13A m Z y y y= + → = + ⇒ = m 0 0 2,8 2,8 2,8 1,13 3,164bm b y y = = ⇒ = = ⋅ = m 02 3,164 2 2 1,13 7,684B b Z y B= + ⋅ ⋅ → = + ⋅ ⋅ = m 8.8 Um trecho de um sistema de drenagem de esgotos sanitários é constituído por duas canalizações em série, com as seguintes características: Trecho 1 – Diâmetro: D1 = 150 mm Declividade: I1 = 0,060 m/m Trecho 2 – Diâmetro: D2 = 200 mm Declividade: I2 = 0,007 m/m Determine a máxima e a mínima vazões no trecho para que se verifiquem as seguintes condições de norma: a) Máxima lâmina d’água: y = 0,75D b) Mínima lâmina d’água: y = 0,20D c) Máxima velocidade: V = 4,0 m/s 3/83/8 0,020 8 1,84 0,001 nQM I ⋅ = = = André Barcellos Ferreira – andrepoetta@hotmail.com 30 Universidade Federal do Espírito Santo d) Mínima velocidade: V = 0,50 m/s Coeficiente de rugosidade de Mannin, n = 0,013. Canalizações em série n = 0,013 ( ) 1 0 2 22cos 1 8 y D D sen A θ θ θ − = − − = 1 1 1: D 150 mm = 0,15 m I 0,060 m/m Trecho = = 2 2 2: 200 mm = 0,2 m I 0,007 m/m Trecho D = = 00,20 0,75D y D≤ ≤ Qmáx = ? e Qmín = ? No caso de y0 = 0,20D, temos: 0 0 10,20 0,20 0,259 yy D K D = ⇔ = → = ( )12cos 1 2 0,2 106,26 1,855 radθ −= − ⋅ = ° = Em 1: 0,15 0,03885 0,259 M M= ⇒ = 3/8 3/8 1 1 0,013 0,03885 0,060,03885 0,0033 0,0130,06 Q Q ⋅= ⇒ = = m3/s Em 2: 3/8 3/8 32 2 0,2 0,0518 0,259 0,013 0,0518 0,0070,0518 0,0024 m /s 0,0130,007 M M Q Q = ⇔ = ⋅ = ⇔ = = Qmín em 1 ⇒ 0,0033 m3/s. Como a tubulação está em série, Qmín = 0,0033 m3/s. Verificando se a vazão mínima atende ao intervalo de velocidade (0,5 m3/s ≤ V ≤ 4 m3/s), temos: 2 0,0033 0,36 0,00911mín mín Q QV A = = = m 3/s No caso y0 = 0,75D, temos: 0 0 10,75 0,75 0,624 yy D K D = ⇔ = → = ( )12cos 1 2 0,75 240 4,189 radθ −= − ⋅ = ° = Em 1: 3/8 1 0 Q V A M nQD M K I = ⋅ = = ( )2 3 3 2 0,2 1,855 1,855 9,11 10 m /s 8 0,0024 0,26 m/s (ok!) 0,00911 sen A v − − = = ⋅ ∴ = = ( )2 3 3 1 0,15 1,855 1,855 2,52 10 m /s 8 0,0033 1,31 m/s (ok!) 0,00252 sen A v − − = = ⋅ ∴ = = André Barcellos Ferreira – andrepoetta@hotmail.com 31 Universidade Federal do Espírito Santo 0,15 0,0936 0,624 M M= ⇒ = 3/8 3/8 31 1 0,013 0,0936 0,060,0936 0,0083 m /s 0,0130,06 Q Q ⋅= ⇒ = = ( )2 2 1 1 4,189 4,189 0,00830,15 0,01422 m 0,58 m/s (ok!) 8 0,01422 sen A V − = = ⇒ = = Em 2: 0,2 0,1248 0,624 M M= ⇒ = 3/8 3/8 32 2 0,013 0,1248 0,0070,1248 0,0250 m /s 0,0130,007 Q Q ⋅= ⇒ = = ( )2 2 2 1 4,189 4,189 0,0250,2 0,0253 m 0,99 m/s (ok!) 8 0,0253 sen A V − = = ⇒ = = ( ) 1 1 0 0 0 0,025 1,76 m/s (ok!) 0,014221 cos 2y 0,094 m 2 0,035y 0,1125 (ok!) máxQV A D y θ = = = − = = ≤ ≤ 8.10 Determine a mínima declividade necessária para que um canal trapezoidal, taludes 4H:1V, transporte 6 m3/s de água, com uma velocidade média igual a 0,60 m/s. Coeficiente de rugosidade, n = 0,025. Z = 4 Q = 6 m3/s V = 0,60 m/s n = 0,025 0 ?mínI = Para que I0 seja mínimo, a seção deve ser de mínimo perímetro molhado. Portanto: ( ) ( )2 22 1 2 1 4 4 0,246m Z Z= + − = + − = 0 0 0,246bm b y y = ⇒ = Voltando a A, tem-se: 2 0 04,246 10 1,53 my y= ⇔ = Da Tabela 8.2, interpolando, para m = 0,246, vem K = 1,4465. Assim: 0 1,53 1,4465 2,213145 My M K = ⇒ = ⋅ = 3/8 2 4 0 3/8 0 0,025 6 0,025 62,213145 3,25 10 m/m 2,213145 I I − ⋅ ⋅ = ⇔ = = ⋅ 8.19 Um trecho de coletor de esgotos de uma cidade cuja rede está sendo remanejada tem 100 m de comprimento e um desnível de 0,80 m. Verifique se o diâmetro atual, de 200 mm, permite o escoamento de uma vazão de 18,6 ℓ/s. Em caso contrário, qual deve ser o novo diâmetro desse trecho? Determine a lâmina líquida correspondente e a velocidade média. 30,025 m /smáxQ = 26 10 m 0,6 QQ V A A V = ⋅ ⇒ = = = ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 02 4 102 2 b B y b Z y y A b Zy y b y y + + ⋅ ⋅ = = = + = + = André Barcellos Ferreira – andrepoetta@hotmail.com 32 Universidade Federal do Espírito Santo Material das tubulações: manilha cerâmica, n = 0,013. Adote como lâmina d’água máxima no coletor y0/D = 0,50. Atualmente, D = 200 mm Q = 18,6⋅10–3 m3/s n = 0,013 A máxima lâmina de água: y0 = 0,5D ∴ y0 = 0,1 m Sendo 0y 0,5, D = da Tabela 8.1, temos K1 = 0,498 Sabemos que ( ) 3/8 3/8 8/3 1 1 1 0 0 0 M nQ nQ nQD , onde M DK DK K I I I = = ⇒ = ⇔ = Atribuindo valores: ( )8/3 30,008Q 0,2 0,498 0,01466 m /s 14,67 l/s 0,013 = × = = Portanto, D = 200 mm não é suficiente para Q = 18,6 l/s. Então: 3/8 3/83 30 nQ 0,013 18,6 10M 0,1088 I 8 10 − − ⋅ ⋅ = = = ⋅ Como a relação y0/D não se altera, K1 = 0,498. Logo: 1 MD 0,2186 m K = = Como não existe esse diâmetro comercializado, D = 250 mm 0 0 y 0,5 y 0,108 m D = → = Na seção circular: ( )1 1 102y 2 0,1082cos 1 2cos 1 2cos 0,01189 3,18 rad D 0,2186 − − − ⋅ θ = − = − = = ( ) ( ) ( ) 2 2 3 20,2186 3,18 3,18 5,97 10 3,22 0,0192 m 8 8 − − − = = = ⋅ = D sen sen A θ θ Portanto: 3Q 18,6 10V 0,97 m/s A 0,0192 − ⋅ = = = 8.20 No projeto de um coletor de esgotos, verificou-se que, para atender à condição de esgotamento dos lotes adjacentes, ele deveria ter uma declividade de 0,015 m/m. Sendo 20 l/s a vazão de esgotos no fim do plano e 10 l/s a vazão atual (início de plano), determine: a) o diâmetro do coletor e a velocidade de escoamento, para o final do plano; b) a lâmina líquida atual e a correspondente velocidade média. 3 0I 0,8 m/100 m 8 10 m/m − = = ⋅ André Barcellos Ferreira – andrepoetta@hotmail.com 33 Universidade Federal do Espírito Santo 3 3 j 3 3 m Q 20 l/s 20 10 m /s Q 10 l/s 10 10 m /s − − = = ⋅ = = ⋅ ( )1 102y2cos 1 2cos 0 rad D − − θ = − = = pi a) D = ? e Vj = ? 1 MD K = 3/8 3/83 2 0 nQ 0,013 20 10M 9,5 10 I 0,015 − − ⋅ ⋅ = = = ⋅ 29,95 10D 0,2 m 200 mm 0,498 − ⋅ ⇒ = = = ( ) ( )2 2 20,2 0,0154 m 8 8 − − = = = D sen sen A θ θ pi pi Com a área, temos a velocidade pela relação jj Q V : A = 3j j Q 20 10V 1,29 m/s A 0,0154 − ⋅ = = = b) 3mQ 0,01 m /s= 3/8 3/83 0 nQ 0,013 10 10M 0,077 I 0,015 − ⋅ ⋅ = = = 1 M 0,077D 0,155 m K 0,498 = = = ( ) ( )1 0 0 D 1 cos /2 0,155 1 cos /22y2cos 1 y 0,0775 m D 2 2 − − θ − pi θ = − → = = = ( ) ( )2 2 3 20,155 9,43 10 m 8 8 − − − = = = ⋅ D sen sen A θ θ pi pi 3 m m 3 Q 10 10V 1,06 m/s A 9,43 10 − − ⋅ = = = ⋅ 9.5 Em um projeto de um sistema de drenagem de águas pluviais, determinou-se que, para escoar uma vazão de 12 m3/s, era necessária uma galeria retangular em concreto, rugosidade n = 0,018, declividade de fundo I0 = 0,0022 m/m, com 3,0 m de largura, conforme a figura. Por imposição do cálculo estrutural, foi necessário dividir a seção em duas células de 1,5 m de largura com um septo no meio. Verifique se esta nova concepção estrutural tem condições hidráulicas de escoar a vazão de projeto, em condições de escoamento livre. 0I 0,015m/m= 0 1 n 0,013 y 0,5 D K 0,498 = = = Seção original Seção modificada André Barcellos Ferreira – andrepoetta@hotmail.com 34 Universidade Federal do Espírito Santo ( ) T 1 2 2 h 2 ) Seção modificada Q Q Q n 0,018 b 1,5 m 0,714 y 2,1 Área 1,5 2,1 3,15 m P 1,5 2,1 2 6,3 A 3,15R 0,5 m P 6,3 ° = + = = = = = ⋅ = = + = = = = Manning: 2/3 2/3 31 h 1 0 nQ 0,018 QA R 3,15 0,5 Q 5,17m /s I 0,0022 ⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇔ = T 1 2 1 3 T Q Q Q 2Q Q 2 5,17 10,34m /s = + = = ⋅ = Não tem condições.⇒ 9.6 Uma galeria de águas pluviais de seção retangular escoa uma certa vazão, em escoamento uniforme, com uma largura de fundo igual a 0,90 m e altura d’água de 0,70 m. Em uma determinada seção, deverá haver uma mudança na geometria, passando para uma seção circular. Determine o diâmetro da seção circular para transportar a mesma vazão, com a mesma altura d’água, rugosidade e declividade de fundo. 0 0 r c Retangular Circular b 0,9 m D ? y 0,7 m y 0,7 m I I = ⇒ = = = = 1°) 0 0,9 1,29 0,874 0,7 = ⇒ = = → = b m m K y 0 0 3/8 0,7 0,874 0,61 0,61 = ⇒ = ⋅ = ⋅ = = = My M y K K nQM I 2°) 2DA 4 pi ⋅ = P D= pi 2 h A D DR P 4 D 4 pi ⋅ = = = pi 3°) ( ) 2/32 2/38/32/3 2 h 2,67 nQ D D DA R 0,61 0,27 0,79D 4 4 2,52I D 0,86 D 0,95 m pi ⋅ = ⋅ ⇔ = ⋅ ⇔ = ⋅ ⇔ ⇔ = ⇔ = 3 0 1 ) Seção original Q 1 /s2 m n 0,018 I 0,0022 m/m b 3m y 2,1 m ° = = = = = 0 3 1,43 2,1 = ⇒ = = b m m y André Barcellos Ferreira – andrepoetta@hotmail.com 35 Universidade Federal do Espírito Santo 9.8 Qual deve ser a declividade de fundo de um canal trapezoidal com taludes 2H:1V, largura da base b = 3,0 m, para transportar uma vazão de 3,0 m3/s com velocidade média de 0,60 m/s. Coeficiente de rugosidade do fundo e taludes n = 0,018. 3 trapézio z 2 b 3 m Q 3,0 m /s V 0,6 m/s n 0,018 → = = = = = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3Q V A A 5 m 0,6 A m Z y e A 2 1 Z Z y 5 2 1 2 2 y y 1,42 = ⋅ → = = = + = + − ∴ = + − ⇔ = As principais partes constituintes de um vertedor são: a) Crista ou soleira é a parte superior da parede em que há contato com a lâmina vertente. Se o contato da lâmina se limitar, como nos orifícios de parede fina, a uma aresta biselada, o vertedor é de parede delgada; já se o contato ocorrer em um comprimento apreciável da parede, o vertedor é de parede espessa. b) Carga sobre a soleira h é a diferença de cota entre o nível d’água a montante, emuma região fora da curvatura da lâmina em que a distribuição de pressão é hidrostática, e o nível da soleira. Em geral, a uma distância a montante do vertedor igual a seis vezes a carga, a depressão da lâmina é desprezível. c) Altura do vertedor P é a diferença de cotas entre a soleira e o fundo do canal de chegada. d) Largura ou luz da soleira L é a dimensão da soleira através da qual há o escoamento. 12.7 Um vertedor retangular de parede fina com 1,0 m de largura, sem contrações laterais, é colocado juntamente com um vertedor triangular de 90º em uma mesma seção, de modo que o vértice do vertedor triangular esteja 0,15 m abaixo da soleira do vertedor retangular. Determinar: a) a carga no vertedor triangular quando as vazões em ambos os vertedores forem iguais; b) a carga no vertedor triangular quando a diferença de vazão entre o vertedor retangular e triangular for máxima. Utilizar a fórmula de Thomson e Francis. Fórmula de Francis → Q = 1,838bh3/2, onde Q → vazão em m³/s. b → largura do vertedor em metros. h → altura da lâmina d’água sobre a crista do vertedor em metros. Fórmula de Thomson → Q = 1,40h5/2 a) 1 2 1 vertedor retangular , onde 2 triangular Q Q vertedor → = → Usando a fórmula de Thomson para o vertedor triangular e a fórmula de Francis para o vertedor retangular, tem-se: 3/8 = nQM I 0 = My K 3/83/8 0 5 0 b 3 m 2,11 K 1,5 y 1,42 M y K 1,42 1,5 2,13 nQ 0,018 3M 2,13 I I I 5,17 10 m/m− = = = ⇒ ≈ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⇒ = ∴ = ⋅ André Barcellos Ferreira – andrepoetta@hotmail.com 36 Universidade Federal do Espírito Santo 2 5 3/2 5/2 1 2 3 5 3 2 3 1,8381,838 1,40 1,4 0,58 0,45 0,0675 3,375 10 0 HQ Q L h H h H H H H − = ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇔ = ⇔ ⇔ − + − + ⋅ = Observamos que a soma dos coeficientes é aproximadamente 1, o que nos leva a concluir que existe uma raiz próxima a este valor. Por tentativa e erro: H = 1,04 m b) ( )1 2Q Q− é máxima ( ) ( ) ( )3/23/2 5/2 5/21 2 1,838 1,40 1,838 0,15 1,40 0máx máx dQ Q L h H H HdH − = ⋅ ⋅ − ⋅ → − − = ⇔ ( ) ( )1/2 3/2 2 3 2 32,757 0,15 3,5 7,6 0,15 3,5 3,5 7,6 1,14 0H H H H H H⇔ − = ⇔ − = ⇔ − + = ⇔ H = 0,7 m 12.9 Um vertedor retangular de parede fina, sem contrações laterais, é colocado em um canal retangular de 0,50 m de largura. No tempo t = 0, a carga H sobre a soleira é zero e, com o passar do tempo, varia conforme a equação H = 20⋅⋅⋅⋅t, com H (m) e t (min). Determinar o volume de água que passou pelo vertedor após 2 minutos. VERTEDOR RETANGULAR DE PAREDE FINA SEM CONTRAÇÕES_ equação de Bernoulli: ( ) 2 2 2 0 1 0 1 22 2 2 V V Vh h y V g y g g g + = − + ∴ = + 0,5A h= ⋅ Volume vazão tempo velocidade área tempo= ⋅ = ⋅ ⋅ 12.14 Se a equação básica para um vertedor retangular, de soleira fina, sem contrações laterais, Equação 12.70, for usada para determinar a vazão por um vertedor de soleira espessa, de igual largura, qual deve ser o coeficiente de vazão Cd naquela equação? Despreze a carga cinética de aproximação. Vertedor retangular de parede fina sem contrações → 3/22 2 3 d Q C g L h= ⋅ ⋅ ⋅ (Equação 12.70) Vertedor de soleira espessa horizontal → 3/21,704dQ C b h= ⋅ ⋅ ⋅ (Equação 12.94) Igualando as duas equações, tem-se: 3/2 ' 3/22 22 1,704 2 1,704, 3 3d d d C g L h C b h C g⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇔ ⋅ = admitindo ' 1dC = 2 12 1,704 0,577 3 3d d C g C⋅ = ⇒ = = 12.18 A captação de água para o abastecimento de uma cidade na qual o consumo é de 250 l/s (vazão de demanda) é feita num curso d’água onde a vazão mínima verificada (no período de estiagem) é de 700 l/s e a vazão máxima verificada (no período das cheias) é de 3800 l/s. Em decorrência de problemas de nível d’água na linha de sucção da estação de bombeamento, durante a época da estiagem, construiu-se à jusante do ponto de captação uma pequena barragem cujo vertedor de 3 m de soleira tem a forma de um perfil padrão WES, que foi desenhado para uma carga de projeto hd =0,50 m. Para o bom funcionamento das bombas, o nível mínimo d’água no ponto de captação deverá estar na cota de 100,00 m, conforme a Figura 12.51. Nestas condições, pergunta-se: a) Em que cota estará a crista do vertedor-extravasor? André Barcellos Ferreira – andrepoetta@hotmail.com 37 Universidade Federal do Espírito Santo b) Durante a época das enchentes, qual será a máxima cota do nível d’água? 3/2 0,148 0,5 m WES: 3,0 m 2,215750 250 450 l/s d d Q C L hh Vertedor L hCQ h = ⋅ ⋅= ∗ = = = − = Sendo h a carga de trabalho, então: a) 0,148 0,148 3/2 3/2 1,6480,45 0,50,45 2,215 3 0,183 0,5 3 2,215 hQ C L h h h h⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇔ = ⇔ = ⋅ m 100 m N 99,817 mcrista cristaN h∴ + = ⇔ = b) Vazão = 3.800 l/s – 250 l/s = 3550 l/s 0,148 0,148 3/2 1,6483,55 0,53,55 2,215 3 0,642 m 0,5 3 2,215 NA ' 99,817 0,642 100,459 mmáx c máx h h h h N h NA ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇔ = ⇔ = ⋅ ∴ = + = + ⇒ = .
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