Aula Sequências Parte 3

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Prof. Eduardo Fernandes 
Sequências ou Sucessões 
Numéricas 
Parte 3 
Sequências definidas recursivamente 
Algumas sequências não surgem de uma fórmula 
para o termo geral, mas em vez disso de uma 
fórmula ou conjunto de fórmulas que 
especificam como gerar cada termo da 
sequência a partir dos termos que o 
precedem. 
,2,1,0,
2
2
1
1)(
Fibonacci de Sequências2;1)(
.1)(11)(:.
10
1121
1111












n
a
aaead
aaaeaac
anaeabaaeaaEx
n
nn
nnn
nnnn
Sequências definidas recursivamente 
1
41
31
21
11
1
34
23
12
11







nn
nn
aa
aa
aa
aa
aaea

(a) (b) 
 
1
34
23
12
11
24.4
6.3
2.2
1







nn
nn
ana
aa
aa
aa
anaea

Sequências definidas recursivamente 
(c) (d) 
 
11
456
345
234
123
11
21
835
523
312
211
1;1









nnn
nnn
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
eaa

12
17
6
17
.
2
1
6
89
2
1
3
4
2
3
2
1
3
2
.2
2
3
2
1
2
3
2
2
3
2
12
2
1
2
3
1
2
1
2
12
2
1
,2,1,0,
2
2
1
1
1
12
0
01
10





 


























































 
a
aa
a
aa
n
a
aaea
n
nn 
Sequências Monótonas 
 





1
11
4
1
3
1
2
1
1
,
1
,,
3
1
,
2
1
,1:
nn
n
an 









2
1
14
3
3
2
2
1
,
1
,,
4
3
,
3
2
,
2
1
:
n
n
n
n
n
n
bn
1 nn aa
 
.edecrescentteestritamen
sequênciaumaéa n 
.crescenteteestritamen
sequênciaumaéb n
1 nn bb
Sequências Monótonas 
 


2211
,3,3,2,2,1,1:

nc
 



3
1
3
1
2
1
2
1
11
,
3
1
,
3
1
,
2
1
,
2
1
,1,1:nd
 
.crescentesequência
umaéc n
1 nn cc
1 nn dd
 
.edecrescentsequência
umaéd n
Sequências Monótonas 
   
4
1
3
1
2
1
1
,
1
1,,
4
1
,
3
1
,
2
1
,1:
1


 
n
e
n
n
 
.edecrescentnemecrescente
nemsequênciaumaénãoe n
Sequências Monótonas 
Definições: Uma sequência é: 
 
Crescente se 
 
 
Estritamente crescente se 
 
 
Decrescente se 
 
 
Estritamente decrescente se 
., *1   naa nn
., *1   naa nn
., *1   naa nn
., *1   naa nn
 na
Definições: Uma sequência é limitada 
superiormente se existe um número M tal que 
 para todo n. 
 
M é uma cota superior (ou limitante 
superior) para a sequência 
 
A menor das cotas superiores para a 
sequência se chama supremo de 
Ma n 
 na
 na
 na  na
Obs.: Uma sequência crescente 
limitada superiormente sempre tem uma 
cota superior. Se L é o supremo de 
então converge para L. 
Teorema da Convergência Monótona (TCM) 
 
Toda sequência crescente, limitada 
superiormente é convergente. 
 
Toda sequência decrescente, limitada 
inferiormente é convergente. 
 ,na na
 na
Ex11: Mostre que é uma 
 
sequência estritamente crescente e encontre 
o limite. 
Ex12: Mostre que a sequência 
 
converge e encontre o limite. 
 ,
1
,,
4
3
,
3
2
,
2
1
n
n






!
10
n
n
Ex13: Seja a sequência dada por 
 
 
 
 
 
 
 
Prove que a sequência é convergente e 
calcule seu limite. 










 1,
7
3
5
1
1
1
n
a
a
a
n
n
 na