Lista Variaveis Discretas

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Universidade da Integração Internacional da Lusofonia Afro-Brasileira
Instituto de Engenharias e Desenvolvimento Sustentável (IEDS)
Curso de Engenharia de Energias
Disciplina: Probabilidade e Estatística
Prof. Alisson Guimarães Data: 04/2016
Lista de Exercícios
1. Considere o experimento de lançar uma certa moeda é observar se ocorre cara ou coroa.
(a) Determine o espaço amostral Ω no caso de dois lançamentos dessa moeda.
(b) Descreva o comportamento da variável número de caras em dois lançamentos dessa moeda.
2. Uma empresa que fornece computadores pelo correio tem seis linhas telefônicas. Seja X o número
de linhas em uso em um determinado horário. Suponha que FDP de X seja conforme a tabela a
seguir:
X 0 1 2 3 4 5 6
pi 0.10 0.15 0.20 0.25 0.20 0.06 0.04
Calcule a probabilidade de cada um dos seguintes eventos.
(a) {no máximo três linhas estão em uso}
(b) {menos de três linhas estão em uso}
(c) {pelo menos de três linhas estão em uso}
(d) {entre duas e cinco linhas, inclusive, estão em uso}
(e) {pelo menos quatro linhas não estão em uso}
3. Uma população de 1000 crianças foi analisada num estudo para determinar a efetividade de uma
vacina contra um tipo de alergia. No estudo, as crianças recebiam uma dose de vacina e, após
um mês, passavam por um novo teste. Caso ainda tivessem tido alguma reação alérgica, recebiam
outra dose da vacina. Ao fim de 5 doses todas as crianças foram consideradas imunizadas. Os
resultados completos estão na tabela a seguir: Definindo como X a variável aleatória número de
Doses 1 2 3 4 5
frequência 245 288 256 145 66
doses recebidas, determine:
(a) A função densidade de probabilidade (FDP) da variável X;
(b) Suponha que uma criança dessa população é escolhida ao acaso, qual a probabilidade dela ter
recebido até duas vacinas?
(c) Determine a função de distribuição acumulativa (FDA) de X;
(d) Sabendo-se que F (x) = P [X ≤ x], qual os valores F (2, 1) e F (3, 8)?
(e) Faça os gráficos das funções FDP e FDA.
4. Uma variável aleatória X tem a seguinte função de distribuição:
F (x) =

0, para x < 10
0, 2, se 10 ≤ x < 12
0, 5, se 12 ≤ x < 13
0, 9, se 13 ≤ x < 25
1, se x ≥ 25
Determine:
(a) A função densidade de probabilidade (FDP) de X;
(b) P [X ≤ 12]
(c) P [X < 12]
(d) P [X > 18]
(e) P [10 ≤ X < 13]
(f) P [12 ≤ X ≤ 20]
5. Sendo X uma variável aleatória com FDP dada a seguir, obtenha as medidas de posição esperança
E[X] e moda Mo.
X −2 0 2
pi 1/3 1/3 1/3
6. Um atacadista recebe de vários fornecedores uma certa peça para revenda. A peça é produzida com
material de qualidade diferente e, portanto, tem custo diferenciado. Levando em conta a proporção
fornecida e o preço apresentado por cada fabricante, pode-se admitir que o custo de uma peça em
reais, escolhida ao acaso, é uma variável aleatória X. Admita a seguinte função de probabilidade
para X:
X 1,00 1,10 1,20 1,30 1,40
pi 0.2 0.3 0.2 0.2 0.1
(a) Determine a média e moda de X;
(b) Suponha que o atacadista revenda cada uma dessas peças acrescentando 50% sobre o custo da
peça, além de um adicional de R$ 0,10 pelo frete. Calcule a média e moda da variável e preço
de revenda.
7. Num certo bairro da cidade de Fortaleza, as companhias de seguro estabeleceram o seguinte modelo
para o número de veículos furtados por semana:
Furto 0 1 2 3 4
pi 1/4 1/2 1/8 1/16 1/16
Calcule a média e a variância do número de furtos semanais desse bairro.
8. Num teste de digitação, o tempo em minutos (T ) que os candidatos levam para digitar um texto e
modelado, de forma aproximada, pela seguinte função de probabilidade:
T 3 4 5 6 7 8 9
pi 0.1 0.1 0.2 0.2 0.2 0.1 0.1
O candidato recebe 4 pontos se terminar a digitação em 9 minutos, 5 se terminar em 8 minutos e
assim por diante. Determine a média e variância do número de pontos obtidos no teste.
9. A função de probabilidade da variável X é P [X = k] = 1/5 para k = 1, 2, 3, 4, 5. Calcule:
(a) E[X]
(b) E[X2]
(c) E[(X + 3)2]
(d) V ar[3X − 2]
10. Seja X uma variável aleatória de média µ = E[X] e variância σ2 = V ar[X]. Mostre que a variável
Y definida por:
Y =
X − µ
σ
tem média nula e variância unitária, isto é, E[Y ] = 0 e V ar[Y ] = 1.
Respostas dos Exercícios
1. (a) Ω = {CC,CK,KC,KK}
(b)
X 0 1 2
pi 1/4 1/2 1/4
2. (a) 0.70 (b) 0.45 (c) 0.55 (d) 0.71 (e) 0.45
3. (a)
X 1 2 3 4 5
pi 0, 245 0, 288 0, 256 0, 145 0, 066
(b) F (2) = P [X ≤ 2] = 0, 533
(c)
F (x) =

0, para x < 1
0, 245, se 1 ≤ x < 2
0, 533, se 2 ≤ x < 3
0, 789, se 3 ≤ x < 4
0, 934, se 4 ≤ x < 5
1, se x ≥ 5
(d) F (2, 1) = F (2) = 0, 533 e F (3, 8) = F (3) = 0, 789
4. (a)
X 10 12 13 25
pi 0, 2 0, 3 0, 4 0, 1
(b) P [X ≤ 12] = 0, 5; P [X < 12] = 0, 2; P [X > 18] = 0, 1; P [10 ≤ X < 13] = 0, 7 e
P [12 ≤ X ≤ 20] = 0, 7
5. E[X] = 0. Quando à moda, todos os valores da variável podem ser usados, uma vez que eles são
equiprováveis.
6. (a) E[X] = 1, 17, MoX = 1, 10 (b) Preço de revenda: Y = 1.5X+ 0.1, E[Y ] = 1, 86, MoY = 1, 75
7. Média = 1, 19, Variância = 1, 15
8. Média = 7, 0, Variância = 3, 0