mc3a9todo-das-forc3a7as-exemplo-de-aplicac3a7c3a3o-em-vigas (1)

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Método das Forças 
 
Exemplos de Aplicação em Vigas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método das Forças Vigas 
3 
EXEMPLO1: Analise a viga da figura por meio do Método das Forças considerando 
como incógnita redundante o momento fletor no apoio B. Despreze o efeito das 
deformações devidas à força cortante no cálculo dos coeficientes. 
 
Figura 1 – Viga contínua 
 
 
Figura 2 – Estrutura isostática fundamental 
 
 
Propriedades geométricas da seção 
 
 
 
43
3
1008333,2
12
)50,0(20,0
mII BCBC
−
⋅=⇒
⋅
= 
IIII ABBCAB ⋅=⇒⋅= 744,2744,2 
 
Módulo de elasticidade constante: E = constante 
 
 
Fase L 
 
 
 
Figura 3 – Fase L 
 
 
43
3
1071667,5
12
)70,0(20,0
mII ABAB
−
⋅=⇒
⋅
=
Método das Forças Vigas 
 
4 
Figura 4 – Diagrama de momento fletor – Fase L 
 
 
∫ ∫+=
AB BC
LL
QL EI
dxmM
EI
dxmM
D 111 
EIEIIE
DQL
⋅⋅
+⋅⋅⋅
+
⋅
⋅
+
⋅⋅⋅
⋅
=
56
)25(2348
24
)5(20
)744,2(24
)8(20 33
1 
EI
D
EIEIEI
D QLQL
857,32620,67167,10449,155
11 =⇒++= 
 
 
Fase 1 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5 – Fase 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6 – Diagrama de momento fletor – Fase 1 
 
 
∫∫ +=
BCAB EI
dxm
EI
dxm
F
2
1
2
1
11
)()(
 
EI
F
EIIE
F 6385,2
3
51
)744,2(3
81
1111 =⇒
⋅
⋅
+
⋅⋅⋅
⋅
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método das Forças Vigas 
5 
Cálculo da redundante 
 
 0DQFD Q1111QL1 ==+⇒=+ QQL DQFD 
 
kNmQ
EI
Q
EI
88,12306385,2857,326 11 −=⇒=
⋅
+ 
 
Cálculo dos esforços nas barras 
 
kNVV
kNVV
kNVV
kNVV
AC
BDBD
BEBE
AA
02,54088,123348
2
)5(205
98,93088,123248
2
)5(205
49,95088,123
2
)8(208
52,64088,123
2
)8(208
2
2
2
2
=⇒=+⋅−
⋅
−⋅
=⇒=−⋅−
⋅
−⋅
=⇒=−
⋅
−⋅
=⇒=+
⋅
−⋅
 
 
Pontos de cortante nulo 
 
Vão AB 
 
mXX ABAB 23,302052,64 =⇒=⋅− 
 
Vão BC 
 
kNV
kNV
ME
MD
98,334822002,54
02,1422002,54
=+⋅+−=
−=⋅+−=
 
 
(Logo tem-se que a força cortante muda de sinal sob o ponto M) 
 
Pontos de momento máximo 
 
Vão AB 
 
kNmMM MÁXMÁX 05,1042
)23,3(2052,6423,3
2
=⇒
⋅
−⋅= 
 
Vão BC (sob o ponto M) 
 
kNmMM MÁXMÁX 05,682
)2(20202,54
2
=⇒
⋅
−⋅= 
 
 
 
 
VC 
Método das Forças Vigas 
 
6 
Diagrama de esforços solicitantes 
 
Figura 7 – Diagrama de força cortante 
 
 
Figura 8 – Diagrama de momento fletor 
Método das Forças Vigas 
7 
EXEMPLO2: Analise a viga da figura através do Método das Forças considerando como 
incógnitas redundantes os momentos fletores nos apoios A e B. Despreze o efeito das 
deformações devidas à força cortante no cálculo dos coeficientes. 
 
 Dado: EI constante em todos os vãos da viga. 
 
 
Figura 9 – Viga contínua 
 
 
 
 
 
 
Figura 10 – Estrutura isostática fundamental 
 
 
Fase L 
 
 
 
Figura 11 – Fase L 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 12 – Diagrama de momento fletor – Fase L 
 
 
Método das Forças Vigas 
 
8 
∫∫ ∫ ++=
CD
L
AB BC
LL
QL EI
dxmM
EI
dxmM
EI
dxmM
D 1111 
 
EI
D
EI
D QLQL
108
24
)6(12
1
3
1 =⇒
⋅
⋅
= 
 
 
∫∫ ∫ ++=
CD
L
AB BC
LL
QL EI
dxmM
EI
dxmM
EI
dxmM
D 2222 
 
EI
D
EIEIEIEI
D
EIEIEIEI
D
QLQL
QL
166206018108
6
430
16
)4(60
424
])2()43(14[2312
24
)6(12
22
223
2
=⇒+++=
⋅
⋅
−
⋅
⋅
+
⋅⋅
−+⋅⋅⋅⋅⋅
+
⋅
⋅
=
 
 
 
Fase 1 
 
 
 
 
 
 
Figura 13 – Fase 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 14 – Diagrama de momento fletor – Fase 1 
 
 
∫∫ ∫∫∫ ∫ ++==++=
CDAB BCCDAB BC EI
dxmm
EI
dxmm
EI
dxmm
FF
EI
dxm
EI
dxm
EI
dxm
F 2121212112
2
1
2
1
2
1
11
)()()(
EI
F
EI
F 2
3
6
1111 =⇒
⋅
= 
 
EI
FF
EI
FF 1
6
6
21122112 ==⇒
⋅
== 
 
 
Método das Forças Vigas 
9 
Fase 2 
 
 
 
 
 
 
Figura 15 – Fase 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 16 –Diagrama de momento fletor – Fase 2 
 
 
EI
F
EIEI
F
EI
dxm
EI
dxm
EI
dxm
F
CDAB BC
⋅
=⇒
⋅
+=
++= ∫∫ ∫
3
10
3
42
)()()(
2222
2
2
2
2
2
2
22
 
 
 
 
Cálculo das redundantes 
 
QLDFQ 1−−= 
[ ]
mkN
EI
EIEI
EI
EIEI
EI
D
D
Q
Q
⋅





−
−
=⇒





⋅
−
=






⋅=






−
−
⋅=⇒





−
−
⋅
⋅=
⋅
=⇒−=






=






=





=
−−
53,39
24,34
224
194
17
3
166
1081
21
13/10
17
3
21
13/10
17
)(31
)(3
1713/20)(
1
3/101
121
0
0
1
2
1
22
2
1
QQ
D
FF
FF
F
D
QL
Q
 
 
 
 
 
Método das Forças Vigas 
 
10 
Esforços nas barras 
 
kNVV
kNVV
kNVV
kNVV
kNVV
CDCD
CECE
BDBD
BEBE
AA
00,2003050,1
62,3303053,39260
2
)2(124
38,5003053,3926032124
88,36053,3924,34
2
)6(126
12,35053,3924,34
2
)6(126
2
2
2
=⇒=−⋅
=⇒=−+⋅−
⋅
−⋅
=⇒=+−⋅−⋅⋅−⋅
=⇒=−+
⋅
−⋅
=⇒=+−
⋅
−⋅
 
 
Pontos de cortante nulo 
 
Vão AB 
 
mXX ABAB 93,201212,35 =⇒=⋅− 
 
 
Vão BC 
 
kNVV
kNVV
EDED
EEEE
62,336021238,50
38,2621238,50
−=⇒−⋅−=
=⇒⋅−=
 
 
Logo o momento máximo no vão BC será no ponto E. 
 
 
Pontos de momento máximo 
 
Vão AB 
kNmMM MÁXMÁX 15,1724,342
)93,2(1212,3593,2
2
=⇒−
⋅
−⋅= 
 
Momento no ponto central do vão 
kNmMM MM 12,1724,342
)3(12312,35
2
=⇒−
⋅
−⋅= 
 
Vão BC 
kNmMM MÁXMÁX 23,3753,392
)2(12238,50
2
=⇒−
⋅
−⋅= 
 
 
 
 
 
 
 
Método das Forças Vigas 
11 
Diagrama de esforços solicitantes 
 
Figura 17 – Diagrama de força cortante 
 
 
Figura 18 – Diagrama de momento fletor 
 
 
 
 
Método das Forças Vigas 
 
12 
EXEMPLO3: Resolver a viga da figura pelo Método das Forças. Considerar apenas as 
deformações por flexão. 
 
 Dado: EI constante. 
 
Figura 19 – Viga Contínua 
 
Figura 20 – Estrutura isostática fundamental 
 
0
0
2
1
=
=
Q
Q
D
D
 
 
Fase L 
 
Figura 21 – Fase L 
 
Figura 22 – Diagrama de momento fletor – FaseL 
Método das Forças Vigas 
13 
Fase 1 
 
Figura 23 – Fase 1 
 
Figura 24 – Diagrama de momento fletor – Fase 1 
 
 
Fase 2 
 
 
Figura 25 – Fase 2 
 
 
 
Figura 26 – Diagrama de momento fletor – Fase 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método das Forças Vigas 
 
14 
Cálculo dos deslocamentos 
 
(∫∫ ==
2
0
8
0
1L
1QL EI
mMD dx x ) (∫+
2
0
 dx x ) dx 
(∫+
2
0
) (∫+
2
0
 dx )
EI
6666,346
 = dx x x
 
(∫∫ ==
2
0
8
0
2L
2QL EI
mMD dx x ) (∫+
2
0
 dx x ) dx 
x ) (∫+
2
0
 dx x(∫+
2
0
)
EI
3333,1293
 = dx 
 
Cálculo dos coeficientes de flexibilidade 
 
(∫∫ ==
4
0
8
0
11
11 EI
mmF dx )
EI
3333,212
 dx =
 
(∫∫ ==
4
0
8
0
21
12 EI
mmF dx )
EI
3333,53
 dx =x
 
(∫∫ ==
8
0
8
0
22
22 EI
mmF dx )
EI
6666,1702
 dx =
 
 
Fase Final 
Cálculo das redundantes 






=
333,1293
666,346
EI
1
QLD 
 






=
6666,1703333,53
3333,533333,21
EI
1F 
 
QFDD QLQ += { }QL1 DDFQ Q −= − 
 
 






−
−
=
−
02678,006696,0
06696,021428,0
EI1F 
 
 






−
=






×





−
−
−=
4285,11
3214,12
333,1293
666,346
EI
1
02678,006696,0
06696,021428,0
EIQ 
 
 
Método das Forças Vigas 
15 
Cálculo das demais reações de apoio 
 
Figura 27 – Reações de apoio 
 
01010204285,113214,120 =+−−−+⇒=∑ AVV 
kNVA 1071,19= 
084285,11810
2
431043214,12402200 =⋅−⋅+




 ⋅
⋅−⋅++⋅−⇒=∑ AA MM 
kNmM A 1429,22= 
 
Diagrama de esforços solicitantes 
Figura 28 – Diagrama de força cortante 
Figura 29 – Diagrama de momento fletor 
Método das Forças Vigas 
16 
EXEMPLO4: Calcule a viga contínua abaixo usando o método das forças e em seguida 
trace os diagramas finais de força cortante e momento fletor. Despreze as deformações 
devidas à força cortante no cálculo dos coeficientes. 
Figura 30 – Viga contínua 
 
Dados: Seção transversal das barras AB, DE e EF – 20cm x 50cm. 
 Seção transversal das barras BC e CD – 20cm x 40cm. 
 
Grau de indeterminação estática – (g.i.e.): 
 
- nº de vinculos externos = 2+1+1+1+1=6 
- nº de equações de equilibrio = 3 
- g.i.e. = 6-3=3 
 
 
Figura 31 – Estrutura isostática fundamental 
 
Propriedades geométricas das seções transversais 
 
Barras AB, DE e EF 
 
22 m1,01000cm 5020 ==⋅=A 
 
43
4
3
m 100833,2
cm 33,208333
12
5020
−×=
=
⋅
=
I
I
 
 
Barras BC e CD 
 
22 m08,0800cm 4020 ==⋅=A 
 
43
4
3
m100667,1
cm 67,106666
12
4020
 
−×=
=
⋅
=
I
I
 
 
 
 
 
Método das Forças Vigas 
17 
 
Fase L 
Figura 32 – Fase L 
 
• Utilizando tabelas de deslocamentos em vigas isostáticas: 
 
- ''' 111 QLQLQL DDD += 
ABAB
QL EIEI
D 3333,53
24
420
'
3
1 =
⋅
⋅
= 
BCBC
QL EIEI
D 5,22
24
320
''
3
1 =
⋅
⋅
= 
EEIEI
D
BCAB
QL
257,466915,223333,53
1 =+= 
 
- ''' 222 QLQLQL DDD += 
BCBC
QL EIEI
D 5,22
24
320
'
3
2 =
⋅
⋅
= 
( )[ ]
CDCDCDCDCD
QL EIEIEIEIEI
D 704030
16
44024314
424
2320
''
2
2
2 =+=
⋅
⋅
+−+⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅
= 
EEIEI
D
CDBC
QL
659,86691705,22
2 =+= 
 
- ''' 333 QLQLQL DDD += 
( )[ ]
CDCDCDCDCD
QL EIEIEIEIEI
D 3333,63403333,23
16
44024134
424
2120
'
2
2
3 =+=
⋅
⋅
+−+⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅
= 
( )
DEDEDEDEDE
QL EIEIEIEIEI
D 3333,796667,1696
6
5210
56
533260
''3 =−=
⋅
⋅⋅
−
⋅⋅
+⋅⋅⋅
= 
EEIEI
D
DECD
QL
540,974423333,793333,63
3 =+= 
 
 
Método das Forças Vigas 
18 
 
Fase 1 (Q1 = 1 ; Q2 = 0 ; Q3 = 0) 
Figura 33 – Fase 1 
111111 ''' FFF += 
E
F
EI
F
EI
F
BCAB
310,1577
3
31
''
3
41
' 111111 =⇒
⋅
⋅
=
⋅
⋅
= 
EEI
F
BC
604,468
6
31
21 =
⋅
⋅
= 
031 =F 
 
Fase 2 (Q1 = 0 ; Q2 = 1 ; Q3 = 0) 
 
 
 
Figura 34 – Fase 2 
EEI
F
BC
604,468
6
31
21 =
⋅
⋅
= 
222222 ''' FFF += 
E
F
EI
F
EI
F
CDBC
785,2186
3
41
''
3
31
' 222222 =⇒
⋅
⋅
=
⋅
⋅
= 
EEI
F
CD
805,624
6
41
32 =
⋅
⋅
= 
 
 
 
Método das Forças Vigas 
19 
 
Fase 3 (Q1 = 0 ; Q2 = 0 ; Q3 = 1) 
 
 
 
 
 
 
Figura 35 – Fase 3 
031 =F 
EEI
F
CD
805,624
6
41
23 =
⋅
⋅
= 
333333 ''' FFF += 
E
F
EI
F
EI
F
DECD
738,2049
3
51
''
3
41
' 333333 =⇒
⋅
⋅
=
⋅
⋅
= 
 
Fase Final 
Cálculo das redundantes: 
QFDD QLQ ⋅+= 










=
0
0
0
QD 










×=
540,97442
659,86691
257,46691
1
EQL
D
 
E
1
738,2049805,6240
805,624785,2186604,468
0604,468310,1577
×










=F 
Resolvendo-se o sistema: 










−
−
−
=
kNm
kNm
kNm
880,39
395,23
651,22
Q 
ESTRUTURA FINAL: 
Figura 36 – Indicação dos momentos fletores nos apoios 
 
Método das Forças Vigas 
20 
Cálculo das reações de apoio 
 
 
 
kNVV
M
BB
C
75,29''0395,23
2
32065,22''3
0
2
==+
⋅
−−
=∑
 
kNVV
M
CC
B
25,30'0651,22395,23
2
320
'3
0
2
==−+
⋅
+−
=∑
 
( ) ( )
kNV
V
M
C
C
D
88,45''
0880,39395,232403220''4
0
=
=+−⋅−⋅⋅−
=∑
 
( )
kNV
V
M
D
D
C
12,34'
0395,23
2
220240880,39'4
0
2
=
=−
⋅
+⋅++−
=∑
 
 
( )
kNV
V
M
D
D
E
98,39''
000,20880,39360''5
0
=
=+−⋅−
=∑
 
( ) ( )
kNV
V
M
E
E
D
02,30
0880,39510260205
0
=
=−⋅+⋅++−
=∑
 
 
Resumindo: 
kNV
kNVVV
kNVVV
kNVVV
kNV
E
DDD
CCC
BBB
A
02,30
10,74
13,76
41,75
34,34
'''
'''
'''
=
=+=
=+=
=+=
=
 
 
kNVV
M
BB
A
66,45'0651,22
2
420
'4
0
2
==+
⋅
+−
=∑
kNVV
M
AA
B
34,340651,22
2
4204
0
2
==+
⋅
−
=∑
Método das Forças Vigas 
21 
 
 
DIAGRAMAS FINAIS 
 
 
 
 
 
 
Figura 37 - Diagrama de força cortante 
Figura 38 - Diagrama de momento fletor 
 
Cálculo dos coeficientes do exemplo 4 usando o princípio dos trabalhos virtuais (P.T.V.): 
 
Diagrama de momento fletor nas diversas fases: 
Figura 39 -Diagramas da FASE L 
Figura 40 - Diagramas da FASE 1 
 
 
Método das Forças Vigas 
22 
 
Figura 41 - Diagramas da FASE 2 
Figura 42 - Diagramas da FASE 3 
Cálculo dos deslocamentos: FASE L : ∫= dxEI
mM
D iLQLi 
∫=
4
0
1 (
1
AB
QL EI
D )dx + ∫
3
0
(1
BCEI
 ) dx 
EIEIEIEIEI
D
BCABBCAB
QL
257,466915,2233,53
3
315,221
3
41401
1 =+=




 ⋅⋅
+




 ⋅⋅
= 
(1
3
0
2 ∫=
BC
QL EI
D ) dx + (1
2
0
∫
CDEI
 ) dx+ 
 (1
2
0
∫
CDEI
 ) dx + (1
2
0
∫
CDEI
 ) dx 
( ) ( )
=




 ⋅⋅
+




 ⋅⋅+
+




 ⋅+⋅
+




 ⋅⋅
=
3
25,0601
6
25,021601
3
25,01101
3
315,221
2
CDCDCDBC
QL EIEIEIEI
D
( ) ( )CDBC
BCBC
QL IIEEIEI
D ===+++= 659,866915,922040105,2212 
(1
2
0
3 ∫=
CD
QL EI
D )dx + (1
2
0
∫
CDEI
 ) dx + 
 (1
2
0
∫
CDEI
 ) dx + (1
2
0
∫
DEEI
 ) dx + 
 (1
3
0
∫
DEEI
 ) dx 
Método das Forças Vigas 
23 
 
( ) ( )
( )
( ) ( )
EEIEIEIEI
D
EI
EIEIEIEI
D
DECDDECD
QL
DE
DECDCDCD
QL
540,9744233,7933,634,3293,461402033,31
3
6
206426,01
6
26,021641
6
215,02601
3
25,0601
3
25,0101
3
3
=+=++++=
=





⋅
−⋅
+





 ⋅⋅+⋅
+




 ⋅+⋅
+




 ⋅⋅
+




 ⋅⋅
=
 
Coeficientes de flexibilidade: 
(1
4
0
11 ∫=
ABEI
F )2 dx + (1
3
0
∫
BCEI
 )2 dx 
( ) ( )
EEEEIEI
F
BCAB
31,157721,93710,640
3
311
3
411 22
11 =+=







⋅
+







⋅
= 
 
(1
3
0
21 ∫=
BCEI
F ) dx 
⇒=




 ⋅⋅
=
EEI
F
BC
60,468
6
3111
21 E
F 60,46812 = 
⇒= 031F 013 =F 
 
(1
3
0
22 ∫=
BCEI
F )2 dx + (1
4
0
∫
CDEI
 )2 dx 
( ) ( )
EEEEIEI
F
CDBC
81,218661,124921,937
3
411
3
311 22
22 =+=







⋅
+







⋅
= 
 
(1
4
0
23 ∫=
CDEI
F ) dx 
( )
⇒=







⋅
=
EEI
F
CD
8,624
6
411 2
23 E
F 8,62432 = 
(1
4
0
33 ∫=
CDEI
F )2 dx + (1
5
0
∫
DEEI
 )2 dx 
( ) ( )
EEEEIEI
F
DECD
74,204980061,1249
3
511
3
411 22
33 =+=







⋅
+







⋅
= 
 
Método das Forças Vigas 
 
24 
EXEMPLO5: Calcule as reações de apoio da viga da figura utilizando o método das 
forças. Considere as deformações devidas à força cortante e ao momento fletor. A seção 
transversal usada trata-se de um perfil soldado de aço, padrão VS-800x111 , conforme 
figura. 
 
Dados: 
 
E=2,1x104 kN/cm2 (aço) 
G=8x103 kN/cm2 (aço) 
 
Figura 43 - Viga 
 
 
 
4
2
2
155074
29,2
62
142
625,778,0
142
cmI
A
Af
cmA
cmA
ALMA
S
ALMA
=
===
=⋅=
=
 
 
 
 
 
 
G.I.E = 3-2=1 
 
Estrutura isostática fundamental: 
 
 
 
 
 
Figura 44 - Estrutura isostática fundamental 
 
Fase L 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 45 - Fase L 
 
( ) cmDQL 7265,174536,02729,171421082
100045,029,2
155074101,28
100045,0
3
2
4
4
1 −=+−=











⋅×⋅
⋅⋅
+





⋅×⋅
⋅
−= 
Método das Forças Vigas 
25 
 
Fase 1 
 
 
 
 
 
Figura 46 - Fase 1 
 
10437,0100158,210236,0
142108
100029,2
155074101,23
1000 3
34
3
11 =×+=





⋅×
⋅
+





⋅×⋅
=
−F 
 
Equação de compatibilidade: 01 =QD 
 
011111 =⋅+= QFDD QLQ 
kN
F
DQ QL 84,169
10437,0
7265,17
11
1
1 ==−= (Reação vertical no apoio B) 
 
Cálculo das reações de apoio finais: (usando o método da superposição de efeitos) 
kNQVVV ALAA 16,28084,169145011 =⋅−=⋅+= (para cima) 
kNmQMMM ALAA 60,55184,16910225011 =⋅−=⋅+= (sentido anti-horário) 
Caso fossem desprezadas as deformações devidas à força cortante: 
cm
EI
qLDQL 2729,178
4
1 −=−= 
1024,0
3
3
11 == EI
LF 
KNQ 75,1681 = 
Demais reações de apoio : 
kNmM
kNV
A
A
5,562
25,281
=
=
 
Erros cometidos devido à não consideração das deformações devidas à força cortante: 
- Erro% Q1 : %64,010084,169
84,16975,168
=×
−
 
- Erro % VA : %38,010016,280
16,28025,281
=×
−
 
- Erro % Ma : %98,110060,551
60,55150,562
=×
−
 
- Observação : O cálculo de DQL1 e de F11 se baseou no resultado obtido no exemplo a 
seguir, onde foi calculada a flecha na extremidade livre da viga em balanço, pelo M.C.U., 
considerando as deformações devidas ao momento fletor e à força cortante. 
Método das Forças Vigas 
 
26 
EXEMPLO6: Calcule a flecha na extremidade livre da viga em balanço submetida ao 
carregamento indicado, usando o método da carga unitária. Considere as deformações 
devidas ao momento fletor e à força cortante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 47 – Viga em balanço 
Dados: 
 
E, G - material elástico linear isotrópico 
A,I - constantes geométricas da seção 
fs - fator de forma para cisalhamento 
 
Fase L 
 
Estrutura dada submetida ao carregamento real 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 48 – Fase L 
 
 
 
 
 
 
 (Momento fletor) 
 
 
 
 (Força cortante) 
 
 
 
 
 
Figura 49 – Diagramas de força cortante e momento fletor - Fase L 
 
 
 
Método das Forças Vigas 
27 
 
Para efeito de integração o diagrama ML pode ser decomposto como : 
Figura 50 – Decomposição do diagrama de momento fletor 
 
Fase U 
 
Carrega-se a estrutura dada com uma carga unitária correspondente ao deslocamento que se 
pretende determinar. No caso, carga unitária vertical aplicada em B. 
 
 
 
Figura 51 – Fase U 
 
 
 (Força cortante) 
 
 
 
 (Momento fletor) 
 
 
 
 
Figura 52 – Diagramas de força cortante e momento fletor - Fase U 
 
Aplicando-se a equação do M.C.U. 
 
( )( ) ( ) 



⋅+++





−





+⋅−





+−=∆ LPqLP
GA
fLLqLLLqLPL
EI
S
B 2
1
83
1)(
23
11 22
 






++





+=∆
GA
Lf
EI
Lq
GA
Lf
EI
LP SSB 283
243
 
 
Observar na resposta acima a influência da carga P, 1ª parcela, na qual está explícita a 
influência dasdeformações de flexão (
EI
PL
3
3
) e a influência das deformações devidas à força 
cortante (
GA
LfP S ⋅⋅ ). 
De forma análoga, na 2ª parcela (influência de q) tem-se 
EI
Lq
8
 (influência das deformações 
de flexão) e 
GA
LqfS 2
2
⋅⋅ (influência da força cortante). 
∫∫
⋅
+
⋅
=⋅∆ dx
GA
vVfdx
EI
mM uL
S
uL
B 1
Método das Forças Vigas 
 
28 
EXEMPLO7: Calcule a flecha no meio do vão da viga abaixo, considerando a 
contribuição da flexão e do cisalhamento. 
 
 
 
Dados: 
 
23
24
/108
/101,2
cmkNG
cmkNE
×=
×=
 
 
 Figura 53 – Viga bi-apoioada 
 
Propriedades geométricas da seção: 
 
 
 
2
2
2
4
142
62
80
155074
cmAAA
cmA
cmA
cmI
ALMMESA
ALMA
MESA
=+=
=
=
=
 
Fator de forma para cisalhamento: 
 
29,2
62
142
===
ALMA
S A
Af 
 
 
Fase L 
 
Figura 54 = Fase L 
Fase U 
 
Figura 55 = Fase U 
 
Método das Forças Vigas 
29 
 
∫ ∫+=∆ dxGA
vVfdx
EI
mM
S O deslocamento é composto de duas parcelas, uma devida 
 à flexão e outra devida ao cisalhamento. 
 
 
M∆
 
c∆
 
(infl.do momento) (infl. da força cortante) 
 
 
 Utilizando a tabela de integrais de produto, tem-se: 
- contribuição do momento fletor ( M∆ ) 
 
 
EI
M 1
=∆ ∫
5
0
 . ∫
10
5
 
 
Substituindo os valores: 
 
m
M 018,0=∆ 
 
- contribuição da força cortante ( C∆ ) 
 
GA
fSC
=∆ ∫
5
0
 ( . ∫
10
5
 
 
Substituindo os valores: 
 
m
C 001134,0=∆ 
 
A flecha será então: 
 
mCM 01913,0001134,0018,0 =+=∆+∆=∆ 
 
A influência da força cortante no deslocamento total é, então: 
C
C
∆→=
∆
∆ 0593,0 corresponde a 5,93% do deslocamento total. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método das Forças 
 
Exemplos de Aplicação em Treliças 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método das Forças Treliças 
 
33 
EXEMPLO1: Determinar os esforços nas barras da treliça da figura abaixo utilizando o 
método das forças. 
 
Dados: 
− EA=constante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 – Treliça 
 
 
Grau de indeterminação estática: 
 
( ) ( ) 142632.. =⋅−+=⋅−+= nvmEIG 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 - Estrutura isostática fundamental 
 
Equação de compatibilidade (deslocamento axial relativo na seção transversal da 
barra BD) : 01 =QD 
 
( )
( ) 80
60
,cos
,sen
=α
=α
BDNQ =1
Método das Forças Treliças 
 
34 
Fase L 
 
 
 
 
( ) ( )
( ) ( )

=−−
=+−−
050
050coscos
αα
αα
senNsenN
NN
CDAD
CDAD
 



=−
=+
33,83
50,62
CDAD
CDAD
NN
NN
 
9272831452 ,N,N ADAD =⇒= 
42105062 ,NN,N CDADCD −=⇒−= 
 
 
Fase 1 
 
Q1 = 1 ( NBD = 1 ) 
 
 
( ) ( ) CDADCDAD NNsenNsenNV =⇒=α−α∴=∑ 00 
( ) ( ) 010 =+α+α∴=∑ cosNcosNH CDAD 
( ) 6250625012 ,N,NcosN CDADAD −=⇒−=⇒−=α 
 
 
Cálculo dos coeficientes 
 
 
Barra iL { }iLN { }i1n { }i1L LnN ⋅⋅ ( ){ }i21 Ln ⋅ 
AD 2,5 72,92 -0,625 -113,94 0,97656 
CD 2,5 -10,42 -0,625 16,28 0,97656 
BD 2,0 0 1 0 2,0 
 Σ = -97,66 3,953120 
 
 
EAEA
LnN
D
ii
L
QL
66,973
1
1
1
−
=




 ⋅⋅
=∑
=
 
 
( )
EAEA
Ln
F
ii
953120,33
1
2
1
11 =







⋅
=∑
=
 
 
Método das Forças Treliças 
 
35 
Cálculo da redundante 
 
EA
DQL
66,97
1
−
= 
EA
F 953120,311 = 
011111 =+= QFDD QLQ 
 
70,24
953120,3
)66,97(0
11
11
1 =
−−
=
−
=
F
DDQ QLQ 
 
 
Esforços axiais finais 
 
( ) ( ) 11 QnNN iiLi ⋅+= 
 
( ) kNN AD 48,5770,24625,092,72 =⋅−= 
( ) kNNCD 86,2570,24625,042,10 −=⋅−−= 
kNQN BD 70,241 == 
 
 
Método das Forças Treliças 
36 
EXEMPLO2: Calcular a treliça da figura abaixo utilizando o método das forças. 
 
Dados: 
− EA=constante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3 – Treliça 
 
Grau de indeterminação estática: 
 
( ) ( ) 242462.. =⋅−+=⋅−+= nvmEIG 
 
Incógnitas Redundantes: 
 
o Q1→ reação horizontal em B 
o Q2→ força normal na barra 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4 - Estrutura isostática fundamental 
 
Equações de compatibilidade: 
0
0
2
1
=
=
Q
Q
D
D
 
 
Método das Forças Treliças 
 
37 
Fase L, Fase 1 e Fase 2 
 
 
 
Fase L Fase 1 
 
Fase 2 
 
Figura 5 – Fase L, Fase 1 e Fase 2 
 
Quadro resumo dos esforços nas diversas fases 
 
Barra { }iEA iL { }iLN { }i1n { }i2n 
1 EA 3 0 0 2
2−
 
2 EA 3 5 0 2
2−
 
3 EA 3 -10 0 2
2−
 
4 EA 3 5 -1 2
2−
 
5 EA 23 25− 2 1 
6 EA 23 0 0 1 
Método das Forças Treliças 
38 
Cálculo dos coeficientes das matrizes e vetores 
 
Barra { }i1L LnN ⋅⋅ { }i2L LnN ⋅⋅ ( ){ }i21 Ln ⋅ { }i21 Lnn ⋅⋅ ( ){ }i22 Ln ⋅ 
1 0 0 0 0 1,5 
2 0 2
15−
 0 0 1,5 
3 0 2
30
 0 0 1,5 
4 -15 2
15−
 3 2
3
 1,5 
5 230− -30 26 6 23 
6 0 0 0 0 23 
Σ = -57,4264 -30 11,4853 8,1213 14,4853 
 
 
EAEA
LnN
D
ii
L
QL
4264,576
1
1
1
−
=




 ⋅⋅
=∑
=
 
EAEA
LnN
D
ii
L
QL
0,306
1
2
2
−
=




 ⋅⋅
=∑
=
 
( )
EAEA
Ln
F
ii
4853,116
1
2
1
11 =







⋅
=∑
=
 
EAEA
Lnn
FF
ii
1213,86
1
21
1221 =




 ⋅⋅
== ∑
=
 
( )
EAEA
Ln
F
ii
4853,146
1
2
2
22 =







⋅
=∑
=
 
 
Notar que nos somatórios acima o índice i varia de 1 a 6, onde 6 é o número de barras da 
treliça. 
 
 
 
 
 
Método das Forças Treliças 
 
39 
Cálculo das redundantes 
 
 






−
−
=
30
4264,57
EA
1
QLD 
 






=
4853,141213,8
1213,84853,11
EA
1F 
 
0QFDD QLQ =+= 
 
 
Q1 = 5,858 kN 
Q2 = -1,213 kN 
 
 
Forças normais finais 
 
 
( ) ( ) ( ) 2i21i1iLi QnQnNN ⋅+⋅+= (Superposição de efeitos) 
 
 
N1 = 0,858 (barra CD) 
N2 = 5,858 (barra AB) 
N3 = - 9,142 (barra AC) 
N4 = 0 (barra BD) 
N5 = 0 (barra BC) 
N6 = - 1,213 (barra AD) 
 
 
 
Métododas Forças Treliças 
 
40 
EXEMPLO3: Considerando a treliça da figura e a relação de áreas das suas barras, 
determinar o valor da área mínima necessária para as barras tracionadas, sendo a 
tensão admissível do aço igual a 160 Mpa. Utilizar o método da flexibilidade. 
 
(Obs.: não é necessário analisar as barras comprimidas, que dependem do índice de esbeltez). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6 - Treliça 
 
Dados: 
 
E = 205 GPa 
A1 = A2 = A3 = 3A 
A4 = A5 = A6 = A 
A7 = A8 = A9 = A10 = 2A 
 
 
 
Estrutura isostática fundamental 
 
 
G.I.E = ( b + v ) – 2 n = (10 + 4) – 12 = 2 
 
 
 
 
Figura 7 – Estrutura isostática fundamental 
 
 
Equações de compatibilidade : 
0
0
2
1
=
=
Q
Q
D
D
 
 
 
 
 
 
Método das Forças Treliças 
 
41 
Fase L: 
 
 
Figura 8 – Fase L 
 
°=⇒= 87,36
0,2
5,1
tan αα 




=
=
8,0cos
6,0sen
α
α
 
°=⇒= 57,26
0,3
5,1
tan ββ 




=
=
894,0cos
447,0sen
β
β
 
 
 
 
kNVVM CCA 75,3805,11047200 −=⇒=⋅++⋅⇒=∑ 
kNVVV AA 75,1802075,380 −=⇒=+−⇒=∑ 
kNHHH AA 100100 −=⇒=+⇒=∑ 
 
 
 
 
 
Figura 9 – Forças normais nas barras – Fase L 
 
Nó A: 
kNNNV AEAE 25,31075,186,0.0 =⇒=−⇒=∑ 
kNNNH ABAB 150108,025,310 −=⇒=−+⋅⇒=∑ 
 
 
 
 
 
Método das Forças Treliças 
 
42 
Nó B: 
00 =⇒=∑ EBNV 
kNNNNH BCBCAB 1500 −=⇒=−⇒=∑ 
 
Nó E: 
06,0.6,0.0 =++⇒=∑ CEEBAE NNNV 
 kNNN CECE 25,3106,0.06,025,31 −=⇒=++⋅ 
08,0.8,0.0 =−−⇒=∑ CEEFAE NNNH 
 
( ) kNNN EFEF 5008,025,318,025,31 =⇒=⋅−−−⋅ 
 
Nó F: 
0894,0.100 =−−⇒=∑ FDEF NNH 
 kNNN FDFD 74,440894,01050 . =⇒=−− 
0447,0.0 =+⇒=∑ FDFC NNV 
 kNNN FCFC 200447,07,44 −=⇒=⋅+ 
 
Nó C: 
08,0.0 =−+⇒=∑ CDBCCE NNNH 
 kNNN CDCD 400158,025,31 −=⇒=−−⋅− 
075,386,00
.
=++⇒=∑ FCCE NNV 
 kNNN FCFC 20075,386,025,31 −=⇒=++⋅− 
 
Nó D: 
0447,0.200 =+−⇒=∑ FDNV kNN FD 74,44=⇒ 
0894,0.0 =+⇒=∑ FDCD NNH kNNCD 40−=⇒ 
 
 
Fase 1: (Q1 = 1 ; Q2 = 0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 10 – Fase 1 
 
0'0'.40 =⇒=⇒=∑ cCA VVM 
0'0 =⇒=∑ AVV 
1'0 −=⇒=∑ AHH 
Método das Forças Treliças 
 
43 
 
 
Figura 11 – Forças normais nas barras – Fase 1 
 
Nó A: 
00 =⇒=∑ AENV 
10 =⇒=∑ ABNH 
 
Nó B: 
00 =⇒=∑ EBNV 
10 =⇒=∑ BCNH 
 
Nó E: 
06,0.6,0.0 =++⇒=∑ CEEBAE NNNV 0=⇒ CEN 
08,0.8,0.0 =++−⇒=∑ CEEFAE NNNH 0=⇒ EFN 
 
Nó F: 
0894,0.0 =−⇒=∑ FDEF NNH 0=⇒ FDN 
0447,0.0 =+⇒=∑ FDFC NNV 0=⇒ FCN 
 
Nó C: 
018,0.0 =−−+⇒=∑ CDBCCE NNNH 0=⇒ CDN 
06,00
.
=+⇒=∑ FCCE NNV 0=⇒ FCN 
 
Nó D: 
0447,0.0 =⇒=∑ FDNV 0=⇒ FDN 
0894,0.0 =+⇒=∑ FDCD NNH 0=⇒ CDN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método das Forças Treliças 
 
44 
Fase 2: (Q1 = 0 ; Q2 = 1) 
 
 
 
Figura 12 – Fase 2 
 
0"0 =⇒=∑ cA VM 
0"0 =⇒=∑ AVV 
0"0 =⇒=∑ AHH 
 
 
Figura 13 – Forças normais nas barras – Fase 2 
 
Nó A: 
0;0 == ABAE NN 
 
Nó D: 
0;0 == DFCD NN 
 
Nó B: 
8,0;6,0 −=−= BCEB NN 
 
Nó C: 
6,0;1 −== FCCE NN 
 
Nó E: 
8,0;1 −== EFCE NN 
 
Nó F: 
6,0;0 −== FCFD NN 
 
Método das Forças Treliças 
 
45 
Barra { }iA iL { }iLN { }i1n { }i2n 
1 3A 2,0 -15 1 0 
2 3A 2,0 -15 1 -0,8 
3 3A 3,0 -40 0 0 
4 A 2,5 31,25 0 0 
5 A 2,0 50 0 -0,8 
6 A 3,35 44,74 0 0 
7 2A 1,5 0 0 -0,6 
8 2A 1,5 -20 0 -0,6 
9 2A 2,5 -31,25 0 1 
10 2A 2,5 0 0 1 
 
 
 
Barra 
i
L
A
LnN





 ⋅⋅ 1
 
i
L
A
LnN





 ⋅⋅ 2
 
( )
i
A
Ln






⋅
2
1
 
iA
Lnn





 ⋅⋅ 21
 
( )
i
A
Ln






⋅
2
2
 
1 
A
10−
 
0 
A
6667,0
 
0 0 
2 
A
10−
 A
8
 
A
6667,0
 A
5333,0−
 A
4267,0
 
3 0 0 0 0 0 
4 0 0 0 0 0 
5 0 
A
80−
 
0 0 
A
28,1
 
6 0 0 0 0 0 
7 0 0 0 0 
A
27,0
 
8 0 
A
9
 
0 0 
A
27,0
 
9 0 
A
0625,39−
 
0 0 
A
25,1
 
10 0 0 0 0 
A
25,1
 
Σ = 
A
20−
 
A
0625,102−
 A
3333,1
 A
5333,0−
 A
7467,4
 
 
DQL1 DQL2 F11 F12 F22 
 
 
Método das Forças Treliças 
 
46 
Equação de compatibilidade 
 
 
DQ = DQL + F Q = 0 
 
DQL + F Q = DQ 
 
 












−
−
+





−
−
=





2
1
7467,45333,0
5333,03333,11
0625,102
201
0
0
Q
Q
EAEA 
 
 
 
Q1 = 24,711 kN 
Q2 = 24,278 kN 
 
 
 
Esforços nas barras da estrutura hiperestática 
 
N = NL + n1.Q1 + n2.Q2 
 
 
N1 = -15+1 . 24,711 = 9,711 kN 
N2 = -15+1 . 24,711 – 0,8 . 24,278 = -9,711 kN 
N3 = -40,0 kN 
N4 = 31,25 kN 
N5 = 50 – 0,8 . 24,278 = 30,577 kN 
N6 = 44,74 kN 
N7 = -0,6 . 24,278 = -14,567 kN 
N8 = -20 – 0,6 . 24,278 = -34,567 kN 
N9 = -31,25 + 1 . 24,278 = -6,972 kN 
N10 = 24,278 kN 
 
 
Área mínima 
 
2/16160 cmkNMPaadm ==σ kNF 74,44max = 
 
2
minmin
max
min 796,216
74,44
cmAAFA
A
F
adm
=⇒=⇒=⇒=
σ
σ
 
 
Método das Forças Treliças 
 
47 
 
EXEMPLO4: Calcule as forças normais da treliça da figura utilizando o Método da 
Flexibilidade (Método das Forças). 
 
Dados: 
− E = 2,1x104 kN/cm2 
− Área da seção transversal das barras: 
• A1 = A2 = A3 = A8 = A15 = A16 = A17 = 3,0 cm2 
• A4 = A7 = 10,0 cm2 
• A5 = A6 = A11 = A12 = 5,0 cm2 
• A9 = A10 = A13 = A14 = 20,0 cm2 
 
Figura 14 - Treliça 
 
 
 
 
Método das Forças Treliças 
 
48 
 
Estrutura Isostática Fundamental 
 
- Grau de Inderteminação Estática: 
 �. �. � � �� � 	
 � 2 
 � � �17 � 3
 � 2 
 9 � 2 
 
- Incógnitas Redundantes: 
 �� � força normal na barra 5 
 �� � força normal na barra 11 
 
 
Figura 15 – Estrutura Isostática Fundamental 
 
 
� � ������ �3,01,0 � 71,565° 
$ � ������ �1,00,5 � 63,435° 
&'���
 � 0,949 
�(&��
 � 0,316 
&'��$
 � 0,894 
�(&�$
 � 0,447 
 
aa
� 
$ 
Método das Forças Treliças 
 
49 
 
Fase L 
 
Figura 16 – Fase L 
 
Reações de Apoio: 
*+, � 0 - �3./ � 20 
 3 � 15 
 6 � 10 
 7 � 0 - ./ � 2203 
*0 � 0 - 10 � 15 � 20 � 0, � 0 - 0, � �45 
*. � 0 - ./ � ., � 0 - ., � �2203 
 
 
Nó I: 
*. � 0 - 1� 
 0,894 � 1� 
 0,894 � 0 - 1� � �1� 
*0 � 0 - 10 � 1� 
 0,447 � 1� 
 0,447 � 0 - 1� � �1� � 11,180 
 
 
Nó G: 
*0 � 0 - 12 � 1� 
 0,447 � 0 - 12 � �5 
*. � 0 - 1� 
 0,894 � 13 � 0 - 13 � 10 
aa
� 
$ 
Método das ForçasTreliças 
 
50 
 
Nó H: 
*0 � 0 - 15 � 12 � 1� 
 0,447 � 14 
 0,316 � 0 - 14 � 79,057 
*. � 0 - 1� 
 0,894 � 14 
 0,949 � 15 � 0 - 15 � �85 
 
 
Nó D: 
*. � 0 - 1�3 
 0,949 � ./ � 0 - 1�3 � �77,300 
*0 � 0 - 1�5 �1�3 
 0,316 � 0 - 1�5 � 24,444 
 
 
Nó C: 
*. � 0 - 1�2 � 0 
*0 � 0 - 1�5 �1�4 � 0 - 1�4 � 24,444 
 
 
Nó F: 
*. � 0 - 15 � 1�2 � 1�� 
 0,949 � 1�3 
 0,949 � 0 - 1�� � �12,298 
*0 � 0 - 20 � 1�3 
 0,316 � 16 � 1�� 
 0,316 � 0 - 16 � �0,556 
 
 
Nó E: 
*0 � 0 - 16 � 14 
 0,316 � 17 
 0,316 � 0 - 17 � 77,300 
 
 
Nó B: 
*. � 0 - 1�8 �1�� 
 0,949 � 0 - 1�8 � 11,667 
*0 � 0 - 1�4 �1�� 
 0,316 � 1�9 � 0 - 1�9 � 20,556 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método das Forças Treliças 
 
51 
 
Fase 1 
 
Figura 17 – Fase 1 
 
Reações de Apoio: 
0, � ., � ./ � 0 
 
Nó I: 
1� � 0 1� � 0 
 
Nó D: 
*. � 0 - 1�3 � 0 *0 � 0 - 1�5 � 0 
 
Nó C: 
*. � 0 - 1�2 � 0 *0 � 0 - 1�4 � 0 
 
Nó A: 
*. � 0 - 17 � 0 *0 � 0 - 1�9 � 0 
 
aa
� 
$ 
Método das Forças Treliças 
 
52 
 
Nó B: 
*0 � 0 - 1�� � 0 *. � 0 - 1�8 � 0 
 
Nó F: 
*. � 0 - 15 � 1 
 0,949 � 0 - 15 � �0,949 
*0 � 0 - �16 � 1 
 0,316 � 0 - 16 � �0,316 
 
Nó G: 
*. � 0 - �1 
 0,949 � 13 � 0 - 13 � �0,949 
*0 � 0 - 12 � 1 
 0,316 � 0 - 12 � �0,316 
 
Nó H: 
*. � 0 - �14 
 0,949 � 15 � 0 - 14 � 1 
 
Fase 2 
 
Figura 18 – Fase 2 
 
 
aa
� 
$ 
Método das Forças Treliças 
 
53 
 
Reações de Apoio: 
0, � ., � ./ � 0 
 
Nó I: 
1� � 0 1� � 0 
 
Nó D: 
*. � 0 - 1�3 � 0 *0 � 0 - 1�5 � 0 
 
Nó A: 
*. � 0 - 17 � 0 *0 � 0 - 1�9 � 0 
 
Nó G: 
*. � 0 - 13 � 0 *0 � 0 - 12 � 0 
 
Nó H: 
*0 � 0 - 14 � 0 *. � 0 - 15 � 0 
 
Nó C: 
*. � 0 - 1�2 � 1 
 0,949 � 0 - 1�2 � �0,949 
*0 � 0 - �1�4 � 1 
 0,316 � 0 - 1�4 � �0,316 
 
Nó E: 
*0 � 0 - 16 � 1 
 0,316 � 0 - 16 � �0,316 
*. � 0 - �1 
 0,949 � 1�8 � 0 - 1�8 � �0,949 
 
Nó F: 
*. � 0 - �1�� 
 0,949 � 1�2 � 0 - 1�� � 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método das Forças Treliças 
 
54 
 
Quadro Resumo dos Esforços Axiais: 
 
Barra :;<= :><= :1?<= :��<= :��<= 
1 3 1,118 11,180 0 0 
2 3 1,118 -11,180 0 0 
3 3 1 -5 -0,316 0 
4 10 3 10 -0,949 0 
5 5 3,162 0 1 0 
6 5 3,162 79,057 1 0 
7 10 3 -85 -0,949 0 
8 3 1 -0,556 -0,316 -0,316 
9 20 3,162 77,300 0 0 
10 20 3 11,667 0 -0,949 
11 5 3,162 0 0 1 
12 5 3,162 -12,298 0 1 
13 20 3 0 0 -0,949 
14 20 3,162 -77,300 0 0 
15 3 1 20,556 0 0 
16 3 1 24,444 0 -0,316 
17 3 1 24,444 0 0 
 
 
 
Cálculo dos Coeficientes das Matrizes e Vetores: 
 
Barra @1? . ��. >; A= @
1? . ��. >; A= B
���
�. >; C= @
��. ��. >; A= B
���
�. >; C= 
1 0 0 0 0 0 
2 0 0 0 0 0 
3 0,52705 0 0,03333 0 0 
4 -2,84605 0 0,27 0 0 
5 0 0 0,63246 0 0 
6 50 0 0,63246 0 0 
7 24,19142 0 0,27 0 0 
8 0,05856 0,05856 0,03333 0,03333 0,03333 
9 0 0 0 0 0 
10 0 -1,66020 0 0 0,135 
11 0 0 0 0 0,63246 
12 0 -7,77778 0 0 0,63246 
13 0 0 0 0 0,135 
14 0 0 0 0 0 
15 0 0 0 0 0 
16 0 -2,57667 0 0 0,03333 
17 0 0 0 0 0 
 
∑ � 71,93098 -11,95608 1,87158 0,03333 1,60158 
 
 
 
Método das Forças Treliças 
 
55 
 
 
 
EF?� � 71,93098� EF?� � �
11,95608
� 
 
G�� � 1,87158� G�� � G�� �
0,03333
� G�� �
1,60158
� 
 
 
 
 
Solução do Sistema de Equações 
 
EF? � 1� H
71,93098�11,95608I G �
1
� J1,87158 0,033330,03333 1,60158K 
 EF � EF? � G� 
 �� � �38,581 L1 �� � 8,268 L1 
 
 
 
 
 
Esforços Axiais Finais 
 1� � 11,180 L1 1� � �11,180 L1 12 � 7,200 L1 13 � 46,601 L1 19 � �38,581 L1 14 � 40,476 L1 15 � �48,399 L1 16 � 9,030 L1 17 � 70,300 L1 
1�8 � 3,823 L1 1�� � 8,268 L1 1�� � �4,030 L1 1�2 � �7,844 L1 1�3 � �77,300 L1 1�9 � 20,556 L1 1�4 � 21,830 L1 1�5 � 24,444 L1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método das Forças 
 
Exemplos de Aplicação em Pórticos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método das Forças Pórticos 
 
59 
 
Análise de Pórticos Planos 
 
 
Deformações possíveis de ocorrer nos pórticos são devidas a: 
 
 
• Momento Fletor 
• Força Normal 
• Força Cortante 
 
 
∫ ∫∫ ++=∆ dxGA
Vvfdx
EA
Nndx
EI
Mm
x1 s 
 
 
Deformação preponderante: 
 
 
• Devida a momento fletor 
 
 
Cálculo dos coeficientes: 
 
 
- Considerar sempre o efeito das deformações devidas ao momento fletor 
 
∫ ∫∫ ++= dxGA
Vvfdx
EA
Nn
dx
EI
Mm
D js
jj
QLj 
 
∫ ∫∫ ++= dxGA
vvfdx
EA
nn
dx
EI
mm
F jis
jiji
ij 
 
Método das Forças Pórticos 
61 
EXEMPLO1: Analisar o pórtico dado considerando as deformações por flexão e as 
deformações axiais. 
 
Dados: 
- EI = constante. 
- EA= constante. 
- Seção Transversal: 20x50 cm2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 – Pórtico plano 
 
Grau de indeterminação estática: 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 - Estrutura isostática fundamental 
 
Fase L 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3 – Fase L 
 
A 
A 
A 
 
 
 B 
 B 
 
 
 
 B 
B 
 B 
 
C 
 
C 
 
C 
Método das Forças Pórticos 
62 
Diagramas 
 
Força normal: nula nas duas barras 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (VL) (ML) 
 
Figura 4 – Diagramas de força cortante e momento fletor – Fase L 
 
Fase 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5 – Fase 1 
 
Diagramas 
 
 
 
 
 
 
 (N1) (V1) (M1) 
 
Figura 6 – Diagramas de força normal, força cortante e momento fletor – Fase 1 
 
 A 
 
B 
 A 
 
B 
 C 
C 
 
B B 
 
A 
 
 B 
 
 B 
 
C 
 
A 
 
A 
 
A 
 
 B 
 B 
 C 
 
 B 
 
 B 
 C 
 
B 
 
C 
Método das Forças Pórticos 
63 
Fase 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 7 – Fase 2 
 
Diagramas 
 
 
 
 
 
(N2) (V2) (M2) 
 
Figura 8 – Diagramas de força normal, força cortante e momento fletor – Fase 2 
 
 
Fase 3Figura 9 – Fase 3 
 
 
A 
 
 B 
B 
 
A 
C 
 
B 
 
B 
 
A 
 
C 
 
A 
 
 B 
 
B 
 
 B 
 
 C 
 
 C 
 
B 
A 
 
 B 
B 
 
C 
Método das Forças Pórticos 
64 
Diagramas 
Força normal: nula nas duas barras. 
Força cortante: nula nas duas barras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 10 – Diagrama de momento fletor – Fase 3 
 
Propriedades geométricas 
 
43
3
100833,2
12
5,02,0
mI −×=⋅= 
IA
I
A 4848 =⇒= 
21,05,02,0 mA =⋅= 
 
Cálculo de DQL 
 
 
∫∫∫∫ +++=
BC
jL
AB
jL
BC
jL
AB
jL
QLj dxEA
nN
dx
EA
nN
dx
EI
mM
dx
EI
mM
D 
 
00001 +++=QLD 
 
( )( )
EIEI
DQL
500000055102240
6
11
2
−
=+++





⋅+⋅−= 
 
( )
EIEI
DQL
60000051240
2
11
3
−
=+++





⋅⋅−= 
 
 
Cálculo dos coeficientes de F 
 
∫∫∫∫ +++=
BC
ji
AB
ji
BC
ji
AB
ji
ij dxEA
nn
dx
EA
nn
dx
EI
mm
dx
EI
mm
F 
( )( )
EIEIEIEAEIEAEI
F
24
517
48
10
3
6410
3
6401011444
3
1011 =+=+=+
⋅⋅
+
⋅−−
⋅+= 
00001221 +++== FF 
A B 
 B 
C 
Método das Forças Pórticos 
65 
( )
EIEI
FF 800441
2
101331 −=++
⋅−⋅
⋅+== 
( ) ( )
EIEIEIEAEIEAEI
F
12
4001
48
4
3
10004
3
100041100101010
3
1
22 =+=+=
⋅−⋅−
+++
⋅⋅
⋅= 
EIEI
FF 5000010110
2
1
2332 =+++
⋅⋅
⋅== 
EIEIEI
F 1400411101133 =++
⋅⋅
+
⋅⋅
= 
 
 
Fase Final 
 
 












−
−
=
14508
504167,3330
805417,21
EI
1F 










−
−=
600
5000
0
EI
1
QLD 
 
QFDD QLQ += 










−
−
=
4291,42
3590,21
7571,15
Q 
 
• Caso fosse omitido o efeito das deformações axiais: 
 












−
−
=
14508
503333,3330
803333,21
EI
1F 










−
−=
600
5000
0
EI
1
QLD 
 
 
 










−
−
=
8571,42
4286,21
0714,16
Q 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método das Forças Pórticos 
66 
Esforços finais (considerando as deformações axiais) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 11 – Esforços finais 
Por equilíbrio: 
 
kN76,15HA = 
kN64,2636,2148VA =−= 
kNmM A 84,6843,421036,21548 =+⋅−⋅= 
 
kN76,15HC = 
kN36,21VC = 
kNmM C 60,20476,1543,42 =⋅+−= 
 
Diagramas de esforços solicitantes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 12 – Diagramas de força normal, força cortante e momento fletor 
 
 
 A 
 
 
 B 
 
 
 B 
 
 C 
 
 
A 
 
 B 
 
 C 
 
 B 
 A 
 
 C 
 
 C 
(N) 
(V) 
(M) 
Método das Forças Pórticos 
67 
EXEMPLO2: Calcular as reações de apoio do pórtico da figura utilizando o método da 
flexibilidade, incluindo as deformações devidas ao momento fletor, à força normal e à 
cortante. Traçar os diagramas finais de esforços solicitantes. 
 
 
Figura 13 – Pórtico plano 
 
Dados: 
E = 205 GPa 20,0=ν 
 
G.I.E = 3 + 2 - 3 ⇒ G.I.E. = 2 
 
Figura 14 – Estrutura isostática fundamental 
 
Propriedades geométricas 
 
Área = 15 . 1,25 + 15 . 1,25 + 1,0 . 27,5 = 65 cm2. 
I = =−
33
12
5,27
.14
12
30
.15 9486,98 cm4. EA = 1.332.500 kN 
EI = 19.448,3 kNm2 
 
 
Método das Forças Pórticos 
68 
Fase L 
 
 
Figura 15 – Fase L 
447,0cos894,0sen2
2
4
tan ==== βββ 
00 =⇒=∑ ALHH 
kNVVM CLCLA 75,10302.5022
5,5
.5,5.20.60 =⇒=−





+−⇒=∑ 
kNVVV ALAL 25,560505,5.2075,1030 =⇒=−−+⇒=∑ 
 
 
 
 
Figura 16 – Decomposição dos esforços – Fase L 
 
 
 
Método das Forças Pórticos 
69 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 17 – Diagramas da fase L 
 
Barra BC: 
 
kNmMmX
XXXM
mXXXV
48,1133125,0
40
2
2025,65,112
3125,02025,602025,6
2
=⇒=
≤≤−+=
=⇒−=⇒−=
 
 
Fase 1 (Q1 = 1 ; Q2 = 0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 18 – Fase 1 
 
(VL) 
 
(NL) 
 
(ML) 
 
Método das Forças Pórticos 
70 
6
1
'0'.610 =⇒=−⇒=∑ CCA VVM 
6
1
'0 −=⇒=∑ AVV 
0'0 =⇒=∑ AHH 
 
Figura 19 – Decomposição dos esforços – Fase 1 
 
Diagramas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 20 – Diagramas da Fase 1 
 
 
 
(M1) 
 
(N1) 
 
(V1) 
 
Método das Forças Pórticos 
71 
Fase 2 (Q1 = 0 ; Q2 = 1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 21 – Fase 2 
 
kNVVM CCA 667,0"0".64.10 =⇒=+−⇒=∑ 
kNVV A 667,0"0 −=⇒=∑ 
kNHH A 1"0 −=⇒=∑ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 22 – Decomposição dos esforços – Fase 2 
 
Diagramas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 23 – Diagramas da fase 2 
 
(M2) 
 
(N2) 
 
(V2) 
 
Método das Forças Pórticos 
72 
Cálculo dos deslocamentos 
 
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )[ ]472,41491,0312,50
1332500
14667,040
3
1
45,225,1122667,0
6
1472,4667,0215,112
6
1
31,19448
1
1
⋅⋅−+

⋅⋅⋅


+⋅−+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=QLD
 
 
radxDD QLQL
2
1
52
1 1065,11052,21065,1 −−− =⇒×−×= 
 
( ) ( )( )
( ) ( )[ ]472,4043,1312,50
1332500
1
45,225,1122667,2
6
14667,240
3
1472,4667,25,112
3
1
31,19448
1
2
⋅⋅−+




⋅−⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=QLD
 
mxDD QLQL
2
2
42
2 1086,41076,11088,4
−−−
=⇒×−×= 
 
 
Cálculo dos coeficientes de flexibilidade 
 
( )( )
( )[ ]472,41491,0
1332500
1
4667,0
3
1472,4667,011667,0667,0667,0112
6
1
31,19448
1
2
2
11
⋅+




⋅⋅+⋅⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅=F
 
4
11 1092,1 −= xF 
 
( )[ ]4472,4043,1
1332500
14667,2
3
1472,4667,2
3
1
31,19448
1 222
22 +⋅+



⋅⋅+⋅⋅=F 
3
22 1004,1 −= xF 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ]
4
1221
1221
1061,3
472,4043,11491,0
1332500
1
4667,2667,0
3
1472,4667,021667,2
6
1
31,19448
1
−×==
⋅⋅+




⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅==
FF
FF
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método das Forças Pórticos 
73 
Equação de compatibilidadeDQ = DQL + FQ = 0 
 
 












+





=





−−
−−
−
−
2
1
34
44
2
2
.
1004,11061,3
1061,31092,1
1086,4
1065,1
0
0
Q
Q
xx
xx
x
x
 
 
 
Q1 = 5,545 kN m 
Q2 = -48,656 kN m 
 
 
Estrutura Hiperestática 
 
 
VA = VAL + VA’.Q1 + VA”.Q2 
VA = 56,25 - 0,1667 . 5,545 + (- 0,6667) . (- 48,656)) 
VA = 87,76 kN 
 
VC = VCL + VC’.Q1 + VC”.Q2 
VC = 103,75 + 0,1667 . 5,545 + 0,6667 . (- 48,656) 
VC = 72,24 kN 
 
HA = HAL + HA’.Q1 + HA”.Q2 
HA = -1 - (-48,656) 
HA = 48,656 kN 
 
Estrutura Final 
 
 
Figura 24 – Reações de apoio 
 
 
48,656kN 
72,24kN 
48,656kN 
87,76kN 
 5,545kNm 
Método das Forças Pórticos 
74 
 
Diagramas Finais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 25 – Diagramas de força normal, força cortante e momento fletor 
 
48,656kN 
 100,21kN 
37,76kN 
42,24kN 
1,89m 
4,27kN 
 13,55kNm
 13,55kNm 
 22,11kNm 
 5,545kNm 
 M 
 
 V 
 
 N 
Método das Forças Pórticos 
75 
α
EXEMPLO3: Calcular o pórtico da figura abaixo pelo método das forças considerando: 
(1) As deformações devidas ao momento fletor, força cortante e força normal. 
(2) Apenas as deformações devidas ao momento fletor e à força normal. 
(3) Apenas as deformações devidas ao momento fletor. 
 
Adotar como incógnitas redundantes o momento no apoio A (Q1) e o momento fletor na 
extremidade B da barra AB (Q2) . 
 
Dados: 
- Seção transversal retangular constante: b=20cm; h=40cm 
- Módulo de elasticidade: E=3,0x107 kN/m2 
- Coeficiente de Poisson: ν = 0,2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 26 – Pórtico plano 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 27 - Estrutura isostática fundamental (E.I.F) 
 
 
 
Método das Forças Pórticos 
76 
Propriedades Geométricas do Pórtico e da Seção Transversal 
 
43
3
100667,1
12
)40,0(20,0
mI −⋅=⋅= 
208,040,020,0 mA =⋅= 
75=
I
A
 
sendo E=constante ⇒ EA = 75EI 
 
o310,11
5
1
tan =





= Arcα 
196116,0)(
98058,0)(
=
=
α
α
Sen
Cos
 
Seção retangular ⇒ fs = 1,2 
( ) 4,2
E
12
EG =
υ+
= ( ) EI25,31I75
4,2
EGA =





= 
Comprimento da Barra BC = m
Cos
lBC 099,5
5
==
α
 
Fase L 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 28 – Fase L 
 
Reações de Apoio: 
 
∑ =⇒=⋅= 0030)( AAABB HHM 
 
∑ =⇒−== 00 CCA HHHH 
 
∑ =⇒=⋅⋅−⋅= kNVVM AAC 40,860362450 
 
∑ =⇒=⋅−+= kNVVV CC 60,57024640,860 
Método das Forças Pórticos 
77 
Diagramas da Fase L 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 29 – Diagrama de força normal, força cortante e momento fletor – Fase L 
 
Fase 1 (Q1=1; Q2=0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 30 – Fase 1 
 
Reações de Apoio: 
∑ =⇒=⋅−= 3
10310)( AA
AB
B HHM 
∑ −=⇒−== 3
10 CCA HHHH 
∑ =⇒=⋅−+⋅= 15
104
3
1150 AAC VVM 
∑ −=⇒−== 15
10 CCA VVVV 
 
A 
 
 A 
A 
 
 B B 
 
 B 
 
C 
 
C 
C 
D 
D 
D 
NL 
VL 
ML 
Método das Forças Pórticos 
78 
Diagramas da Fase 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 31 – Diagramas de força normal, força cortante e momento fletor – Fase 1 
 
 
 
Fase 2 (Q1=0; Q2=1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 32 – Fase 2 
 
 
 
 
 A 
 
 
 A 
 A 
 B 
B 
 B 
 C C 
 C 
 D D 
 D 
N1 V1 
M1 
Método das Forças Pórticos 
79 
Reações de Apoio: 
∑ −=⇒=+⋅= 3
10130)( AA
AB
B HHM 
∑ =⇒−== 3
10 CCA HHHH 
∑ −=⇒=−+⋅





−−⋅=
15
40114
3
150 AAC VVM 
∑ =⇒−== 15
40 CCA VVVV 
 
 
Diagramas da Fase 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 33 – Diagramas de força normal, força cortante e momento fletor – Fase 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
N2 
V2 
M2 
 A 
 B 
 C 
 D 
 A 
 B 
 C 
 D 
 A 
 B 
 C 
 D 
Método das Forças Pórticos 
80 
Fase Final 
 
(1) Considerando as deformações devidas ao momento fletor, força cortante e força normal. 
 
• Cálculo do Vetor DQL: 
 
111
111
1 QLQLQL
L
S
LL
QL DDDdxGA
vVfdx
EA
nNdx
EI
mMD ′′′+′′+′=++= ∫∫∫ 
222
222
2 QLQLQL
L
S
LL
QL DDDdxGA
vVfdx
EA
nNdx
EI
mMD ′′′+′′+′=++= ∫∫∫ 
 
 
Influência do Momento Fletor: 
 
01 =′QLD 
 
EIEI
DQL
079,107099,510,75
3
1099,51)12(
3
1012 =



⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅+=′ 
 
 
− Influência da Força Normal: 
 
( ) ( )
EAEA
DQL
095,18099,524,1230,1134,0
2
13
15
140,8611 =





⋅−⋅−+⋅




 −
⋅−=′′ 
 
( )( )
EAEA
DQL
028,70099,530,1124,12379,0
2
13
15
440,8612
−
=





⋅+−+⋅





⋅−=′′ 
 
− Influência da Força Cortante: 
 
01 =′′′QLD 
 
( )( )
GAGA
DQL
820,2099,548,5618,611961,0
2
112,12
−
=



⋅−−⋅=′′′ 
 
Portanto: 
 
EIEIEA
DQL
241,0
75
095,180095,1801 ==++= 
 
EIEIEIEIGAEAEI
DQL
055,106
25,31
820,2
75
028,70079,107820,2028,70079,107
2 =−−=−−= 
Método das Forças Pórticos 
81 
Cálculo da Matriz F: 
 
( ) ( ) ( )
111111
2
1
2
1
2
1
11 FFFdxGA
vfdx
EA
ndx
EI
mF S ′′′+′′+′=++= ∫∫∫ 
 
212121
212121
1221 FFFdxGA
vvfdx
EA
nndx
EI
mmFF S ′′′+′′+′=++== ∫∫∫ 
 
( ) ( ) ( )
222222
2
2
2
2
2
2
22 FFFdxGA
vfdx
EA
ndx
EI
mF S ′′′+′′+′=++= ∫∫∫ 
 
 
- Influência do Momento Fletor: 
 
( )
EIEI
F 130,1
3
11 2
11 =



⋅=′ 
 
EIEI
F
2
1311
6
11
21 =



⋅⋅⋅=′ 
 
( ) ( )
EIEI
F 6997,2099,50,1
3
130,1
3
11 22
22 =



⋅+⋅=′ 
 
 
− Influência da Força Normal: 
 
( )
EAEA
F 6028,0099,5340,03
15
11 2
2
11 =








⋅−+⋅




 −
=′′ 
EAEA
F 7104,0099,5379,0340,03
15
4
15
11
21
−
=



⋅⋅−⋅⋅−=′′ 
 
( )
EAEA
F 9458,0099,5379,03
15
41 2
2
22 =








⋅+⋅





=′′ 
 
 
− Influência da Força Cortante: 
 
GAGA
F 40,03
3
12,1 2
11 =








⋅




 −
=′′′ 
 
GAGA
F 40,03
3
1
3
12,1
21
−
=




⋅










 −
=′′′ 
 
 
 
Método das Forças Pórticos 
82 
( )
GAGA
F 6353,0099,51961,03
3
12,1 2
2
22 =








⋅−+⋅





=′′′ 
 
 
Somando as três contribuições: 
 
EIEIEIEIGAEAEI
F 02084,1
25,31
40,0
75
6028,0140,06028,01
11 =++=++= 
 
EIEIEIEIGAEAEI
F 47773,0
25,31
40,0
75
7104,0
2
140,07104,0
2
1
21 =−−=−−= 
 
EIEIEIEIGAEAEI
F 73264,2
25,31
6353,0
75
9458,06997,26353,09458,06997,2
22 =++=++= 
 
 
• Solução do Sistema de Equações (Cálculo das Redundantes): 
 
 
QFDD QLQ += 
 






=
055,106
241,0
EI
1
QLD 





=
73264,247773,0
47773,002084,1
EI
1F 
 






−
=
224,42
523,19Q kN.m 
 
 
 
(2) Considerando apenas as deformações devidas ao momento fletor e à força normal. 
 
 
• Solução do Sistema de Equações: 
 
 
QFDD QLQ += 
 






=
145,106
241,0
EI
1
QLD 





=
71231,249053,0
49053,000804,1
EI
1F 
 






−
=
862,42
611,20Q 
 
 
 
 
 
Método das Forças Pórticos 
83 
(3) Considerando apenas as deformações devidas ao momento fletor. 
 
 
• Solução do Sistema de Equações: 
 
 
QFDD QLQ += 
 






=
079,107
0
EI
1
QLD 





=
6997,25,0
5,01
EI
1F 
 






−
=
711,43
856,21Q 
 
 
 
Comparação dos Resultados 
 
 
Resumo dos Resultados 
 Flexão + Axial 
+ Cisalhamento 
Flexão + Axial Flexão 
Q1 19,523 20,611 21,856 kNm 
Q2 -42,224 -42,862 -43,711 kNm 
 
 
• Erros considerando apenas deformações devidas à flexão: 
 
%95,11100
523,19
523,19856,21%1 =×
−
=∆Q 
 
%66,3100
224,42
224,42711,43%2 =×
−
+−
=∆Q 
 
 
• Erros considerando deformações devidas à flexão e à força axial: 
 
%57,5100
523,19
523,19611,20%1 =×
−
=∆Q 
 
%51,1100
224,42
224,42862,42%2 =×
−
+−
=∆Q 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método das Forças 
 
Exemplos de Aplicação em Grelhas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método das Forças Grelhas 
87 
EXEMPLO1: Calcule os esforços na grelha abaixo usando o Método das Forças. 
Despreze as deformações devidas à força cortante. 
 
 
 
 
Figura 1 – Grelha 
 
 
 
Estrutura Isostática Fundamental 
 
Figura 2 – Estrutura Isostática Fundamental 
 
 
Fase L 
 
 
Figura 3 – Fase L 
 
 
 
 
Método das Forças Grelhas 
 
88 
Fases 1, 2 e 3 
 
 
 
Figura 4 – Fases 1, 2 e 3 
 
Momentos Fletores 
Método das Forças Grelhas 
89 
Momentos de Torção 
 
 
 
Cálculo dos Deslocamentos 
 
 
dx
GJ
tTdx
EI
mMD LLQL ∫∫ += 111
..
 
 
( )( ) ( )( ) ( )( ){ }0,3.0,19010,3.0,15,22
3
20,3.0,190
2
11
1 −+






+−=
GJEI
DQL 
 
EIEIGJEI
DQL
4059027090
1 −−=−−= 
 
EI
DQL
495
1 −= 
 
dx
GJ
tTdx
EI
mMD LLQL ∫∫ += 222
..
 
 
( )( ) 00,3.0,1180.
2
11
2 +






−−=
EI
DQL 
 
EI
270D 2QL = 
dx
GJ
tTdx
EI
mMD LLQL ∫∫ += 333
..
 
 
Método das Forças Grelhas 
 
90 
( )( ) ( )( ) ( )( )( )
( )( ){ }0,3.0,3901
0,30,3180.
3
10,3.0,35,22.
3
10,3.900,3.
3
11
3
−−+






−−+−+−−=
GJ
EI
DQL
 
 
EIEIGJEI
DQL
12155,7428105,742
3 +=+= 
 
EI
DQL
5,1957
3 = 
 
 
Cálculo dos coeficientes de Flexibilidade 
 
dx
GJ
tdx
EI
mF ∫∫ +=
2
1
2
1
11 
 
( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ){ }0,30,10,30,110,30,10,30,11 222211 −+++= GJEIF 
 
EIEIGJEI
F 966611 +=+= EI
F 1511 = 
 
dx
GJ
ttdx
EI
mmFF ∫∫ +== 21211221
..
 0001221 =+== FF 
 
dx
GJ
ttdx
EI
mm
FF ∫∫ +== 13131331
..
 
 
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ){ }0,3.0,30,10,3.0,30,110,3.0,30,1
2
10,3.0,30,1
2
11
1331 +−+






+−==
GJEI
FF 
0001331 =+== GJEI
FF 
 
dx
GJ
tdx
EI
mF ∫∫ +=
2
2
2
2
22 
 
( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ){ }0,30,10,30,110,30,10,30,11 222222 +++−= GJEIF 
 
EIEIGJEI
F 966622 +=+= 
 
 
EI
F 1522 = 
 
Método das Forças Grelhas 
91 
dx
GJ
ttdx
EI
mm
FF ∫∫ +== 32323223
..
 
 
GJEI
FF 093223 +== EI
FF 92332 == 
 
dx
GJ
tdx
EI
m
F ∫∫ +=
2
3
2
3
33 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ){ }0,30,30,30,31
0,30,3
3
10,30,3
3
10,30,3
3
10,30,3
3
11
22
2222
33
−+−+






+++−+−=
GJ
EI
F
 
 
EIEIGJEI
F 8136543633 +=+= EI
F 11733 = 
 
 
Fase Final 
 









 −
=
5,1957
270
495
EI
1DQL 












=
11790
9150
0015
1
EI
F 
 
 
Condições de Compatibilidade: 












=
0
0
0
QD 
 
Resolvendo o sistema de equações: 
 
DQ = DQL + F.Q = 0 
 
DQL + F.Q = DQ 
 
Obtém –se: 
 
Q1 = 33,0 kN.m 
Q2 = -8,35 kN.m 
Q3 = -16,09 kN.m 
 
Método das Forças Grelhas 
 
92 
EXEMPLO2: Calcular as reações de apoio da grelha da figura abaixo através do 
método das forças. 
 
Dados: E = constante. 
 G = E / 1,5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5 – Grelha vista superior (Planta) 
 
Propriedades Geométricas das Seções 
3bhJ ⋅⋅= β 





−−= 4
4
12
121,0
3
1
h
b
h
bβ 
- Barras AB e CD: 
140833,0
12
1121,0
3
1
=





−−=⇒= βhb 
43 140833,0140833,0 hJbhJ ABAB ⋅=⇒⋅⋅= 
1212
43 hhbI AB ⇒
⋅
= 
ABAB
AB
AB IJ
h
h
I
J 69,169,112140833,0 4
4
=⇒=⋅⋅= 
 
- Barra BC: 
( )
( ) 22888,030,012
15,01
30,0
15,021,0
3
1
4
4
=







−−=β 
( ) 43 10317412,215,030,022888,0 −×=⋅⋅=BCJ 
Método das Forças Grelhas 
 
93 
ABBC
AB
BC IJ
I
J
⋅=⇒= 34332,034332,0 
( )
212
30,015,0 3 AB
BC
II =⋅= 
 
Estrutura Isostática Fundamental 
 
Devido à simetria do problema, tem-se que a força cortante e o momento torçor são nulos na 
seção de simetria. Apenas o momento fletor é diferente de zero nesta seção. Portanto, 
lançando mão desta característica, a estrutura isostática fundamental pode sertomada como a 
apresentada na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6 – Estrutura isostática fundamental – E.I.F. 
 
Fase L 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 7 – Fase L 
 
 
Método das Forças Grelhas 
 
94 
Por equilíbrio tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 8 – Equilíbrio das barras e nós 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9 - Decomposição dos momentos na barra AB 
 
Diagramas 
Força cortante Momento torçor Momento fletor 
 
 
 
 
 
 
 
Método das Forças Grelhas 
 
95 
Fase 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 10 – Fase 1 
 
 
 
 
 
Figura 11 - Equilíbrio e Decomposição dos Momentos na Barra AB 
 
Diagramas 
Força cortante Momento torçor Momento fletor 
 
 
 
 
Método das Forças Grelhas 
 
96 
Cálculo dos Deslocamentos 
 
∫∫ += dxGJ
tTdx
EI
mMD LLQL 111 
( )( ) ( )( )
( )58,06401
39001
3
11548044806,0
2
11
1
⋅⋅+




⋅−−+





⋅−−−=
AB
BEAB
QL
GJ
EIEI
D
 
ABABABABABBEAB
QL EIEIEIEIGJEIEI
D 189,51211
69,1
25605,19002744025609007440
1 =
×
×
+
×
+=++= 
 
Cálculo dos coeficientes de flexibilidade 
 
( )[ ] ( ) ( )[ ]58,0131156,01 22211 ⋅+⋅+⋅−=
ABBEAB GJEIEI
F 
ABABABABABBEAB EIEIEIEIGJEIEI
F 640,10
69,1
2,35,1328,12,338,1
11 =
⋅
⋅
+
⋅
+=++= 
 
Fase Final 
AB
QL EI
D 189,512111 = 
ABEI
F 640,1011 = 
11111 QFDD QLQ += 
 
 
kNm
EI
EIQ
AB
AB 973,0811189,51211
640,101
−=




−
= 
 
Cálculo das reações de apoio 
QMMM AYQAYLAY ⋅+= 
( ) ( )973.081113200 −⋅−+−=AYM 
mkNM AY ⋅−= 0,1182 
QMMM AXQAXLAX ⋅+= 
( ) ( )973.081103200 −⋅+=AXM 
mkNM AY ⋅= 2003 
QVVV AQALA ⋅+= 
( ) ( )973.08110800 −⋅+=AV 
kNVA 800= 
Por simetria: 
mkNM
mkNM
kNV
DY
DX
D
⋅−=
⋅=
=
0,1182
2003
800
 
Método das Forças Grelhas 
 
97 
EXEMPLO3: Calcular a grelha abaixo considerando o carregamento indicado, sendo a 
altura das barras h = 0,60 m. Considerar como incógnitas redundantes os momentos 
reativos no apoio C. 
 
 
Figura 12 – Grelha 
 
 
Estrutura Isostática Fundamental 
 
Figura 13 – Estrutura Isostática Fundamental 
 
 
 
Fase L 
 
Figura 14 – Fase L 
 
5,1=
GJ
EI
2323... =−+=EIG
Método das Forças Grelhas 
 
98 
0,2
8
44
3 =
⋅
=RLA 
6,903626)48()62(10 11 =⇒=⋅⋅−⋅+−⋅+⋅ RLRL AA 
4,1226,9)6248(2 =−−⋅++=RLA 
 
Diagramas da Fase L 
 
Barra AB: 
- Momento torçor: nulo. 
- Momento fletor: 
 
Barra DC: 
- Momento torçor: nulo. 
- Momento fletor: 
 
Figura 15 – Diagramas de momentos fletor e torçor – Fase L 
 
Fase 1 )0;1( 21 == QQ 
 
Figura 16 –Fase 1 
Método das Forças Grelhas 
 
99 
Diagramas da Fase 1 
 
Barra AB: 
- Momento torçor: nulo. 
- Momento fletor: 
 
Barra CD: 
- Momento fletor: nulo. 
- Momento torçor: 
 
 
Figura 17 – Diagramas de momentos fletor e torçor – Fase 1 
 
 
 
Fase 2 )1;0( 21 == QQ 
 
 
Figura 18 – Fase 2 
 
 
Método das Forças Grelhas 
 
100 
Diagramas da Fase 2 
 
Barra AB: 
- Momento torçor: nulo. 
- Momento fletor: 
 
Barra DC: 
- Momento torçor: nulo. 
- Momento fletor: 
 
 
Figura 19 – Diagramas de momentos fletor e torçor – Fase 2 
 
 
Cálculo dos Deslocamentos 
EIEI
DQL
4,3669
10
6
3
164,38
10
6
3
14
10
44,38
3
11
1
−
=





⋅⋅





−⋅+⋅⋅





−⋅+⋅⋅⋅= 
EIEI
DQL
8,5941
2
128
6
14
2
18
3
169
10
3
3
16
10
34,38
3
14
10
34,38
3
11
2 =





⋅





+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅= 
 
Cálculo dos Coeficientes de Flexibilidade 
( )
EIEIEIGJEI
F 9333,125,189333,08116
10
6
3
14
10
4
3
11 2
22
11 =
⋅
+=⋅+








⋅





−⋅+⋅





⋅= 
( )
EIGJEI
FF 2,00106
10
3
10
6
3
14
10
3
10
4
3
11
2112 −=+





+⋅





⋅





−⋅+⋅





⋅





⋅== 
( ) ( )
EIGJEI
F 9667,20181
3
16
10
3
3
14
10
3
3
11 2
22
22 =+








⋅⋅+⋅





⋅+⋅





⋅= 
 
 
Método das Forças Grelhas 
 
101 
Equação de Compatibilidade 
 
QFDD QLQ += 
( )QLQ DDFQ −= −1 
 





−
=
8,59
4,361
EI
DQL 






−
−
=
9667,22,0
2,07667,121
EI
F 






=
−
33743,000522,0
00522,007740,01 EIF 
 
Assim sendo, 
mtQ ⋅= 5053,21 
mtQ ⋅−= 9884,192 
 
Cálculo das Reações de Apoio 
 
QAAA RQRLR ⋅+= 










=
2
4,12
6,9
RLA 










−
−=
125,00
05,01,0
075,01,0
RQA 





−
=
9884,19
5053,2Q 
 






−
⋅










−
−+










=
9884,19
5053,2
125,00
05,01,0
075,01,0
2
4,12
6,9
RA 










=
499,4
150,11
351,8
RA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método das Forças 
 
Exemplos de Aplicação em Estruturas Sujeitas 
a Variação de Temperatura e/ou Recalques de 
Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método das Forças Vigas 
105 
EXEMPLO1: A viga principal de uma ponte, já executada, simplesmente apoiada nos 
topos dos pilares A, B e C, sofreu recalques (verticais para baixo) nas fundações dos 
pilares B e C, localizadas no leito do rio, de 1,5 cm e 0,8 cm respectivamente. Avalie os 
esforços introduzidos na estrutura em decorrência destes recalques, usando o método 
das forças, determinando as reações de apoio e traçando os diagramas de forças 
cortantes e momentos fletores. 
 
Dados: E=3x107 kN/m2 
 
 
 
Seção Transversal 
 
Figura 1 – Viga principal de uma ponte 
 
 
 
 
Figura 2 – Viga contínua 
 
 
Grau de Indeterminação Estática: 1 
 
DQ1 = -0,015 m 
 
 
Figura 3 - Estrutura isostática fundamental – E.I.F. 
 
 
 
 
 
 
Método das Forças Vigas 
106