Apostila de Termodinâmica
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Apostila de Termodinâmica


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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS
Instituto de Cie\u2c6ncias Exatas
Departamento de F´\u131sica
Meca\u2c6nica Fundamental
Agosto de 2008
ii
Conteu´do
1 Conceitos Fundamentais \u2014 Vetores 1
1.1 Grandezas F´\u131sicas e Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Grandezas Escalares e Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Notac¸a\u2dco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Definic¸o\u2dces Formais e Regras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Mo´dulo de um Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.6 Vetores Unita´rios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.7 Significado Geome´trico das Operac¸o\u2dces Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.8 O Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.9 Alguns Exemplos do Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.10 O Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.11 Interpretac¸a\u2dco Geome´trica do Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.12 Um Exemplo do Produto Vetorial. Momento de uma Forc¸a . . . . . . . . . . 13
1.13 Representac¸a\u2dco de um dado Vetor em Termos do Produto de um Escalar e um
U´nico Vetor Unita´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.14 Produtos Triplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.15 Mudanc¸a de Sistema de Coordenadas. A Matriz Transformac¸a\u2dco . . . . . . . 16
1.16 Derivada de um Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.17 Vetor Posic¸a\u2dco de uma Part´\u131cula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.18 O Vetor Velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.19 Vetor Acelerac¸a\u2dco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.20 Integrac¸a\u2dco Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.21 Velocidade Relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.22 Derivadas de Produtos de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.23 Componentes Normal e Tangencial da Acelerac¸a\u2dco . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.24 Velocidade e Acelerac¸a\u2dco em Coordenadas Polares Planas . . . . . . . . . . . 28
1.25 Velocidade e Acelerac¸a\u2dco em Coordenadas Cil´\u131ndricas e Esfe´ricas . . . . . . . 30
1.25.1 Coordenadas Cil´\u131ndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.25.2 Coordenadas Esfe´ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.26 Velocidade Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2 Meca\u2c6nica Newtoniana \u2014 Movimento Retil´\u131neo de uma Part´\u131cula 39
2.1 As Leis de Newton do Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2 Primeira Lei de Newton \u2014 Referenciais Inerciais . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3 Massa e Forc¸a \u2014 Segunda e Terceira Leis de Newton . . . . . . . . . . . . . 40
iii
iv CONTEU´DO
2.4 Momentum Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.5 Movimento de uma Part´\u131cula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.6 Movimento Retil´\u131neo \u2014 Acelerac¸a\u2dco Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.7 O Conceito de Energias Cine´tica e Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.8 Forc¸a em Func¸a\u2dco do Tempo \u2014 Conceito de Impulso . . . . . . . . . . . . . . 47
2.9 Forc¸a Dependente da Velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.10 Movimento Vertical num Meio Resistivo
Velocidade Terminal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.11 Variac¸a\u2dco da Gravidade com a Altura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.12 Forc¸a Restauradora Linear \u2014 Movimento Harmo\u2c6nico . . . . . . . . . . . . . 54
2.13 Considerac¸o\u2dces de Energia no Movimento Harmo\u2c6nico . . . . . . . . . . . . . . 57
2.14 Movimento Harmo\u2c6nico Amortecido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.15 Movimento Harmo\u2c6nico Forc¸ado \u2014 Ressona\u2c6ncia . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.16 Movimento sob a ac¸a\u2dco de uma Forc¸a Perio´dica na\u2dco Senoidal . . . . . . . . . 69
3 Movimento Geral de uma Part´\u131cula em Tre\u2c6s Dimenso\u2dces 75
3.1 Momentum Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.2 Momentum Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.3 O Princ´\u131pio do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.4 Forc¸as Conservativas e Campos de Forc¸as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.5 A Func¸a\u2dco Energia Potencial para o Movimento Tridimensional . . . . . . . . 77
3.6 Gradiente e o Operador Del em Meca\u2c6nica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.7 Condic¸o\u2dces para a Existe\u2c6ncia de uma Func¸a\u2dco Potencial . . . . . . . . . . . . . 79
3.8 Forc¸as do Tipo Separa´vel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.9 Movimento de um Proje´til em um Campo Gravitacional Uniforme . . . . . . 82
3.10 O Oscilador Harmo\u2c6nico em duas e tre\u2c6s dimenso\u2dces . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.11 Movimento de Part´\u131culas Carregadas em Campos Ele´tricos e Magne´ticos . . 90
3.12 Movimento Vinculado de uma Part´\u131cula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.13 O Pe\u2c6ndulo Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.14 Soluc¸a\u2dco mais Precisa do Pe\u2c6ndulo Simples e o Oscilador na\u2dco Linear . . . . . . 97
3.15 Soluc¸a\u2dco Exata do Movimento do Pe\u2c6ndulo Simples por Meio de Integrais El´\u131pticas 99
3.16 O Problema Isocro\u2c6nico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.17 O Pe\u2c6ndulo Esfe´rico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4 Dina\u2c6mica de um Sistema de Muitas Part´\u131culas 113
4.1 Centro de Massa e Momentum Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.2 Momentum Angular do Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.3 Energia Cine´tica do Sistema de Part´\u131culas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.4 Movimento de Dois Corpos que Interagem \u2014 Massa Reduzida . . . . . . . . 118
4.5 Coliso\u2dces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.6 Colisa\u2dco Obl´\u131qua e Espalhamento. Comparac¸a\u2dco das Coordenadas do Labo-
rato´rio e do Centro de Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.7 Impulso em Coliso\u2dces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.8 Movimento de um Corpo com Massa Varia´vel \u2014 Movimento de um Foguete 126
CONTEU´DO v
5 Meca\u2c6nica dos Corpos R\u131´gidos
Movimento no Plano 131
5.1 Centro de Massa de um Corpo R´\u131gido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.2 Alguns Teoremas sobre o Equil´\u131brio Esta´tico de um Corpo R´\u131gido . . . . . . 134
5.3 Rotac¸a\u2dco de um Corpo R´\u131gido em Torno de um Eixo Fixo \u2014 Momento de Ine´rcia135
5.4 Ca´lculo do Momento de Ine´rcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.5 O Pe\u2c6ndulo F´\u131sico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.6 Teorema Geral Relativo ao Momentum Angular . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.7 Movimento Laminar de um Corpo R´\u131gido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.8 Corpo Rolando em um Plano Inclinado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.9 Movimento de um Corpo R´\u131gido Sob a Ac¸a\u2dco de uma Forc¸a Impulsiva . . . . 151
5.10 Coliso\u2dces de Corpos R´\u131gidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
vi CONTEU´DO
Cap´\u131tulo 1
Conceitos Fundamentais \u2014 Vetores
Em qualquer teoria cient´\u131fica, e em meca\u2c6nica em particular, e´ necessa´rio comec¸ar com certos
conceitos primitivos. Necessitaremos tambe´m fazer um certo nu´mero de suposic¸o\u2dces razoa´veis.
Dois dos conceitos mais ba´sicos sa\u2dco espac¸o e tempo. No nosso