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Teoria da Comunicação Prof. Andrei Piccinini Legg Aula 08 Introdução Sabemos que a informação pode ser transmitida através da modificação das características de uma sinusóide, chamada portadora do sinal de informação. Se a amplitude dessa sinusóide for alterada de acordo com as variações de amplitude do sinal de interesse, e se essa portadora mantiver sua frequência constante, então temos uma modulação em amplitude. Podemos também transmitir a informação do sinal m(t) através da alteração da frequência (ou fase) da sinusóide portadora. Introdução Na modulação em frequência, alteramos a frequência da portadora em função do sinal m(t). A frequência da portadora irá variar a cada instante de tempo. Por isso, torna-se importante definirmos o conceito de frequência instantânea. Modulação em Ângulo ou Exponencial Seja em que θωθ += tt c)( ))(cos()( tAt θϕ = Modulação em Ângulo ou Exponencial Em um pequeno intervalo de tempo ∆t podemos dizer que ωct é a derivada de θt . Logo, 0)( θωθ += tt c )cos()( 0θωϕ += tAt c 21 ttt ≤≤ Modulação em Ângulo ou Exponencial Em um pequeno intervalo de tempo ∆t podemos dizer que ωct é a derivada de θt . Logo, Neste exemplo, verifica-se que a frequência de ϕ(t), neste pequeno intervalo de tempo, é uma constante e vale ωc. Podemos estender essa análise para qualquer valor intervalo de tempo. 0)( θωθ += tt c )cos()( 0θωϕ += tAt c 21 ttt ≤≤ Modulação Angular ou Exponencial Se generalizarmos a idéia, mostrada anteriormente, para qualquer intervalo de tempo, teremos a definição de frequência instantânea (ωi), que é obtida a partir da derivada de θ(t). Logo, e dt d i θ ω = ααωθ dt t i )()( ∫ ∞− = Modulação em Ângulo ou Exponencial Com essa definição podemos ver como transmitir m(t) através da variação de θ(t). Essa técnica é chamada de modulação em ângulo, ou modulação exponencial. Para esse tipo de modulação, temos duas bem conhecidas: Modulação em fase (PM) Modulação em frequência (FM) Modulação em Ângulo ou Exponencial Na modulação em fase θ(t) varia linearmente com m(t) Sendo ωc a frequência da portadora, kp uma constante e θ0 a fase da portadora, que pode ser igualada a zero sem perdas de generalidade, então Assim, e )()( 0 tmktt pc ++= θωθ )()( tmktt pc += ωθ )](cos[)( tmktAt pcPM += ωϕ Modulação em Ângulo ou Exponencial E a frequência instantânea de um sinal PM é dado por Portanto, na modulação em fase a frequência instantânea varia linearmente com a derivada do sinal modulante, m(t). )](cos[)( tmktAt pcPM += ωϕ [ ] )()( ' tmktmkt dt d pcpci +=+= ωωω Modulação em Ângulo ou Exponencial Na modulação PM temos Se fizermos A frequência instantânea varia linearmente com o sinal modulante, m(t), e temos portanto a modulação em frequência (FM). )(tmk fci += ωω )(' tmk pci += ωω )(t dt d i θω = [ ] ααωθ ααωθ dmktt dmkt t fc t fc ∫ ∫ ∞− ∞− += += )()( )()( Modulação em Ângulo ou Exponencial Logo, a modulação em frequência é dada por )(tmk fci += ωω )(t dt d i θω = [ ] ααωθ ααωθ dmktt dmkt t fc t fc ∫ ∫ ∞− ∞− += += )()( )()( += ∫ ∞− ααωϕ t fcFM dmktAt )(cos)( Modulação em Ângulo ou Exponencial Podemos observar que os sinais PM e FM são bastante similares. Na realidade, não conseguimos distingui-los no domínio do tempo. += ∫ ∞− ααωϕ t fcFM dmktAt )(cos)( )](cos[)( tmktAt pcPM += ωϕ Modulação em Ângulo ou Exponencial Isso nos sugere que podemos ter uma função generalizada a partir da qual os sinais PM e FM possam ser gerados. Essa função é chamada de modulação Exponencial (EM-exponential modulation) e é dada por: −+= ∫∞ ∞− αααωϕ dthmktAt cEM )()(cos)( Modulação em Ângulo ou Exponencial Se k for uma constante e , então se torna e portanto temos um sinal PM −+= ∫∞ ∞− αααωϕ dthmktAt cEM )()(cos)( )()( tth δ= [ ])(cos)( )()(cos)( tkmtAt dtmktAt cEM cEM += += ∫∞ ∞− ωϕ αδαωϕ Modulação em Ângulo ou Exponencial Se k for uma constante e , então se torna e portanto temos um sinal FM −+= ∫∞ ∞− αααωϕ dthmktAt cEM )()(cos)( )()( tuth = += += ∫ ∫ ∞ ∞− ∞ ∞− ααωϕ ααωϕ dmktAt dtumktAt cEM cEM )(cos)( )()(cos)( Exercício Desenhe as formas de onda FM e PM para o sinal m(t) representado na figura abaixo. Assuma que 5102pi=fk pi10=pk MHzfc 100= Exercício Desenhe as formas de onda FM e PM para o sinal m(t) representado na figura abaixo. Assuma que FM PM 5102pi=fk pi10=pk MHzfc 100= )(tmk fci += ωω )(' tmk pci += ωω Solução Para a modulação FM temos que: )(2 )( tm k ff tmk f ci fci pi ωω += += 5102pi=fk MHzfc 100= )(1010 )( 2 10.210.100 58 5 6 tmf tmf i i += += pi pi Solução Para a modulação FM temos que: MHzfi 9,991.1010 58 (min) =−= MHzfi 1,1001.1010 58 (max) =+= Solução Como m(t) é uma função linear em t, então a frequência do sinal FM varia linearmente de fi(min) para fi(max) na faixa de variação do sinal m(t). MHzfi 9,991.1010 58 (min) =−= MHzfi 1,1001.1010 58 (max) =+= Solução Para a modulação PM temos que: )(2 )( ' ' tm k ff tmk p ci pci pi ωω += += pi10=pk MHzfc 100= )(510 )( 2 1010.100 '8 '6 tmf tmf i i += += pi pi Solução Para a modulação PM temos que: )( 2 )( ' ' tm k ff tmk p ci pci pi ωω += += 5102pi=fk MHzfc 100= )(510 )( 2 1010.100 '8 '6 tmf tmf i i += += pi pi Solução Para a modulação PM temos que: )(510 '8 tmfi += Exercício Desenhe as formas de onda FM e PM para o sinal m(t) representado na figura abaixo. Assuma que 5102pi=fk 2/pi=pk MHzfc 100= Exercício Desenhe as formas de onda FM e PM para o sinal m(t) representado na figura abaixo. Assuma queFM PM 5102pi=fk 2/pi=pk MHzfc 100= )(tmk fci += ωω )(' tmk pci += ωω Solução Para a modulação FM temos que: Solução Esse tipo de modulação FM é conhecido por FSK (frequency-shift keying) comutação por deslocamento em frequência Solução Para a modulação PM temos que: Solução Para a modulação PM temos que: += += )( 2 cos)( )](cos[)( tmtAt tmktAt cPM pcPM pi ωϕ ωϕ ( ) ( ) 1)(,sin 2 cos)( 1)(,sin 2 cos)( −=−= −= == += tmtAtAt tmtAtAt ccPM ccPM ω pi ωϕ ω pi ωϕ Solução Para a modulação PM temos que: ( ) ( ) 1)(,sin 2 cos)( 1)(,sin 2 cos)( −=−= −= == += tmtAtAt tmtAtAt ccPM ccPM ω pi ωϕ ω pi ωϕ Esse tipo de modulação PM é conhecido por PSK (phase-shift keying) comutação por deslocamento de fase. Exercícios: 5.1-1;5.1-2;5.1-3 Lista de Exercícios (Entregar) Slide 1 Slide 2 Slide 3 Slide 4 Slide 5 Slide 6 Slide 7 Slide 8 Slide 9 Slide 10 Slide 11 Slide 12 Slide 13 Slide 14 Slide 15 Slide 16 Slide 17 Slide 18 Slide 19 Slide 20 Slide 21 Slide 22 Slide 23 Slide 24 Slide 25 Slide 26 Slide 27 Slide 28 Slide 29 Slide 30 Slide 31 Slide 32 Slide 33
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