lista 3 - Variáveis Aleatórias Discretas

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Estat´ıstica e Probabilidade - Terceira Lista - Rio, 28/08/2018
1. Sabe-se que uma determinada moeda apresenta cara treˆs vezes mais frequentemente que coroa. Essa
moeda e´ lanc¸ada treˆs vezes. Seja X o nu´mero de caras obtidas. Pede-se: a func¸a˜o de probabilidade
de X, a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada de X, o valor esperado e a variaˆncia de X.
2. De um lote que conte´m 25 pec¸as, das quais 5 sa˜o defeituosoas, sa˜o escolhidas 4 pec¸as ao acaso. Seja
X o nu´mero de pec¸as defeituosas encontradas. Pede-se a func¸a˜o de probabilidade de X quando a
selec¸a˜o e´ feita
(a) sem reposic¸a˜o;
(b) com reposic¸a˜o.
3. Suponha que uma varia´vel aleato´ria X tenha campo de definic¸a˜o dado por {1, 2, 3, ...} e que
P (X = j) =
(
1
2
)j
, j = 1, 2, 3, ...
(a) Calcule a probabilidade de X assumir um valor par.
(b) Calcule P (X ≥ 5).
(c) Calcule a probabilidade de que X assuma um valor divis´ıvel por treˆs.
4. Dois dados balanceados sa˜o lanc¸ados. Calcule o valor esperado e a variaˆncia da varia´vel aleato´ria
definida como a soma obtida.
5. Um jogo honesto e´ um jogo em que o ganho esperado e´ nulo, ou seja, a longo prazo, ou em me´dia,
espera-se nem ganhar nem perder nada. Se apostarmos R$1,00 que certa pessoa nasceu em determi-
nado dia da semana, de quanto deve ser a contra-aposta para que se torne um jogo honesto?
6. Uma pessoa joga treˆs vezes uma moeda e ganha R$ 6,00 se obtiver treˆs caras ou treˆs coroas. Quanto
deve pagar, para que o jogo seja considerado honesto?
7. Seja X uma varia´vel aleato´ria cujo campo de definic¸a˜o e´ {1, 2, ..., n}. Mostre que se
P (X = x) = 1
n
, ∀ x = 1, 2, ..., n, enta˜o E[X] = n+1
2
e V ar(X) = n
2−1
12
.
Use
n∑
i=1
i =
n(n+ 1)
2
e
n∑
i=1
i2 =
n(n+ 1)(n+ 2)
6
.
Neste caso, dizemos que X e´ uma varia´vel aleato´ria uniforme discreta com campo de definic¸a˜o
{1, 2, ..., n}.
8. Foguetes sa˜o lanc¸ados ate´ que o primeiro lanc¸amento bem sucedido tenha ocorrido. Se isso na˜o
ocorrer ate´ 5 tentativas, o experimento e´ suspenso e o equipamento e´ inspecionado. Admita que
a probabilidade de um lanc¸amento ser bem sucedido e´ igual a 0,8 e que os sucessivos lanc¸amentos
sejam independentes. Suponha que o custo do primeiro lanc¸amento seja K do´lares, enquanto o custo
de cada lanc¸amento subsequente seja K/3 do´lares. Sempre que ocorre um lanc¸amento bem sucedido,
uma certa quantidade de informac¸a˜o e´ obtida, a qual pode ser expressa como um ganho financeiro
de C do´lares. Sendo T o custo l´ıquido desse experimento, estabelec¸a a func¸a˜o de probabilidade de
T .
9. Um lote de 10 motores ele´tricos deve ser ou totalmente rejeitado ou vendido, dependendo do resultado
do seguinte procedimento: dois motores sa˜o escolhidos ao acaso e inspecionados; se um ou mais
apresentarem defeito o lote sera´ rejeitado; caso contra´rio, o lote sera´ aceito. Suponha que cada motor
custe R$ 75,00 e seja vendido por R$ 100,00. Cada motor, independentemente, tem probabilidade p
de ser defeituoso, 0 < p < 1. Se o lote contiver um motor defeituoso, qual sera´ o lucro esperado do
fabricante?
10. Suponha que D, a demanda dia´ria de uma pec¸a, seja uma varia´vel aleato´ria com a seguinte func¸a˜o
de probabilidade: P (D = d) = C 2
d
d!
, d = 1, 2, 3, 4.
(a) Calcule a constante C.
(b) Calcule a demanda esperada.
(c) Suponha que uma pec¸a seja vendida por R$5,00. Um fabricante produz diariam,ente K pec¸as.
Qualquer pec¸a que na˜o tenha sido vendida ao fim do dia, deve ser abandonada, com um preju´ızo
de R$3,00.
i. Determine a func¸a˜o de probabilidade do lucro dia´rio, como uma func¸a˜o de K.
ii. Quantas pec¸as devem ser fabricadas para tornar ma´ximo o lucro dia´rio esperado?
11. Seja X uma varia´vel aleato´ria discreta cujo valor esperado e´ µ e cuja variaˆncia e´ σ2. Encontre o valor
esperado e a variaˆncia de Z = X−µ
σ
.
12. Seja X uma varia´vel aleato´ria com func¸a˜o de probabilidade dada por p(x). Mostre que
E[(X − a)2] e´ minimizada, quando a = E[X].
13. Um sistema de comunicac¸a˜o apresenta 0,05 de probabilidade de transmitir qualquer s´ımbolo dado de
forma incorreta. Qual e´ a probabilidade de que no ma´ximo treˆs s´ımbolos estejam incorretos em uma
mensagem de 20 s´ımbolos transmitida por este sistema?
14. Sacam-se ao acaso quatro bolas de uma urna que conte´m 7 bolas brancas e treˆs azuis. Determine a
func¸a˜o de probabilidade da varia´vel aleato´ria definida como o nu´mero de bolas azuis obtidas, se
(a) os sorteios sa˜o realizados com reposic¸a˜o.
(b) os sorteios sa˜o realizadso sem reposic¸a˜o.
15. Uma loja tem um lote de 10 fechaduras das quais 5 esta˜o com defeito. Se uma pessoa comprar treˆs
fechaduras, determine a probabilidade de encontrar no ma´ximo uma defeituosa.
16. A probabilidade de um lanc¸amento de foguete ser bem sucedido e´ igual a` 0,8. Suponha que tentativas
do lanc¸amento sejam feitas ate´ que tenham ocorrido treˆs lanc¸amentos bem sucedidos.
(a) Determine a probabilidade de que exatamente 6 tentativas sejam necessa´rias.
(b) Determine a probabilidade de que menos de 6 tentativas sejam necessa´rias.
17. Uma firma compra laˆmpadas por centenas. Examina-se sempre uma amostra de 15 para verificar se
esta˜o boas. Se uma centena inclui 12 laˆmpadas queimadas, determine a probabilidade de se escolher
uma amostra com pelo menos uma laˆmpada queimada.
18. Para determinar a presenc¸a ou na˜o de certa doenc¸a em um grupo de 100 pessoas, e´ necessa´rio realizar
um exame de sangue de cada um. Pore´m, no lugar de examinar separadamente as 100 pessoas,
decidiu-se agupa´-las aleatoriamente em 10 grupos de 10 e realizar 10 exames sobre as amostras
de sangue misturadas das pessoas em cada grupo. Se o teste da´ negativo, enta˜o nenhuma pessoa
deste grupo tem a doenc¸a. Se o teste da´ positivo, enta˜o sa˜o realizados 10 testes individuais, pois este
resultado indica que pelo menos uma pessoa deste grupo tem a doenc¸a. Suponha que a probabilidade
de uma pessoa ter a doenc¸a seja 0,1, qualquer que seja a pessoa, independentemente. Calcule o
nu´mero esperado de testes para cada grupo de 100 pessoas.
19. Um vendedor de jornais os compra por R$0,50 e vende por R$1,50. Pore´m, na˜o sa˜o aceitas devoluc¸o˜es
ao final do dia. Se a demanda dia´ria por jornais e´ uma varia´vel aleato´ria binomial com n = 10 e
p = 1
3
, aproximadamente quantos jornais ele deve comprar diariamente de forma a maximizar seu
lucro esperado?
20. Seja X ∼ Poisson(λ). determine o valor de k que maximiza P (X = k), k ≥ 0.
21. Um telefone recebe em me´dia 0,25 chamadas por hora. Supondo adequado o modelo de Poisson,
calcule a probabilidade de que em 4 horas
(a) receba no ma´ximo duas chamadas;
(b) receba exatamente treˆs chamadas;
(c) receba no mı´nimo treˆs chamadas.
22. A oficina de manutenc¸a˜o de uma indu´stria pode atender, no laborato´rio normal, quatro casos de
quebras de ma´quinas por dia. Em me´dia, quebram treˆs ma´quinas por dia. Se quebrarem mais
de quatro ma´quinas em um dia, a oficina devera´ fazer horas extras para atender as ocorreˆncias
excedentes. Determine a probabilidade de que em 6 dias, a oficina fac¸a horas extras em pelo menos
dois dias. Suponha adequado o modelo de Poisson para o nu´mero de quebras de ma´quinas por dia.
23. Um vendedor de automo´veis sabe que o nu´mero de carros vendidos por dia em sua loja comporta-se
como uma varia´vel aleato´ria de Poissson cuja me´dia e´ 2 nos dias de bom tempo e 1 nos dias de chuva.
Se em 70% dos dias faz bom tempo, determine a probabilidade de que em certo dia do ano sejam
vendidos pelo menos treˆs automo´veis.
24. Part´ıculas sa˜o emitidas por uma fonte radioativa. O nu´mero de part´ıculas emitidas por tal fonte em
uma hora segue uma distribuic¸a˜o de Poisson com paraˆmetro λ. Um dispositivo contador e´ empregado
para registrar o nu´mero dessas part´ıculas emitidas. Se mais de 30 part´ıculas forem emitidasno per´ıodo
de uma hora, o dispositivo registrador e´ incapaz de registrar o excesso e, simplesmente, registra 30.
Se Y e´ a varia´vel aleato´ria definida pelo nu´mero de part´ıculas registradas pelo dispositivo, especifique
a func¸a˜o de probabilidade de Y .
25. Suponha que o nu´mero de part´ıculas emitidas por uma fonte radioativa durante um per´ıodo de uma
hora tenha distribuic¸a˜o de Poisson com me´dia λ. Admita que o dispositivo contador, que registra
essas emisso˜es, ocasionalmente falhe no registro de uma part´ıcula emitida. Especificamente, suponha
que qualquer part´ıcula emitida tem probabilidade p de ser registrada.
(a) Se Y for definida como o nu´mero de part´ıculas registradas, determine uma expressa˜o para a
func¸a˜o de probabilidade de Y .
(b) Calcule P (Y = 0), para λ = 4 e p = 0, 9.
26. Um comerciante verificou que o nu´mero de itens da marca XY Z que ele pode vender em um dia e´
uma v.a. de Poisson com me´dia 4.
(a) Quantos itens da marca XY Z deve o comerciante ter em seu estoque para estar 95% certo de
que havera´ quantidade de itens suficiente para 25 dias? (Fornec¸a uma resposta nume´rica.)
(b) Qual e´ o nu´mero esperado de dias entre 25 dias em que o comerciante na˜o vendera´ itens da
marca XY Z?
27. Uma Companhia de seguros descobriu que somente cerca de 0,1% da populac¸a˜o esta´ inclu´ıda em
certo tipo de acidente cada ano. Se seus 10 mil segurados sa˜o escolhidos, ao acaso, na populac¸a˜o,
qual e´ a probabilidade de que na˜o mais do que 5 de seus clientes venham a estar inclu´ıdos em tal
acidente no pro´ximo ano?
28. O nu´mero de navios petroleiros que chegam a determinado porto, cada dia, tem distribuic¸a˜o de
Poisson com paraˆmetro λ = 2. As atuais instalac¸o˜es do porto podem atender a treˆs petroleiros por
dia. Se mais de treˆs petroleiros aportarem por dia, os excedentes devera˜o seguir para outro porto.
(a) Em um dia, qual e´ a probablidade de se ter de mandar petroleiros a outro porto?
(b) Qual e´ o nu´mero esperado de petroleiros a chegarem por dia?
(c) Qual e´ o nu´mero mais prova´vel de petroleiros a chegarem por dia?
(d) Qual e´ o nu´mero esperado de petroleiros a serem atendidos diariamente?
(e) Qual e´ o nu´mero esperado de petroleiros que voltara˜o a outros portos diariamente?
(f) Para quanto deve ser aumentada a capacidade do porto, se deseja-se ter de mandar petroleiros
a outro porto com probabilidade de no ma´ximo 0,02?