CALCULO II Lista_3

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Faculdade de Engenharia - Câmpus de Ilha Solteira
Departamento de Matemática
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
"Júlio de Mesquita Filho"
 
 
Cálculo Diferencial e Integral II: 2
O
 Semestre de 2013 - Mecânica 
3
a
 Lista de Exercícios 
 
(1) Seja 2
2
x
8)x(f 





 e a partição  do intervalo [0, 6] em 5 subintervalos, 
determinados por 
0x
 = 0, 
1x
= 1.5, 
2x
 = 2.5, 
3x
 = 4.5, 
4x
 = 5 e 
5x
 = 6. Determine: 
(a) A norma 

 desta partição e uma soma de Riemann; 
(b) Interprete geometricamente a soma de Riemann. 
 
2. Mostre que se f for uma função contínua em [-3,4], então 
f(x)dx
1 
3 
 + 
f(x)dx
3 
4 
 + 
f(x)dx
4 
3 
 + 
f(x)dx
3 
1 
 = 0. 
 
3. Ache o valor médio da função f definida por f(x) = senx no intervalo [
]0,
. Ache 
também um valor de x onde ocorre o valor médio. Dê uma interpretação geométrica 
dos resultados. 
 
4. (a) Consideremos F(x) = 
dt 
t
1
x
t

 , x > 0. Qual o significado geométrico desta integral? 
Considere 2 casos: x > 1 e 0 < x <1. 
 (b) Mostre que F(x) = ln x. 
 
5. Calcule 
)(xF 
 sendo F dada por: 
(a) F(x) = 
 
x 
2 6
td
t1
3t ; 
(b) F(x) = 
dtex
2x 
1 
t3  
; 
(c) F(x) = 
dt
t5
1
4
x
x
3
2 
. 
 
6. Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular: 
(a) 
dxxcos1senx 2
 
0 

 
(b) 
dx
4xx
5x4
3
24 
1 


 
(c) 
sen4xdxe3x
4/ 
0 
 . 
7. Encontre a área da região limitada pelas curvas e retas dadas. 
 
 
 
 
2 
(a) 
 x 4 y 
, o eixo x e as retas x = -4 e x = 4; 
(b) 
1x2y 
, o eixo x, x = 5, x = 17; 
(c) 
2 x 0,y 0, x ;ey x 
; 
(d) y
2
 = 2x – 2 e a reta y = x – 5. 
 
8. Encontre por integração, a área de um triângulo com vértices em (5, 1), (1, 3), (-1, -
2). 
 
9. Determine m tal que a região R limitada pela reta y = mx e y = x
2
 tenha uma área de 
36 unidades quadradas. 
 
10. Encontre a área da região limitada pelas curvas dadas: 
(a) y = x3, o eixo x e as retas x = -1 e x = 1; 
(b) y2 = 2x -2 e a reta y = x - 5; 
(c) Repita o cálculo do item (b), tomando elementos retangulares horizontais de 
área, isto é, elementos perpendiculares ao eixo y; 
(d) x2 ≤ y ≤ x1/2; 
(e) y = x e y = x2, com 0 ≤ x ≤ 2; 
(f) y = x3 – 6x2 + 8x e y = x2 – 4x; 
(g) y =
xe
, y =
xe
, y = 0 e x = 2; 
(h) 
2y
 = 4x e a reta y = 2x - 4. Tome os elementos de área perpendiculares ao 
eixo y. 
(i) A mesma região do item (h). Tome os elementos de área paralelos ao eixo y. 
 
11. Achar o volume gerado pela rotação em torno do eixo x da área limitada no 
primeiro quadrante pela parábola 
2y
 = 8x e pela reta x =2. 
 
12. Achar o volume gerado pela rotação em torno eixo y da área limitada pela parábola 
2y
 = 8x e pela reta x = 2. 
 
13. Achar o volume gerado pela rotação em torno da reta y = 6 da área limitada pela 
parábola y = 4x - x
2 
acima do eixo dos x. 
 
14. Achar o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região 
entre o gráfico da função y = senx e o eixo dos x de 
2
3
 até 
2


. 
15. A região R, delimitada pelas curvas y = senx, y =cosx, y = 0 e x = 
4
 gira em torno 
do eixo x. Determine o volume do sólido. 
 
16. Determinar o volume do sólido gerado pela rotação , em torno da reta y = 4, da 
região limitada por y = 
x
1 , y = 4 e x = 4. 
 
 
 
 
 
3 
17. Considere a região sob o gráfico de y = lnx. 
ex1 
. Ache o volume do sólido 
obtido, pelo método dos discos ao girar R em torno do eixo x. 
Resp: ( (e-2)) 
 
18. A região R limitada pela curva y = senx, e o eixo x, as retas x = 0 e x = 

 gira em 
torno da reta y = 2. Obtenha o volume do sólido S, utilizando elementos de área 
perpendiculares ao eixo de rotação. 
 
19. Considere a região limitada pelas curvas y = 
xe
, y = 
xe
,x = 0 e x = 2. Obtenha, 
utilizando o método do invólucro cilíndrico o volume do sólido S obtido girando a 
região R em torno da reta x = -2. 
 
20. Achar o volume do toro gerado pela rotação, em torno da reta x = 3, do círculo x
2
 + 
y
2
 = 4. 
21. Seja R a região sob o gráfico de f(x) = cosx, 
2
x0


. Obtenha o volume do sólido 
obtido pela rotação da região R em torno do eixo y. 
 
22.Calcule o limite, se existir: 
a) 
4x
6xx
 lim
2
2
2x 


 b)
22
2xx
0x xxsen
2xee
 lim

 

 c)
tgx ln
 senxln
 lim
2x 
 
d) 
lnxxlim 2
0x 
 e) 





 
 x
1
1e
1
 lim
x0x
 f) 
4
x 
0 
3
0x x
dtsent
 lim


 
g) 
1x
1
x lim
1x


 h) 
senx
0x
x lim

 i) 
cosx
2
x
(tgx) lim



 
j) 
 2x limxx lim 2
2x
42
x

 .
 
 
23.Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Calcule a integral, se 
esta for convergente. 
(a) 



 dxe x
 ; 
(b) 
dx
senx1
cosx2 
0 

; 
(c) 
xdxlnx 2
1 
0 
2
 ; 
(d) 
1/5
2 
1/2 t(lnt)
dt

 ; 
(e) 
.
1x
dx2 
1 2 
 
 
 
 
 
 
4 
24.Para que valores de n a integral imprópria 
dx
x
1 
0 
 é convergente? 
 
25.Calcule a área da região limitada pela curva y = e
x
 e os eixos coordenados no 
segundo quadrante. 
 
26.Determinar o polinômio de Taylor de grau 6 da função f(x) = sen2x em x0 = 
4
 . 
Usar este polinômio para determinar um valor aproximado para sen
3
 .Fazer uma 
estimativa para o erro. 
 
27. Calcular o polinômio de Taylor de ordem n, em volta de 0, das funções: 
(a) f(x) = ln (x + 1); 
(b) 
;
x1
1
)x(f


 
(c) 
.
x1
1
)x(f


 
 
28.Calcule um valor aproximado para 
3 7,9
 utilizando o polinômio de Taylor de ordem 
2 em torno de x0 = 8, e avalie o erro.