PME2330 P1 2010

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Gabarito - 1ª Prova de PME2330 – Mec Flu 2 – 12/4/2010 
1ª Questão (54,0 pontos): Um amortecedor consiste num pistão de comprimento L que se move dentro de 
um cilindro fechado com uma pequena folga h entre as paredes, h<<<R. Óleo de propriedades ρ e µ se 
movimenta através da folga de um lado para o outro do cilindro. Imagine que o pistão se move com 
velocidade –U constante na direção x. Considerando o escoamento desenvolvido na passagem da folga, 
determine: 
a) A vazão Q e a velocidade média u do escoamento na folga, como função de U, h e R. considere 
que como h<<<R, a área da seção de escoamento pode ser aproximada por 2piRh (1,0 ponto). 
b) Como h<<<R, considere que podemos considerar o escoamento na folga como bidimensional num 
plano xy. Desprezando a gravidade, obtenha o gradiente de pressão ∂p/∂x na folga como função de 
U, µ, R e h (2,0 pontos). 
c) Calcule a força F aplicada na haste do pistão para manter a velocidade U constante como função de 
U, µ, R , L e h (1,0 pontos). 
 
Dados: Continuidade: 0. =∇ ur Navier-Stokes: ( ) gupuu
t
u rrrr
r
+∇+∇−=∇+
∂
∂ 21
.
ρ
µ
ρ
 
Solução: 
 
a)A vazão através da folga será dada pelo volume deslocado pelo avanço do pistão. Logo: 
 
2
. RUQ pi= 
 
 
A velocidade média será dada por 
h
UR
Rh
RU
u
22
.
2
==
pi
pi
 
 
b) Como o escoamento é considerado desenvolvido: 
 
0=
∂
∂
x
u
, logo a continuidade fica 0=
∂
∂
y
v
. Como v=0 nas paredes, resulta que tem que ser nula em todo o 
escoamento. Com isso, a equação de Navier-Stokes para a direção x fica: 
 
{ {
{
{
{
0
2
2
0
2
2
0
00
1
xgy
u
x
u
x
p
y
u
v
x
u
u
t
u
+










∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
ρ
µ
ρ
 
 
Logo: 
 
x
p
y
u
∂
∂
=
∂
∂
µ
1
2
2
 
 
Integrando duas vezes: 
 
21
2
2
1 CyCy
x
p
u ++
∂
∂
=
µ
 
 
Como, para y=0, temos que u=0, resulta C2=0. Da condição de u=-U para y=h: 
 
( ) y
h
Uhyy
x
p
u −−
∂
∂
=
2
2
1
µ
 
 
Com esse perfil é possível achar a velocidade média: 
 
212
11 2
0
Uh
x
pdyu
h
u
h
−
∂
∂
−== ∫ µ
 
 
Igualando esse resultado com o resultado do item (a): 
 
32
616
h
UR
h
R
h
U
x
p µµ
−≅





+−=
∂
∂
 pois R/h >>> 1 
 
c)A diferença de pressão entre os lados esquerdo e direito do pistão é dada por: 
 
32
616
h
URL
h
R
h
ULL
x
ppp de
µµ
≅





+=
∂
∂
−=− 
 
As tensões de cisalhamento na parede do pistão junto à folga são dadas por: 
 
 
22
0
343
h
UR
h
UhUR
y
u
y
u
hyy
µµµµµτ ≅+=
∂
∂
−=
′∂
∂
=
==′
 
 
Logo, a força F , desprezando o diâmetro da haste, será dada por: 
 
( ) RLRppF de piτpi 22 +−= 
 
Que resulta: 
 
( ) ( ) ( )
3
3
3
233
3
22 6/8/216826
h
ULR
h
RhULRRhULR
h
ULRhhRULRF piµpiµpiµpiµpiµ ≅++=++= 
 
 
 
 
 
 
 
 
2ª. Questão (3.0 ptos). Suponha que o perfil aproximado de velocidade em uma camada limite 
laminar incompressível e permanente para uma placa plana com gradiente de pressão zero resulta: 
u
U
∞
= sen
pi
2
y
δ




 
Pede-se: Calcular δ
x
 e c f utilizando a equação integral de von Kármán. Comparar com os 
resultados “exatos” de Blasius: δ
x
=
5,00
Rex
, c f =
0,664
Rex
 . 
 
Solução: 
 
De equação integral da camada limite: 
 
τ p
ρ
=
∂
∂x
U
∞
2 θ( )+ δ *U∞ ∂U∞∂x +
∂
∂t
U
∞
δ *( ) 
 
Como o escoamento é permanente e a placa é paralela à corrente (gradiente nulo de pressão): 
 
x
c
U
fp
∂
∂
==
θ
ρ
τ
22
 
 
A espessura de quantidade de movimento é dada por: 
 
dyysenysendy
U
u
U
u
∫∫ 











−





=





−=
δδ
δ
pi
δ
piθ
0
2
0 22
1 
Lembrando que: 
 
2
2cos121cos2cos 2222 αααααα −=⇒−=−= sensensen 
 
δδ
δpipi
δ
δ
pi
pi
δ
δpiδ
piθ
00 22
1
2
cos
2
cos
2
1
2
1
2 










+−





−=











+−





= ∫
y
senyydyyysen 
 
δδ
pi
θ 137,0
2
12
=





−= 
 
A tensão de cisalhamento na parede é dada por : 
 
δ
piµδ
pi
δ
piµµτ
22
cos
2 00
UyU
y
u
yy
p =











=
∂
∂
=
==
 
 
O coeficiente de atrito resulta: 
 
δ
νpi
ρ
τ
UU
c pf
22 2
== 
 
Logo, voltando para a equação integral da camada limite: 
 
xxUU
c pf
∂
∂
=
∂
∂
===
δθ
δ
νpi
ρ
τ
137,0
22 2
 
 
Resulta: 
 
dx
U
d νδδ 47,11= 
 
Como δ=0 para x=0: 
 
∫∫ =
x
dx
U
d
00
47,11 νδδ
δ
 
 
Resulta: 
 
x
xxUx
x
U Re
79,493,2247,11
2 2
22
=⇒=⇒=
δ
ν
δνδ
 
 
 
Substituindo esse resultado na expressão para cf : 
 
x
ff c
Ux
xUU
c
Re
656,0
79,4 =⇒==
ν
νpi
δ
νpi
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3ª. Questão (3.0 ptos). Considere o caso do caso do escoamento ao redor de uma placa plana com 
gradiente de pressão nulo e com dimensões L na direção do escoamento e b na direção 
perpendicular ao plano do escoamento. Admita que a camada limite seja turbulenta e que possamos 
aproximar o perfil de velocidades por uma expressão na forma u
U
∞
=
y
δ




1/n
 Pede-se: 
a) (0,5 pto.) Mostre que a espessura de deslocamento é δ
*
δ =
1
1 + n
 e a espessura da quantidade de 
movimento é θδ =
n
(1+ n)(2 + n) ; 
 
b) (0,5 pto.) Admita que a camada limite seja turbulenta já a partir do bordo de ataque e que a 
tensão na parede seja dada pela expressão: τ 0ρU
∞
2 = 0,0225
ν
U
∞
δ




1/4
. Determine o coeficiente de 
arrasto devido o atrito C f =
D
0,5ρU
∞
2bL
. 
 
c) (1,0 pto.) Admita agora que a camada limite seja laminar no trecho da placa que se estende desde 
o bordo de fuga até o ponto de transição ( xcritico ) e a partir deste ponto ela passe a ser turbulenta. 
Mostre que o coeficiente de arrasto C f é obtido através da expressão C f =
0,074
RL5
−
A
RL
, onde 
A = Rx critico(C f turbulento − C f laminar ) ; 
 
d) (1,0 pto.) Utilize a Formula de Blasius para o coeficiente de arrasto laminar 
)Re328,1( 2/1−= críticoxfC . Com ela, determine a constante A para valores de Rx critico iguais a 
3 × 105; 5 × 105 e 106 . 
 
 
Solução: 
 
a) A espessura de deslocamento é dada por: 
 
n
n
yydyydy
U
u
n
nn
+
=⇒


















+
−=














−=





−=
+
∫∫ 1
*
11
11*
0
1
11
0
1
0
δδ
δδ
δ
δ
δδ
 
 
A espessura de quantidade de movimento é dada por: 
 
( )( )δθδδδδ
θ
δ
δδ
nn
n
n
y
n
ydyyydy
U
u
U
u
n
n
n
nnn
++
=⇒


















+
−






+
=














−





=














−=
++
∫∫ 21
1211
0
2
12
1
11
0
21
0
2
 
 
b) Com a expressão dada para a tensão na parede e n=7, a equação integralda camada limite fica, 
para regime permanente e placa plana paralela à corrente (gradiente de pressão nulo) : 
xd
d
Ux
c f δ
δ
νθ
72
70225,0
2
4
1
=





⇒
∂
∂
= 
 
Integrando considerando a camada limite turbulenta desde o início da placa: 
 
 
5
1
Re
37,0
x
x
=
δ
 
 
Substituindo esse resultado na expressão do coeficiente de atrito: 
 
 
5
1
4
1
Re
0577,00225,0
2
x
f
f
c
U
c
=⇒





= δ
ν
 
 
E o coeficiente de arrasto é dado por: 
 
 
 
 
∫ ==
L
L
ff dxcL
C
0 5
1
Re
074,01
 
 
 
c)Considerando que temos um comprimento inicial xcrítico em que a camada limite é laminar: 
 








−−=








+= ∫ ∫∫∫ ∫
criticox criticox
lamfturf
L
turf
xcritico L
criticox
turflamff dxcdxcL
dxc
L
dxcdxc
L
C
0 000
111
 
 
Podemos re-escrever: 
 








−−= ∫ ∫∫
criticox criticox
lamf
critico
turf
critico
L
critico
turff dxc
x
dxc
xL
xdxc
L
C
0 00
111
 
 
Logo: 
 








−−= ∫ ∫
criticox criticox
lamf
critico
turf
criticoL
critico
L
f dxc
x
dxc
x
C
0 05
1
11
Re
Re
Re
074,0
 
 
Logo: 
 








−−=
2
1
5
1
5
1
Re
328,1
Re
074,0
Re
Re
Re
074,0
criticocritico
L
critico
L
fC 
 
Ou: 
 ( )
L
L
L
criticoxlamfcriticoxturfcritico
L
f
ACCC
ReRe
074,0
Re
Re
Re
074,0
5
1
5
1 −=
−
−= 
 
d)








−=
2
1
5
1
Re
328,1
Re
074,0Re
criticocritico
criticoA 
 
logo: 
 
Recritico = 3 × 105 → A=1050 
Recritico = 5 × 105 → A=1700 
Recritico = 1 × 106 → A=3300