PLANIMETRIA Parte 2

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CET 217 
TOPOGRAFIA BÁSICA 
 
PLANIMETRIA 
Parte 2 
 
2015.1 
 
 
 
 
 
1.6 TEODOLITO 
Uma base provida de três parafusos niveladores (parafusos calantes), contendo um limbo1 
horizontal graduado destinado a leitura dos ângulos horizontais. Em torno do eixo vertical de rotação 
(também chamado de eixo principal) giram os montantes da luneta e o limbo horizontal. Para a leitura dos 
ângulos horizontais, os montantes arrastam consigo a alidade2 do instrumento. Existem os parafusos de 
travamento do movimento horizontal e os parafusos de chamada ou micrométricos, que servem para 
ajustar a visada para obtenção do ângulo horizontal. O outro eixo importante é denominado de eixo de 
rotação da luneta ou eixo secundário. Para a leitura dos ângulos verticais a luneta gira em torno do eixo de 
rotação da luneta ou eixo secundário, contendo um limbo3 vertical graduado destinado a leitura dos 
ângulos verticais. Existem os parafusos de travamento do movimento vertical e os parafusos de chamada 
ou micrométricos, que servem para ajustar a visada para obtenção do ângulo vertical. 
A luneta do teodolito é constituída de um tubo em cujas extremidades se situam as objetiva e a 
ocular. A objetiva é um sistema de lentes com a função de fornecer a imagem do objeto visado e a ocular é 
uma lente cuja função é aumentar as dimensões do objeto. Na extremidade da ocular estão alojados os 
retículos, formados por dois fios ortogonais: um é o colimador (fio vertical) e o outro é o nivelador (fio 
horizontal). O fio nivelador também é chamado de FIO MÉDIO (FM) e acima e abaixo dele estão o FIO 
SUPERIOR (FS) e o FIO INFERIOR (FI), utilizados para realização das leituras de mira. 
Outras partes componentes do teodolito são: parafusos de pressão (travamento do movimento), 
parafusos micrométricos ou de chamada, fio de prumo, nível esférico para realização do nivelamento 
grosseiro, nível tubular para realização do nivelamento fino, visor digital de leitura dos ângulos horizontal e 
vertical e prumo ótico para centragem do teodolito no ponto topográfico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 LIMBO: Disco circular graduado pelo sistema de divisão sexagesimal ou centesimal; destina-se à medida de ângulos horizontais 
e verticais. 
2 ALIDADE: Parte móvel do teodolito; é o órgão de visada do instrumento, permitindo obter a direção da linha de visada. 
3 LIMBO: Disco circular graduado pelo sistema de divisão sexagesimal ou centesimal; destina-se à medida de ângulos horizontais 
e verticais. 
 
 
1.7 ESCALA 
Uma carta, mapa ou planta é a representação convencional ou digital da configuração da superfície 
topográfica. 
Esta representação consiste em projetarmos esta superfície, com os detalhes nela existentes, sobre 
um plano horizontal ou em arquivos digitais. 
Os detalhes representados podem ser: 
- Naturais: São os elementos existentes na natureza como os rios, mares, lagos, montanhas, 
serras, etc. 
- Artificiais: São os elementos criados pelo homem como: represas, estradas, pontes, 
edificações, etc. 
Uma carta, mapa ou planta, dependendo dos seus objetivos, só estará completa se trouxer esses 
elementos devidamente representados. 
Esta representação gera dois problemas: 
1º) A necessidade de reduzir as proporções dos acidentes à representar, a fim de tornar possível a 
representação dos mesmos em um espaço limitado. 
- Essa proporção é chamada de ESCALA. 
2º) Determinados acidentes, dependendo da escala, não permitem uma redução acentuada, pois tornar-
se-iam imperceptíveis, no entanto são acidentes que por usa importância devem ser representados nos 
documentos cartográficos 
- A solução é a utilização de símbolos cartográficos. 
Escala é a relação entre a dimensão representada do objeto e a sua dimensão real. É, portanto, uma 
razão entre as unidades da representação e do seu tamanho real. Duas figuras semelhantes têm ângulos 
iguais e lados homólogos proporcionais. 
 
Dois exemplos de figuras semelhantes. 
Verifica-se, portanto, que será sempre possível, através do desenho geométrico obter-se figuras 
semelhantes às do terreno. 
Dispõe-se então das relações adimensionais de escala linear: 
E = 
 
 
 
Sendo 
d = medida linear da representação; 
D = medida linear real; 
Assim, um comprimento tomado no desenho é denominado pela distância gráfica ou de 
representação, um comprimento homólogo tomado no terreno é denominado como a distância real 
natural e a razão entre esses comprimentos é denominada por ESCALA. 
A razão é adimensional, por relacionar quantidades físicas idênticas, acarretando a ausência de 
dimensão. 
A relação d/D pode ser maior, igual ou menor que a unidade, dando lugar à classificação das 
escalas quanto a sua natureza, em três categorias: 
 
 
Na 1ª categoria, tem-se a relação d > D, onde a distância gráfica é maior que a distância real; 
Na 2ª categoria, tem-se a relação d = D, onde a distância gráfica é igual a distância real. 
Na 3ª categoria, que é a usada em Cartografia, a distância gráfica é menor que a real, ou seja, d < D. 
Quando a dimensão representada é igual à dimensão do objeto real tem-se a escala natural. 
Quando a dimensão do objeto representado é menor que o objeto real, tem-se uma escala de redução, e 
quando a dimensão do objeto representado é maior que o objeto real tem-se uma escala de ampliação. 
 
Exemplos: 
E = 1/20000 – escala de redução - (uma unidade linear equivale a 20 000 unidades lineares no terreno). 
E = 20/1 – escala de ampliação - (20 unidades lineares na carta equivalem a uma unidade linear no 
terreno). 
FORMAS DE EXPRESSÃO DE ESCALA 
Uma escala pode ser expressa das seguintes formas: 
- fração representativa ou numérica; 
- gráfica ou escala de barras. 
 
Escala Numérica 
A expressão numérica de escala é dada pelo relacionamento direto entre medidas lineares ou 
planares na representação (mapa) e na superfície terrestre. A apresentação da razão, no entanto, é feita 
normalmente mostrando o numerador unitário e o denominador expressando um valor: 
E = 1/N = 
 
 
 
onde, 
E = escala; 
N = denominador da escala; 
d = distância medida na carta; 
D = distância real (no terreno); 
O valor N denomina-se por número da escala e o valor E pelo nome de fração representativa ou 
fator de escala, e tanto pode ser dada pela fração como pela razão representativa, ou seja: 1/100.000 ou 
1:100.000, dizendo-se por exemplo, “um para cem mil”, neste caso. 
Formalmente esta razão expressa que uma unidade no mapa, equivale ao número de escala de 
unidades no terreno, ou seja: 
1 mm na carta = 100.000 mm no terreno 
1 cm na carta = 100.000 cm no terreno 
Esta forma de expressar uma escala estabelece a segunda maneira de mostrar a relação, a forma 
escrita. Normalmente esta expressão é dada em termos de uma unidade coerente para as observações no 
mapa (mm ou cm), para unidades também coerentes em termos de terreno (metros ou quilômetros). 
Escala linear: 1:100.000 tem-se que 1 cm (mapa) = 1 km (terreno) = 1000 m 
Escala linear: 1:25.000 tem-se que 1 cm (mapa) = 0,25 km (terreno) = 250 m 
ou então: 4 cm = 1 km 
 
 
 
 
A tabela abaixo mostra as escalas mais comuns e equivalências: 
 
 
Pode-se verificar que quanto maior o número da escala, menor será a escala, e inversamente; 
quanto menor o número da escala, maior a escala. Ou seja, uma escala é tanto maior quanto menor for o 
denominador. 
 
Exemplo: 1:50.000 é maior que 1:100.000; 
 
Escalas maiores acarretam, portanto, em um maior grau de detalhamento dos objetos terrestres, 
sendo aplicadas em áreas menores, por outro lado, escalas menores possuem um menor grau de 
detalhamento dos objetos terrestres. 
 
Escala Gráfica 
A escala gráfica ou de barra é a representação gráfica de váriasdistâncias do terreno sobre uma 
linha reta graduada. 
É uma forma de apresentação da escala linear, através de uma linha, normalmente faz parte da 
legenda da Carta, dividida em partes, mostrando os comprimentos na Carta, diretamente em termos de 
unidades do terreno. 
É constituída de um segmento à direita da referência zero, conhecida como escala primária. 
Consiste também de um segmento à esquerda da origem denominada de Talão ou escala de 
racionamento, que é dividida em sub-múltiplos da unidade escolhida, graduadas da direita para a 
esquerda. 
A Escala Gráfica permite realizar as transformações de dimensões gráficas em dimensões reais sem 
a necessidade de efetuar cálculos. Para sua construção, entretanto, torna-se necessário o emprego da 
escala numérica. 
 
De modo geral, o seu emprego consiste nas seguintes operações: 
1. Toma-se na carta a distância que se pretende medir. 
2. Transportar essa distância para a Escala Gráfica. 
3. Ler o resultado obtido. 
 
 
 
Exercícios: 
1) Determinar o comprimento de um rio onde a escala do desenho é de 1:18000 e o rio foi representado 
por uma linha com 17,5 de comprimento. 
2) Determinar qual a escala de uma carta sabendo-se que distâncias homólogas na carta e no terreno são, 
respectivamente, 225 mm e 4,5 km. 
3) Com qual comprimento uma estrada de 2500 m será representada na escala 1:10000 ? 
4) Um lote urbano tem a forma de um retângulo, sendo que seu comprimento é duas vezes maior que a 
sua largura e sua área é de 450,00 m2. Calcular os comprimentos dos lados do lote, no papel, se ele fosse 
representado em uma planta topográfica na escala 1:1500. 
5) As dimensões de um terreno foram medidas em uma carta e os valores obtidos foram 250 mm de 
comprimento por 175 mm de largura. Sabendo-se que a escala do desenho é de 1:2000, qual é a área do 
terreno em m2 ? 
6) Determinar qual a escala de uma carta sabendo-se que distâncias homólogas na carta e no terreno são, 
respectivamente, 345 mm e 3,45 km. 
7). Calcular o comprimento, no desenho, de uma rua com 30m de extensão representada nas escalas 
1:100, 1:200, 1:500 e 1:1000. Apresentar os resultados em milímetros. 
8) As dimensões de um terreno foram medidas em uma planta topográfica e os valores obtidos foram: 
350 mm de comprimento por 150 mm de frente. Sabendo-se que a escala do desenho é de 1:2000, qual é 
a área do terreno em m2 ? 
9) Um lote urbano tem a forma de um retângulo, sendo que o seu comprimento lateral é duas vezes maior 
que a sua frente e sua área é de 1.800,00 m2. Calcular os comprimentos dos lados do lote se esta área 
fosse representada na escala 1:500. E se a área fosse representada na escala 1:250, quais seriam os 
comprimentos dos lados do lote? 
10) Para um Engenheiro foi solicitado o mapeamento de uma estrada de 40 km. A estrada é uma linha reta 
e será construída para ligar duas cidades. Sabendo que todo o projeto de mapeamento deve ser feito em 
uma folha de tamanho A0 (841 mm x 1189 mm), qual é a maior escala a ser usada de forma que toda a 
estrada seja representada na folha A0 (dimensão com maior largura). 
a) 1:1000 b) 1:250000 c) 1:10000 d) 1:100000 e) 1:50000 f) 1:20000 
 
 
1.8 MEDIÇÃO DE DIREÇÕES, RUMO, AZIMUTE e DEFLEXÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
CASOS ESPECIAIS DE RUMOS: 
 
 
 
 
 
 
 
DEFLEXÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A determinação dos azimutes poderá ser feita da seguinte forma, conforme indica a figura 
abaixo. 
 
Determinação dos azimutes 
 
 
Para o esquema de figura acima podemos escrever: 
 
onde: 
D = ângulo de deflexão à direita; 
E = ângulo de deflexão à esquerda. 
 
 
Generalizando: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
1. Defina Azimute? 
2. O que é um ângulo zenital? 
3. Com suas palavras, como você definiria plano topográfico? 
4. Conceitue ponto topográfico. 
5. Qual a diferença entre o método direto e o método indireto no levantamento topográfico? 
6. Para um ângulo vertical ascendente de 320 26’ 48”, qual o valor do ângulo zenital? 
7. Para um ângulo vertical ascendente de 20 56’ 38”, qual o valor do ângulo zenital? 
8. Para um ângulo vertical descendente de 20 56’ 38”, qual o valor do ângulo zenital? 
9. Para um ângulo vertical descendente de 520 00’ 14”, qual o valor do ângulo zenital? 
15. Qual o azimute correspondente a um Rumo de 300 27’ 47” SW? 
16. Qual o azimute correspondente a um Rumo de 450 27’ SE? 
17. Qual o Rumo correspondente a um Azimute de 2450 00’ 03”? 
18. Qual o Rumo correspondente a um Azimute de 450 34’ 07”? 
25. Com o objetivo de determinar a distância vertical (DV) e a distância horizontal (DH) entre dois pontos A 
e B, um operador mediu, com equipamento adequado, a distância inclinada (DI) de 25,37 metros e um 
ângulo de inclinação ascende de A para B de 310 25’. Calcule DV e DH. 
Transformar os resultados encontrados para DV e DH em Km e cm. 
26. Com o objetivo de medir a distância entre os pontos 1 e 2, um operador instalou um teodolito 
eletrônico no ponto 1 e efetuou as leituras dos fios estadimétricos (FS=1,657m; FM=1,500m; FI=1,343m) 
em uma mira instalada no ponto 2. O ângulo zenital anotado para essa leitura de fios foi de 800 30’ 45”. 
Qual a distância horizontal (DH) entre os pontos 1 e 2. 
Dado: DH = (FS - FI) . k . sen2 Z, onde: Z é o ângulo zenital e k = 100 (constante do aparelho). 
 
GABARITO 
6. ângulo zenital = 570 33’ 12”; 
7. ângulo zenital = 870 03’ 22”; 
8. ângulo zenital = 920 56’ 38” 
9. ângulo zenital = 1420 00’ 14”. 
15. Azimute = 2100 27’ 47”; 
16. Azimute = 1340 33’; 
17. Rumo = 650 00’ 03” SW; 
18. Rumo = 450 34’ 07” NE 
25. DV = 13,22 m = 1322,00 cm = 0,01322 Km e DH = 21,65 m = 2165,00 cm = 0,02165 Km 
26. FS=1,657m; FM=1,500m; FI=1,343m; ângulo zenital = 800 30’ 45” => DH = 30,547 metros 
 
 
 
1.9 MEDIÇÃO DE DISTÂNCIAS - Processos de medidas diretas e indiretas de distâncias 
 
 
 
 
 
 A medida de distâncias de forma direta ocorre quando a mesma é determinada a partir da 
comparação com uma grandeza padrão, previamente estabelecida, através de trenas ou diastímetros. 
Dinamômetro: aparelho que se destina à medição das tensões que são aplicadas aos diastímetros para 
fins de correção dos valores obtidos no levantamento. As correções são efetuadas em função do 
coeficiente de elasticidade do material com que o diastímetro foi fabricado. 
 
 Antigamente existia o passo militar padrão, passo duplo ou passada (marcha militar). 
Máquina de contar: Registro conferidor ou dispositivo manual para se contar os passos ou passadas. 
Levado na mão, e um botão é apertado cada vez que se dá um passo ou passada. No final, tem-se o 
número total de passos ou passadas. 
Pedômetro: Dispositivo semelhante à máquina de contar. Porém, registra automaticamente cada passo 
dado. Colocado sobre o ombro ou pendurado no cinturão. 
Passômetro: Dispositivo semelhante ao pedômetro, porém pode-se ajustar ao tamanho médio do passo. 
Registra cumulativamente o comprimento a cada passo, dando a distância total percorrida. 
 
 
 
 
 
 
Trena de Fibra de Vidro 
 
 A trena de fibra de vidro é feita de material resistente (produto inorgânico obtido do próprio vidro 
por processos especiais). A figura abaixo ilustra alguns modelos de trenas. Estes equipamentos podem ser 
encontrados com ou sem invólucro, os quais podem ter o formato de uma cruzeta, ou forma circular e 
sempre apresentam distensores (manoplas) nas suas extremidades. Seu comprimento varia de 20 a 50m 
(com invólucro) e de 20 a 100m(sem invólucro). A trena de fibra de vido, comparada à trena de lona, 
deforma menos com a temperatura e a tensão, não se deteriora facilmente e é resistente à umidade e a 
produtos químicos, sendo também bastante prática e segura. 
 
 
 
 
 
 
 Durante a medição de uma distância utilizando uma trena, é comum o uso de alguns acessórios 
como: piquetes, estacas testemunhas, fichas, balizas e níveis de cantoneira. 
 Os piquetes são necessários para marcar convenientemente os extremos do alinhamento a ser 
medido. 
 As estacas testemunhas são utilizadas para facilitar a localização dos piquetes, indicando a sua 
posição aproximada. 
 As balizas são utilizadas para manter o alinhamento, na medição entre pontos, quando há 
necessidade de se executar vários lances. 
 O nível de cantoneira é um equipamento em forma de cantoneira e dotado de bolha circular que 
permite ao auxiliar segurar a baliza na posição vertical sobre o piquete ou sobre o alinhamento a medir. 
 
 
 
Estacas Testemunhas: 
 São utilizadas para facilitar a localização dos piquetes, indicando a sua posição aproximada. Estas 
normalmente obedecem as seguintes características: 
 cravadas próximas ao piquete, cerca de 30 a 50 cm; 
 comprimento variável de 15 a 40 cm; 
 diâmetro variável de 3 a 5 cm; 
 chanfradas na parte superior para permitir uma inscrição, indicando o nome ou número do 
piquete. Normalmente a parte chanfrada é cravada voltada para o piquete. 
 
 
 
 
 
Balizas: 
 São utilizadas para elevar o ponto topográfico com objetivo de torná-lo visível e manter o 
alinhamento na medição entre pontos, quando há necessidade de se executar vários lances. 
Características: 
 construídas em madeira ou ferro, arredondado, sextavado (seis faces; hexagonal) ou oitavado 
(octogonal); 
 terminadas em ponta guarnecida de ferro; 
 comprimento de 2 metros; 
 diâmetro variável de 16 a 20 mm; 
 pintadas em cores contrastantes (branco e vermelho ou branco e preto) para permitir que sejam 
facilmente visualizadas à distância. 
 Devem ser mantidas na posição vertical, sobre o ponto marcado no piquete, com auxílio de um nível 
de cantoneira. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Analisando a figura abaixo, o balizeiro de ré (posicionado em A) orienta o balizeiro intermediário, 
cuja posição coincide com o final da trena, para que este se mantenha no alinhamento AB. Depois de 
executado o lance, o balizeiro intermediário marca o final da trena com uma ficha (haste metálica com 
uma das extremidades em forma de cunha e a outra em forma circular). O balizeiro de ré, então, ocupa a 
posição do balizeiro intermediário, e este, por sua vez, ocupará nova posição ao final do diastímetro. 
Repete-se o processo de deslocamento das balizas (ré e intermediária) e de marcação dos lances até que 
se chegue ao ponto B. É de máxima importância que, durante a medição, os balizeiros se mantenham 
 
 
sobre o alinhamento AB. 
 
 
 
 
 
 Dentre os erros que podem ser cometidos na medida direta de distância, destacam-se: 
- erro relativo ao comprimento nominal da trena; 
- erro de catenária - Curva plana cuja forma é a que assume um fio homogêneo, de espessura desprezível, 
perfeitamente flexível e inextensível, quando suspenso por seus dois extremos e sob a ação única do 
próprio peso (exemplos: Linhas de Transmissão, teleférico, etc). 
- falta de verticalidade da baliza quando posicionada sobre o ponto do alinhamento a ser medido, o que 
provoca encurtamento ou alongamento deste alinhamento. Este erro é evitado utilizando-se um nível de 
cantoneira. 
 
 
 
 
 Uma distância é medida de maneira indireta quando no campo são observadas grandezas que se 
relacionam com esta, através de modelos matemáticos previamente conhecidos. Ou seja, é necessário 
realizar alguns cálculos sobre as medidas efetuadas em campo, para se obter indiretamente o valor da 
distância. 
 
 
 As observações de campo são realizadas com o auxílio de teodolitos. Com o teodolito realiza-se a 
medição do ângulo vertical ou ângulo zenital, o qual, em conjunto com as leituras efetuadas nas estadias 
ou mira graduada (fios estadimétricos) e com constantes do instrumento, calcula-se a distância horizontal 
através de relações trigonométricas. 
 
 
 
 A medida de um comprimento com um distanciômetro eletrônico não pode, a rigor, ser enfocada 
como medida direta de distâncias apesar do dial exibir digitalmente uma distância; para “medir uma 
grandeza” nos a comparamos com outra, da mesma espécie, denominada unidade; mas neste caso o 
equipamento mede, na realidade, uma diferença de fase que é convertida sucessivamente em intervalo 
de tempo e em distância. Não se trata, portanto, de uma mensuração direta sobre a grandeza procurada. 
 
 Em 1968 surgiu o primeiro distanciômetro óptico-eletrônico. O princípio de funcionamento é simples 
e baseia-se na determinação do tempo t que leva a onda eletromagnética para percorrer a distância, de 
ida e volta, entre o equipamento de medição e o refletor. 
 
ERROS ADVINDOS DOS PROCESSOS DE MEDIDAS INDIRETAS DE DISTÂNCIA