VETORES E CINEMÁTICA VETORIAL

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Física – Prof. Augusto Melo 
DATA: NOME: 
Vetores e Cinemática Vetorial 
Parte I – Vetores 
 
Introdução: 
 
Imagine-se de pé em um ponto da sala e obedecendo ao 
seguinte comando: dê 3 passos a partir do local em que se 
encontra; posteriormente, dê mais 4 passos e, por último, mova-
se mais 5 passos. Após efetuar esses movimentos, é possível 
responder a quantos passos você estaria da posição inicial? 12 
passos? 2 passos? 
 
No mesmo local em que iniciou a caminhada? As opções 
anteriores são apenas três de inúmeras possíveis respostas para 
essa situação. Uma resposta seguramente correta só pode ser 
dada com o conhecimento de uma informação fundamental: 
para onde foram dados os passos? Algumas grandezas físicas, 
como o deslocamento, somente ficam bem definidas se 
indicarmos além de seu valor numérico, seguido de sua unidade, 
sua direção e seu sentido. 
Se tais indicações não são feitas, a informação é incompleta 
e, portanto, incorreta. 
Este módulo introduzirá uma ferramenta fundamental – o 
vetor – para o estudo de grandezas físicas que, para ficarem 
completamente definidas, necessitam que sejam especificados 
seu módulo (valor numérico com unidade de medida), sua 
direção e seu sentido. Algumas dessas grandezas físicas você já 
conhece, como a velocidade, o deslocamento, a aceleração e a 
força. 
 
 Grandezas Físicas – Denominamos de grandeza tudo aquilo 
que nos passa uma ideia de quantidade. 
 
Exemplos: Tempo, distância, altura, força, velocidade, etc. 
 
Classificação das grandezas físicas 
 
 Grandeza escalar: Necessita apenas de um valor numérico e 
de sua unidade para ficar totalmente determinada. 
 
Exemplos: 
Tempo: Pela manhã, às 9 h inicia-se a 3ª aula. 
Massa: 1 kg de açúcar. 
 
 Grandeza vetorial: Necessita além do valor numérico e da 
unidade (MÓDULO), de uma DIREÇÃO (reta suporte) e de um 
SENTIDO (para onde?) para ficar totalmente determinada. 
 
Exemplo: Na imagem abaixo, o automóvel desloca-se com 
velocidade de 60 km/h. 
 
 
 Acontece que na imagem temos dois automóveis. De qual 
deles estamos falando? Somente dizer que a velocidade é de 60 
km/h não é o bastante. Precisamos dizer para onde (qual o 
sentido do movimento) o veículo está se movendo. 
 Se dissermos que o veículo está se movendo com velocidade 
de 60 km/h, com sentido de A para B, então estamos falando do 
carro 1, porém se dissermos que o sentido é de B para A, então 
trata-se do carro 2. 
 Sempre que precisamos saber o PARA ONDE a grandeza está 
orientada, então temos uma grandeza do tipo vetorial. Caso a 
pergunta “para onde?” não fizer o menor sentido, então temos 
uma grandeza escalar. 
 Para representarmos as grandezas vetoriais, iremos usar 
conceito de vetor. 
 
Vetor 
 
 Um vetor é um ente matemático que representa todos os 
segmentos orientados com a mesma direção, mesmo sentido e 
mesmo módulo, ou seja, o vetor é representado por uma seta. 
Geometricamente, o tamanho do segmento representa o 
módulo do vetor. 
 
 
A figura acima ilustra o vetor AB que tem direção 
horizontal, sentido da esquerda para a direita e módulo dado 
pelo comprimento AB . O vetor AB também pode ser 
designado por uma única letra minúscula d . 
 
Cuidado! Todo vetor é representado por uma seta (segmento de 
reta orientado), mas nem toda seta representa um vetor. 
 
 Um vetor �⃗� é representado pelo seguimento de reta 
orientado 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ onde A é a origem do vetor e B é a extremidade do 
vetor. 
 
Formas de representação de um vetor 
 
 As setas indicativas da grandeza vetorial colocadas em cima 
do nome do vetor (letra), são sempre na direção horizontal e com 
sentido para a direita, independente do sentido ou direção na 
qual o vetor está posicionado. 
 
Vetor oposto e vetor igual 
 
 O vetor oposto possui mesmo módulo, mesma direção e 
sentido oposto ao vetor de origem. 
 
 
 
 
 
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Vetores e Cinemática Vetorial 
 
 Na representação vetorial, o sinal negativo indica o sentido 
oposto para o vetor. 
 
Importante! 
 
Sentido: para onde aponta. 
• Para cima; 
• Para baixo; 
• Para a esquerda; 
• Para a direita. 
 
Direção: reta suporte. 
• Horizontal; 
• Vertical; 
• Oblíqua. 
 
Representação do vetor nulo 
 
 
Observação: 
 Representação errada do vetor nulo: 
 
 Caso coloque a seta indicativa do vetor, coloque as barras de 
módulo no nome (letra) do vetor. 
 
Operações com vetores 
 
• Adição – método do polígono 
Polígono 
aberto 
 
 A resultante é obtida quando fechamos o polígono. 
 Para diferenciar a resultante dos demais vetores 
componentes da soma, esta deve ser posicionada “invertida” em 
relação aos demais vetores, ou seja, a resultante é o único vetor 
que fica organizado origem com origem e extremidade com 
extremidade. Todos os demais componentes são organizados 
com a extremidade encaixando na origem. 
 A ordem com que os vetores são posicionados não altera a 
resultante. 
 
 
 
 
 Note que embora a forma do polígono fique diferente, a 
resultante (�⃗� ) ficou igual em todos os casos, comprovando que a 
ordem na qual os vetores são posicionados, não altera o valor da 
mesma. 
 A regra do polígono pode ser utilizada na adição de qualquer 
número de vetores, para a sua aplicação, devemos colocar os 
vetores de modo que: 
1) A origem do segundo vetor coincida com a extremidade do 
primeiro; 
2) A origem do terceiro vetor coincida com a extremidade do 
segundo e, assim, sucessivamente. 
3) O vetor soma é determinado ligando-se a origem do 
primeiro à extremidade do último vetor traçado. 
 
 
 
Polígono 
fechado 
 
 
 Quando o polígono fica fechado (todos os vetores encaixados 
com a extremidade de um coincidindo com a origem do outro), a 
resultante é nula. 
 
• Adição – método do paralelogramo 
 
 
 
 
Atenção! A regra do paralelogramo não é a Lei dos cossenos, pois 
tem sinal diferente desta. 
 
 
 
 
0V =
a b c+ =
0a b c+ + =
2 2 2
1 2 1 22 cosRF F F F F = +  +
 
 
 
 
 
3 
Vetores e Cinemática Vetorial 
• Adição de vetores – Lei dos cossenos 
 
 Por isso na regra do paralelogramo o sinal é positivo e na lei 
dos cossenos o sinal é negativo. 
 
 
Casos particulares de adição de vetores 
 
1. Vetores paralelos e de mesmo sentido (𝜃 = 00). 
 
 
2. Vetores paralelos e de sentidos opostos (θ = 1800). 
 
 
3. Vetores ortogonais (θ = 900). 
 
 
Resumo 
 
 
 
Valores máximos e mínimos de adição de vetores 
 
S a b= +
 
S a b= − 
Valor máximo Valor mínimo 
 
 
 
Subtração de vetores 
 
 
 
 
O vetor diferença entre a e b ( d a b= − ) pode ser obtido 
pela soma do vetor a com o oposto de b : 
( )d a b d a b= −  = + − . 
O oposto do vetor b , ou seja, o vetor b− , tem o mesmo 
módulo e mesma direção de b , porém sentido contrário. 
 
A subtração vetorial pode ser feita pela adição do vetor 
oposto do subtraendo ou pelo segmento orientado ligando as 
extremidades dos vetores 
 
Lei dos senos 
 
 
 
Decomposição de vetores 
 
 
 
 
 
1 2RF F F= − ( )1 2RF F F= + −
 
 
 
 
 
4 
Vetores e Cinemática Vetorial 
Versores 
 
Os vetores de bases, chamados de versores, são unitários. 
Usaremos o versor î para a direção horizontal e o versor ĵ para 
a direção vertical, sendo ˆ ˆ 1i j= = . 
 
 
 
 
 
 
Multiplicação de um número real por um vetor 
 
O produto de um número real n , não nulo, por um vetor A 
é um vetor B tal que: 
• Módulo: B n A=  
• Direção: A mesma de A 
• Sentido: O mesmo de A se n for positivo e oposto ao de 
A se n for negativo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
01. (Cesgranrio-RJ) Na figura abaixo estão representados os 
vetores a , b e c e os versores i e j . Assinale a sentença 
errada: 
 
a) 2b j= b) 3a i= 
c) ( )2c i j= + d) c a b= + 
e) 2 2c = 
 
02. Considere um relógio com mostrador circular de 10 cm de 
raio e cujo ponteiro dos minutos tem comprimento igual ao 
raio do mostrador. Considere esse ponteiro como um vetor 
de origem no centro do relógio e direção variável.O módulo 
da soma dos três vetores determinados pela posição desse 
ponteiro quando o relógio marca exatamente 12 horas, 12 h 
e 20 minutos e, por fim, 12 horas e 40 minutos é, em cm, 
igual a: 
a) 30 b) 10 (1 + √3) 
c) 20 d) zero 
 
03. Com seis vetores de módulos iguais a 8 u, construiu-se o 
hexágono regular a seguir. O módulo do vetor resultante 
desses 6 vetores é: 
 
a) 40 u b) 32 u c) 24 u d) 16 u e) zero 
 
04. Na figura abaixo, onde o reticulado forma quadrados de 
lados L = 0,5 cm, estão desenhados 10 vetores contidos no 
plano XY. O módulo da soma de todos esses vetores é, em 
centímetros: 
 
a) 0,0 b) 0,5 c) 1,0 d) 1,5 e) 2,0 
 
05. (UFTMA) A figura apresenta uma “árvore vetorial” cuja 
resultante da soma de todos os vetores representados tem 
módulo, em cm, igual a: 
 
 
 
 
 
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Vetores e Cinemática Vetorial 
 
 
a) 8 b) 26 
c) 34 d) 40 
e) 52 
 
06. (UEPG – PR) Quando dizemos que a velocidade de uma bola 
é de 20 m/s, horizontal e para a direita, estamos definindo a 
velocidade como uma grandeza: 
a) Escalar b) Algébrica 
c) Linear d) Vetorial 
e) n.d.a. 
 
07. As forças F1 , F2 e F3 , cujas intensidades são, 
respectivamente, 2,0 N, 6,0 N e 3,0 N, têm direções 
coincidentes com as arestas de um bloco retangular, 
conforme esquema abaixo. 
 
A intensidade da resultante dessas três forças vale, em 
newtons, 
a) 3,7 b) 5,5 
c) 7,0 d) 9,3 
e) 11 
 
08. (Fatec-SP) No gráfico anexo estão representados três 
vetores a , b e c . Os vetores î e ĵ são unitários. Analise 
as expressões: 
 
(I) ˆ ˆ2 3a i j= + 
(II) ˆ2b j= 
(III) ˆ1b c i+ = + 
Podemos afirmar que: 
a) são corretas apenas a (I) e a (II). 
b) são corretas apenas a (II) e a (III). 
c) são corretas apenas a (I) e a (III). 
d) são todas corretas. 
e) há apenas uma correta. 
 
09. (UECE) Considere as 10 forças representadas pelos vetores 
na figura. 
 
Marque a opção que melhor representa a resultante dessas 
dez forças. 
a) b) 
 
c) 
 
d) 
 
 
10. (UEPG) Sobre os movimentos e suas características, assinale 
o que for correto. 
01. 
O vetor velocidade de uma partícula que executa 
um movimento circular uniforme tem intensidade 
constante. 
02. 
O estado de movimento de um móvel depende do 
referencial adotado. 
04. 
Uma partícula movimentando-se com aceleração 
constante pode, em um dado instante, apresentar 
velocidade nula. 
08. 
Uma roda deslizando sobre um plano inclinado 
executa um movimento rotacional. 
 
11. (FATEC) Duas forças têm intensidades F1 = 10 N e F2 = 15 N. 
O módulo da resultante da soma vetorial desses dois vetores 
não pode ser 
a) 4N b) 10N c) 15N d) 20N e) 25N 
 
12. (UFAL) A localização de um lago, em relação a uma caverna 
pré-histórica, exigia que se caminhasse 200 m numa certa 
direção e, a seguir, 480 m numa direção perpendicular à 
primeira. A distância, em linha reta, da caverna ao lago era, 
em metros, de 
a) 680 b) 600 
c) 540 d) 520 
e) 500 
 
13. (UFAL) Uma partícula está sob ação das forças coplanares, 
conforme o esquema seguinte. A resultante delas é uma 
força, de intensidade, em N, igual a 
 
a) 110 b) 70 
c) 60 d) 50 
e) 30 
 
 
 
 
 
 
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Vetores e Cinemática Vetorial 
14. Um corpo Q está sob a ação simultânea de três forças: duas 
de mesmo módulo F e outra de módulo P. 
 
Sendo sen 37° = 0,60 e cos 37° = 0,80, assinale a resposta que 
apresenta a relação na qual a soma vetorial das três forças 
dadas apresenta uma resultante vertical para cima. 
a) 2 · F · sen 37° = P b) F · sen 37° = P 
c) 2 · F · cos 37° < P d) 2 · F · cos 37° > P 
e) F · cos 37° = P 
 
15. O módulo do vetor soma dos cinco vetores dados na figura a 
seguir vale, em cm, 
 
a) 5 b) 7 
c) 8 d) 10 
e) ZERO 
 
16. Na correção ortodôntica de uma arcada dentária, foi 
passado, num dos dentes caninos, um elástico. As 
extremidades desse elástico foram amarradas a dois 
molares, um de cada lada da arcada, conforme a figura 
abaixo. A tensão no elástico é de 10,0 N e o ângulo formado 
pelas duas partes do elástico é de 90°. Nas figuras 1 e 2 estão 
representadas duas possibilidades para a direção e o sentido 
da força resultante FR, que está atuando sobre o referido 
dente canino. 
 
Assinale a opção na qual se indica, corretamente, a figura 
que representa FR e o valor de sua intensidade. 
a) Figura 1 e 14,1 N b) Figura 2 e 14,1 N 
c) Figura 1 e 10,0 N d) Figura 2 e 10,0 N 
e) Figura 1 e 20 N 
 
17. Dois vetores, M e N são tais que |M| = |N| = M. O vetor M 
é fixo e o vetor N pode girar em torno do ponto O (veja a 
figura) no plano formado por M e N. 
 
Sendo R = M + N, indique, entre os gráficos abaixo, aquele 
que pode representar a variação |R| como função do ângulo 
𝜃 entre M e N. 
 
 
18. A figura seguinte representa um paralelepípedo regular de 
faces paralelas. 
 
Determine o módulo da soma dos vetores A e .B 
a) 10 cm b) 12 cm 
c) √144 cm d) 22 cm 
 
19. A figura mostra 5 forças representadas por vetores de 
origem comum, dirigindo-se aos vértices de um hexágono 
regular. 
 
Sendo 10 N o módulo da força ,CF a intensidade da 
resultante dessas 5 forças é: 
a) 50 N b) 45 N c) 40 N d) 35 N e) 30 N 
 
20. Uma partícula sofre quatro deslocamentos sucessivos 1,d 
2 ,d 3d e 4 ,d representados na figura a seguir. 
 
 
 
 
 
 
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Vetores e Cinemática Vetorial 
O deslocamento resultante d da partícula está descrito 
corretamente em 
a) ˆ ˆ4 2d i j= − + b) ˆ ˆ2 4d i j= − + 
c) ˆ ˆ2 4d i j= + d) ˆ ˆ4 2d i j= + 
e) ˆ ˆ4 4d i j= + 
 
 
GABARITO 
01 02 03 04 05 
D D B E D 
06 07 08 09 10 
D C D B 07 
11 12 13 14 15 
A D D D A 
16 17 18 19 20 
A B C E D 
 
Parte II – Cinemática Vetorial 
 
Introdução: 
 
Em Cinemática vetorial, velocidade, aceleração e 
deslocamento são caracterizados como grandezas vetoriais. 
Essas grandezas podem ser representadas por vetores, tendo, 
portanto, módulo, direção e sentido. 
 
Vetor deslocamento 
 
Os conceitos de distância percorrida e de deslocamento são 
diferentes. Por exemplo, ao realizarmos uma volta completa ao 
mundo, tendo como ponto de partida e de chegada a mesma 
posição, nosso deslocamento será nulo, em contrapartida à 
distância percorrida, que não será nula. 
Denominamos de deslocamento vetorial S o vetor cuja 
origem coincide com o ponto de partida do movimento de um 
corpo, e cuja extremidade coincide com o ponto de chegada do 
movimento desse. 
 
 
Considere um carro viajando de uma cidade A para outra 
cidade B, como representado na figura a seguir, em que S
representa o deslocamento vetorial e d representa a distância 
percorrida. 
 
Observe que, nessa situação, o módulo do vetor 
deslocamento S é menor que a distância percorrida. Isso 
evidencia um fato importante: o módulo do deslocamento 
vetorial nem sempre coincide com o valor da distância percorrida 
d. Esses só serão coincidentes quando a trajetória for retilínea. 
 
 
 
Nas placas indicativas existentes em rodovias, o motorista 
obtém informações sobre direção e sentido a serem seguidos 
para chegar a um de- terminado destino. Essas informações se 
referem às grandezas vetoriais deslocamento e velocidade do 
veículo. 
 
 
Vetor velocidade 
 
A imagem seguinte mostra um esmeril lançando fagulhas 
metálicas que se encontram a altas temperaturas. Essas fagulhas 
são pedacinhos incandescentes que se desprendem tanto do 
 
 
 
 
 
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Vetores e Cinemática Vetorial 
metal lixado quanto do esmeril. 
 
Observe que o esmeril está girando, e a trajetória das fagulhas é 
tangente à trajetória dos pontos do esmeril, que estão em 
contato com o metal. Uma fagulha que se solta do esmeril no 
ponto P apresenta um vetor velocidade com as seguintes 
características: 
• Módulo: igual ao módulo da velocidade escalar 
instantânea no ponto P. 
• Direção: tangente à trajetória no ponto P. 
• Sentido: o mesmo sentido do movimento no ponto P. 
 
Tendo em vista as características anteriores, conclui-se um 
importante fato: o vetor velocidade de um corpoem movimento 
apresenta sempre as seguintes características: 
 
 coincide com o módulo da velocidade escalar instantânea.
 tangente à trajetória.
 o mesmo do movimento.
Intensidade
v Direção
Sentido
=

=
 =
 
 
Velocidade vetorial média 
 
É definida como o quociente do deslocamento vetorial 
( )S pelo respectivo intervalo de tempo ∆t. 
m
S
V
t

=

 
 
Como ∆t é um escalar positivo, a velocidade vetorial média 
tem sempre a mesma direção e o mesmo sentido que o 
deslocamento vetorial (ambos são secantes à trajetória). 
 
Mudança de referencial 
 
Situações envolvendo mudanças de referencial, de uma 
forma geral, podem ser descritas da seguinte maneira: Considere 
um sistema de referência R1 e outro sistema de referência R2, que 
se move com velocidade v’ em relação a R1, e um corpo qualquer, 
que se desloca com velocidade v’’ em relação ao referencial R2. 
 
Qual será a velocidade v do corpo em relação a um 
observador que se encontra em R1? 
 
Na figura acima, o solo representa o referencial R1, o ônibus 
representa o referencial R2, e a pessoa dentro do ônibus é o corpo 
que se move em relação ao ônibus. A velocidade da pessoa em 
relação ao solo, ,V pode ser obtida por meio da soma vetorial 
do vetor velocidade da pessoa em relação ao ônibus, ’’,V com 
o vetor velocidade do ônibus em relação ao solo, ’.V Como 
esses dois vetores velocidade estão na mesma direção e no 
mesmo sentido, o módulo dessa soma vetorial é igual à soma dos 
módulos dos vetores, ou seja: 
 
'' 'V V V= +  '' 'V V V= + 
 
Composição de movimentos 
 
Existem várias situações cotidianas nas quais um objeto 
possui uma velocidade resultante, que é a soma vetorial de duas 
velocidades componentes, como um barco se movendo em um 
rio, uma pessoa se movendo no interior de um ônibus em 
movimento, uma pessoa caminhando em uma escada rolante, 
etc. 
Vejamos um exemplo de um barco atravessando um rio. 
 
 
Como as velocidades bV e cV são perpendiculares 
entre si, o efeito da correnteza é unicamente deslocar 
(arrastar) o barco rio abaixo, não afetando o movimento na 
direção perpendicular à correnteza. De forma análoga, a 
velocidade de propulsão do barco não modifica o movimento 
deste rio abaixo (direção da correnteza). 
De acordo com o princípio da independência dos 
movimentos simultâneos (Galileu) “Quando um corpo apresenta 
um movimento composto, cada um deles se realiza como se os 
demais não existissem, e no mesmo intervalo de tempo”. 
Imagine que uma nadadora esteja descendo um rio sob a 
ação exclusiva da correnteza, arrastada pela água com 
velocidade constante, medida em relação às margens. Suponha 
que sua posição seja equidistante (distância D) de duas boias 
iguais, B1 e B2, que também descem o rio sob a ação exclusiva da 
água. Veja a ilustração. 
 
 
 
 
 
 
9 
Vetores e Cinemática Vetorial 
 
 
Ela resolve, então, agarrar uma das boias e, para isso, 
coloca-se a nadar em linha reta rumo a uma delas com velocidade 
constante de intensidade Vrel, medida em relação à água. Qual 
das duas boias a nadadora conseguiria atingir no menor intervalo 
de tempo, B1 ou B2? 
Se você optou por B1 ou por B2, você errou, já que qualquer 
uma das boias poderia ser alcançada em um mesmo intervalo de 
tempo de duração T. 
A explicação para esse fato é a seguinte: como a água afeta 
igualmente o movimento da nadadora e o das boias, impondo 
aos três a velocidade própria da correnteza (Varr), podemos 
raciocinar como se esse arrastamento não existisse. Logo, tudo 
se passa como se a água e as boias estivessem em repouso e só a 
nadadora se movimentasse! Isso significa que as duas boias 
poderiam ser alcançadas em intervalos de tempo de igual 
duração, já que a nadadora se desloca em movimento uniforme 
a partir de uma posição equidistante de ambas. 
 
Casos particulares 
 
1. O braco navega a favor da 
correnteza 
 
resultante barco águaV V V= + 
2. O barco navega contra a 
correnteza. 
 resultante barco água
V V V= − 
3. O barco é dirigido 
perpendicularmente à 
correteza. 
 
2 2 2
resultante barco águaV V V= + 
 
Aceleração vetorial 
 
Considere uma partícula que, percorrendo uma trajetória 
como a esquematizada na figura abaixo, passa pela posição P1 
no instante t1 com velocidade vetorial 1V e pela posição P2 no 
instante t2 com velocidade vetorial 2.V 
 
 
 
De P1 para P2, a partícula experimenta uma variação de 
velocidade vetorial dada por: 2 1V V V = − 
 
A aceleração vetorial média da partícula no intervalo de 
t1 a t2 é definida por: m
V
a
t

=

 
 
Como ∆t é um escalar positivo, a aceleração vetorial 
média tem sempre a mesma direção e o mesmo sentido que a 
variação da velocidade vetorial. 
 
Componentes da aceleração no movimento circular 
 
 Um movimento curvilíneo consiste na trajetória que descreve 
uma linha curva. A trajetória dos movimentos curvilíneos pode 
ser: circular, por exemplo um ponto de um CD descreve uma 
circunferência; parabólica, por exemplo a bala disparada por um 
canhão descreve uma trajetória parabólica; elíptica, por exemplo 
os planetas do Sistema Solar descrevem elipses em volta do Sol. 
Numa trajetória curvilínea, o vetor velocidade possui direção 
tangente à trajetória em cada ponto e o sentido é o do 
movimento. 
 
 No caso em que o raio de curvatura R é constante e o centro 
de curvatura permanece fixo, a trajetória é uma circunferência e 
o movimento é circular, como no caso ilustrado na figura abaixo. 
 
 
 
2 2 2
t ca a a= +
 
 
 
 
 
10 
Vetores e Cinemática Vetorial 
Aceleração centrípeta 
 
 Em física, aceleração centrípeta, também chamada de 
aceleração normal ou radial, é a aceleração originada pela 
variação da direção do vetor velocidade de um móvel, 
característico de movimentos curvilíneos ou circulares. Ela é 
perpendicular à velocidade e aponta para o centro da curvatura 
da trajetória. 
 Sempre que um corpo se movimenta em uma trajetória não 
retilínea, age sobre ele uma aceleração centrípeta. 
 
 Centrípeta significa literalmente: o que se dirige para o 
centro. 
 
 
Aceleração tangencial 
 
 A aceleração tangencial está relacionada com as variações de 
intensidade da velocidade vetorial e possui sempre à mesma 
direção da velocidade. 
• Se possuir o mesmo sentido da velocidade, é classificado 
de acordo com a cinemática em acelerado. 
 
 
Representação esquemática do movimento acelerado. 
• Se possuir o sentido oposto à velocidade, o movimento 
é classificado de acordo com a cinemática em retardado. 
 
 
Representação esquemática do movimento retardado. 
 
 
 
Exercícios 
 
21. (UFJF) Um homem parado numa escada rolante leva 10 s 
para descê-la em sua totalidade. O mesmo homem leva 15 s 
para subir toda a escada rolante de volta, caminhando 
contra o movimento dela. Quanto tempo o homem levará 
para descer a mesma escada rolante, caminhando com a 
mesma velocidade com que subiu? 
a) 5,00 s b) 3,75 s 
c) 10,00 s d) 15,00 s 
e) 7,50 s 
 
22. (UFMG) Um menino flutua em uma boia que está se 
movimentando, levada pela correnteza de um rio. Uma 
outra boia, que flutua no mesmo rio a uma certa distância do 
menino, também está descendo com a correnteza. A posição 
das duas boias e o sentido da correnteza estão indicados 
nesta figura. 
 
Considere que a velocidade da correnteza é a mesma em 
todos os pontos do rio. Nesse caso, para alcançar a segunda 
boia, o menino deve nadar na direção indicada pela linha 
a) K b) L c) M d) N 
 
23. (UFJF-MG) Um barco percorre a largura de um rio AB igual a 
2 km, em meia hora. Sendo a velocidade da correnteza igual 
a 3 km/h, temos para a velocidade do barco em relação à 
correnteza: 
a) 5 km/h b) 1,5 km/h 
c) 10 km/h d) 50 km/h 
e) n.r.a. 
 
24. (PUC) Um avião em voo horizontal voa a favor do vento com 
velocidade de 180 km/h em relação ao solo. Na volta, ao voar 
contra o vento, o avião voa com velocidade de 150 km/h em 
relação ao solo. Sabendo-seque o vento e o módulo da 
velocidade do avião (em relação ao ar) permanecem 
constantes, o módulo da velocidade do avião e do vento 
durante o voo são, respectivamente, 
a) 165 km/h e 15 km/h. b) 160 km/h e 20 km/h. 
c) 155 km/h e 25 km/h. d) 150 km/h e 30 km/h. 
e) 145 km/h e 35 km/h. 
 
25. Considere uma partícula que percorre um quarto de 
circunferência de 2,0 m de raio em 10 s. Adotando √2 = 1,4 
e π = 3,0, determine: 
a) o módulo da velocidade escalar média da partícula; 
b) a intensidade da sua velocidade vetorial média. 
 
26. Um escoteiro, ao fazer um exercício de marcha com seu 
pelotão, parte de um ponto P e sofre a seguinte sequência 
de deslocamentos: 
V
a
t

=

 
 
 
 
 
11 
Vetores e Cinemática Vetorial 
I. 800 m para o Norte; 
II. 300 m para o Oeste; 
III. 400 m para o Sul. 
Sabendo que a duração da marcha é de 8 min 20 s e que o 
escoteiro atinge um ponto Q, determine: 
a) o módulo do seu deslocamento vetorial de P a Q; 
b) o módulo da velocidade vetorial média e da velocidade 
escalar média de P a Q. (Dê sua resposta em m/s.) 
 
27. Uma embarcação carregada com suprimentos zarpa de um 
porto O na costa às 7 h para fazer entregas em três pequenas 
ilhas, A, B e C, posicionadas conforme representa o 
esquema. 
 
A embarcação atraca na ilha C às 13 h do mesmo dia. 
Calcule para o percurso total de O até C: 
a) a velocidade escalar média; 
b) a velocidade vetorial média. 
 
28. (UERJ–2010) Dois automóveis, M e N, inicialmente a 50 km 
de distância um do outro, deslocam-se com velocidades 
constantes na mesma direção e em sentidos opostos. O valor 
da velocidade de M, em relação a um ponto fixo da estrada, 
é igual a 60 km/h. Após 30 minutos, os automóveis cruzam 
uma mesma linha da estrada. 
Em relação a um ponto fixo da estrada, a velocidade de N 
tem o seguinte valor, em quilômetros por hora: 
a) 40 km/h b) 50 km/h 
c) 60 km/h d) 70 km/h 
 
29. (UCSal-BA) Entre as cidades A e B, existem sempre correntes 
de ar que vão de A a B com velocidade de 50 km/h. Um avião, 
voando em linha reta, com velocidade de 150 km/h em 
relação ao ar, demora 4 horas para ir de B até A. Qual é a 
distância entre as duas cidades? 
a) 200 km b) 400 km 
c) 600 km d) 800 km 
e) 100 km 
 
30. A utilização dos rios como via de transporte / navegação 
sempre foi presente na história da humanidade. No Brasil, o 
transporte fluvial é muito utilizado na região Norte devido ao 
elevado número de rios e devido à escassez de rodovias. 
Uma característica positiva desse meio de transporte é o 
baixo custo e o baixo impacto ambiental. Um dos principais 
problemas desse tipo de transporte está ligado à 
irregularidade da superfície (topografia), que deve ser plana, 
além de levar em conta aspectos de caráter natural, como os 
períodos de cheias e de vazantes dos rios, ambas 
relacionadas ao volume de água que sofrem variações e que 
interferem na navegação. Assim como as estradas, os rios 
apresentam suas regras de tráfego para os barcos. Barcos 
que descem o rio o fazem movimentando-se sempre no meio 
do rio, enquanto que os barcos que sobem o rio o fazem 
trafegando sempre próximo às margens. A característica dos 
rios que melhor explica as regras do tráfego descritas é 
a) a diferença do nível de água do rio entre o período de 
cheias e o período de seca. 
b) a menor velocidade da água do rio próximo à margem 
em comparação à posição central. 
c) o desgaste desigual das margens direita e esquerda dos 
rios devido à rotação da Terra. 
d) o desnível das diferentes partes do rio no seu curso 
superior, intermediário e inferior. 
e) o fato de os rios apresentarem maior profundidade do 
seu leito na parte central que nas margens. 
 
31. Um ciclista percorre a metade de uma pista circular de 60 m 
de raio em 15 s. Adotando π = 3,0, calcule para esse ciclista: 
a) o módulo da velocidade escalar média; 
b) a intensidade da velocidade vetorial média. 
 
32. Um rio de margens retilíneas e largura constante igual a 5,0 
km tem águas que correm paralelamente às margens, com 
velocidade de intensidade 30 km/h. Um barco, cujo motor 
lhe imprime velocidade de intensidade sempre igual a 50 
km/h em relação às águas, faz a travessia do rio. 
a) Qual o mínimo intervalo de tempo possível para que o 
barco atravesse o rio? 
b) Na condição de atravessar o rio no intervalo de tempo 
mínimo, que distância o barco percorre paralelamente 
às margens? 
c) Qual o intervalo de tempo necessário para que o barco 
atravesse o rio percorrendo a menor distância possível? 
 
33. Um barco provido de um motor que lhe imprime velocidade 
de 40 km/h em relação às águas é posto a navegar em um 
rio de margens paralelas e largura igual a 10 km, cujas águas 
correm com velocidade de 30 km/h em relação às margens. 
a) Qual o menor intervalo de tempo para que o barco 
atravesse o rio? Esse intervalo de tempo depende da 
velocidade da correnteza? 
b) Supondo que o barco atravesse o rio no menor intervalo 
de tempo possível, qual a distância percorrida por ele 
em relação às margens? 
 
34. (Vunesp-SP) Sob a ação de um vento horizontal com 
velocidade de intensidade v = 15 m/s, gotas de chuva caem 
formando um ângulo de 30° em relação à vertical. A 
velocidade de um vento horizontal capaz de fazer com que 
essas mesmas gotas de chuva caiam formando um ângulo de 
60° em relação à vertical deve ter intensidade, em m/s, igual 
a: 
a) 45 b) 30 c) 20 d) 15 e) 10 
 
35. Uma balsa percorre o Rio Cuiabá de Porto Cercado a Porto 
Jofre (Pantanal mato-grossense), gastando 9,0 h na descida 
e 18 h na subida. O motor da balsa funciona sempre em 
regime de potência máxima, tal que a velocidade da 
embarcação em relação às águas pode ser considerada 
constante. Admitindo que a velocidade das águas também 
seja constante, responda: quanto tempo uma rolha, lançada 
 
 
 
 
 
12 
Vetores e Cinemática Vetorial 
na água em Porto Cercado e movida sob a ação exclusiva da 
correnteza, gastará para chegar até Porto Jofre? 
 
36. Uma peça decorativa fabricada em alumínio maciço é 
constituída de uma lâmina retangular e uma esfera com peso 
de intensidade P fixada à lâmina. Admita que uma pessoa vá 
inclinando uma das extremidades dessa peça, como 
representa a figura, de modo que a outra extremidade em 
contato com a superfície horizontal de apoio permaneça fixa, 
sem deslizar. 
 
Estude como variam as intensidades das componentes 
tangencial e (Pt) e normal (Pn) do peso da esfera, 
respectivamente, nas direções tangencial (t) e normal (n) à 
lâmina, em função do ângulo 𝜃 formado entre a lâmina e a 
superfície de apoio. 
 
37. Dois aviões de combate, A e B, em movimento em um 
mesmo plano vertical, apresentam-se em determinado 
instante, conforme ilustra a figura, com velocidades vetoriais 
AV e BV de intensidades iguais a 1000 km/h. 
Adotando 2 1,41,= determine as características da 
velocidade vetorial ( )RV do avião B em relação ao avião A 
no instante considerado. 
 
 
38. Um barco motorizado desce um rio deslocando-se de um 
porto A até um porto B, distante 36 km, em 0,90 h. Em 
seguida, esse mesmo barco sobe o rio deslocando-se do 
porto B até o porto A em 1,2 h. Sendo VB a intensidade da 
velocidade do barco em relação às águas e VC a intensidade 
da velocidade das águas em relação às margens, calcule VB e 
VC. 
 
39. Um rio de margens retilíneas e largura constante igual a 5,0 
km tem águas que correm paralelamente às margens, com 
velocidade de intensidade 30 km/h. Um barco, cujo motor 
lhe imprime velocidade de intensidade sempre igual a 50 
km/h em relação às águas, faz a travessia do rio. 
a) Qual é o mínimo intervalo de tempo possível para que 
o barco atravesse o rio? 
b) Para atravessar o rio no intervalo de tempo mínimo, 
que distância o barco percorre paralelamente às 
margens? 
c) Qual é o intervalo de tempo necessário para que o 
barco atravesse o rio percorrendo a menor distância 
possível? 
 
40. Um disco rola sobre uma superfície plana, sem deslizar. Avelocidade do centro O é 0.V Em relação ao plano de 
rolagem, responda: 
 
a) qual é a velocidade BV do ponto B? 
b) qual é a velocidade AV do ponto A? 
 
 
GABARITO 
21 22 23 24 25 
B A A A 
a)0,28m/s 
b)0,30 /s 
26 27 28 29 30 
a) 1 m/s e 
 3 m/s 
b)500 m 
a) 4,5 km/h 
b) 2,5 km/h 
A B A 
31 32 33 34 35 
a) 12 m/s 
b) 8 m/s 
a) 6 min 
b) 3 km 
c) 7,5 min 
a) 15 min; 
independe; 
b) 12,5 km 
A 36h 
36 37 38 39 40 
Pt=Psen 𝜃 
Pn=Pcos 𝜃 
Vertical, 
dirigida para 
cima 
e de 
intensidade 
1410 km/h 
VB=35km/h 
VC=5 km/h 
a)6,0min; 
b)3,0km; 
c)7,5min. 
a) 0 
b) 2V0