segunda lista fisica

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Universidade Federal do Ceará – UFC 
Dep. de Integração Acadêmica e Tecnológica – DIATEC 
Física Fundamental – Vetores 
Prof. Luís Gonzaga 
luisgonzaga@fisica.ufc.br 
 
1. O objetivo de um navio é chegar a um ponto situado 120 Km ao norte do ponto de partida, mas uma tempestade 
inesperada o leva para um local situado 100 km a leste do ponto de partida. (a) Que distância o navio deve percorrer e 
(b) qual rumo deve tomar para chegar ao destino? 
2. Uma espeleóloga está pesquisando uma caverna. Ela percorre 180 m em linha reta de leste para oeste, depois caminha 
210 m em uma direção formando 45o com a direção anterior e sentido do sul para o leste; a seguir, percorre 90 m a 30o 
no sentido do norte para o oeste. Depois de um quarto deslocamento não medido, ela retorna ao ponto de partida. (a) 
Use um diagrama em escala para determinar o módulo, a direção e o sentido do quarto deslocamento. (b) Use o método 
de componentes para determinar o módulo, a direção e o sentido do quarto deslocamento. 
3. Um professor de física desorientado dirige 3,50 Km do sul para o norte, depois 4,90 Km de leste para oeste, a seguir 8,20 
Km fazendo 65o no sentido do oeste para o sul. Determine o módulo, a direção e o sentido do deslocamento resultante 
(a) usando o método dos componentes e (b) usando o diagrama em escala. 
4. Dois adultos e uma criança desejam empurrar uma caixa apoiada sobre rodas no sentido x, indicado na figura 04, os dois 
adultos empurram com forças F1 e F2 conforme mostra a figura. Determine o módulo, a direção e o sentido da menor 
força que a criança deve exercer. A força de atrito é desprezível. 
5. A figura 05 mostra a vista superior de um disco de massa 5,00 kg sobre uma plataforma horizontal sem atrito sujeito à 
ação de três forças, sendo duas delas representadas no sistema de coordenadas x0y. A forças F1 e F2 possuem 
intensidades 20,0 N e 15,0 N, respectivamente. (a) Qual o módulo, direção e sentido da terceira força sabendo - se que 
o disco está em repouso? (b) Qual o módulo, direção e sentido da terceira força sabendo - se que o disco possui uma 
aceleração constante de módulo 6,00 m/s2, direção x e sentido x > 0? 
6. A bússola de um avião mostra que ele se desloca do sul para o norte, e seu indicador de velocidade do ar mostra que 
ele está se movendo no ar com velocidade igual a 240 Km/h. (a) Se existe um vento de 100 Km/h de oeste para leste, 
qual é a velocidade do avião em relação à Terra? (b) Em que direção o piloto deve inclinar o avião para que ele siga de 
sul para o norte? Qual seria então sua velocidade em relação à Terra? 
7. São dados dois vetores: A = (4,0 m)i – ( 3,0 m)j e B = (5,0 m)i + (6,0 m)j. Determine o módulo e o ângulo de direção 
medido em relação ao eixo x > 0, das seguintes operações vetoriais: (a) A + B, (b) A – B, (c) B – A e (d) 2A – B. 
8. Dado dois vetores A = (4,5 m)i + (1,2 m)j + (1,6 m)k e B = (2,4 m)i – (1,6 m)j + (5,2)k, no espaço tridimensional. Determine 
para os vetores A e B (a) os ângulos de direção (α, β, γ) com os eixos (x, y, z), respectivamente, (b) o ângulo entre eles, 
(c) o produto vetorial C = A x B e (d) o módulo de C. 
9. Um estudante decide ir à sua lanchonete favorita na vizinhança. Ele sai do apartamento e toma o elevador para descer 
20 andares, 4,00 metros/andar, e depois segue 15,0 m ao sul, até a saída do prédio. Então, caminha 0,200 km a leste, 
vira para o norte e segue 0,100 Km até a entrada da lanchonete. (a) Qual o deslocamento desde o apartamento até a 
lanchonete? (b) Qual a distância percorrida desde o apartamento até a lanchonete? 
10. Dado dois vetores A e B mostre que, se o vetor soma (S = A + B) é perpendicular ao vetor diferença (D = A – B), então os 
seus módulos são iguais. 
11. Dado dois vetores A e B seja S = A + B o vetor soma e D = A – B, o vetor diferença. Usando operações vetoriais mostre 
que: 𝑆 = √𝐴2 + 𝐵2 + 2𝐴𝐵 cos 𝜃 e 𝐷 = √𝐴2 + 𝐵2 − 2𝐴𝐵 cos 𝜃, onde θ é o ângulo entre os vetores A e B. 
12. Considere os vetores 𝐴 = 2𝑖̂ + 3𝑗̂ − 5�̂� e �⃑⃑� = 6𝑖̂ − 4𝑗̂ + 3�̂� representados em termos de seus vetores unitários i,j e k. 
Represente os vetores em termos (a) de seu módulo e dos ângulos de Euler (α, β e γ), (b) de seu módulo e dos ângulos 
em coordenadas esféricas, (c) de suas projeções, no eixo z, plano xy e do ângulo em coordenadas cilíndricas. 
13. (a) Dado os vetores 𝐴 = 2𝑖̂ + 3𝑗 ̂e �⃑⃑� = 3𝑖̂ − 8𝑗̂, encontre um vetor 𝐶, tal que 𝐴 + �⃑⃑� + 𝐶 = 0. (b) Represente os vetores 
num sistema de coordenadas cartesianas. (c) Calcule a seguinte operação vetorial: 𝐶 ∙ (𝐴𝑥�⃑⃑�). 
 
 
 
 
 
14. Na figura 14, um paralelepípedo de dimensões AB = 40,0cm, AE = 20,0 cm e AC = 30,0 cm, têm o vértice C posicionado 
na origem do sistema de coordenadas xyz. (a) Em termos dos vetores unitários represente os seguintes vetores: 
𝐴𝐻⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑, 𝐷𝐺⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ , 𝐵𝐺⃑⃑⃑⃑ ⃑⃑ e 𝐻𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑. (b) Qual o ângulo formado entre os vetores 𝐴𝐻⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑e 𝐷𝐺⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ;𝐵𝐺⃑⃑⃑⃑ ⃑⃑ e 𝐻𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑. (c) Encontre o vetor 𝐶𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑ através de uma 
expressão envolvendo o produto vetorial de dois outros vetores representados no paralelepípedo. 
15. O vetor A da figura 15 tem componentes cartesianas Ax e Ay. Ao ser girado de um ângulo θ, ele se transforma no vetor 
A’. Quais são os componentes do vetor A’ em termos das componentes Ax e Ay e do ângulo θ? 
16. No sistema de coordenadas x0y, o vetor A possui componentes Ax e Ay, conforme mostra a figura 16. Calcule as 
componentes Ax’ e Ay’ do vetor A no sistema de coordenadas x’0y’ em termos das componentes Ax, Ay e do ângulo θ. 
17. Imagine a simples tarefa de trocar o pneu de um carro, figura 10. A experiência mostra que, quanto maior a distância r 
do eixo de rotação ao ponto de aplicação da força, menos esforço você fará para afrouxar o parafuso; e quando o ângulo 
θ, entre a linha de ação da força e a distância r for próximo de 90o, menos esforço você fará também! (a) Que grandeza 
física deverá ser aplicada na porca para afrouxa – la em relação ao eixo do parafuso? (b) Qual a natureza dessa grandeza? 
Escalar ou vetorial? (c) Represente essa grandeza em termos de uma operação vetorial envolvendo os vetores r e F. 
18. Um bombeiro hidráulico, incapaz de afrouxar a conexão de um tubo, encaixa um pedaço de cano de ferro “uma 
alavanca” sobre a haste da chave de grifo. A seguir ele usa todo seu peso (900N) ficando em pé na extremidade da 
alavanca. Sabendo – se que o eixo de alavanca faz um ângulo de 19o com a horizontal, figura 18, calcule a intensidade, 
direção e sentido do torque que ele aplica em torno do centro da conexão do tubo. 
19. Considere os vetores A, B e C, dispostos sobre as arestas de um paralelepípedo obliquo, de acordo com figura 11. (a) 
Mostre que o volume do paralelepípedo pode ser representado pela seguinte expressão A · B x C, denominada produto 
triplo escalar. (b) Mostre que o produto triplo escalar pode ser representado por meio do determinante de uma matriz 
3x3, onde os elementos da matriz são os componentes dos vetores A,B e C. 
20. Uma partícula de massa m e carga elétrica q atravessa uma região de campo magnético uniforme B, com uma velocidade 
v constante, perpendicular à direção do campo, figura 12. (a) Mostre que a massa da partícula pode ser determinada 
medindo – se o raio de sua trajetória circular, uma vez conhecido as grandezas v, B e q. 
21. Uma partícula de carca elétrica 2,0 unidades (S.I), penetra numa região de um campo magnético B = Bxi+ Byj + Bzk com 
velocidade v = 2,0i + 4,0j + 6,0k. O campo magnético exerce sobre ela uma força F = 4,0i – 20j +12k. (a) Determine B em 
termos de suas componentes cartesianas. (b) Qual o ângulo que o vetor velocidade v faz com o campo magnético B? 
Considere Bx = By. 
22. Considere o triângulo formado pelos vetores A, B e C da figura 22. (a) Mostreque a área do triângulo pode ser dada 
por: 𝐴𝑇 = 
1
2
|𝐴𝑥�⃑⃑�| = 1
2
|𝐴𝑥𝐶| = 1
2
|�⃑⃑�𝑥𝐶|. (b) Mostre que:
|𝐴|
sin 𝑎
=
|�⃑⃑�|
sin 𝑏
=
|𝐶|
sin 𝑐
. 
23. Um estudante de engenharia deseja fazer um estudo sobre o tráfego de veículos nas principais avenidas que ligam os 
bairros da cidade de Fortaleza. Para isso ele faz um voo de helicóptero sobre a cidade. Partindo de um heliporto 
localizado no centro da cidade ele realiza três deslocamentos sucessivos, para o registro de imagens de alguns bairros. 
O mapa de trajeto segue aproximadamente as seguintes coordenadas: 13,8 Km, 40o ao sul do leste; 17,1 Km, 15o, ao sul 
do oeste; 10,5Km ao norte. (a) Localize no mapa de Fortaleza os bairros onde foram feitos os registros. (b) A partir do 
último bairro visitado, quais devem ser as coordenadas de voo para que o estudante retorne ao ponto de partida? 
Atenção: Considere a escala do mapa 2,0 cm – 3,0 Km, e cada quadriculado possui área de 1,00 cm2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURAS 
 
 
 FIGURA 04 FIGURA 05 FIGURA 12 
 
 
 FIGURA 14 FIGURA 15 FIGURA 16 
 
 
 FIGURA 17 FIGURA 19 
 
 
 FIGURA 18 FIGURA 22 
 
 
 
 
 
 
Mapa da cidade de Fortaleza 
 
 
 
 
 
ATENÇÃO! Não reduza a área do mapa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
01. (a) 156 Km; (b) 50,2o (oeste – norte) ou 39,8 (norte – oeste). 
02. (a) desenho; (b) D = 104 m e θ = 43o. 
03. (a) 9,3 Km e 25o (oeste – sul); (b) desenho. 
04. (17 N)j. 
05. (a) 28,9 N; (b) 69,3o; (c) 33,5 N; (d) – 53,7o. 
06. (a) 260 Km/h; (b) 25o (norte – oeste); 218 Km/h. 
07. (a0 9,50; 18,4o; (b) 9,1; - 96,3o; (c) 9,1; 83,7o; (d) 12,4; 104o. 
08. (a) alfa, beta, gama → A (23,8o; 75,9o; 71,0o); B (66,2o; 106o; 29,1o); (b) 54o; (c) C = 8,80i – 19,6j – 10,1k; (d) 23,7. 
09. (a) 232 m; (b) 395 m. 
10. Algébrica. 
11. Algébrica. 
12. (a) 6,16; 61o; 71o; 144o; 7,81; 40o; 121o; 67o; (b) 6,16; 144o; 67o; 7,81; 67o; 33o; (c) – 5; 3,60; 57o; 3; 7,2; 33o. 
13. (a) -5i +5j; (b) gráfico; (c) zero. 
14. (a) AH = 20i + 40j – 30k; DG = 20i – 40j; BG = 20i – 40j – 30k; HB = - 20i + 30j; (b) 120o; 132o; (c) CA = 0,0375 (CG X 
CD). 
15. A’X = AX cosθ – Ay senθ; A’y = Ax senθ + Ay cosθ. 
16. A’X = AX cosθ + Ay senθ; A’y = – Ax senθ + Ay cosθ. 
17. (a) torque; (v) vetorial; (c) 𝜏 = 𝑟𝑥�⃑�. 
18. 680 N∙m; perpendicular ao plano do papel apontando para dentro ⨂. 
19. Demostração. 
20. 𝑚 = (𝑞𝐵
𝑣
)𝑅. 
21. �⃑⃗� = −3𝑖̂ − 3𝑗̂ − 4�̂�. 
22. Demostração. 
23. Desenho.