Álgebra linear - Lang S.

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SERGE LANG 
Professor da Universidade de Columbia 
ÁLGEBRA LINEAR 
Coordenadora: 
Professôra ELZA F. ÔOMIDE 
Tradutor: 
FREDERIC TSU 
EDITôRA UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA 
EDITORA EDGARDebBLÜCHER LTDA. 
Título Original 
Linear Algebra 
A edição em língua inglêsa foi publicada pela Addison-Wesley Publishing Company 
Copyright © 1966 by Addison-Wesley Publishing Company, Inc. 
Direitos reservados para a língua portuguêsa pela 
Editôra Edgard Blücher Ltda. - São Paulo - Brasil - 1971 
EDITÔRA EDGARD BLÜCHER LTDA. 
Rua Peixoto Gomide, 1400 
Caixa Postal, 5450 
Fone: 287-2043 
São Paulo - Brasil 
Prefácio 
O objetivo do livro que ora apresentamos é servir de texto para um curso de 
álgebra linear no nível de graduação. Incluimos material suficiente para um curso 
de um ano de duração, mas, mediante omissões convenientes, também será possível 
usar o livro em um semestre. 
No decorrer da última década, a ênfase no currículo dos cursos de álgebra se 
deslocou para a álgebra linear. A mudança foi feita em parte porque se reconheceu 
que é mais fácil assimilar esta parte da álgebra do que algumas outras partes (por ser 
ela menos abstrata, e, de qualquer forma, porque ela é diretamente motivada pela 
geometria espacial), e em parte por causa da ampla aplicação que a álgebra linear tem. 
Em conseqüência, iniciei o livro com a noção básica de vetores no espaço euclidiano 
real, com isso estabelecendo o padrão geral de uma boa parte do que segue. Os capí­
tulos sôbre grupos e anéis foram incluídos por causa de sua importância em relação 
à álgebra linear, sendo que o grupo das aplicações lineares (ou matrizes) inversíveis 
e o anel das aplicações lineares de um espaço vetorial são provàvelmente os exemplos 
mais marcantes de grupos e anéis. Como parte de um curso de álgebra linear, vale a 
pena destacar o fato que um espaço vetorial sôbre um corpo pode ser interpretado 
com proveito como sendo wil módulo sôbre seu anel de endomorfismos. Contudo, 
em vista do intuito geral do livro, êsses capítulos não recebem um tratamento tão 
completo como de outro modo mereceriam. Um breve texto sôbre estruturas básicas 
(grupos, anéis, corpos, conjuntos, etc.), destinado principalmente aos estudantes de 
matemática, acompanhará êste livro, a fim de apresentar uma oportunidade de se 
ministrar um curso separado, de um semestre, versando sôbre êsses assuntos. 
O produto tensorial e, em particular, o produto alternado são de tal importância 
em cursos de cálculo avançado que foi absolutamente necessário inserir um capítulo 
sôbre êles, tendo em vista suas aplicações. O propósito limitado daquêle capítulo 
permitiu um tratamento concreto e simples. 
O apêndice sôbre conjuntos convexos dá seqüência a algumas das idéias geo­
métricas do Capítulo 1, admitindo-se alguns fatos básicos a respeito de funções con­
tínuas sôbre conjuntos compactos, a aderência de um conjunto, etc. Essencialmente, 
êle pode ser lido logo após o Capítulo I, e após tomar conhecimento da definição 
de aplicação linear. Tópicos diversos são expostos num segundo apêndice (incluindo 
uma demonstração do fato que os números complexos são algebricamente fechados), 
que pode ser estudado segundo o critério do instrutor. 
Berkeley, 1966. SERGE LANG 
Índice 
CAPÍTULO! 
Vetores no R" 
1. Definição de pontos no n-espaço. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 
2. Vetores localizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 
3. Produto escalar . ........... . . : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 
4. A norma de um vetor ............ _ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 
5. Retas e planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 
6. Números complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 
CAPÍTULO II 
Espaços Vetoriais 
1. Terminologia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 
2. Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 
3. Bases.............................................................. 25 
4. Dimensão de um espaço vetorial: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 
5. Somas e somas diretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 
CAPÍTULO III 
Matrizes 
1. O espaço das matrizes ............................................. . 
2. Equações lineares .................................................. . 
3. Multiplicação de matrizes .................................. , ....... . 
Apêndice. Eliminação ............................................... . 
CAPÍTULO IV 
Aplicaçõe.\ Lineares 
34 
38 
41 
48 
1. Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 
2. Aplicações lineares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 
3. Núcleo e imagem de uma aplicação linear.................. . . . . . . . . . . 62 
4. Dimensão do núcleo e da imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 
5. Composição de aplicações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 
CAPÍTULO V 
Aplicações lineares e Matrizes 
1. A aplicação linear associada a uma matriz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 
2. A matriz associada a uma aplicação linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 
3. Composição de aplicações lineares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 
CAPÍTULO VI 
Determinantes 
1. Determinantes de ordem 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 
2. Propriedades de determinantes ..... . ............................. ·. . . 83 
3. Regra de Cramer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 
4. Existência de determinantes ...... ... ................ ·. . . . . . . . . . . . . . . S 8 
5. Permutações . ....................... '. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 
6. Unicidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 
7. Determinante de uma transposta ................ . ..... ............. , 100 
8. Determinante de um produto.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 
9. A inversa de uma matriz.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 
10. O determinante de uma aplicação linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 
CAPÍTULO VII 
Produtos Escalares e Ortogonalidade 
1. Produtos escalares.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 
2. Produtos positivos definidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 
3. Bases ortogonais gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 
4. O espaço dual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 
5. O pôsto de uma matriz e equações lineares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 
CAPÍTULO VIII 
Matrizes e Formas Bilineares 
1. Formas bilineares................ .................................. 131 
2. Formas quadráticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1363. Operadores simétricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 
4. Operadores hermitianos.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 
5. Operadores unitários. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 
6. Teorema de Sylvester. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 
CAPÍTULO IX 
Polinômios e Matrizes 
1. Polinômios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 
2. Polinômios de matrizes e de aplicações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 
3. Vetores próprios e valôres próprios.. ................................ 159 
4. O polinômio característico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 
CAPÍTULO X 
Triangulação de Matrizes e de Aplicações Lineares 
1. Existência de triangulação. . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 
2. Teorema de Hamilton"Cayley. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 
J. Diagonalização de aplicações unitárias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 
CAPÍTULO XI 
O Teorema Espectral 
1. Vetores próprios de aplicações lineares simétricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 
2. O teorema espectral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 
3. O caso complexo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 
CAPÍTULO XII 
Polinômios e Decomposição Primária 
1. O algoritmo euclidiano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 
2. Máximo divisor comum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 
3. Unicidade da fatoração.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 
4. Os inteiros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 
:'i. Aplicação à decomposição de um espaço vetorial.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 
<>. Lema de Schur.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 
7. Expánsão ádica de um polinômio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 
CAPÍTULO XIII 
Produtos Multilineares 
O produto tensorial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 
Isomorfismos de produtos tensoriais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 
Produtos alternados: Caso particular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 
ti Produtos alternados: Caso geral.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 
!\ pêndice. O espaço vetorial gerado por um conjunto. . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 
CAPÍTULO XIV 
Grupos 
1. Grupos e exemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 
2. Propriedades simples de grupos ..... : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 
3. Classes laterais e sub-grupos normais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 
4. Grupos cíclicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 
5. Grupos abelianos livres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 
CAPÍTULO XV 
Anéis 
1. Anéis e ideais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 
2. Homomorfismos.................................................... 247 
3. Módulos.......................................................... 251 
4. Módulos quocientes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 
APÊNDICE 1 
Conjuntos Convexos 
1. Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 
2. Hiperplanos separadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 
3. Pontos extremos e hiperplanos de suporte.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 
4. O teorema de Krein-Milman........................................ 262 
APÊNDICE 2 
Miscelânea 
1. Indução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2o4 
2. O conjunto dos números complexos é algebricamente fechado. . . . . . . . . . . . 265 
3. Relações de equivalência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 
ÍNDICE ALFABÉTICO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 
CAPÍTULO 1 
Vetores no R n 
Nêste capítulo, a fim de apresentar uma motivação geométrica e algébrica, con­
sideraremos casos especiais de conceitos a serem discutidos com maior generalidade 
posteriormente. Nós supomos que o leitor está familiarizado com os números reais, 
e -exceto no §6- chamaremos de números os números reais (neste capítulo). 
§1. Definição de pontos no n-espaço 
Um número pode ser usado para representar um ponto numa reta, uma vez 
escolhida uma unidade de comprimento. 
Um par de números (i. e. uma dupla de números) (x, y) pode ser usado para repre­
sentar um ponto no plano. 
Observemos agora que uma tripla de números (x, y, z) pode ser usada para repre­
sentar um ponto no espaço, ou seja, no espaço a três dimensões, ou 3-espaço. Nós 
simplesmente introduzimos mais um eixo. Isto é ilustrado pela figura seguinte: 
Eixo x 
Eixo z 
' ' ' ' ' ' ' ',, 
'� (x,y,z) 
1 1 1 1 1 
..>.-,-, ,-,
-
-
_-_ -
_
-__ -!----�- Eixo y ----- i //,// 1 , 
-------------------�-:_�_,/' 
Figura 1 
Em vez de usar x, y, z também poderíamos usar (x1, x2, x3). A reta poderia ser 
chamada de 1-espaço, e o plano de 2-espaço. 
Desta forma, podemos dizer que um número representa um ponto no 1-espaço. 
Uma dupla representa um ponto no 2-espaço. Uma tripla representa um ponto no 
3-espaço. 
2 Álgebra Linear 
Apesar de não podermos traçar uma figura para ir mais adiante, nada nos impede 
de considerar uma quádrupla de números 
e convir que isto .é um ponto no 4-espaço. Uma quíntupla seria um ponto no 5-espaço, 
depois viriam uma sêxtupla, sétupla, óctupla, ... 
Continuando desta forma, definimos que um ponto no n-espaço é uma n-upla de 
números 
sendo n um inteiro positivo. Representaremos uma tal n-upla por uma letra maiúscula 
X, e trataremos de conservar letras minúsculas para números e letras maiúsculas 
para pontos. Chamaremos os números x1, . . • , x. de coordenadas do ponto X. 
Daremos agora a definição da adição de pontos. Se A e B são dois pontos, digamos 
então definimos A + B como stndo o ponto cujas coordenadas são 
Por exemplo, no plano, se A = (1, 2) e B = (-3, 5) então A + B = (-2, 7). No 
3-espaço, se 
então 
A = (-1, n, 3) e B = (j2, 7,-2), 
A+ B = (jZ -1,n + 7,1). 
Ademais, se e é um número qualquer, definimos cA como sendo o ponto cujas coor­
denadas são 
Se A= (2,-1,5) e e= 7, então cA = (14,-7,35) 
Observamos que as propriedades seguintes são verificadas: 
(1) (A + B) + C = A + (B + C) 
(2) A+ B = B +A 
(3) c(A + B) = cA + cB 
(4) Se c1 , c2 são números, então 
(c1 + C2)A = C1A + C2A e (C1C2)A = C1(c2A). 
(5) Seja O = (O, ... , O) o ponto cujas coordenadas são tôdas nulas; então 
O + A = A + O = A paraqualquer A. 
(6) 1 ·A= A, e se representarmos por -A a n-upla (-l)A, então A +(-A)= O. 
[Em vez de escrever A + (-B), escreveremos com freqüência A - B.] 
Tôdas estas propriedades são fáceis de demonstrar, e sugerimos que o leitor as veri­
fique em alguns exemplos. 
Vetores no R" 
Vamos apresentar a prova detalhada da propriedade (3). 
Sejam A = (a1 , • • • , a.) e B = (b1-, • • • , bn). Então 
A + B = (a1 + b1, . . . •. an + bn) 
e c(A + B) = (c(a1 + b1),. • ., c(an + bn)) 
= (ca1 + cb1, ... , can + cbn) 
= cA + cB, 
sendo êste último passo decorrência da definição da adição de n-uplas. 
Deixamos as demais demonstrações a título de exercícios. 
3 
Observação. Não confundir o número O e a n-upla (O, ... , O). Geralmente esta 
n-upla é designada por O, e denominada zero, pois na prática não surge nenhuma 
dificuldade. 
Agora interpretaremos geometricamente a adição e a multiplicação por números, 
no plano (o leitor pode visualizar simultâneamente o que ocorre no 3-espaço). 
Consideremos um exemplo. Sejam A = (2, 3) e B = (-1, 1). Então A + B = (1, 4). 
A figura tem o aspecto de um paralelogramo (Fig. 2). 
(1,4) 
(2,3) A+B 
(-1,1) 
Figura 2 Figura 3 
Tomemos um outro exemplo. Sejam A = (3, 1) e B = (1, 2). Então A + B = (4, 3). 
Verificamos novamente que a representação geométrica da nossa adição se assemelha 
a um paralelogramo (Fig. 3). 
3A =(3,6) 
3A 
-3A 
(a) 
Figura 4 
(b) 
4 Álgebra Linear 
Qual é a representação da multiplicação por um número? Sejam A = (1, 2) e 
e = 3. Então cA = (3, 6). (Fig. 4a). 
A multiplicação por 3 equivale a aumentar A três vêzes. Anàlogamente, !A equi­
vale a modificar A de t, i. e. diminuir A até a metade do seu tamanho. De forma geral, 
se t é um número, t > O, interpretamos ,tA como sendo um ponto, na mesma direção 
de A a partir da origem, mas a uma distância multiplicada por t. 
A multiplicação por um número negativo inverte o sentido. Desta forma, -3A 
teria a representação da Fig. 4(b). 
EXERCÍCIOS 
Computar A + B, A� B, 3A, -2B, nos casos seguintes: 
1. A= (2,-1),B = (-1, 1) 
3. A = (2,-1, 5), B = (-1, 1, 1) 
5. A = (n, 3, -1), B = (2n,-3, 7) 
2. A = (-1, 3), B = (O, 4) 
4. A = (-1, -2, 3), B = (-1, 3, -4) 
6. A= (15,-2,4),B = (n,3,-1) 
7. Representar os pontos dos exercícios 1 a 4, numa fôlha de papel para gráficos. 
8. Sejam A, B dados no Exercício 1. Obter num papel de gráfico os pontos 
A+ 2B, A+ 3B, A- 2B, A - 3B, A+ tB. 
§2. Vetores localizados. 
Nós definimos um vetor localizado como sendo um par de pontos e escrevemos 
AI!. (Não se trata de.um produto.) Visualizamos isto como sendo uma flecha ligando 
A e B. O ponto A é chamado ponto inicial e o ponto B ponto final do vetor localiza­
do (Fig. 5). 
Como se obtém as coordenadas de B a partir das coordenadas de A? Observamos 
no plano que, 
e 
Isto significa que 
b1 = a1 + (b1 - a1) 
b2 = a2 + (b2 -a2). 
B =A+ (B - A) 
Figura 5 
Sejam AB e CD dois vetores localizados. Diremos que são equivalentes se 
B - A = D - C. Todo vetor localizado AI! é equivalente a um vetor de ponto ini­
cial na origem, pois AB é equivalente a O(B - A}. Óbviamente, êste é o único vetor 
localizado de ponto inicial na origem e equivalente a A.B. Se o leitor visualizar a 
lei do paralelogramo no plano, então perceberá claramente que a equivalência de 
dois vetores localizados pode ser interpretada geometricamente em têrmos da igual-
Vetores no R" 5 
dade de comprimento dos segmentos de reta determinados pelos pares de pontos, 
e da coincidência das "direções" em que êles apontam. 
A 
�B 
B-A 
() 
Figura 6 
A Figura 6 mostra os vetores localizados O(B - A) e AH. 
Dado um vetor localizado Oê de ponto inicial na origem, diremos que êle é 
localizado na origem. Dado um vetor localizado AB qualquer, diremos que êle é 
localizado em A. 
Um vetor localizado na origem está totalmente determinado por seu ponto 
final. Em vista disto, chamaremos a uma n-upla seja de ponto, seja de vetor, depen­
dendo da interpretação que temos em mente. 
Diz-se que dois vetores localizados AH e PQ são paralelos se existir um número 
c ,p O tal que B- A = c(Q - P). Êles têm o mesmo sentido se existir um número e > O 
tal que B-A = c(Q - P), e têm sentidos opostos se existir um número e < O tal que 
B -A = c(Q- P). De maneira semelhap.te, qualquer definição que trate de n-uplas 
pode ser transladada para vetores localizados. Por exemplo, no parágrafo seguinte, 
daremos a definição do perpendicularismo de n-uplas. Assim, dizemos que dois vetores 
localizados AH e PQ são perpendiculares se B-A fôr perpendicular a Q- P. Na 
figura seguinte, apresentamos exemplos de tais vetores no plano. 
B-A 
B
�
/Q 
Q-P 
p 
Figura 7 
§3. Produto escalar 
É implícito que do começo ao fim de uma discussão, trabalhamos com vetores 
pertencentes sempre ao mesmo �spaço n-dimensional. 
6 Álgebra Linear 
Sejam dois vetores A = (a1,: . • , an) e B = (b1, • • • , b.). Definimos seu produto 
es calar A · B como sendo 
a1b1 + . .. + a.b • . 
Êste produto é um número . Por exemplo, se 
A = (1, 3, -2) e B = (-1, 4, �3) 
então: A· B = -1 + 12 + 6 � 17. 
Por enquanto, não fornecemos uma interpretação geométrica deste produto escalar. 
Faremos isto mais tarde. Primeiro, deduzimos algumas propriedades importantes. 
As propriedades básicas são: 
PE 1. Vale: A·B = B·A 
PE 2. Se A, B, C são três vetores, então 
A 
· 
(B + C) = A · B + A- C = (B + C) · A. 
PE 3. Se x é um número, então 
(xA ) 
· B = x(A · B) e A · (xB) = x(A- B). 
PE 4. Se A = O é o vetor nu lo, então A · A = O, e nos dem ais casos A · A > O. 
Vamos agora à demonstração destas propriedades. 
Quanto à primeira, temos 
porque para dois .números a e b quaisquer, temos ab = ba. Isto prova a primeira pro­
priedade. 
e 
Para PE 2, seja C = (c1, ... , cnl· Então 
B + e= (b1 + C1, . . . , b. + e.) 
A:(B + C) = a1(b1 + c1) + · · · + a.(bn +e.) 
= a1b1 + a1c1 + · · · + a.b. + a.e • . 
Reordenando os termos, obtemos 
que não é senão A · B + A 
· 
C, o que queríamos demonstrar. 
Deixamos PE 3 a título de exercício. 
Finalmente, para PE 4, observemos que se A tiver uma coordenada a; diferente 
de O, então existe um termo af =1- O, e af > O no produto escalar 
A· A = ai + · · · +a;. 
Sendo que cada termo é ;:;; O, segue que a soma é > O, como era para demonstrar. 
Em grande parte do que segue a respeito de vetores, empregaremos apenas as 
propriedades usuais de adição, multiplicação por números, e as quatro propriedades 
Vetores no R" 7 
do produto escalar. Posteriormente faremos a discussão formal de.stas propriedades. 
Por enquanto, basta notar que existem outros objetos conhecidos que podem ser 
adicionados, subtraidos e multiplicados por números, por exemplo as funções con­
tínuas num intervalo [a, b] (cf. Exercício 5). 
Em vez de escrever A· A para designar o produto escalar de um vetor por si pró­
prio, será conveniente escrever também A2. (Êste é o único caso em que nós nos per­
mitimos tal notação. Assim, não tem significado escrever A 3). Como exercício, veri­
ficar as identidades seguintes: 
(A+ B)2 = A2 + 2A · B + B2, 
(A-B)2 = A2-2A·B + B2• 
Por definição, diremos que dois vetores A e B são perpendiculares (ou diremos 
também ortogonais) se A · B = O. Por enquanto, não é muito claro que no plano esta 
definição coincide com a nossa intuição geométrica de perpendicularismo. Isto será 
posto em evidência no parágrafo seguinte. 
EXERCÍCIOS 
1. Calcular A· A para cada uma das n-uplas dos Exercícios 1 a 6 do §1. 
2. Calcular A · B para cada um dos pares de n-uplas mencionadas acima. 
3. Empregando unicamente as quatro propriedades do produto escalar, verificar 
em detalhe as propriedades de (A + 8)2 e (A-8)2• 
4. Quais dos seguintes pares de vetores são perpendiculares?(a) (1, -1, 1) e (2, 1, 5) 
(c) (-5, 2, 7) e (3, -1, 2) 
(b) (1, -1, 1) e (2, 3, 1) 
(d) (n, 2, 1) e (2, -n, O) 
5: Considere as funções contínuas no intervalo [-1, 1]. Defina o produto escalar 
de duas tais funções f e g como sendo: 
f +I 
_ 1 
f (x)g(x) dx. 
Esta integral é também escrita como (f, g). Verifique que as quatro propriedades de 
um produto escalar são satisfeitas, i. e. mostre que: 
PE 1. (f, g) = (g,f ). 
PE 2. (f,g + h) = (J,g) + (f,h). 
PE 3. (cf,g) = c(f,g). 
PE 4. Se f = O então (J,f) = O, e se f =f O então (J,f) > O. 
6. Se f(x) = x e g(x) 
= x2, o que são (J,J), (g, g), e (f, g)? 
7. Considere as funções contínuas no intervalo [-n, n]. Defina um produto es­
calar para êste intervalo, da mesma forma que acima. Mostre que as funções sen nx 
e cos mx são ortogonais para êste produto escalar (m, n sendo inteiros). 
8. Seja A um vetor perpendicular a todo vetor X. Mostre que A = O. 
8 Álgebra Linear 
§4. A norma de um vetor 
A seguinte desigualdade é denominada desigualdade de Schwarz, e é fundamental 
na teoria de vetores. 
Teorema 1. Sejam A e B dois vetores. Então 
(A · B)2 � (A· A)(B · B). 
Demonstração. Sejam x = B · B e y = -A· B. Então pela PE 4, temos 
O � (xA + yB) · (xA + yB). 
Desenvolvendo o membro direito desta desigualdade, obtemos 
O � x2(A ·A) + 2xy(A · B) + y2(B · B). 
Substituindo x e y por seus valores, 
O � (B · B)2(A · A)- 2(B · B)(A · B)2 + (A · B)2(B · B). 
Se B =O, então a desigualdade do teorema é óbvia, sendo cada membr.o igual a zero. 
Se B #- O, então B · B #-O e podemos dividir esta última expressão por B · B. Obtemos 
assim 
O � (A · A)(B · B)- (A · B)2• 
Transpondo o termo -(A · B)2 para o outro lado da desigualdade, está concluída a 
demonstração. 
Definimos a norma, ou comprimento, de um vetor Aj e o indicamos por 11A11, 
como sendo o número 
llAll=�. 
Sendo A· A � O, podemos extrair a raiz quadrada. Além disso, observamos que 
llAll #-O se A#- O. 
Em termos de coordenadas, vemos que 
e portanto, quando n = 2 ou n = 3, isto coincide com nosso conceito intuitivo (decor­
rente do teorema de Pitágoras) de comprimento. 
Pela nossa definição, podemos· re-escrever a desigualdade do Teorema 1 sob a 
�� 
. 
onde foi extraida a raiz quadrada de ambos os membros. Nós vamos usá-la sob esta 
forma para demonstrar o seguinte teorema. 
Teorema 2. Sejam A e B dois vetores,. Então 
llA + BJJ � JJAIJ + IJBJJ. 
Vetores no R" 9 
Demonstração. Ambos os membros desta desigualdade são positivos ou nulos. 
Logo basta mostrar que seus quadrados satisfazem à desigualdade desejada, em outras 
palavras, 
(A+ B)·(A + B) � ( llAll + llB l l )2• 
·Para tanto, consideremos 
(A + B) · (A + B) = A-A + 2A · B + B · B. 
Em virtude do nosso resultado anterior, isto satisfaz à desigualdade 
e o membro direito não é senão 
Está demonstrado o teorema. 
O Teorema 2 é denominado a desigualdade triangular (Cf. Exercício 11). 
Teorema 3. Se x é um número, então 
llxAll = lx l llAll 
(valor absoluto de x vêzes comprimento de A). 
Demonstração. Por definição, temos 
11xA112 = (xA) · (xA) 
que é igual a 
pelas propriedades do produto escalar. Extraindo agora a raiz quadrada nós obtemos 
o que desejamos. 
Diremos que um vetor U é um vetor unitário se 11 U 11 = 1. Dado um vetor A 
qualquer, seja a= llAll· Se ai= O, então 
é um vetor unitário, pois 
1 -A a 
1 =-a= 1. a 
Diremos que dois vetores A e.B (ambos não nulos) têm mesmo sentido se existir 
um número e > O tal que cA = B. Conforme esta definição, vemos que o vetor 
é um vetor· unitário, no sentido de A (contanto que A i= O). 
10 Álgebra Linear 
Diga-se de passagem que dois vetores A e B (ambos não nulos) têm sentidos opostos 
se existir um número e < O tal que cA = B. 
Sejam duas n-uplas A e B. Definimos a distância que os separa como sendo 
li À - B 11 = J (A -B) · (A -B). Esta definição coincide com nossa intuição geométrica 
quando A e B são pontos do plano. 
I 
B 
Compri-
r---- mento =llA-Bll=llB-AJI 
Figura 8 
B B 
-B 
(a) <b) 
Figura 9 
Podemos também justificar nossa definição de perpendicularismo. Dados A e B 
no plano, a condição de que 
llA + Bll = llA-Bll 
(ilustração na figura 9b) coincide com a propriedade geométrica de que A e B sejam 
perpendiculares. Esta condição é equivalente a 
(A + B) · (A + B) = (A -B) · (A -B) 
(ambos membros foram elevados ao quadrado) e expandindo, esta igualdade é equi-
w� a 
• 
A· A + 2A · B + B · B = A-A - 2A · B + B · B. 
Após cancelamentos, obtemos a condição equivalente 
ou 
4A·B =O 
A·B = 0 
Sejam dois vetores A e B, com B >F O. Suponhamos que é possível achar um número 
e tal que A - cB seja perpendicular a B, ou em outras palavras, 
(A - cB) · B = O. 
Vetores no R" 11 
Obtemos então 
A-B = cB·B 
e portanto 
A-B 
C=--· 
B·B 
Desta forma o número e é determinado de modo único pela nossa condição de per­
pendicularismo. Reciprocamente, para êste número e, temos evidentemente 
(A - cB) · B = O. 
Definimos cB como serido a projeção de A sôbre B. Se B fôr um vetor unitário, 
então temos simplesmente: 
e= A·B 
A nossa construção tem uma interpretação imediata no plano, o que nos permite dar 
uma interpretação geométrica do produto escalar. A saber, suponhamos A i= O e 
observemos o ângulo 8 entre A e B. Então da geometria plana, vemos que 
cllBll cos e = lfATI, 
ou substituindo e pelo valor obtido anteriormente, 
A · B = 11A11 11B11 cos 8 
Por virtude do Teorema 1, sabemos que no n;espaço, o número 
A-B 
tem valor absoluto � 1. Conseqüentemente, 
A·B 
-l ;i! llAll llBll � l, 
e existe um único ângulo e tal que o� e ;i! n e tal que 
A·B 
cos B = llAll llBll 
Defir.imos êste ângulo como sendo o ângulo entre A e B. 
EXERCÍCIOS 
Figura 10 
1. Calcular o comprimento do vetor A nos Exercícios 1 a 6 do §1. 
2. Calcular o comprimento do vetor B nos Exercícios 1 a 6 do §1. 
3. Achar a projeção de A sôbre B nos Exercícios 1 a 6 do §1. 
12 Álgebra Linear 
4. Achar a projeção de B sôbre A nos mesmos Exercícios. 
5. No Exercício 6 do §3, achar a projeção de f sôbre g, e a projeção de g sôbre f, 
empregando a mesma definição de projeção que foi dada no texto (e sem recorrer a 
coordenadas). 
6. Calcular a norma das funções sen 3x e cos x, com relação ao produto escalar 
dado pela integral sôbre o intervalo [-n, n]. 
7. Calcular a norma da função constante 1 no intervalo [-n, n ]. 
8. Calcular a norma da função constante 1 no intervalo [ -1, 1]. 
9. Sejam A1, . • • , A, vetores não nulos e perpendiculares dois a dois, em outras 
palavras A;· Ai= O se i # j. Sejam c1, ... , e, números tais que 
C1À1 + · · · + c,A, = 0. 
Mostre que todo e; = O. 
10. Sejam A e B dois vetores não nulos no n-espaço. Seja e o ângulo entre os 
dois vetores. Se cos e = 1, mostrar que A e B têm o mesmo sentido. Se cos e = -1, 
mostrar que A e B têm sentidos opostos. 
11. Se A e B são dois vetores no n-espaço, designe por d(A, B) a distância entre 
A e B, i.e. d(A,B) = llB-All· Mostrar que d(A,B) = d(B,A), e que para três vetores 
A, B, C quaisquer, temos 
d(A, B) � d(A, C) + d(B, C) 
§5. Retas e planos 
Definimos a equação paramétrica de uma reta passando por um ponto P, na 
direção de um vetor A # O, como sendo 
X= P + tA, 
onde t percorre o conjunto dos números reais. 
Figura 11 
Suponhamos que estamos trabalhando no plano, e representemos as coorde­
nadas de um ponto X por (x, y). Sejam P = (p, q) e A = (a, b). Então, em termos das 
coordenadas, podemos escrever 
X= p +ta, y = p + tb. 
Podemos então eliminar t e obter a equação habitual que relaciona x e y. 
Vetores no ·R" 13 
Por exemplo, sejam P = (2, 1) e A = (-1, 5). Então a equação paramétrica da 
reta passando por P e na direção de A nos fornece 
X=2-t, y = 1 + 5t. 
Multiplicando a primeira equação por 5 e somando, obtemos 
5x + y = 11, 
o que nos é familiar. 
N_um espaço de dimensão superior, não é possível eliminar t dêste modo, e por­
tanto a equação paramétrica é a única disponível para descrever uma reta. 
z 
Figura 12 
.r 
No entanto, podemos descrever planos por uma única equação, análoga à que 
descreve uma reta no plano. Procedemos da maneira seguinte: 
Sejam P um ponto e N um vetor # O. Definimos o hiperplano passando por P, 
perpendicular a N como sendo o conjunto de todos os pontos X tais que X -P é per­
pendicular a N; assim sendo: 
(X-P) · N =O, 
o que também pode ser escrito sob a forma 
X·N = P·N. 
Na Fig. 12, temos um caso típico no 3-espaço. 
Em vez de dizer que N é perpendicular ao plano, também podemos dizer que N 
é normal ao plano. 
Seja t um número # O. Então o conjunto dos pontos X tais que 
coincide com o conjunto dos pontos X tais que 
(X -P) · tN = O. 
14 Algebra Linear 
Logo, podemos dizer que nosso plano é o plano passando por P e perpendicular à 
reta na direção de N. Para achar a equação do plano, podemos empregar qualquer 
vetor tN (com t #O) em vez de N. 
No 3-espaço, obtemos um plano comum. Por exemplo, sejam P = (2, 1, -1) e 
N 
= (-1, 1, 3). Então a equação do plano passando por P e perpendicular a N é 
-X + y + 3 z = -2 + 1 - 3 
ou -x + y + 3 z = - 4 
Observemos que n o 2-espaço, com X = (x, y), o resultado obtido é a equação 
da reta no sentido usual. Por exemplo, a equação da reta passando por (4, -3) e per­
pendicular a ( -5, 2) é 
-5 x + 2 y = -20-6 = -26 
Estamos agora capacitados a interpretar os coeficientes ( -5, 2) .de x e y nesta 
equação. Êles representam um vetor perpendicular à reta. Numa equação qualquer, 
ax + by =e 
o vetor (a, b) é perpendicular à reta determinada pela equação. De modo análogo, 
no 3-espaço o vetor (a, b, e) é perpendicular ao plano determinado pela equação 
ax + by + cz =d 
Diz-se que dois vetores A e B são paralelos se existir um número e # O tal que 
cA = B. Duas retas são ditas paralelas se, dados dois pontos distintos P1 e Q1 da 
primeira reta e P 2 e Q2 da segunda, os vetores 
forem paralelos. 
Diz-se que dois planos são paralelos (no 3-espaço) se seus vetores normais forem 
paralelos. Êles são perpendiculares se seus vetores normais forem perpendiculares. 
Define-se o ângulo de dois planos como sendo o ângulo entre seus vetores normais. 
Exemplo. Calcular o coseno do ângulo entre os planos 
2x -y+z=0 
X+ 2 y - z = J. 
Êste coseno é o coseno do ângulo entre (2,-1, 1) e (1, 2, -1), e é portanto igual a -i. 
EXERCÍCIOS 
Achar uma equação paramétrica da reta passando pelos pontos seguintes: 
1. (1,1, -1) e ( -2,1,3) 2. ( -1, 5,2) e (3,-4,1) 
Achar a equação da reta no 2-espaço, perpendicular a A e passando por P, para 
os seguintes valores de A e P. 
Vetores no R" 15 
3. A = (1,-1),P = (-5,3) 4. A = (-5, 4), P = (3, 2) 
5. Mostrar que as retas 3x - 5y = 1, 2x + 3y = 5 não são perpendiculares. 
6. Quais dos seguintes pares de retas são perpendiculares? 
(a) 3x- 5y = 1 e 
(b) 2x + 7y = 1 e 
(c) 3x- 5y = 1 e 
(d) -X+ y = 2 e 
2x+y=2 
x-y = 5 
5x + 3y = 7 
x+y=9 
7. Achar a equação do plano perpendicular ao vetor dado N e passando pelo 
ponto dado P. 
(a) N = (1,-1,3),P = (4,2,-1) 
(b) N = (-3, -2, 4), P = (2, n,-5) 
(c) N = (-1, O, 5), P = (2, 3, 7) 
8. Determinar a equação do plano passando pelos três pontos seguintes. 
(a) (2,1,1), (3,-1,1), (4,1,-1) 
(b) (-2, 3, -1), (2, 2, 3), (--4, -1, 1) 
(c) (-5, -1, 2), (1, 2,-1), (3, -1, 2) 
9. Achar um vetor perpendicular a (1, 2,-3) e (2, -1, 3), e um outro vetor per­
pendicular a (-1, 3, 2) e (2, 1, 1). 
10. Sejam P o ponto (1, 2, 3, 4) e Q o ponto (4, 3, 2, 1). Seja A o vetor (1, 1, 1, 1). 
Seja La reta passando por P e paralela a A. 
(a) Dado um ponto X da reta L, computar a distância entre Q e X (como sendo 
uma função do parâmetro t). 
(b) Mostrar que existe exatamente um ponto X0 da reta tal que esta distância 
atinge um mínimo, e que êste mínimo é 2.j5. 
. 
(c) Mostrar que X0-Q é perpendicular à reta. 
11. Sejam P o ponto (1,-1, 3, l) e Q o ponto (1, 1,-1,2). Seja A o vetor(l,-3,2, 1). 
Resolver as mesmas questões que no problema acima, com a ressalva de que nêste 
caso, a distância mínima é J 146/15. 
12. Determinar um vetor paralelo à intersecção dos dois planos 
2x-y + z = 1, 3x + y + z = 2. 
13. Mesma questão para os planos 
2x + y + 5z = 2, 3x- 2y + z = 3. 
14. Achar uma equação paramétrica para a intersecção dos planos dos Exer­
cícios 12 e 13. 
15. Calcular o coseno do ângulo entre os seguintes planos: 
(a) X+ y + Z = 1 
x-y-z = 5 
(c) X + 2y -Z = 1 
-x + 3y + z = 2 
.. (b) 2x + 3y- z = 2 
x-y+z=l 
(d) 2x + y + z = 3 
-x-y + z = n 
16 Álgebra Linear 
16. Seja X· N = P · 'N a equação de um plano no 3-espaço. Seja Q um ponto 
fora do plano. Mostrar que existe um único. número t tal que Q + tN pertença ao 
plano (i. e. tal que satisfaça a equação do plano.) Qual é êste valor de t em termos de 
P,Q, e N? 
17. Sejam Q = (1, -1, 2), P = (1, 3,-2) e N = (1, 2, 2). Achar o ponto de inter­
secção da reta passando por P na direção de N, com o plano passando por Q e per­
pendicular a N. 
18. Sejam dois pontos P e Q, e um vetor N no 3-espaço. Seja P' o ponto de inter­
secção da reta passando por P e paralela a N, com o plano passando por Q e perpen­
dicular a N. Definimos a distância de P àquele plano como sendo a distância entre 
P e P'. Calcular esta distância para 
P "'(1, 3, 5), Q = (-1, 1, 7), N = (-1, 1,-1). 
19. Sejam P ;= (1, 3, 5) e A = (-2, 1, 1). Achar a intersecção da reta passando 
por P e paralela a A, com o plano: 
2x+3y-z=l. 
20. Calcular a distância entre o ponto (1, 1, 2) e o plano 
3x + y-5z = 2. 
2 1. Sejam P = (1, 3, -1) e Q = (-4, 5, 2). Determinar as coordenadas dos seguintes 
pontos: 
(a) O.ponto médio do segmento de reta, ligando P e Q. 
(b) Os dois pontos dêste segmento de reta, situados a um terço e a dois terços 
da distância de P a Q. 
22. Se P e Q são dois pontos quaisquer no n-espaço, dar a fórmula geral para 
obter o ponto médio do segmento de reta entre P e Q. 
§6. Números complexos 
Os números complexos constituem um conjunto de objetos que podem ser so­
mados e multiplicados, sendo a soma e o produto de dois números complexos também 
um número complexo, verificando as seguintes condições. 
(1) Todo número real é um número complexo e, se a e/] são números reais, então 
sua soma e seu produto como números complexos são os mesmos que sua 
soma e seu produto como números reais. 
(2) Existe um número complexo representado por i tal que i2 = -1. 
(3) Todo número complexo pode ser escrito de modo úniço sob a forma a + bi, 
onde a e b são números reais. 
(4) As leis usuais da aritmética a respeito da adição e multiplicação são satisfeitas. 
Vetores no R" 
Estas leis são: 
Se IX, {3, y são números complexos, então 
Vale 
Vale 
(1X{J)y = 1X({Jy) e (IX + {J) + "/ = IX + ({J + y). 
IX({J + y) = IX{3 + IX)', e ({J + y)IX = {JIX + ylX. 
IX{J = {JIX, e IX + {J = fJ + IX. 
Se 1 é o número real um, então 1IX = IX. 
Se O é o número real zero, então OIX = O. 
Vale IX + (-l)IX = O. 
17 
Vamos agora deduzir as consequencias destas propriedades. A cada número 
complexo a + bi, associamos o vetor (a, b) no plano. Sejam dois números complexos 
IX 
= 
a1 + a2i e f1 = b1 + b2i. Então 
Portanto, a adição de números complexos é efetuada "componente por componente", 
e corresponde à adição de vetores no plano. Por exemplo, 
(2 + 3i) + (-1 + 5i) = 1 + Si 
Na multiplicação de números complexos, aplicamos a regra i2 = -1 para sim­
plificar o produto e reduzí-lo à forma a + bi. Por exemplo, sejam IX = 2 + 3i e f1 = 1 - i. 
Então 
IX{J = (2 + 3i) (l -i) = 2(1- i) + 3i(l -i) 
= 2 - 2i + 3i -3i2 
=2+i -3(-1) 
=2+3+i 
= 
5 + i. 
Seja IX = a + bi um número complexo. Definimos êX como sendo a -bi. Assim, 
se IX = 2 + 3i, então êX = 2 - 3i. O .número complexo êX é denominado conjugado de 
IX. Vemos imediatamente que 
Com a interpretação vetorial dos números complexos, vemos que IXêX é o quadrado 
da distância da origem ao ponto (a, b). 
Temos agora mais uma propriedade importante dos números complexos, a 
qual nos permitirá dividir por números complexos não nulos. 
Se IX = a + bi fôr um número complexo =/= O, e se tomarmos 
então IXÀ. = À.IX = 1. 
êX 
À= -­
ª2 + b2 
18 Álgebra Linear 
A demonstração desta propriedade é uma conseqüência direta da lei de multi­
plicação de números complexos, pois 
a ªª 
IX --- = --- = 1 ª2 + b2 ª2 + b2 . 
;O número À é chamado inverso de IX, e é representado por a-1 ou 1/a. Se IX e f3 
são números complexos, freqüentemente escrevemos {3/a em vez de a-113 (ou pa-1), 
exatamente como fizemos com números reais. Portanto, podemos dividir por números 
complexos =F O. 
Definimos o valor absoluto de um número complexo IX = a1 + a2i como sendo 
lal = Jai +a�. 
Êste valor absoluto não é senão o comprimento do vetor (a1 , a2). Em termos de valores 
absolutos, podemos escrever 
contanto que a =F O. 
A desigualdade triangular para o comprimento de vetores pode ser agora enun­
ciada para números complexos. Se a e f3 são números complexos, então 
la+ PI� lal + IPI-
O Exercício 5 apresenta mais uma propriedade do valor absoluto. 
EXERCÍCIOS 
1. Expressar os números complexos seguintes sob a forma x + iy, onde x e y 
são números reais. 
(a) (-1 + 3i)-1 
(c) (1 + i)i(2- i) 
(e) (7 + ni)(n + i) 
(g) (j2 + i)(n + 3i) 
(b) (1 + i)(l - i) 
(d) (i - 1)(2 - i) 
(f) (2i + 1 )ni 
(h) (i + l)(i- 2)(i + 3) 
2. Expressar os seguintes números complexos sob a forma x + iy, onde x e y 
são números reais. 
(a) (1 + i)-1 
(e) 
1 : i 
1 
(b) 3 � i 
(f) 1 : i 
(c) 
2 + 
_
i 
2-z 
2i 
(g) 3 - i 
(d) � 2-z 
(h) -1
1
+ i 
3. Seja IX um número complexo 'f=. Q. Qual é o valor absoluto de IX/� O que 
vem a ser m 
Vetores no R" 19 
4. Sejam ex e f3 dois números complexos. Mostrar que rx.{3 = a p e que 
rx.+f3=a+f3 
5. Mostrar que irx.Pi = irx.I IPI· 
6. Defina a adição de n-uplas de números complexos componente por componente, 
·e a multiplicação de n-uplas de números complexos por números complexos também 
componente por componente. Se A = (rx.1 , ... , rx..) e B = (/31 , ... , /3.) são n-uplas de 
números complexos, defina seu produto escalar <A, B) como sendo 
rx.,fi, + · · · + rx.P. 
(atente à conjugação complexa!). Provar as regras seguintes: 
PE 1. <A, B) = (B, A}. 
PE 2. <A,B + C) = <A,B) + <A,C). 
PE 3. Se rx. é um número complexo, então 
<rx.A, B) = rx.<A, B) e <A, rx.B) = a<A, B). 
PE 4. Se A = O então <A, A) = O, e no caso contrário, <A, A) > O. 
7. Nós supomos que o leitor está familiarizado com as funções seno e coseno, 
e suas fórmulas de adição. Seja e um número real. 
(a) Defina 
eiO = cos 8 + i sen 8 
Mostrar que se 81 e 82 são números reais, então 
Mostrar que qualquer número complexo de valor absoluto 1 pode ser es­
crito sob a forma ei• para algum número real t. 
(b) Mostrar que qualquer número complexo pode ser escrito sob a forma re;e, 
para determinados números reais r e 8, com r :;;:: O. 
(c) Se z1 = r1ei8' e z2 = r2e;e2, com r1, r2 reais :;;:: O e 81, 82 reais, mostrar que 
(d) Se zé um número complexo, e num inteiro > O, mostrar que existe um número 
complexo w tal que w• = z. Na realidade, mostrar que existe n tais números 
complexos w distintos, se z f=. O. (Sugestão: Se z = re;e, considere primeiro 
r11•ei8/•). 
CAPÍTULO II 
Espaços Vetoriais 
§1. Terminologia 
Como de costume, uma coleção de objetos será denominada um conjunto. Um 
membro da coleção é também chamado um elemento do conjunto. Na prática, é van­
tajoso empregar símbolos breves para indicar certos conjuntos. Por exemplo, indi­
camos por R o conjunto de todos os números reais, e por C o conjunto de todos os 
números complexos. Afirmar que "x é um número real" equivale a dizer que "x é 
um elemento de R". O conjunto de tôdas as n-uplas de números reais será indicado 
por R". Logo, "X é um elemento de R"" e "X é uma n-upla de números reais" significam 
a mesma coisa. 
Em vez de dizer que u é um elemento de um conjunto S, freqüentemente diremos 
também que u pertence a S e escreveremos ue S. Se S e S' são conjuntos, e se todo 
elemento de S' é elemento de S, então diremos que S' é um subconjunto de S. Assim 
sendo, o conjunto dos números reais é um subconjunto do conjunto dos números 
complexos. Dizer que S' é um subconjunto de Sé dizer que S' é parte de S. Observemos 
que nossa definição de um subconjunto não afasta a possibilidade de S' = S. Se S' é 
um subconjunto de S, mas S' # S, então diremos que S' é um subconjunto próprio 
de S. Desta forma, C é um subconjunto de C, mas R é um subconjunto próprio de C. 
Para indicar o fato que S' é um subconjunto de S, escrevemos S' C S, e também di­
remos que S' está contido em S. 
Se S 1 e S2 são conjuntos, então a intersecção de S 1 e S2, indicada por S 1 n S2 , 
é o conjunto dos elementos que pertencem a S1 e a S2• A reunião de S1 e S2, indicado 
por S1 v S2, é o conjunto dos elementos que pertencem a S1 ou a S2• 
§2. Definições 
Seja K um subconjunto do conjunto C dos números complexos. Diremos que 
K é um corpo se forem satisfeita.s as seguintes condições: 
(a) Se x e y são elementos de K, então x + y e xy também são elementos de K: 
(b) Se x E K, então -x também é um elemento de K. Ademais, se x # O, er,tão 
x - 1 é um elemento de K. 
(c) Os elementos O e 1 são elementos de K. 
Observamos que R e C são ambos corpos. 
Indiquemos por Q o conjunto dos números racionais, i. e. o conjunto de tôdas 
as frações m/n, onde m e n são inteiros e n # O. Então é fácil verificar que Q é um corpo. 
Espaços Vetoriais 21 
Indiquemos por Z o conjunto de todos os inteiros; então Z não é um corpo, pois 
a condição (b) acima não está satisfeita. Com efeito, se n é um inteiro # O, então n - 1 = 
= l/n não é um inteiro (exceto para o caso trivial de n = 1 ou n = -1). Por exemplo, 
J não é um inteiro. 
O fato essencial a respeito de um corpo é que êle é um conjunto de elementos 
que podem ser somados e multiplicados, de tal maneira que a adição e a multiplicação 
satisfazem as regras usuais da aritmética, e de tal modo que é possível dividir por 
elementos não nulos. É possível axiomatizar ainda mais o conceito, mas isto será 
feito sómente mais tarde, a fim de evitar discussões que de qualquer forma se tomarão 
óbvias quando o leitor tiver adquirido suficiente maturidade matemática. Levando 
em conta esta possível generalização, deveríamos dizer que um corpo, tal como o 
definimos acima, é um corpo de números (complexos). No entanto, chamaremos a 
tais corpos simplesmente corpos. 
Se o desejar, o leitor pode se restringir aos corpos de números reais e complexos 
para tôda a álgebra linear. Todavia, sendo necessário lidar com cada um dêstes corpos, 
somos obrigados a escolher uma letra neutra K. 
Sejam K e L dois corpos, e suponhamos que K está contido em L (i. e. K é um 
subconjunto de L). Então diremos que K é um sub-corpo de L. Assim sendo, cada um 
dos corpos que estamos considerando é um sub-corpo dos números complexos. Em 
particular, podemos dizer que R é um sub-corpo de C, e Q é um sub-corpo de R. 
Seja K um corpo. Elementos de K também serão chamados de números (sem 
especificação) se o contexto fôr explícito quanto à natureza de K, ou serão denon;1i­
nados escalares. 
Um espaço vetorial V sôqre o corpo K (ou um K-espaço vetorial V) é um conjunto 
de elementos que podem ser somados e multiplicados por elementos de K, de talmaneira que a soma de dois elementos de V é novamente um elemento de V, o produto 
de um elemento de V por um elemento de K é um elemento de V, e tal que as proprie­
dades seguintes são satisfeitas: 
EV 1. Dados u, v, w elementos de V, vale 
(u + v) + w = u + (v + w). 
EV 2. Existe um elemento de V, indicado por O, tal que 
O+u=u+O=u, 
qualquer que seja u em V. 
EV 3. Dado um elemento u de V, o elemento (-1)u é tal que 
u + (-l)u = O. 
EV 4. Quaisquer que sejam u e v de V, vale 
EV 5. Se c é um número, então c(u + v) = cu + cv. 
EV 6. Se a e b são dois números, então (a + b)v = av + bv. 
22 Álgebra Linear 
EV 7. Se a e b são dois números, então (ab)v � a(bv). 
EV 8. Qualquer que seja u de V, vale 1 · u = u (1 é aqui o número um). 
Propriedades adicionais que podem ser fàcilmente deduzidas destas figuram como 
exercícios e, daqui por diante, �upõe-se que são conhecidas. 
Geralmente escreve-se a soma u + (- l)v sob a forma u -v. Escrevemos também 
-v no lugar de (-l)v. 
· 
Empregaremos O para indicar o número zero, e O para indicar o elemento de 
qualquer espaço vetorial satisfazendo a propriedade EV 2. Também o chamamos zero, 
mas nunca é possível haver confusão. Observamos que êste zero, o elemento O, é 
determinado de modo único pela condição EV 2 (cf. Exercício 5). 
É possível somar vários elementos de um espaço vetorial. Suponha que dese­
jamos -somar quatro elementos, por exemplo u,. v, w, z. Primeiro somamos dois dêles 
quaisquer, depois um terceiro, e finalmente um quarto. Aplicando as regras EV 1 e 
EV 4, vemos que a ordem das adições não influi. Esta é exatamente a mesma situação 
que tivemos com vetores. Por exemplo, temos 
((u + v) + w) + z = (u + (v + w)) + z 
= ((v + w) + u) + z 
= (v + w) + (u + z) etc. 
Portanto, costuma-se omitir os parênteses, e escrever simplesmente 
u+v+w+z 
A 'mesma observação vale para a soma de qualquer número n de elemen.tos de V, e 
uma demonstração formal pode ser fàcilmente obtida por indução. 
Seja um espaço vetorial V, e seja W um subconjunto de V. Suponhamos que W 
verifica as seguintes condições: 
(i) Se v e w são elementos de W, sua soma v + w é também um elemento de W. 
(ii) Se v é um elemento de W e e é um número, então cv é um elemento de W. 
(iii) O elemento O de V também é um elemento de W. 
Então W por sua vez é um espaço vetorial. De fato, sendo as propriedades EV 1 
a EV 8 satisfeitas para todos os elementos de V, elas são satisfeitas a fortiori para os 
elementos de W. Chamaremos a W um sub-espaço de . V. 
Observamos que se W1 e W2 são sub-espaços de V, então sua intersecção W1 n W2 
também é um sub-espaço de V. Isto é uma conseqüência imediata das definições. 
Exemplo 1. Seja V= Rn. Então V é um espaço vetorial sôbre os números reais, 
visto que quando consideramos as n-uplas pela primeira vez, assinalamos que l!:. adi­
ção destas, e sua multiplicação por números reais, satisfazem certas propriedades que 
reconhecemos agora como sendo propriedades de um espaço vetorial. 
De maneira mais geral, seja K um corpo. Consideremos Kn como sendo o con­
junto de tôdas as n-uplas de elementos de K, i. e. o conjunto dos elementos 
X = (x,,: . . , Xn) 
Espaços Vetoriais 23 
com X; E K para i = 1, . . . , n. Definimos a adição de tais n-uplas por componentes, 
du mesma forma que dizemos para a adição de n-uplas de números reais. Logo, se 
Y = (Yi, ... , Y.) com Yi E K, então 
X+ Y= (xi+ Yi , ... ,x. + y.). 
Se e E K, definimos cX como sendo (cx1, . . • , ex.). Então verificamos de imediato 
que os axiomas de um espaço vetorial são satisfeitos por estas operações, i. e. que K" 
é um espaço vetorial sôbre K. 
Assim sendo, C" é um espaço vetorial sôbre C, e Q" é um espaço vetorial sôbre 
Q. Notamos que R" não é um espaço vetorial sôbre C. Assim, quando estamos lidando 
com espaços vetoriais, sempre especificamos o corpo sôbre o qual êle é definido. Quando 
escrevemos K", fica sempre entendido que se trata de um espaço vetorial sôbre K. 
Elementos de K" também receberão a denominação de vetores, e também costuma-se 
chamar vetores aos elementos de um espaço vetorial arbitrário. 
Exemplo 2. Sejam V� R • e W o conjunto dos vetores de V tendo a última coor­
denada igual a O. Então W é um sub-espaço de V, e nós o identificamos com R"- i. · 
Exemplo 3. Seja Vum espaço vetorial qualquer, e sejam Vi, ... , v. elementos de V. 
Sejam números xi .... , x. , Uma expressão do tipo 
é denominada combinação linear de vi, ... , v • . Seja W o conjunto de tôdas as com­
binações lineares de v1, • • • , v • . ·Então W é um. sub-espaço de V. 
Demonstração. Sejam números y1, . .. , Y • . Temos 
(xiv1 + · · · + x.v.) + (y1vi + ·. · · + y.v.) = (x1 + y1)v1 + · · · + (x. + y.)v • . 
Logo, a soma de dois elementos de W é novamente um elemento de W, i. e. uma com­
binação linear de vi, ... , v • . Além disso, se e é um número, então 
c(X1V1 + . . . + x.v.) 
= 
CX1Vi + ... + cx.v. 
é uma combinação linear de v1,.,., v., e portanto um elemento de W. Finalmente 
O = Ov1 + . . 
· 
+ Ov. 
é um elemento de W. Isto prova que W é um sub-espaço de V. 
No Exemplo 3, o sub-espaço Wé denominado o sub-espaço gerado por Vi, ... , v • . 
Se W = V, i. e. se todo elemento de V é uma combinação linear de Vi , ... , v., então 
dizemos que v1, • • • , v. geram V sôbre K. Quando estamos lidando com µm corpo 
fixo K, então nós não especificamos K e dizemos simplesmente que vi, ... , v., geram V, 
ou são geradores de V. 
Exemplo 4. Sejam um conjunto S e um corpo K. Entendemos por uma função 
de Sem K, uma regra que a cada elemento de S associa um único elemento de K. Assim 
sendo, se fé uma função de S em K; expressamos isto pelos símbolos 
f:S--->K. 
24 Álgebra Linear 
Também dizemos que fé uma função com valores em K. Seja V o conjunto de tôdas 
as funções de S em K. Sef e g são duas tais funções, ent�o podemos formar sua soma 
f.+ g . É a função cujo valor para x de S é f (x) + g(x). Escrevemos 
(f + g)(x) = f(x) + g(x). 
Se e E K, então definimos cf como sendo a função tal que 
(cf) (x) = cf (x). 
Portanto, o valor de cf para x é cf(x). Então é fácil verificar que Vé um espaço vetoriaÍ 
sôbre K. Deixamos isto a cargo do leitor. Apenas observamos que o elemento zero 
de Vé a função nula, i. e. a funçãoftal quef(x) =O qualquer que seja XE S. Indicamos 
esta função por O. 
Exemplo 5. Seja Vo conjunto de tôdas as funções de R em R. Então Vé um esp�o 
vetorial sôbre. R. Seja W o subconjunto das funções contínuas. Se f e g são funções 
contínuas, então f + g é contínua. Se e é um número real, então cf é contínua. A função 
nula é contínua. Logo, W é um sub-espaço do espaço vetorial de tôdas as funções 
de R em R, i. e. W é um sub-espaço de V. 
· Seja U o conjunto das funções diferenciáveis de R em R. 'Se f e g são funções dife­
renciáveis, então sua somaf + g também é diferenciável. Se e é um número real, então 
cf é diferenciável. A função nula é diferenciável. Logo U é um sub�espaço de V. Na 
verdade, U é um sub-espaço de W, pois tôda função diferenciável é contínua. 
Exemplo 6. Seja novamente V o espaço vetorial (sôbre R) das funções de R em R. 
Consideremos as duas funções e' e e2'. (Na verdade, deveríamos dizer as duas funções 
f e g tais quef(t) = e' e g(t) = e2', para todo t E R). Estas funções geram um sub-espaço 
do espaço de tôdas as funções diferenciáveis. A função 3e' + 2e2' é um elemento dêste 
sub-espaço .. A função 2e' + ne2' pertence também a êste sub-espaço. 
Exemplo 7. Observamos. que os números complexos constituem um espaço ve­
torial sôbre os números reais. Isto é decorrência imediata das propriedades da adição 
e multiplicação de números complexos, dadas no Capítulo I, §6. 
EXERCÍCIOS 
1. Seja Vum espaço vetorial. Empregando as propriedades EV 1 a EV 8, mostrar 
que se v é um elemento de V, e se O é o número zero, então Ov = O.2. Sejam e um número # O, e v um elemento de V. Mostrar que se cv = O, então 
V= 0. 
3. No espaço vetorial das funções, qual é a função que verifica a condição EV 2? 
4. Sejam Vum espaço vetorial, e v e w dois elementos de V. Se v + w = O, mos­
trar que w = -v. 
5. Sejam V um espaço vetorial, e V e w dois elementos de V tais que V + w = V. 
Mostrar que w = O. 
· · 6. Seja K um sub-corpo de um corpo L. Mostrar que L é um espaço vetorial sôbre 
K. Em particular, C e R são espaços vetoriais sôbre Q. 
Espaços Vetoriais 25 
7. Seja K o conjunto de todos os nÍimeros que podem ser escritos da forma 
a + bfi, onde a e b são números racionais. Mostrar que K é um corpo. 
8. Seja K o conjunto de todos os números que podem ser escritos da forma a + bi, 
onde a e b são números racionais. Mostrar que K é um corpo. 
9. Seja e um número racional > O, e seja y um número real tal que y2 = e. Mostrar 
que o conjunto de todos os números que podem ser escritos sob a forma a + by, onde 
a e b são números racionais, é um corpo. 
§3. Bases 
Seja V um espaço vetorial sôbre o corpo K, e sejam v1 , • • • , vn elementos de V. 
Diremos que v1 , . . • , v. são linearmente dependentes sôbre K se existirem elementos 
a1 , • • • , an de K, não todos nulos, tais que 
a1V1 + ... + anVn = 0. 
Se não existirem tais elementos, então diremos que v1 , • • • , vn são linearmente inde­
pendentes sôbre K. Freqüentemente omitimos as palavras "sôbre K". 
Exemplo 1. Seja V= R" e consideremos os vetores 
E1 = (1,0, ... ,O) 
E. = (O, O, ... , 1). 
Então E1, ••• , E. são linearmente independentes. Efetivamente, sejam os números 
a1, ... , ª• tais que a1E1 + · · · +a.E. = O. Como 
a1E1 +···+a.E.= (a1, ... ,a.), 
segue que todo ai = O. 
Exemplo 2. Seja V o espaço vetorial de tôdas as funções de uma variável real t. 
Sejam n funções f1(t), ... Jit). Dizer que elas são linearmente dependentes significa 
que existem n números reais a1 , ••• , ª•, não todos nulos, tais que 
aJ1(t) + · · · + a,f.(t) = O 
para todos os valores de t. 
As duas funções e', e21 são linearmente independentes. Para demonstrar isto, 
suponhamos que existem números a e b tais que 
ae' + be21 =O 
(para todos os valores de t). Derivemos esta relação. Obtemos 
ae' + 2be2' = O. 
Subtraindo a primeira relação da segunda, obtemos be21 = O:· logo, b = O. Da pri­
meira relação, resulta que ae' =·O; logo, a = O. Logo, é, e2' são linearmente inde­
pendentes. 
Consideremos novamente um espaço vetorial V qualquer sôbre um corpo K. 
26 Álgebra Linear 
Sejam v1 , • • • , v. elementos de V linearmente _ _i!}Q(!pende_11tes. Sejam os números 
Suponhamos que 
X1, ... ,x. e Y1, ... ,y • . 
Em outras palavras, duas combinações lineares de v1 , . • • , v0 são iguais. Então é pre­
ciso ter x; = Y; para todo i = 1, ... , n. Com efeito, subtraindo o membro direito do 
membro esquerdo, obtemos 
Também podemos escrever esta relação sob a forma 
Por definição, temos que ter X; - Y; = O para todo i = 1, . .. , n, provando com isto 
a nossa afirmação. 
Definimos uma base de V sôbre K como sendo uma seqüência { v1, • . • , v0} de 
elementos de V, que geram V e que são linéarmente independentes. 
Os vetores E1, • • • , E. do Exemplo 1 constituem uma base de R" sôbre R. 
Seja W o espaço vetorial de funções gerado pelas .duas funções e', e2', sôbre R. 
Então {e', e2'} é uma base de W sôbre R. 
Seja V um espaço vetorial, é seja { V1 ' • • • ' v.} uma base de V. Os elementos de V 
podem ser representados por n-uplas relativas a esta base, da maneira seguinte: Se 
um elemento v de V fôr escrito como uma combinação linear 
dos elementos da base, então chamamos (x1, ... , x.) de coordenadas devem relação à 
nossa base, e chamamos X; ai-ésima coordenada. Dizemos que a n-upla X = (x 1, ... , x.) 
é o vetor das coordenadas de v em relação à base { v1 , • • • , v0}. 
Por exemplo, seja V o espaço vetorial de funções gerado pelas funções e', e2'. 
Então as coordenadas da função 
3e' + 5e2' 
em relação à base {e', e2'} são (3, 5). 
Exemplo 3. Mostrar que os vetores (1, 1) e (-3, 2) são linearmente independentes 
sôbre R� 
Sejam a e b dois números reais tais que 
a(l, 1) + b(-3, 2) = O. 
Escrevendo esta equação em termos das componentes, deduzimos que 
a - 3b =O 
a+ 2b =O. 
Espaços Vetoriais 27 
liste é um sistema de duas· equações em a e b. Subtraindo a segunda da primeira, ob­
lcmos -5b = O ; logo, b = O. Substituindo numa qualquer das equações, achamos 
" = O. Logo, a e b são ambos nulos, e nossos vetores são linearmente independentes. 
Exemplo 4. Achar as coordenadas de (1, O) em rélação aos dois vetores (1, 1) e (-1, 2). 
Temos que achar números a e b tais que 
a(l, 1) + b(-1,2) = (1,0). 
l ·:screvendo esta equação em termos de coordenadas, temos 
a - b = 1, 
a+ 2b = O. 
Resolvendo para a e b da maneira usual, concluimos que b = -t e a = l Logo, as 
coordenadas de (1,0) em relação a (1, 1) e (-1,2) são (t,-t). 
Seja {v1, . . • , v.} um conjunto de elementos de um espaço vetorial V sôbre um 
corpo K. Seja rum inteiro positivo ;g n. Diremos que {v1, ... , v,} é um subconjunto 
maximal de elementos linearmente independentes se v1, • • . , v, forem linearmente 
independentes e ainda se, dado vi qualquer com i > r,. os elementos v1 , • • • , v,, vi 
forem linearmente dependentes. 
A seguir, apresentamos um teorema que nos fornece um critério prático para 
decidir se um conjunto de elementos de um espaço vetorial é uma base. 
Teorema 1. Seja {v1, • • • , v.} um conjunto de geradores de um espaço vetorial V. 
Seja {v1, • . • , v,} um subconjunto maximal de elementos linearmente independentes. 
Então {v1, • . . , v,} é uma base de V. 
Demonstração. Temos de provar que v1, ... , v, geram V. Primeiro, provaremos 
que cada vi (parai > r) é uma combinação linear de v1 , • • • , v,. Por hipótese, dado vi, 
existem números x 1 , • . . , x, , y, não todos nulos, tais que 
Além disso, y i= O, pois no caso contrário, teríamos uma relação de dependência linear 
para v1 , • • • , v,. Logo, podemos resolver para vi, a saber 
X1 X, Vi 
= 
- V1 + · · · + - V,, 
-y -y 
mostrando assim que vi é uma combinação linear de v1 , • • • , v,. 
Em _seguida, seja v um elemento qualquer de V. Existem números c1, • • • , c. tais 
que 
Nesta relação, podemos substituir cada vh > r) por uma combinação lineár de 
1>1 , • • • , v,. Feito isto, e depois de grupar os termos, verificamos que expressamos v 
como uma combinação linear de v1 , • • • , v,. Isto prova que v1 , • • • , v,. geram V; logo, 
êles formam uma base de V. 
28 Álgebra Linear 
EXERCÍCIOS 
1. Mostrar que os vetores seguintes são linearmente independentes, tanto sôbre 
R como sôbre C. 
(a) (1, 1, 1) e (O, 1, -1) 
(c) (-1, 1, O) e (O, 1, 2) 
(e) (n, O) e (O, 1) 
(b) (1, O) e (1, 1) 
(d) (2,-1) e (1,0) 
(f ) (1, 2) e (1, 3) 
(g) (1, 1, O), (1, 1, 1) e (O, 1, -1) . (h) (O, 1, 1), (O, 2, 1) e (1, 5, 3) 
2. Expressar o vetor X dado, como sendo uma combinação linear dos vetores 
dados A e B, e calcular as coordenadas de X em relação a A e B. 
(a) X = (1, O), A = (1, 1), B = (O, 1) 
(b) X= (2, 1), A= (1,'-1), B = (1, 1) 
(e) X = (1, 1), A = (2, 1), B = (-1, O) 
(d) X = (4, 3), A = (2, 1), B = (-1, O) 
(Pode-se interpretar os vetores acima como sendo elementos de R 2 ou C2 • As 
coordenadas serão as mesmas). 
3. Calcular as coordenadas do vetor X em relação aos vetores A, B, C. 
(a) X= (1,0,0), A= (1, 1, 1), B = (-1, 1,0), e= (1,0,-1) 
(b) X = (1, 1, 1), A = (O, 1,-1), B = (1, 1, O), C = (1, O, 2) 
(c) X=(0,0,1), A=(l,1,1), B=(-1,1,0), C=(l,0,-1) 
4. Sejam dois vetores (a, b) e (e, d) no plano. Se ad - bc = O, mostrar que êles 
são linearmente dependentes. Se ad - bc =F O, mostrar que êles são linearmente inde­
pendentes. 
5. Considere o espaço vetorial de tôdas as funções reaisde uma variável real t. 
Mostrar que os seguintes pares de vetores são linearmente independentes. 
(a) 1, t (b) t, t2 (c) t, t4 (d) e', t 
(e) te', e2' (f) sen t, cos t (g) t, sen t· (h) sen t, sen 2t 
(i) cos t, cos 3t 
6. Considere o espaço vetorial das funções reais definidas para t > O. Mostrar 
que os seguintes pares de funções são linearmente independentes. 
(a) t, 1/t (b) e', log t 
7. Quais são as coordenadas da função 3 sen t + 5 cos t = f(t) em relação à 
base {sen t, cos t}? 
8. Seja D a derivada d/dt. Seja a função f (t) do Exercício 7. Quais são as coorde­
nadas da função Df(t) em relação à base do Exercício 7? 
9. Sejam os vetores A1, • • • , A, no R", e suponhamos que êles são perpendiculares 
entre si (i. e. perpendiculares dois a dois), e que nenhum dêles é igual a O. Provar que 
êles são linearmente independentes. 
Espaços Vetoriais 29 
10. Seja V o espaço vetorial das funções reais contínuas no intervalo [-n, n ]. 
Se f e g são duas funções contínuas nêste intervalo, defina seu produto escalar (f, g) 
t:omo sendo 
(f, g > 
= 
f 
,
/(t)g(t) dt. 
Mostrar que as funções sen nt (n = 1, 2, 3, ... ) são perpendiculares duas a duas, i. e. 
que o produto escalar de duas delas quaisquer e igual a o. 
11. Mostrar que as funções sen t, sen 2t, sen 3t, .. . , sen nt são linearmente inde­
pendentes sôbre R, para qualquer inteiro n � 1. · 
§4. Dimensão .de um espaço .vetorial 
O resultado principal dêste parágrafo é que duas bases quaisquer de um espaço 
vetorial possuem o mesmo número de elementos. Para provar isto, apresentamos 
primeiro um resultado intermediário. 
Teorema 2. Seja V um espaço vetorial sôbre um corpo K. Seja {v1, ... , vm} uma 
base de V. Sejam w1, . . • , Wn elementos de V, e suponhamos que n > m. Então w1, • . . , Wn 
são linearmente dependentes. 
Demonstração. Suponhamos que w1 , • • • ,.wm são linearmente independentes. 
Sendo { v1, • • • , vm) uma base, existem elementos· a1, • • • , am E K tais que 
W1 = a1V1 + .. . + amvm. 
Por hipótese, sabemos que w1 # O, e portanto algum a; # O. Após uma renumeração 
de v1 , ... , vm se necessário fôr, podemos supor, sem perda de generalidade, que por 
exemplo a1 # O. Podemos então isolar v1 , e obtemos 
a1V1 =.W1-a2V2-···-amvm, 
-1 -1 -1 V1 = a1 W1 -ai a2V2 -.. ·-ai amvm. 
'O sub-espaço de V gerado por w1, v2, ... , vm contém v1, e portanto deve coincidir 
com V, já que v1 , v2, • • • , vm geram V. A idéia agora é continuar com nosso processo 
passo por passo, e substituir sucessivamente v2 , v3 , . • • por w2, w3 , • . • até esgotar 
todos os elementos v1, • • • , vm; e assim, w1, • • • , wm geram v.i Suponhamos agora por 
indução que existe um inteiro r, com 1 � r < m, tal que, após uma renumeração 
conveniente de v1, ... , vm, os elementos w1, ... , w,, v,+ 1, . . • , vm geram V. Existem 
elementos b1, ••• , b,, e,+ 1, . . • , cm de K tais que 
Não podemos ter cj =O para j = r + 1, .. . m, pois caso fôr, oMemos uma relação 
de dependência linear entre w1, ... , w,+ 1, o que contradiz a nossa hipótese. Depois 
que renumeramos v,+ 1, • • • , vm se fôr preciso, podemos supôr sem perda de genera­
lidade que por exemplo e,+ 1 # O. Obtemos então 
30 Álgebra Linear 
Dividindo por e,+ 1, concluimos que v,+ 1 está no sub-espaço gerado por w1, • • . , w,+ 1, 
v,+2, • • • , vm. Pela nossa suposição por indução, segue que w1, ... , w,+ 1, v,+2, • • • , vm. 
geram V. Assim, por indução, provamos que 11•1, • • . , w., geram V. Se n > m. então 
existem elementos d i, . .. , d..,E K tais que 
W" = d1w1 + · · · + dmw..,, 
provando assim que wi, ... , w,, são linearmente dependentes. Com isto, está demons­
trado nosso teorema. 
Teorema 3. Seja V um espaço vetorial e suponhamos que uma base tem n elementos, 
e que uma outra base tem m elementos. Entiío m = n. 
Demonstração. Apliquemos o Teorema 2 às duas bases; o Teorema 2 acarreta 
que ambas as alternativas n > m e m > n não são possíveis, e portanto m = n. 
Seja Vum espaço vetorial tendo uma base constituida por n elementos. Diremos 
que n é a dimensão de V, ou que Vé n-dimensional. Se Vfôr formado unicamente pelo 
elemento O, então V não possue base, e diremos que V te� dimensão O. 
Exemplo 1. O espaço vetorial R" sôbre R tem dimensão n, o espaço vetorial C" 
sôbre C tem dimensão n, e de maneira mais geral, para qualquer'-corpo K, o espaço 
vetorial K" sôbre K tem dimensão n. Com efeito, os vetores 
(1, O, ... , O), (O, 1, O, .. ., O), (O, O, 1. O, . . . . 0) . . . ., (O, ... , O, 1) 
formam uma base de K" sôbre K. 
A dimensão de um espaço vetorial V sôbre K será indicada por dimK V. ou sim­
plesmente por tlim V. 
Um espaço vetorial que possue uma base constituída por um número finito de 
elementos, ou o espaço vetorial zero, recebe o nome de espaço vetorial de dimensão 
finita. Os demais espaços vetoriais são denominados espaços vetoriais de dimensão 
infinita. É possível dar uma definição de uma base infinita. O leitor pode procurá-la 
num texto mais avançado. No restante dêste livro, quando falamos da dimensão de 
um espaço vetorial, supõe-se que o referido espaço vetorial tem dimensão finita. 
Exemplo 2. Seja um corpo K. Então K é um espaço vetorial sôbre si mesmo, e 
tem dimensão 1. Na realidade, o elemento 1 de K constitui uma base de K sôbre K, 
porque qualquer elemento x E K se exprime de modo único por x = x 
· 
l. 
Vamos dar agora os critérios que nos permitem decidir se elementos de um espaço 
vetorial constituem uma base. 
Sejam v1, ... , v. elementos linearmente independentes de um espaço vetorial V. 
Diremos que êles formam um conjunto maximal de elementos linearmente indep�n­
dentes de V se, dado um elemento w qualquer de V, os elementos w, Vi, ... , v. forem 
linearmente dependentes. 
Teorema 4. Sejam V um espaço vetorial e {vi, ... , v.} um conjunto maximal de 
elementos linearmente independentes de V. Então { v1, • • . , v.} é uma base de V. 
De�onstração. Temos de mostrar que r1 , • • • , v. geram V, i. e. que todo elemento 
de V pode ser escrito como uma combinação linear de v1, ••• , v • . Seja w um elemento 
h•paços Vetoriais 31 
de V. Por hipótese, os elementos w, v1 , . • • , v. de V devem ser linearmente dependentes; 
logo, existem números x0, x1, . • . , x. não todos nulos tais que 
XoW + X1V1 + ... + XnVn = 0. 
Niio podemos ter x0 = O, pois se x0 = O, obteríamos uma relação de dependência 
linear para v1, • . . , v • . Portanto, podemos expressar w em termos de v1, . • . , v., a 
Huher 
X1 Xn W = - - V1 - ··· - - v • . 
Xo Xo 
INlo prova que w é uma combinação linear de v1, • • • , v., e conseqüentemente { v1, • • • , v.} 
é uma base. 
Teorema 5. Seja V um .espaço retorial n-dime11sional. e sejam 1•1 • . . . • 1•,, elementos 
linearmente independentes de V. Então v1 • . • . • v,, formam uma base de V. 
Demonstração. De acôrdo com o Teorema 2, { v1, • • • , v.} é um conjunto maximal 
de elementos linearmente independentes de V. Donde, pelo Teorema 4, { v1, . . • , v.} 
é uma base. 
Corolário. Seja V um espaço vetorial e seja W am sub-espaço. Se dim V= dim W, 
1·11tão V= W. 
Demonstração. Seja { w1, . • • , w.} uma base de W. Sendo n = dim V, podemos 
aplicar o teorema e concluir que V= W. 
Teorema 6. Seja V um espaço vetorial tendo uma base formada por n elementos. 
Seja W um sub-espaço diferente de {O}. Então W possue uma base, e a dimensão de W 
,; � n. 
Demonstração. Seja w1 um elemento não nulo de W. Se {wi} não fôr um conjunto 
maximal de elementos linearmente independentes de W, podemos achar um elemento 
w2 de Wtal que w1 e w2 sejam linearmente independentes. Procedendo desta maneira, 
com um elemento por vez, deve existir um inteiro m, com m � n, tal que possamos 
encontrar elementos w1, w2, . • • , wm linearmente independentes, e que { w1, • . • , wm} 
seja um conjunto maximal de elementoslinearmente independentes de W (conforme 
o Teorema 2, não é possível repetir indefinidamente o processo, e o número de ele­
mentos linearmente independentes obtidos é no máximo n). Aplicando agora o Teorema 
4, concluimos que { w1, . • . , wm} é uma base de W. 
Teorema 7. Seja V um espaço vetorial n-dimensional, e sejam v1 , • • • , v, elementos 
linearmente independentes de V. Então existem elementos v, + 1 , ... , v. E V tais que 
{v1, • • • , v.} é uma base de V. 
Demonstração. Se r < n, então pela definição de dimensão, v1 , • • . , v, não podem 
formar uma base de V, e portanto não podem gerar V. Logo, existe um elemento não­
n ulo v,+ 1 de V que não pertence ao sub-espaço gerado por v1, • • • , v,. Segue que 
v1, • • • , v,+1 são linearmente independentes, pois se tivermos uma relação 
a1v1 + · · · + a,v, + a,+1v,+1 = O, 
com ai E K, então a,+ 1 =F O (no caso contrário, obtemos uma relação de dependência 
linear entre v1, • . • , v,). Podemos então expressar v,+ 1 em função de v1, • • • , v,, a saber 
v,+1 = -a;/1(a1v1 + · ·· + a,v,), 
o que contradiz o fato que v,+ 1 não pertence ao sub-espaço gerado por v1 , ... , v,. 
32 Álgebra Linear 
Suponhamos que encontramos elementos v,+ 1, ... , v. tais que v1, ... , v. são 
linearmente independentes. Então s:;;; n pelo Teorema 2. Se supusermos que 
{ V1 , . .. , V,, V,+ 1 , . • • , V5} 
é um conjunto maximal de elementos linearmente independentes de V, então o argu­
mento anterior mostra que s = n, e segue que { v 1 , ... , v.} é uma base de V. 
§5. Somas e somas diretas 
Seja Vum espaço vetorial sôbre o corpo K. Sejam U e W dois sub-espaços de V. 
Definimos a soma de U e W como sendo o subconjunto de V formado por tôdas as 
somas u + w, com u E U e w E W Indicamos esta soma por U + W Trata-se de um 
sub-espaço de V. Com efeito, se u1, u2 EU e w1, w2 E W, então 
(u, + W1) + (u2 + W2) = u, + U2 + w, + W2 Eu+ w 
Se c E K, então 
c(u, + W1) = CU1 + cw, Eu + w 
Por fim, O + O E U + W Isto prova que U + W é um sub-espaço de V. 
Diremos que Vé uma soma direta de U e W se, para todo elemento v de V, existirem 
elementos únicos u E U e w E W tais que v = u + w. 
Teorema 8. Seja V um espaço vetorial sôbre o corpo K, e sejam U e W dois sub-es­
paços. Se U + W = V, e se U n W= {O}, então Vé a soma direta de U e W 
Demonstração. Dado v E V, pela primeira hipótese, existem elementos u E U e 
w E Wtais que v = u + w. Portanto, Vé a soma de U com W Para provar que é a soma 
direta, devemos mostrar que êstes elementos u e w são determinados de modo único. 
Suponhamos que existem elementos u' E U e w' E W tais que v = u' + w'. Logo 
u + w = u' + w'. 
Então u - u' = w' - w. 
Mas u - u' E U e w' - w E W Pela segunda hipótese, concluímos que u - u' = O e 
w' - w = O, donde u = u' e w = w', provando com isto nosso teorema. 
Quanto à notação, se V é a soma direta dos sub-espaços U e W, escrevemos 
V= U®W 
Teorema 9. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita, sôbre o corpo K. Seja W 
um sub-espaço de V. Então existe um sub-espaço U tal que V é a soma direta de W e U. 
Demonstração. Fixemos uma base de W; empregando o Teorema 7 do §4, esten­
damos esta base at é completarmos uma base de V. A afirmação de nosso teorema é 
agora evidente. Com as notações daquele teorema, se {v1, • . . , v,} é uma base de: W, 
então escolhemos U como sendo o espaço gerado por {v.+1, . • • , v.}. 
Observamos que dado o sub-espaço W, geralmente existem vários sub-espaços 
U tais que V é a soma direta de W com U. (Para exemplos, ver os exercícios). Num 
parágrafo posterior dêste livro, onde discutiremos a ortogonalidade, empregaremos 
a ortogonalidade para determinar um tal sub-espaço. 
Espaços Vetoriais 33 
Teorema 10. Se V é um espaço vetorial de dimensão finita sôbre K e é a soma direta 
de dois sub-espaços U e W, então 
dim V= dim U + dim W. 
Demonstração. Sejam { u1, ... , u,} uma base de U e { w1, ... , w.} uma base de W. 
Todo elemento de U se expressa de modo único como uma combinação linear 
x1u1 + · · · + x,u,, com xi E K, e todo elemento de Wse expressa de modo único como 
uma combinação linear y1 w1 + · · · + y.w. com Yi E K. Logo, por definição, todo 
elemento de V se expressa de modo único como uma combinação linear 
x1u1 + · · · + x,u, + y1w1 + · · · + y.w., 
provando com isso que u1, •
•
• • , u,, w1, . • • , w. formam uma base de V, o que demonstra 
nosso teorema. 
Observação. Também podemos definir V como sendo a soma direta de mais de 
dois sub-espaços. Sejam sub-espaços W1, • • • , W, de V. Diremos que Vé sua soma direta 
de todo elemento de V puder ser expresso de modo único por uma soma 
V= W1 + · · · + w, 
com w; em Hi; . 
Suponhamos agora que U e W são espaços vetoriais arbitrários sôbre um corpo 
K (i. e. não são obrigatóriamente sub-espaços de algum espaço vetorial). Seja U. x W 
o conjunto de todos os pares (u, w ) cuja primeira componente é um elemento u de U, 
e cuja segunda componente é um elemento w de W. Definimos a adição de tais pares 
por componentes, isto é, se (u1, wi) EU x W e (u2 , w2 ) EU x W então 
(u1, W1) + (u2, W2) = (u1 + U2, W1 + W2) 
Se e E K, definimos o produto c(u1, w1) por 
c(u1, wi) = (CU1, CW1)· 
Então verificamos imediatamente que U x W é um espaço vetorial, denominado o 
produto direto de U por W. Quando discutirmos as aplicações lineares, compararemos 
o produto direto com a soma direta. 
Se n é um inteiro positivo, escrito como uma soma de dois inteiros, n = r + s, 
então notamos que K" é o produto direto K' x K'. 
Observamos que dim(U x ») = dim U + dim W. A demonstração é fácil, e 
fica a cargo do leitor. 
EXERCÍCIOS 
1. Seja V= R2, e seja W o sub-espaço gerado por (2, 1). Seja U o sub-espaço 
gerado por (O, 1). Mostrar que Vé a soma direta de W com U. Se U' é o sub-espaço 
gerado por (1, 1), mostrar que V é também a soma direta de W com U'. 
2. Seja V= K3 para algum corpo K. Seja W o sub-espaço gerado por (1, O, O), 
e seja V o sub-espaço gerado por (1, 1, O) e (O, 1, 1). Mostrar que Vé a soma direta de 
W e V. 
3. Sejam A e B dois vetores no R2, e suponhamos que são ambos diferentes 
de O. Se não existir nenhum e tal que cA = B, mostrar que A e B formam uma base 
de R2, e que R2 é a soma direta dos sub-espaços gerados por A e B, respectivamente. 
CAPÍTULO III 
Matrizes 
§1. O espaço das matrizes 
Vamos considerar uma nova classe de objetos, as matrizes. Seja um corpo K. 
Sejam n e m dois inteiros G 1. Um arranjo de números de K · 
é denominado uma matriz em K. Podemos abreviar a notação desta matriz, escrevendo 
(a;), i = 1, . .. , m e j = 1, ... , n. Dizemos que é uma matriz m por n, ou uma m x n 
matriz. A matriz tem m linhas e n colunas. Por exemplo, a primeira coluna é 
(:�:) am1 
e a segunda linha é (a21, a22 , • • • , a2"). Chamamos ao elemento aii a componente, 
ou entrada, de posição (i, j) da matriz. Se indicarmos por A a matriz acima, então 
a i-ésima linha é indicada por A; , e é definida como sendo 
A j-ésima coluna é indicada por Aj, e é definida como sendo 
(ªli) 
A;= a�;. 
am, 
Exemplo 1. A matriz seguinte é uma 2 x 3 matriz: 
(_� 
1 
4 
-2)· 
-5 
Matrizes 35 
Possui duas linhas e três colunas. As linhas são (1, 1, -2) e (-1, 4, -5). As colunas são 
Desta forma, as linhas de uma matriz podem ser interpretadas como sendo n-uplas, 
e as colunas como sendo m-uplas verticais. Uma m-upla vertical é também denomi­
nada um vetor-coluna. 
Um vetor (x1, • . . , x.) é uma x n matriz. Um vetor-coluna 
é uma n x 1 matriz. 
Quando escrevemos uma matriz na forma (aii), então i indica a linha e j indica 
a coluna. No Exemplo 1, temos por exemplo a11 = 1, a23 = -5. 
Um elemento (a) de K pode ser visto como uma 1 x 1 matriz. 
Seja uma matriz (a;), i = 1, ... , m e j = 1, ... , n. Se m = n, então dizemos que 
se trata de uma matriz quadrada. Assim,são matrizes quadradas 
(_� �) e -1 1 1 
-"-�) 
-1 
Existe a matriz zero, na qual a;i =O para todo i,j. Ela tem o aspecto seguinte: 
Nós a indicamos por O. Observamos que, até agora, conhecemos o número zero, 
o vetor zero, e a matriz zero. 
Vamos agora definir a adição de matrizes e a multiplicação de matrizes por es­
calares. 
Definimos a adição de matrizes somente para as matrizes de um mesmo tipo. 
< 'om esta restrição, sejam m e n dois inteiros fixos � 1. Sejam A = (a;) e .B = (b;1) 
duas m x n matrizes. Definimos A + B como sendo a matriz cuja componente da 
/-ésima linha e j-ésima coluna é a;J + bii. Em outras palavras, somamos matrizes 
de um mesmo tipo somando componentes correspondentes. 
Exemplo 2. Sejam 
A= G -1 3 �) . e B = (� 1 1 -1) · -1 
36 Álgebra Linear 
Então 
o 
4 -�)· 
Se A e B são ambas 1 x n matrizes, i. e. n-uplas, então notamos que nossa adição 
coincide com a adição de n-uplas, anteriormente definida. 
Se O é a matriz zero, então, para qualquer matriz A (do mesmo tipo, evidentemente), 
vale O + A = A + O = A. A verificação disto é trivial. 
Passamos agora à definição da multiplicação de uma matriz por um escalar. 
Sejam e um escalar e A uma matriz, A = (aii). Definimos cA como sendo a matriz 
cuja componente de posição (i,j) é ca;i. Escrevemos cA = (ca;). Portanto, multi­
plicamos cada componente de A por e. 
Exemplo 3. Sejam A e B como dados no Exemplo 2. Seja e = 2. Então 
2A = (! -2 
�) 
2B = (1� 2 -2) · e 
6 2 -2 
Temos também: 
(-l)A -A = (
-1 1 
-�)· -2 -3 
Qualquer que seja a matriz A, verificamos que A + (-l)A = O. 
Deixamos a título de exercício verificar que tôdas as propriedades EV 1 a EV 8 
são satisfeitas por nossas regras de adição de matrizes e multiplicação de matrizes 
por números. O essencial a observar aqui é que a adição de matrizes é definida por 
meio de componentes, e que para a adição de componentes, as condições correspon­
dentes a EV 1 a EV 4 são satisfeitas; são elas propriedades usuais de números. De 
maneira análoga, as condições EV 5 a EV 8 são satisfeitas para a multiplicação de 
matrizes por números, pois as propriedades correspondentes para a multiplicação 
de números são válidas. 
Vemos que as matrizes (de um dado tipo m x n) em K formam um espaço ve­
torial sôbre K; indicamos êste espaço por 9.Jlm,.(K), ou simplesmente 9.Jlm,n• se fôr 
evidente a referência a K. 
' 
Definimos mais um conceito relativo às matrizes. Seja A = (a;) uma m x n 
matriz. À n x m matriz B = (bi;) tal que bii = a;i , chamamos a transposta de A, que 
indicamos por 'A. Formar a transposta de uma matriz equivale a trocar as linhas 
pelas colunas e vice-versa. Se A é a matriz dada no início dêste parágrafo, então 1 A 
é a matriz. 
Matrizes 
Por exemplo, num caso particular: 
Se A= G 1 
3 �) 
Se A = (2, 1, -4) é um vetor-linha, então 
é um vetor-coluna. 
então 1A = (� 
!
) 
· 
o 5 . 
37 
Dizemos que uma matriz A é simétrica se ela fôr igual à sua transposta, i. e. se 
tA = A .. Uma matriz simétrica é necessàriamente uma matriz quadrada. Por exemplo, 
a matriz 
é simétrica. 
-1 
o 
3 
�) 
Seja A uma matriz quadrada, A = (aij). Os elementos a11 , . • . , ª•• têm o nome 
de elementos da diagonal. Uma matriz quadrada é denominada matriz diagonal se 
tôdas as suas componentes forem nulas, com a possível exceção das componentes 
diagonais, i. e. se aij = O para i o/- j. Tôda matriz diagonal é uma matriz simétrica. Uma 
matriz diagonal tem o aspecto seguinte: 
o 
o D 
Definimos a n x n matriz unidade como sendo a matriz quadrada na qual tôdas 
as componentes são nulas, exceto as componentes diagonais, que são iguais a 1. In­
dicamos esta matriz unidade por I., ou I se não fôr preciso especificar n. Desta forma, 
I. 
� (! : f) 
EXERCÍCIOS 
1. Sejam 
A=(123) -1 o 2 e B= 
(-1 
2 
5 -2)· 
2 -1 
Calcular A+ B, 3B, -2B, A+ 2B, 2A + B, A-B, A-2B, B-A. 
38 Álgebra Linear 
2. Sejam 
e B 
(-1 1). 
o -3 
Calcular A + B, 3B, -2B, A + 2B, A - B, B - A. 
3. No Exercício 1, achar 'A e 'B. 
4. No Exercício 2, achar 'A e 'B. 
5. Se A e B são duas m x n matrizes arbitrárias, mostrar que 
'(A + B) ='A + 'B. 
6. Se e é um número, mostrar que 
'(cA) = c'A. 
7. Se A = (a;) fôr uma matriz quadrada, então os elementos a;; são denominados 
os elementos diagonais. Em que diferem os elementos diagonais de A e os de 'A? 
8. Achar '(A + B) e 'A + 'B no Exercício 2. 
9. Achar A + 'A e B + 'B no Exercício 2. 
10. Mostrar que para qualquer matriz quadrada A, a matriz A + 'A é simétrica. 
11. Escrever os vetores-linha e os vetores-coluna das matrizes A e B do Exer­
cício 1. 
12. Escrever os vetores-linha e os vetores-coluna das matrizes A e B do Exer­
cício 2. 
13. Qual é a dimensão do espaço IDlm,.(K) sôbre K das m x n matrizes? 
14. Seja eii (i = 1, . .. , me j = 1, ... , n) a matriz cuja componente de posição (i,j) 
é 1, e cujas demais componentes são iguais a O. Mostrar que estas matrizes eii formam 
uma base de IDlm,.(K) sôbre K. 
15. As n x n matrizes diagonais sôbre um corpo K formam um espaço vetorial. 
Qual é sua dimensão? 
16. Diz-se que uma n x n matriz quadrada é triangular superior se tôdas as suas 
componentes abaixo da diagonal forem nulas. Uma tal matri;z tem o aspecto seguinte: 
(au a12 · · · a1n) 
O a22 · · · a2n 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
O O ann 
Qual é a dimensão do espaço de tôdas as n x n matrizes triangulares superiores? 
§2. Equações lineares 
Vamos agora apresentar aplicações dos teoremas de dimensão na resolução 
de equações lineares. 
Matrizes 39 
Seja um corpo K. Seja A = (aii), i = 1, ... , m e j = 1, ... , n, uma matriz em K. 
Sejam b1 , • • • , bm elementos de K. Equações do tipo 
(*) 
são denominadas equações lineares. Diremos também que(*) é um sistema de equações 
lineares. Dizemos que o sistema é homogêneo se todos os números b1 , • • • , bm forem 
nulos. O número n é chamado o número de incógnitas, e o número m é denominado o 
número de equações. Chamamos (aij) de matriz dos coeficientes. 
O sistema de equações 
(**) 
será denominado o sistema homogêneo associado a (*). 
O sistema (**) sempre tem solução, a saber a solução obtida escolhendo todo 
X; = O. Esta solução será chamada a solução trivial. Uma solução (x 1, ... , Xn) tal 
que algum X; =F O é chamada solução não-trivial. 
Consideremos primeiramente o sistema homogêneo (**). Podemos reformulá-la 
da maneira seguinte: 
ou, em termos dos vetores-coluna da matriz A = (a;), 
x1A1 + · · · + x.A" =O. 
Po tanto, uma solução não-trivial X= (x1,.:., x.) do sistema (**) não é senão uma 
n-upla X =F. O que origina uma relação de dependência linear entre as colunas A 1, • • . , A". 
Esta maneira de re-escrever o sistema nos fornece portanto uma boa interpretação, 
e nos permite aplicar o Teorema 2 do Capítulo II. Os vetores-coluna são elementos 
de Km, que tem dimensão m sôbre K. Conseqüentemente: 
Teorema 1. Seja 
um sistema homogêneo de m equações lineares com n incógnitas, com coeficientes tomados 
num corpo K. Suponhamos que n > m. Então o sistema tem uma solução não-trivial 
em K. 
Demonstração. Pelo Teorema 2 do Capítulo II, sabemos que os vetores A1, ... , A" 
são necessàriamente linearmente dependentes. 
40 Álgebra Linear 
Evidentemente, para resolver explicitamente um sistema de equações lineares, 
não dispomos até agora de nenhum método além do método elementar de eliminação 
adquirido no curso secundário. Apresentamos um exemplo. 
Em primeiro lugar, suponhamos que temos uma única equação, por exemplo 
2x + y-4z =O. 
Para achar uma solução não-trivial, nós atribuimos a tôdas as variáveis, exceto 
à primeira, um valor particular =F O, por exemplo y = 1 e z = 1. Então resolvemos 
em termos de x. Obtemos 2x = -y + 4z = 3, donde x= l 
A seguir, consideremos um par de equações, por exemplo 
(1) 2x + 3y - z =O, 
(2) X+ y + Z = 0. 
Reduzimos o problema .da resolução destas equações simultâneas ao caso anterior 
de uma equação, eliminando uma variável. Para tanto, multiplicamos a segunda equa­
ção por 2 e subtraimos da primeira equação, obtendo 
(3) y-3z =O. 
Estamos agora diante de uma equação a mais de uma variável. Atribuimos a z. um 
valor qualquer =F O, digamos z = 1, e resolvemos para y; obtemos y = 3. Agora, 
resolvemos para x na segunda equação, e obtemos x = -4. Os valores obtidos para 
x, y, z também são soluções da primeira equação, porque a primeira equação é (isto 
é óbvio) a soma da equação (2) multiplicada por 2, com a equação (3). Uma descrição 
dêste processo no caso geral será desenvolvida no apêndice dêste capitulo, onde da­
remos também uma outra demonstração direta do Teorema l. 
Exporemos posteriormente métodos mais eficientes para a resolução de equações 
lineares. 
Consideramos agora o sistema de equações(*) dado inicialmente. Seja B o vetor­
coluna 
Então podemos re-escrever (*) sob a forma 
(ª11) (ª111) (b1) 
X1 : + • · · + Xn : = : ' 
am1 amn bm 
ou abreviadamente em têrmos dos vetores-coluna de A, 
Matrizes 41 
Dizer que X = (x1, • • • , x.) é uma solução do sistema de equações lineares é dizer 
que B é uma combinação linear dos vetores A 1, ... , A", com coeficientes x 1 , • • • , x • . 
Teorema 2 .. Se m= n no sistema(*) adma, e se os vetores A1, ... , A" forem linear­
mente independentes, então o sistema (*) tem uma solução em K, e esta solução é única. 
Demonstração. Sendo os vetores A 1, • • . , A" linearmente independentes, êles 
formam uma base de K". Portanto qualquer vetor B se expressa de modo único como 
uma combinação linear 
B = x1A1 + · · · + x.A", 
com X; E K; donde X = (x1 , . . • , x.) é a solução única do sistema. 
EXERCÍCIOS 
1. Seja(**) um sistema de equações lineares homogêneas num corpo K, e supo­
nhamos que m = n. Suponhamos também que os vetores-coluna dos coeficientes 
são linearmente independentes. Mostrar que a única solução é a solução trivial. 
2. Seja(**) um sistema de equações lineares homogêneas num corpo K, a n in­
cógnitas. Mostrar que o conjunto de soluções X = (x1 , • . . , x.) é um espaço vetorial 
sôbre K. 
3. Resolver os seguintes sistemas de equações lineares em R. 
(a) 2x + 3y = 5 
4x - y = 7 
(b) 2x + 3y + z = O 
X - 2y - Z = 1 
X+ 4y + Z = 2 
4. Resolver os seguintes sistemas de equações lineares em C. 
(a) ix - 2y = 1 
X+ iy = 2 
(c) (1 + i)x - y = O 
ix + y = 3-i 
(b) 2x + iy-(1 + i)z = 1 
x-2y + iz =O 
- ix + y -(2 - i)z = 1 
(d) ix - (2 + i)y = 1 
X + (2 -i)y = 1 + i 
5. Sejam vetores-coluna A 1, ... , A", tendo m componentes. Suponhamos que 
êles tomam suas componentes em R, e que êles são linearmente independentes sôbre R. 
Mostrar que êles são linearmente independentes sôbre C. 
6. Seja(**) um sistema de equações lineares homogêneas com coeficientes em R. 
Se êste sistema admitir uma solução não-trivial em C, mostrar que êle admite solução 
não-trivial em R. 
§3. Multiplicação de matrizes. 
Consideraremos matrizes sôbre um corpo fixo K. Começamos observando que 
o produto escalar definido no Capítulo 1 para vetores com coeficientes reais vale 
também para vetores com componentes em K. Com isto, se A = (a1, • • • , a.) e B = 
= (b1 , • • • , b.) pertencem a K", definimos 
42 
Trata-se de um elemento de K. Valem as propriedades básicas: 
PE 1. Quaisquer que sejam A e B em K", vale A · B = B · A. 
PE 2. Se A, B, C pertencem a K", então 
A- (B + C) = A · B + A- C = (B + C) ·A. 
PE 3. Se x E K, então 
(xA) · B = x(A · B) e A · (xB) = x(A · B). 
Álgebra Linear 
No entanto, notemos que a propriedade de A ·A ser positivo não é verdadeira 
em geral. Por exemplo, se K = C, seja A = (1, i). Então A =F O, mas 
A · A = 1 + i2 = O. 
Em muitos casos, esta propriedade não é necessária e podemos substituí-Ia por uma 
outra, chamada não-degeneração, e que é a seguinte: 
Se A E K", e se A · X = O para todo X E K", então A = O. 
A demonstração é trivial, pois temos que ter A · E; = O para cada vetor unitário 
E; = (O, ... , O, 1, O, ... , O) cuja i-ésima coordenada é igual a 1 e as demais iguais a O. 
Mas A· E; = a;, logo a; = O para todo i; donde A = O. 
Vamos agora definir o produto de matrizes. 
Seja � = (a;), i = 1, . . . , m e j = 1, . . . , n uma m x n matriz. Seja B = (bik), 
j = 1, ... , n e k = 1, ... , s uma n x s matriz 
I -
(ª11 
A= 
a...1 
a1n) •" 
a.nn 
(bu 
B= 
bnl 
Definimos o produto AB como sendo a m x s matriz cuja coordenada de po­
sição (i, k) é 
n 
L aiibik = a;1blk + a;2b2k + · · · + a;.bnk. 
j=l 
Se A1, . • • , Am são os vetores-linha da matriz A, e se B1, ... , Bs são os vetores-coluna 
da matriz B, então a coordenada de posição (i, k) do produto AB é igual a A;· Bk. Por­
tanto 
A multiplicação de matrizes é portanto uma generalização do produto escalar. 
Exemplo 1. Sejam 
A=(� 
1 
3 �)' 
Matrizes 
Então AB é uma 2 x 2 matriz, e os cálculos mostram que 
AB 
= (i 
Exemplo 2. Seja 
1 5) (- 3 4) = (15 
3 2 
1 2 . 4 2 1 
e- ( 1 3) · - -1 -1 
Sejam A e B dadas no Exemplo 1. Então: 
e 
A(BC) = (i 1 
3 
Calcular (AB)C. Qual é o resultado? 
15) . 
12 
43 
Seja A uma m x n matriz e seja B uma n x 1 matriz, i. e. um vetor-coluna. Então 
AB é novamente um vetor-coluna. 
Seja A uma 1 x n matriz, i. e. um vetor-linha, e seja B uma n x s matriz. Então 
AB é um vetor-linha. 
Teorema 3. Sejam matrizes A, B, C. Se: 
A e B podem ser multiplicadas, 
e A e C podem ser multiplicadas, 
e B e C podem ser somadas, 
então A e B + C podem ser multiplicadas, e vale 
A(B + C) = AB + AC. 
Se x é um número, então 
A(xB) = x(AB). 
Demonstração. Seja Ai a i-ésima linha de A, e sejam Bk e Ck a k-ésima coluna de 
B e de C, respectivamente. Então Bk + Ck é a k-ésima coluna de B + C. Por definição, 
a componente de posição (i, k) de AB é Ai· Bk, a componente de posição (i, k) de AC 
é Ai· C\ e a componente de posição (i, k) de A(B + C) é Ai· (Bk + Ck). Sabendo que 
Ai · (Bk + Ck) = Ai · Bk + Ai · Ck, 
deduzimos a primeira parte do Teorema. Quanto à segunda parte, observemos que 
a k-ésima coluna de xB é xBk. Como 
A; · xBk = x(Ai · Bk), 
então segue a segunda parte do Teorema. 
44 Álgebra Linear 
Teorema 4. Sejam A, B, C matrizes tais que A e B possam ser multiplicadas, e B e C 
possam ser multiplicadas. Então 
A e BC podem ser multiplicadas, 
AB e C podem ser multiplicadas, 
e vale: (AB)C = A(BC). 
Demonstração. Sejam A = (a;) uma m x n matriz, B = (bid uma n x r matriz, 
e C = (ck1) UJí11a r x s matriz. O produto AB é uma m x r matriz, cuja componente 
de posição (i, k) é dada pela soma 
ailblk + a;2b2k + · · · + a;.bnk · 
Indicaremos abreviadamente esta soma pela notação 
n 
I aijbjk. j=l 
Por definição, a componente de posição (i, l) de (AB)C é igual a 
A soma do membro direito também representa a soma de todos os têrmos 
onde j e k assumem todos os valores inteiros 1 � j � n e 1 � k � r, respectivamente. 
Se tivéssemos começado com a componente de posição (j,I) de BC e depois cal­
culado a componente de posição (i, l) de A(BC), teríamos obtido exatamente a mesma 
soma; com isto, fica demonstrado nosso teorema. 
Seja A uma n x n matriz quadrada. Diremos que A é inversível, ou não-singular, 
se existir uma n x n matriz B tal que 
AB = BA = 1 • . 
Uma tal matriz B fica determinada de modo único por A, pois se C fôr tal que AC = 
= CA = 1., então 
B = Bl. = B(AC) = (BA)C = l.C = c. 
(cf. Exercício 1). Esta matriz B será denominada a inversa de A e indicada por A - 1• 
Quando estudarmos determinantes, teremos meios explícitos de obtê-la, quando ela 
existe. 
Seja A uma matriz quadrada. Entãopodemos formar o produto de A por si pró­
pria, por exemplo AA, ou produtos repetidos, 
A ... A 
m vêzes. Por definição, sem é um inteiro � 1, Am é o produto A ... A de A multipli­
cada por si própria m vêzes. Definimos Aº = l (a matriz unidade do mesmo tipo que A). 
A regra usual de expoentes A'+s = A' As é válida para inteiros r, s � O. 
Matrizes 45 
O resultado seguinte relaciona a transposta com a multiplicação de matrizes. 
Teorema 5. Sejam matrizes A e B que podem ser multiplicadas. Então 'B e 'A podem 
ser multiplicadas, e 
'(AB) = 'B '.4. 
Demonstração. Sejam A = (a;) e B = (bjk). Seja AB = C. Então 
n 
C;k = I aijbjk, 
j= 1 
Sejam 'B = (b�) e 'A = (aj;). Então a componente de posição (k, i) de 'B '.4 é por de­
finição, 
n 
I b�pj;. 
j= 1 
Sendo b�j = bjk e aj; = a;j, vemos que esta última expressão é igual a 
n n 
I bjkaij = I a;jbjk. 
j= 1 j= 1 
Por definição, isto é a componente de posição (k, i) de 'C, como queríamos demonstrar. 
EXERCÍCIOS 
1. Seja 1 a n x n matriz unidade. Seja A uma n x r matriz. O que vem a ser IA? 
Se A é uma r x n matriz, o que vem a ser AI? 
2. Seja O a matriz cujas coordenadas são tôdas nulas. Seja A uma matriz tal que 
está definido o produto Ao: O que vem a ser AO? 
3. Em cada um dos casos seguintes, calcular (AB)C e A(BC): 
(a) A (� �)' B (-1 1) 1 o ' C= G :) 
(b) A e 1 -1) B - (� �} C= (!) 1 2 ' 3 -1 
= (� 4 1) B
- G 1 -D · e -( ! �) (e) A o --,-l ' 1 1 -1 4 
4. Sejam A e B duas matrizes quadradas do mesmo tipo, e suponhamos que 
AB = BA. Empregando as propriedades de matrizes enunciadas no Teorema 3, mos­
trar que (A + B)2 = A2 + 2AB + B2, e que 
(A+ B)(A-B) = A2-B2• 
46 
5. Sejam 
Calcular AB e BA. 
6. Seja 
A 
Álgebra Linear 
B (� �). 
e= G �)-
Sejam A e B dadas no Exercício 5. Calcular CA, AC, CB e BC. Enunciar a regra geral 
que inclui êste exercício como caso particular. 
7. Sejam X = (1, O, O) e 
O que vem a ser XA? 
8. Seja X = (O, 1, O), e seja A uma 3 x 3 matriz qualquer. Como poderíamos 
descrever XA? E se X = (O, O, l)? Generalizar em têrmos análogos para produtos 
de n x n matrizes por vetores unitários. 
9. Sejam A e B as matrizes dadas no Exercício 3 (a). Verificar pelo método direto 
que '(AB) = 'B'A. Efetuar a mesma verificação para 3(b) e 3(c). Se A, B, C são ma­
trizes que podem ser multiplicadas, mostrar que '(ABC)= 'C'B,'A. 
10. Seja M uma n x n matriz tal que 'M = M. Dados dois vetores-coluna no 
n-espaço, digamos A e B, definimos (A, B) como sendo 'AMB (identificando uma 
1 x 1 matriz com um número). Mostrar que as condições de um produto escalar são 
satisfeitas, com a possível exceção da condição do produto escalar ser positivo. Dar 
um exemplo de uma matriz M e vetores A e B tais que (A, B) = 'AMB seja negativo 
(tomando n = 2). 
11. Seja A a matriz 
Calcular A 2 e A 3• Generalizar para 4 x 4 matrizes. 
12. Seja A a matriz 
Calcular A2, A3, An para qualquer n inteiro positivo. 
13. Seja A uma n x n matriz inversível. Mostrar que 
'(A-1) = ('A)-1. 
Porisso podemos escrever 'A - 1 sem risco de confusão. 
Matrizes 47 
14. Seja A uma matriz complexa, A = (aii), e seja A= (a;), onde a barra in­
dica a conjugação complexa. Mostrar que 
'(A)= 'A. 
Porisso escrevemos simplesmente 'A. 
15. Seja A uma matriz diagonal 
O a2 • • • O A= . . 
. 
(a1 0 · · 
· 
º) 
. . 
. 
. . 
. 
o o an 
Se a1 "# O para todo i, mostrar que A é inversível. O que vem a ser a sua inversa? 
16. Seja A uma matriz triangular estritamente superior, i. e. uma matriz quadrada 
(aii) cujas componentes da diagonal e abaixo da diagonal são tôdas nulas. Podemos 
citpressar isto escrevendo a;i = O se i � j: 
A = (
� 
�
" 
:
: 
: : : 7: ) 
: • • an-1,n 
o o o o 
Provar que A" = O. (Se o leitor o desejar, basta limitar-se a n = 2,3 e 4. O caso geral 
pode ser deduzido por indução). 
17. Seja A uma matriz triangular tendo as componentes da diagonal iguais a 1: 
. 
(� 
�
12 : : : 
A= . . 
o o 
o o 
Seja N = A -1.. Mostrar que N"+ 1 = O. Observemos que A = 1 + N. Mostrar 
que A é inversível, e que sua inversa é 
18. Se N é uma matriz quadrada tal que N'+ 1 = O para algum inteiro r positivo, 
mostrar que 1 -N é inversível e que sua inversa é 
1 + N + · · · + N'. 
48 
19. Seja A uma matriz triangular: 
o 
Suponhamos que nenhum elemento da diagonal seja O, e seja 
(a1l 
�2i � ) 
B� ! O �! 
Álgebra Linear 
Mostrar que BA e A B são matrizes triangulares com componentes da diagonal iguais a 1. 
20. Seja A = (a;) uma n x n matriz quadrada. Definimos seu traço tr(A) como 
sendo a soma de seus elementos diagonais, 
tr(A) = a11 + ... + ª••. 
Por exemplo, o traço de 
é igual a 1 + 5 = 6. 
Calcular o traço das matrizes A, B, AB e BA do Exercício 5. 
21. (a) Sejam A e B duas n x n matrizes. Mostrar que tr(AB) = tr(BA). 
(b) Se B fôr inversível, mostrar que tr(B- 1 AB) = tr(A). 
22. Diz-se que uma matriz quadrada A é nilpotente se A' 
= 
O para algum inteiro 
r � 1. Sejam A e B duas matrizes nilpotentes, do mesmo tipo, e suponhamos que 
AB = BA. Mostrar que AB e A + B são nilpotentes. 
APÊNDICE. ELIMINAÇÃO. 
Na demonstração do Teorema 1 a respeito das equações lineares homogêneas, 
empregamos o teorema que afirma que n elementos de um espaço vetorial m-dimen­
sional são necessàriamente linearmente dependentes se n > m. Reciprocamente, é 
possível apresentar uma demonstração direta do mesmo teorema, por meio do mé­
todo elementar de eliminação, e a partir disto, provar o teorema da dimensão. É o 
que passamos a fazer, a fim de apresentar uma demonstração outra que aquela já 
apresentada no texto. 
Consideremos o sistema de equações lineares homogêneas (**). Sejam A1, • . • , Am 
os vetores-linha da matriz (aii). Podemos então re-escrever nossas equações (**) sob 
a forma 
(**) 
Am· X= O. 
Matrizes 49 
O emprêgo da notação do produto escalar usual facilitará a demonstração do nosso 
teorema, que é o seguinte: 
Teorema. Seja um sistema 
ª11-'1 +.:. + a1nX11 = Ü 
am1X1 + . : . + amnXn = Q 
de m equações lineares com n incógnitas, e suponhamos que n > m. Então o sistema tem 
uma solução não-trivial. 
Demonstraçiio. A demonstração será feita por indução, isto é por meio de um pro­
cesso por etapas. 
Consideremos primeiramente o caso de uma única equação a n incógnitas, com 
n - 1: 
Se lodos os coeficientes a1, ••• , a11 forem iguais a zero, então quaisquer valores das 
variáveis constituem uma solução, e existe certamente uma solução não-trivial. Su­
ponhamos que algum coeficiente ai # O. Após uma re-numeração das variáveis e 
dos coeficientes, podemos supôr que se trata de a1• Então atribuímos valores arbi­
trários a x2, •.• , x11, por exemplo x2 = · · · = x11 
= 
1, e resolvemos para x1, obtendo 
Desta forma, obtemos uma solução não-trivial para nosso sistema de uma equação. 
Suponhamos agora que o teorema seja verdadeiro para um sistema de m - 1 
equações, com mais de m - 1 incógnitas. Vamos provar que êle é verdadeiro para m 
equações com n incógnitas, sendo n > m. Consideramos o sistema (**). 
Se todos os coeficientes (ai) forem nulos, podemos atribuir às variáveis valôres 
não-nulos qu'aisquer, para obter uma solução. Se algum coeficiente fôr diferente de O, 
então, após uma re-numeração das equações e das variáveis, podemos supôr que se 
trata de a11 • Subtraímos uma equação múltipla da primeira das outras equações, 
para eliminar x 1 . A saber, bonsideramos o sistema de equações 
que também pode ser escrito sob a forma 
(***) 
50 Algebra Linear 
Nêste sistema, o coeficiente de x1 é igual a O. Logo, podemos tratar(***) como se 
fôsse um sistema de m - 1 equações a n - 1 incógnitas, com n - 1 > m - 1. 
Em virtude de nossa hipótese de indução, podemos achar uma solução não­
trivial (x2, • • • , x.) para êste sistema. Podemos então resolver para x 1 na primeira 
equação, resultando 
Desta forma, obtemos uma solução de A1 ·X = O. Mas, de (***), vem 
para i = 2, . . . , m. Logo, A; · X = O para i = 2, . . . , m e com isto achamos uma so­
lução não-trivial para nosso sistema inicial (***). 
O argumento que acabamos de desenvolver nos permite proceder progressiva­
mente, passando de uma equação a duas equações, depois de duas equações a três, 
e assim por diante. Isto conclui a demonstração. 
Corolário. Seja um espaço vetorial V, e seja uma base { v1, • • • , vm} de V. Sejam 
elementos w1, • • . , w. de V, e suponhamos que n > m. Então w1, • • • , w. são linearmente 
dependentes. 
Demonstração. Sendo [ v1 , • . • , vm} uma base, existem números (a;j) tais que pos­
samos escrever 
Se x 1 , • • • , x. são números, então 
X1W1 + · · · + XnWn 
= (x1a11 + · · · + x.at.)V1 + · · · + (x1am1 + · · · + x.am.)vm 
(basta somar os coeficientes de v1, • . • , vm de cima a baixo). Por virtude do teorema, 
o sistema de equações 
admite uma solução não-trivial, pois n > m. Pela observação acima, uma tal solução 
(x1, . • ., x.) é tal que 
como queríamos. 
CAPÍTULO IV 
Aplicações Lineares 
Vamos primeiro definir o conceito geral de uma aplicação, que generaliza o 
conceito de uma função. Dentre as aplicações, as mais importantes são as aplicações 
lineares. Uma boa parte da matemática se preocupa com a redução de questões rela­
tivas a aplicações arbitrárias a questões que envolvem aplicações lineares. De qualquer 
forma, as aplicações são interessantes por si, e muitas aplicações são lineares. Por 
outro lado, em cálculo, costuma-se aproximar uma aplicação diferenciável arbitrária 
por meio de uma aplicação linear. 
§1. Aplicações. 
Sejam dois conjuntos Se S'. Uma aplicação de Sem S' é uma regra que a cada 
elemento de S associa um elemento de S'. Em vez de dizer que F é uma aplicação de 
S em S', freqüentemente escreveremos os símbolos F : S - S'. 
Uma função é um tipo especial de aplicação; a saber, é uma aplicação de um 
conjunto num dado corpo K. 
Estenderemos às aplicações parte da terminologia usada para funções. Por exem­
plo, se T: S - S' é uma aplicação, eu é um elemento de S, então indicamos por T(u), 
ou Tu, o elemento de S' associado a u por meio de T. Chamamos T(u) de valor de T 
em u, ou também de imagem deu por T. Os símbolos T(u) se lêem "Tde u". O conjunto 
de todos os elementos T(u), quando u percorre todo o conjunto S, recebe o nome de 
imagem ( ou conjunto-imagem) de T. Se W é um subconjunto de S, então o conjunto 
dos elementos T(w), onde w percorre todo o conjunto W, é denominado imagem de W 
por T, e é indicado por �T( W) . 
Exemplo 1. Sejam S e S' ambos iguais a R. Seja f: R - R a função f (x) = x2 
( i. e. a função cujo valor num número x é x2). Então! é uma aplicação de R em R. 
Exemplo 2. Sejam S o conjunto dos números � O, e S' = R. Seja g : S - S' a 
função tal que g(x) = x1'2• Então g é uma aplicação de Sem R. 
Exemplo 3. Seja S o conjunto das funções que possuem derivadas de tôdas as 
ordens no intervalo O < t < 1, e seja S' = S. Então a aplicação derivada D = d/dt 
é uma aplicação de S em S. Com efeito, nossa regra D associa a função df/dt = Df à 
função f Conforme nossa terminologia, Df é o valor da aplicação D em f 
Exemplo 4. Seja S o conjunto das funções contínuas no intervalo [O, 1] e seja S' 
o conjunto das funções diferenciáveis no mesmo intervalo. Definiremos uma aplicação 
52 Álgebra Linear 
J : S � S' dando seu valor numa função f qualquer de S. A saber, definimos 
Jf(ou J(f)) como sendo a função cujo valor em x é 
r f(t) dt. 
Então J(f) é uma função diferenciável. 
Exemplo 5. Seja S o conjunto R3, i. e. o conjunto das triplas. Seja A= (2, 3, -1). 
Se L : R 3 � R é a aplicação cujo valor num vetor X = (x, y, z) é A ·X, então L(-?C"l = 
=A :X. Se X= (1, 1,-1), então o valor de Lem X é 6. · 
Da mesma forma que para funções, descrevemos uma aplicação dando seus va­
lores. Assim sendo, no Exemplo 5, ao invés de descrever a aplicação L por meio de 
uma frase como fizemos, nós diríamos também: Seja L : R 3 � R a função L(X) = A ·X. 
Isto é de certo modo incorreto, mas é mais conciso, e em geral não causa confusão. 
Exemplo 6. Seja F : R 2 � R a aplicação dada por 
F(x, y) = (2x, 2y). 
Qual é a imagem por F dos pontos do círculo x2 + y2 = 1? 
Seja (x, y) um ponto do círculo de raio 1. 
Seja u = 2x e v = 2y. Então u e v verificam a relação 
(u/2)2 + (v/2)2 = 1, 
ou em outras palavras, 
u2 v2 
4+4=1. 
Donde, (u, v) é um ponto do círculo de raio 2. Logo, a imagem do círculo de raio 
por F é um subconjunto do círculo de raio 2. Reciprocamente, dado um ponto (u, v) 
tal que 
u2 + v2 = 4, 
sejam x = u/2 e y = v/2. Então o ponto (x, y) verifica a equação x2 + y2 =-.1, e é 
portanto um ponto do círculo de raio 1. Além disso, F(x, y) = (u, v). Donde todo ponto 
do círculo de raio 2 é imagem de algum ponto do círculo de raio 1. Diante disto, con­
cluimos que a imagem do círculo de raio 1, por Fé precisamente o círculo de raio 2. 
Observação. De maneira geral, sejam Se S' dois conjuntos. Para provar que S = S', 
freqüentemente de.monstramos que S é um subconjunto de S', e que S' é um subcon­
junto de S. É o que fizemos na demonstração acima. 
Exemplo 7. Sejam S um conjunto e Vum espaço vetorial sôbre o corpo K. Sejam 
F e G duas aplicações de S em V. Podemos definir sua soma F + G como sendo a 
aplicação cujo valor num elemento t de S é F(t) + G(t). Podemos também definir o 
produto de F por um elemento e de K como sendo a aplicação cujo valor num ele­
mento t de Sé cF(t). É fácil verificar que as condições EV 1 a EV 8 são satisfeitas. 
Aplicações Lineares 53 
Exemplo 8. Sejam um conjunto S, e F : S -+ K" uma aplicação. Para cada ele­
mento 1 de S, o valor de F em 1 é um vetor F(t). As coordenadas de F(t) dependem de 
t. Logo, existem funções /1 , • . • ,f,, de S em K tais que 
F(t) = Ui (t), ... ,'f,,(1)). 
Estas funções são denominadas as funções-coordenadas de F. Por exemplo, se K = R 
e se S é um intervalo de números reais, que indicamos por J, então uma aplicação 
F :J-+ R" 
é também chamada de uma curva (paramétrica) no n-espaço. 
Seja S novamente um conjunto arbitrário, e sejam F , G : S -+ K" duas aplicações 
de S em K". Sejam /1, . . • ,f. as funções-coordenadas de F, e g1 , ... , g. as funções­
coordenadas de G . Então G(t) = (g 1 (t), ... , g.(t)) para todo t E S. Além disso, 
(F + G)(t) = F(t) + G(t) = ( f1(t) + g1(t), ... ,f.(t) + g.(t)), 
e para qualquer e E K, 
(cF )(t) = cF(I) = (cf1(t),.,., cf,,(1)). 
Em particular, vemos que as funções-coordenadas de F + G são 
f, + gl ' ... ,f,, + g •. 
Sejam três conjuntos U, V, W. Sejam duas aplicações F : U -+ V e G : V-+ W. 
E tão podemos formar a aplicação composta de U em W, indicada por G o F . É a 
aplicação definida pela relação 
(G o F )(1) = G(F(1)), 
para todo 1 E U. 
Exe�plo 9. Se f : R -+ R é uma função e g : R -+ R é uma outra função, então 
g o f é a função composta, que leva R em R. 
Exemplo 10. Seja F : R -+ R 2 a aplicação definida por 
F(t). = (t, t2), 
e seja G: R2 -+ R a aplicação definida por G(x, y) = xy. Então G(F(I)) = tt2 = 13. 
Portanto, (G o F )(t) = 13. 
Exemplo 11. Seja X : R -+ R 3 a aplicação definida por 
X(t) = (1, e', 2 sen t). 
Seja F: R3 -+ R a aplicação (função) definida por 
F(x, y, z) = ;;2y + z. 
Então F(X(t)) = 12e' + 2 sen 1. Isto também pode ser escrito (F o X )(t). 
Exemplo 12. Seja U o espaço vetorial das funções (de uma variável t) que possuem 
derivadas de tôdas as ordens, e seja U = V= W. Seja F : U -+ U a aplicação que a 
54 Álgebra Linear 
cada função f associa o seu quadrado [i. e. F(f) = f2J, e seja D : V -> V a aplicação 
derivada. Então, qualquer que seja a função f diferenciável, vale:(D o F)(f) = 2ff', 
onde f ' representa a derivada de f 
Exemplo 13. Seja V = V� W o espaço vetorial das funções deriváveis até qual­
quer ordem. Seja D a aplicação derivada. Então 
(D o D)(f) = f" 
é a derivada segunda. E, (D o D o D)(f) = f"' = p3> é a derivada terceira. De forma 
geral, podemos escrever D"f = p•>. Assim sendo, D" representa D iterada n vêzes. 
A proposição seguinte é uma propriedade importante das aplicações. 
Sejam conjuntos V, V, W, S. Sejam aplicações 
F : V -> V, G : V -> W, H : W-> S. 
Então 
Ho(GoF) = (HoG)oF. 
Demonstração. A demonstração é muito simples. Por definição, vale, qualquer 
que seja o elemento u de U: 
(H o ( G o F))(u) = H(( G o F)(u)) = H( G(F(u))). 
Por outro lado, 
((H o G) o F)(u) = (H o G)(F(u)) = H( G(F(u))). 
Por definição, isto significa que 
(H o G)oF = H o(G oF). 
Concluimos êste parágrafo introduzindo uma notação. Sejam conjuntos S e S', 
e uma aplicação F: S -> S'. Para indicar a imagem por F de um elemento x E S, 
empregaremos uma seta especial, que é 
x 1-> F(x). 
Assim sendo, podemos dizer que F é a aplicação tal que x -> F(x). Por exemplo, em 
vez de dizer: "Seja F: R -> R tal que F(x) = x2", diríamos: "Seja F: R -> R a apli­
cação x 1-> x2". 
EXERCÍCIOS 
1. No Exemplo 3, dizer o que é Df quando fé a função 
(a) f(x) = sen x (b) f(x) =ex 
2. No Exemplo 4, dizer o que é J(f ) se fé a função 
(a) f(x) = ex 1 (b) f(x) = 
--2 1 + X 
(c) f(x) = log x 
(e) f(x) = cos x 
Aplicações Lineares 55 
3. No Exemplo 5, quanto vale L(X) se X é o vetor: 
(a) (1, 2, -3) (b) (-1, 5, O) (c) (2, l, l) 
4. Seja F: R ---> R2 a aplicação definida por F(t) = (e', t). O que vêm a ser F(l), 
F(O), F(-1)? 
5. Seja G : R ---> R 2 a aplicação dada por G(t) = (t, 2t). Seja F tal como definimos 
no Exercício 4. O que vêm a ser (F + G)(l), (F + G)(O), (F + G)(2)? 
6. Seja F dada no Exercício 4. O que vêm a ser (2F )(O), (nF )(l)? 
7. Seja A = (1, 1, -1, 3). Seja F: R4 ---> R a aplicação tal que, qualquer que seja 
o vetor X = (x1, x2, x3, x4), tenhamos F(X) = X· A + 2. Qual é o valor de F(X) 
para (a) X= (1, 1, O, -1) e (b) X = (2, 3, -1, 1)? 
(Nos Exercícios 8 a 12, basear-se no Exemplo 6. Em cada caso, para provar que 
a imagem é igual a um certo cqnjunto S, deve-se mostrar que o conjunto-imagem 
está contido em S, e também que todo elemento de S está no conjunto-imagem). 
8. Seja F: R2 ---> R2 a aplicação definida por F(x, y) = (2x, 3y). Descrever a 
imagem dos pontos pertencentes ao círculo x2 + y2 = 1. 
9. Seja F: R2 ---> R2 a aplicação definida por F(x, y) = (xy, y). Descrever a 
imagem por F da reta x = 2. 
10. Seja F a aplicação definida por F(x, y) = (ex cos y, ex sen y). Descrever a 
imagem por F da reta x = 1. De maneira mais geral, descrever a imagem por F de 
uma reta x =· e, onde e é uma constante. 
11. Seja F a aplicação definida por F(t, u) = (cos t, sen t, u). Descrever geome­
tricamente a imagem do plano-(t, u) por F . 
12. Seja F a aplicação definida por F(x, y) = (x/3, y/4). Qual é a imagem por 
F da elipse 
x2 Y2 - + - = 1? 
9 16 
§2. Aplicações lineares 
Sejam dois espaços vetoriais Ve V' sôbre o corpo K. Uma aplicação linear (certos 
autores dizem "transformação linear") 
F: V-> V' 
é uma aplicação que satisfaz as duas propriedades seguintes: 
AL 1. Quaisquer que sejam u e v em V, vale 
F(u + v) = F(u) + F(v). 
AL 2. Quaisquer que sejam e em K e v em V, vale 
F(cv) = cF(v). 
Se desejamos especificar o corpo K, dizemos que F é K-linear. Como costumamos 
trabalhar com um corpo fixo K, omi�imos o prefixo K, e dizemos simplesmente linear. 
56 Álgebra Linear 
Exemplo 1. Seja V um espaço vetorial n-dimensional sôbre K, e seja { v1, 
• •
. , v.} 
uma base de V. Definimos uma aplicação 
F: V--> K" 
associando a cada elemento v E V o vetor X de suas coordenadas relativo à base. Por­
tanto, se 
com xi E K, então 
Afirmamos que F é uma aplicação linear. Se 
W = Y1V1 + · · · + YnVn' 
tendo vetor das coordenadas Y = (Yi , .. , , y.), então 
v + w = (x1 + y1)v1 + · · · + (x. + y.)v. , 
donde F(v + w) = X + Y = F(v) + F(w). Se e E k, então 
e portanto F(cv) = cX = cF(v). Isto prova que F é linear. 
Exemplo 2. Seja V= R 3 o espaço vetorial (sôbre R) dos vetores do 3-espaço. 
Seja V' = R 2 o espaço vetorial dos vetores do 2-espaço. Podemos definir uma apli­
cação 
F :R.3 -->R2 
pela projeção, a saber: F(x, y, z) = (x, y). Deixamos a cargo do leitor verificar que 
as condições AL 1 e AL 2 são satisfeitas. 
De maneira mais geral, sejam inteiros r e n positivos, r < n. Então temos uma 
aplicação projeção 
F: K"--> K' 
definida pela regra 
F(x1, • • • , x.) = (x1, ... , x,). 
É trivial verificar que esta aplicação é linear. 
Exemplo 3. Seja A = (1, 2, -1). Sejam V= R 3 e V' = R. Podemos definir uma 
aplicação L = LA : R3 --> R pela regra X 1--+ X· A, 1. e. 
L(X) =X ·A 
para todo vetor X n_o 3-espaço. A linearidade-de L é decorrência de duas propriedades 
do produto escalar, a saber: para quaisquer vetores X e Yem R3, valem 
(X + Y) ·A = X· A + Y· A, 
(cX) ·A = c(X·A). 
•pllcações Lineares 57 
De maneira mais geral, sejam um corpo K e um vetor fixo A em K". A aplicação 
1111 que LA(X) = X· A para todo X E K", é linear (i. e. uma aplicação K-linear). 
Podemos até generalizar isto para matrizes. Seja A uma m x n matriz num corpo 
I<. A aplicação 
1111 que 
LA(X) = AX 
r111ra todo vetor-coluna X em K" é linear. Novamente, a linearidade decorre de pro­
priedades da multiplicação de matrizes. Se A = (a;j), então AX tem o aspecto seguinte: 
(ª11 
lim1 
f:lste tipo de multiplicação surgirá com freqüência no restante do livro. 
Exemplo 4. Seja V um espaço vetorial qualquer. A aplicação que a um elemento u 
4ualquer de V associa o próprio elemento u, é óbviamente uma aplicação linear, que 
nós chamamos de aplicação identidade. Ela é indicada por id ou simplesmente por J. 
Assim sendo, id(u) = u . 
Exemplo 5. Sejam V e V' dois espaços vetoriais quaisquer sôbre o corpo K. A 
aplicação que associa o elemento O de V' a qualquer elemento u de V é denominada 
11 aplicação zero, e é óbviamente linear. 
· Exemplo 6. O espaço das aplicações lineares. Sejam V e V' dois espaços vetoriais 
sôbre o corpo K. Consideramos o conjunto de tôdas as aplicações lineares de Vem V', 
e indicamos êste conjunto por 2(V,V'), ou simplesmente por 2 se a referência a Ve V' 
fôr explícita. Vamos definir a adição de aplicações lineares e sua multiplicação por 
números, de tal maneira que 2 passa a ser um espaço vetorial. 
Sejam duas transformações lineares T: V--> V' e F :· V--> V'. Definimos sua 
soma T + F como sendo a aplicação cujo valor num elemento u de V é T(u) + F(u). 
Assim sendo, podemos escrever 
(T + F)(u) 
= 
T(u) + F(u). 
A aplicação T + F é uma aplicação linear. Com efeito, é fácil verificar que as duas 
condições que definem uma aplicação linear são satisfeitas. Para elementos quaisquer 
u e v de V, temos 
(T + F)(u + v) = T(u + v) + F(u + v) 
= T(u) + T(v) + F(u) + F(v) 
= T(u) + F(u) + T(v) + F(v) 
= (T + F)(u) + (T + F)(v). 
58 
Além disso, se e E K, então 
(T + F)(cu) = T(cu) + F(cu) 
= 
cT(u) + cF(u) 
= c[T(u) + F(u)] 
= c[(T + F)(u)]. 
Portanto, T + F é uma aplicação linear. 
Álgebra Linear 
Se a E K, e se T: V--> V' é uma aplicação linear, definimos uma aplicação aT 
de V em V' dando seu valor num elemento u de V, a saber, (aT)(u) = aT(u). Então é 
fácil verificar que a T é uma aplicação linear. Deixamos isto a título de exercício. 
Acabamos de definir as operações de adição e multiplicação por números no 
nosso conjunto fi'. Além disso, se T: V--> V' é uma aplicação linear, i. e. um elemento 
de fi', então podemos definir -Tcomo sendo (-l)T, isto é, o produto do número -1 
por T. Por fim, temos a aplicação zero, que a cadaelemento de V associa o elemento 
O de V'. Então fi' é um espaço vetorial. Em outras palavras, o conjunto das aplicações 
lineares de V em V' é, por sua vez, um espaço vetorial. É fácil verificar que as regras 
EV 1 a EV 8 para um espaço vetorial são satisfeitas; fica a cargo do leitor fazer tal 
verificação. 
Exemplo 7. Seja V= V' o espaço vetorial das funções reais de uma variável real 
e que possuem derivadas de tôdas as ordens. Seja D a aplicação derivada. Então 
D : V--> V' é uma aplicação linear. Isto não passa de um resumo de propriedades 
conhecidas da derivada, a saber, 
D(f + g) = Df + Dg e D(cf) = cDf, 
para quaisquer funções deriváveis f e g, e constante e. Se fé um elemento de V, e I a. 
aplicação identidade, então 
(D + l)f = Df + f 
Portanto, se f fôr a função dada por f (x) = eX, então (D + I)f é a função cujo valor 
em X é ex + ex = 2ex. 
Se f (x) = sen x, então ((D + l)f)(x) = cos x + sen x. 
Seja uma aplicação linear T: V--> V'. Sejam u, v, w três elementos de V. Então 
T(u + v + w) = T(u) + T(v) + T(w). 
Isto pode ser verificado por etapas, a partir de definição de aplicações lineares. Pois, 
T(u + v + w) = T(u + v) + T(w) = T(u) + T(v) + T(w). 
De maneira semelhante, dada uma soma de mais de três elementos, verifica-se uma 
propriedade análoga. Por exemplo, sejam elementos u1 , • . • , un de V. Então 
T(u1 + · · · + un) = T(u1) + · · · + T(un)· 
A soma do membro direito pode ser efetuada numa ordem qualquer. Uma demons­
tração formal pode ser fàcilmente feita por indução, e nós a omitimos. 
Aplicações Linearés 
Se a1, • • • , ª• são números, então 
Demonstramos isto para o caso de três elementos. 
T(a1u + a2v + a3w) = T(a1u) + T(a2v) + T(a3w) 
= a1 T(u) + a2 T(v) + a3 T(w). 
59 
O teorema que segue nos dirá como fica determinada uma aplicação linear quando 
conhecemos seu valor nos elementos de uma base. 
Teorema 1. Sejam V e W dois espaços vetoriais sôbre o corpo K. Seja { v1, ... , v.} 
uma base de V, e sejam w1, . • . , w. elementos arbitrários de W. Então existe uma única 
aplicação linear T: V---> W tal que T(v1) = w1, • • • , T(v.) = w • . Se x1, ... , x. são 
escalares, então 
Demonstração. Vamos provar que existe uma aplicação linear T satisfazendo 
as condições impostas. Seja v um elemento de V, e sejam x1, . . • , x. os números deter­
minados de modo único de sorte que v = x1 v1 + · · · + x.v.: Façamos 
Então, está definida uma aplicação T de V em W, e afirmamos que T é linear. Se ú é 
um elemento de V, e se v' = y1 v1 + · · · + y.v., então 
v + v' = (x1 + y1)v1 + ··· + (x. + y.)v • . 
Por definição, obtemos 
T(v + v') = (x1 + y1)w1 + · · · + (x. + y.)w. 
= 
x1w1 + y1w1 + · · · + x.w. + y.w. 
= T(v) + T(v'). 
Seja c E K. Então cv = cx1v1 + .. · + cx.v., e conseqüentemente, 
T(cv) = cx1w1 + · · · + cx.w. = cT(v). 
Com isto, provamos que Té linear, e portanto que existe uma aplicação linear, como 
afirma o teorema. 
Uma tal aplicação é única, pois qualquer que seja o elemento x1v1 + · · · + x.v. 
de V, tôda aplicação linear F: V---> Wtal que F(vi) = wh = 1, .. . , n) necessàriamente 
satisfaz também 
F(x1v1 + · · · + x.v.) = x1F(vi) + · · · +x.F(v.) 
= X1W1 + · · · + X0W0• 
Isto conclui a demonstração. 
60 
EXERCÍCIOS 
1. Determinar ·quais das seguintes aplicações F são lineares: 
(a) F : R 3 ---> R 2 definida por F(x, y, z) = (x, z). v 
(b) F: R4---> R4 definida por F(X) =-X. 
(c) F : R 3 ---> R 3 definida por F(X) = X + (O, -1, O). 
(d) F : R 2 ---> R 2 definida por F(x, y) = (2x + y, y). 
(e) F :R2---> R2 definida por F(x,y) = (2x,y - x). 
(f) F: R2 --.'...+ R2 defü:iida por F(x, y) = (y, x). 
(g) F : R2 ---> R definida por F(x, y) = xy. 
Álgebra Linear 
2. Seja uma aplicação linear T: V---> W de um espaço vetorial num outro. Mos­
trar que T(O) = O. 
3. Seja Tcomo dada no Exercício 2. Sejam u e v dois elementos de V, e seja Tu = w. 
Se Tv = O, mostrar que T(u + v) também é igual a w. 
4. Determinar todos os elementos z de V tais que Tz = w. 
5. Seja uma aplicação linear T: V---> W. Seja um elemento v de V. Mostrar que 
T(-v) = -T(v). 
6. Sejam V um espaço vetorial sôbre R, e duas aplicações lineares f: V---> R e 
g: V---> R. Se F: V-> R2 fôr a aplicação dada por 
F(v) = (f(v), g(v)), 
mostrar que F é linear. Generalizar. 
7. Sejam dois espaços vetoriais V e W sôbre K, e seja uma aplicação linear 
F: V---> W. Seja U o subconjunto de V formado pelos elementos v tais que F(v) = O. 
Provar que U é um sub-espaço de V. 
�· Quais das aplicações dos Exercícios 4, 7, 8 e 9 do §1 são lineares? 
9. Seja F: R3 ---> R4 uma aplicação linear. Sejam P um ponto de R3, e A um 
elemento não-nulo de R3. Descrever a imagem da reta P + tA por F. [Distinguir os 
casos de F(A) = O e F(A) # O.] 
Seja Vum espaço vetorial sôbre R, e sejam v1 e v2 dois elemcmtos linearmente 
independentes de V. O conjunto dos elementos de V que podem ser escritos sob a 
forma_ t1v1 + t2v2 , com t1 e t2 verificando O� t1 � 1 e O� t2 � 1, tem o nome de 
paralelogramo gerado por v1 e v2 • 
10. Sejam V e W dois espaços vetoriais sôbre R, e seja uma aplicação linear 
F: V---> W. Sejam elementos v1 e v2 linearmente independentes de V, e suponhamos 
que F(v1) e F(v2) também são linearmente independentes. Mostrar que a imagem por 
F do paralelogramo gerado por v� e v2 é o paralelogramo gerado por F(vi) e F(v2). 
11. Seja F uma transformação linear de R2 em R2, tal que 
F(E1) = (1, l) e F(E2) = (-1, 2). 
Seja S o quadrado de vértices em (O, O), (1, O), (1, 1) e (O, 1). Mostrar que a imagem dêste 
quadrado, por F, é um paralelogramo. 
Aplicações Lineares 61 
12. Sejam A e B dois vetores não-nulos do plano, tais que não exista nenhuma 
constante e =f. O tal que B = �A. Seja uma aplicação linear T do plano nêle próprio 
tal que T(Ei) = A e T(E2) = B. Dar a imagem por T do retângulo de vértices em 
(O, 1 ), (3, O), (O, O) e (3, 1 ). 
13. Sejam A e B dois vetores não-nulos do plano tais que não exista nenhuma 
constante e =f. O verificando B = cA. Descrever geometricamente o conjunto dos 
pontos tA + uB para valores de t e u satisfazendo O ;;;; t ;;;; 5 e O ;;;; u ;;;; 2. 
14. Seja S um subconjunto de R". Dizemos que Sé convexo se, dados dois pontos 
P e Q em S, o segmento de reta ligando P a Q estiver contido em S. [Os pontos dêste 
segmento de reta são aquêles que podem ser escritos sob a forma tP + (1 - t)Q, 
O;;;; t ;;;; l.] Seja uma aplicação linear L: R" ---> Rm. Mostrar que a imagem por L 
de um conjunto convexo é convexa. 
15. Seja uma aplicação linear L: R" ---> R. Seja S o conjunto de todos os pontos 
A de R" tais que L(A) G O. Mostrar que Sé convexo. 
16. Seja uma transformação linear L: R" ---> R, e seja e um número. Mostrar 
que o conjunto S formado de todos os pontos A de R" tais que L(A) > e é convexo. 
17. Sejam S1 e S2 dois conjuntos convexos de R". Mostrar que o conjunto S 
dos pontos comuns a S1 e a S2 é convexo. 
18. Seja uma aplicação linear L: R" ---> Rm. Seja S um conjunto convexo con­
tido do Rm. Seja S' o conjunto dos elementos X E R" tais que L(X) pertença a S. Mostrar 
que S' é convexo. 
19. Sejam A um vetor não-nulo de R", e e um número. Mostrar que o conjunto 
dos pontos X tais que X· A G e é convexo. 
20. Sejam A, B, C três pontos distintos em R" tais que B - A e C -A sejam linear­
mente independentes. Mostrar que esta condição significa que A, B, C não pertencem 
à mesma reta. 
21. Sejam A, B, C três pontos em R" tais que B -A e C -A sejam linearmente 
independentes. O conjunto dos pontos da forma 
onde os t; são números, t; G O para i = 1, 2, 3 e 
recebe o nome de triângulo determinado por A, B, C. 
(a) Mostrar que um triângulo é convexo. 
(b) Mostrar que qualquer conjunto convexo contendo A, B, C contém também 
o triângulo determinado por A, B, C. 
(c) Seja uma aplicação linear F : R" ---> Rm tal que F(A), F(B),F(C) sejam dis­
tintos e não pertençam a uma mesma reta. Mostrar que a imagem por F do 
triângulo determinado por A, B, C é o triângulo determinado por F(A), F(B), 
F(C). 
22. Sejam dois espaços vetoriais V e W sôbre K, e uma transformação linear 
F : V---> W. Sejam w1 , • • • , w. elementos linearmente independentes de W, e sejam 
62 Álgebra Linear 
v1, ... , v. elementos de V tais que F(v;) = w; para i = 1, . . . , n. Mostrar que v1, .' .. , v. 
são linearmente independentes. 
23. Sejam um espaço vetorial V sôbre K, e uma aplicação linear F : V--+ K. 
Seja W o subconjunto de V formado de todos os elementos v tais que F(v) = O. Supo­
nhamos que W =f. V, e seja um elemento v0 de V que não pertença a W. Mostrar que 
todo elemento de V pode ser escrito como uma soma w + cv0 , para algum w em W 
e algum escalar e. 
24. No Exercício · 23, mostrar que W é um sub-espaço de V. Seja uma base 
{ v1 , • • • , v.} de W. Mostrar que { v0, v1 , • . • , v.} é uma base de V. 
§3. Núcleo e imagem de uma aplicação linear 
Sejam V e W espaços vetoriais sôbre K, e seja F : V--+ W uma aplicação linear. 
Afirmamos que as duas proposições seguintes são equivalentes: 
(1) Se v fôr um elemento de V tal que F(v) = O, então v = O. 
(2) Se v e w forem elementos de V tais que F(v) = F(w), então v = w. 
Para provar a nossa asserção, suponhamos inicialmente que seja verdadeira a 
primeira proposição, e suponhamos que v e w são tais que F(v) = F(w); então 
F(v)-F(w) = F(v-w) = O. 
Por hipótese, v - w = O; donde v = w. 
Reciprocamente, suponhamos que seja verdadeira a segunda proposição. Se v 
fôr tal que F(v) = F(O) = O, deduzimos que v = O. 
Seja uma aplicação linear F: V--+ W. O conjunto dos elementos v de V tais que 
F(v) = O é chamado o núcleo de F. O núcleo de Fé um subespaço de V: deixamos a 
demonstração a título de exercício. 
Teorema 2. Seja F: V-+ Wuma aplicação linear cujo núcleo é {O}. Se v1, • • • , v. 
forem elementos linearmente independentes de V, então F(v1), . • . , F(v.) são elementos 
linearmente independentes de W. 
Demonstração. Sejam números x1, . . • , x. tais que 
x1F(v1) + · · · + x.F(v.) = O. 
Por linearidade, temos 
Logo, x1 v1 + · · · + x.v. = O. Sendo v1 , . • . , v. linearmente independentes, segue que 
X; = O para i = 1, . . . , n. Isto prova o nosso teorema. 
Exemplo. Sejam A e B dois vetores linearmente independentes no n-espaço. Seja 
P um ponto no n-espaço. O conjunto de todos os pontos 
X= P + tA + uB, 
onde t e u percorrem todo o conjunto' dos números reais, é denominado o plano pas­
sando por P, e paralelo a A e B. 
Aplicações Lineares 63 
Seja urna aplicação linear T: R" -+ Rm, e suponhamos que o núcleo de T seja 
{O}. Então a imagem de um plano, por T, é novamente um plano. Com efeito, con­
sideremos um plano formado de todos os pontos P + tA + uB verificando as con­
dições acima. Então a imagem de um tal ponto é 
T(P) + tT(A) + uT(B), 
e sendo o núcleo de Tigual a {O}, T(A) e T(É) são linearmente independentes. Conse­
qüentemente, a imagem de nosso plano é um plano passando por T(P), paralelo a 
T(A) e T(B). 
A equação X = P + tA + uB é às vêzes chamada equação paramétrica de um 
plano. 
Seja F: V-+ Wuma aplicação linear. A imagem de Fé o conjunto dos elementos 
w de Wtais que exista um elemento v de V verificando F(v) = w. A imagem de Fé um 
sub-espaço de W. Para provar isto, observemos em primeiro lugar que F(O) = O, 
ou seja, O pertence à imagem. Em seguida, suponhamos que w1 e w2 pertencem à 
imagem; então existem elementos v1 e v2 de Vtais que F(v1) = w1 e F(v2) = w2. Logo, 
F(v1 + v2) = F(v1) + F(v2) = w1 + w2, provando com isto que w1 + w2 pertence 
à imagem. Se e é um escalar, então 
Logo, cw1 pertence à imagem. Isto prova que a imagem é um sub-espaço de W. 
EXERCÍCIOS 
1. Sejam dois vetores A e B de R 2 formando uma base de R 2• Seja uma aplicação 
linear F: R2 -+ R". Mostrar que 
- ou F(A) e F(B) são linearmente independentes, 
- ou a imagem de F dimensão 1, 
-ou a imagem de F é {O}. 
2. Achar uma equação paramétrica do plano no R4 passando pelos três pontos 
(1, 1, O, -1), (2, -1, 1, 3) e (4, -2, 1, -1). 
3. Seja F: V-+ Wuma aplicação linear cujo núcleo é igual a {O}. Suponhamos 
que V e W são ambos n-dimensionais. Mostrar que a imagem de F coincide com W. 
4.' Seja uma aplicação linear F : V -+ W e suponhamos que a imagem de F coin­
cide com W. Suponhamos ainda que Ve Wtêm a mesma dimensão n. Mostrar que o 
núcleo de F é {O}. 
5. Seja uma aplicação linear L: V-+ W. Seja w um elemento de W. Seja v0 um 
elemento de V tal que L(v0) = w. Mostrar que qualquer soluçãci da equação L(X) = w 
é da forma v0 + u, onde u é um elemento do núcleo de L. 
6. Seja V o espaço vetorial das funções possuindo derivadas de tôdas as ordens, 
e seja D a aplicação derivada, D : V -+ V. Qual é o núcleo de D? 
7. Seja D2 a aplicação derivada-segunda (i. e. D aplicada duas vêzes). Qual é o 
núcleo c\e D2? De maneira geral, qual é à..núcleo de D" (derivada n-ésima)? 
64 Álgebra Linear 
8.) Seja V como dado no Exercício 6. Expressamos as funções como sendo funções 
de uma variável t, e seja D = d/dt. Sejam números ai, ... , am. Seja g um elemento 
de V. Consideremos o problema da resolução da equação diferencial 
Dizer sob que aspectos êste problema pode ser interpretado como sendo um caso 
particular da situação abstrata descrita no Exercício 5. 
9. Sejam Ve D dados no Exercício 6. Seja L = D - 1, onde I representa a aplicação 
identidade de V. Qual é o núcleo de L? 
10. Mesma questão para L = D - ai, onde a é um número. 
§4. Dimensão do núcleo e da imagem. 
O teorema principal que relaciona o núcleo e a imagem de uma aplicação linear 
é o seguinte: 
Teorema 3. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita. Seja L: V---> W uma 
aplicação linear de V num outro espaço W. Sejam n a dimensão de V, q a dimensão do 
núcleo de L, e s a dimensão da imagem de L. Então n = q + s. 
Demonstr.ação. Se a imagem de L fôr formada unicamente por O, então a nossa 
asserção é trivial. Portanto, podemos supor que s >O. Seja {wi, ... , ws} uma base 
da imagem de L. Sejam elementos vi, ... , V5 de V tais que L(va = w;, parai= 1, ... , s. 
Se o núcleo de Lnão fôr {O}, seja {ui, ... , uq} uma base do núcleo. Se o núcleo fôr {O}, 
então sub-entende-se que omitimos tôda referência a {ui, ... , uq} no que segue. Afir­
mamos que {Vi, ... , V5 , Ui , ... , uq} é uma base de V. Isto será suficiente para provar 
nossa afirmação. Se v é um elemento qualquer de V, então existem escalares Xi, ... , X5 
tais que 
L(v) = XiWi + · · · + X5 W., 
pois {wi, ... , w,} é uma base da imagem de L. Por linearidade, 
L(v) = L(x1Vi + · · · + X5V,), 
e novamente por linearidade, subtraindo o membro direito do membro esquerdo, 
resulta que 
Logo, v - xi Vi - · · · - X5V5 pertence ao núcleo de L, e existem escalares y i , ... , Yq tais que 
Donde 
V= Xi Vi+ ... + XsVs + YiUi + ... + YqUq 
é uma combinação linear de Vi , ... , v,, ui , ... , uq. Isto prova que êstes s + q elementos 
de V geram V. 
Aplicações Lineares 65 
Mostremos agora que êles são linearmente independentes, e que portanto êles 
formam uma base. Suponhamos que exista uma relação linear 
X1V1 + ... + x.v. + Y1U1 + ... + YqUq =o. 
Aplicando L a esta relação, e sabendo que L(u) = O para j 
= 
1, ... , q, obtemos 
x1L(v1) + · · · + x.L(vsl � O. 
Mas L(v1), ••• , L(v.) não são senão w1, ..• , w., que já supomos lim:armcnte 111Jepcn­
dentes. Logo, X; = O para i = 1, ... , s. Logo, 
Y1U1 + · · · + yquq = O. 
Mas u1 , • . . , uq formam uma base do núcleo de L, e em particular são linearmente 
independentes. Portanto, todo Yi =O paraj = 1, ... , q. Isto encerra a demonstração 
daquilo que afirmamos. 
Corolário. Seja L: V-> W uma aplicação linear. Se dim V= dim W e se n nlÍcleo 
de L fôr {O}, então a imagem de L coincidecom W 
Demonstração. Em virtude do teorema, a imagem de L tem dimensão igual a 
dim V = dim W Sendo a imagem um sub-espaço de W, ela necessáriamente coincide 
com W. 
Vamos introduzir um pouco de terminologia que se�á muito útil no estudo das 
aplicações lineares, ou mesmo de aplicações quaisquer. 
Sejam conjuntos S e S', e uma aplicação F: S--> S'. Diremos que F é injetora 
se, sendo t e u elementos de S, t #- u implicar F(t) #- F(u). Diremos que F é sobrejetora 
se a imagem de F coincidir com S', ou em outras palavras, se dado um elemento w 
de S', existir um elemento v de S tal que F(v) = w. Nêste caso, diremos também que 
F é uma aplicação de S sôbre S' (ao invés de em S'). 
Seja uma aplicação linear F : V--> W. Tendo em mente a observação feita no 
início de §3 (precedendo a definição de núcleo de F), notamos que F é injetora se, e 
somente se, o núcleo de F é {O}. 
Por exemplo, seja F.: R --> R2 a aplicação definida por F(x) = (x, O). Verifica-se 
imediatamente que F é uma aplicação linear injetora de R em R2• Esta aplicação 
não é sobrejetora, pois sua imagem é formada por todos os vetores de R 2 cuja segunda 
coordenada é nula, e portanto sua imagem não coincide com R 2. De maneira mais 
geral, seja (rx, {3) um vetor não-nulo de R2, com rx, fJ E R. A aplicação G : R --> R 2 
tal que G(x) 
= 
(xrx, xf3) é uma aplicação linear injetora de R em R 2• 
Notamos que a projeção F: R2 -> R, dada por 
(X, y)--> X 
é sobrejetora, mas não é injetora. Com efeito, trata-se de uma aplicação cujo núcleo 
é o espaço de todos os vetores de R 2 cuja segunda coordenada é O. 
A aplicação F : R 3 --> R 2 definida por F(x, y, z) = (x, O) é linear, mas não é 
injetora nem sobrejetora. 
Podemos expressar o Corolário do Teorema 3 dizendo que se L: V--> W é uma 
aplicação linear, se dim V= dim W, e se Lfôr injetora, então L é sobrejetora. Outros 
exemplos de aplicações lineares injetoras ou sobrejetoras surgirão nos exercícios. 
66 Álgebra Linear 
Sejam V e W dois espaços vetoriais sôbre um corpo K, e seja F : V---+ W uma 
aplicação linear. Diremos que F é inversível se existir uma aplicação linear G : W---+ V 
tal que F o G = id e G o F = id. (Observemos que quando escrevemos F o G = id, 
esta id é a aplicação identidade de W, ao passo que quando escrevemos G o F = id, 
a aplicação id em questão é a identidade de V). Dizemos então que G é uma inversa 
de F e escrevemos G = p-1• ou F = c-1. Observamos que uma aplicação inversa, 
quando existe, é única. Com efeito, sejam G1, G2 : W--> V ambas inversas de F. 
Para provar que G1 = G2 , basta observar que 
G1 = ido G1 = (G2 o F)G1 = G2 o (F o Gi) = G2• 
Costuma-se indicar a inversa de F por p-1 .. 
Teorema 4. Seja F : V--> W uma aplicação linear. Se F fôr injetora e sobrejetora, 
então F é inversível. 
Demonstração. É preciso definir G: W---+ V, a inversa de F. Seja w E W. Sendo F 
sobrejetora, existe um elemento v E V tal que F(v) = w, e sendo F injetora, êste ele­
mento é único. Definimos G(w) como sendo o elemento único v E V tal que F(v) = w. 
Mostremos que G é linear. 
Sejam elementos w1 , w2 E We v1, v2 E V, tais que F(v1) = w1 e F(v2) = w2• Então 
F(v1 + v2) = w1 + w2 e, por definição, 
G(w1 + w2) = v1 + v2 
= G(w1) + G(w2). 
Além disso, se e é um número, então F(cv1) = cF(v1) = w1• Logo, 
e está demonstrado o teorema. 
Uma aplicação linear que é injetora e sobrejetora (portanto inversível) é chamada 
isomorfismo. Se V e W são espaços vetoriais sôbre um mesmo corpo K e se desejamos 
especificar K ao expressar o isomorfismo, então dizemos que a aplicação linear é um 
K-isomorfismo. Resumindo o Corolário do Teorema 3 e o do Teorema 4 num só, 
obtemos: 
Corolário. Seja F : V---+ W uma aplicação linear entre espaços vetoriais, e supo­
nhamos que dim V= dim W. Se o núcleo de F fôr {O}, então F é um isomorfismo. 
Exemplo 1. Sejam sub-espaços U e W de um espaço vetorial V, e suponhamos que 
V é a soma direta de U com W. A aplicação 
u X W-> V 
dada por 
(u, w) ---+ u + w 
é linear: a verificação é trivial; o núcleo desta aplicação é {O}. Portanto esta aplicação 
é um isomorfismo do produto U x W sôbre V. 
Aplicações Lineares 67 
Exemplo 2. Seja V um espaço vetorial n-dimensional sôbre K, e seja { v1 , • . . , vn} 
uma base. A cada elemento v E V associamos seu vetor das coordenadas em K", em 
relação a esta base. Desta forma, obtemos uma aplicação linear 
F: V----> K" 
e esta aplicação é um isomorfismo. Todavia, ressaltamos que êste isomorfismo de­
pende da escolha da base. 
Exemplo 3. Seja ay" + by' + cy = O uma equação diferencial linear, com coe­
ficientes constantes complexos a, b, c, e a =/. O. Então suas soluções constituem um 
espaço vetorial sôbre os números complexos. Se fé uma solução, associamos af o ele­
mento de C2 dado por (f(O),f'(O)). Desta forma, obtemos uma aplicação de Vem C2, 
a saber,f 1---> (f(O),f'(O)). Verifica-se fàcilmente que esta aplicação é linear. O teorema 
da unicidade, da teoria de equações diferenciais lineares, afirma que o núcleo da apli­
cação é {O}, e o teorema da existência garante que, dado um vetor complexo (oi, {3) E C2, 
existe uma solução f tal que f (O) = oi e f'(O) = {3, ou seja, que nossa aplicação é sobre­
jetora. Com isto, obtemos um isomorfismo entre Ve C2. 
Seja F : V----> V' um isomorfismo de espaços vetoriais. Interpretando grosso 
modo, podemos dizer que V e V' "são parecidos" quanto a tôdas as propriedades 
algébricas. Por exemplo, V é de dimensão finita se, e somente se, V' fôr de dimensão 
finita, e nêste caso, suas dimensões são iguais. Para provar isto, consideremos uma base 
{v'1, . • . , v�} de V', e sejam elementos v;(i = 1, . . . , n) de V tais que F(v; ) = v;. Tais 
elementos podem ser encontrados pois F é sobrejetora:. Sejam escalares X; tais que 
Aplicando F, obtemos: 
O= x1F(v1) + · · · + x.F(v.) = x1v'1 + · · · + x.v�. 
Como { v�, ... , v�} é uma base de V', resulta que X; =O para todo i, donde v1, • • • , v. 
são linearmente independentes. Seja G : V' ----> V a inversa de F. Temos G(v'i) = V;. 
Um elemento qualquer v E V pode ser escrito sob a forma G(v' ) para algum v' E V', 
e portanto existem escalares y1, ... , Yn verificando 
Isto mostra que v1, • • • , v. geram V, e que portanto formam uma base de V, como 
queríamos. 
Seja F : V----> V' no vamente um isomorfismo. Seja W um sub-espaço de V. Então 
F induz uma aplicação linear de Wna sua imagem, que denotamos por Fw. Assim sendo, 
Fw : W----> F(W) 
A aplicação Fw é óbviamente sobrejetora (por definição), e como o núcleo de F (em V) 
é formado unicamente por O, resulta que o núcleo de Fw (em W) é também formado 
linicamente por O. Portanto, Fw é um isomorfismo de W sôbre a sua imagem. 
68 Álgebra Linear 
EXERCÍCIOS 
1. Sejam V e W dois espaços vetoriais sôbre K, e suponhamos que dim V= dim W. 
Seja F: V-+ Wuma aplicação linear. Provar que se F fôr sobrejetora, então F é um 
isomorfismo. 
2. Seja V um espaço vetorial sôbre R. Seja v E V um elemento não-nulo de V. 
Mostrar que a aplicação 
X-+ XV, XER, 
é uma aplicação linear injetora de R em V, e que tôda aplicação linear injetora de R 
em V é dêste tipo. 
3. :Sejam V e W dois espaços vetoriais sôbre um corpo K, e suponhamos que 
dim V< dim W. Provar que uma aplicação linear F: V-+ W não pode ser sobre­
jetora. 
4. Seja F : V-+ W uma aplicação linear inversível. Mostrar que F é um isomor­
fismo. 
5. Sejam V e W dois espaços vetoriais sôbre um corpo K, e suponhamos que 
dim V< dim W. Provar que uma aplicação linear G : W-+ V não pode ser injetora. 
6. Seja f: R -+ R a aplicação x r-+ x2• A aplicação fé injetora? sobrejetora? 
7. Seja f: C -+ C a aplicação z 1-> z + 1. A aplicação fé injetora? sobrejetora? 
8. Sejas o conjunto dos números reais >O. Sejaf: S-+ S a aplicação x 1-> x2. 
A aplicação f é injetora? sobrejetora? 
9. Seja f: R -+ R a aplicação lineardada por f (x) = x3• Dizer se f é injetora 
e/ou sobrejetora. 
10. Seja Vuma soma direta de dois sub-espaços U e W. Apresentar uma demons­
tração detalhada da afirmação feita num exemplo do texto, a saber, que U x W é 
isomorfo a V. 
11. Seja V um espaço vetorial. Mostrar que a aplicação F : V-+ V x V dada 
por F(v) = (v, v) é uma aplicação linear injetora. 
12. Sejam dois sub-espaços U e W de um espaço vetorial V. Mostrar que a apli­
cação de U x W em V dada por 
(u, w) 1-> u - w 
é linear. Mostrar que a imagem desta aplicação linear é U + W. Mostrar que seu núcleo 
é isomorfo a U n W. 
13. Com as notações do exercício anterior, mostrar que se U e W forem de di­
mensões finitas, então 
dim U + dim W= dim(U n W) + dim(U + W). 
14. Seja V uma soma direta de dois sub-espaços U e W. Defina uma aplicação 
P 1 : V-+ V da maneira seguinte: Se v E Vfôr expresso de modo único como uma soma 
V ='u + w com u Eu e w E w, então P1(v) = u. Defina P2: V-+ V como sendo 
P2(v) = w. Mostrar que P1 e P2 são aplicações lineares, e que P1 + P2 = I é a apli­
cação identidade. Chamamos a P 1 e P 2 as projeções sôbre o primeiro e o segundo 
fator, respectivamente. 
Aplicações Lineares 69 
§5. Composição de aplicações lineares. 
No §1, já demos a definição da composição de aplicações arbitrárias. Quanto 
às aplicações lineares, vale o: 
Teorema 5. Sejam espaços vetoriais U, V, W sôbre um corpo K. Sejam aplicações 
lineares 
F:U---->V e G:V---->W. 
Então a aplicação composta G o F também é uma aplicação linear. 
Demonstração. A tese é fácil de provar. Sejam elementos u e v de U. Como F é 
linear, temos F(u + v) = F(u) + F(v). Logo, 
(G o F )(u + v) = G(F(u + v)) = G(F(u) + F(v)). 
Como G é linear, obtemos 
G(F(u) + F(v)) = G(F(u)) + G(F(v)). 
Logo, 
(GoF )(u + v) = (GoF )(u) + (GoF)(v). 
Em seguida, seja c um escalar. Então 
(G o F )(cu) = G(F(cu) 
= G(cF(u)) (pela linearidade de F) 
= 
cG(F(u)) (pela linearidade de G ). 
Disto concluimos que G o F é uma aplicação linear. 
O teorema que segue afirma que algumas das regras da aritmética a respeito do 
produto e da soma de números também valem para a composição e a soma de 
aplicações lineares. 
Teorema 6. Sejam espaços vetoriais U, V, W sôbre um corpo K. Seja 
F:U---->V 
uma aplicação linear, e sejam G e H duas aplicações lineares de V em W. Então 
(G + H) o F = G o F + H o F . 
Se e E K, então 
(cG)oF = c(GoF ). 
Se T: U ----> V é uma aplicação linear de U em V, então 
= 
G o (F + T) + G o F + G o T. 
Tôdas as demonstrações são simples. Provaremos apenas a primeira proposição 
e deixamos as demais a título de exercícios. 
Seja u um elemento de U. Temos: 
(( G + H) o F )(u) = ( G + H)(F(u)) = G(F(u)) + H(F(u)) 
= (G o F )(u) + (H o F )(u). 
70 
Por definição, segue-se que 
(G + H)oF = GoF + HoF. 
Pode ocorrer que U = V= W. Sejam 
F:U-+U e G:U-+U 
Álgebra Linear 
duas aplicações lineares. Podemos então formar F º G e G ° F. Nem sempre é verdade 
que estas duas aplicações compostas são iguais. Como exemplo, seja U = R3, seja 
F a aplicação linear dada por 
F(x, y, z) = (x, y, O), 
e seja G a aplicação linear dada por 
G(x, y, z) = (x, z, O). 
Nestas condições, (G o F) (x, y, z) = (x, O, O), mas (F o G) (x, y, z) = (x, z, O). 
Seja F : V-+ V uma aplicação linear de um espaço vetorial nêle próprio. Ás 
vêzes, Fé denominada operador. Podemos formar a composta F o,F, que é novamente 
uma aplicação linear de V nêle próprio. De maneira análoga, podemos formar a com­
posta 
FoF···oF 
de F com ela própria n vêzes, sendo n um inteiro qualquer � 1. Vamos indicar esta 
composta por F". Se n = O, definimos Fº = I (aplicação identidade). Vale a regra 
para inteiros r, s � O. 
pr+s = F' o F' 
A fim de simplificar a notação, freqüentemente omitiremos a pequena bola entre 
duas aplicações lineares, e escreveremos FG no lugar de F o G. 
EXERCÍCIOS 
1. Seja V um espaço vetorial. Seja P : V-+ V uma aplicação linear tal que 
P o P = P. Sejam U a imagem de P, e W o núcleo de P. Mostrar que Vé a soma direta 
de U com W. [Sugestão: Para mostrar que Vé esta soma, escrever um elemento de 
V sob a forma v = v-Pv + Pv]. 
2. Seja V um espaço vetorial, e sejam P 1 e P 2 duas aplicações lineares de V nêle 
próprio. Suponhamos que elas satisfaçam às condições seguintes: 
(a) P 1 + P 2 = I (aplicação identidade) 
(b) P1oP2=0 e P2oP1=0, 
(c) P1 oP1 = P1 e P2°P2 = P2• 
Mostrar que V coincide com a soma direta das imagens de P 1 e P 2 , respectivamente. 
3. Conservando as notações do Exercício 2, mostrar que a imagem de P 1 coin­
cide com o núcleo de P2• [Provar as duas proposições: 
Aplicações Lineares 71 
A imagem de P 1 está contida no núcleo de P 2 • 
O núcleo de P2 está contido na imagem de P1 .] 
4. Sejam dois isomorfismos F : V--> W e G : W--> U de espaços vetoriais sôbre 
K. Mostrar que G o F é inversível, e que 
5. Sejam F : V--> W e G : W--> U dois isomorfismos de espaços vetoriais sôbre 
K. Mostrar que G o F : V--> U é um isomorfismo. 
6. Sejam Ve Wdois espaços vetoriais n-dimensionais sôbre K. Mostrar que Ve W 
são isomorfos. 
7. Seja A uma aplicação linear de um espaço vetorial nêle próprio. Mostrar que se 
(onde I é a aplicação identidade), então existe A-1, e que esta última é igual a I -A. 
Generalizar (cf. Exercício 18 do Capítulo III, §3). 
8. Sejam A e B duas aplicações lineares de um espaço vetorial nêle próprio. Se 
o núcleo de A fôr {O} e se o núcleo de B também fôr {O}, mostrar que o núcleo de 
AB é {O}. 
9. De maneira mais geral, sejam duas aplicações lineares 
A : V--> W e B : W--> U. 
Suponhamos que o núcleo de A é {O} e que o núcleo de B é {O}. Mostrar que o núcleo 
de BA também é {O}. 
10. Conservando as notações do Exercício 9, suponhamos que A e B são sobre­
jetoras. Mostrar que BA é sobrejetora. 
11. Sejam A e B duas aplicações lineares de um espaço vetorial nêle próprio. 
Suponhamos que AB = BA. Mostrar que: 
(A + B)2 = A 2 + 2AB + B2 
e 
(A+ B)(A-B) = A2-B2• 
CAPÍTULO V 
Aplicações Lineares e Matrizes 
Após uma escolha de bases, é possível representar uma aplicação linear por meio 
de uma matriz; e reciprocamente, tôda matriz dá origem a uma aplicação linear. 
Veremos que há uma correspondência entre a adição e a multiplicação de aplicações 
lineares e as de matrizes. 
§ 1. A aplicação linear associada a uma matriz 
Sejam Vum espaço vetorial sôbre K, e uma base { v1 , • • • , v.} de V. Sejam W um 
espaço vetorial sôbre K, e uma base {w1, • . . , wm} de W. Consideremos uma m x n 
matriz A em K, 
(ª11 
A= 
llml 
Vamos definir uma aplicação linear 
LA: V-+ w 
que depende de A e da escolha de bases para Ve W. 
Sejam A1, . • • , Am os vetores-linha da matriz A. Assim sendo, 
Seja v um elemento de V e seja X o vetor das coordenadas de v com respeito à 
base dada. Será importante fazer a distinção entre os vetores linha e os vetores-coluna. 
Portanto, daqui em diante, consideraremos os vetores das coordenadas como sendo 
vetores-coluna. Assim .sendo, podemos escrever 
1X=(x1, • . • ,x.). 
Definimos a aplicação LA : V-+ W (depende da escolha de base) por meio da regra 
Em outras palavras, podemos dizer que ai-ésima coordenada de LA(v) é A;· X. Assim 
sendo, LA é uma aplicação linear de V em W. 
Aplicações Lineares e Matrizes 73 
Teorema l. A aplicação LA é linear. 
Demonstração. Sejam u e v dois elementos de V. Existem escalares únicos y1, ... , Yn 
e x 1 , • • • , x. tais que 
u = y1v1 + · · · + y.v. , v = x1v1 + · · · + x.v • . 
Então 
Nós temos: 
LA(u + v) = (A1 ·(X + Y))w1 + · · · + (Am ·(X + Y))wm. 
Em outras palavras, a i-ésima coordenada de LA(u + v) é A;· (X + Y). Sabemos que 
A; ·(X + Y) = A; · X + A; · Y. Logo, 
LA(u + v) = (A1 · X)w1 + · · · + (Am · X)wm + (A1 · Y)w1 + · · · + (Am · Y)wm, 
= LA(u) + LA(v).Seja c um escalar. Então 
LA(cu) = (A1 · cX)w1 + · · · + (Am · cX)wm 
= c(A1 • X)w1 + · · · + c(Am · X)wm 
= cLA(u). 
Com isto, está demonstrado nosso teorema. 
Exemplo 1. Se V= K" e W = Km, e se as bases forem formadas pelos vetores uni­
tários usuais, e se A fôr uma m x n matriz em K, então resulta que 
LA(X) = AX 
onde AX é a multiplicação de matrizes: 
(ª11 ·, 
. . 
aml 
Se LA(X) = Y, então 
Ym = am1X1 + · · · + amnXn · 
Isto significa que, com respeito à base usual de K", e interpretando X agora como sendo 
um vetor-coluna, temos: Y = AX, sendo a aplicação linear dada pela multiplicação 
de matrizes. 
Sejam A e B duas m x n matrizes. É natural perguntar em que condições elas 
dão origem à mesma aplicação linear, isto é, em que circunstâncias LA = L8• O teo­
rema que segue nos dá uma resposta. 
Teorema 2. Sejam A e B duas m x n matrizes. Sejam V e W dois espaços vetoriais 
como acima, e suponhamos que foram escolhidas duas bases, como acima. Se LA = L8, 
então A = R Em outras palavras, se duas matrizes representarem uma mesma aplicação 
linear, então elas são iguais. 
74 Algebra Linear 
Demonstração. Sejam {v1, .•• , v.} e {w1, ... , wm} as bases de V e W, respecti­
vamente. Suponhamos que LA = L 8 • Sejam A1, . • . , Am os vetores-linhas de A, e 
B1, • • • , Bm os vetores-linha de B. Qualquer que seja a n-upla X= (x1, • . . , x.), se 
v = x1v1 + · · · + x.v., então as expressões de LA(v) e L8(v), como combinações li­
neares de w1, ••• , wm, são iguais. Logo, suas coordenadas em relação à base {w1, . • • , w,,J 
são as mesmas. Logo, 
Ai·X = BÍ·X 
para todo i = 1, . .. , m. Logo, (Ai - Bi) · X = O para todo i e todo X. Logo, Ai - Bi = O, 
ou seja, Ai = Bi para todo i. Portanto, A = B. 
Será um bom exercício demonstrar o seguinte teorema. 
Teorema 3. Sejam V e W dois espaços vetoriais. Seja { v1 , .•• , v.} uma base de V, 
e seja {w1, • . • , wm} uma base de W. Sejam A e B duas m x n matrizes, e sejam LA e L8 
as aplicações lineares correspondentes, de V em W, com respeito a estas bases. Então, 
para qualquer elemento v de V e qualquer número c, valem: 
LA+a(v) = LA(v) + La(v), 
Lciv) = cLA(v). 
Podemos omitir v ao enunciar o Teor ema 3, e escrever simplesmente 
LA+B =LA+ LB, 
LcA=cLA. 
' Podemos dizer que a correspondência 
A 1--+ LA 
é uma aplicação linear do espaço das matrizes no espaço 2(V, W). 
§2. A matriz associada a uma aplicação linear 
Sejam V e W dois espaços vetoriais. Seja F : V--> W uma aplicação linear de 
Vem W. Vamos agora ver de que forma podemos associar uma matriz a F. Uma tal 
matriz dependerá da escolha de bases para V e W. , 
Seja {v1, • • • , v.} uma base de V, e seja {w1, ... , wm} uma base de W. Cada 
F(v1), • • • , F(v.) é um elemento de W, e portanto, cada um dêles pode ser expresso 
como uma combinação linear de w1, • . . , wm. Assim sendo, 
O arranjo 
Aplicações Lineares e Matrizes_ 75 
é uma matriz. A transposta desta matriz será denominada a matriz associada à apli­
cação F (relativa a nossa escolha de bases). 
A transposta da matriz acima é a matriz 
O motivo pelo qual escolhemos a transposta aparecerá logo. 
Exemplo 1. Supondo-se que dim V = 2 e dim W = 3. Seja F a aplicação linear 
dada por 
F(vi) = 3w1 - w2 + 17w3, 
F(v2) = w1 + w2 - w3• 
Então a matriz associada a F é a matriz 
que é a transposta de 
Voltemos ao caso geral. 
( 
3 
1
) -1 1 
17 -1 
17) 
-1 
Seja v = x1v1 + · · · + x.v. um elemento de V. Dado que F é linear, temos 
F(v) = x1F(vi) + · · · + x.F(v.). 
Substituindo F(v1), . • • , F(v.) pelas expressões acima dadas em têrmos de w1, ... , wm , 
resulta que 
F(v) = x1(a11w1 + · · · + am1 wm) + · · · + x.(a1.w1 + · · · + amn wm)-
Grupando os coeficientes de w1, • • • , wm, podemos reformular esta expressão da 
maneira seguinte: 
(a11X1 + ' ' ' + a1.�W1 + . . ' + (am1X1 + ''' + amnXn)Wm · 
Mas isto não é senão LA(v). Logo, F =LA! 
Em outras palavras, seja v um elemento de V, e seja X o vetor (vertical) de suas 
coordenadas com respeito a { v1, • • • , v.}. Seja A a matriz associada a F, relativa às 
bases escolhidas. Então o vetor das coordenadas de F(v), relativo à base { w1, • • • , wrn}, 
é AX. 
Conforme o Teorema 2 do parágrafo anterior, vemos que nossa matriz A é a matriz 
única tal que F =LA. É também possível provar a unicidade de uma tal matriz A 
por meio de uma ,demonstração direta, usando o fato que os valores de F são deter­
minados pelos seus valôres nos elementos da base. 
Vemos agora que a correspondência A 1-> LA é um isomorfismo entre o espaço 
das m x n matrizes e o espaço .'!'(V, W) das aplicações lineares. 
76 Álgebra Linear 
A razão pela qual empregamos a transposta na nossa definição da matriz asso­
ciada a uma aplicação linear, é que, em têrmos de vetores das coordenadas, a aplicação 
linear é representada pela simples multiplicação da matriz associada A pelo vetor­
coluna X. O resultado não teria sido o mesmo se não tivéssemos tomado a transposta. 
Por êste motivo, de agora em diante, sempre tomaremos o vetor das coordenadas de 
um elemento v E V como sendo um vetor-coluna. 
Exemplo 2. Seja a projeção F : K3 --+ K2, isto é, a aplicação dada por F(x1, x2, x3) = 
= (x1, x2). Então a matriz associada a F, em relação às bases usuais, é 
(1 o º)· 
o 1 o 
Exemplo 3. Seja F : K" ---> K" a aplicação identidade. Então a matriz associada 
a F, com respeito às bases usuais, é a matriz 
o o 
1 o 
o o 
com componentes iguais a 1 na diagonal e as demais componentes iguais a O. 
Seja f1Ã = { v1, ••• , v.} uma base do espaço vetorial V, e seja !1,l' = { w1, ••• , wm} 
uma base do espaço vetorial W. Indicaremos por 
M�.(F) 
a matriz associada a uma aplicação linear F de V em W, em relação às bases f1Ã e !1,l'. 
Se estas bases forem fixas do início ao fim de uma discussão, então escreveremos sim­
plesmente M(F). 
Cautela. Suponhamos que V= W, mas que estamos operando com duas bases 
diferentes f1Ã e P,l' de V. Então a matriz associada à aplicação identidade de V nêle pró­
prio, em relação a estas duas bases diferentes não será a matriz unidade! 
Exemplo 4. Rotações. Vamos examinar duas situações. Inicialmente, escolhemos 
dois diferentes sistemas de coordenadas, que diferem por uma rotação. A aplicação 
identidade terá então sua matriz associada diferente da matriz unidade. Em seguida, 
discutiremos a matriz associada a uma rotação, em relação a uma base fixa. 
Caso 1. Comecemos com o sistema habitual de coordenadas no plano. Sejam 
E1 = (1, O) e E2 = (0, 1) os vetores unitários. Consideremos agora um outro sistema 
.de coordenadas, obtido a partir do primeiro por meio de uma rotação de ângulo (J 
no sentido anti-horário. Então os vetores unitários são transformados em novos veto­
res unitários E� e E; (Fig. 1). 
Examinando o diagrama, vemos que 
E'1 = ( cos O)E1 + (sen O)E2, 
E; = (-sen O)E1 + (cos O)E2• 
Aplicações Lineares e Matrizes 77 
Figura 1 
Multiplicando a primeira equação por cos(} e a segunda por -sen e, e fazendo a soma, 
obtemos: 
E 1 = (cos 8)E'1 -(sen e)Eí. 
Procedendo de maneira análoga, obtemos: 
E2 = (sen e)E'1 + (cos e)Eí. 
Seja id: R2 -+ R2 a aplicação identidade. Sejam ff.J = {E1, E2} e ff.J' = {E'1, Eí} 
nossas duas bases. Então: 
id(E1) = E1 = (cos e)E'1 + (-sen (})Eí, 
id(E2) = E2 = (sen 8)E� + ( cos (})Eí. 
Por conseqüente, a matriz associada à aplicação identidade, em relação à bases 
11 e ff.J' é 
( cose sen º) 
�sen e coso 
Caso 2. Conservemos nosso sistema usual de coordenadas canônicas, de base 
!li= {E1, E2}. Seja F: R2 -+ R2 a aplicação que resulta da rotação de ângulo e 
do plano (no sentido anti-horário). Podemos escrever F = F0• Então 
. F(E1) = E'1 = (cos (})E1 + (sen (})E2 , F(E2) = Eí = (-sen e)E1 + (cos 8)E2• 
Em conseqüência, a matriz associada a F, em relação às bases fJ6 efJ6 é a transposta 
da matriz encontrada no Caso 1, a saber: 
!J8( ) 
- (cos e -sen e)· M!J8Fo - sen e cose 
Não há como escapar do fato que a matriz do Caso 1 é a transposta da matriz 
do Caso 2. Porisso convém sempre observar cuidadosamente as bases quando se quer 
determinar a matriz associada a uma aplicação linear. 
78 Álgebra Linear 
Exemplo 5. Sejam duas bases !II = { v1 , • . • , v.} e !II' = { w1 , • • • , w.} de um mesmo 
espaço vetorial V. Existe uma matriz A =(a;) tal que 
W1 = ª11V1 + ... + a1.v., 
w. = a.1v1 + · · · + a •• v • . 
Além disso vemos que, para cada i = 1, . . . , n, w; = id(w;); então se!lue que, por de­
finição 
M:' (id ) ='A. 
Por outro lado, existe uma única aplicação linear F : V---+ V tal que 
Novamente pela definição, temos: 
M:(F) ='A. 
O próximo teorema é análogo ao Teorema 3, §1, dêste capítulo. 
Teorema 4. Sejam V e W dois espaços vetoriais. Sejam !II uma base de V, e !II' uma 
base de W. Sejam f e g duas aplicações lineares de V em W. Então 
M(f + g) = M(f) + M(g). 
Se e é um número, então 
M(cf ) = cM(f ). 
(A matriz associada é determinada em relação às bases dadas !II e !II'). 
Deixamos a demonstração a título de exercício. 
EXERCÍCIOS 
(Todos os vetores no n-espaço devem ser interpretados como vetores-coluna. 
Para simplificar a tipografia, nós os escrevemos em linhas, omitindo o símbolo t da 
transposta). 
1. Trabalhamos com R", Rm, e com suas bases usuais. Determinar a matriz as-
sociada a cada uma das aplicações lineares seguintes. 
(a) F: R4 -> R2 dada por F(xi, x2, x3, x4) =(xi, x2)(a projeção F). 
(b) A projeção de R4 sôbre R3• 
(c) F: R2 -> R2 dada por F(x, y) = (3x, 3y). 
(d) F: R" -> R" dada por F(X) = 7X. 
(e) F : R" -> R" dada por F(X) = -X. 
(f) F: R4 -> R4 dada por F(x1, x2, x3, x4) = (xi, X2, O, O). 
2. Seja !II = {E1 , E2} a base usual do R2, e seja !II' a base obtida pela rotação 
de ângulo (} do sistema de coordenadas. Determinar a matriz associada à aplicação 
identidade, em relação a !II e !II', para cada um dos seguintes valôres de (} 
(a) n/2 
(e) -n/3 
(b) n/4 
(f) n/6 
(c) n (d) -n 
(g) 5n/4. 
Aplicações Lineares e Matrizes 79 
3. De maneira geral, seja (1 > O. Qual é a matriz associada à aplicação identidade, 
após uma rotação das bases de ângulo -8 (i. e. uma rotação de 8, no sentido horário)? 
4. Seja um ponto X = (1, 2) no plano. Seja F a rotação de ângulo n/4. Quais 
são as coordenadas de F(X) em relação à base usual {E1, E2}? 
5. Mesma questão quando X = (-1, 3), e F é a rotação de ângulo n/2. 
6. De maneira geral, seja F a rotação de ângulo e. Seja (x, y) um ponto do plano, 
no sistema usual de coordenadas. Sejam (x', y') as coordenadas dêste ponto no sistema 
obtido pela rotação. Expressar x' e y' em têrmos de x, y e 8. 
7. Sejam X= (x,y) e Fuma rotação de ângulo e. Mostrar que ll Xll = ll F(X)ll 
(i. e. que F preserva a norma). 
8. Em cada um dos casos seguintes, seja D = d/dt a aplicação derivada. Apre­
sentamos abaixo um conjunto fJI de funções linearmente independentes. Estas funções 
geram um espaço vetorial V, e D é uma aplicação linear de V nêle próprio. Determinar 
a matriz de D em relação às bases fJI e fJI. 
(a) {e', e2'} 
(d) {l, t, t2} 
(b) {l, t} (c) {e', te'} 
(e) { 1, t, e', e2', te2'} (f) { sen t, cos t} 
§3. Composição de aplicações lineares 
Sejam conjuntos U, V, W. Sejam aplicações F : U ---+ V, e G : V---+ W. Então 
podemos formar uma aplicação composta de U em W, que já examinamos anterior­
mente, a saber, G o F. 
Teorema 5. Sejam V, W, U três espaços vetoriais. Sejam f!I, fJI', f!I" as bases de V, 
W, U, respectivamente. Se F : V--> W e G : W---+ U são aplicações lineares, então 
(Observação. Em relação à nossa escolha de bases, o teorema nos diz que a com­
posição de aplicações lineares corresponde à multiplicação de matrizes). 
Demonstração. Veremos que o Teorema 5 é conseqüência do Capítulo III. Seja 
A a matriz associada a F, em relação às bases fJI e f!I', e seja B a matriz associada a G, 
em relação às bases fllJ' e f!I". Seja v um elemento de V, e seja X o vetor de suas coor­
denadas com respeito a f!I. Então o vetor das coordenadas de F(v) relativo a [JI' é AX. 
Por definição, o vetor das coordenadas de G(F(v)) relativo a f!I' é B(AX), que, pelo 
Capítulo III, é igual a (BA)X. Mas G(F(v)) = (G o F)(v). Logo, o vetor das coordenadas 
de (G o F)(v) com respeito à base f!I'' é (BA)X. Por definição, isto significa que BA é 
a matriz associada a G o F, e fica assim demonstrado o nosso teorema. 
Observação. Em muitos casos, lidamos com aplicações lineares de um espaço 
vetorial Vnêle próprio. Após uma escolha de uma base fl1J para V, se F: V---. Vé uma 
aplicação linear, então a matriz 
80 Álgebra Linear 
é geralmente chamada a matriz associada a F em relação a .�(ao invés de dizer "com 
respeito a r!J e r!J)". A partir da definição, vemos que 
M:(id) = I, 
onde I é a matriz unidade. Como conseqüência direta do Teorema 5, resulta o seguinte. 
Corolário. Sejam V um espaço l'etorial, e r!J, r!J' duas hases de V Então: 
M:.(id)M:'(id) = I = M:'(id)M:.(id). 
Em particular, M:.(id) é inversível. 
Demonstração. No Teorema 5, basta tomar V= W = U, e F = G = id, e está 
demonstrado o Corolário. 
A fórmula geral do Teorema 5 nos permitirá dizer com precisão que alteração 
sofre a matriz de uma aplicação linear quando alteramos as bases. 
Teorema 6. Seja F : V--+ V uma aplicação linear, e sejam r!J e r!J' duas bases de V 
Então existe uma matriz inversível N tal que 
Na verdade, podemos tomar: N = M:'(id). 
Demonstração. Aplicando o Teorema 5 duas vêzes, resulta que 
M:'.(F) = M:.(id)M:(F)M:'(id). 
O Corolário do Teorema 5 nos diz que N-1 = M:.(id), e com isto está demonstrado 
nosso teorema. 
Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sôbre K, e seja F : V--+ V uma 
aplicação linear. Dizemos que uma base r!J de V diagonaliza F se a matriz associada 
a F em relação a r!J fôr uma matriz diagonal. Se existir uma tal matriz diagonal para F, 
então dizemos que F é diagonalizável. Nem sempre é verdade que uma aplicação 
linear é diagonalizável. Posteriormente, veremos as condições suficientes para que 
ela o seja. Se A é uma n x n matriz em K, dizemos que A pode ser diagonalizada (em K) 
se pudermos diagonalizar a aplicação linear sôbre K" representada por A. Pelo Teo­
rema 6, deduzimos imediatamente o seguinte. 
Teorema 7. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sôbre K. Seja F : V--+ V 
uma aplicação linear, e seja M sua matriz associada em relação a uma base r!J. Então 
F (ou M) pode ser diagonalizada (em K) se, e somente se, existe uma matriz inversível 
N em K tal que N � 1 M N seja uma matriz diagonal. 
Devido à sua importância, a aplicação M 1--+ N-1MN recebe um nome especial. 
Dizemos que duas matrizes Me M' são semelhantes (num corpo K) se existir uma matriz 
inversível Nem K tal que M' = N-1MN. 
Apresentamos mais uma fórmula que descreve a mudança de coordenadas. 
Teorema 8. Sejam V e W dois espaços vetoriais sôbre K, e seja F : V--+ W uma 
aplicação linear. Sejam r!J uma base de V e r!J' uma base de W. Se v E V, indiquemos por 
M�(v) o vetor-coluna das coordenadas de v com respeito à base r!J. Então: 
M�.(F(v)) = M:.(F)M�(v). 
Aplicações Lineares e Matrizes 81 
Demonstração. Isto não passa de uma reformulação da definição da matriz as­
sociada a uma aplicação linear. 
Corolário. Seja V um espaço vetorial, e sejam duas bases f1' e !1'' de V. Se v é um 
elemento de V, então: 
O Corolário exprime de modo conciso como a mudança de base do espaço ve­
torial afeta as coordenadas de um vetor. 
Sabemos determinar as coordenadas de um vetor em relação a uma base dada 
por meio da resolução de um sistema de equações lineares, que efetuamos de modo 
ingênuo (ver Capítulo II, §3). Podemos determinar a matriz M:.(id) exatamente do 
mesmo modo.EXERCÍCIOS 
1. Para cada número real O, seja F8: R2---+ R2 a aplicação linear representada 
pela matriz 
(cos (} -sen ª)· 
sen (} cos (} 
Mostrar que se (}, (}' são números reais, então F9F8• = Fo+o-· (É necessário empregar 
a fórmula de adição de seno e coseno). Mostrar ainda que F; 1 = F _8. 
2. Sendo F8 definida como no Exercício 1, mostrar que para todo vetor X em R 2, 
vale llFo(Xlll = llXll· 
3. Determinar M:.(id) em cada um dos casos seguintes. O espaço vetorial em 
cada caso é R 3• 
(a) f1' = {(1, 1, O), (-1, 1, 1), (O, 1, 2)}, 
!1'' 
= {(2, 1, 1), (O, O, 1), (-1, 1, 1)}, 
(b) f1' = {(3,2,1),(0,-2,5),(1,1,2)}, 
!1'' = {(1, 1, O), (-1, 2, 4), (2, -1, 1)}. 
CAPÍTULO VI 
Determinantes 
A maior parte dos capítulos posteriores independem da teoria de determinantes. 
Em conseqüência, pode-se deixar de ler êste capítulo, sem prejudicar sensivelmente 
a compreensão dos capítulos subseqüentes. Todavia, os determinantes são um ins­
trumento eficiente de cálculo para diversos fins, sobretudo para decidir se vetores 
são linearmente independentes; conseqüentemente, será útil saber empregá-los, para 
tais cálculos. Desta forma, o leitor que não se interessa pela teoria, e sabe calcular 
determinantes, pode omitir êste capítulo, ou limita-se a ler os enunciados das pro­
priedades de determinantes. 
O presente desenvolvimento segue com certa fidelidade aquêle apresentado 
por Artin, alguns anos atrás. 
§ 1. Determinantes de ordem 2 
Antes de enunciar as propriedades gerais de um determinante arbitrário, vamos 
considerar primeiro um caso particular. 
Seja 
A= (: �) 
uma 2 x 2 matriz num corpo K. Definimos seu determinante como sendo ad - cb. 
Desta forma, um determinante é um elemento de K. 
O determinante pode ser interpretado como uma função da matriz A. Pode 
também ser interpretado como uma função de suas duas colunas: sejam elas A1 e A2, 
como de costume. Então escrevemos o determinante como sendo 
D(A), Det (A), ou D(A 1, A 2). 
As seguintes ·propriedades são fàcilmente verificadas por cálculo direto, que o 
leitor deve efetuar na íntegra. 
Como uma função dos vetores-coluna, o determinante é linear. Isto significa que: 
sendo b' e d' dois números, então 
Determinantes 
Ademais, se t é um número, então 
Det (; :�) = t Det (: �) 
Estas propriedades também são válidas em relação à primeira coluna. 
Se as duas colunas forem iguais, então o determinante é igual a O. 
Se A fôr a matriz unidade, 
então Det (A) = 1. 
O determinante também verifica as propriedades suplementares seguintes. 
83 
Se somarmos um múltiplo de uma coluna à outra, então o valor do determinante 
não se altera. 
Em outras palavras, seja t um número. O determinante da matriz 
(a+ th b) 
c + td d 
é o mesmo que D(A), e,de maneira análoga, a propriedade vale se somarmos um múl­
tiplo da primeira coluna à segunda. 
Se trocarmos as duas colunas, então o determinante muda de sinal. 
Em outros têrmos, temos 
O determinante de A é igual ao determinante de sua transposta, i. e. D(A) = D(' A). 
Explicitamente, temos 
Os vetores (:
) 
e (�) são linearmente dependentes se, e somente se, o determi­
nante ad - bc é igual a O. 
No parágrafo seguinte, consideraremos determinantes de n x n matrizes, e as 
propriedades correspondentes nos indicarão um método para o cálculo de determi­
nantes em geral. 
§2. Propriedades de determinantes 
Seja A uma n x n matriz. Seria possível definir seu determinante por meio de 
uma soma, da mesma forma que definimos o determinante de uma 2 x 2 matriz. 
No entanto, é um pouco complicado escrever uma tal soma, e verifica-se que para 
achar o valor de um determinante, não é necessário ter uma tal expressão. Basta ter 
uma série de propriedades que servem para calcular o determinante. 
Algumas destas propriedades já são contidas no seguinte teorema. 
.84 Álgebra Linear 
Teorema 1. A cada n x n matriz A sôbre o corpo K podemos associar um elemento 
de K, denominado seu determinante, e indicado por D(A), ou por D(A 1, ... , An) se A 1, . . • , An 
são as colunas de A, e que verifica as propriedades seguintes: 
(1) Como uma função de cada vetor-coluna, o determinante é linear, i. e. se a j-ésima 
coluna Ai fôr igual à soma de dois vetores-coluna, digamos Ai = C + C', então 
D(A1, ... ,C + C', ... ,A") = D(A1, ... ,C, ... ,A") + D(A1, . . . ,C', . . . ,A"). 
Ademais, se t E K, então 
D(A 1, .. ., tAi,. . ., A") = tD(A 1,. • ., Ai,. . ., A"). 
(2) Se duas colunas adjacentes são iguais, i. e. se Ai= Ai+ 1 para algum j = 1, ... , n-1, 
então o determinante D(A) é igual a O. 
(3) Se I é a matriz unidade, então D(l) = 1. 
Os determinantes são determinados de modo único pelas três propriedades acima. 
No §4, provaremos que os determinantes existem. Aqui vamos provar proprie-
dades mais elementares decorrentes de (1), (2) e (3). Vamos também empregar a no­
tação Det (A) em vez de D(A). Além disso, o determinante da matriz (a;) é também 
denotado com duas barras verticais ladeando a matriz: 
D(A) = 
(4) Seja algum inteiro j, 1 � j < n: Se a j-ésima coluna e a (j + 1)-ésima coluna 
forem trocadas, então o determinante muda de sinal. 
Demonstração. Dentro da matriz A, substituimos a j-ésima coluna e a (j + 1)­
-ésima coluna por Ai+ Ai+1. Obtemos uma matriz com duas colunas adjacentes 
iguais, e pela (2) temos: 
O= D( .. ., Ai+ Ai+1, Ai+ Ai+1,. .. ). 
Expandindo empregando (1) duas vêzes, resulta 
O = D( .. ., Ai, Ai, ... ) + D( .. ., Ai+ 1, Ai,. .. ) + 
+D( ... , Ai, Ai+1, ... ) +D( ... , Ai+ 1, Ai+ 1, ... ). 
Pela (2), vemos que dois dêstes quatro têrmos são nulos, e portanto temos 
O = D( ... ,Ai+1,Ai, ... ) + D( ... ,Ai,Ai+1, ... ). 
Nesta última soma, um têrmo é necessàriamente igual ao oposto do outro, como que­
ríamos demonstrar. 
(5) Se duas colunas Ai e Ai de A forem iguais, j =P i, então o determinante de A é 
igual a O. 
Demonstração. Suponhamos que duas colunas da matriz A são iguais. Podemos 
modificar a matriz por meio de trocas sucessivas de colunas adjacentes, até obtermos 
uma matriz com colunas adjacentes iguais. (Uma demonstração formal pode ser feita 
Determinantes 85 
por indução). Cada vez que efetuamos uma tal troca de adjacência, o determinante 
muda de sinal, sem afetar o fato do determinante ser O ou não. Daqui, conduimos 
pela (2) que D(A) = O se duas colunas são iguais. 
(6) Se somarmos um múltiplo escalar de uma coluna a uma outra, então o valor do 
determinante não se altera. 
Demonstração. Consideremos duas colunas distintas, por exemplo a k-ésima 
coluna Ak e a j-ésima coluna Ai, com k i' j. Seja t. um escalar. Somamos tAi a Ak. 
Pela (1), o determinante transforma-se em: 
D( .. ., Ak + tAi,. .. ) = D( .. ., A\ ... ) + D( ... , tAi, ... ) 
i i i 
k k k 
(o símbolo k indica a k-ésima coluna). 
Em ambos os têrmos à direita, a coluna indicada ocupa a k-ésima posição. Mas 
D( ... , Ak, ... ) é simplesmente D(A). Além disso, 
D( ... , tAi, ... ) = tD( ... , Ai, ... ). 
i i 
k k 
Visto que k i' j, o determinante à direita possue duas colunas iguais, porque Ai ocupa 
a k-ésima posição e também a j-ésima posição. Logo, êle é igual a O. Logo, 
D( .. ., Ak + tAi,. .. ) = D( .. ., A\ ... ), 
provando com isto nossa propriedade (6). 
EXERCÍCIO 
1. Sejam c E K e A uma n x n matriz. Mostrar que 
D(cA) = c"D(A). 
§3. Regra de Cramer 
As propriedades do parágrafo precedente já são suficientes para provar uma 
regra bem conhecida, empregada na resolução de equações lineares. 
Teorema 2. Sejam A 1, • • • , A" vetores-coluna em K", tais que 
D(A 1, . . ., A") i' O. 
Seja B um vetor-coluna de K". Se x1 , . . • , x. são elementos de K tais que 
x1A1 + · · · + x.A" = B, 
então para cada j = 1, ... , n temos 
D(A 1, ... , B, ... , A") 
xi = D(A 1, . . ., A") 
86 Álgebra Linear 
onde B ocupa aj-ésima coluna no lugar Ai. Em outras palavras 
ª11 b1 aln 
ª21 b2 ª2· 
ª•1 b� ª·· Xj = ª11 ª1j aln 
ª21 ª2j ª2· 
ª•1 anj ªnn 
(O numerador é calculado a partir de A, substituindo a j-ésima coluna Ai por B. 
O denominador é o determinante da matriz A). 
O Teorema 2 nos fornece um método explícito para calcular as coordenadas de 
B em relação a A 1, • • . , A". Na linguagem de equações lineares, o Teorema 2 nos permite 
resolver explicitamente, por meio de determinantes, o sistema de n equações lineares 
a n incógnitas: 
Seja B como formulado no enunciado do teorema, e consideremos o determi­
nante da matriz obtida substituindo a j-ésima coluna de A por B. Então 
D(A1, ... ,B, ... ,A") = D(A1, ... ,x1A� + · · · + x.A;, ... ,A"). 
Aplicamos a propriedade (1) e obtemos a soma: 
D(A1, ... ,x1A1, ... ,A") + ... + D(A1, • • • ,x1Ai, ... ,A") + 
+ ... + D(A1, ... , x.A", ... , A"), 
que, novamente pela propriedade (1), é igual a 
x1D(A1, ... ,A1, .. .,A") + ... + xp(A1, • . • ,A") + 
+ .. . + x.D(A1, ... ,A", ... ,A"). 
Em cada têrmo desta soma, exceto o j-ésimo têrmo, dois vetores-coluna são iguais. 
Logo, cada um dos têrmos, exceto o j-ésimo têrmo, é igual a O, pela propriedade (5). 
O j-ésimo têrmo é igual a 
xp(A1, ... , A") 
e é portanto igual ao determinante com o qual iniciamos os cálculos, a saberD(A1, • . . , 
B, ... , A"). Resolvendo para xi , nós obtemos precisamente a expressão dada no enun­
ciado do teorema. 
A regra do Teorema 2, que nos fornece um meio de resolver um sistema de equa­
ções lineares graças a determinantes, tem o nome de regra de Cramer. 
Determinantes 
Exemplo. Resolver o sistema de equações lineares: 
Temos: 
1 2 4 
o -1 1 
2 3 
X= 
3 2 4 
2 -1 
2 3 
3x + 2y + 4z = 1, 
2x - y + z =O, 
X+ 2y + 3z = 1. 
3 4 
2 o 
1 3 
y= 3 2 4 
2 -1 
2 3 
Z= 
87 
3 2 1 
2 -1 o 
1 2 1 
3 2 4 
2 -1 
2 3 
Ob�mmo• quo a ooluoa B � ( \i) é d�loooda da primoirn oolun" quando <0-
solvemos para x, para a segunda coluna, quando resolvemos para y, e para a terceira 
coluna, quando resolvemos para z. O denominador em tôdas as três expressões é 
sempre o mesmo, a sáber, é o determinante da matriz dos coeficientes das equações. 
No parágrafo que segue, apresentaremos um método para calcular os determi­
nantes. Então, veremos que x = -!, y = O, e z = t· 
Os determinantes também nos permitem decidir se vetores são linearmente 
independentes ou não. 
Teorema 3. Sejam vetores-coluna A 1, • • • , A" (de dimensão n). Se êles forem linear­
mente dependentes, então D(A1, • • • , A") =O. 
Se D(A 1, ... , A") # O, então A 1, • . . , A" são linearmente independentes. 
Demonstração. A segunda afirmação não passa de uma reformulação da primeira. 
Portanto, basta provar a primeira. Suponhamos que A 1, ... , A" sejam linearmente 
dependentes. Podemos encontrar números x1, ... , x. , não todos nulos, tais que 
x1A1 + · · · + x.A" =O. 
Suponhamos que xi# O. Então 
xiAi = -x1A1-···-x.A" = L xkA
k, 
k*i 
entendendo-se que o j-ésimo têrmo não aparece no lado direito. Dividindo por xi, 
vemos que Ai é uma combinação linear de A 1, . • • , A" (omitindo-se Ai). Em outras 
palavras, existem números y1 , • • • , Yn tais que 
Ai= Y1A1 + 
... + y.A" = LYkAk, 
k*i 
sendo omitido o j-ésimo têrmo na soma. Donde: , 
D(A1, ... ,A") = D(A1, • • • ,y1A1 + ··
· + y.A", ... ,A"), 
88 Álgebra Linear 
que expandimos empregando a propriedade (1). Obtemos: 
y1D(A1, • • • , A1, ... , A")+ . . . + y. D(A 1, ... , A", . . . , A"). 
Nesta expressão, novamente está omitido o j-ésimo têrmo. Em outras palavras, temos 
sempre duas colunas iguais, e portanto (pela propriedade (5)), cada um dos têrmos é 
igual a O. Fica assim demonstrado o Teorema 3. 
Corolário. Se A 1, . . • , A" são vetores-coluna de K" tais que D(A 1, • • • , A") t= O, 
e se B é um !letor-co/una de K". enllio existem elementos x1 , ... , x. E K tais que 
x1A1 + · · · + x.A. = B. 
Demonstração. Conforme o Teorema 3, A1, . • • , A" são linearmente independentes, 
e portanto formam uma base de K". Logo, qualquer vetor de K" pode ser expresso 
como uma combinaçãp linear de A1, • • • , A". 
EXERCÍCIOS 
Resolver os seguintes sistemas de equações lineares, após uma leitura do pará­
grafo que segue. 
(a) 3x + y -z = O 
x+y+z=O 
y - z = 1 
(b) 2x - y+ z = 1 
x+ ·3y-2z=0 
4x -3y + z = 2 
§4. Existência de determinantes 
Passamos à questão da existência. Será que os determinantes existem, de alguma 
forma? A resposta é afirmativa, e definimos determinantes por indução. 
Quando n = 1, estamos lidando com 1 x 1 matrizes, e tôdas as nossas proprie­
dades são óbvias se definirmos Det (a) = a, para qualquer escalar a. 
Por indução, suponhamos que foi possível definir determinantes para todos os 
inteiros < n, verificando nossas propriedades. Vamos mostrar como definir deter­
minantes para n x n matrizes, ainda satisfazendo nossas propriedades. Nossa defi­
nição envolverá, na verdade, uma outra propriedade de determinantes, que é essencial 
no cálculo de determinantes. Necessitamos de alguma notação para descrever esta 
propriedade. 
Sejam i e j dois inteiros entre 1 e n. Se riscarmos ai-ésima linha e aj-ésima coluna 
na n x n matriz, obtemos uma (n-1) x (n-1) matriz, que denotaremos por Aii. 
Ela tem o aspecto seguinte: 
e· 1 ª'.) i r an1 ann 
Determinantes 89 
Exemplo 1. Seja 
A ( i � �)· 
-3 2 5 
Então 
A22 = ( 2 º)· -3 5 
Apresentamos agora uma expressão do determinante de uma n x n matriz em 
têrmos de determinantes de (n - 1) x (n - 1) matrizes. 
Seja A uma n x n matriz, A = (a;). Seja i um inteiro, 1 � i � n. Definimos 
D(A) 
= 
(-l)i+ 1a;1 Det(A;1) + ... + (-1r · Det(A;.). 
Cada Aii é uma (n - 1) x (n - 1) matriz. 
Podemos descrever esta soma em palavras. Para cada elemento da i-ésima linha, 
contribuimos com um têrmo da soma. Êste têrmo é igual a + ou - o produto dêste 
elemento pelo determinante da matriz obtida a partir de A pela eliminação dai-ésima 
linha e da coluna do elemento. O sinal + ou - é determinado pela seguinte disposição 
axadrezada: 
+ 
(: 
+ 
+ 
Esta soma é chamada a expansão do determinante segundo a i-ésima linha. Vamos 
provar que esta função D verifica as propriedades (1), (2) e (3). 
Observemos que D(A) é a soma dos têrmos 
(-l)i+iaii Det(A;) 
onde j toma todos os valôres de 1 a n. 
(1) Consideremos D como uma função da k-ésima coluna, e seja um têrmo qualquer 
(-l)i+ iaii Det(A;). 
Se j # k, então a;i não depende da k-ésima coluna, e Det(A;) depende linearmente 
da k-ésima coluna. Sej 
= 
k, então aii depende linearmente da k-ésima coluna e Det(A;) 
não depende da k-ésima coluna. Portanto, qualquer que seja o caso, nosso têrmo 
depende linearmente da k-ésima coluna. Dado que D(A) é a soma de tais têrmos, D(A) 
depende linearmente da k-ésima coluna, o que acarreta a propriedade (1). 
(2) Suponhamos que duas colunas adjacentes de A sejam iguais, digamos 
Ak 
= 
Ak+1• Seja j um índice # k e # k + 1. Então a matriz Aii tem duas colunas 
adjacentes iguais, e portanto seu determinante é igual a O. Assim sendo, os têrmos 
correspondentes a cada j, para j # k e j # k + 1, contribuem com um O à soma D(A ). 
90 Álgebra Linear 
Os dois têrmos restantes, para j = k e j = k + 1, podem ser escritos sob a forma 
(-l)i+ka;k Det(A;k) + (-l);+k+ta;,k+i Det(A;,k+d· 
As duas matrizes A;k e A;,k+ 1 são iguais em virtude de nossa hipótese que a k-ésima 
coluna de A é igual à (k + 1)-ésima coluna. Do mesmo modo, a;k = a;,k+
t. Logo, 
êstes dois têrmos se cancelam pois êles aparecem com sinais contrários. Está provada 
a propriedade (2). 
(3) Seja A a matriz unidade. Então aii = O, a não ser que i = j, no qual caso a;; = 1. 
Cada Ai
i 
é a (n- 1) x (n - 1) matriz unidade. O único têrmo da soma que nãoé nulo é 
(-l);+;a;; Det_(Au), 
que é igual a 1. Isto prova a propriedade (3). 
Exemplo 2. A expansão segundo uma linha nos fornece um método explícito 
para calcular determinantes. Por exemplo, para calcular o determinante de 
1 2 
-1 3 1 
o -5 
empregamos a expansão segundo a terceira linha (porque nela aparece um zero), e 
resultam apenas dois têrmos não nulos: 
Podemos calcular os 2 x 2 determinantes, explicitamente, como no §1, e assim ob­
temos o valor -27 para o determinante de nossa 3 x 3 matriz. 
Veremos num parágrafo posterior que o determinante de uma matriz A é igual 
ao determinante de sua transposta. Quando provarmos êste resultado, obteremos: 
Teorema 4. Os determinantes verificam a regra de expansão segundo linhas e se­
gundo colunas. Para qualquer coluna Ai da matriz A = (aii), vale 
D(A) = (-l)1+ia1p(A1) + · · · + (-l)•+ia.iD(A.J 
Na prática, o cálculo de um determinante sempre é feito por meio de uma expansão 
segundo alguma linha ou coluna. 
Exemplo 3. Vamos desenvolver a expansão de um 3 x 3 determinante segundo 
a primeira coluna. 
Seja 
Então D(A) é igual à soma: 
Determinantes 91 
Tendo à nossa disposição todos os métodos enunciados podemos agora calcular 
determinantes de maneira muito eficiente. Ao fazê-lo, procuramos aplicar as operações 
descritas na propriedade (6), fazendo tantas entradas iguais a O quanto possível. Em 
particular, procuramos anular todos elementos menos um de uma coluna (ou linha), 
e então expandimos segundo aquela coluna (ou linha). A expansão conterá apenas 
um têrmo, e reduz nosso cálculo àquele de um determinante de ordem inferior. 
3 o 
Exemplo 4. Calcular 2 5 
-1 4 2 
Já temos um O na primeira linha. Subtraimos da terceira linha o dôbro da segunda 
linha. Então nosso determinante é igual a 
3 o 
1 2 5 
-3 o -8 
Expandimos segundo a segunda coluna. A expansão contém apenas um têrmo # O, 
com um sinal +, que é: 
O 2 x 2 determinante pode ser computado por meio da definição ad - bc, e achamos 
2(-24-(-3)) = -42. 
EXERCÍCIOS 
1. Calcular os determinantes seguintes. 
2 1 2 3 -1 5 2 4 3 
(a) o 3 -1 (b) -1 2 1 (e) -1 3 o 
4 1 1 -2 4 3 o 2 1 
1 2 -1 -1 5 3 
(d) o 1 1 (e) 4 o o 
o 2 7 2 7 8 
2. Calcular os determinantes seguintes. 
l 1 -2 4 -1 1 2 o 
(a) 
o 1 1 3 (b) o 3 
2 1 
2 -1 1 o o 4 1 2 
3 1 2 5 3 1 5 7 
3 1 1 4 -9 2 
(e) 2 5 5 (d) 4 -9 2 
8 7 7 3 1 o 
92 Álgebra Linear 
3. O leitor pode inventar algumas matrizes e calcular seus determinantes até 
que consiga calcular determinantes ràpidamente. 
4. (a) Desenvolver a expansão de um 3 x 3 determinante segundo a segunda 
linha, de modo semelhante aquêle do Exemplo 3. 
(b) Escrever a fórmula geral da expansão de um n x n determinante, segundo 
a i-ésima linha. 
5. (a) Sejam números x1, x2, x3. Mostrar que 
1 2 Xl XI 
1 2 = (x2 - XI)(xa - xi)(xa - x2). x2 x2 
1 2 X3 xa 
(b) Se X1 ' • • . ' Xn são números, mostrar então por indução que 
1 n-1 xi XI 
1 n-1 II (x; - x,) X2 x2 
i<j 
1 n-1 Xn Xn 
sendo que o símbolo à direita significa o produto de todos os têrmos xi-xi 
comi < j e i,j inteiros variando de 1 a n. Êste determinante é chamado o 
determinante V,. de Vandermonde. Para efetuar fàcilmente a indução, mul­
tiplicar cada coluna por x1 e subtrair o mesmo da coluna imediatamente 
a direita, partindo do lado esquerdo. O resultado será 
V,.= (x.-x1) -·· (x2-x1)V,.-1• 
6. Seja A uma n x n matriz triangular, por exemplo uma matriz tal que tôdas 
as componentes abaixo da diagonal sejam iguais a O. 
A 
Qual é o valor de D(A)? 
e . o = o o a22 o o 
7. Se a(t), b(t), c(t), d(t) são funções de t, podemos formar o determinante 1 a(t) b(t) I · c(t) d(t) 
da mesma forma que com números, Escrever por extenso o determinimte 1 sent cost l · 
-cos t sen t 
Determinantes 
8. Escrever por extenso o determinante 
t - 11 
2t + 5 
93 
9. Sejam f(t) e g(t) duas funções possuindo derivadas de tôdas as ordens. Seja 
cp(t) a função que resulta do determinante 
Mostrar que 
'f (t) g(t) 1 
cp(t) = f'(t) g'(t) 
' t _ ,f (t) g(t) 1 
<p 
( ) - f"(t) g"(t) 
(i. e. a derivada é obtida tomando a derivada da última linha). 
10. Generalizar o Exercício 9 para o caso de um 3 x 3 determinante, depois 
para o caso de um n x n determinante. [Sugestão: Expandir o determinante seguinte 
segundo a primeira linha.] 
f n 
!� 
11. Sejam ix1 , • . . , ix. números distintos e diferentes de O. Mostrar que as funções 
são linearmente independentes sôbre os números complexos. [Sugestão: Suponhamos 
que temos uma combinação linear 
com constantes e; , válida para todo t. Se nem todos os e; são O, podemos, sem perda 
de generalidade, supor que nenhum dêles é O. Derivemos a relação acima n - 1 vêzes. 
Obtemos um sistema de equações lineares. O determinante de seus coeficientes deve 
ser zero. (Por quê?). Deduzir uma contradição a partir disto.] 
12. Para êste exercício, nós supomos que o leitor está familiarizado com poli­
nômios. Se não o estiver, êle poderá resolvê-lo depois de ler o livro mais adiante. 
(a) Sejam polinômios P;p,j 
= 
1, ... , n). Suponhamos que todos os polinômios 
de uma mesma coluna da matriz 
(Pu 
Pni 
P1n) 
Pnn 
têm o mesmo grau, e sejam d1 , • • • , dn êstes graus. Seja c;i ( =I O) o coeficiente 
94 Álgebra Linear 
do têrmo de maior grau no polinômio P;i. Seja Q o determinante da matriz 
acima. Mostrar que Q pode ser expresso da forma 
Q(t) = ctd + têrmos de grau < d 
onde e = Det(c;)· Logo, se D(c;) =F O, vemos que Q =F O. (Se o leitor o desejar, 
êle pode fazer isto sómente para n = 2, e depois para n = 3, empregando a 
expansão segundo uma coluna. O caso geral pode ser deduzido por indução. 
Da mesma forma, êle pode supôr que n = 2 ou 3 no resto do exercício). 
(b) Seja D a derivada, D = d/dt. Sejam P um polinômio, e a um número, a =F O. 
Mostrar que 
D(P(t)eª') = (D + a)P(t)eª', 
e que por indução, 
(c) Sejam a1, . • . , a,, números distintos, i= O. Mostrar que as funções eª'', ... , eª"' 
são linearmente independentes sôbre os polinômios, i. e. se P 1 , • • • , P 11 são 
polinômios tais que 
para todo t, então P 1 , • . . , P 11 são os polinômios nulos. [Sugestão: Derivar 
a expressão acima n - 1 vêzes. Provar que se a =F O, então 
grau( D+ a)kP = grau P 
para qualquer polinômio P, e inteiro k �O. Obtém-se um sistema de equa­
ções lineares 
com k = O, ... , n - 1. Logo, o determinante Det (Pki) deve ser O. Aplicar a 
parte (a) para chegar a uma contradição. Deve-se reconhecer o determinante 
dos coeficientes dos têrmos de maior grau como sendo um tipo especial de 
determinante.] 
§5. Permutações 
(Observação. Ao leitor que fôr alérgico a argumentos combinatórios, aconselha­
mos assimilar apenas o enunciado das propriedades, e omitir as demonstrações.) 
Estudaremos sómente as permutações do conjunto de inteiros { 1, ... , n }, que 
indicamos por J 11 • Por definição, uma permutação dêste conjunto é uma aplicação 
u:{l, .. . ,n}--+{1, ... ,n} 
de J 11 nêle próprio tal que, se i,j E J 11 e i =F j, então u(i) =F O'(j). Seu é uma tal permutação, 
então o conjunto de inteiros 
{ u(l), ... , u(n)} 
Determinantes 95 
possui n elementos distintos, e portanto é novamente constituído dos inteiros 1, ... , n, 
numa disposição diferente. Desta forma, a cada inteiro j E 1" corresponde um inteiro 
único k tal que a(k) = j. Definimos a permutação inversa, denotada por a-1, como 
sendo a aplicação. 
a-1:1.-->1. 
tal que u-1(k) =o inteiro únicojel. tal que a(i) = k. Se a,r são permutações de 1., 
então podemos formar a sua aplicação composta 
· 
(J o'!, 
e esta aplicação, por sua vez, será uma permutação. Geralmente, omitimos a pequena 
bola, e escrevemos ar para representar a aplicação composta. Assim sendo, 
(ar)(i) = a(r(i)). 
Por definição,qualquer que seja a permutação a, vale 
onde id é a permutação identidade, isto é, a permutação tal que id(i) = i, para todo 
i = 1, ... , n. 
Se a 1 , ... , a, são permutações de 1., então a inversa da aplicação composta 
é a permutação 
a,-1 ... ai i 
A verificação é trivial: basta multiplicar diretamente as duas expressões. 
Uma transposição é uma permutação que troca dois números um pelo outro, e 
mantém os demais fixos. A inversa de uma transposição é óbviamente uma trans­
posição. 
Proposição 1. Tôda permutaçiio de 1" pode scr expressa como um produto de trans­
posições. 
Demonstração. Vamos demonstrar nossa afirmação por indução sôbre n. Para 
n = 1, não há nada a demonstrar. Consideremos n > 1 e suponhamos que a afirmação 
seja verdadeira para n - 1. Seja a uma permutação de 1 n, tal que a(n) = k. Seja r a 
transposição de ln tal que r(k) = n, r(n) = k. Então w é uma permutação tal que 
ra(n) = r(k) = n. 
Em outros têrmos, ra mantém n fixo. Com isto podemos considerar que ru é uma 
permutação de l._1, e por indução, existem transposições r1, ... ,rs de J._1, que 
conservam n fixo, tais que 
Podemos agora escrever 
TU= 7:1 . • • Ts. 
-1 U = r 7:1 • • . Ts, 
com isto provando nossa proposição. 
96 Álgebra Linear 
Proposição 2. A cada permutação u de 1" é possível atribuir um sinal 1 ou -1, indi­
cado por e(u), que verifica as seguintes condições: 
(a) Sei- é uma transposição, então e(i-) = -1. 
(b) Se u, r;' são permutações de 1., então 
e(r;u') = e(u)e(r;'). 
Demonstração. Sejam variáveis x1, ... , x., e seja u uma permutação de 1". Seja 
p+ o conjunto dos pares (i,j), com 1 � i < j � n tais que u(i) < u(j). Seja p- o con­
junto dos pares (i,j), com 1 � i < j � n tais que u(i) > u(j). Sejam o número de pares 
pertencentes a p-. Êste número m é chamado o número de inversões de _u. Seja P o 
conjunto de todos os pares (i,j), com 1 � i < j � n. Então P é a reunião de p+ com p-, 
e p+ e p- não têm elementos em comum. 
Consideremos a expressão 
f'l.tt = f1 [ Xa(j) - Xa(i)] . 
(i,j)eP 
O símbolo de produto significa que devemos formar o produto de todos os têrmos 
xa(J) - xa<i>. onde o par (i,j) percorre todo o conjunto P. Neste caso, podemos decompôr 
nosso produto em dois produtos, o primeiro formado por todos os pares (i,j) em p+, 
e o segundo formado com todos os pares (i,j) em p-. Desta forma, podemos expressar 
nosso produto do modo seguinte 
t'l.a = IT [ Xa(j) - Xa(i)] IT [ xtt(I) - Xa(k)]. 
(i,j)eP+ (k,l)eP-
Invertendo cada fator do segundo produto, obtemos 
(i,j)eP+ (k,l)eP-
Os pares (u(i), u(j)) com (i,j) e p+ são todos distintos, como também são todos dis­
tintos os pares (u(I), u(k)) com (k, l) e p-, pois u é uma permutação. 
Ademais, nenhum par (r;(I), u(k)) com (k, 1) e p- pode ser igual a algum par (r;(i), r;(i)) 
com (i,j) e p+, pois senão, l = i e k = j, o que contradiz o fato de que k < /. Logo, 
o conjunto de pares 
S = 
{(u(i), u(j)) 
(u(k), u(I)) 
com 
com 
(i,j)e p+} 
(k, l)e P-
possui tantos elementosquanto a reuniãoP = p+ u p-. Mas esta reunião P = p+ u p­
é o conjunto de todos os pares de inteiros (i,j) com 1 � i < j � n. Logo, S = P. 
Defi17imos e(u) como sendo (-lr, onde m é o número de inversões de u. Então nossos 
produtos que aparecem em t'l.(f podem ser reformulados: 
(i,j)eP (i,j)eP 
Determinantes 97 
Seja u' uma permutação. Substituindo x.l por u'(À.) para cada valor À. = 1, .... n, 
por um lado obtemos 
11 [ u'(u(j))- u'(u(i))] = e(u) 11 [u'(j)- u'(i)] 
i<j i<j 
= e(u)e(u') 11 (j-i), 
i<j 
e, por outro lado, o produto à esquerda é igual a 
e(u' u) 11 (j- i). 
i<j 
Concluimos disto que e(u'u) = e(u')e(u). 
Para determinar o sinal de uma transposição, nós consideramos o conjunto de 
pares p- associado a uma transposição u. Suponhamos que 1 ;:;;; a < f3;:;;; n e que 
u é uma transposição tal que u(a) = f3 e u(íJ) = a. Então p- é formado de todos os 
pares 
(a, l) com 
(k, /3) com 
a + 1 ;:;;; l ;:;;; /3, 
a+l;;;;k;;;;f3-l. 
Segue que p- contém um número ímpar de pares; portanto, o sinal da transposição 
é -1. Isto prova nossa proposição. 
- Corolário 1. Se expressarmos uma permutação u de J. como um produto de trans­
posições, 
onde cada Tv é uma transposição, então s é par se e(u) = 1, e sé ímpar se e(u) 
= 
-1. 
Demonstração. Nossa afirmação é evidente se lembrarmos que 
e(u) = (-1)5, 
Corolário 2. Se u é uma permutação, então 
Demonstração. Vemos que 
1 = e(id) = e(uu-1) = e(u)e(u-1). 
Portanto, ou e(u) e e(u-1) são ambos iguais a 1, ou ambos iguais a -1, como queríamos 
demonstrar. 
Quanto à terminologia, uma permutação é par se seu sinal fôr 1, e é ímpar se 
seu sinal fôr -1. Assim sendo, tôda transposição é ímpar. 
EXERCÍCIOS 
1. Uma permutação u dos inteiros { 1, . .. , n} é às vêzes indicada por [ 1 
) 
· 
· 
· 
n )]· 
. u(l ... u(n 
Assim, G 2 �] indica a permutação u tal que u(l) = 2, u(2) = 1, u(3) = 3. Na 
98 Álgebra Linear 
realidade, esta permutação é uma transposição. Determinar o sinal das permutações 
seguintes, e expressar cada uma como um produto de transposições. 
(a) [� 2 n (b) [� 2 �] (c) G 2 �] 3 l 2 
(d) G 2 3 :J (e) G 2 3 :J (f) G 2 3 ;] 3 1 4 2 4 
2. Em cada um dos casos do Exercício 1, determinar a inversa da permutação. 
3. Mostrar que o número de permutações ímpares de { 1, ... , n} para n � 2 é 
igual ao número de permutações pares. 
§6. Unicidade 
Antes de abordar a parte principal da discussão, vamos fazer algumas observações 
a respeito de aplicações lineares repetidas, relembrando a propriedade (1). Primeira­
mente, consideremos o caso de n = 2. Se precisarmos desenvolver 
D(3A + 5B, 2A - B), 
onde A e B são vetores de um 2-espaço, então, empregando a propriedade (1), obtemos 
uma soma de quatro têrmos, que é: 
D(3A, 2A - B) + D(5B, 2A - B) = D(3A, 2A) + D(3A, -B) + D(5B, 2A) + D(5B, -B) = 
= 
6D(A, A)- 3D(A, B) + lOD(B, A) - 5D(B, B). 
Notemos que empregamos o fato que,para e= -1 na propriedade (1), 
D(A,-B) = -D(A, B). 
Na expressão acima, observamos que D(A, A) = O e D(B, B) = O. Com isto, res­
tam-nos dois têrmos que contribuem com valôres não forçosamente nulos. 
Vejamos um outro exemplo. Expandimos D(2A + B- C, 3E + F), onde A, B, C, 
E, F são vetores. Empregando (1) repetidas vêzes, obtemos seis têrmos, que são: 
6D(A, E) + 2D(A, F) + 3D(B, E) + D(B, F)- 3D(C, E)- D(C, F). 
De maneira mais geral, suponhamos que estamos diante de um determinante 
D(x1A 1 + · · · + x.A", y1B1 + · · · + YmBm) 
onde x1 , • • • , x. , y1 , • • • , y. são números e A 1, • • • , A", B1, ... Bm são vetores (num 
2-espaço). Empregando (1) repetidamente, êste determinante é igual a 
D(x1A1,y1B1 + · ·· + YmBm) + ·· · + D(x.A",y1B1 + · · · + YmBm). 
Cada expressão pode ser expandida ainda, e nosso determinante é igual a uma soma 
dupla, 
D(x1A1,y1B1) + ··· + D(x1A1,ymBm) + ··· + D(x.A",y1B1) + ··· + D(x.A",ymBm). 
Déterminantes 99 
O princípio envolvido na expansão de um tal determinante é o seguinte: Escolhemos 
um têrmo da primeira soma, um têrmo da segunda soma, e formamos a soma de todos 
os têrmos assim obtidos. Desta forma, nossa soma dupla pode ser escrita como 
t f: Xj)ljD(Ai, Bi). 
i= 1 j= 1 
Podemos aplicar o mesmo princípio quando trabalhamos com expansões mais gerais. 
Podemos encontrar uma expressão explícita de um determinante que satisfaz 
as condições (1), (2) e (3), em têrmos das componentes da matriz. Como as propriedades 
(4), (5) e (6) são conseqüências de (1), (2) e (3), podemos aplicá-las livremente. 
Seja A uma n x n matriz, com vetores-coluna A 1, • • • , An. Então podemos es­
crever 
An = ª1nE1 + 
... + annEn, 
onde E1, • • • , En são os vetores-coluna unitários. Então 
D(A 1, ... ' An) = D(a11El + ... + an1En, ... 'a1nEl + ... + annEn). 
Aplicando a propriedade (1), podemos expressarêste determinante como uma soma 
de têrmos 
onde { a(l), ... , a(n)} indica uma escolha de um inteiro entre 1 e n para cada i = 1, ... , n. 
Assim sendo, a é uma aplicação do conjunto { 1, ... , n} de inteiros nêle próprio. Pela 
proprfodade (1), cada um dos têrmos acima também pode ser escrito 
Se alguma a associar o mesmo inteiro a dois valores distintos i e j entre 1 e n, então 
o determinante à direita tem duas colunas iguais e é portanto igual a O. Por conse­
qüente, podemos formar nossa soma sómente para aquelas a que são tais que a(i) =f. a(j) 
quando i =f. j, isto é, para as a que são permutações. Ao invés de dizer que formamos 
a soma para tôdas as permutações a, podemos abreviar a notação com o símbolo 
habitual L. Desta forma, podemos escrever: 
D(A 1, ... 'An) = L ªu(l),l . • • au(n),nD(E"ºl, ... 'E"
(nl). 
Os vetores unitários E"(l), ... , E"<nl aparecem num arranjo que é uma permutação 
do arranjo usual E1, . • • , En. Se trocarmos sucessivamente duas colunas adjacentes, 
podemos restabelecer a ordem usual dêstes vetores unitários, após um certo número 
de permutações adjacentes. Cada vez que permutamos duas colunas adjacentes, o 
determinante muda de sinal. Se m(a) fôr o número de transposições de vetores-coluna 
100 Álgebra Linear 
adjacentes que precisamos efetuar a fim de restabelecer a ordem usual dos vetores 
unitários, então 
D(E"(l>, ... ,E"(•l) = (-'--l)m(<1)D(E1, ... ,E") = (-l)m(al_ 
O sinal (-'-lr<"l é o sinal de permutação. Então, finalmente, podemos escrever 
D(A 1, ... , A") = L e(a)a,,(1),1 . · . ª"<•J,n , " 
sendo a somatória efetuada sôbre tôdas as permutações dos inteiros { 1, ... , n}. Esta 
expressão mostra que o valor do determinante é determinado de modo único pelas 
propriedades (1), (2), (3). Em outras palavras, acabamos de provar o seguinte: 
Teorema 5. Os determinantes são determinados de modo único pelas propriedades 
(1), (2) e (3). O determinante verifica a expressão 
D(A 1, ... , A") = L e(a)a,,(1).1 ... ª"<•>·•, " 
sendo a somatória efetuada sôbre tôdas as permutações dos inteiros {1, ... , n}. 
A soma do Teorema 5 não tem nenhuma utilidade para efeitos de cálculo; mas ela 
é útil em algumas considerações teóricas, principalmente no parágrafo que segue, 
onde provaremos que o determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua 
transposta. 
Observação. Quando n = 2, a soma do Teorema 5 não é senão a fórmula ad - bc 
do §1. 
EXERCÍCIOS 
1. Sejam vetores-coluna A 1, ... , A" de dimensão n e suponhamos que êles são 
linearmente independentes. Mostrar que D(A 1, • • • , A") =f:. O. [Sugestão: Expressar 
cada um dos vetores unitários usuais E1, • . • , E", considerados como vetores-coluna, 
em têrmos de combinações lineares de A 1, . • • , A". Provar a tese empregando o fato 
que D(E1, ... , E") = 1 e as propriedades (1) e (2).] 
2. Sejam vetores-coluna A 1, • • • , A" de dimensão n, com componentes reais. 
Se êles forem linearmente independéntes sôbre R, mostrar êles que são linearmente 
independentes sôbre C. Provar também a recíproca. De maneira mais geral, se as 
componentes de A 1, • • • , A" são elementos de um corpo K, mostrar que A 1, • • • , A" 
são linearmente independentes sôbre K se, e sómente se, êles são linearmente inde­
pendentes sôbre C. 
§7. Determinante de uma transposta 
Teorema: 6. Seja A uma matriz quadrada. Então D(A) = D('A). 
--.-1).e!!!!?!!stração. No Teorema 5, vimos que 
. j 
--
--..... ....__ 
�f) , ; '_ · I { ::• ,:-;---, .... ! Det (A)= L e(a)a,,(l),l ... a,,(n),n . 
• .,__ �1._ ; �. ,_:·. . ri�.-:�.•-·· . ..:f a 
Determinantes 101 
Seja <J uma permutação de {1, . . . , n}. Se u(i) = k, então u-1(k) = j. Assim sendo, 
podemos escrever 
Num produto 
a.,( 1), 1 · • • aa(n),n 
cada inteiro k de 1 a n aparece exatamente uma vez no meio dos inteiros u(l), ... , u(n). 
Logo, êste produto pode ser escrito como 
e nossa soma (*) é igual a 
pois e(u) = e(u-1). Nesta soma, cada têrmo corresponde a uma permutação <J. Todavia, 
quando u percorre o conjunto de tôdas as permutações, o mesmo ocorre para u-1, 
pois uma permutação determina a sua inversa de modo único. Logo, nossa soma é 
igual a 
(**) I e(u)a!,u(l) .. . ª··"<•>. 
A soma (**) é justamente a soma que expressa a forma expandida do determinante 
da transposta de A. Com isto, provamos o que queríamos. 
§8. Determinante de um produto 
Vamos provar a seguinte regra importante: 
Teorema 7. Sejam A e B duas n x n matrizes. Então 
Det (AB) = Det (A) Det(B). 
O determinante de um produto é igual ao produto dos determinantes. 
Demonstração. Sejam A = (a,) e B = (bid: 
Seja AB = C, e seja Ck a k-ésima coluna de C. Então, por definição 
Ck 
= b1kA 1 + · · · + b.kA". 
Dêsse modo 
D(AB) = D(C 1 , ... , C") 
= D(b11A1 + ... + b.1A", ... ,b1.A1 + ... + b •• A"). 
102 Álgebra Linear 
Se expandimos esta expressão aplicando a propriedade (1), obtemos uma soma 
L D(b.,(l),!A"(ll, ... , b.,(n),nA"<•l) 
" 
- °" b b D(A"u> A"<•>) - L.., CJ(l),l · · · CJ(n),n ' · · · ' 
" 
= L e(u)b.,(1),1 ... b.,(n),nD(A 1, . .. , A"). 
Conforme nossa fórmula para determinantes, isto não é senão D(B)D(A), como que­
ríamos demonstrar. 
Corolário. Seja A uma n x n matriz inversível. Então 
Det (A-1) = Det (A)-1. 
Demonstração. Temos 1 = D(/) = D(AA -i) = D(A)D(A - i ). Isto demonstra o que 
queríamos. 
Corolário 2. Sejam X1, • . • 'x· vetoresccoluna de K", e seja A uma n X n matriz 
em K". Então 
Det(AX1, • • • , AX") = Det(A) Det(X1, . • . , X"). 
Demonstração. Isto não passa de uma repetição do teorema, onde 
B,,; X= (X1, ... ,X") 
é a matriz cujos vetores-coluna são X1, ... , X". 
No Corolário 2, podemos interpretar A como sendo uma aplicação linear de 
K" em K", e o corolário nos informa sôbre o que acontece se tomarmos o determi­
nante após aplicar a transformação linear A aos vetores. 
Há uma outra maneira de demonstrar o Teorema 7, a qual pode ser um pouco 
mais clara. Sejam vetores v1 , • • • , v. em K", e A = (a;1) uma matriz de elementos de K. 
Então podemos formar o produto 
A(?)= 
(ª11 
Vn anl 
da mesma maneira que multiplicamos matrizes, isto é 
É novamente fácil verificar a associatividade: Se B é uma outra n x n matriz em K, 
então 
Déterminantes 
Por meio da expansão habitual, obtemos a relação 
(1) D(w1 , 
• • • 
, w.) = D(a11 v1 + · · · + a1.v. , ... , a.1v1 + · · · + a •• v.) 
= Det(A)D(v1 , • . . , v.). 
Introduzindo a associatividade e a relação (1), concluimos que 
D(AB)D(v1, • • • , v.) = D(A)D(B)D(v1 , • • • , v.). 
103 
Agora, tomemos v1 , • • • , v. como sendo os vetores unitários e1, . . • , e", a fim de ob­
termos a regra de multiplicação para determinantes. 
§9. A inversa de uma matriz 
Seja A uma n x n matriz. Se B fôr uma matriz tal que AB = l e BA = 1(1 = n x n 
matriz unidade), então dizemos que B é uma inversa de A, e escrevemos B = A -1• 
Se existir uma inversa de A, então ela é única. Com efeito, seja C uma inversa de A. 
Então CA = I. Multiplicando por B à direita, obtemos CAB = B. Mas CAB = C(AB) = 
= Cl = C. Logo, C = B. A demonstração para AC= l é análoga. 
Teorema 8. Seja A = (ai) uma n x n matriz. Se D(A) =fa O, então A é inversível. 
Seja Ei o j-ésimo vetor-coluna unitário, e seja 
D(À1, ••• , Ei, ... , A") b .. = ' IJ D(A) 
onde Ei ocupa a i-ésima posição. Então a matriz B = (bii) é inversa de A. 
Demonstração. Seja X = (X;) uma n x n matriz desconhecida. Queremos deter­
minar as componentes xii de modo que AX = 1. Em virtude da definição de produtos 
de matrizes, isto significa que, para cada j, devemos resolver a equação 
Ei = x1iA 1 + · · · + x.iA". 
Obtemos um sistema de equações lineares, que pode ser resolvido de modo único 
pela regra de Cramer, e resulta que 
D(A1, • • • , Ei, . . . , A") 
xii = 
D(A) 
que é a fórmula dada no teorema.É ainda necessário provar que X A = 1. Notemos que DC A) =I O. Donde, em 
virtude do que já provamos, podemos achar uma matriz Ytal que' A Y = l. Pela regra 
das transpostas, obtemos 'A Y = 1. Agora temos 
l = ' Y(AX)A = 'Y A(X A) = X A, 
com isto provando o que queríamos, a saber, que X = B é inversa de A. 
Podemos expressar as componentes da matriz B do Teorema 8, como segue: 
ª11 o a1n 
a;1 1 �jn 
: 
bij =
 
an1 o ann 
Det(A) 
104 Álgebra Line"ar 
Se expandirmos o determinante que aparece no numerador segundo ai-ésima coluna, 
então veremos que todos os têrmos, salvo um, são iguais a O; dêsse modo, reduzimos 
o numerador de b;i a um subdeterminante de Det(A). Seja Aii a matriz obtida a partir 
de A pela eliminação da i-ésima linha e da j-ésima coluna. Então 
(-1riDet(Aji) b--= ------IJ Det(A) 
(cuidado com a inversão de índices!) Donde vem a fórmula: 
Exemplo. Seja 
A - 1 = transposta. de '1 • 
((-l)i+ iDet(A--)) 
Det(A) 
(.1 2 5) 
A= 2 3 1 
-1 1 1 
Seja A -1 = (bii). Como exemplo, vamos calcular b12. Pelo cálculo, achamos Det(A) = 21. 
Então 
A matriz A21 é igual à 
b 
_
(-l)1+2Det(A21). 
12 - Det(A) 
A21 = G :) 
(riscamos a segunda linha e a primeira coluna de A). Com isto, 
Det(A21) = -3. 
Assim obtemos 
b12 = -(-3/21) = 3/21, 
e A - l é representado por 
(bu 
A-1= b21 
ba1 
A título de exercício, calcular os demais números bii. 
EXERCÍCIOS 
1. Determinar as inversas das matrizes do Exercício 1, §4. 
2. Lembrando que se A e B são duas n x n matrizes, então 
Det(AB) = Det(A) Det(B), 
provar que uma matriz A tal que Det(A) = O não possui inversa. 
Determinantes 105 
3. Escrever explicitamente a inversa da 2 x 2 matriz 
4. Qual é inversa da matriz (� �} e da matriz (� �) ,ondebecsão núme­
ros não-nulos? 
§10. O determinante de uma aplicação linear 
Seja Vum espaço vetorial de dimensão finita sôbre o corpo K, e seja A : V-> V 
uma aplicação linear de V nêle próprio. Se f1À é uma base de V, seja 
M = M:(A). 
a matriz que representa A em relação à base PÀ. Se P,4' é uma outra base, e M' é a matriz 
que representa A em relação a P,4', então sabemos que existe uma matriz inversível 
N tal que M' = N-1MN. Por conseqüente, em virtude do corolário do Teorema 7, 
deduzimos que 
Det(M') 
= 
D(N-1)D(M)D(N) 
= 
D(M) 
O determinante não depende da escolha de bases, nem da matriz que representa a 
aplicação linear. 
Conseqüentemente, definimos o determinante de uma aplicação linear A como 
sendo Det(M) para qualquer matriz M do tipo acima. 
Certas propriedades de determinantes de matrizes se aplicam imediatamente 
para determinantes de aplicações lineares. Nós as enunciamos e deixamos suas de­
monstrações (triviais) a título de exercícios. 
- Se A e B são aplicações lineares de V nêle próprio, então D(AB) = D(A)D(B) 
- Se A é inversível, então D(A-1) = D(A)-1 
- Se 1 é a aplicação identidade, então D(l) = 1 
- Uma aplicação linear de V nêle próprio é inversível se, e somente se, seu deter-
minante é diferente de O. 
EXERCÍCIOS 
1. Seja V o espaço vetorial das n x n matrizes sôbre K. Seja B um elemento de 
V e consideremos uma aplicação <fJB : V-> V tal que 
<fJB(A) = AB- BA. 
Mostrar que <fJB é linear, e que Det(<pB) = O. 
2. Sejam matrizes quadradas A1 , • • • ,Am , de tipos d1 x d1 , • • • ,dm x·dm res­
pectivamente. Mostrar que o determinante da matriz 
o 
A2 
o 
106 Álgebra Linear 
formada por blocos A1, ••• , Am na diagonal, é igual ao produto 
3. Seja V o espaço vetorial das 2 x 2 matrizes sôbre o corpo K, e seja B e V. Se 
a aplicação L8: V-+ Vfôr tal que L8(A) = BA, mostrar que L8 é linear, e que 
Det(L8) = (Det B)2• 
[Sugestão: Examinar o que acontece quando L8 é aplicada na base {e11, e21, e12, e22} 
de V, formada pelas matrizes elJ onde a coordenada de posição (i,j) é 1 e as demais 
coordenadas são O.] 
4. Generalizar o Exercício 3 para o caso de n x n matrizes. Em outras palavras, 
seja V o espaço das n x n matrizes sôbre o corpo K, e seja B e V. Se L8 fôr a aplicação 
linear La(A) = BA, de V nêle próprio, mostrar que Det(L8) = (Det B)". 
5. Seja A uma 2 x 2 matriz sôbre o corpo K, tal que A2 = O. Mostrar que, qual­
quer que seja o escalar e, vale Det(c/ -A) = c2• 
6. Seja V o espaço vetorial gerado sôbre R pelas duas funções {sen t, cos t}, que 
tomamos como sendo uma base de V. Quaí é o determinante da aplicação linear dada 
pela derivação nêste espaço? 
7. Seja V o espaço vetorial gerado sôbre R pelas duas funções { e«1, eP1} onde ix e f3 
são dois reais distintos; encaramos estas duas funções como uma base. Qual é o deter­
minante da aplicação linear dada pela derivação nêste espaço? 
CAPÍTULO VII 
Produtos Escalares e Ortogonalidade 
§1. Produtos escalares 
Seja V um espaço vetorial sôbre um corpo K. Um produto escalar sôbre V é uma 
regra que a cada par v, w de elementos de V associa um escalar, indicado por ( v, w) ou 
também por v · w, verificando as propriedades seguintes: 
PE L Vale (v,w) = (w,v) para todos v,wEV. 
PE 2. Se u, v, w são elementos de V, então 
(u,v + w) = (u,v) + (u,w) . 
PE 3. Se x E K, então 
(xu, v) = x(u,f!) e (u, xv) = x(u, v). 
Dizemos que o produto escalar é não-degenerado se, além das propriedades acima, 
êle verificar também a condição: 
Se v é um elemento de V, e ( v, w) 
= 
O para todo w E V, então v = O. 
Exemplo 1. Seja V = K". Então a aplicação 
(X, Y) --> X· Y, 
que a elementos X, Y E K" associa seu produto escalar usual, definido no Capítulo 1, 
§3, é um produto .escalar no sentido da definição acima. 
Exemplo 2. Seja V o espaço das funções reais contínuas no intervalo [O, 1 ]. Se 
f, g E V, definimos 
(j, g > = 1>(t)g(t) dt. 
As propriedades básicas da integral mostram que isto é um produto escalar. 
Em ambos os exemplos, o produto escalar é não-degenerado. Anteriormente, 
tinhamos salientado êste fato para o produto escalar usual de vetores em K". No se­
gundo exemplo, isto é fàcilmente deduzido a partir das propriedades básicas da integral. 
Seja V um espaço vetorial munido de um produto escalar. Como de costume, 
dizemos por definição que elementos v, w de V são ortogonais· ou perpendiculares, e 
escrevemos v 1- w, se ( v, w) = O. Se S é um sub-conjunto de V, indicamos por SJ. o 
conjunto de todos os elementos w E V que são perpendiculares a todos os elementos 
108 Álgebra Linear 
de S, i.e. ( w, v) = O para todo v e S. Então, empregando PE 2 e PE 3, verificamos ime­
diatamente que SJ. é um sub-espaço de V, denominado o espaço ortogonal a S. Se w 
fôr ortogonal a S, escrevemos também w..l. S. Seja U o sub-espaço de V gerado pelos 
elementos de S. Se w fôr perpendicular a S, e se vi , v2 E S, então 
(w,vi + v2) = (w,vi) + (w, v2) =O. 
Se e é um escalar, então 
Logo, w é perpendicular a combinações lineares dos elementos de S; portanto, w é 
perpendicular a U. 
Exemplo·3. Seja (aiJ) uma m x n matriz em K, e indiquemos por Ai, ... , Am seus 
vetores-linha. Seja X = (x1, • . • , x.) um vetor de K". O sistema de equações lineares 
homogêneas 
(**) 
pode ser expresso de maneira abreviada, que é 
Ai· X= O, 
O conjunto de soluções X dêste sistema homogêneo é um espaço vetorial sôbre K. 
Com efeito, seja W o espaço gerado por A1, • . • , Am. Seja U o espaço formado por 
todos os vetores de K" perpendiculares a A1, . • . , Am. Então U é precisamente o espa­
ço vetorial das soluções de (**). Os vetores A1, . • • , Am podem não ser linearmente 
independentes. Notamos que dim W � m, e chamamos 
dim U = dim WJ. 
de dimensão do espaço· das soluções do sistema de equações lineares. Posteriormente, 
discutiremos esta dimensão mais detalhadamente. 
Seja V novamente um espaço vetorial sôbre o corpo K, munido de um produto 
escalar. 
Seja uma base {v1, . • • , v.} de V. Diremos que {vi , ... , v.} é uma baseortogonal se 
(v;, vi)= O para todo i # j. Vamos mostrar logo mais que se V fôr um espaço vetorial 
de dimensão finita, munido de um produto escalar, então existe sempre uma base orto­
gonal. Contudo, vamos primeiro examinar casos especiais importantes com respeito 
aos números reais e complexos. 
§2. Produtos positivos definidos 
Seja V um espaço vetorial sôbre R, munido de um produto escalar. Diremos 
que êste produto escalar é positivo definido se: ( v, v) ;;:;; O para todo v E V, e ( v, v) > O 
se v #O. O produto escalar usual para vetores em R" é positivo definido, como tam­
bém o é o produto do Exemplo 2 acima. 
Produtos Escalares e Ortogonalidade 109 
Seja V um espaço vetorial sôbre R, munido de um produto escalar positivo defi­
nido, indicado por (, ). Seja W um sub-espaço de V. Então W está munido de um 
produto escalar, que é definido pela mesma regra que serviu para definir o produto 
escalar em V. Em outras palavras, se w e w' são elementos de W, podemos formar seu 
produto ( w, w' ). Êste produto escalar sôbre W é óbviamente positivo definido. 
Por exemplo, se W é o sub-espaço de R3 gerado pelos dois vetores (1, 1, 2) e (n, 
- 1, O), então W é por sua vez um espaço vetorial, e podemos considerar o produto 
escalar usual de vetores pertencentes a W para definir um produto escalar positivo 
definido sôbre W. Freqüentemente, precisamos trabalhar com tais sub-espaços, e êste 
é um dos motivos pelos quais desenvolvemos nossa teoria sôbre espaços arbitrários 
(de dimensão finita) sôbre R munidos de um dado produto escalar positivo definido, 
em vez de nos limitar ao R" munido do produto escalar usual. Um outro motivo é 
que queremos que nossa teoria englobe situações como aquela descrita no Exemplo 2, § 1. 
Da mesma forma que para vetores comuns de um n-espaço, surge aqui o conceito 
de projeção. Seja V um espaço vetorial sôbre R, munido de um produto escalar posi­
tivo definido. Sejam v, w E V, e sup�mhamos que w =I O. Definimos o coeficiente de 
Fourier de v com respeito a w como sendo o número 
(v, w ) 
C = ---, 
(
w, w
) 
e definimos a projeção de v sôbre w como sendo o vetor cw. Então v - cw é perpen­
dicular a w, pois 
(v, w
) 
<V - CW, W ) = 
<
V, W ) - -< 
) 
< W, W ) = Ü. 
w,w 
Seja { v1, • . • , v.} uma base ortogonal de V. Seja v E V. Existem números x1 , . . • , x. 
tais que 
Calculando o produto escalar de v com V;, para i = 1, ... , n, obtemos 
<V, V; ) = X;( V;, V; ), 
pois (V;, vi ) = O se i =I j. Portanto, X; é o coeficiente de Fourier de v com respeito 
a v;, isto é, 
(v, v;) 
X· =---· 
' (v;, v;) 
Portanto, quando estamos diante de um produto escalar positivo definido e de uma base 
ortogonal do nosso espaço vetorial, as' coordenadas de um elemento de V com respeito 
a esta base são simplesmente os coeficientes de Fourier dêste elemento. 
Passamos agora a formular um teorema análogo ao Teorema 7, do Capítulo II, 
. levando em conta o produto escalar. 
Teorema 1. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sôbre os números reais, mu­
nido de um produto escalar positivo definido. Seja W um sub-espaço de V, e seja { w1, ... ,wm} 
uma base ortogonal de W. Se W =I V, então existem elementos wm+ 1, . . . , w,, de V tais que 
{ w1, ... , w.} seja uma base ortogonal de V. 
110 Álgebra Linear 
Demonstração. O método empregado na demonstração é tão importante quanto 
o teorema, e tem o nome de processo de ortogonalização de Gram-Schmidt. Em virtude 
do Teorema 7, Capítulo II, sabemos que é possível achar elementos Vm+ 1, ••• , v. 
V tais que 
seja uma base de V. Evidentemente, pode não se tratar de uma base ortogonal. Seja 
Wm+ 1 o espaço gerado por w1, . . • , wm, vm+ 1 . Tratemos primeiro de obter uma base 
ortogonal de Wm+i. A idéia de partida é subtrair de vm+l as suas projeções sôbre 
w1, ... , wm. Para tanto, consideremos 
(vm+ 1 'w1) 
C1 = 
< > 
' 
W1,W1 
e 
Então Wm+ 1 é perpendicular a w1, ... , Wm, pois para qualquer i tal que 1 � i � m, 
temos 
(wm+ 1, w;) = (vm+l • w;)-(c;W;, w;) 
=
O. 
Além disso, wm+ 1 # O (senão, Vm+ 1 seria linearmente dependente de w1, ... , wm� e 
Vm+ 1 pertence ao espaço gerado por w1 , ... , wm+ 1, pois 
Vm+l = Wm+l + C1W1 + ... + CmWm 
· 
Donde {w1 , ••• , wm+d é uma base ortogonal de Wm+i 
· 
Podemos agora proceder 
por indução e mostrar que o espaço Wm+s gerado por w1, ... , wm, Vm+ 1 , •.. , Vm+s 
possui uma base ortogonal 
{ 
W1' · · ·
' 
Wm+ 1 
' · · · ' 
Wm+s} 
com s 
= 
1, . . . , n - m. Isto conclui a demonstração. 
Corolário. Seja V um espaço de dimensão finita sôbre R, munido de um produto 
escalar positivo definido. Se V # {O}, então V possui uma base ortogonal. 
Demonstração. Por hipótese, existe um elemento v de V tal que v # O. Ao sub-es­
paço W gerado por v, aplicamos o teorema para obter a base procurada. 
Recapitulamos novamente o processo empregado no Teorema 1. Suponhamos 
que estamos diante de uma base arbitrária { v1, ••. , v.} de V. Desejamos torná-la 
ortogonal. Procedemos da maneira seguinte: 
Formamos os vetores 
, (vn, v�-1) , (vn, v�) , 
v.=v.-
(
' , 
)
v. _1 - · · ·-
(
, '
)
v1• 
Vn-1 • Vn-1 V1 'Vi 
Então { v'1 , ••• , v�} é uma base ortogonal. 
Produtos Escalares e Ortogonalidade 111 
As definições do Capítulo 1, §4, e as propriedades demonstradas naquêle capítulo 
são válidas para produtos escalares positivos definidos arbitrários. Por exemplo, po­
demos definir a norma de um elemento v de V pela fórmula 
llvll= �. 
São verdadeiras as três propriedades: 
- Para todo v em V, vale l lvll �O, e llvll =O se, e sàmente se, v =O. 
- Para qualquer número real x, vale 11xv 11 = 1x111v11 
· 
- Para quaisquer elementos v, w de V, vale llv + w ll;;:;; llvll + llw ll· 
Esta última propriedade é denominada a desigualdade triangular. Sua demonstração 
é feita empregando a desigualdade de Schwarz, que é 
1 (v, w) 1 ;;:;; li vil llwll, 
e cuja demonstração é idêntica àquela do Teorema 1 do Capítulo 1, §4. Na verdade, 
sendo os Teoremas 1, 2, 3 do Capítulo 1, §4, todos demonstrados sem o auxílio de coor­
denadas, suas demonstrações são válidas para o presente contexto que é mais geral. 
Seja V um espaço vetorial sôbre R, munido de um produt9 escalar positivo defi­
nido. Dizemos que um elemento v E V é um vetor unitário se li v i 1 = 1. Elementos não 
nulos v, w de V têm o mesmo sentido e mesma direção se existir e E R, c > O tal que 
cv = w, e têm mesma direção, mas sentidos opostos se existir e E R, c < O tal que cv 
= 
w. 
Se v é um elemento arbitrário de V, então 
V 
llvll 
é um vetor unitário no sentido e na direção de v. 
Suponhamos que V tem dimensão finita. Dizemos que uma base { v1, • . • , v.} de 
V é ortonormal se ela fôr ortogonal e se cada v;(i = 1, . . . , n) fôr um vetor unitário. 
Dada uma base ortogonal V, sempre podemos obter uma base ortonormal, dividindo 
cada elemento da base por sua norma. Com isto, obtemos vetores de norma 1, e que 
ainda são perpendiculares dois a dois. Assim sendo, enunciamos o Teorema 1 e seu 
corolário para o caso de bases ortonormais: 
Teorema 1'. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sôbre R, munido de um 
produto escalar positivo definido. Seja W um sub-espaço de V, e seja { w1 , • . . , wm} uma 
base ortonormal de W. Se W # V, então existem elementos Wm+ 1, • . . , w. de V tais que 
{ w 1 , . • . , w .} seja uma base ortonormal de V. 
Corolário. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sôbre R, munido de um 
produto escalar positivo definido. Se V # {O}, então V possue uma base ortonormal. 
Exemplá 4. Achar uma base ortonormal para o espaço vetorial, sôbre R, gerado 
pelos vetores (1, 1, O, 1), (1, - 2, O, O) e (1, O, -1, 2). 
Indiquemos êstes vetores por A, B, C. Seja 
B' = B-
B·A 
A. 
A-A 
112 Álgebra Linear 
Em outros têrmos, subtraimosde B sua projeção sôbre A. Então B' é perpendicular 
a A. Resulta 
B' = -i{4, - 5, O, 1) 
Subtraímos agora de C as projeções de C sôbre A e B', e para tanto escrevemos 
C·A C·B' C' = C---A- -- B'. A·A B'·B' 
Como A e B' são perpendiculares, os produtos escalares de C' com A e B' mostram 
que C' é perpendicular a A e a B'. Achamos 
C' = 4(- 4, - 2, - 1, 6). 
Os vi;:tores A, B', C' são não-nulos e são perpendiculares dois a dois. Êles pertencem 
ao espaço gerado por A, B, C. Logo, êles formam uma base ortogonal para êste espaço. 
Se quizermos que esta base seja ortonormal, então dividimos êsses vetores por seus 
comprimentos e com isto obtemos 
A 1 
W 
= J3(1, 1, O, 1), 
B' 1 
llB'!I 
= J"42(4, -5, O, 1), 
C' 1 
llC'll 
= JS?(-A, - 2, -1, 6), 
formando uma base ortonormal. 
�eja V um espaço vetorial de dimensão finita sôbre R, munido de um produto 
escalar positivo definido. Seja {e 1 , • • • , e.} uma base ortonormal. Sejam v, w E V. Exis­
tem números x1, ... , x. E R e y1, ... , Yn E R verificando 
e 
Então 
n 
= L x;yle;, ei) 
i,j= 1 
= X1Y1 + · · · + x.y • . 
Portanto, com respeito ·a esta base or'tonormal, se X e Y são os vetores das coorde­
nadas de v e de w respectivamente, o produto escalar é dado pelo produto escalar 
usual X· Y dos vetores das coordenadas. O caso será decididamente outro se trabalhar-
Produtos Escalares e Ortogonalidade 113' 
mos com uma base que não é ortonormal. Se {v1 , . . • , v.} é uma base qualquer de V, 
e se escrevemos 
V= X1V1 + ''' + XnVn, 
w = Y1V1 + · · · + y.v. 
em função desta base, então 
" 
(v, w) = L xiy;(vi , vi) 
i,j= 1 
" 
(v,w) = L aiixixi 
i,j= 1 
Produtos Hermitianos 
Vamos agora apresentar as modificações necessárias para adaptar os resultados 
acima para o caso dos espaços vetoriais sôbre os números complexos. Desejamos 
conservar o conceito de produto escalar positivo definido, na medida do possível. 
Visto que o produto escalar usual de vetores com coordenadas complexas pode ser 
nulo sem que os vetores sejam nulos, devemos alterar alguma coisa na definição. 
Verifica-se que as modificações necessárias são poucas. 
Seja V um espaço vetorial sôbre os números complexos. Um produto hermitiano 
sôbre V é uma regra que a todo par (v, w) de elementos de V associa um número com­
plexo, indicado novamente por (v, w), satisfazendo as propriedades seguintes: 
PH 1. Vale (v, w) =�para quaisquer v, WE V (Aqui, a barra denota a con­
jugação complexa). 
PH 2. Se u, v, w são elementos de V, então 
(u, v + w) = (u, v) + (u,�). 
PH 3. Se ex E e, então 
(cxu, v) = cx(u, v) e (u, cxv) = ã(u, v). 
Dizemos que o produto hermitiano é positivo definido se: (v, v) �O para todo 
vEV, e (v,v) >0 se v#O. 
Definimos as palavras ortogonal, perpendicular, base ortogonal, complemento orto­
gonal da mesma forma que antes. Também não há nada a mudar na nossa definição 
de coeficiente de Fourier e de projeção de v sôbre w, nem nas observações que fizemos 
a respeito dêstes conceitos. 
. 
Exemplo 5. Seja V = C". Se X = (x1 , ... , x.) e Y = (y1, • . . , y.) são vetores de 
C", definimos seu produto hermitiano como sendo 
(X, Y) = xi:Y1 + · · · + x.y .. 
As condições PH 1, 2 e 3 são imediatamente verificadas. Êste produto é positivo defi­
nido pois se X# O, então algum xi # O e xixi> O. Logo, (X, X) >O. 
114 Álgebra Linear 
Exemplo 6. Seja V o espaço das funções com valôres complexos, contínuas no 
intervalo [- n, n]. Se f, g E Y, definimos 
(f, g > = f 
,
/(t)g(t) dt. 
As propriedades usuais da integral mostram novamente que êste é um produto her­
mitiano, e que êle é positivo definido. Sejaf,, a função tal que 
J.(t) = ei••. 
Um cálculo simples revela quef. é ortogonal afm se nem são inteiros distintos. Além 
disso, temos 
Se f E V, então seu coeficiente de Fourier com respeito a f. é igual a 
(f,f,,) = __!__ f • f(t)e-int dt, 
(f. ,f.) 2n -n 
que o leitor familiarizado com análise reconhece de imediato. 
Voltamos à nossa discussão geral dos produtos hermitianos. Lembrando o Teo­
rema 1 e seu Corolário, apresentamos agora um teorema e um corolário para o caso 
de produtos hermitianos positivos definidos: 
Teorema 2. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sôbre os números com­
plexos, munido de um produto hermitiano positivo definido. Seja W um sub-espaço de V, 
e seja { w1 , • • • , wm} uma base ortogonal de W. Se W =f. V, então existem elementos 
Wm+ 1 , • • • , w. de V tais que { w1 , • • • , w.} seja uma base ortogonal de V. 
Corolário. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sôbre os números comple­
xos, munido de um produto hermitiano positivo definido. Se V =f. {O}, então V possui 
uma base ortogonal. 
As demonstrações são exatamente as mesmas que aquelas apresentadas para o 
caso real, e não é necessário repetí-las. 
Passamos agora à teoria da norma. Seja V um espaço vetorial sôbre C, munido 
de um produto hermitiano positivo definido. Se ve V, definimos sua norma ll vll como 
sendo 
llvll= �. 
Como ( v, v) é real, ;;:;; O, tomamos sua raiz quadrada da maneira usual como sendo 
o único número real ;;:;; O cujo quadrado é ( v, v). 
Vale a desigualdade de Schwarz, que é 
l(v, w)I � llvll ll wll, 
Produtos Escalares e Ortogonalidade 115 
e cuja demonstração apresentamos na íntegra, devido a algumas conjugações comple­
xas que nela aparecem. Sejam rx. = < w, w) e P = -< v, w ) . Temos 
O� <rx.v + pw,rx.v + Pw) 
= <rx.v, rx.v) + <Pw, rx.v) + <rx.v, Pw) + <Pw, Pw) 
= rx.ri<v, v) + p&.(w, v) + rx.p(v, w) + Pfi(w, w) 
Substituindo rx. e P por seus valôres dados, e observando que 
rx. = (w, w) = llwll2 
é um número real, obtemos 
O� llwll4llvll2-2llwll 2<v, w)\D,W} + llwll 2<v, w)\D,W}. 
Mas <v, w)� = l<v, w)l2• Logo 
l!wl!21(v, w)l2 � llwll41!vl!2. 
Se w = O, a desigualdade de Schwarz é óbvia. Se w # O, então podemos dividir esta 
última relação por li w 112 para obter a desigualdade 
l(v, w)l2 � l!wl!21!vl!2. 
Extraindo a raiz quadrada, obtemos a desigualdade de Schwarz, como queríamos. 
São válidas as três propriedades da norma, como no caso real: 
- Para todo ve V, vale !!vil� O, e !!vil= O se, e sàmente se, v =O. 
- Qualquer que seja o complexo rx. , vale 11 rx.v li = I rx. I 11 v li· 
- Quaisquer que sejam v, w e V, vale li v + wl! � li vil + li wl!. 
Novamente, estas três propriedades são fàcilmente verificadas. Deixamos a ve­
rificação das duas primeiras a título de exercício e demonstramos a terceira, empre­
gando a desigualdade de Schwarz. 
Basta provar que 
Para tanto, notamos que 
li V + W 112 = <V + W, V + W) = <V, V) + < W, V) + <V, W) + < W, W ). 
Mas (w, v) + <v, w) = \D,W} + (v, w) � 2l(v, w)I. Logo, pela desigualdade de 
Schwarz, 
llv + wll2 � llvll2 + 2l(v, w)I + l!wl!2 
� llvl!2 + 2llvll llwll + l!wl!2 =(!!vil+ l!wl!)2. 
Extraindo a raiz quadrada de ambos os lados, obtemos o resultado desejado. 
Da mesma forma que no caso real, dizemos que um elemento v de V é um vetor 
.unitário se !!vil = 1. Uma base ortogonal {v1, . • . , v.} é dita ortonormal se fôr cons­
tituída por vetores unitários. Da mesma forma que antes, obtemos uma base ortonor­
mal a partir de lima base ortogonal dividindo cada vetor por seu comprimento. 
116 Álgebra Linear 
Seja {e 1 , ... , e.} uma base ortonormal de V. Sejam v, w E V. Existem números 
complexos IX1 , . • • , °'•E C e {J 1 , . . ., fln E C tais que 
e 
EntãO 
(v,w) = (oc1e1 + · · · + oc.e. ,{J1e1 + ... + fJ.e.) 
n 
= I ocJi/ e;, ei) i,j= 1 
= oc1P1 + · · · + oc.P. · 
Portanto, em têrmos desta base ortonormal, se A e B são os vetores das coordenadas 
de v e de w respectivamente, o produto hermitiano é dado pelo produto descrito no 
Exemplo 5, a saber: A· B. 
Enunciamos agora um teorema que vale simultâneamente para o caso real e o 
caso complexo. 
Teorema 3. Seja V um espaço vetorialou sôbre R e munido de um produto escalar 
positivo definido, ou sôbre C e munido de um produto hermitiano positivo definido. Supo­
nhamos que V tem dimensão finita n. Seja W um sub-espaço de V, de dimensão r. Seja U 
o sub-espaço de V formado por todos os elementos de V que são perpendiculares a W, 
i.e. U = w.i. Então U tem dimensão n- r. Em outras palavras, 
dim w + dim W1 = dim V. 
Demonstração. Se W = {O} ou W = V, então nossa asserção é óbvia. Portanto, 
supomos que W =F V e W =F {O}. Seja {w1, • • • , w,} Uma base ortonormal de W. 
Pelos Teoremlls 1' e 2', existem elementos u,+ 1, • . • , u. de V tais que { w1, . • • , w, , 
u,+ 1, • • . , u.} seja uma base ortonormal de V. Vamos provar que {u,+ 1, • • • , u.} é 
uma base ortoriormal de U. 
Seja u um elemento de U. Então existem números x1 , ... , x. tais que 
Formamos o produto de u com qualquer w; para i = 1, . .. , r, e sendo u perpendicular 
a W obtemos 
o = < u, w;) = X;( W;' w;) = X; • 
Logo, todo X; = O (i = 1, ... , r). Por conseqüente, u é uma combinação linear de 
Ur+ 1 ' · · ·' Un • 
Reciprocamente, seja u = x,+1u,+1 + .. · + x.u. uma combinação linear de 
u,+ 1 , • . • , u •. O produto deu com qualquer W; é O. Logo, ué perpendicular a todos os 
w; (i = 1, ... , r); logo, u é perpendicular a W. Isto prova que u,+ 1, . • . , u. geram U. 
Sendo êles perpendiculares dois a dois, e de norma 1, êles formam uma base ortonor­
mal de U; logo, a dimensão de U é n - r, como queríamos demonstrar. 
Produtos Escalares e Ortogonalidade 117 
Exemplo. Consideremos R3. Sejam A e B dois vetores linearmente independentes, 
no R3. Então o espaço dos vetores que são perpendiculares tanto a A como a B é um 
espaço de dimensão 1. Se {N} é uma base dêste espaço, qualquer outra base dêste 
espaço é do tipo {tN}, onde t é um número i= O. 
Ainda no R 3, consideremos um vetor N não-nulo. O espaço dos vetores perpen­
diculares a N é um espaço de dimensão 2, i.e. um plano, passando pela origem. 
Teorema 4. Seja V um espaço vetorial ou sôbre R e munido de um produto escalar 
positivo definido, ou sôbre C e munido de um produto hermitiano positivo definido. Supo­
nhamos que V tem dimensão finita, e seja W um sub-espaço de V. Então V é a �oma direta 
de W com WJ.. 
Demonstração. O argumento que empregamos na demonstração do Teorema 3 
também pode ser aplicado aqui. De fato, com as mesmas notações que naquela demons­
tração, vemos que um elemento de V é expresso de maneira única por uma combinação 
linear 
X1W1 + . .. + X,W, + Xr+!Ur+I + . . . + -'nUn . 
Portanto, êle se exprime de modo único como uma soma w + u, com w E W e 
UE U = Wl.. 
EXERCÍCIOS 
1. Achar uma base ortonormal para os sub-espaços de R 3 gerado pelos vetores 
seguintes: 
(a) (1, 1, - 1) e (1, O, 1) (b) (2, 1, 1) e (1, 3, - 1). 
2. Achar uma base ortonormal para o sub-espaço de R4 gerado pelos vetores: 
(a) (1, 2, 1, O) e (1, 2, 3, 1) 
(b) (1, 1, O, O), (1, -1, 1, 1) e (-1, O, 2, 1) 
3. Nos exercícios que seguem, consideramos o espaço vetorial das funções reais 
contínuas no intervalo [O, 1]. Definimos o produto escalar de duas tais funções f e g 
como sendo 
(f, g) = r f(t)g(t) dt. 
Empregando as propriedades usuais da integral, verificar que isto é de fato um produ­
to escalar. 
4. Consideremos o sub-espaço V das funções gerado pelas duas funções f e g, 
sendo f(t) = t e g(t) = t2. Achar uma base ortonormal de V. 
5. Seja V o sub-espaço gerado pelas três funções 1, t, t2 (onde 1 é a função cons-
tante). Achar uma base ortonormal para V. 
6. Achar uma base ortonormal do sub-espaço de C3 gerado pelos seguintes vetores: 
(a) (1, i, O) e (1, 1, 1) (b) (1, -1, -i) e (i, 1, 2) 
7. Seja V o espaço vetorial de tôdas as n x n matrizes sôbre R; definimos o pro­
duto escalar de duas matrizes A e B pela regra 
(A, B) = tr(AB), 
118 Álgebra Linear 
onde tr é o traço (soma dos elementos da diagonal). Mostrar que trata-se de um pro­
duto escalar e que êste produto é não-degenerado. 
8. Com as notações do Exercício 7, o que vem a ser o complemento ortogonal 
do sub-espaço das matrizes diagonais? Qual é a dimensão dêste complemento ortogonal? 
9. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita, sôbre R, com um produto escalar 
positivo definido. Seja { v1 , ••• , v,.} um conjunto de elementos de V de norma 1 e que 
são perpendiculares dois a dois (i.e. ( vi, vi) = O se i =f. j). Se, para todo v E V, valer 
Jlvll2 = I (v, vy, 
i=l 
mostrar que {v1, •.. , vm} é uma base de V. 
10. Seja V um espaço vetorial n-dimensional sôbre R, munido de um produto 
escalar positivo definido. Provar a lei do paralelogramo para dois elementos quais­
quer v, wE V: 
JJu + vll2 + llu-vJJ2 = 2(JJulJ2 + Jlv!l2). 
§3. Bases ortogonais gerais 
Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sôbre o corpo K, munido de um 
produto escalar. Não é necessário que êste produto escalar seja positivo definido, e 
há exemplos interessantes de tais produtos, mesmo sôbre os números reais. Por exem­
plo, podemos definir o produto de dois vetores X 
= 
(x1, x2) e Y = (y1, y2) co�o sendo x1y1 -x2y2• Nestas condições. 
(X, X) = xf - x� . 
Tais produtos têm muitas aplicações, na física por exemplo, onde se trabalha com um 
produto de vetores no 4-espaço definido pela regra: para todo X 
= 
(x, y, z, t ), 
(X,X) = x2 + y2 + z2-t2• 
Nêste parágrafo, veremos quais dos teoremas a respeito de bases ortogonais 
continuam válidos. 
Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sôbre o corpo K, munido de um 
produto escalar. Se W é um sub-espaço, nem sempre é verdade que V é a soma direta 
de W com W.L. Isto decorre do fato que pode existir um vetor não-nulo v de V tal que 
( v, v) = O. Um exemplo, no caso complexo, seria o vetor (1, i). No entanto, contínua 
válido o teorema da existência de uma base ortogonal, e vamos prová-lo mediante 
uma modificação conveniente nos argumentos apresentados no parágrafo precedente. 
Começamos com algumas observações. Inicialmente, suponhamos que para todo 
elemento u de V, temos ( u, u) = O. Nêste caso, dizemos que o produto escalar é nulo, 
e que V é um espaço nulo. O motivo disto é que assim temos obrigatóriamente ( v, w) 
= 
O 
para todo v, w E V. Com efeito, temos 
<V, W) = t[� + W, V + W) - <V, V) - < W, W)]. 
Produtos Escalares e Ortogonalidade 119 
Por hipótese, o membro direito desta equação é igual a O, o que podemos verificar 
trivialmente substituindo por O cada produto que nêle aparece. Logo, qualquer base 
de V é ortogonal, conforme a definição. 
Teorema 5. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sôbre o corpo K, e supo­
nhamos que V está munido de um produto escalar. Se V '# {O}, então V possui uma 
base ortogonal. 
Demonstração. Vamos demonstrar isto por indução sôbre a dimensão de V. Se 
V tiver dimensão 1, então qualquer elemento não-nulo de V é uma base ortogonal 
de V, e a nossa asserção é trivial.. 
Suponhamos então que dim V = n > 1. Ocorrem dois casos. 
Caso 1. Para todo elemento u E V, temos ( u, u) = O. Então, pela observação 
acima, qualquer base de V é uma base ortogonal. 
Caso 2. Existe um elemento v1 de V tal que (v1, v1) '#O. Então podemos aplicar 
o mesmo método que aquêle empregado no caso de um produto positivo definido, 
i.e. a ortogonalização de Gram-Schmidt. No fundo, vamos demonstrar que se v1 é 
um elemento de V tal que (v1, vi) '#O, e se Vi é o espaço vetorial l-dimensional gerado 
por Vi, então V é a soma direta de Vi com Vf. Seja v E V e seja c como de costume, 
isto é; 
Então v- cv1 pertence a Vf, e a expressão 
mostra que V é a soma de V1 com Vf. Esta soma é direta, pois Vi n Vf é um sub-espaço 
de Vi, que não pode ser igual a Vi (porque (v 1 , v 1) '#O); portanto deve ser {O} pois 
Vi tem dimensão 1. Como dim Vt < dim V, podemos agora repetir todo nosso processo, 
desta vez com o espaço Vf, em outras palavras, proceder com a indução.Com isto, 
encontramos uma base ortogonal de Vf, digamos { v2 , • • • , v.} . Daqui segue imedia­
tamente que {V i , ... , v.} é uma base ortogonal de V. 
Exemplo 1. Sejam no R2 vetores X =(xi, x2) e Y = (y1, y2). Definimos seu pro­
duto escalar 
Então, verifica-se que (1, O) e (O, 1) formam uma base ortogonal com respeito a êste 
produto escalar também. No entanto, (1, 2) e (2, 1) formam uma base ortogonal para 
êste produto, mas não formam uma base ortogonal para o produto escalar usual. 
Exemplo 2. Seja V o sub-espaço de R3 gerado pelos dois vetores A= (1, 2, 1) e 
B = (1, 1, 1). Se X =(xi, x2, x3) e Y = (Yi, y2, y3) são vetores de R3, definimos seu 
produto como sendo 
120 Álgebra Linear 
Desejamos achar uma base ortogonal de V com respeito a êste produto. Notamos· 
que (A, A ) = 1-4-1 = -4 =/.O. Tomamos v1 =A. Podemos então ortogonalizar 
B, e consideramos 
(B, A ) 1 C=--- =-· (A, A ) 2 
Tomamos v2 = B -tA. Então { v1, v2} é uma base ortogonal de V, com respeito ao 
produto escalar dado acima. 
EXERCÍCIOS 
1. Achar bases ortogonais do sub-espaço de R3 gerado pelos vetores A e B dados, 
com respeito ao produto escalar que definimos abaixo e que escrevemos X· Y. 
(a) A = ( 1, 1, 1), B = ( 1, - 1, 2); 
X. y = X1Y1 + 2X2Y2 + X3y3 
(b) A = (1, -1, 4), B = (- 1, 1, 3); 
X· y = X1Y1 -3X2Y2 + X1Y3-X3Y2 
2. Achar uma base ortogonal para o espaço C2 sôbre C, sendo o produto escalar 
dado por X· Y = x1y2 -iX2Y1 . 
3. Mesma questão que do Exercício 2, para o produto escalar dado por 
X· y = X1Y2 + 4X1Y1 . 
§4. O espaço dual 
Seja V um espaço vetorial sôbre um corpo K. Indicamos por V* o conjunto de 
tôdas as aplicações lineares de V em K (considerado como um espaço de dimensão 1 
sôbre êle próprio). Sabemos que V*, por sua vez, é um espaço vetorial sôbre K, pois 
podemos somar aplicações lineares e multiplicá-las por escalares. Elementos de V* 
serão denominados funcionais (ou formas lineares) (sôbre V), e V* tem o nome de 
espaço dual. 
Sejam <pum elemento de V* e v um elemento de V. Será conveniente indicar cp(v) 
pelo símbolo ( cp, v ) . O motivo desta notação é que se cp1 , cp2 E V*, então (cp1 + cp2)(v) = 
= cp1(v) + cp2(v), e se e E K, então 
(ccp)(v) = ccp(v). 
Isto é, com a nossa convenção, 
('P1 + 'P2 , v) = ('P1, v) + (cp2 , v), 
(ccp, v) = c(cp, v). 
Além disso, se v1v2 E V, então 
(cp, v1 + v2) = (cp,v1) + (cp,v2), 
(cp, cv) = c(cp, v), 
Produtos Escalares e Ortogonalidade 121 
sendo que estas duas últimas propriedades não são senão a definição da linearidade 
de <p. Assim sendo, temos aqui o mesmo formalismo que o dos produtos escalares, 
com a ressalva que as duas componentes do símbolo ( <p, v ) não pertencem ao mesmo 
espaço. 
Exemplo 1. Seja V = K". Seja <p: K" -> K a projeção sôbre a primeira coorde­
nada, i.e. 
Então <p é um funcional. De maneira análoga, para cada i = 1, ... , n temos um fun­
cional </>; verificando 
</>;(X1, ... , Xn) = X;. 
Exemplo 2. Seja V um espaço vetorial sôbre K, munido de um produto escalar. 
Seja v0 um elemento de V. A aplicação 
v 1---> (v, v0), 
é um funcional, em virtude da definição do produto escalar. 
Exemplo 3. Seja V o espaço vetorial das funções reais contínuas no intervalo [O, 1]. 
Podemos definir uma forma linear sôbre V por meio da fórmula 
L(f) = r f (t) dt 
para f E V. As propriedades básicas da integral mostram que trata-se de aplicação li­
near. Se fo é um elemento fixo de V, então a aplicação 
f 1--> r fo(t)f (t) dt 
é também uma forma linear sôbre V. 
Exemplo 4. Seja V como no Exemplo 3. Seja ó: V -> R a aplicação tal que 
ó(f ) = f (O). Então ó é uma forma linear, chamada funcional de Dirac. 
Seja V um espaço vetorial sôbre os números complexos, e suponhamos que V está 
munido de um produto hermitiano. Seja v0 um elemento de V. A aplicação 
v 1--> ( v, v0), VE V 
é um funcional. No entanto, não é verdade que a aplicação v 1--> ( v0, v) seja um 
funcional! De fato, para qualquer Q( E e, temos 
(v0, ocv) = ã(v0, v). 
Logo, esta última não é linear. Às vêzes, ela tem o nome de aplicação anti-linear ou 
semi-linear. 
Teorema 6. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sôbre o corpo K. Então 
o espaço dual V* também é de dimensão finita, e dim V = dim V*. 
122 Álgebra Linear 
Demonstração. Seja { v1, ••• , v.} uma base de V. Vamos procurar uma base de V*. 
Em virtude do Teorema 1 do Capítulo IV, §2, para cada i = 1, ... , n existe uma forma 
linear que indicamos por vf, tal que 
<p:I' V·> = {l " J o se se i 
= j, 
i #j. 
(O teorema que mencionamos é aquêle que afirma que podemos encontrar uma apli­
cação linear que associa aos elementos da base valôres previamente dados). Vamos 
provar que {vf, ... , v:} é uma base de V*. 
Seja q> e V*. Sejam ci = ( q>, v), Afirmamos que 
Para cada i, temos 
'como ci = q>(vj), segue que q> e c1vf + · · · + c.v: fornecem os mesmos valôres quando 
aplicadas nos elementos da base { v 1 , . • • , v.}. Logo, elas dão os mesmos valôres quando 
aplicadas em combinações lineares dêstes elementos de base; logo, elas são iguais quan­
do aplicadas em V. Portanto, vf, ... , v: geram V*. 
Para provar que vf, ... , v: são linearmente independentes, suponhamos que 
com elementos xi e K. Apliquemos esta expressão nos V;. Resulta 
Logo, todo xi = O, e está provado o que queríamos. 
A base { vf, ... , v:} de V* obtida na demonstração do teorema acima é denomi­
nada a base dual de { v1 , • • • , v.}. 
Vamos empregar a mesma terminologia, para definir perpendicularismo, que 
aquela empregada nos produtos escalares. Assim, se Sé um sub-conjunto de V, e q> e V*, 
d.izemos que q> é ortogonal (ou perpendicular) a S, se 
q>(v) = (<r>,v) = O 
para todo v e S. O conjunto dos elementos q> e V* que são ortogonais a S é um sub-es­
paço de V*, que novamente designamos por SJ. (se o contexto indicar que V não está 
munido de nenhum produto escalar, no qual caso não há receio de confusão). Todo 
elemento de Sl. é perpendicular ao sub-espaço de V gerado por S. 
Teorema 7. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sôbre K. Se W é um sub­
espaço, então 
dim W+ dim Wl. = dim V. 
Demonstração. ·seja { w1, • • • , w,} uma base de W. Estendemos esta base até com­
pletar uma base {w1, • • . , w.} de V, por meio do Teorema 7 do Capítulo II, §4. Seja 
{ wf,. '.., w:} a base dual. V�mos demonstrar que {w:+ 1, . • . , w:} é uma base de Wl.. 
Produtos Escalares e Ortogonalidade 123 
Nosso teorema seguirá disto. Bastará provar que w:+ 1, ... , w: geram W·L, porque 
êles já são linearmente independentes. 
Seja <p E w.t. Existem elementos c, ' ... , c. E K tais que 
Como <p E w.t, para cada i = 1, . .. 'r, temos: 
O = <p(w;) = c;( wf, w;) = C; 
por definição da base dual. Portanto 
Isto mostra que W.L está contido no espaço gerado por w:+ 1, ••• , w:. 
Reciprocamente, se r + 1 � j � n, então 
(wj, w;) = O, i = 1, ... , r. 
Logo, wj é elemento de w.t. Isto mostra que W.L contém o espaço gerado por 
w:+ 1, .•. , w: e está concluída a demonstração de nosso teorema. 
A discussão acima nos permite ver claramente que há uma forte relação entre 
um produto escalar num espaço vetorial, e o espaço dual. Vamos tornar esta relação 
mais precisa. 
Seja V um espaço vetorial sôbre o corpo K, e suponhamos que V está munido 
de um produto escalar. A cada elemento v E V podemos associar uma forma linear 
Lv do espaço dual, a saber, a aplicação dada por 
L.(w) = (v, w) 
para todo w E V. Se v1, v2 E V, então Lv, + v2 = L., + L.2• Se c E K, então Lcv = cL • . 
Estas relações são essencialmente as propriedades de definição do produto escalar. 
Podemos dizer que a aplicação 
é uma aplicação linear de V no espaço dual V*. O teorema que segue é de grande 
importância: 
Teorema 8. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sôbre K, munido de um 
produto escalar não-degenerado.Dada uma forma linear L: V ---> K, existe um elemento 
único v E V tal que 
L(w) = (v, w) 
para todo w E V. 
Demonstração. Consideremos o conjunto de tôdas as formas lineares sôbre V que 
sejam do tipo Lv, para algum v E V. Êste conjunto é um sub-espaço de V*, porque 
a forma linear zero tem esta característica, e valem as fórmulas: 
e 
122 Álgebra Linear 
Demonstração. Seja {v1, • . . , v.} uma base de V. Vamos procurar uma base de V*. 
Em virtude do Teorema 1 do Capítulo IV, §2, para cada i = 1, .. . , n existe uma forma 
linear que indicamos por vr, tal que 
se 
se 
i =j, 
i #j. 
(O teorema que mencionamos é aquêle que afirma que podemos encontrar uma apli­
cação linear que associa aos elementos da base valôres previamente dados). Vamos 
provar que {vf, ... , v!} é uma base de V*. 
Seja <p e V*. Sejam e; = ( <p, v;), Afirmamos que 
Para cada i, temos 
·como e; = <p(v;), segue que <p e c1v! + · · · + c.v: fornecem os mesmos valôres quando 
aplicadas nos elementos da base { v1, ... , v.}. Logo, elas dão os mesmos valôres quando 
aplicadas em combinações lineares dêstes elementos de base; logo, elas são iguais quan­
do aplicadas em V. Portanto, v!, ... , v: geram V*. 
Para provar que vf, ... , v! são linearmente independentes, suponhamos que 
com elementos X; e K. Apliquemos esta expressão nos V;. Resulta 
Logo, todo X; = O, e está provado o que queríamos. 
A base { v!, ... , v!} de V* obtida na demonstração do teorema acima é denomi­
nada a base dual de {v1, ... , v.}. 
Vamos empregar a mesma terminologia, para definir perpendicularismo, que 
aquela empregada nos produtos escalares. Assim, se Sé um sub-conjunto de V, e <p e V*, 
d_izemos que <p é ortogonal (ou perpendicular) a S, se 
<p(v) = (cp, v) =O 
para todo v e S. O conjunto dos elementos <p e V* que são ortogonais a S é um sub-es­
paço de V*, que novamente designamos por S.L (se o contexto indicar que V não está 
munido de nenhum produto escalar, no qual caso não há receio de confusão). Todo 
.elemento de S.L é perpendicular ao sub-espaço de V gerado por S. 
Teorema 7. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sôbre K. Se w. é um sub­
espaço, então 
dim w+ dim w.L = dim V. 
Demonstração. ·seja { w1, . • . , w,} uma base de W. Estendemos esta base até com­
pletar uma base { w1, • • • , w.} de V, por meio do Teorema 7 do Capítulo II, §4. Seja 
{ w!, ... , w:} a base dual. Vamos demonstrar que { wi+ 1, • • • , w:} é uma base de W.L. 
Produtos Escalares e Ortogonalidade 123 
Nosso teorema seguirá disto. Bastará provar que w:+1, ... , w: geram W\ porque 
êles já são linearmente independentes. 
Seja <p E wl.. Existem elementos C1, .. . , c. E K tais que 
Como <p E Wl., para cada i = 1, . .. , r, temos: 
O= <p(w;) = c;(wf, w;) = C; 
por definição da base dual. Portanto 
Isto mostra que Wl. está contido no espaço gerado por w:+ 1, • • • , w:. 
Reciprocamente, se r + 1 � j � n, então 
(wj, w;) =O, i = 1, ... , r. 
Logo, wj é elemento de W.L. Isto mostra que W.L contém o espaço gerado por 
w:+ 1, • . . , w! e está concluída a demonstração de nosso teorema. 
A discussão acima nos permite ver claramente que há uma forte relação entre 
um produto escalar num espaço vetorial, e o espaço dual. Vamos tornar esta relação 
mais precisa. 
Seja V um espaço vetorial sôbre o corpo K, e suponhamos que V está munido 
de um produto escalar. A cada elemento v E V podemos associar uma forma linear 
Lv do espaço dual, a saber, a aplicação dada por 
para todo w E V. Se v1, v2 E V, então Lv1 + v2 = Lv1 + Lv2• Se c E K, então Lcv = cLv. 
Estas relações são essencialmente as propriedades de definição do produto escalar. 
Podemos dizer que a aplicação 
é uma aplicação linear de V no espaço dual V*. O teorema que segue é de grande 
importância: 
Teorema 8. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sôbre K, munido de um 
produto escalar não-degenerado. Dada uma forma linear L: V -----> K, existe um elemento 
único v E V tal que 
L(w) = (v, w) 
para todo w E V. 
Demonstração. Consideremos o conjunto de tôdas as formas lineares sôbre V que 
sejam do tipo Lv, para algum v E V. Êste conjunto é um sub-esp,aço de V*, porque 
a forma linear zero tem esta característica, e valem as fórmulas: 
e 
124 Álgebra Linear 
Além disso, se { v1, . • • , v.} é uma base de V, então Lv1, • • • , Lv. são linearmente inde­
pendentes. Demonstração: Se x1, • • • , x. E K são tais que 
então 
e portanto 
Todavia, se v E V, e Lv = O, então v = O pela definição de não-degeneração. Logo, 
X1V1 + ·' · + XnVn = 0 
e portanto x1 = · · · = x. = O, provando com isto a nossa asserção. Concluímos que 
o espaço dos funcionais do tipo Lv (v E V) é um sub-espaço de V*, de mesma dimen­
são que V*, e portanto igual a V*. Isto demonstra nosso teorema. 
Na situação do teorema, nós dizemos que v representa o funcional L, em relação 
ao produto escalar não-degenerado. 
Podemos apresentar uma demonstração mais rápida do Teorema 8. Na verdade, 
vamos provar que: 
Teorema 8'. A aplicação v f--+ Lv de V em V* é um isomorfismo. 
De.monstração. O núcleo da aplicação é {O} devido à não-degeneração, e como 
dim V = dim V*, podemos aplicar o Corolário do Teorema 3, Capítulo IV, §4 para 
concluir a demonstração. 
Nós demos a demonstração mais extensa do Teorema 8 para poder, posterior­
mente, aplicar um argumento semelhante ao caso complexo. 
Exemplos. Consideramos V = K" munido do produto escalar usual 
X· Y = x1y1 + · · · + x.y. 
que já sabemos que é não-degenerado. Se 
<p: V--+ K 
é uma aplicação linear, então existe um único vetor A E K" de sorte que para todo 
HeK", temos 
<p(H) =A· H. 
Isto nos permite representar o funcional <p pelo vetor A. 
Considerando um outro exemplo, seja V = R" munido do produto escalar usual. 
Sejaf: R"--+ R uma função diferenciável. Em cálculo, define-se a derivada def em X 
como sendo uma aplicação linear <p: R"--+ R. O vetor que representa <p em relação 
ao produto escalar usual tem o nome de gradiente def em X e é indicado por (gradf)(X) 
ou V f (X). Portanto, temos por definição, 
<p(H) = V f (X)· H 
para todo HE R". 
Produtos Escalares e Ortogonalidade 125 
Como aplicação de nossos resultados a respeito do espaço dual, obtemos o teore­
ma correspondente ao Teorema 3, para produtos escalares não degenerados quaisquer, 
e não unicamente para os produtos positivos definidos. 
Teorema 9. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sôbre o corpo K, munido 
de um produto escalar não-degenerado. Seja W um sub-espaço de V. Seja U o sub-espaço 
de V ortogonal a W. Então dim U = dim Y - dim W. 
Demonstração. O núcleo da aplicação é {O} devido à não-degeneração, e como 
V e o espaço dual, vamos indicar por 
Perpv(W) 
o espaço de todos os elementos v E V tais que ( v, w) = O para todo w E W, e por 
Perpv*(W) 
o espaço dos elementos <p E V* tais que <p(w) = O para todo w E W. Por definição, um 
elemento v E V pertence a Perpv( W) se, e sómente se, a forma linear Lv pertencer a 
Perpv*(W). Nestas condições, a aplicação v 1---> Lv induz um isomorfismo entre 
Perpv(W) e Perpv*(W); logo, êstes dois espaços têm a mesma dimensão. Agora é só 
aplicar o Teorema 7 para concluir a demonstração. 
Observação. Acentuamos o fato que o Teorema 9 é válido apesar de que V não 
é necessàriamente a soma direta de W com Perpv(W). Por exemplo, consideremos 
V = C2, e seja W o sub-espaço de dimensão 1 gerado pelo vetor (1, i). Desejamos 
determinar w.L em C2, onde o perpendicularismo é baseado no produto escalar usual 
de vetores. Então certamente w.i contém W pois (1, i) · (1, i) = O. Por outro lado, 
conforme nosso teorema, dim W .i = dim C2 - dim W = 1. Logo, W .L = W. 
Veremos aplicações do nosso teorema no estudo do parágrafo que segue, onde 
surgirão outros exemplos. 
EXERCÍCIOS 
1. Sejam A e B dois vetores linearmente�independentesno R". Qual é a dimensão 
do sub-espaço de C" perpendicular a A e a B? 
2. Sejam A e B dois vetores linearmente independentes no C". Qual .é a dimensão 
do espaço perpendicular a A e a B? (O perpendicularismo é baseado no produto esca­
lar usual de vetores no C"). 
3. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sôbre o corpo K. Sejam dois 
sub-espaços U e W, e suponhamos que V é a soma direta U EB K. Mostrar que V* 
é igual à soma direta u.i EB w.i. 
4. Seja W o sub-espaço de C3 gerado pelo vetor (1, i,O). Achar uma base de w.i 
em C3 (com respeito ao produto escalar usual de vetores). 
5. Seja Vum espaço vetorial n-dimensional sôbre o corpo K. Seja <p um funcional 
sôbre V, com <p =1- O. Qual é a dimensão do núcleo de <p? Demonstração? 
6. [Adotamos a notação Ker <p = núcleo de <p (Kernel =núcleo)]. Seja V um 
espaço vetorial n-dimensional sôbre o corpo K. Sejam I{!, <p duas formas lineares não­
nulas sôbre V. Supondo que não exista nenhum elemento e E K, e =1- O, tal que I{! = c<p, 
mostrar que 
(Ker <p) n (Ker I{!) 
tem dimensão n - 2. 
126 Álgebra Linear 
7. Seja V um espaço vetorial n-dimensi�nal sôbre o corpo K. Seja V** o espaço 
dual de V*. Mostrar que a cada elemento v E V corresponde um elemento À.vem V**, 
e que a aplicação v r-+ À.v é um isomorfismo entre V e V**. 
8. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sôbre o corpo K, munido de um 
produto escalar não-degenerado. Seja W um sub-espaço. Mostrar que W.LL = W. 
9. Mostrar que a conclusão do Exercício 8 é válida se identificarmos W.L com o 
complemento ortogonal de W no espaço dual V*. 
10. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sôbre o corpo K, e sejam W1 e W2 
dois sub-espaços. Expressar (W1 + W2).L em função de Wf e Wi. Expressar também 
(W1 n W2).L em têrmos de Wf e Wi. 
§5. O pôsto de uma matriz e equações lineares 
Seja A = (a;i) uma m x n matriz num corpo K. As colunas A 1, . .. , A" de A ge­
ram um sub-espaço de Km, cuja dimensão é chamada pôsto-coluna de A. As linhas 
A1, • • • , Am de A geram um sub-espaço de K", cuja dimensão é chamada pôsto-linha 
de A. Também podemos dizer que o pôsto-coluna é o número máximo de colunas 
linearmente independentes, e que o pôsto-linha é o número máximo de linhas linear­
mente independentes. 
Lembramos que um sistema de equações lineares 
(**) 
am1X1 + · · · + amnXn = Ü 
foi visto sob dois ângulos. Em primeiro lugar, interpretamos uma solução X = 
= (x1 , • • . , x.) como sendo uma relação linear entre os vetores-coluna: 
x1A1 + · · · + x.A" = O. 
Em segundo lugar, interpretamos uma solução X como sendo um vetor ortogonal 
a todos os vetores-linha (e portanto ortogonal ao espaço gerado pelos vetores-linha): 
A 1 · X = O, . . . , Am · X = O. 
O conjunto das soluções é portanto um sub-espaço de K". 
Teorema 10. Seja A =(a;) uma m x n matriz sôbre um corpo K. Então o pôsto-li­
nha e o pôsto-coluna de A são iguais a um mesmo número r. Além disso, n - r é a dimen­
são do espaço das soluções do sistema de equações lineares (**). 
Demonstração. Vamos provar tôdas as asserções simultâneamente. Considera­
mos a aplicação 
dada por 
L(X) = x1A1 + · · · + x.A" 
Esta aplicação é óbviamente linear. Sua imagem é o espaço gerado pelos vetores-co­
luna da matriz A. Seu núcleo é, por definição, o espaço das soluções do sistema de 
Produtos Escalares e Ortogonalidade 127 
equações lineares. A partir disto, deduzimos, por meio do Teorema 3 do Capítulo 
IV, §4, que 
pôsto-coluna + dimensão do espaço das soluções = n (1) 
Por outro lado, interpretando o espaço das soluções como sendo o espaço ortogonal 
aos vetores-linha, e lembrando que o produto escalar usual em K" é não-degenerado, 
podemos aplicar o Teorema 9 do parágrafo precedente, e concluir que 
pôsto-linha + dimensão do espaço das soluções = n. (2) 
Das igualdades (1) e (2) seguem imediatamente tôdas as nossas asserções. 
Nossas equações homogêneas admitem mais uma interpretação. Seja A = (a;) a 
matriz dos coeficientes, e consideremos X como um vetor-coluna. Então o espaço das 
soluções é formado daquêles X que pertencem ao núcleo da aplicação linear 
F: K"---> Km 
dada por F(X) = AX (multiplicação de matrizes!). Assim sendo, o espaço das soluções 
do sistema homogêneo também pode ser interpretado como o núcleo da aplicação 
linear F. 
Também podemos discutir as equações não-homogêneas. Seja 
B�(!) 
um vetor-coluna de Km. Consideramos o sistema de eq'uações lineares 
A1 ·X= b1, 
(*) 
Am·X = bm, 
que podemos interpretar de uma outra forma ainda. Temos uma aplicação linear 
F: K" ---> Km dada por (A1 ·X) 
F(X) = ; = AX, 
Am·X 
e·o espaço das soluções de (**) é igual ao núcleo desta aplicação linear. O conjunto 
das soluções do sistema não-homogêneo (*) é o conjunto dos elementos X em K" tais 
que F(X) = B. Lembrando o Exercício 5 do Capítulo IV, §3, podemos mostrar fàcil­
mente que se X 0 é uma solução de (*), ou seja, se 
F(X0) = B, 
então qualquer outra solução é da forma X 0 + Y, onde Y E Ker F. É claro que pode 
não existir nenhuma solução do sistema não-homogêneo (*), i. e. pode acontecer que 
as equações são incompatíveis entre si. Por exemplo, o sistema 
2x+3y-z=l, 
2x+3y-z=2 
128 Álgebra Linear 
não admite solução. Contudo, se existir pelo menos uma solução de (*), então pode­
mos voltar a falar da dimensão do conjunto das soluções. Esta dimensão é,por defini­
ção, a dimensão do espaço das soluções do sistema homogêneo (**). 
Exemplo 1. Determinar o pôsto da matriz 
sôbre o corpo dos números reais. 
5 
3 
Como a matriz possue duas linhas, o pôsto é � 2. Por outro lado, as duas primei­
ras colunas são linearmente independentes, porque o determinante 
I� �1=3-10 
é diferente de O. Logo, o pôsto é igual a 2. 
Notamos que o pôsto é o mesmo quando consideramos a matriz do Exemplo 
quer sôbre os reais, quer sôbre os números complexos. Podemos determinar o pôsto 
usando simplesmente o determinante, que é calculado por meio de uma fórmula uni­
versal envolvendo unicamente as componentes da matriz. Êste fato é bastante útil. 
Exemplo 2. Calcular a dimensão do conjunto das soluções do seguinte sistema 
de equações, e determinar êste conjunto em R 3: 
2x + y + z = 1, y-z =O. 
Um exame rápido nos mostra que existe pelo menos uma solução, que é x = t, y = z = O. O pôsto da matriz 
G -�) 
é 2. Logo, a dimensão do conjunto das soluções é 1. O espaço vetorial das soluções 
do sistema homogêneo tem dimensão 1, e encontramos fàcilmente uma solução 
y=z=l e X= -t. 
Logo, o conjunto das soluções é o conjunto de .todos os vetores 
(t, O, O)+ t(-t, 1, 1), 
onde t percorre o conjunto dos números reais. Vemos que nosso conjunto de solu­
ções é uma reta (ver Capítulo 1). 
Na tabela seguinte, resumimos nossas três interpretações para sistemas de equa­
ções lineares homogêneas, com matriz de coeficientes A. 
Produtos Escalates e Ortogonalidade 129 
(a) O espaço das soluções é formado por aquêles vetores X que dão origem a 
relações lineares 
entre as colunas de A. 
(b) As soluções X formam o espaço ortogonal aos vetores-linha de A. 
(c) As soluções formam o núcleo da aplicação linear representada par A; ou 
seja, elas são as soluções da equação AX = O. 
Teorema 11. Seja A uma n x n matriz. As seguintes condições são equivalentes: 
(a) As colunas de A. são linearmente independentes. 
(b) As linhas de A são linearmente independentes. 
(c) A matriz A é inversível. 
Demonstração. Como o pôsto-linha de A é igual ao pôsto-coluna de A, as duas 
primeiras condições são equivalentes. Quanto à terceira, se A fôr inversível, a única 
solução da equação AX = O é X = O, pois se B fôr uma inversa de A, então de AX = O 
concluímos que X= BAX = BO =O. Logo, o espaço das soluções AX =O tem 
dimensão zero; logo, as colunas de A são linearmente independentes. Deixamos a 
recíproca a cargo do leitor.EXERCÍCIOS 
1. Calcular o pôsto das seguintes matrizes sôbre os números reais. 
(a) (� 1 
2 
(d)( 
1 
1 
4 
o 
�) (b) (-! 
2 -·� 
-2 3 
8 -12 
o o 
2 -2) 
4 -5 (e) G 2 7) 4 -1 
2. Sejam A e B duas matrizes que podem ser multiplicadas. Mostrar que pôsto 
de AB � pôsto de A, e também que pôsto de AB � pôsto de B. 
3. Seja A uma matriz triangular sôbre um corpo K: 
Suponhamos que nenhum dos elementos da diagonal é igual a O. Qual é o pôsto de A? 
130 Álgebra Linear 
4. Calcular a dimensão, sôbre ·R, do espaço das soluções dos seguintes sistemas 
de equações lineares. Achar támbém uma base dêste espaço das soluções. 
(a) 2x+y-z=O (b) x-y+z=O 
y+z=O 
(c) 4x + 7y-nz =O 
2x-y+z=0 
(d) X+ y + Z = Ü 
x-y =O 
y+z=O 
5. Qual é a dimensão, sôbre R, do espaço das soluções dos seguintes sis�emas de 
equações lineares: 
(a) 2x -3y + z = O 
x+y-z=O 
(c) 2x-3y+z=0 
x+y-z=O 
3x + 4y =O 
5x + y + z =O 
(b) 
(d) 
2x + 7y =O 
x-2y + z =O 
x+y+z=O 
2x + 2y + 2z =O 
6. Seja A um vetor não-nulo de R". Seja P um ponto no n-espaço. Qual é a dimen­
são do conjunto das soluções da equação 
X·A = P·A? 
7. Achar a dimensão, sôbre C, do espaço das soluções dos seguintes sistemas de 
equações lineares. Achar também uma base para êste espaço das soluções. 
(a) ix + y-z =O (b) (1 + i)x-iy + 2z =O 
iy+z=O ix+2iy-iz=0 
8. Achar a dimensão do conjunto das soluções em R3 dos seguintes sistemas de 
equações. Em cada caso, achar uma base do espaço das soluções do sistema homogêneo 
correspondente, e achar uma solução para o sistema não-homogêneo (quando ela 
existe). 
(a) 2x+3y-z=l (b) 2x-y+z=O 
(c) -X + 4y + Z = 2 
3x + y-z =O 
2x+.y+z=0 
(d) x- y + z = 1 
2x-3y + z =O 
x+y-z=5 
9. Mostrar que as seguintes operações não alteram o pôsto de uma matriz: 
- trocar duas linhas da matriz uma pela outra; 
- somar um múltiplo escalar de uma linha a uma outra linha; 
- efetuar estas operações nas colunas no lugar das linhas. 
10. Com base na observação feita no final do capítulo, provar de maneira geral 
que: se A é uma matriz com coeficientes em R, então o pôsto de A, vista como uma 
matriz em R, é o mesmo que o pôsto de A, vista como uma matriz em C. 
CAPÍTULO VIII 
Matrizes e Formas Bilineares 
§1. Formas. Bilineares 
Consideremos um corpo K e dois espaços vetoriais V e W sôbre K. Dizemos 
que uma aplicação g : V x W --> K é bilinear se ela satisfizer às propriedades seguintes: 
BI 1. Para quaisquer v1, v2 E Ve w E W, vale 
g(v1 + v2, w) = g(v1 , w) + g(v2, w) 
e para quaisquer v E V e w1, w2 E W, vale 
BI 2. Para quaisquer e E K, v E V e w E W, vale 
g(cv, w) = cg(v, w) = g(v, cw). 
Nestas condições, podemos dizer que uma aplicação bilinear é uma aplicação tal_ 
que: para todo ve V, a aplicação w 1-+ g(v, w) é linear, e também para todo we W, 
a aplicação v 1-+ g(v, w) é linear. Se não houver necessidade de mencionar a aplicação g 
explicitamente, passaremos a escrever, de maneira geral: 
g(v, w) = (v, w), 
pois as propriedades BI 1 e 2 são semelhantes às propriedades correspondentes do 
produto escalar usual. 
Se os espaços V e W são iguais ao mesmo espaço V, de sorte que g é uma apli­
cação de V x V em K, então dizemos que g é uma forma bilinear sôbre V. Na verdade, 
vamos lidar sómente com tais aplicações em todo êste capítulo. 
Se g, g' : V x V --> K são formas bilineares sôbre V, então podemos formar sua 
soma g + g'. Novamente, trata-se de uma forma bilinear. Se e E K, então cg é uma 
forma bilinear. Assim sendo, o conjunto das formas bilineares sôbre V é um espaço 
vetorial sôbre K. 
Exemplo 1. Seja C 
= 
(ci) uma n x n matriz em K. À matriz C podemos associar 
uma aplicação bilinear K" x K" --> K da maneira seguinte: Se 'X = (x1, • • • , x.) 
e 'Y = (Yt, . . . , y.) são dois vetores (tornando X e Y como sendo vetores-coluna de K"), 
então a êles associamos a 1 x 1 matriz 'XCY, que interpretamos como sendo um 
elemento de K. Com isto, a aplicação que estamos considerando é 
(X, Y) 1-+ 'XCY. 
132 Álgebra Linear 
A bilinearidade desta aplicação é uma conseqüência direta das propriedades da mul­
tiplicação de matrizes. Também podemos expressar a aplicação por meio da notação 
de matrizes: 
(C11 
'XCY = (xi, ... , Xn) 
Cnt 
ou, em têrmos das coordenadas e de somatórias: 
n n 
Ctn) (�1) 
Cnn Yn 
'XCY = L X;CijYj = L CijXiYj · i,J=l i,j=l 
Podemos indicar a aplicação bilinear sôbre K" associada a C pelo símbolo gc. 
Se C e C' são duas n x n matrizes, então gc+ e· = gc + gc·. Se b E K, então, 
gbc = bgc. Isto significa que a aplicação 
e 1-+ gc 
é uma aplicação linear do espaço vetorial das n x n matrizes em K, no espaço das 
formas bilineares sôbre K". Isto é uma reformulação de algumas das propriedades 
da multiplicação de matrizes, a saber 
'X(C + C')Y = 'XCY + 'XC'Y, 
'X(bC)Y = b'XCY. 
Aforma gc é a forma zero se, e sómente se, Cfôr a matriz zero. Demonstração: Se gc = O, 
então 'XCY = O, quaisquer que sejam X e Y em K". Então temos necessàriamente 
CY = O para todo Y em K", pois se CY =f. O, então existe X E K" tal que 
'XCY =f. O 
(devido à não-degeneração do produto escalar usual de n-uplas). Anàlogamente, deve­
mos ter e= o. 
Em particular, se e e C' são n X n matrizes tais que gc = gc·' então e = C'. 
Com efeito, nêste caso, temos 
'XCY = 'XC'Y 
quaisquer que sejam X, Y E K"; donde 'XCY - 'XC'Y = O, e portanto 
'X(C- C')Y = O 
quaisquer que sejam X, y E K". Conseqüentemente, e - C' = o e C' = e. 
Dizemos que a matriz C do Exemplo 1 é a matriz que representa a forma bilinear. 
Com isto, vemos que uma forma bilinear, designada por (,), origina um certo 
tipo de produto entre elementos de V. Freqüentemente, formaremos tais produtos 
envolvendo somas. Sejam elementos v1, • • . , vn e w1, • • . , wm de V. Então podemos 
expandir o produto: 
(V 1 + · · · + Vn, W 1 + · · · + wm) 
= (v1,w1 + · · · + wm)+ · · · + (vn,W1 + · · · + wm) 
= (v1, w1) + ... + (v1, wm) + . . . + (vn, W1) + . . . +(vn, w.). 
Matrizes e Formas Bilineares 133 
Nesta soma, cada têrmo é da forma ( v; , wj) comi = 1, ... , n e j = 1, . . . , m. Portanto, 
podemos abreviar a soma escrevendo 
n m 
L L (vi> wj) 
i = 1 j= 1 
ou, levando mais adiante a abreviação, 
L (v;, wj), 
i,j 
se a referência aos índices i,j fôr clara. 
Por exemplo, 
(v + w, v + w) = (v, v) + (v, w) + (w, v) + (w, w). 
Pode acontecer que (v, w) #- (w, v), de forma que, em geral, não podemos simpli-
ficar ainda mais. 
· 
Dizemos que uma forma bilinear g: V x V ---+ K é simétrica se 
g(v, w) = g(w, v), 
quaisquer que sejam v, w E V. Então, uma forma bilinear simétrica não é senão um 
produto escalar tal como definimos no Capítulo VII. 
Teorema 1. Uma n x n matriz C em K representa uma forma bilinear simétrica se, 
e sàmente se, ela fôr uma matriz simétrica. 
Demonstração. Suponhamos que C seja simétrica, i.e. 'C = C. Como para todos 
X, Y E K" a matriz 'XCY é uma 1 x 1 matriz, ou seja, um elemento de K, então 'XCY 
é igual à sua própria transposta. Portanto 
'(XCY) = '('XCY) = 'Y 'C"X = 'YCX. 
Isto revela que C representa uma forma bilinear simétrica. 
Reciprocamente, suponhamos que C represente uma forma bilinear simétrica, 
i.e. que 'XCY = 'YCX para todos X, YE K". Como 
'YCX = '('YCX) = 'X'C"Y = 'X'CY, 
obtemos 'XCY = 'X'CY, quaisquer que sejam X, Y E K", e, conseqüentemente, C = 'C. 
Em outras palavras, a matriz C é simétrica. 
Exemplo 2. A matriz 
c�H -2 1 1 
é simétrica. Sejam 'X = (x1 , x2, x3) e 'Y = (y1, y2, y3). Se g é a forma bilinear asso­
ciada, então 
g(X, Y) = X1Y1 -2X2Y1. + 3X3Yi -2X1Y2 + X2Y2 + X3Y2 
+ 3x1y3 + X2Y3 + 4x3y3 
= g(Y, X). 
134 Álgebra Linear 
Seja V um espaço vetorial n-dimensional sôbre K, e seja_ g: V x V -+ K uma 
forma bilinear. Consideremos uma base { v1 , ... , v.} de V, e elementosv e w de V; 
escrevamos êstes elementos em função da base: 
Então 
V= X1V1 + · · · + XnVn, 
W=Y1V1+···+y.v • . 
n 
g(v, w) = L: x;yig(v; , vi). i.j= 1 
Se tomarmos cii = g(v;, vi), então 
n 
g(v, w) = L: CijXiYJ. 
i,j= 1 
Vemos com isto que uma forma bilinear pode ser expressa em têrmos dos vetores das 
coordenadas X, Y e da matriz C = (c;i), exatamente como no Exemplo 1. 
Suponhamos que a forma g é simétrica. 
Se { v1, . • . , v.} é uma base ortogonal, então g(v;, v) = O se i .. =I j. Conseqüente­
mente, a matriz (e;) é uma matriz diagonal, que escrevemos 
o 
�)· 
Cn o 
e nêste caso, dizemos que a forma está diagonalizada. Então o produto escalar é dado 
em têrmos dos vetores das coordenadas relativos à base ortogonal pela expressão 
simplificada 
g(v, w) = c1x1y1 + ... + c.x.y • . 
No caso dos números reais, se {v1, • • . , v.} é uma base ortonormal, e se ainda mais 
g(v;, v;) = 1, então 
g(v, w) = x1y1 + · · · + x.y., 
que não é senão o produto escalar usual. 
Terminamos êste parágrafo com uma discussão a respeito da mudança de coor­
denadas. 
Seja C uma matriz quadrada representativa de uma forma bilinear g. Então, a 
forma bilinear é dada por 
g(X, Y) = 'XCY, 
em função dos vetores das coordenadas X e Y. Suponhamos que mudamos as bases 
do nosso espaço vetorial. Existe uma matriz não-singular N tal que X = NX' e ·y = NY' 
sendo X' e Y' os vetores das coordenadas com respeito à outra base. Nestas condições, 
obtemos 
'XCY = '(NX')CNY' = 'X''NCNY'. 
Matrizes e Formas Bilineares 135 
Conseqüentemente, em relação aos vetores das coordenadas X' e Y', a matriz que 
representa a forma é 
Dêste modo, vemos que, ao contrário da mudança da matriz de uma aplicação linear 
(que se altera em têrmos da inversa), a matriz de uma aplicação bilinear muda pela 
transposta. Conforme a notação do Capítulo V, §3, verificamos que N não é senão 
l N = M�' (id). 
EXERCÍCIOS 
1. Seja g, denotada por(,), a forma bilinear sôbre R3 cuja matriz associada com 
respeito à base usual é 
(-: � D 
Achar dois vetores X e Y em R3 de sorte que (X, Y) -:/- (Y, X). 
2. Determinar a matriz associada a g, com respeito à base {(1, 1, O), (O, 1, O), (1, 1, 1)} 
se g é a forma descrita no Exercício 1. 
3. (a) Seja V um espaço vetorial sôbre o corpo K, e suponhamos que V é uma 
soma direta, V = W1 EB W2 , de sub-espaços W1 e W2 • Seja g i uma forma 
bilinear simétrica sôbre Wi , e seja g2 uma forma bilinear simétrica sôbre W2 • 
Mostrar que existe uma única forma bilinear g sôbre V tal que, se v = Vi + v2 
e w = wi + w2 são elementos de V, com Vi, w1 E Wi e v2 , w2 E W2 , então 
g(v, w) = Ui(Vi, W1) + U2(V2, W2). 
(b) Se f41 é uma base de W1 e f42 é uma base de W2, qual será o aspecto da 
matriz representativa da forma g, em relação à base fA i u f4 2 de V? 
4. Consideremos o espaço vetorial V sôbre R de todos os polinômios de grau 
� n. Se f, (J E V, definimos 
(f, g) 
= f f (t)g(t) dt. 
Determinar a matriz dêste produto escalar com respeito à base {1, t, ... , t"}. 
5. Seja V o espaço vetorial sôbre R, de base {sen t, cos t}. Definimos o produto 
escalar por 
(f, g > 
= 
f /(t)g(t) dt. 
Qual é a matriz dêste produto escalar em relação à base dada? 
136 Álgebra Linear 
6. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sôbre o corpo K, e seja g uma 
forma bilinear sôbre V, que escrevemos (,). 
(a) Mostrar que para cada w e V, a aplicação v 1---+ ( v, w) é uma forma linear Lw 
sôbre V, e que a aplicação w 1-> Lw é uma aplicação linear de V no espaço 
dual V*. 
(b) Mostrar que as condições seguintes são equivalentes: 
(i) O núcleo da aplicação L acima (w 1---+ Lw) é {O}. 
(ii) A aplicação L é um isomorfismo entre V e V*. 
(iii) Se C é a matriz que representa a forma bilinear com respeito a uma base 
de V, então Det( C) -/= O. 
Dizemos que uma forma bilinear que verifica as três condições acima é não­
degenerada. 
7. Generalizar os resultados dêste parágrafo da forma seguinte: 
(a) Seja C uma m x n matriz em K. Mostrar que a C corresponde uma aplicação 
bilinear g : Km x Kn ----> K dada pela regra 
g(X, Y) = 'XCY, (X e Km, YeK".) 
(b) Reciprocamente, sejam V e W dois espaços vetoriais de dimensões finitas 
sôbre K. Sejag: V x W ----> K uma aplicação linear, representada porg(v, w) = 
= (v, w). Mostrar que a cada par de bases f!I de V e f!I' de W podemos asso­
ciar uma matriz C, de sorte que, se v e V e w e W, e X = Ma(v), Y = M.,.(w), 
então 
g(v, w) = 'XCY. 
(c) Seja g: V x W ----> K uma aplicação bilinear, designada por (,), Para cada 
w e W, mostrar que a aplicação de V em K dada por 
Lw : v 1---+ ( v, w) 
é uma forma linear sôbre V, e que a aplicação w 1-> Lw é uma aplicação linear 
de W no espaço dual V*. 
(d) Mostrar que são equivalentes as seguintes condições: 
(i) A aplicação L: W ----> W* é injetora (seu núcleo é {O}). 
(ii) Se C é uma matriz associada a g da maneira descrita em (li' v1tão C tem 
pôsto n, onde n = dim W. 
§2. Formas quadráticas 
Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sôbre o corpo K. Seja g = (,) uma 
forma bilinear simétrica sôbre V. Chamamos de forma quadrática determinada por g, 
à função: 
f: V---->K 
tal que f(v) = g(v, v) = ( v, v ). 
Exemplo 1. Se V= K", então f (X) =X· X= xi + · · · + x; é a forma quadrá­
tica determinada pelo produto escalar usual. 
Matrizes e Formas Bilineares 137 
De maneira geral, se V = K" e se C é uma matriz simétrica em K, que representa 
uma forma bilinear simétrica, então a forma quadrática é dada como uma função de X, 
pela fórmula 
n 
f(X)='XCX= L ciixixi. 
Se C é uma matriz diagonal, digamos 
(C1 
e= ? 
o 
o 
o 
i,j= 1 
�)' e,. 
então a forma quadrática é dada por uma expressão mais simples, que é 
f(X) = C1Xf + . . . + c.x;. 
Voltamos ao espaço vetorial V de dimensão finita sôbre o corpo K. Considera­
mos uma forma bilinear simétrica g, e sua forma quadrática/ Então podemos dedu­
zir todos OS valôres de g unicamente a partir dos valôres de j, pois para V, W E V, 
1 < v, w > = H <V + w, V + w > - <V - w, V - w >] 
ou, em termos de g e f 
g(v, w) = i[f(v + w)-f(v - w)]. 
Temos também a fórmula 
1 <V, W) = t[ <V + W, V + W) - <V, V) - < W, W)] 
A demonstração é trivial: basta expandir empregando a bilinearidade. Por exemplo, 
para a segunda fórmula, temos 
<V + W, V + W ) - <V, V) - < W, W) = 
= <V, V) + 2( tí, W) + < W, W) - <V, V) - < W, W) 
= 2(v, w). 
Deixamos a primeira a título de exercício. 
Exemplo 2. Seja V== R2, e representemos os elementos de R2 por 'X= (x,y). 
A função f dada por 
f (x, y) = 2x2 + 3xy + y2 
é uma forma quadrática. Propomos achar a matriz da sua forma bilinear simétrica g. 
Esta matriz tem o aspecto: 
138 Álgebra Linear 
e devemos ter 
f(x, y) = (x, y) (: �) C) 
ou em outras palavras, 
2x2 + 3xy + y2 = ax2 + 2bxy + dy2. 
Disto resulta que a = 2, 2b = 3, e d = 1. Logo, a matriz é 
(2 J_) 
e= 1 � . 
EXERCÍCIOS 
1. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sôbre um corpo K. Seja uma fun­
ção f: ·V --> K, e suponhamos que a função g verificando 
g(v, w) = f(v + w)-f(v)-f(w) 
seja bilinear. Suponhamos ainda que f(av) = a2f (v) para todo v E V e todo a E K. 
Mostrar que f é uma forma quadrática, e determinar uma forma bilinear da qual ela 
provém. Mostrar que esta forma bilinear é única. 
2. Qual é a matriz associada da forma· quadrática. 
f(X) = x2- 3xy + 4y2 
se X 
= (x, y, z)? 
3. Sejaf: Rn--> Ruma função duas vêzes continuamente diferenciável, tal que 
f(tX) = t2f (X) para todo X E Rn. Mostrar que fé uma forma quadrática. (Para tanto, 
o leitor precisará de algumas fórmulas de cálculo de várias variáveis). 
4. Sejam x1, x2, x3, x4 as coordenadas de um vetor X, e y1, y2, y3, y4 as coorde­
nadas de um vetor Y. Expressar em têrmos destas coordenadas a forma bilinear associa­
daa cada uma das seguintes formas quadráticas: 
(a) X1X2 (b) X1X3 + xi (e) 2 X1X2 -X3X4 (d) xf- 5x2X3 +xi. 
5. Mostrar que sef1 é a forma quadrática da forma bilinear g1, e sef2 é a forma 
quadrática da forma bilinear g2 , então f1 + f2 é a forma quadrática da forma bili­
near g1 + g2• 
§3, Operadores simétricos 
Consideremos um espaço vetorial V de dimensão finita sôbre um corpo K. Supo­
nhamos que V está munido de uma forma bilinear simétrica não-degenerada fixa, 
designada por (,) nêste parágrafo. Se o desejar, o leitor pode supor V = Kn, e pode 
considerar que a forma bilinear fixada é o produto escalar usual 
(X, Y) = 'XY, 
onde X e Y são vetores-coluna de Kn. 
Matrizes e Formas Bilineares 139 
Uma aplicação linear de V nêle próprio é denominado operador. Seja A: V -> V 
um operador. Então, a partir de A, podemos definir uma forma bilinear sôbre V, por 
meio da aplicação: 
(v, w)-> (Av, w) 
para v, w E V. É trivial a verificação da bilinearidade desta aplicação. Reciprocamen­
te, tôda forma bilinear pode ser representada _por um operador, como mostra o seguinte. 
Teorema 2. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sôbre o corpo K, munido 
de uma forma bilinear não-degenerada simétrica (,) . Seja g umaforma bilinear qualquer 
sôbre V. Nestas condições, existem operadores únicos A e B de V tais que 
g(v, w) = (Av, w) = (v, Bw) 
quaisquer que sejam v, w E V. 
Demonstrnção. Para cada w E V, a aplicação 
Lw : V -> g(v, w) 
é uma aplicação linear de V em K, ou seja, Lw é um funcional. Vimos no Teorema 8 
do Capítulo VII, §4, que todo funcional sôbre V pode ser representado por um único 
elemento de V; isto quer dizer que existe um elemento único w' de V tal que, para 
todo v E V, temos 
Lw(v) = (V, w' ) . 
A associação w f--+ w' é portanto uma aplicação de V nêle próprio, que indicamos 
por B. Assim sendo, w' = Bw e temos a fórmula 
g(v, w) = (v, Bw) 
quaisquer que sejam v, w E V. A aplicação B é linear. Para verificar isto, suponhamos 
que w1, w2 E V e w'1 , w� E V são tais que 
g(v, w1) = (v, w'1) 
para todo v E V. Então 
e 
Logo, 
g(v ,w1 + w2) = g(v, wi) + g(v, w2) 
= (v, wí ) + (v,w�) 
= (v, w'1 + w�) . 
Além disso, se e E K, então 
g(v, cw1) = cg(v, w1) = c(v, w'1) = (v, cwí ) . 
Portanto B(cw1) = cB(wi). Isto prova que B é linear. A unicidade de B decorre do 
fato que, para cada w, sabemos que existe um único elemento w' 
= 
Bw tal que g(v, w) = 
= ( v, Bw) para todo v E V. 
140 Álgebra Linear 
Como nossa forma (,) é simétrica, podemos aplicar o mesmo raciocínio para a 
transformação linear w 1-> g(v, w) para cada v E V, e segue que existe um único ope­
rador A tal que 
g(v, w) = (Av, w) 
quaisquer que sejam v, w E V. Fica assim demonstrado nosso teorema. 
No contexto do teorema, dizemos que o operador A representa a forma g. 
Por definição, dizemos que o operador B acima é o transposto de A, e nós a indi­
camos por 'A. Dizemos que o operador A é simétrico (em relação à forma simétrica 
não-degenerada (,) fixada) se 'A = A. 
Para qualquer operador A de V, vale por definição a fórmula 
(Av, w) = (v, 'Aw) 
para todos v, we V. Se A é simétrico, então (Av, w) = (v. Aw) e reciprocamente. 
Exemplo 1. Consideremos V 
= 
K", e para a forma simétrica, tomemos o produto 
escalar usual. Então podemos considerar que A é uma matriz em K, e que os elementos 
de K" são vetores-coluna X e Y. Seu produto escalar usual pode ser escrito como uma 
multiplicação de matrizes 
(X, Y) = 'XY. 
Temos 
(AX, Y) = '(AX)Y = 'X'A Y = (X, 'A Y), 
onde 'A representa agora a transposta da matriz A. Assim sendo, quando trabalhamos 
com o produto escalar usual de n-uplas, o transposto do operador é representada 
pela transposta da matriz associada. É êste o motivo pelo qual adotamos a. mesma 
notação para ambos os casos. 
Um operador simétrico A origina uma forma quadrática f, de modo que 
f(v) = (Av, v), 
é denominada a forma quadrática determinada por A. 
Exemplo 2. Seja V 
= 
R 2 e seja A a matriz 
Então a forma quadrática determinada por A (considerada como uma aplicação li­
near de R2 em R2) é dada por 
f(x, y) = (x, y) G 1�) (;) = 3x2 + lOxy + l3y2• 
Por fim, a transposta verifica as fórmulas seguintes: 
Màtrizes e Formas Bilineares 141 
Teorema 3. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sôbre o corpo K, munido 
de uma forma bilinear simétrica não-degenerada (,). Sejam A e B dois operadores de 
V, e c E K. Então: 
'(A + B) = 'A+ 'B 
'(cA) = c'A 
'(AB) = 'B'A 
"A= A. 
Demonstração. Vamos demonstrar sómente a segunda fórmula. Para todos v, 
w E V, temos 
(ABv, w) = (Bv, 'Aw) = (v, 'B'Aw). 
Por definição, isto significa que '(AB) = 'B'A. As outras fórmulas são igualmentes fáceis 
de demonstrar. 
EXERCÍCIOS 
1. (a) Diz-se que uma matriz A é anti-simétrica se 'A= -A. Mostrar uma ma­
triz M arbitrária pode ser expressa como uma soma de uma matriz simé­
trica com uma matriz anti-simétrica, e que estas matrizes são determinadas 
de modo único. [Sugestão: Considerar A 
= 
t(M + 'M)]. 
(b) Se A é anti-simétrica, então A2 é simétrica. 
(c) Seja A uma matriz anti-simétrica. Mostrar que Det(A) = O se A fôr uma 
n x n matriz, com n ímpar. 
2. Seja A uma matriz simétrica inversível. Mostrar que A - i é simétrica. 
3. Mostrar que uma matriz triangular simétrica é diagonal. 
4. Mostrar que os elementos da diagonal de uma matriz anti-simétrica são iguais 
a zero. 
5. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sôbre um corpo K, munido de 
um produto escalar não-degenerado. Sejam elementos v0 e w0 de V. Seja A: V --> V 
a aplicação linear tal que A(v) = ( v0, v) w0. Descrever 1 A. 
6. Seja V o espaço vetorial, sôbre R, dos polinômios de grau � 5. Definimos o 
produto escalar de modo usual: 
(J, 
g) = f f (t)g(t) dt. 
Descrever a transposta da aplicação derivada D, com respeito a êste produto escalar. 
7. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sôbre o corpo K, munido de um 
produto escalar não-degenerado. Seja A: V --> V uma aplicação linear. Mostrar que 
a imagem de 'A é o espaço ortogonal ao núcleo de.A. 
8. Consideremos um espaço vetorial V de dimensão finita sôbre R, munido de 
um produto escalar positivo definido. Seja P: V --> V uma aplicação linear tal que 
PP = P. Suponhamos que 'PP = P'P. Mostrar que P = 'P. 
9. Diz-se que uma n x n matriz quadrada simétrica real A é positiva definida se 
'XAX >O para todo X oi O. Se A e B são simétricas (e do mesmo tipo), dizemos por 
definição que A < B se B -A fôr positiva definida. Mostrar que se A < B e B < C, 
então A< C. 
142 Álgebra Linear 
10. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sôbre R, munido de um produto 
escalar positivo definido(,). Dizemos que um operador A de V é positivo se ( Av, v) G O 
para todo v E V, v =F O. Suponhamos que V = W + WJ. é a soma direta de um sub-es­
paço W com seu complemento ortogonal. Seja P a projeção sôbre W, e suponhamos 
que W =F {O}. Mostrar que P é simétrica e positiva. 
11. Com as notações do Exercício 10, seja e um número real, e seja A o operador 
definido por 
Av = cw, 
sendo v = W + w', com w E W e w' E WJ.. Mostrar que A é simétrico. 
12. Ainda adotando as notações do Exercício 10, seja novamente P a projeção 
sôbre W Mostrar que existe um operador simétrico A tal que A2 = I + P. 
13. Seja A = (a;j) uma m x n matriz real ou complexa. Definimos uma genera­
lização do valor absoluto, por meio de 
IAI = mn · max l aii l 
(Não há receio de confusão com o determinante, pois êste não aparece no presente 
contexto). Se A e B são matrizes que podem ser somadas, mostrar que 
Se A e B podem ser multiplicadas, mostrar que 
IABI � IAI IBI 
Se e é um número, mostrar que 
icAI =lei IAI. 
14. Seja A uma matriz real simétrica. Mostrar que existe um número real e de 
modo que A + cl seja positiva. 
15. Seja V umespaço vetorial de dimensão finita sôbre um corpo K, munido de 
uma forma bilinear (,) não-degenerada. Se A: V--> V é uma aplicação linear tal que 
(Av, w) = (v, w) 
para todos v, w E V, mostrar que Det(A) = ± l. 
16. Seja Q = (q;) (i, j = 1, ... , n) uma matriz quadrada de funções q;i (funções 
reais infinitamente diferenciáveis) de uma variável real. Seja Y = '(y1, • • • , y.) um ve­
tor-coluna de funções. Seja Sa o conjunto de todos os Y tais que 
Y' = QY. 
Mostrar que Sa é um espaço vetorial (sôbre R). Seja <I> = '(cp1, • • • , cp.) um vetor-colu­
na de funções; tomemos 
(<!>, Y) = (/J1Y1 + ... + <p.y. · 
Seja D a aplicação derivada •. Definimos D, quando aplicada a uma matriz de funções, 
como sendo a matriz que obtemos aplicando D a cada componente. Mostrar que 
D(<I>, Y) = (D<I>, Y) + (<!>, DY) = ((D + 'Q)<I>, Y). 
Matrizes e Formas Bilineares 143 
Demonstrar por indução que, sendo K um inteiro positivo qualquer, 
Dk( </>, Y) = ((D + 'Q)k</>, V). 
17. Seja A uma matriz real simétrica =/= O. Mostrar que tr(AA) > O. 
18. Sejam A e B duas matrizes simétricas do mesmo tipo, sôbre o corpo K. Mos­
trar que AB é simétrica se, e sómente se, AB = BA. 
§4. Operadores hermitianos 
Consideremos um espaço vetorial V de dimensão finita sôbre os números complexos. 
Vamos supor que V está munido de um produto hermitiano positivo definido fixo, indicado 
por(,). Um produto hermitiano também é denominado forma hermitiana. Se o leitor 
o desejar, êle pode supor que V = C" e que o produto hermitiano fixo é o produto 
habitual 
(X, Y) = 'XY, 
onde X, Y são vetores-colunas de C". 
Seja A: V -> V um operador, i.e. uma aplicação linear de V nêle próprio. Para 
cada w E W, a aplicação 
Lw: V-> C 
tal que 
Lw(v) = (Av, w) 
para todo v E V é um funcional. 
Teorema 4. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sôbre C, munido de uma 
forma hermitiana (,) positiva definida. Dado um funcional L sôbre V, existe um único 
w' E V tal que L(v) = (v, w') para todo vE V. 
Demonstração. A demonstração é análoga àquela apresentada para o caso real 
(por exemplo, aquela do Teorema 8 do Capítulo VII, §4). Nós a deixamos a cargo 
do leitor. 
Do Teorema 4, concluimos que, dado w, existe um único w' tal que 
(Av, w) = (v, w') 
para todo v E V. 
Observação. A associação w 1--> Lw não é um isomorfismo entre V e seu espaço 
dual! Com efeito, se ex E C, então L.w = iiLw. Contudo, esta particularidade não afeta 
a existência do elemento w'. 
A aplicação w 1---> w' de V nêle próprio é designada por A*. Em decorrência da 
definição, vale a fórmula 
(Av, w) = (v, A*w) 
quaisquer que sejam v, w E V. A aplicação A* é linear, e aconselhamos vivamente ao 
leitor desenvolver por extenso a verificação dêste fato. A demonstração é semelhante 
àquela do caso das formas simétricas, e não aparece nenhuma barra de conjugação 
144 Álgebra Linear 
para estragar a linearidade de A*. Chamamos a A* o adjunto deA. É o único operador 
que sati.sfaz a fórmula acima. 
Exemplo. Seja V = C" e que nossa forma seja a forma usual dada por 
(X, Y) f--> 'XY =(X. Y) 
para vetores-coluna X e Y de C". Nestas condições, para qualquer matriz A represen­
tativa de uma aplicação linear de V nêle próprio, temos 
(AX, Y) = '(AX)Y = 'X'AY = 'X('AY). 
Além disso, por definição, o produto (AX, Y) é igual a 
(X, A*Y) = 'X(A*Y). 
Isto significa que 
A*= 'A. 
Com isto, vemos que teria sido errôneo empregar o mesmo símbolo t para indicar o 
adjunto de um operador sôbre C, que no caso da transposta sôbre R. 
Dizemos que um operador A é hermitiano (ou auto-adjunto) se A* = A. Isto signi­
fica que, quaisquer que sejam v,w E V, temos 
(Av, w) = (v, Aw). 
Valendo-nos do exemplo anterior, dizemos que uma matriz. quadrada A de números 
complexos é uma matriz hermitiana se 'A= A, ou, de modo equivalente, se 'A = A. 
Se A é uma matriz hermitiana, então definimos sôbre c• uma forma herrnitiana pela regra 
(X, Y) 1---+ t(AX) Y. 
(Verificar em detalhe que esta aplicação é um produto hermitiano). 
A operação * satisfaz regras análogas àquelas da transposta, a saber: 
Teorema 5. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sôbre C, munido de uma 
forma hermitiana (,) positiva definida fixa. Se A e B são operadores de V, e se or: E C, 
então 
(A + B)* =A* + B* 
(cxA)* = iXA* 
(AB)* = B*A* 
A**= A. 
Demonstração. Vamos demonstrar a terceira propriedade, deixando as demais a 
cargo do leitor. Para todos v, w E V, temos 
(or:Av, w) = or:(Av, w) = or:(v, A*w) = (v, aA*w). 
Por definição, o último membro desta igualdade é também igual a 
e conseqüentemente (cxA)* = iiA*, como afirmamos. 
Matrizes e Formas Bilineares 145 
Para o caso dos operadores hermitianos, vale um teorema análogo ao Teorema 2: 
Teorema 6. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sôbre os números com­
plexos, munido de uma forma hermitiana (,) positiva definida. Seja g uma outra forma 
hermitiana sôbre V. Nestas condições, existe um único operador hermitiano A de V tal 
que, quaisquer que sejam v, w E V, 
g(v, w) = (Av, w). 
Demonstração. A demonstração segue fielmente aquela do Teorema 2, e espera­
mos que o leitor a faça. 
No Teorema 6, dizemos que o operador A representa a forma g. 
Temos também o correspondente das formas quadráticas para as formas hermi­
tianas. Seja g uma forma hermitiana, representada pelo operador A. Definimos o 
correspondente da forma quadrática como sendo a função f tal que 
f (v) = (Av, v). 
Vale a identidade de polarização: 
(A(v + w),v + w)-(À(v-w),v-w) = 2[(Aw,v) + (Av,w)] 
para quaisquer v, w E V, ou também 
(A(v + w),v + w)-(Av,v)-(Aw,w) = (Av,w) + (Aw,v). 
A verificação destas identidades é trivial: basta expandir o membro esquerdo. 
Teorema 7. Seja V como dado anteriormente. Se A é um operador tal que (Av, v) = O 
para todo v E V, então A = O. 
Demonstração. O membro esquerdo da identidade de polarização é igual a O para 
todos v, w E V. Logo, obtemos 
(Aw, v) + (Av, w) =O 
para quaisquer v, w E V. Substituamos v por iv. Então pelas regras de produto hermi­
tiano, obtemos 
- i(Aw, v) + i(Av, w) =O 
donde 
-(Aw, v) + (Av, w) =O. 
Somando esta relação àquela obtida anteriormente, resulta 
2(Av, w) =O, 
donde, ( Av, w) = O, para quaisquer v, w E V. Logo, A = O como queríamos demonstrar. 
Teorema 8. Seja V como dado anteriormente. Seja A um operador. Então A é hermi­
tiano se, e somente se, ( Av, v) fôr real para todo v E V. 
146 
Demonstração. Suponhamos que A seja h.ermitiano. Então 
(Av, v) = (v, Av) = \AD,V}. 
Álgebra Linear 
Dado que um número complexo só pode ser igual a seu conjugado se êle fôr real, con­
cluimos que ( Av, v) é real. Reciprocamente, se ( Av, v) fôr real para todo v E V, então 
(Av, v) =( Av, v) = (v, Av) = (A*v, v). 
Logo, ((A - A *)v, v) = O para todo v E V, e pelo Teorema 7, concluimos que A - A* = O; 
donde A = A*, como queríamos demonstrar. 
EXERCÍCIOS 
1. Seja A uma matriz hermitiana inversível. Mostrar que A - 1 é hermitiana. 
2. Mostrar que o correspondente do Teorema 7 para o caso do espaço V de di­
mensão finita sôbre R é falso. Em outras palavras, é possível que Av seja perpendicular 
a todo v em V, sem que A seja a aplicação zero! 
3. Mostrar que o correspondente do Teorema 7, quando V é um espaço de di­
mensão finita sôbre R, é verdadeiro se acrescentarmos que A é simétrica. 
4. Quais das seguintes matrizes são hermitianas 
(a) (_� D ( 1 1 + i (e) 1 - i 2 5 -i 
5. Mostrar que os elementos da diagonal de uma matriz hermitiana são reais. 
6. Mostrar que uma matriz hermitiana triangular é diagonal. 
7. Sejam duas matrizes hermitianas A e B (do mesmo tipo). Mostrar que A + B é 
hermitiana. Se AB = BA, mostrar que AB é hermitiana. 
8. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sôbre C, munido de uma forma 
hermitiana. Seja A:V --> V um operador hermitiano. Mostrar que I + iA e I - iA são 
inversíveis. [Sugestão: Se v #-O, mostrar que 11(1 + íA)vll #-O.] 
9. Seja A uma matriz hermitiana. Mostrar que 'A e A são hermitianas. Se A fôr 
inversível, mostrar que A - i é hermitiana. 
10. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sôbre C, munido de uma forma 
hermitiana (,) positiva definida. Seja A: V --> V uma aplicação linear. Mostrar que 
as seguintes condições são equivalentes: 
(i) Vale AA* = A*A. 
(ii) Para todo v E V, li Avll = li A*vll (onde li vi I = .J ( v, v )). 
(iii) Podemos escrever A = B + iC, onde B e C são hermitianas, tais que 
BC= CB. 
11. Seja A uma matriz hermitiana não-nula. Mostrar que tr(AA*) >O. 
§5. Operadores unitários 
Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sôbre R, munido de um produto escalar 
positivo definido. Seja A: V --> V uma aplicação linear. Diremos que A é uma aplica­
ção unitária real se 
(Av, Aw) = (v, w) 
Matrizes e Formas Bilineares 147 
para quaisquer v, w E V. Podemos dizer que A é unitária no sentido que A preserva o 
produto. O leitor verificará em outros textos que uma aplicação unitária real também 
é denominada uma aplicação ortogonal. O teorema que segue dirá porque empregamos 
o adjetivo unitária. 
Teorema 9. Seja V como especificado acima. Seja A: V --+ V uma aplicação linear. 
As seguintes propriedades de A são equivalentes: 
(1) A é unitária. 
(2) A preserva o comprimento de vetores, i.e., para cada v E V vale 
llAvll = llvl l· 
(3) Para cada vetor unitário v E V, o vetor Av também é um vetor unitário. 
Demonstração. Deixamos a equivalência de (2) e (3) a cargo do leitor. É imediato 
que (1) acarreta (2), pois o quadrado da norma, 11Avl!2 
= 
(Av, Av), é um caso especial 
de produto. Reciprocamente, demonstremos que (2) acarreta (1). Temos 
(A(v + w),A(v + w))-(A(v-w),A(v-w)) = 2(Av,Aw). 
Introduzindo a hipótese (2), e notando que o membro esquerdo é formado de qua­
drados de comprimentos, vemos que o membro esquerdo é igual a 
(V + W, V + W > - (V -W, V -W ), 
o que também é igual a 2( v, w). Nosso teorema decorre imediatamente disto. 
O Teorema 9 nos mostra porque estas aplicações são chamadas unitárias: Elas 
são caracterizadas pelo fato que transformam vetores unitários em vetores unitários. 
Evidentemente, uma aplicação unitária U preserva o perpendicularismo, i.e. se 
v e w são perpendiculares, então Uv e Uw também são perpendiculares, pois 
(Uv, Uw) 
= 
(v, w) = O 
No entanto, uma aplicação que preserva o perpendicularismo não é necessàriamente 
unitária. Por exemplo, no caso de vetores sôbre os números reais, a aplicação que a 
um vetor v associa o vetor 2v preserva o perpendicularismo, mas não é unitária. Infe­
lizmente, na terminologia tradicional, aplicações unitárias são chamadas aplicações 
ortogonais. Acentuamos o fato que tais aplicações preservam não sómente a ortogo­
nalidade, como também preservam o comprimento. 
Teorema 10. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sôbre R, munido de um 
produto escalar positivo definido. Uma aplicação linear A : V--+ V é unitária se, e 
somente se, 
'AA = I 
Demonstração. Um operador A é unitário se, e sómente se, 
(Av, Aw) = (v, w) 
para quaisquer v, w E V. Esta condição é equivalente a 
('AAv, w) = (v, w) 
para quaisquer v, w E V, e, portanto, ela é equivalente a: 'AA = l. 
148 Álgebra Linear 
Só nos resta interpretar em têrmos de matrizes a condição acima para A ser uni­
tária. Inicialmente, observamos que uma aplicação unitária é inversível. De fato, se A 
fôr unitária e se Av = O, então v = O, pois A preserva o comprimento. 
Se tomarmos V = R" no Teorema 10, e se tomarmos o produto escalar como sen­
do o produto escalar usual, então podemos representar A por meio de uma matriz 
real. Neste caso, é natural dizer que, por definição, A é unitária (ou ortogonal) se 1 AA = I., 
ou, de modo equivalente, se 
Exemplo. As únicas aplicações unitárias do plano R2 nêle próprio são as aplica­
ções cujas matrizes são do tipo 
(cos O - sen º) 
sen O cos O 
ou 
(cos O 
sen O 
sen º) 
-cos o 
Se o determinante de uma tal aplicação fôr 1, então a matriz representativa da 
aplicação, com respeito a uma base ortonormal, é forçosamente do primeiro tipo, e a 
aplicação é chamada· rotação. Um mero esbôço mostrará que esta terminologia é apro­
priada. Nos exercícios, surgirá uma série de proposições a respeito de aplicações uni­
tárias no plano. Será fácil verificá-las, o que constitue um bom hábito que o autor 
julga ser uma pena quebrar inserindo as mencionadas proposições no texto. Êstes 
exercícios deverão ser considerados em parte como exemplos adicionais para ilustrar 
êste parágrafo. 
O caso complexo. Como de costume, temos conceitos análogos para o caso com­
plexo. Seja V um espaço de dimensão finita sôbre C, munido de um produto hermitiano 
positivo definido. Seja A: V --+ V uma aplicação linear. Definimos A como sendo 
unitária complexa se 
(Av , A w) = (v, w), 
para quaisquer v, w E V. Podemos transcrever o Teorema 9 literalmente, para o caso 
complexo: A aplicação A é �nitária se, e sàmente se, .ela preservar o comprimento, e 
também se, e somente se, ela transformar vetores unitários em vetores unitários. Deixa­
mos a demonstração a título de exercício. 
O correspondente do Teorema 10 é: 
Teorema 11. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sôbre C, munido de um 
produto hermitiano positivo definido. Uma aplicação linear A: V --+ V é unitária se, e 
somente se, 
A*A = !. 
Novamente deixamos a demonstração a título de exercício. 
Tomando V = C" munido da forma hermitiana usual dada por 
(X, Y) = x1)i1 + · · · + x.y., 
podemos representar A por meio de uma matriz complexa. Com isto, é natural dizer 
que, por definição, uma matriz complexa A é unitária se 'AA = 1., ou se 
1A = A-1• 
Matrizes e Formas Bilineares 149 
EXERCÍCIOS 
1. (a) Seja V um espaço de dimensão finita sôbre R, munido de um produto esca­
lar positivo definido. Sejam duas bases ortonormais { v1 , ... , v.} e 
{w1, ... , w.}. Se A: V--> V é um operador de V tal que Av; = W;, mos­
trar que A é unitário real. 
(b) Enunciar e demonstrar o resultado correspondente no caso complexo. 
2. Seja V como dado no Exercício 1. Seja { v1 , • . • , v.} uma base ortonormal de V. 
Seja A um operador unitário de V. Mostrar que {Av1, • • • , Av.} é uma base ortonormal. 
3. Seja A uma matriz unitária real. (a) Mostrar que 'A é unitária. (b) Mostrar que 
existe A -1, e que ela é unitária. (c) Se B é unitária real, mostrar que AB é unitária, e 
que B-1 AB é unitária. 
. 
4. Seja A uma matriz unitária complexa. (a) Mostrar que 'A é unitária. (b) Mos­
trar que A -1 existe, e que ela é unitária. (c) Se B é unitária complexa, mostrar que AB 
é unitária, e que B-1 AB é unitária. 
5. (a) Seja V um espaço de dimensão finita sôbre R, munido de um produto 
escalar positivo definido, e sejam f!J = { v1, ... , v.} e f!J' = { w1, . . . , w.} duas 
bases ortonormais de V. Mostrar que a matriz M:'(id) é unitária real. 
[Sugestão: Empregar as expressões (w;, w;) = 1 e (w;, wi) = O se i =P j, e 
w; = �>iiv i , para certos aii E R.] 
(b) Seja F: V --> V tal que F(v;) = w; para todo i. Mostrar que M:.(F) é uni­
tária. 
6. Mostrar que o valor absoluto do detérminante de uma matriz real unitária é 
igual a 1. Concluir que se A é real unitária, então Det(A) = 1 ou - l. 
7. Se A é uma matriz quadrada complexa, mostrar que Det(A) = Det(A). Concluir 
que o valor absoluto do determinante de uma matriz complexa unitária é igual a 1. 
8. Seja A uma matriz diagonal real unitária. Mostrar que os elementos da diagonal 
de A são iguais a 1 ou - 1. 
9. Seja A uma matriz diagonal complexa unitária. Mostrar que todo elemento 
da diagonal tem valor absoluto 1, e que portanto todo elemento da diagonal é da 
forma ew, sendo e real.Os seguintes exercícios descrevem várias propriedades de aplicações reais .. unitárias 
do plano R2. 
10. Seja V um espaço vetorial bi-dimensional sôbre R, munido de um produto 
escalar positivo definido, e seja A uma aplicação unitária real de V nêle próprio. Sejam 
{ v1, v2} e { w1, w2} duas bases ortonormais de V tais que Av; = w; parai = 1, 2. Sejam 
números reais a, b, e, d tais que 
W1 = av1 + bv2, 
Wz = CV1 + dv2. 
Mostrar que a2 + b2 = 1, c2 + d2 = 1, ac + bd = O, a2 = d2 e c2 = b2• 
11. Mostrar que o determinante ad - bc é igual a 1 ou - 1. (Mostrar que seu qua­
drado é igual a 1). 
150 Álgebra Linear 
12. Definimos um rotação de V como sendo uma aplicação unitária real A de 
V cujo determinante é 1. Mostrar que a matriz de A, em relação a uma base ortogonal 
de V, é do tipo 
para determinados números reais a e b tais que a2 + b2 = 1. Provar também a recí­
proca: tôda apiicação linear de V nêle próprio representada por uma tal matriz com 
respeito a uma base ortogonal é unitária, e seu determinante é 1. Por meio de conceitos 
de cálculo, conclui-se disto que existe um número 8 tal que a = cos 8 e b = sen 8. 13. Mostrar que existe uma matriz complexa unitária U de modo que, se 
A= 
(cos 8 
sen () 
então u-1AU=B. 
-sen (}) 
cos (J 
e B= 
(é9 o 
14. Seja V = C considerado como sendo um espaço vetorial" de dimensão 2 sô­
bre R. Seja ex E C, e consideremos a aplicação L. : C --> C dada por z 1--> exz. Mostrar 
que L. é uma aplicação R-linear de V nêle próprio. Para que número complexo ex, 
é L. uma aplicação unitária com respeito ao produto escalar (z w) = Re(zw)? Qual 
é a matriz de L. com respeito à base {l, i} de C sôbre R? 
§6. Teorema de Sylvester 
Consideremos um espaço vetorial V de dimensão finita > O sôbre os números 
reais. Seja (,) um produto escalar sôbre V (i.e. uma forma bilinear simétrica), Pelo 
Teorema 5,§ 3, sabemos que sempre podemos encontrar uma base ortogonal. Nossa 
forma (,) não precisa ser positiva definida, e por isso pode acontecer que exista um 
vetor v E V tal que ( v, v) = O, ou ( v, v) = - 1. 
Exemplo. Seja V= R2, e que a forma seja representada pela matriz 
C= 
( -1 
+ 1 
+ 1) -1 
Nestas condições, o s vetores 
e 
constituem uma base ortogonal para nossa forma, e temos 
Por exemplo, em têrmos das coordenadas, se 'X= (1, 1) é o vetor das coordenadas 
de v2 em relação à base canônica {e1, e2} de R
2, então um simples cálculo direto re� 
vela que 
(X, X) = 'XCX =O. 
Matrizes e Formas Bilineares 151 
Nossa meta neste parágrafo é analisar a situação geral de dimensões arbitrárias. 
Seja { v1 , • . . , v.} uma base ortogonal de V. Seja 
Após uma re-numeração dos elementos da base, se necessário fôr, podemos supor que 
{v1, • • • , v.} estão numa ordem tal que 
c1, • • • , e,> O, 
e,+ 1, • • • , e. < O, 
e.+ 1, • . . , e. = O. 
Estamos interessados em saber o número de têrmos positivos, de têrmos negativos, e 
de têrmos nulos entre os "quadrados" (v;, v;); em outras palavras desejamos conhe­
cer os números r e s. Veremos nêste parágrafo que êstes números não dependem da 
escolha da base ortogonal. 
Se X é o vetor das coordenadas de um elemento de V, em relação a nossa base, 
e se f é a forma quadrática associada ao nosso produto escalar, então em têrmos do 
vetor das coordenadas, nós temos 
f(X) = c1xi + · · · + c,x; + e,+ 1x;+ 1 + · · · + c.x;. 
Vemos que na expressão de f em função das coordenadas, há exatamente r têrmos 
positivos, e s -r têrmos negativos. E mais, desapareceram n -s variáveis. 
Podemos enxergar isto ainda melhor se além disso normalizarmos a nossa base. 
Damos uma generalização de nos�o conceito de base ortonormal. Diremos que 
uma base ortogonal { v1 , • • • , v.} é ortonormal se, para cada i tivermos 
<V;, V;) = 1 OU <V;, V;) = - 1 OU <V;, V;) = 0. 
Se {v1, . • • , v.} é uma base ortogonal, então podemos obter a partir dela uma 
base ortonormal, exatamente como fizemos no caso de um produto positivo definido. 
Consideramos e; = ( v; , v;). Se e; = O, tomamos v'; = V; • Se e; > O, tomamos 
Se C; < O, tomamos 
, vi V· =--· ' fc; 
, vi V·= --· · 0 
Então { v'1 , • • . , v�} é uma base ortonormal. 
Seja { v1 , • • • , v.} uma base ortonormal de V, correspondente ao nosso produto 
eS'calar. Se X é o vetor das coordenadas de um elemento de V, então, em têrmos da 
nossa base ortonormal, 
f(X) =xi+···+ x;-x;+1-"·-x;. 
Assim, numa base ortonormal, percebemos o número de têrmos positivos e de têrmos 
negativos de modo particularmente claro. Para provar que êstes números não depen-
152 Álgebra Linear 
dein da base ortonormal, vamos primeiro tratar do número dos têrmos que são nulos, 
e vamos fornecer uma interpretação geométrica para êste número. 
Teorema 12. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sôbre R, munido de um 
produto escalar. Suponhamos que dim V >O. Seja V0 o sub-espaço de V formado por 
todos os vetores v E V tais que ( v, w) = O para todo w E V. Seja { v1 , ... , v.} uma base 
ortogonal de V. Nestas condições, o número de inteiros i tais que (V; , v;) = O é igual 
à dimensão de V0 . 
Demonstração. Vamos supor que a base { v1, . • . , v.} está ordenada de tal forma que 
(v1, v1) ;6 O, ... , (v., v,) #O mas (v;, v;) =O se i '> s. 
Sendo { v1 , • • • , v.} uma base ortogonal, é evidente que v,+ 1 , ... , v. pertencem a V0 . 
Seja v um elemento de V0 ; podemos escrever 
V= X1V1 + · · · + X,V, + · · · + XnVn 
com X; E R. Tomando o produto escalar de v com qualquer vi, para j � s, obtemos 
O= (v,vi) = xi(vi,vi)". 
Como (vi, vi) #O, segue que xi= O. Logo, v pertence ao espaço gerado por 
v,+ 1 , • • • , v • . Concluímos que v,+ 1 , • . • , v. formam uma base de V0. 
No Teorema 12, a dimensão de V0 é denominada o índice de nulidade da forma. 
Vemos que a forma é não-degenerada se, e somente se, seu índice de nulidade fôr O. 
Teorema de Sylvester. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sôbre R, munido 
de um produto escalar. Existe um inteiro r ;;:; O verificando a seguinte propriedade: Se 
{ v1 , • . . , v.} é uma base ortogonal de V, então há precisamente r inteiros i tais que 
(v;, v;) >O. 
Demonstração. Sejam duas bases ortogonais {v1, ... , v.} e {w1, '. .. , w.} . Supo-
nhamos que seus elementos estão num arranjo tal que 
E anàlogamente, 
(V;, v;) > O se 1 � i � r 
(V;, v;) < O se r + 1 � i � s 
( v; , v;) = O se s + 1 � i � n. 
(w;, w;) >O 
(w;, w;) <O 
(w;, w;) =O 
se 
se 
se 
l�i�r' 
r'+l�i�s' 
s'+l�i�n. 
Inicialmente, vamos demonstrar que 
são linearmente independentes. 
Suponhamos que temos uma relação 
X1V1 + · · · + X,V, + Yr•+1Wr•+1 + · · · + YnWn =O. 
Então 
Matrizes e Formas Bilineares 153 
Sejam e;= (v;, v;) e d;= (w;, w;) para todo i. Formando o produto escalar de cada 
membro da equação acima com o próprio membro, obtemos 
c1xi + · · · + c,x; ==d,·+ Y�+1 + · · · + d •. y; .. 
O membro esquerdo é � O; o membro direito é ;:;;o. A única possibilidade é que ambos 
sejam iguais a O, o que é verdadeiro sómente se 
X1 =···=X,= Ü. 
Da independência linear de w,. + 1 , ... , w., segue que todos os coeficientes y,. + 1 , ... , Yn 
também são iguais a O. 
Como dim V = n, concluimos agora que 
r+n-r';;;;n 
ou, em outras palavras, r ;;:;; r'. Mas esta situação é simétrica, considerando nossas 
duas bases; portanto, r' ;;:;; r. Logo r' = r, e está demonstrado o teorema de Sylvester. 
O inteiro r do teorema de Sylvester tem o nome de índice de positividade da forma. 
EXERCÍCIOS 
1. Determinar o índice de nulidade e o índice de positividade para cada uma das 
formas determinadas pelas seguintes matrizes simétricas, sôbre R 2• 
(b) G �) 
2. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sôbre R, e seja (,) um produto 
escalar sôbre V. Mostrar que V admite a seguinte decomposição em soma direta: 
onde V0 é definidocomo no Teorema 12, e onde a forma é positiva definida sôbre y+ 
e é negativa definida sôbre v-. (Isto quer dizer que 
(v, v) > O 
(v,v) < O 
para todo 
para todo 
VE y+ 
ve v-). 
Mostrar que as dimensões dos espaços v+ e v- são as mesmas em tôdas as decom­
posições dêste tipo. 
3. Seja V o espaço vetorial sôbre R das 2 x 2 matrizes reais simétricas A. 
(a) Mostrar que a função f sôbre V tal que f(A) = Det(A) é uma forma quadrá­
tica sôbre V. 
(b) Seja W o sub-espaço de V constituído de tôdas as A tais que tr(A) = O. Mos­
trar que a forma bilinear associada à forma quadrática f é negativa definida 
sôbre W. 
' 
CAPÍTULO IX 
Polinômios e Matrizes 
§1. Polinômios 
Seja K um corpo. Por um polinômio sôbre K, entende-se uma função de K em K 
tal que existem elementos a0 , ... , ª"E K verificando 
f (t) = a.t" + · · · + a0 
para todo te K. Se· 
é um outro polinômio, com bi E K, então podemos formar a soma f + g. Se, digamos 
n � m, podemos escrever bi = O se j > m, isto é: 
g(t) = Ot" + · · · + bm tm + · · · + bo, 
e nestas condições podemos expressar f + g por 
(f + g) (t) = (an + bn) t" + ... + (ao + bo). 
Com isto, f + g é por sua vez um polinômio. Se e E K, então 
(cf)(t) = ca.t" + · · · + ca0, 
e portanto, cf é um polinômio. Assim sendQ, os polinômios formam um espaço ve­
t9rial sôbre K. 
Também podemos formar o produto fg, de dois polinômios, sendo, 
de sorte que fg é por sua vez um polinômio. Na verdade, se escrevermos 
(fg)(t)' = Cn+mt
n+m + · · · + Co , 
então 
k 
ck = L a;bk-i = aobk + a1bk-1 + .. . + akbo. 
i=O 
· Sem dúvida, o leitor já conhece tôdas estas regras que enunciamos, e nós as relem­
bramos a fim de estabelecer o espírito certo. 
Teorema 1. Sejam polinômios f e g tais que f(t) = g(t) para todo t E K. Ponhamos 
f (t) = an t" + . .. + ªº' 
g(t) = bn t" + · · : + bo . 
Então a; = b; para todo i. 
Polinômios e Matrizes 155 
Demonstração. Apresentamos aqui a demonstração limitando-nos a K = R ou C. 
Consideramos o polinômio h = f -g. Então h(x) = O para todo x em K. Precisamos 
mostrar que ai -bi = O para todo i. Suponhamos que isto não se verifique. Seja r o 
maior inteiro tal que a, =F b, . Então, para todo t, podemos escrever 
O= (a,-b,)t' + · · · + (a0-b0) 
Dividimos por t'. Então 
O_ -b 
a,-1 -b,_1 ao-bo 
- a, , + + ... + --- · t t' 
Atribuimos agora a t valores cada vez maiores (valores reais). Então todos os têrmos 
à direita de a, -b, tendem a O. Logo, a, - b, = O, o que é uma contradição. Com isto, 
está provado nosso teorema. 
Observação. Foi empregado o conceito de limite. No Capítulo XII, §1, demons­
traremos a mesma proposição para corpos mais gerais, por um método totalmente 
algébrico. Nêste capítulo,' estamos interessados essencialmente em discutir as proprie­
dades elementares de polinômios, que serão empregadas nos dois capítulos subseqüen­
tes lidando com números reais e complexos. Por isso, não evitamos um mínimo de 
análise. 
O Teorema 1 mostra que ao escrevermos um polinômio sob a forma 
f (t) = l!·t· + ... + ªº 
com ai E K, os números a0 , . • • , ª•são determinados de modo único: Êles são chama­
dos de coeficientes do polinômio. Se n é o maior inteiro tal que ª• =F O, então dizemos 
que n é o grau de f e escrevemos n = grf Também dizemos que ª• é o coeficiente 
dominante de f Dizemos que a0 é o têrmo constante de f Se f é o polinômio nulo, 
então convimos que grf = -oo. Convencionamos que 
- 00 + - 00 = -oo, 
-oo +a= - oo, -oo <a 
para qualquer inteiro a, e que não está definida nenhuma outra operação com -ro: 
O motivo de nossas convenções é que, com elas, o teorema que segue é verdadeiro 
em todos os casos. 
Teorema 2. Sejam dois polinômios f e g com coeficientes em K. Então 
gr(fg) = gr f + grg 
Demonstração. Sejam 
e 
comª• =F O e bm =F O. Então, em virtude da regra de multiplicação parafg, vemos que 
f(t)g(t) = a._b,,,rn+m + têrmos de grau inferior, 
e a.bm =F O. Logo, grf g = n + m = grf + gr g. Se f ou g fôr O, então nossa convenção 
a respeito de - oo valida a nossa asserção. 
156 Álgebra Linear 
Um polinômio de grau 1 também tem o nome de polinômio linear. 
Dizemos que um número ex é uma raiz de f se f(ex) = O. Admitimos sem demons­
tração o seguinte: 
Teorema 3. Seja f um polinômio com coeficientes complexos, de grau � 1. Então 
f tem uma raiz em C. 
Êste teorema será demonstrado num apêndice, mediante o emprêgo de alguns 
fatos da análise. 
Teorema 4. Seja f um polinômio com coeficientes complexos, de coeficiente domi­
nante 1, e de grau n � 1. Então existem números complexos ex1 , • • • , ex. tais que 
f (t) = (t - exi) · · -(t - ex.). 
Os números ex1, • • • , ex. são determinados de modo único a menos de uma permutação. 
Tôda raiz ex de f é igual a algum rxi , e vice-versa. 
Demonstração. Daremos a demonstração do Teorema 4 na íntegra (admitindo o 
Teorema 3) no Capítulo XII. Como no presente capítulo, e nos dois que seguem, não 
necessitamos de conceitos referentes a polinômios outros que as propriedades elemen­
tares enunciadas nêste parágrafo, achamos que é mais conveniente adiar a demons­
tração para o Capítulo XII. Ademais, a teoria aprofundada dos polinômios desenvol­
vida no Capítulo XII terá aplicações adicionais na teoria das transformações lineares 
e matrizes. 
Apresentamos um ítem de terminologia. Sejam ex1 , • • • , ex, as raízes distintas de 
polinômio f em C. Então podemos escrever 
com inteiros m1 , • • • , m, > O determinados de modo único. Dizemos que mi é a multi­
plicidade de exi em f 
§2. Polinômios de matrizes e de aplicações lineares 
O conjunto dos polinômios com coeficientes em K será representado por K[t]. 
Seja A uma matriz quadrada com coeficientes em K. Seja f e K[t], dado por 
f (t) 
= 
a.t" + · · · + a0 , 
com ai E K. Nós definimos a quantidade f (A) pela expressão 
f(A) = a.A" + · · · + a01 
Exemplo 1. Sejaf(t) = 3t2-2t + 5. Se A= G -�).então 
(1 -
0
1\2 
_
(2
4 
f(A) = 3 
2 i} 
-2) (5 
o + o 
º)=(4 -5) · 
5 o -1 
Polinômios e Matrizes 157 
Teorema 5. Sejam f, g eK[t]. Seja A uma matriz quadrada com coeficientes em K. 
Então 
(f + g)(A) = f (A) + g(A), 
(fg)(A) 
= 
f (A) g(A). 
Se e E K, então (cf)(A) = cf (A). 
Demonstração. Sejam f (t) e g(t) escritos sob a forma 
f (t) = a0t" + · · · + a0 
e 
com ai, bi E K. 
·Então 
onde 
Por definição, 
Por outro lado, 
e 
Logo 
k 
ck = L a;bk-i. 
i=O 
(fg)(A) 
= Cm+nÀm+n + · · · + Cof. 
f(A) = a0A" + · · · + a01 
n m n m m+n 
f(A) g(A) = L L a;A;biA
i 
= l: L a;biAi+ i = L ck Ak. 
i=O j=O i=O j=O k=O 
Portanto: f(A) g(A) = (fg)(A). 
Quanto à soma, suponhamos que n ;;:; m, e seja bi = O se j > m. Temos 
Se e E K, então 
(f + g)(A) = (a. + b.) A" + · · · + (a0 + b0)1 
= a.A" + b0A" + · · · + a0/ + b01 
= f (A) + g(A). 
(cf)(A) = c a0A" + · · · + c a0/ = cf(A). 
Isto prova nosso teorema. 
Exemplo 2. Seja f (t) = (t -l)(t + 3) = t2 + 2t-3. Então 
f(A) = A2 + 2A-31 = (A-J)(A + 3/). 
Se multiplicarmos êste último produto diretamente, empregando as regras de multi­
plicação de matrizes, obteremos efetivamente 
A2-IA + 3 A/-3/2 
= 
A2 + 2A-3/. 
158 Álgebra Linear 
Exemplo 3. Sejam números cx1 , . • . , cx • . Se 
f(t) = (t- cxi) · · · (t -cx.), 
então 
Consideremos um espaço vetorial V sôbre K, seja A : V --> V um operador (i.e. 
uma aplicação linear de V nêle próprio). Então podemos formar A2 =Ao.A= AA, e, 
em geral, A" = iteração de A tomada n vêzes para qualquer inteiro positivo n. Defini­
mos Aº = I (onde I representa agora a aplicação identidade). Temos 
Am+n = AmA•, 
para quaisquer inteiros m, n � O. Se fé um polinômio em K[t], então podemos for­
mar f (A) da mesma maneira que fizemos para matrizes, e valem as mesmas regras 
enunciadas no Teorema 5. As demonstraçõessão idênticas. O fato principal é que 
empregamos as leis usuais de adição e multiplicação, e estas leis também são válidas 
para aplicações lineares. 
Teorema 6. Seja A uma n x n matriz num corpo K. Então existe um polinômio 
não-nulo f E K[t] tal quef(A) =O. 
Demonstração. O espaço vetorial das n x n matrizes sôbre K tem dimensão fi­
nita, sendo sua dimensão igual a n2• Portanto, as potências 
1, A, A2, 
• • • , AN 
são linearmente dependentes para N > n2. Isto significa que existem números 
a0, ... , aN E K tais que nem todos a; = O, e 
aNAN + · · · + a01 = O. 
Tomamos f(t) = aNrN + · · · + a0 para chegar à conclusão desejada. 
Observamos que, como o Teorema 5, o Teorema 6 é verdadeiro também para uma 
aplicação linear A de um espaço vetorial de dimensão finita sôbre K. Novamente, a 
demonstração é a mesma, e passaremos a empregar o Teorema 6 indistintamente para 
matrizes ou aplicações lineares. 
Posteriormente, vamos determinar no .Capítulo X, §2, um polinômio P(t) que 
possa ser calculado explicitamente de sorte que P(A) = O. 
Se dividirmos o polinômio f do Teorema 6 por seu coeficiente dominante, então 
obtemos um polinômio g com coeficiente dominante 1, tal que g(A) = O. Em geral, 
é conveniente trabalhar com polinômios cujo· coeficiente dominante é 1, pois com 
isto simplificamos a notação. 
EXERCÍCIOS 
(-1 
1. Calcular f (A) se f (t) = t3 -2t + 1 e A = 
2 
2. Seja A uma matriz simétrica, e seja f um polinômio com coeficientes reais. 
Mostrar que f (A) também é simétrica. 
Polinômios e Matrizes 159 
3. Seja A uma matriz hermitiana, e seja f um polinômio com coeficientes reais. 
Mostrar que f (A) é hermitiana. 
4. Sejam A e B duas n x n matrizes num corpo K, e suponhamos que B é inver­
sível. Mostrar que 
para todos os inteiros positivos n. 
5. Sejam f E K[ t ], e A, B como dadas no Exercício 4. Mostrar que 
§3. Vetores próprios e valores próprios 
Consideremos um espaço vetorial V sôbre o corpo K, e seja 
A:V->V 
um operador de V (i.e. uma aplicação linear de V nêle próprio). Um elemento ve V 
é denominado vetor próprio de A se existir À. E K tal que Av = À.v. Se v # O, então À. 
está determinado de modo único, pois À.1 v = À.2 v acarreta À.1 = À.2 . Neste caso, dizemos 
que À. é um valor próprio de A associado ao vetor próprio v. Também dizemos que v 
é um vetor próprio com valor próprio À.. No lugar de vetor próprio e valor próprio, 
também empregamos os têrmos vetor característico e valor característico. 
Se A é uma n x n matriz quadrada, com coeficientes em K, então um vetor pró­
prio de A é, por definição, um vetor próprio da aplicação linear de K" nêle próprio 
representada por esta matriz A, em relação à base usual. Portanto, um vetor próprio 
X de A é um vetor (-coluna) de K" para o qual existe À. E K tal que AX = À.X. 
Exemplo 1. Seja V o espaço vetorial sôbre R gerado por tôdas as funções infinita­
mente diferenciáveis. Seja À. E R. Então a função f tal que f(t) = eM é um vetor pró­
prio da aplicação derivada d/dt pois df/dt = À.e;.'. 
Exemplo 2. Seja 
A-Ç· :) 
uma matriz diagonal em K. Então todo vetor unitário ei(i = 1, ... , n) é um vetor 
próprio de A. Com efeito, temos Aei = aiei : 
o 
o 
160 Álgebra Linear 
Exemplo 3. Se A : V --> V é uma aplicação linear, e se v é um vetor próprio de A, 
então para qualquer escalar c # O, cv também é um vetor próprio de A, com o mes­
mo valor próprio. 
Teorema 7. Seja V um espaço vetorial sôbre o corpo K, e seja uma aplicação linear 
A : V --> V. Seja A. E K. Seja VÃ o sub-espaço de V gerado por todos os vetores próprios 
de A tendo valor próprio A.. Então todo elemento não-nulo de VÃ é um vetor próprio de A 
tendo A. como valor próprio. 
Demonstração. Sejam v1, v2 E V tais que Av1 = A.v1 e Av2 = Àr2. Então 
A(v1 + v2) = Av1 + Av2 = A.v1 + Àv2 = À(v, + Vz). 
Se c E K, então A(cv1) = cAv1 = c A.v1 = A.cv1• Isto demonstra nosso teorema. 
O sub-espaço VÃ do Teorema 7 é denominado espaço próprio de A associado a A.. 
Observação. Se v1 e v2 são vetores próprios de A com valores próprios distintos 
À.1 # A.2 , então é claro que v1 + v2 não é um vetor próprio de A. Com efeito, temos 
o seguinte; 
Teorema 8. Seja V um espaço vetorial sôbre K, e seja A : V --> V um operador. 
Sejam vetores próprios v1, • • • , vm de A, com valores próprios A.1, • • • , A.m respectivamente. 
Suponhamos que êstes valores próprios são distintos, i.e. 
A.; # A.i se i # j. 
Nestas condições, v1, ... , vm são linearmente independentes. 
Demonstração. Por induç.ão sôbre m. Para m = 1, um elemento v1 E V, v1 #0, é 
linearmente independente. Tomamos m > 1. Suponhamos que temos uma relação 
(*) 
com c; E K. Devemos mostrar que necessàriamente todo c; = O. Multiplicando a re­
lação (*) por A.1, obtemos 
c1A.1v1 + · 
· · + CmAiVm = 0. 
Também aplicamos A à relação (*). Por linearidade obtemos 
C1À1V1 + · · · + CmAmVm = 0. 
Subtraindo agora estas duas expressões uma da outra, resulta 
C2(À2 -A1)V2 + ... + Cm(Àm-Ai)Vm = 0. 
Como Ài - 21 # O para j = _2, ... , m, conclui mos. por indução que c2 = · · · = cm = O. 
Voltando a nossa relação inicial, vemos que c1v1 = O, donde c1 = O, e está provado 
nosso teorema. 
Exemplo 4. Seja V o espaço vetorial sôbre C formado de tôdas as funções comple­
xas de uma variável real t e infinitamente diferenciáveis. Sejam números complexos 
distintos o: 1 , . • • , o:m . As funções 
eª1t, ... 'eªm' 
são vetores próprios da aplicação derivada, com valores próprios distintos o:1, . . . , o:m 
e são portanto linearmente independentes. Freqüentemente em análise, consideramos 
as funções e2"int com n = 1, 2, ... 
Polinômios e Matrizes ' 161 
Teorema 9. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sôbre K, e seja ). E K. 
Seja A : V ---> V urna aplicação linear. Então ). é um valor próprio de A se, e sómente 
se, A - ).[ não fôr inversível. 
Demonstração. Suponhamos que ). seja. um valor próprio de A. Então existe um 
elemento v E V, v #- O, tal que Av = Àv. Logo, Av - ).v = O, e (A - ).l)v = O. Logo, 
A - )./ tem um núcleo diferente de {O}, e A - U não pode ser inversível. Reciprocamente, 
suponhamos que A - ).[ não seja inversível. Pelo Corolário do Teorema 4, Capítulo IV, 
§4, vemos que A - ).[ tem necessàriamente um núcleo diferente de {O}, o que significa 
que existe um elemento v E V, v #- O, tal que (A--: U)v = O. Logo Av - .l.v = O, e 
Av = .l.v. Portanto,). é um valor próprio de A. Isto conclui a demonstração do teorema. 
Teorema 10. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sôbre os números com­
plexos, e suponhamos que dim V � 1. Seja A : V ---> V uma aplicação linear. Então 
existe úm vetor próprio não-nulo de A. 
Demonstração. Em virtude do Teorema 6 do §2, existe um polinômio não-nulo 
f E C[ x J tal que f(A) = O, e podemos supor que f tem coeficiente dominante 1. 
Pelo Teorema 4 do §1, existem números complexos ).1, • • • , ).,, tais que 
f(t) = (t- ).i) ... (t-)..). 
Deduzimos que 
Nem tôdas as aplicações lineares A - ).J são inversíveis, pois se o fossem, então a 
composta 
também seria inversível. Portanto, para algum i, existe um elemento v E V, v #- O, 
tal que 
(A - À;l)v = O. 
Mas então Av = À;v, e encontramos o vetor próprio procurado. 
Observação. A afirmação do Teorema 10 é falsa se nosso espaço vetorial V é 
sôbre R em vez de ser sôbre C. Por exemplo, uma rotação de um ângulo O em R 2 não 
possue um vetor próprio se O não fôr um múltiplo inteiro de n. (Ver o Exercício 3). 
Teorema 11. Seja V um espaço vetorial n-dimensional sôbre o corpo K, e conside­
remos uma aplicação linear A : V ---> V. Suponhamos que existe uma base f v1, • • . , v .. } 
de V formada de vetores próprios de A, com valôres próprios ).1, . . . , ..t. respectivamente. 
Então a matriz associada a A com respeito a esta base é a matriz diagonal: 
Demonstração. Óbvia. 
(f' D o 
Já vimos a recíprocado Teorema 11 no Exemplo 2. Portanto, é importante saber 
em que condições um espaço vetorial tem uma base formada de vetores próprios de 
162 Álgebra Linear 
um operador. Estas condições são precisamente aquelas em que um operador pode 
ser diagonalizado: Por exemplo, o Teorema 8 tem agora os seguintes corolários: 
Corolário 1. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sôbr.e K, de dimensão n. 
Seja A: V --+ V um operador. Suponhamos que A possua n valores próprios distintos. 
Então V possue uma base formada de vetores próprios de A, e A pode ser diagonalizada. 
Ou, em têrmos de matrizes: 
Corolário 2. Seja A uma n x n matriz sôbre um corpo K. Suponhamos que A pos­
sua n valores próprios distintos em K. Então existe uma matriz não-singular B em K tal 
que B-1 AB seja uma matriz diagonal. 
Nos exercícios, vamos examinar o caso de 2 x 2 matrizes. Apresentamos um 
exemplo. 
Exemplo 5. Achar os valores próprios e os vetores próprios da matriz 
A=( 1 2) · 
-1 1 
Se existem um vetor próprio (;) em um valor próprio A., então 
X+ 2y = Ã.X, 
-x+y=A.y, 
e conseqüentemente, subtraindo o membro esquerdo do membro direito temos que ter 
x(..1.-1)-2y =O, 
X+ (Ã.-l)y = Ü. 
Como x e y não podem ser O ao mesmo tempo, o determinante 
1A.�1 -2 1 A.-1 é O, e A. é uma raiz do polinômio 
(A. - 1)2 + 2 = O, 
ou do polinômio A. 2 -2..1. + 3 = O. As raízes são 1 + i"'/2 e 1 -ifi. 
Reciprocamente, se A. é uma raiz do polinômio precedente, então o determinante 
acima é igual a O, e existe uma solução do sistema de equações 
x(..1.-1)-2y=0 
x+(..1.-l)y=O 
com x e y não simultâneamente iguais a O. Desta forma, achamos um valor próprio A. 
e um vetor próprio (;) . Isto pode ser feito explicitamente. Sejam À.1 = 1 + iJ2 e 
..1.2 = 1 -ifi. Resolvendo o sistema de equações lineares com A. = À.1, obtemos o 
vetor próprio 
Polinômios e Matrizes 163 
Resolvendo o sistema de equações lineares com À. = Ã.2, obtemos o vetor próprio 
Observação. Qualquer vetor próprio com valor próprio Ã.1 é igual a cv1 para 
algum número e =f O. Qualquer vetor próprio com valor próprio Ã.2 é igual a c'v2, 
para algum número e' =f O. Notemos que os valores próprios e os vetores próprios 
são complexos, e que não há nenhum valor próprio real. 
· 
EXERCÍCIOS 
1. Seja 
uma 2 x 2 matriz num corpo K. Mostrar que qualquer valor próprio À. desta matriz 
é uma raiz do polinômio 
1 t-
.
a 
-e 
-b , 
= (t-a)(t-d)-bc. 
t-d 
2. Reciprocamente, mostrar que qualquer raiz do polinômio 
é um valor próprio da matriz dada. 
3. Mostrar que se (}E R e se (} não fôr um múltiplo inteiro de n, então a matriz 
(cos (} 
sen (} 
-sen (}) 
cos (} 
não tem nenhum vetor próprio não-nulo em R 2 . 
4. Mostrar que se (}E R, então a matriz 
A = 
(cos (} sen (}
(}
) 
sen (} -cos 
possui sempre um vetor próprio em R2, e que na verdade existe um vetor v1 tal que 
Av1 = v1• [S�gestão: Tomar a primeira componente de v1 como sendo 
sen (} 
X = ----
1-COS (} 
se cos (} =f 1. Calcular agora y. O que ocorre se cos (} = 1?] 
5. No Exercício 4, seja v2 um vetor de R2 perpendicular ao vetor v1 encontrado 
no exercício. Mostrar que Av2 = - v2 • Neste caso, dizemos, por definição que A é uma 
reflexão. 
164 Álgebra Linear 
6. Mostrar que qualquer 2 x 2 matriz real unitária cujo determinante é - 1 pode 
ser expressa como um produto 
para algum número real O. 
º) (cos O 
-1 sen O 
-sen º) 
cos o 
7. Seja um espaço vetorial V de dimensão finita sôbre K, e s�ja A : V ---+ V uma 
aplicação linear. Seja v E V um vetor próprio de A, digamos Av = A.v. Se f é um poli­
nômio em K[t], mostrar que f(A)v = f(A.)v. 
8. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sôbre um corpo K. Sejam A e B 
duas aplicações lineares de V nêle próprio. Suponhamos que AB = BA. Mostrar que 
se v é um vetor próprio de A, de valor próprio A., então Bv é um vetor próprio de A, 
também com valor próprio A. se Bv =F O. 
9. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sôbre os números complexos. 
Sejam A e B duas aplicações lineares de V nêle próprio. Mostrar que A e B têm um 
vetor próprio em comum. [Sugestão: Se A. é um valor próprio de A, considerar o espaço 
Vi: formado por todos os vetores v tais que Av = A.v, e mostrar que B é uma aplicação 
linear de V;. em V. Depois o leitor pode continuar sozinho.] 
10. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sôbre o corpo K. Sejam A e B 
duas aplicações lineares de V em V, e suponhamos que AB = BA. Suponhamos ainda 
que existe uma base de V formada por vetores próprios de A, e que existe uma base 
de V formada por vetores própriOs de B. Mostrar que existe uma base cujos elementos 
são todos vetores própnos de A e de B (i.e. que A e B podem ser diagonalizadas si­
multâneamente). 
§4. O polinômio característico 
Nos exercícios do parágrafo precedente, determinamos um polinômio para qual­
quer 2 x 2 matriz de forma que as raizes do polinômio são os valores próprios da 
matriz. Isto foi feito por simples eliminação. Vamos agora examinar o caso geral de 
matrizes arbitrárias. 
Seja A uma n x n matriz num corpo K, A = (a;J Definimos o polinômio caracte­
rístico P A de A como sendo o determinante 
P A(t) = Det(tJ - A), 
ou, escrevendo por extenso, 
t - ann 
Exemplo 1. O polinômio característico da matriz 
A=(-! -� i) 
o 1 -1 
t - ª11 
-aii 
t - ann 
Polinômios e Matrizes 
é 
2 
o 
1 1 
t - t 
-1 
- 3 
-1 
t + 1 
que podemos eicpandir segundo a primeira coluna, obtendo 
165 
Para uma matriz arbitrária A = (a;j), o polinômio característico pode ser deter­
minado expandindo segundo a primeira coluna, e será sempre formado por uma soma 
(t-a11)· • · (t-a •• ) + · · · 
Cada têrmo outro que êste escrito acima terá um grau < n. Portanto, o polinômio 
característico é do tipo 
P A(t) = t" + têrmos de grau inferior. 
Teorema 12. Seja A uma n x n matriz num corpo K. Um elemento À.E K é um valor 
próprio de A se, e somente se, À. fôr uma raiz do polinômio característico de A. 
Demonstração. Suponhamos· que À. seja um valor próprio de A. Então À.l -A não 
é inversível, por virtude do Teorema 9, e portanto Det(À.l �A) = O, em decorrência 
do Teorema 8 do Capítulo VI, §9. C,onseqüentemente, À. é uma raiz do polinômio ca­
racterístico. Reciprocamente, se À. fôr uma raiz do polinômio característico, então 
Det(À.I -A) = O,. e portanto, pelo mesmo Teorema 8 do Capítulo VI, §9, concluimos 
que À./ - A não é inversível. Logo, À. é um valor próprio de A, devido ao Teorema 9. 
O Teorema 12 nos fornece um meio explícito para determinar valores próprios 
de uma matriz, contanto que saibamos calcular explicitamente as raízes de seu poli­
nômio característico. Às vêzes, isto é fácil, sobretudo.nos exercícios que aparecem no 
fim dos capítulos, onde as matrizes são de forma tal que é possível achar as raízes por 
uma rápida análise ou por artificios elementares. É consideràvelmente mais dificil em 
outros casos. 
Por exemplo, para determinar as raízes do polinômio do Exemplo 1, teríamos 
que desenvolver a teoria dos polinômios do 3.º grau. Isto pode ser feito, mas envolveria 
fórmulas sensivelmente mais dificeis que a fórmula necessária à resolução de uma equa­
ção do 2.º grau. Também podemos encontrar métodos para determinar as raízes apro­
ximadamente. De qualquer forma, a determinação de tais métodos pertence um outro 
campo de idéias alheio ao contexto do presente capítulo. 
Exemplo 2. Achar os valores próprios da matriz 
A�G 
1 
1 
o 
-�) 
Calculamos o polinômio característico, que.é o determinante 
t - 1 
o 
-1 
-1 1 
t - 1 o 
o t - 1 
166 Álgebra Linear 
Um cálculo rápido mostra que 
P(t) 
= 
(t - l)(t2 - 2t + 2). 
As raízes são 1, 1 + i, 1- i. São estas as raízes características. Notamos que há só­
mente uma raiz característica real. 
Exemplo 3.O polinômio característico da matriz 
G �-D é (t- l)(t- 5)(t- 7). Será possível generalizar isto? 
Teorema 13. Sejam duas n x n matrizes A e B, e suponho/Tios que B seja inversível. 
Então o polinômio característico de A é igual ao polinômio característico .B-1 AB. 
Demonstração. Por definição e pelas propriedades do determinante, temos 
Det(tl-A) = Det(B-1(tl-A)B) = Det(tB-1B-B-1AB) 
= Det(tl - B-1 AB). 
Isto prova o que queríamos. 
Passamos agora a definir o polinômio característico de uma aplicação linear. 
Vamos obedecer ao esquema usúal, e empregar a representação por matrizes. 
Seja A : V '---+ V uma aplicação linear de um espaço de dimensão finita sôbre o 
corpo K. Se f!4 é uma base de V, seja Ma matriz que representa A com respeito a f!l., 
Se f!l' é uma outra base, existe uma matriz inversível N em K tal que a matriz M' de A 
com respeito a f!l' é dada por 
M' = N-1MN. 
Pelo Teorema 13, o polinômio característico de M é o mesmo que o de M'. Definimos 
êste polinômio característico como sendo o polinômio característico da aplicação linear A. 
Se À é um valor próprio de A, definimos a multiplicidade de À como sendo sua 
multiplicidade quando considerado como raiz do polinômio característico de A. 
EXERCÍCIOS 
1. Seja A uma matriz diagonal 
e o A = ! a2 o 
(a) Qual é o polinôm_io característico 
(b) Quais são seus valores próprios? 
2. Seja A uma matriz triangular, 
A = (i�� f�2 
an1 an2 
�) an 
de A? 
Qual é o polinômio característico de A? e quais são seus valores próprios? 
Polinômios e Matrizes 167 
3. Achar o polinômio característico das seguintes matrizes, seus valores próprios 
nos números complexos, e também seus vetores próprios. 
(a) C -D 
(d) (! :) 
(
g
) e: -� _:) 
(b) ( � i) -i 1 
(e) G -�) 
(e) G �i) 
(f) ( 3 2) -2 3 
4. Seja A uma 4 x 4 matriz cujo polinômio característico é 
(t - 2)(t + I)(t + i)(t + 2i) 
Provar que A pode ser diagonalizada, sôbre os números complexos. 
5. Seja V um espaço vetorial n-dimensional sôbre os números complexos, e su­
ponhamos que o polinômio característico de uma aplicação linear A : V -> V tem 
n raízes distintas. Mostrar que V tem uma base formada de vetores próprios de A. 
6. Seja a matriz 
A= G �) 
com algum número complexo a =/ O. Mostrar que A não pode ser diagonalizada. 
7. Empregando o teorema do valor médio para funções contínuas, demonstrar. 
que qualquer n x n matriz real possue um vetor próprio não-nulo se n fôr ímpar. 
8. Seja A uma matriz quadrada. Mostrar que os valores próprios de 'A são os 
mesmos que os de A. Os vetores próprios de 'A são os mesmos que os de A? 
9. Mostrar que os valores próprios da matriz 
/ 
nos números complexos são ± 1 e ± i. 
10. Seja V o espaço vetorial gerado sôbre R pelas duas funções sen t e cos t. A 
aplicação derivada (considerada como uma aplicação linear de V nêle próprio) tem 
algum vetor próprio não-nulo? No caso afirmativo, qual é êste vetor? 
168 Álgebra Linear 
11. Achar os valores próprios e os vetores próprios de 
e -�) 
Mostrar que os vetores próprios formam um espaço vetorial de dimensão 1. 
12. Achar os valôres próprios e os vetores próprios das seguintes matrizes: 
(a) (� !) (1 1 1) (b) o 1 1 o o 1 (
1 1 
º) (e) O 1 1 
o o 1 
CAPÍTULO X 
Triangulação de Matrizes 
e de Aplicações Lineares 
§ !. Existência de triangulação 
Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sôbre o corpo K, e suponhamos 
que n = dim V ;?; !. Seja A : V ----4 V uma aplicação linear. Chamamos leque de A 
(em V) a uma cadeia de sub-espaços { Vi, ... , V,,} tais que V; esteja contido em l'í+ 1 
para.cada i = 1, ... , n-1, tais que dim V;= i, e por fim tais que A aplique V; em V;. 
Em outras palavras, se v E V;, então Av também pertence a V; ; abreviamos isto di­
zendo que A V; está contido em V;. 
Vemos que as dimensões dos sub-espaços Vi, ... , V,, aumentam de 1 à medida 
que passamos de um sub-espaço ao sub-espaço imediatamente seguinte. Além disso, 
V=V,,. 
Vamos apresentar uma interpretação de leques em têrmos de matrizes. Seja 
{ V1 , ... , V,,} um leque para A. Por uma base associada ao leque entendemos uma base 
{ v1 , • • • , vn} de V tal que { v1, • • . , v;} seja uma base de V;. Vemos de imediato que 
existe uma base associada ao leque. Por exemplo, seja {vi} uma base de Vi. Esten­
demos {vi} até completar uma base {v1, v2} de V2 (o que é possível devido a um teore­
ma já conhecido); em seguida, estendemos { v1, v2} para uma base { v1, v2, v3} de V3, 
e procederemos assim por diante, por indução, até chegar a uma base { v1 , ... , vn} de V,,. 
Teorema 1. Seja { v1 , • • • , v.} uma base associada a um leque de A. Então a matriz 
associada a A, com respeito a esta base, é uma matriz triangular superior. 
Demonstração. Dado que A v; está contido em v; , para cada i = 1, . .
. 
, n, existem 
números aii tais que 
/ 
ÀV1 = ll11V1, 
ÀV2 = ª1 zV1 + ll22Vz, 
Av. = ª1nV1 + ªznVz + + a •• v • . 
Isto quer dizer que a matriz associada a A com respeito à nossa base é a matriz triangular 
como queríamos demonstrar. 
(ªf ::: :f :) ' 
o o ann 
170 Álgebra Linear 
Observação. Seja A uma matriz triangular superior, como acima. Tratemos A 
como sendo �ma aplicação linear de K" nêle próprio. Então os vetores-coluna unitá­
rios e1, ... , e• constituem uma base associada a algum leque para A. Se tomarmos 
v; como sendo o espaço gerado por e1, ... , e;, então {Vi , ... , V,.} é o leque correspon­
dente. Portanto, a recíproca do Teorema 1 é óbviamente verdadeira também. 
Lembramos que nem sempre é possível achar um vetor próprio (ou valor próprio) 
para uma aplicação linear se o corpo dado K não fôr o corpo complexo. Anàlogamente, 
nem sempre é verdade que podemos encontrar um leque para uma aplicação linear 
quando K é real. Se A : V --> V é uma aplicação linear, e se existir uma base de V em 
relação à qual a matriz associada a A é triangular, então dizemos que A é triangulável. 
Anàlogamente, se A é uma n x n matriz sôbre o corpo K, dizemos que A é triangulável 
sôbre K se A, como aplicação linear de K" em K", fôr triangulável. Isto equivale a dizer 
que existe uma matriz B não-singular em K tal que B- i AB seja uma matriz triangular 
superior. 
Sabendo da existência de vetores próprios sôbre os números complexos, vamos 
provar que qualquer matriz ou aplicação linear pode ser triangulada sôbre os núme­
ros complexos. 
Teorema 2. Seja V um espaço vetorial sôbre os números complexos, e suponhamos 
que dim V ;;;; 1. Seja A : V --> V uma aplicação linear. Então existe um leque de A em V: 
Demonstração. Vamos provar o teorema por indução. Se dim V = 1, não há nada 
a demonstrar. Suponhamos que o teorema seja verdadeiro para dim V = n - 1, n > 1. 
Pelo Teorema 10 do Capítulo anterior (§3), existe um vetor próprio não-nulo Vi de A. 
Tomamos Vi como sendo o sub-espaço de dimensão 1 gerado por Vi. Podemos es­
crever V como uma soma direta V = Vi Ei3 W para algum sub·espaço W (por virtude 
40 Teorema- 9 do Capítulo II, §4, que afirma essencialmente que podemos estender 
vetores linearmente independentes até obter uina base). O problema agora é que A 
não aplica necessàriamente W em W. Seja Pi a projeção de V sôbre Vi , e seja P 2 a 
projeção de V sôbre· W. Então P 2A é uma aplicação linear de V em V, que aplica W em 
W (pois P2 transforma qualquer elemento de V num elemento de W). Com isto, tra­
tamos P 2A como sendo uma aplicação linear de W nêle próprio. Por indução, existe 
um leque para P2A em W, digamos {Wi, ... , w,,_i}. Façamos 
Jii=Vi+J.ti-i 
para i = 2, ... , n. Então v; está contido em Vi+ i para i = 1, .. . , n e verifica-se imedia-
tamente que dim v; = i. 
(Se {ui, ... , u.- d fôr uma base de W tal que {ui, ... , uJ seja uma base de W;, 
então {vi, ui, ... , u;-d é uma base de v;, para i = 2, ... , n.) 
Para mostrar que { Vi, ... , V,.} é um lequepara A em V, bastará mostrar que A v; 
está contido em v;. Para tanto, notamos que 
A =IA= (Pi + P2)A = PiA + P2A. 
Seja v E v;. Podemos escrever v = cvi + W;, com c E C e W; E W;. Então P iAv = P i(Av) 
pertence a Vi , e portanto êle pertence a Vi . Além disso, 
P2Av = P2A(cv1) +P2Aw;. 
Triangulação de Matrizes e de Aplicações Lineares 171 
Como P2A(cvi) = cP2Av1 , e sendo v1 um vetor próprio de A, digamos Av1 = À1v1 , 
deduzimos que P2A(cv1) = P2(cÃ.1v1) =O. Pela hipótese de indução, P2A é uma apli­
cação de W; nêle próprio, e portanto P2Aw; pertence a W;. Logo, P2Av pertence a 
Vi + W; = V;. Por fim, concluimos que PAv = P1Av + P2Av pertence a V;, com isto 
provando nosso teorema. 
Corolário 1. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sôbre os números com­
plexos, e suponhamos que dim V � 1. Seja A : V -+ V uma aplicação linear. Nestas 
condições, existe uma base de V tal que a matriz de A com respeito a esta base seja uma 
matriz triangular. 
Demonstração. Os argumentos já foram apresentados nas linhas precedentes ao 
Teorema 1. 
Corolário 2. Seja M uma matriz de números complexos. Existe uma matriz não-sin­
gular B tal que B-1 M B seja uma matriz triangular. 
Demonstração. Isto não passa da interpretação habitual da alteração de matri­
zes quando mudamos as bases, na situação descrita no Corolário 1. 
EXERCÍCIOS 
1. Seja A uma matriz triangular superior: 
o 
Interpretando A como sendo uma aplicação linear, quais são os valôres próprios de 
A2, A3, e, de modo geral, de A', onde ré um inteiro � 1? 
2. Seja A uma matriz quadrada. Dizemos que A é nilpotente se existir um inteiro 
r � 1 tal que A' = O. Mostrar que se A fôr nilpotente, então todos os valôres próprios 
de A são iguais a O. 
3. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sôbre os números complexos, e 
seja A : V -+ V uma aplicação linear. Suponhamos que todos os valôres próprios de 
A são iguais a O. Mostrar que A é nilpotente. 
(Nos dois exercícios acima, fazer tentativas explícitas inicialmente com 2 x 2 
matrizes.) . 
4. Por intermédio de leques, demonstrar que a inversa de uma matriz triangular 
inversível também é triangular. Na verdade, dado um espaço vetorial n-dimensional V, 
se A : V -+ V é uma aplicação linear inversível, e se {Vi , ... , V,,} é um leque para A 
mostrar que {Vi , ... , V,,} também é um leque para A -1. 
5. Seja A uma matriz quadrada de números complexos tais que A' = I para algum 
inteiro positivo r. Se !Y. fôr um valor próprio de A, mostrar que ry_' = 1. 
6. Achar uma base triangular para as aplicações de C2 representadas pelas ma-
trizes 
1
1
) (1 
(b) 
1 �) 
172 Álgebra Linear 
§2. Teorema de Hamilton-Cayley 
Consideremos um espaço vetorial V de dimensão finita sôbre um corpo K, e seja 
A : V --> V uma aplicação linear. Suponhamos que V tenha uma base formada de 
vetores próprios de A, digamos {v1, ... , v.}. Sejam {À.1, • . . , À.} os valôres próprios 
correspondentes. Então o polinômio característico de A é 
e 
Se agora aplicarmos P(A) a qualquer vetor v;, então o fator A -À.;f eliminará v;. Em 
outras palavras, P(A)v; = O. Conseqüentemente, P(A) = O. 
Porém, em geral, não podemos encontrar uma base do tipo acima. Contudo, me­
diante leques, podemos partir para uma generalização do argumento empregado há 
pouco no caso diagonal. 
Teorema 3. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sôbre os números com­
plexos, de dimensão � 1, e seja A : V --> V uma aplicação linear. Se P é seu polinômio 
característico, então P(A) = O. 
Demonstração. Em virtude do Teorema 2, podemos encontrar um leque para A, 
digamos {Vi, ... , V,,} . Seja 
a matriz associada a A com respeito a uma base associada ao leque { v1, • . • , v.}. Então 
Av; = a;;V; + um elemento de v; _ 1 , 
ou, em outras palavras, dado que (A -a;J)v; = Av; - a;;V;, concluimos que (A -a;;I)v; 
pertence a J-í_ 1. Além disso, o polinômio característico de A é dado por 
P(t) = (t-a11)· • • (t-a 
•• 
) , 
de forma que temos 
P(A) = (A - a11 /) • • ·(A - a •• l). 
Vamos provar por indução que 
(A -a11I) · .. (A -auf)v = O 
para todo v em V;, i = 1, ... , n. Quando i = n, estará provado nosso teorema. 
Seja i = 1. Então (A - a11l)v1 = Av1 -a11 v1 = O, e pronto. 
Seja i > 1, e suponhamos que nossa afirmação seja verdadeira para i - 1. Qual­
quer elemento de V; pode ser escrito como uma soma v' + cv; com v' em l'í- 1 , e para 
Triangulação de Matrizes e de Aplicações Lineares 173 
algum escalar c. Observamos que (A-aiJ)v' está em Jt;_1 pois AV; ... , cslú contido 
em Jt; _ 1 , e aiiv' também está em Jt; _ 1 . Por indução. 
(A -a111) .. ·(A-ai- u-11)(A-a;J)v' = O. 
Por outro lado, (A -aiil)cv; pertence a Jt; _ 1 . Segue-se por indução q uc 
(A-a111)···(A-ai-i,;-11)(A-a;J)cvi = O. 
Logo, para v em V; , temos 
(A-a111) . . ·(A -aul)v = O, 
com isto provando nosso teorema. 
Corolário 1. Seja A uma n x n matriz de números complexos, e seja P o seu poli-
nômio característico. Então P(A) = O. 
· 
Demonstração. Tratamos A como sendo uma aplicação linear de C" nêle próprio, 
e aplicamos o teorema. 
CoroláriO 2. Seja V uni espaço vetorial de dimensão finita sôbre o corpo K, e seja 
A : V -+ V uma aplicação linear. Se Pé o polinômio característico de A, então P(A) = O. 
Demonstração. Fixemos uma base de V, e seja M a matriz que representa A em 
relação a esta base. Então PM = PA, e basta provar que PM(M) = O. Mas podemos 
aplicar o Teorema 3 para tirar esta conclusão. 
Observação. Podemos demonstrar o Teorema 3 a partir de um argumento de con­
tinuidade. Dada uma matriz A, pode-se, por meio de vários métodos que não vamos 
analisar aqui, provar que existem matrizes Z, do mesmo tipo que A, a uma distância 
arbitràriamente pequena <le A (i.e. cada componente de Z está numa vizinhança da 
componente correspondente de A) tais que tôdas as raízes de Pz tenham multiplici­
dade 1. Na verdade, dentre todos os polinômios, são raros os polinômios complexos 
que têm raízes de multiplicidade > 1. Então, se Z fôr como descrevemos acima, a 
aplicação linear representada por Z é diagonalizável (pois Z possue valôres próprios 
distintos), e portanto Pz (Z) = O de maneira trivial, como já notamos no início dêste 
parágrafo. Contudo, Pz (Z) se aproxima de P iA) à medida que Z se aproxima de A. 
Logo, P A(A) = O. 
§3. Diagonalização de aplicações unitárias 
Teorema 4. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sôbre os números com­
plexos, e seja dim V � 1. Suponha.mos que V está munido de um produto hermitiano 
positivo definido. Seja A : V -+ V uma aplicação 'linear unitária. Nestas condições, 
existe uma base ortonormal de V constituída por vetores próprios de A. 
Demonstração. /nicialmente, ob�ervemcis q\le.se w fôt um vetor próprio de A, 
com valor próprio Â, então Aw = Àw e À =F O, pois A preserva o comprimento. 
Em virtude do Teorema 2, podemos achar um leque para A, digamos {V1, • • • , V,,}. 
Seja { v1, . .. , v,.} uma base associada ao leque. Podemos introduzir o processo de orto­
gonalização de Gram-Schmidt para torná-la ortogonal. Recordamos o processo: 
V'1 = V1 
' (
v2,.V1) 
V2 = V2-
< 
. 
>
·V.1 v,, v, 
174 Álgebra Linear 
Com esta construção, vemos que { v'1 , ... , v�} é uma base ortogonal e ela é também 
uma base associada ao leque (porque { v'1 , . • . , vi} e { v1 , • • • , v;} são bases de um mes­
mo espaço V;.). Dividindo cada ví por seu comprimento, obtemos uma base { w1 , • • • , w.} 
associada ao leque e que é ortonormal. Afirmamos que cada w; é um vetor próprio 
de A. Procedemos por indução. Como Aw1 está em V1, existe um escalar À.1 tal que 
Aw1 = À1w1, de forma que w1 é um vetor próprio, e À.1 #O. Suponhamos que já 
provamos que w1, • • • , w;_ 1 são vetores próprios de A com valôres próprios não-nulos. 
Existem escalares c1, . • • , e; tais que 
Aw; = c1w1 + · · · + C;W;.Dado que A preserva o perpendicularismo, Aw; é perpendicular a Awk para todo k < i. 
Mas Awk = Àkwk. Logo, Aw; é perpendicular ao próprio wk, e segue-se que ck = O. 
Logo, Aw; = C;W;, e e; # O pois A preserva o comprimento. Agora, fazemos variar 
i de 1 até n para concluir nosso teorema. 
Corolário. Seja A uma matriz unitária complexa. Então existe uma matriz unitária 
U tal que u- 1 A U seja uma matriz diagonal. 
Demonstração. Seja { e1, • • • , e"} = f!4 a base canônica ortonormal de C", e seja 
{w1, . • • , w.} = &B' uma base ortonormal que diagonaliza A, considerada como uma 
aplicação linear de C" nêle próprio. Consideremos 
U = M: ' (id). 
Então Ué unitária (cf. Exercício 5 do Capítulo VIII, §5), e se M' é a matriz de A rela­
tiva à base &B', então 
M' = u-1AU. 
Segue-se que M' é diagonal. 
EXERCÍCIOS 
1. Seja A uma matriz unitária complexa. Mostrar que cada valor próprio de A 
pode ser colocado sob a forma ei8, para algum (} real. 
2. Seja A uma matriz unitária complexa. Mostrar que existem uma matriz diagonal 
B e uma matriz unitária complexa U tais que A= u-1BU. 
CAPÍTULO XI 
O Teorema Espectral 
§1. Vetores próprios de aplicações lineares simétricas 
Nêste capítulo todo, vamos nos ocupar de vetores próprios e valores próprios 
para uma classe particular de operadores, a saber, os operadores simétricos (ou opera­
dores hermitianos, no caso complexo). Começamos com o caso simétrico sôbre os 
números reais. 
Consideremos um espaço vetorial V de dimensão finita sôbre os números reais, 
de dimensão � 1. Supomos que V está munido de um produto escalar simétrico posi­
tivo definido fixo, indicado por <,). O leitor pode tomar V como sendo R", munido 
de seu produto escalar usual; porém, vamos também considerar sub-espaços de V, e 
êstes sub-espaços têm o mesmo produto escalar que aquêle definido para V; mas êles 
não são iguais a Rm, e são isomorfos a Rm, para algum m, sómente quando escolhemos 
bases convenientes. O objetivo todo dêste capítulo será determinar estas bases, sujeitas 
a várias condições. 
Seja A : V --> V uma aplicação linear. Lembramos que A é simétrica se 
<Av, w) = <v, Aw) = <Aw, v) 
quaisquer que sejam v, w E V. Se V = R", e se o produto escalar é o produto escalar 
usual, e ainda se representarmos A por uma matriz relativa à base usual, então A é 
simétrica se, e sómente se, esta matriz é simétrica. Se V fôr dado de maneira abstrata, 
mas se escolhemos uma base ortonormal de V, e se representamos A por uma matriz 
com respeito a esta base, então, novamente, A é simétrica se, e sómente se, a matriz, 
é simétrica. 
Na prática, será conveniente empregar R" e C" em algumas discussões explícitas. 
Por exemplo, temos o seguinte teorema, que bàsicamente já foi demonstrado, mas 
que repetimos aqui na íntegra para a comodidade do leitor. 
Teorema 1. Seja A uma n x n matriz real simétrica. Se À. fôr um valor próprio de 
A em C, então À. é real. 
Demonstração. Vambs empregar o produto hermitiano em C", de maneira que se 
Z, Z' E C", então 
Seja Z um vetor próprio tendo valor próprio À, de forma que Z t= O e AZ = lZ. Temos 
<AZ, Z) = <1z, Z) = 1<z, Z). 
176 Álgebra Linear 
Por outro lado, como A é simétrica e real, temos 
(AZ, Z) = (Z, 'AZ) = (Z, AZ) = (AZ, z). 
Portanto, .l.(Z, Z) é igual ao seu conjugado complexo e é real. Como (Z, Z) é real 
e =/= O, concluimos que À é real. 
Seja Z um vetor em C". Expressamos Z de modo único como uma soma 
Z = X + iY, onde X e Y são vetores reais de R". Isto vale para cada componente de Z, 
e portanto para o próprio Z. Por exemplo, 
G � �i) = G) + i (_ �) · 
Teorema 2. Seja A uma n x n matri:: real simétrica. Então A tem um vetor próprio 
real não-nulo. 
Demonstração. Empregamos o fato que se interpretamos A como sendo uma apli­
cação linear de e• em C", então A tem um vetor próprio Z complexo e não-nulo. Por­
tanto, existe ). E C tal que AZ = ÃZ, e pelo Teorema 1, À é real. Temos 
Z =X+ iY 
com vetores reais X e Y; então 
AZ = AX + iAY 
e 
AZ = ).Z = ).X + iÀ Y. 
Como ). é real, e como as partes real e imaginária de um vetor complexo são determi­
nadas de modo único, concluimos que 
AX = À.X e A Y = ). Y. 
Como pelo menos um dos dois vetores X e Y não é o vetor nulo, então um dos dois 
é um vetor próprio real não-nulo, como queríamos demonstrar. 
Corolário. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sôbre R, de dimensão � 1, 
munido de um produto escalar positivo definido. Seja A : V ---> V uma aplicação linear 
simétrica. Então A possue um vetor próprio não-nulo em V. 
Demonstração. Fixamos uma base ortonormal para V. Então A é representada por 
uma matriz simétrica, com respeito a esta base. Se X é um vetor próprio não-nulo 
de A em R", então o elemento v de V tendo X para vetor das coordenadas em relação 
à base, é um vetor próprio não-nulo de A em V. 
A demonstração acima do Teorema 2 depende de uma propriedade dos números 
complexos, a saber, a existência de um vetor próprio complexo para uma matriz 
complexa. Empregando mais uma idéia de cálculo, é interessante apresentar uma outra 
demonstração do Teorema 2, baseada em considerações a respeito de um valor má­
ximo de uma função conveniente. 
Seja S a esfera unitária no R", i.e. o conjunto de todos os vetores X de R" tais que 
llXll = L 
A cada matriz real simétrica A associamos a forma quadráticaf: R"---> R dada-
por f(X) = (AX, X). Examinemos agora os valores de f na esfera unitária. 
O Teorema Espectral 177 
Teorema 3. Seja A uma n x n matriz real simétrica. Seja 
f(X) = (AX, X) 
para todo X E R". Seja v um elemento da esfera unitária, tal que f(v) ;;;:; f(X) para todo 
elemento X desta esfera. Então v é um vetor próprio de A. 
Demons tração. Seja w um vetor unitário em R" perpendicular a v. É fácil mos­
trar que existe uma curva diferenciável 
e : (a, b) ---> R" 
contida na esfera, definida num intervalo aberto contendo O, tal que C(O) = v, e de 
forma que o vetor tangente a C no ponto O é w, isto é; C'(O) = w. [A curva 
C(t) = (cos t)v + (sen t)w 
é um exemplo de tal curva]. Como f(v) =f(C(O)) é um máximo para f em S, é então 
um máximo para f o C no intervalo (a, b), e portanto, (f o C)'(O) = O. Por outro lado, 
a regra derivação de produto nos dá 
Logo, 
(f o C)'(t) = .!:.___ (AC(t), C(t)) dt 
= (AC'(t), C(t)) + (AC(t), C'(t)) 
= ( C'(t), AC(t)) + ( C'(t), AC(t)) 
= 2(AC(t), C'(t)). 
O= (f o C)'(O) = 2(AC(O), C'(O)) = 2(Av, w). 
Portanto, Av é perpendicular a todo vetor w ortogonal a v, e segue que Av pertence 
ao espaço gerado por v. Em outras palavras, existe um À. E R tal que Av = À.v. Isto 
demonstra nosso teorema. 
Introduzindo o fato, demonstrado em análise, que a esfera é compacta, e portan­
to que qualquer função contínua nesta esfera tem um máximo, concluímos que sempre 
existe um vetor do tipo descrito no Teorema 3, e, com isto, está apresentada uma outra 
demonstração da existência de um vetor próprio de A. 
EXERCÍCIOS 
1. Seja A uma 3 x 3 matriz real simétrica. Consideremos a funçãof(X) = (AX, X) 
para todo X E R". Dado um elipsoide pela equação 
3x2 + 4y2 + 5z2 = 1, 
seja v um vetor do elipsoide tal que f (v) ;;;:; f (X), para todo X do elipsoide. Mostrar 
que v é um vetor próprio de A. 
2. De modo mais geral, seja cp: R3 --->Ruma função continuamente diferenciável. 
Consideremos a superficie S definida pela equação cp(X) =O. Suponhamos que para 
cada P em S, temos grad cp(P) 1' O, e suponhamos que S é fechada e limitada. Se A é 
178 Álgebra Linear 
uma 3 x 3 matriz simétrica real, seja f(X) = (AX, X). Seja v um ponto de S tal que 
f(v) � f(X) para todo X sôbre S. Mostrar que v é um vetor próprio de A. 
3. Seja A uma n x n matriz real (não supomos que ela é simétrica). Contudo, 
suponhamos que todos. os valores próprios de A são reais._ Mostrar que A possue um 
vetor próprio real não-nulo. 
§2. O teoremaespectral 
Voltamos a nossas considerações algébricas. 
Do início ao fim dês te parágrafo, nós supomos que V é um espaço vetorial de di­
mensão finita sôbre R, munido de um produto escalar positivo definido. Supomos também 
que dim V � 1. 
Teorema 4. Seja A : V --> V uma aplicação linear simétrica. Seja v um vetor próprio 
não-nulo de A. Se w é um elemento de V, perpendicular a v, então Aw é perpendicular a v. 
Demonstração. Completamente trivial. Temos 
(Aw,v) = (w,Av) = (w,lv) = l(w,v) =O. 
Teorema 5. Seja A : V --> V uma aplicação linear simétrica. Então existe uma base 
ortogonal de V formada por vetores próprios de A. 
Demonstração. Por indução sôbre a dimensão de V. Se dim V = 1, não há mais 
nada a demonstrar. Suponhamos que dim V > 1. Em virtude do Teorema 2, existe um 
vetor próprio não-nulo v1 de A em V. Seja W = vr o espaço ortogonal de v1• Então 
dim W = dim V -1. 
Pelo Teorema 4, A é uma aplicação de W nêle próprio. Notemos que W está munido 
de um produto escalar, que é o produto induzido pelo produto escalar de V, e que A, 
considerada como uma aplicação linear de W nêle próprio, é simétrica. Por indução, 
existe uma base ortogonal de W formada por vetores próprios de A, digamos { v2, ••• , v.}. 
Então V; é perpendicular a v1 para cada i > 1, e segue que { v1 , . • . , v.} é a base orto­
gonal cuja existência está afirmada no teorema. 
Exemplo. Seja A a matriz. 
G �} 
Achar uma base ortogonal de R 2 formada por vetores próprios de A. 
Os valores próprios de A são 
5 ±JS 
2 
(Êstes valôres são calculados por meio de equações lineares, ou então são as raízes 
do polinômio característico t2 - 5t + 5). Para achar um vetor próprio, devemos re­
solver as equações 
5 +JS 2x+y= 2 x, 
5 +JS 
X+ 
3
y 
= 
2 y. 
O Teorema Espectral 179 
Obtemos x = 2, y = 1 + JS. Logo, 
V1 = e +2.)5) 
é um vetor próprio. O espaço ortogonal a v1 tem dimensão 1, e é portanto formado 
por todos os múltiplos reais de um vetor qualquer perpendicular a v1• Por exemplo, 
podemos tomar 
Êste vetor é necessàriamente um vetor próprio de A, pois A aplica do espaço ortogo­
nal a v1 nêle próprio. Logo, {v1 , v2} é a base procurada. 
Corolário. Seja A uma n x n matriz simétrica real. Então existe uma n x n matriz 
unitária real U tal que 1 U A U = u- 1 A U seja uma matriz diagonal. 
Demonstração. Interpretamos A como sendo a matriz associada a uma aplicação 
linear F : R" -----> R", relativa a base usual fJIJ = { e1, ... , e"}. Por virtude do Teorema 5 
podemos encontrar uma base ortonormal fJIJ' = {w1 , . • • , w.} de R" tal que M::(F) 
seja diagonal. (Cf. Exercício 2 abaixo). Seja U = M:'(id). Então u-1AU é diagonal. 
Além disso, U é unitária. Com efeito, escrevamos U = (c;). Então 
n 
wi = L Cvie", 
v= 1 
i = 1, . . . , n. 
Vemos imediatamente que as condições w; · w; = 1 e W; • wi = O se i #- j, significam 
que 'UU = 1, isto é, que u-1 = 'U. Isto demo_nstra nosso corolário. 
Observação 1. No Teorema 5, trabalhamos com duas formas sôbre o espaço V. Por 
um lado, aforma positiva definida(,), e por outro lado, aforma g tal que g(v, w) = (Av, w). 
Observamos que uma base ortogonal { v1 , • • • , v.} de V constituída de vetores próprios 
de A é também uma base ortogonal para a segunda forma. Demonstração: 
g(v;, v ) = (Av;, vi) = (À;V;, vi) = À;(v;, v)/ 
Esta última expressão é obviamente nula se i #- j, e com isto está demonstrado que 
nossa base é ortogonal também para a segunda forma. 
Observação 2. O produto escalar positivo definido que atribuimos a V dá origem 
a uma forma quadrática f1 : V -----> R tal que 
f1(v) = (v, v). 
O operador A dá origem a uma outra forma quadrática (não necessàriamente positiva 
definida!), que é a forma /2 verificando 
fz(v) = (Av, v). 
Consideremos uma base ortogonal { v1 , ••• , v.} de V formada por vetores pró­
prios de A. Sejam c; = ( V;, v;). Para v e V, temos 
180 Álgebra Linear 
onde X é o vetor das coordenadas de v com respeito à nossa base. Então 
Av = x1À1v1 + · · · + x.Ã.v. , 
se À1 , ••. , ;.. são os valôres próprios correspondentes a v1 , . • • , v., respectivamente. 
Conseqüentemente, 
f1(v) = c1xf + · · · + c.x; e fi(v) = À1c1xf + · · · + Ã.c.x;. 
A interpretação disto é que as nossas duas formas quadráticas são simultâneamente 
diagonalizadas. O Teorema 5 tem agora o enunciado seguinte: duas formas quadráticas 
reais, uma das quais é positiva definida, podem ser diagonalizadas simultâneamente. 
Uma base que possue as propriedades do Teorema 5 é denominada base espec­
tral de A. 
EXERCÍCIOS 
1. Achar uma base ortogonal de R 2 constituída por vetores próprios da matriz dada. 
(a) G 
(d) e 
�) 
�) 
�) 
- �) 
(c) (� �) 
(f) (_� -�) 
2. Seja A uma n x n matriz simétrica real. Mostrar que é possível encontrar uma 
base ortonormal de R" formada por vetores próprios de A. 
3. Seja V como especificado no parágrafo 2. Consideramos uma aplicação linear 
simétrica A : V -+ V. Sejam v, e V2 dois vetores próprios de A, com valôres próprios 
À1 e À2, respectivamente. Se Ã1 #- À2, mostrar que v1 é perpendicular a v2• 
4. Seja A uma 2 x 2 matriz simétrica real. Mostrar que se os valores próprios 
de A são distintos, então seus vetores próprios formam uma base ortogonal de R2• 
5. Seja V como especificado no parágrafo 2. Seja A : V -+ V uma aplicação linear. 
Se A possuir um único valor próprio, mostrar que qualquer base ortogonal de V é 
formada por vetores próprios de A. 
6. Seja V como especificado no parágrafo 2. Consideremos uma aplicação linear 
simétrica A : V -+ V. Seja dim V = n, e suponhamos que existem n valôres próprios 
di_stintos de A. Mostrar que seus vetores próprios formam uma base ortogonal de V. 
7. Seja V como especificado no parágrafo 2. Seja A : V -+ V uma aplicação linear 
simétrica. Se o núdeo de A fôr {O}, então nenhum valor próprio de A é O, e reciproca­
mente. 
8. Mostrar que tôda matriz real simétrica pode ser colocada sob a forma 'UBU, 
onde B é diagonal, e U é real unitária. 
9. Seja V como especificado no parágrafo 2, e seja A : V -+ V uma aplicaçã9 
linear simétrica. Mostrar que as seguintes condições para A são equivalentes: 
(a) Todos os valôres próprios de A são > O. 
(b) Qualquer que seja vE V, v #O, vale (Av, v) >O. 
Se a aplicação A verificar estas condições, então dizemos que ela é positiva definida. 
Dá-se a mesma definição para uma matriz simétrica real A, considerada como uma 
O Teorema Espectral 181 
aplicação linear de Rn nêle próprio. Nêste caso, a segunda condição tem o seguinte 
enunciado, em têrmos de vetores das coordenadas: 
(b') Qualquer que seja X E Rn, X =I O, vale 
1XAX >O. 
10. Dizer quais das seguintes matrizes são positivas definidas: 
(a) (� �) (b) (_� -D (ª 2) (e) 2 1 (1 2 3) 
(•) H -1 !) (d) 2 o 1 o 3 1 1 1 
11. Mostrar que são equivalentes as seguintes condições para uma matriz simé-
trica real: 
(a) Todos os valores próprios de A são < O 
(b) Qualquer que seja XERn, X =I O, vale 'XAX <O. 
12. Seja A uma n x n matriz simétrica real e não-singular. Demonstrar as se-
guintes propriedades: 
(a) Se À é um valor próprio de A, então À =I O. 
(b) Se À é um valor próprio de A, então À - 1 é um valor próprio de A - 1• 
(c) As matrizes A e A -1 possuem o mesmo conjunto de vetores próprios. 
13. Seja A uma matriz s_imétrica positiva definida real. Mostrar que existe A - i e 
que ela é positiva definida. 
· 
14. Seja A uma matriz simétrica real cujos valores próprios são todos �O. Mos­
trar que existe uma matriz B simétrica real tal que: B2 =A, e AB = BA. 
15. Mostrar que uma matriz A simétrica real é positiva se, e sómente se, existir 
uma matriz não-singular real N tal que A = 'NN. [Sugestão: Aplicar o corolário do 
Teorema 5, e escrever 'VAU como o quadrado de uma matr�/díagonal, digamos 
'VAU= B2• Considerar N = UB-1]. / 
16. Seja V como especificadono parágrafo 2. Seja A : V --+ V uma aplicação 
linear simétrica. Tendo em mente o teorema de Sylvester, mostrar que o índice de 
nulidade da forma 
(v, w) f-> (Av, w) 
é igual à dimensão do núcleo de A. Mostrar que o índice de positividade é igual ao 
número de vetores próprios de uma base espectral que possuem um valor próprio 
positivo. 
17. Seja V como especificado no parágrafo 2. Sejam A e B dois operadores simé­
tricos de V tais que AB,-= BA. Mostrar que existe uma base ortogonal de V que é uma 
base espectral tanto para A como para B, isto é, que é formada por vetores que são 
próprios para A e para B. [Sugestão: Se À é um valor próprio de A, e se Vi. é formado 
por todos os v E V tais que Av = Àv, mostrar que BVA está contido em Vi. Isto reduz 
o problema ao caso de A = 11.] 
182 Álgebra Linear 
18. Seja V como especificado no parágrafo 2, e seja A : V -> V um operador 
simétrico, Sejam À.1 , ... , À, os valôres próprios distintos de A. Se À é um valor próprio 
de A, consideremos o espaço V.;(A) formado por todos os v E V tais que Av = Àv. 
(a) Mostrar que V;.(A) é um sub-espaço de V, e que A aplica de V;,(A) nêle próprio. 
(b) Mostrar que V é a soma direta dos espaços 
V = V,i.(A) ® · · · ® V;.,(A), 
e que êstes sub-espaços são perpendiculares dois a dois. 
Chamamos a V..(A) o espaço próprio de A associado a À. 
19. (A notação é a mesma que a do exercício anterior). Suponhamos que A seja 
positiva definjda. Mostrar que existe um operador simétrico positivo definido B de 
V tal que 82 = A, e que B é determinado de modo único. [Sugestão: Mostrar inicial­
mente que os espaços próprios de B e de A são os mesmos, procedendo da maneira 
seguinte: Sejam µ1 , • • • , µ. os valores próprios distintos de B, e considerar a decom­
posição 
V = Vµ,(B) ® . . · ® Vµ.(B) 
de V numa soma direta de espaços próprios de B. Mostrar que cada V,.,(B) é um espaço 
próprio de A, associado a algum valor próprio À; de A, e que se µ; =1- µ i então À; =1- Ài. 
Concluir que s = r, V,.,(B) = V.;,(A), e portanto que o comportamento de B é deter­
minado de modo único por A]. 
20. Seja V como especificado no parágrafo 2, e seja A : V -> V um operador in­
versível arbitrário de V. Mostrar que existem um operador unitário real U e um operador 
simétrico positivo definido P de sorte que A = UP, com U e P determinados de modo 
único. [Sugestão: Seja P o operador simétrico positivo definido tal que P2 = 'AA. 
Se U = AP - 1, mostrar que U é unitário. Isto resolve a questão da existência. Quanto 
à unicidade, supor que A = U 1P1 , com U 1 unitário e P 1 simétrico positivo definido. 
Se U 2 = PP"! 1, então I = 'U 2 U 2 (por que?), e portanto P2 = Pi . Empregar o Exer­
cício 19 para concluir que P = P 1 , e por fim, mostrar que U = U 1]. 
21. Se P 1 e P 2 são duas matrizes simétricas reais positivas definidas (do mesmo 
tipo), e sete u são números reais positivos, mostrar que tP1 + uP2 é uma matriz si­
métrica positiva definida. 
22. Seja V como especificado no parágrafo 2, e seja A : V -> V um operador 
simétrico. Sejam )1 , ... , À, os valores próprios distintos de A.Mostrar que 
23. Seja V como especificado no parágrafo 2, e seja A : V -> V um operador 
simétrico. Diz-se que um sub-espaço W de V é invariante por A se Aw E W, para todo 
w E W, i.e. se A W e W. Mostrar que se A não possuir nenhum sub-espaço invariante 
outro que {O} e V, então A = Àl, para algum número À. [Sugestão: Mostrar que A possui 
um único valor próprio À.] 
§3. O caso complexo 
Como de costume, temos um correspondente do teorema espectral para o caso 
complexo. 
O Teroema Espectral 183 
Teorema 6. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sôbre os números com­
plexos de dimensão> O. Seja(,) uma forma hermitiana positiva definida sôbre V. Seja 
A : V --> V uma aplicação linear hermitiana. Nestas condições, existe uma base orto­
gonal de V formada por vetores próprios de A. 
Demonstração. A mesma que a demonstração do Teorema 5. 
A título de exercícios adicionais, o leitor deve fazer observações a respeito do caso 
hermitiano correspondente àquelas feitas no parágrafo precedente a respeito do caso 
simétrico. Notemos ainda que se {v1, • • . , vn} é uma base ortogonal formada por ve­
tores próprios de A, então a matriz de A relativa a esta base é uma matriz diagonal 
real. Isto significa que a teoria das aplicações hermitianas (ou matrizes hermitianas) 
tem o mesmo comportamento que o caso real. 
EXERCÍCIOS 
Em todos êstes exercícios, suponhamos que V é um espaço vetorial de dimensão 
finita sôbre C, munido de um produto hermitiano positivo definido. Supomos também 
_que dim V > O. 
1. Diz-se que um operador A : V --> V é normal se AA * = A* A. Se A fôr normal, 
enunciar e demonstrar um teorema espectral para A. [Sugestão para a demonstração: 
Achar um vetor próprio comum para A e A*]. 
2. Se f é um polinômio com coeficientes reais e se A é um operador hermitiano, 
mostrar que f (A) é hermitiano. 
3. Definir para operadores hermitianos a propriedade de ser positivo definido, 
e demonstrar o correspondente dos Exercícios 9 e 12 do §2. 
4. Se A é hermitiano e positivo definido, mostrar que existe um operador her­
mitiano B tal que 82 = A e AB = BA. O operador B é único? 
5. Diz-se que um operador hermitiano A é positivo (não necessàriamente definido) 
se todos os seus valores próprios forem � O. Mostrar que esta condição é equivalente 
à condição: // 
(Av, v) �O para todo VE V. 
6. Mostrar que um operador hermitiano A possue uma raiz quadrada, i.e. um 
operador hermitiano positivo B tal que B2 =A, com B determinado de modo único. 
7. Mostrar que a matriz 
A= 
( 1 i) 
-i 1 
é positiva, e achar uma raiz quadrada. 
8. Seja A um operador hermitiano. Mostrar que existem operadores hermitianos 
positivos P1 e P2 tais que A= P1 -P2. 
9. Seja A um operador inversível. Mostrar que existem um operador unitário 
complexo U e um operador hermitiano positivo definido P tais que A = UP, com U 
e P determinados de modó -6.nico. [Sugestão: Proceder como no Exercício 20, §2]. 
184 Álgebra Linear 
10. Sejam A e B dois operadores normais tais que AB = BA. Mostrar que AB 
é normal. 
11. Seja A uma n x n matriz hermitiana. Mostrar que existe uma n x n matriz 
unitária complexa U tal que U* A U seja uma matriz diagonal. Achar uma tal matriz 
U quando A é igual a: 
(2 1+
1
i) 
(a) 1 
-i (b) 
( 1. i) 
-1 1 
12. Seja A uma matriz inversível complexa. Mostrar que A é hermitiana positiva 
definida se, e sómente se, existir uma matriz não-singular N tal que A = N*N. 
CAPÍTULO XII 
Polinômios e Decomposição Primária 
§ 1. O algoritmo euclideano • 
Nós já definimos polinômios e o grau de um polinômio, no Capítulo IX. No pre­
sente capítulo, vamos abordar outras propriedades de polinômios. A propriedade 
básica é o algoritmo euclideano, ou a divisão por etapas, ensinado (presumívelmente) 
em todos os colégios. 
Teorema 1. Sejam f e g dois polinômios sôbre o corpo K, i.e. elementos de K[t], e 
suponhamos que gr g � O. Então existem polinômios q e r em K[t] tais que 
f (t) = q(t)g(t) + r(t), 
com gr r < gr g. Os polinômios q e r são determinados de modo único por estas condições. 
Demonstração. Seja m = gr g � O. Escrevemos 
f (t) = a.t" + · · · + a0, 
g(t) = bmtm + · · · + bo, 
com bm 
=F O. Se n < m, tomamos q = O e r = f Se n � m, seja 
(Êste é o primeiro passo no processo da divisão por etapas). Então gr fi < gr f Pros­
s�guindo desta maneira ou, de maneira mais formal, por indução sôbre n, podemos 
encontrar polinômios qi e r de sorte que 
f1 = qig + r, 
com gr r < gr g. Então 
f (t) = a.b;;, 1t•-mg(t) + f1(t) 
= 
a.b;;,1t•-mg(t) + qi(t)g(t) + r(t) 
= (a.b;;;itn-m + qi)g(t) + r(t), 
e com isto, nosso polinômio f está expresso sob a forma desejada. 
Para demonstrar a unicidade, suponhamos que 
f = qig + ri = q2g + r2/ 
com gr ri < gr g e gr r2 < gr g. Então 
(q1 -q2)g = r2 -ri . 
186 Álgebra Linear 
Ou o grau do membro esquerdo é ;;; gr g, ou o membro esquerdo é igual a O. Ou o 
grau do membro direito é < gr g, ou o membro direito é igual a O. Logo, a única possi­
bilidade é que ambos sejam O, donde 
q, = q2 
como queríamos demonstrar. 
e 
Corolário 1. Seja f um polinômio não-nulo de K[t]. Seja ()(E K um escalar tal que 
f(()() = O. Então existe um polinômio q(t) de K[t] tal que 
f (t) = (t- oc)q(t). 
Demonstração. Podemos escrever 
f (t) = q(t)(t - ()() + r(t), 
onde gr r < gr(t - ()(). Mas gr(t - ()() = 1. Logo r é constante. Como 
O 
= 
f (()() = q(()()(()( - ()() + r(()() = r(()(), 
segue que r = O, como queríamos mostrar. 
Corolário 2. Seja K um corpo tal que todo polinômio não-constante de K[t] admita 
uma raiz em K. Se f é um tal polinômio, então existem elementos ()(1 , ... , ()("E K e c E K 
tais que 
f (t) = c(t- ()(1) · • · (t - ()(.). 
Demonstração. No Corolário 1, observemos que gr q = gr f - 1. Façamos ix = ix1 
no Corolário 1. Por hipótese, se q não fôr constante, podemos achar uma raiz ix2 de q, 
e com isto, escrever 
Procedendo por indução, continuamos até chegar a um q.+i constante. 
Nós supomos que os números complexos satisfazem a hipótese do Corolário 2; 
com esta suposição, vemos que provamos a existência de uma fatoração de um poli­
nômio sôbre os números complexos, com fatôres de grau 1. A unicidade será demons­
trada no parágrafo que segue. 
Corolário 3. Seja f um polinômio de grau n, em K[t]. Existem no máximo n raízes 
de f em K. 
Demonstração. No caso contrário, se m > n, e se ix1 , ... , ()(m são raízes distintas 
de f em K, então 
para algum polinômio g, donde gr f ;;; m, o que é uma contradição. 
EXERCÍCIOS 
1. Em cada um dos casos seguintes, expressar f 
= 
qg + r, com gr r < gr g. 
(a) f (t) = t2 - 2g + 1, g(t) 
= 
t - 1 
(b) f(t) = t3 + t - 1 , g(t) = t2 + 1 
(c) f (t) = t3 + t, g(t) = t 
(d) f (t) = t3 - 1, g(t) = t - 1 
Polinômios e Decomposição Primária 187 
2. Sef(t) tiver coeficientes inteiros, e se g(t) tiver coeficientes inteiros e coericiente 
dominante 1, mostrar que ao expressarmos! = qg + r, com gr r < gr g, os polinômios 
q e r também têm coeficientes inteiros. 
3. Com o emprêgo do teorema do valor intermediário, do cálculo, mostrar que todo 
polinômio de grau ímpar sôbre os números reais admite.uma raiz nos números reais. 
4. Sejaf(t) = t" + · · · + a0 um polinômio com coeficientes complexos, de grau n, 
e sejaoc uma raiz. Mostrar que 1 ocl � n · maxi laJ [Sugestão: Escrever- ex• = a._ 1ex"- 1 + 
+ · · · + a0 . Se I ex I > n · maxi 1ai1, dividir por ex" e tomar o valor absoluto; um rápido 
raciocínio exibirá uma contradição]. 
§2. Máximo divisor comum 
Vamos definir um conceito que tem a mesma relação para com o conjunto K[t] 
de polinômios que um sub-espaço tem para com um espaço vetorial. 
Chamamos ideal de K[t], ou ideal de polinômios, ou mais sucintamente ideal, a 
um sub-conjunto J de K[t] que satisfaz às seguintes condições: 
O polinômio zero pertence a J. Se f e g pertencem a J, então f + g pertence a J. 
Se f é um elemento de J e se g é um polinômio arbitrário, então gf pertence a J. 
Conforme esta última condição, vemos que se c E K, e se f está em J, então cf 
também está em J. Portanto, um ideal pode ser interpretado como sendo um espaço 
vetorial sôbre K. Mas êle é mais do que isto, devido ao fato que seus elementos podem 
ser multiplicados não sómente por números, mas também por elementos arbitrários 
de K[t].. 
Exemplo 1. Sejam polinômios f,, . . . J. de K[t]. Seja J o conjunto de todos os 
polinômios que podem ser escritos sob a forma 
g = gJ, + ... + g,j� 
com gi E K[t]. Então J é um ideal. Com efeito, se 
h = hJ1 + ... + h,J,, 
com hie K[t], então 
g + h = (g1 + hi)f, + . . . + (g. + h.)f,, 
também pertence a J. Além disso, O = Of1 + · · · + Of,, está em J. Se fé um polinômio 
qualquer de K[t], então 
fg = ( fg i)f, + ... + (fg.)f. 
também pertence a J. Com isto, tôdas as nossas condições são satisfeitas. 
Dizemos que o ideal J do Exemplo 1 é gerado por f,, ... ,f,,, e também que 
f1 , . • . J. são um conjunto de geradores. 
No Exemplo 1, notamos que cada J; pertence ao ideal J. Por exemplo, 
f1 = 1 · f, + Of2 + · · · + Of,, . 
Exemplo 2. O conjunto unitário {O} é um ideal. Igualmente, o próprio K[t] é 
um ideal. Observamos que 1 é um gerador de K[t], que tem o nome de ideal unidade. 
188 Álgebra Linear 
Exemplo._3. Consideremos o ideal gerado pelos dois polinômios t - 1 e t - 2. Afir­
mamos que se trata do ideal unidade. Pois, em particular, 
(t-1)-(t-2) = 1 
é um elemento do ideal. Portanto, é possível que tenhamos vários geradores para um 
ideal, e no entanto conseguimos encontrar um único gerador para o ideal. Vamos 
descrever a situação com mais precisão nos teoremas que seguem. 
Teorema 2. Seja J um ideal de K[t]. Então existe um polinômio g que é um gerador de J. 
Demonstração. Suponhamos que J seja diferente do ideal zc;ro. Seja g um polinô­
mio em J que não é O, e que tem o menor grau. Afirmamos que g é um gerador para J. 
Seja f um elemento qualquer de J. Pelo algoritmo euclidiano, nós podemos achar 
polinômios q e r de sorte que 
f = qg + r 
com gr r < gr g. Então r = f - qg, e pela definição de um ideal, resulta que r também 
pertence a J. Como gr r < gr g, temos necessàriamente r = O. Logo, f = qg, e g é 
um gerador de J, como queríamos demonstrar. 
Observação. Seja g1 um gerador não-nulo de um ideal J, e seja g2 um outro gerador. 
Então existe um polinômio q tal que g1 = qg2• De 
gr g1 = gr q + gr g2, 
segue que gr g2 � gr g1 • Por simetria, temos que ter 
gr g2 = gr g1• 
Logo, q é constante. Podemos escrever 
para alguma constante e. Seja 
g2(t) = a.t" + · · · + a0 
comª• =/. O. Tomemos b = a;; 1• Então bg2 também é um gerador de J, e seu coeficiente 
dominante é igual a 1. Então sempre podemo� achar um gerador com coeficiente 
dominante 1 para um ideal ( =/. O). Além disso, é óbvio que êste gerador está determi­
nado de modo único. 
Sejam polinômios f e g não-nulos. Dizemos que g divide f, e escrevemos g 1 f, se 
existir um polinômio q tal que f = gq. Sejam f1 ,f2 dois polinômios =/. O. Por má­
ximo divisor comum de f1 ,f2 significaremos um polinômio g tal que g divida
· 
f1 e f2 , 
e além disso, se h dividir f1 e f2 , então h divide g. 
· 
Teorema 3. Sejam polinômios não-nulos f1 e f2 em K[t]. Se g fôr um gerador do 
ideal gerado por f 1 e f2 , então g é um máximo comum de f1 e f2 • 
Demonstração. Como f1 pertence ao ideal gerado por f1 e f2 , existe um polinô-
mio q1 tal que • 
f, = q,g, 
donde: g divide f1 • Anàlogamente, g divide f2, Seja hum polinômio que divide f1 e f2 • 
Escrevemos 
e 
Polinômios e Decomposição Primária 189 
para determinados polinômios h1 e h2 • Como g está no ideal gerado por f1 e ./� , exis­
tem polinômios g1 e g2 tais que g = gJ1 + gif2 , Logo, 
g 
= 
g1h1h + g2h2h = (g1h1 + g1h2)h. 
Conseqüentemente, h divide g, e está demonstrado nosso teorema. 
Observação 1. O máximo divisor comum é determinado a menos de um fator 
constante não-nulo. Se escolhemos um máximo divisor comum com coeficiente do­
minante 1, então êste divisor está determinado de modo único. 
Observação 2. Aplicamos uma demonstração idêntica quando estamos diante de 
mais de dois polinômios. Por exemplo, se f1 , • • • ,f. são polinômios não-nulos, e se g 
é um gerador do ideal gerado por f1 , ... , f., então g é um máximo divisor comum 
de f1, ... , f • . 
Dizemos que polinômios f1, ... , f. são primos,.entre si, se.seu máximo divisor 
comum fôr 1. 
EXERCÍCIOS 
1. Mostrar que t" - 1 é divisível por t - 1. 
2. Mostrar que t4 + 4 pode ser fatorado num produto de polinômios de grau 2 
com coeficientes inteiros. 
3. Sendo n ímpar,achar o quociente de t" + 1 por t + 1. 
4. Seja A uma n x n matriz sôbre um corpo K, e seja J o conjunto de todos poli­
nômios f(t ) em K[t] tais que .f{A) = O. Mostrar, que J é um ideal. 
§3. Unicidade da fatoração 
Diz-se que um polinômio p de K t é irredutível (sôbre K ) se êle fôr de grau ;;:;; 1, 
e se, dada uma fatoração p 
= fg com f, g E K[t], então gr f ou gr g = O (isto é, f ou 
g é constante). Assim sendo, a menos um fator constante, os únicos divisores de p 
são o próprio p e 1. 
Exemplo 1. Os únicos polinômios irredutíveis sôbre os números complexos são 
os polinômios de grau 1, i.e. os múltiplos por uma constante não-nula dos polinômios 
do tipo t-rx., com rx.EC. 
Exemplo 2. O polinômio t2 + 1 é irredutível sôbre R. 
Teorema 4. Todo polinômio de K[t] de grau ;;:;; 1 pode ser expresso por um produto 
p1 · · · Pm de polinômios irredutíveis. Num tal produto, os polinômios p1 · · · Pm são deter­
minados de modo único a menos de uma permutação e a menos de fatôres constantes 
não-nulos. 
Demonstração. Inicialmente, demonstramos a existência da decomposição num 
produto de polinômios irredutíveis. Seja f um elemento de K[t], de grau ;;:;; 1. Se f 
fôr irredutível, não há mais nada a demonstrar. Se f não fôr irredutível, podemos 
escrever 
f = g h 
onde gr g < gr f e gr h < gr f, Se g e h forem irredutíveis, não há mais nada a demons-
trar. No caso contrário, podemos decompor g e h em produtos de polinômios de grau 
190 Álgebra Linear 
inferior. Não podemos repetir êste processo indefinidamente; portanto, conseguimos 
achar uma fatoração para f (Óbviamente, pode-se apresentar a demonstração num 
esquema de indução). 
Precisamos agora provar a unicidade. Para tanto, necessitamos de um lema. 
Lema. Seja p um polinômio irredutível em K[t]. Sejam f, g E K[t] dois polinômios 
não-nulos, e suponhamos que p divida fg. Então ou p divide f, ou p divide g. 
Demonstração. Suponhamos que p não divida f Então, o máximo divisor comum 
de p e f é 1, e existem polinômios h1, h2 E K[t] tais que 
1 = hiP + hzf. 
(Por virtude do Teorema 3). Multiplicando por g, obtemos 
g = gh1P + hzfg. 
Mas fg = ph3 , para algum h3 , donde 
g = (gh1 + h2h3)p, 
e p divide g, como queríamos demonstrar. 
O lema será aplicado quando p divide um produto de polinômios irredutíveis 
q1 
· · 
· q •. Neste caso, ou p divide q1 , ou p divide q2 • • • q • . Logo, existe uma constante c 
de modo que p = cq1 ; senão, p divide q2 • · • q •. Neste último caso, podemos proceder 
por indução, e concluimos que, qualquer que seja o caso, existe algum i tal que p e q; 
diferem por um fator constante. 
Suponhamos agora que temos dois produtos iguais de polinômios irredutíveis: 
P1 ... Pr = qi ... q. 
· 
Após uma re-numeração dos q;, podemos supôr que p1 = cq1 para alguma constante c1 • 
Cancelando q1, obtemos 
C1P2 · · · Pr = q2 · · · qs 
· 
Repetindo nosso argumento por indução, concluimos que existem constantes C; tais 
que P; = c;q; para todo i, após uma eventual permutação de q 1 · · • q •. Isto demonstra 
a unicidade. 
Corolário 1. Sejaf um polinômio de K[t], de grau � 1. Então f pode ser fatorado: 
f = cp1 ... Ps, onde p1 , ... , Ps são polinômios irredutíveis com coeficiente dominante "!, 
e são determinados de modo único a menos de uma permutação. 
Corolário 2. Seja f um polinômio de C[t], de grau � 1. Então f pgde ser fatorado: 
f (t) = c(t - 1X1) · · · (t - IX.), 
com IX; E C e c E C. Os fatôres t - IX; são determinados de modo único, a menos de uma 
permutação. 
Vamos trabalhar sobretudo com polinômios tendo coeficit::nte dominante 1. Seja f 
um tal polinômio, de grau � 1. Sejam p1 , • • • , p, os polinômíos irredutíveis distintos 
(com coeficiente dominante 1) que aparecem na fatoração de f Então podemos expres­
sar f como um produto 
f = p�' • .. p�r 
onde i1 , • • • , i, são inteiros positivos, determinados de modo único por p1 , • • • , p,. 
Polinômios e Decomposição Primária 191 
Esta fatoração tem nome de fator ação normalizada de f Em particular, no caso com­
plexo, podemos escrever 
Um polinômio com coeficiente dominante 1 é às vêzes chamado polinômio unitário. 
Se pé irredutível, e se f = pmg, onde p não divide g, em é um inteiro �O, então 
diremos que m é a multiplic idade de p em f (Definimos pº como sendo 1). Indicamos 
esta multiplicidade por ordP f, e também a chamamos ordem de f em p. 
· 
Se IX é uma raiz de f, e se 
1 (t) = (t -1Xrg(t), 
com g(IX) =/= O, então t - IX não divide g(t), e m é a multiplicidade de t - IX em f Também 
dizemos que m é a multiplicidade de IX em f 
Existe um critério simples para verificar se m > 1, usando a derivada. 
Seja f(t) = a.t" + · · · + a0 um polinômio. Definimos sua derivada (formal) como 
sendo 
Df(t) �f'(t) = n a.t" + (n-l) a._1t•-2 + . . · + a1. 
Então, valem as seguintes regras, cuja demonstração deixamos a título de exercício. 
(a) Se f, g são polinômios, então 
(f + g)' = f' + g'. 
E 
(fg)' = f' g + fg'. 
Se e é uma constante, então (cf) = cf'. 
(b) Seja IX uma raiz de f, e suponhamos que gr f � 1. Mostrar que a multiplici­
dade de IX em f é > 1 se, e sómente se, f'(IX) = O. Logo, se f'(IX) =/= O, mostrar que a 
multiplicidade de IX é 1. 
EXERCÍCIOS 
1. Seja f um polinômio de grau 2, sôbre um corpo K. Mostrar que ou f é irredu­
tível sôbre K, ou f pode ser fatorado em têrmos de fatôres lineares sôbre K. 
2. Seja f um polinômio de grau 3, sôbre um corpo K. Se f não fôr irredutível 
sôbre K, mostrar que f tem raiz em K. 
3. Seja f(t) um polinômio irredutível com coeficiente dominante 1, sôbre os nú­
meros reais. Suponhamos que gr f = 2. Mostrar que f(t) pode ser expresso sob a 
forma 
f (t) = (t - a)2 + b2 
com determinados a, b E R e b =/=O. Reciprocamente, mostrar que todo polinômio do 
tipo acima é irredutível sôbre R. 
4. Seja f um polinômio com coeficientes complexos, 
f (t) = IX.t" + . . · + IXo . 
192 Álgebra Linear 
Definimos seu conjugado complexo 
f(t) = 'Fi.nt" + · · · + 'Fi.o 
tomando o conjugado complexo de cada coeficiente. Mostrar que se f e g são elemen­
tos de C[t], então 
(f + g) = J + g, (fg) = Jg, 
e se pec, então (pf) = Pf 
5. Seja f (t) um polinômio com coeficientes reais. Seja IX uma raiz de f, sendo 
IX complexo mas não real. Mostrar que ii também é uma raiz de f 
6. Com o enunciado do Exercício 5, mostrar que a multiplicidade de IX em f é 
a mesma que a de � em f 
7. Seja A uma n x n matriz sôbre um corpo K. Seja J o conjunto dos polinômios 
f de K[t] tais que f (A) 
= 
O. Mostrar que J é um ideal. O polinômio unitário gerador 
de J tem o nome de polinômio minimal de A sôbre K. Dá-se uma definição análoga 
no caso de A ser uma aplicação linear de V em V, sendo V um espaço vetorial de di­
mensão finita. 
8. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sôbre K. Seja A : V --> V uma 
aplicação linear. Seja f seu polinômio minimal. Se fôr possível diagonalizar A (i.e. se 
existir uma base de V formada por vetores próprios de A), mostrar que o polinômio 
minimal é dado pelo produto 
(t -1X1) • • • (t - IX,), 
onde IX1 , • • • , IX, são os valores próprios distintos de A. 
9. Mostrar que os seguintes polinômios não possuem raízes múltiplas em C. 
(a) t4 + 1 (b) t5 - 5t + 1 
(c) qualquer polinômio t2 + bt + e se b e e são números tais que b2 - 4c seja 
diferente de O. 
10. Mostrar que o polinômio t" - 1 não possui raízes múltiplas em C. Pode o leitor 
determinar tôdas as suas raízes e dar sua decomposição num produto de fatôres de 
grau 1? 
11. Sejam f e g dois polinômios de K[t], e suponhamos que êles são primos 
entre si. Mostrar que é possível encontrar polinômios f1 e g1 tais que o determinante 
seja igual a 1. 
12. Sejam polinômios f1 , f2, f3 E K[t], e suponhamos que êles gerem o ideal 
unidade. Mostrar que é possível achar polinômios Íii de K[t] tais que odeterminante 
seja igual a 1. 
li Í2 !a 
/21 Í22 f23 
fa1 fa2 fa3 
Polinômios e Decomposição Primária 193 
13. Seja a um número complexo, e consideremos o conjunto J de todos os poli­
nômios f(t) em K[t] tais que f(a) = O. Mostrar que J é um ideal. Se J não é o ideal 
zero, mostrar que o polinômio unitário gerador de J é irredutível. 
14. Sejam dois polinômios f e g escritos sob a forma 
e 
g = p11 ... J1!r 
onde iv ,jv são inteiros �O, e p1 , • • • , p, são polinômios irredutíveis distintos. 
(a) Mostrar que o máximo divisor comum de f e g pode ser expresso por um 
produto p�' · · · p�' onde k1 , • • • , k, são inteiros �O. Expressar kv em têrmos de iv e jv. 
(b) Definimos o menor múltiplo comum, e expressamos o menor múltiplo comum 
de f e g por um produto p�' · · · p�r com inteiros kv � O. Expressar kv em têrmos de 
iv e jv. 
15. Determinar o máximo divisor comum e o menor múltiplo. comum dos se­
guintes pares de polinômios: 
(a) (t - 2)3(t- 3)4(t - i) e (t - l)(t - 2)(t - 3)3 
(b) (t2 + l)(t2 -1) e (t + i)3(t3 - 1). 
§4. Os inteiros 
A teoria de fatoração dos inteiros segue de perto a teoria dos polinômios sôbre 
um corpo. Indicamos por Z o conjunto dos inteiros. Vale o ·algoritmo euclidiano. 
Teorema l'. Se m, n são inteiros � O, e m > O, então existem inteiros q, r � O, 
com O � r < w tais que 
n = qm + r. 
Os inteiros q e r são determinados de modo único por estas condições. 
Demonstração. Se n < m, então tomamos q = O e r = n. Se n � m, então 
O � n - m < n. Por indução, podemos achar inteiros q 1 , r � O e r < m tais que 
Então 
Isto nos revela a existência. Deixamos a unicidade a título de exercício. 
Definimos um ideal J de inteiros como sendo um sub-conjunto de Z possuindo 
as seguintes propriedades: 
O inteiro O pertence a J. Se m, n pertencem a J, então m + n pertence a J. Se m está 
em J, e se n é um inteiro arbitrário então nm pertence a J. 
Da mesma forma que fizemos para polinômios, definimos o que significa dizer 
que um ideal é gerado por inteiros m1, • . • , m • . Temos o ideal zero, e o ideal unidade 
(que é o próprio Z). Vale o: 
194 Álgebra Linear 
Teorema 2. Seja J um ideal de Z. Então existe um inteiro d que é gerador de J. 
Demonstração. Idêntica à demonstração do Teorema 2. Nós a deixamos a cargo 
do leitor a título de exercício elementar. [Sugestão: Ao invés de tomar o polinômio 
de menor grau, considerar o menor inteiro posit_ivo do ideal]. 
Temos o conceito de divisibilidade, cuja definição é análoga àquela no caso de 
polinômios. 
Teorema 3'. Sejam m1 e m2 dois inteiros positivos. Se d é um gerador positivo do 
ideal gerado por m1 e m2, então d é um máximo divisor comum de m1 e m2• 
Demonstração, que o leitor fará com prazer. No fundo, a demonstração :pão passa 
de uma cópia mutatis mutandi da demonstração do Teorema 3. 
Dizemos que um inteiro p ( � 2) é um número primo se, dada uma fatoração p = mn 
com inteiros positivos m e n, então m = 1 ou n = 1. 
Teorema 4'. Ti)(fo inteiro positivo n � 2 pode ser expresso como um produto 
n = P1 . . . p,. 
de números primos p1, • • ·, p, que são determinados de modo único a menos de uma per­
mutação. 
Demonstração. Copiar a demonstração do Teorema 4, deixando de lado as refe­
rências inúteis a constantes. 
EXERCÍCIOS 
1. Seja f(t) = t" + a._1t•-1 + ··· + a0,a0 =1- O, um polinômio com coeficientes 
inteiros. Mostrar que se oc é uma raiz de f em Z, então oc divide a0 • 
2. Seja f (t) um polinômio de grau � 1, com coeficiente dominante 1, e coeficientes 
inteiros. Mostrar que qualquer raiz racional de f é necessàriamente um inteiro. 
3. Mostrar que os seguintes polinômios são irredutíveis sôbre os números racionais 
(a) t2 + 1 (b) t2 - 2t + 2 (c) t2 - t + 4 
(d) t3 - t + 1 (e) t3 + 3t - 1 (f) t3 - 4t + 5. 
4. Sejam a e b dois inteiros primos entre si. Mostrar que existem inteiros c e d tais 
que o determinante 
seja igual a 1. 
5. (Euclides) Mostrar que existem infinitos números primos. [Sugestão: Dados 
números primos distintos p1 , • • • , p., obter um novo número primo da maneira se­
guinte: Se a = p1 • • • p. + 1, mostrar que qualquer número primo p que divide p é 
diferente de qualquer um dos pJ. 
6. Enunciar e demonstrar o correspondente do Exercício 14 do parágrafo anterior 
para o caso dos inteiros positivos: 
7. Calcular o máximo divisor comum e o menor múltiplo comum dos seguintes 
pares de inteiros positivos: 
(a) 53263 e 5217 (b) 248 e 28. 
Polinômios e Decomposição Primária 195 
§5. Aplicação à decomposição de um espaço vetorial 
Consideramos um espaço vetorial V sôbre o corpo K, e seja A : V ---> V um ope­
rador de V. Seja W um sub-espaço de V. Diremos que W é um sub-espaço /1warianl<' 
por A se Aw pertencer a W para cada w em W, i.e. se AW estiver contido cm W 
Exemplo 1. Seja v1 um vetor próprio não-nulo de A, e seja V1 o espaço de dimen­
são l gerado por V1 • Então vi é um sub-espaço invariante por A. 
Exemplo 2. Seja À um valor próprio de A, e seja V;, o sub-espaço de V formado 
por todos os v E V tais que Av = À.V. Então V, é um sub-espaço invariante por A, de­
nominado espaço próprio de À. 
Exemplo 3. Seja f (t) E K[t] um polinômio, e seja W o núcleo de f (A). Então W é 
um sub-espaço invariante por A. 
Demonstração. Suponhamos que f(A)w. = O. Como �f(t) = f(t)t, resulta que 
Af(A) = f(A)A, 
donde 
f(A)(Aw) = f(A)Aw = Af(A)w = O. 
Portanto, Aw também pertence ao núcleo de f(A), e com isto, está provada a nossa 
asserção. 
Observemos que, em geral, para dois polinômios f e g quaisquer, vale 
f (A)g(A) = g(A)f (A) 
pois f (t)g(t) = g(t)f (t). Êste fato será empregado com freqüência no que segue. 
Passamos agora a descrever como a decomposição de um polinômio num produ­
to de dois fatôres primos entre si, dá origem a uma decomposição do espaço vetorial 
V numa soma direta de sub-espaços invariantes. 
Teorema 5. Seja f(t) E K[t] um polinômio, e suponhamos que f = f J2, onde f1 e 
f2 são polinômios de grau � 1 tendo máximo divisor comum igual a 1. Seja A : V --? V 
um operador, e suponhamos que f (A) = O. Escrevemos 
e 
Nestas condições, V é a soma direta de W1 e W2 . 
Demonstração. Por hipótese, existem polinômios 91 e 92 tais que 
g1(t)f1(t) + g z(t)fz(t) = 1. 
Donde 
(*) 
Se v E V, então 
O primeiro têrmo desta soma pertence a W2 , porque 
196 Álgebra Linear 
Anàlogamente, o segundo têrmo é um elemento de W1. Logo V é a soma de W1 com W2 . 
Para mostrar que esta soma é direta, precisamos provar que uma expressão 
com w1 E W1 e w2 E W2, está determinada de modo único por v . Aplicando g1(A)f1(A) 
a esta soma, obtemos 
pois f1(A)w1 = O. Aplicando a expressão (*) isoladamente a w2, obtemos 
Wz = g1(A)f1(A)w2 
pois f2(A)w2 = O. Conseqüentemente, 
w2 
= g,(A)f1(A)v, 
e portanto w2 está determinado de modo único. De maneira análoga, w1 = g2(A)f2(A)v 
está determinado de modo único, e por isso, a soma é direta. Fica assim demonstrado 
nosso teorema. 
O Teorema 5 também é válido quando f é expresso como um produto de vários 
fatôres. Enunciamos agora o resultado sôbre os números complexos. 
Teorema 6. Seja V um espaço v etorial sôbre C, e seja A : V --> V um operador. 
- Seja P(t) um polinômio tal que P(A) = O, e· consideremos a sua fatoração 
P(t) = (t-oc1r' · · · (t- oc,)"'• 
sendo oc1 , • • • , oc, suas raízes distintas. Se U; é o núcleo de (A -cxJr'. então V é a soma 
direta dos sub-espaços u 1 , . • . '_u r . 
Demonstração. A demonstração pode ser realizada por meio de uma indução que 
isola os fatôres (t- oc1)"'1, (t-oc2)"'2, • • • um a um. Assim sendo, obtemos inicialmente uma 
decomposição em soma direta do núcleo U1 de (A-oc1/)m1, com o núcleo W de 
(A - oc2J)m2 • • • (A - cx,Jr. 
A seguir, por indução, podemos supor que W está expresso como uma soma direta 
W=U2ffi···Ef)U, 
onde Ui (j = 2, .