Apostila Eletromag - Resek - UNIFEI

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Fis403
Fis403
Eduardo Resek
Eduardo Resek
UNIFEIUNIFEI
Eletromagnetismo
Eletromagnetismo
∇×B=µ0
J+
1
c2
∂E
∂t
∇×B=µ
0J+ 1
c2
∂E
∂t
∇×E=−∂B
∂t∇×E=−
∂B
∂t
∇2E− 1
c2
∂2E
∂t 2
= 0
∇
2
E−
1
c
2
∂
2
E
∂t
2
= 0 ∇·E=
ρ
²0
∇·E= ρ
²0∇·B= 0∇·B= 0
∇· J+ ∂ρ
∂t
= 0
∇· J+
∂ρ
∂t
= 0
Eletromagnetismo:
Um Curso não tão Introdutório
Instituto de Física e Química
Universidade Federal de Itajubá
Eduardo O. Resek
2013
Conteúdo
0 Cálculo vetorial: uma revisão 1
0.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.2 Álgebra Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.3 Produtos entre Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.3.1 Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.3.2 Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
0.4 Cálculo Diferencial e Integral com Vetores . . . . . . . . . . . . . . 6
0.4.1 Derivada Direcional e Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . 6
0.4.2 Integração Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
0.4.3 Divergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
0.4.4 Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
0.4.5 Aplicações sucessivas de ∇ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
0.4.6 Algumas Relações Úteis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
0.5 Sistemas de Coordenadas Curvilíneas . . . . . . . . . . . . . . . . 15
0.5.1 Sistemas de Coordenadas Cilíndricas (ρ,ϕ, z) . . . . . . . 16
0.5.2 Sistemas de Coordenadas Esféricas (r,θ,ϕ) . . . . . . . . 19
I Eletrostática 25
1 A Lei de Coulomb e o Campo Elétrico 27
1.1 Carga elétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.2 Fatos experimentais importantes acerca da carga elétrica . . . . 28
1.3 Natureza dos materiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4 Formas de eletrização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.4.1 Eletrização por atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.4.2 Eletrização por contato ou condução . . . . . . . . . . . . 29
1.4.3 Eletrização por indução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.4.4 Eletrização por irradiação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.5 Lei de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.6 Campo elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.7 Princípio da superposição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.8 Linhas de força . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.9 Distribuições contínuas de cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.10 Exemplos de cálculo de campo elétrico . . . . . . . . . . . . . . . 33
ii
CONTEÚDO iii
1.10.1 Um disco carregado não uniformemente . . . . . . . . . . 33
1.10.2 Linha reta carregada uniformemente . . . . . . . . . . . . 36
1.10.3 Uma semi-esfera carregada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2 A Lei de Gauss 43
2.1 Fluxo de um vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2 Ângulo Sólido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3 A Lei de Gauss para o campo elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3.1 Determinando diretamente o divergente do campo (opci-
onal) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3.2 Calculando o fluxo de uma carga pontual através de uma
superfície fechada arbitrária . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4 Aplicações da lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4.1 Simetria esférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4.2 Simetria cilíndrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.4.3 Simetria cartesiana ou plana . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.5 Condutores em equilíbrio eletrostático . . . . . . . . . . . . . . . 54
3 Potencial eletrostático 61
3.1 Campos conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1.1 Trabalho de uma força . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1.2 Campo conservativo e energia potencial . . . . . . . . . . 61
3.1.3 Campo eletrostático é conservativo! . . . . . . . . . . . . . 63
3.2 Condutores em Equilíbrio Eletrostático . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3 O dipolo elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.3.1 Momento de dipolo elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.3.2 Potencial e campo de um dipolo em pontos distantes . . 68
3.3.3 Momento de dipolo elétrico de uma distribuição contínua
de cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.3.4 Dipolo num campo externo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.4 Energia potencial elétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.4.1 Sistema de cargas pontuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.4.2 Distribuição contínua de cargas . . . . . . . . . . . . . . . 72
4 Soluções de problemas em eletrostática 81
4.1 Equações de Poisson e Laplace em uma dimensão . . . . . . . . . 83
4.2 O método das imagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.3 O Método da Separação de Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.3.1 Separação de Variáveis em Coordenadas Cartesianas em
Duas Dimensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.3.2 Separação de Variáveis em Coordenadas Esféricas com
Simetria Azimutal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.3.3 Separação de Variáveis em Coordenadas Cilíndricas com
potencial independente de z . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.3.4 Separação de Variáveis em Coordenadas Cilíndricas . . . 94
Unifei Eduardo Resek
iv CONTEÚDO
5 Capacitores 97
5.1 O que são . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.2 Capacitância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.3 Energia armazenada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6 Dielétricos 99
6.0.1 Lei de Gauss na presença de dielétricos . . . . . . . . . . . 101
6.0.2 Condições de contorno para o campo elétrico . . . . . . . 102
Index 103
Eduardo Resek Unifei
Capítulo 0
Cálculo vetorial: uma revisão
0.1 Introdução
No domínio da física elementar (clássica) encontramos diversos tipos de quan-
tidades. Dentre elas, estaremos interessados na distinção entre quantidades
escalares e vetoriais. Visando estritamente nossos interesses futuros, é suficiente
definí-las da seguinte forma:
Escalares: grandezas que são completamente caracterizadas por
suas magnitudes. Exemplos: massa, volume, temperatura, tempo,
etc.
Vetores: grandezas que são completamente caracterizadas por seus
módulos, direções e sentidos. Exemplos: velocidade, força, acelera-
ção, posição a partir de uma origem fixa, etc.
A partir daí introduzimos os conceitos de campos escalares e vetoriais. Um
campo é basicamente uma função de ponto, isto é, depende da posição no espaço
e/ou no tempo. Assim, campos escalares são especificados fornecendo-se suas
magnitudes em todos os pontos do espaço; campos vetoriais exigem, além do
módulo, a especificação da direção e sentido em todos os pontos do espaço.
Estas definições são não rigorosas e um tanto limitadas, mas serão adequadas
aos nossos propósitos.1
Como todos já estão devidamente familiarizados com a álgebra de escalares,
passamos ao estudo da álgebra vetorial.
0.2 Álgebra Vetorial
Como vimos, um vetor A será completamente caracterizado por seu módulo, di-
reção e sentido. Representamos o módulo de A por |A| ou, às vezes, simplesmente
1Definições rigorosas envolvem propriedades de transformação sob mudança do sistema de
coordenadas.
1
2 Capítulo 0 Cálculo vetorial: uma revisão
A. Sendo B e C outros vetores, são válidas as seguintespropriedades:
A+B=B+A
A+ (B+C)= (A+B)+C= (A+C)+B=A+B+C,
ou seja, a soma de vetores é definida, resulta em outro vetor e obedece às proprie-
dades da comutatividade e distributividade. Por outro lado, sendo α um escalar
(α ∈R), αA é também um vetor,
B=αA,
com as seguintes características:
módulo: |B| = |α| |A|
direção: a mesma de A
sentido:
{
o mesmo de A, se α> 0
o oposto ao de A, se α< 0
Versor (ou vetor unitário) de uma direção é um vetor desta direção cujo módulo
é igual a 1 (um). Dado um vetor A, é fácil determinar o versor de sua direção.
Consideramos:
B=αA,
pois A e seu versor têm a mesma direção, sendo que |B| = 1. Assim,
|B| = |α| |A| = 1=⇒ |α| = 1|A| , ou α=±
1
|A| ,
sendo
{ +→ versor com direção e sentido de A
−→ versor com direção de A mas sentido oposto. Denotando por aˆ oA
aˆ
Fig. 0.1 Versor
versor de A, temos então:
aˆ= A|A|
Também podemos escrever
A= |A|aˆ,
isto é, todo vetor pode ser escrito como o produto de seu módulo pelo versor de
sua direção e sentido.
Para melhor visualisarmos os vetores introduzimos um sistema de coordena-
das tridimensional, dotado de uma origem O e três eixos perpendiculares entre si,
denotados por x, y , z ou x1, x2, x3. Um vetor V pode então ser especificado por
suas componentes em relação a este sistema de coordenadas:
Vx = |V|cosα
Vy = |V|cosβ
Vz = |V|cosγ,
ou,
Vi = |V|cosαi , i = 1,2,3,
Eduardo Resek Unifei
0.3 Produtos entre Vetores 3
ondeα, β, γ, são os ângulos formados por V com os eixos x, y , z, respectivamente
(ou, αi é o ângulo formado por V com o eixo xi , i = 1,2,3).
x
y
z
xˆ
yˆ
zˆ
Vx
Vy
Vz
V
α1
α2
α3
Fig. 0.2 Componentes do vetor e
ângulos diretores
No caso de campos vetoriais, cada uma das componentes é uma função de x,
y , z.
Os versores dos eixos coordenados são comumente denotados pelos seguintes
símbolos:
Eixo x: xˆ, i, xˆ1, eˆ1
Eixo y : yˆ, j, xˆ2, eˆ2
Eixo x: zˆ, k, xˆ3, eˆ3
Em termos das componentes, podemos escrever:
V=Vx xˆ+Vy yˆ+Vz zˆ
ou
V=
3∑
i=1
Vi xˆi
Dados dois vetores A=∑i Ai xˆi e B=∑i Bi xˆi e α ∈R, as propriedades de soma e
multiplicação por escalar se escrevem em termos de componentes, da seguinte
forma:
A+B = (Ax +Bx ) xˆ+ (Ay +By ) yˆ+ (Az +Bz ) zˆ
αA = (αAx ) xˆ+ (αAy ) yˆ+ (αAz ) zˆ
0.3 Produtos entre Vetores
São definidos basicamente dois tipos de produtos entre vetores: o produto escalar
e o produto vetorial. Podemos formar ainda outros tipos através de composições
destes dois produtos básicos.
0.3.1 Produto Escalar
Como o nome já deixa a entender, o resultado deste tipo de produto entre dois
vetores A e B dados não será um outro vetor, mas um escalar:
A·B= Ax Bx + Ay By + Az Bz =
3∑
i=1
Ai Bi .
Pode-se mostrar facilmente que esta definição é equivalente a
A·B= |A| |B|cosθ,
onde θ é o menor ângulo entre A e B.
Unifei Eduardo Resek
4 Capítulo 0 Cálculo vetorial: uma revisão
Exercício Demonstre esta equivalência.
Podemos observar que2
A·A= |A|2 = A2x + A2y + A2z =
3∑
i=1
A2i ≥ 0
A·A= 0⇐⇒A= 0
(αA)·B=A·(αB)=αA·B
A·B=B·A
(A+B)·C=A·C+B·C
0.3.2 Produto Vetorial
Neste tipo de produto entre vetores o resultado é um outro vetor:
A×B=
∣∣∣∣∣∣
xˆ yˆ zˆ
Ax Ay Az
Bx By Bz
∣∣∣∣∣∣= (Ay Bz − Az By ) xˆ+ (Az Bx − Ax Bz ) yˆ+ (Ax By − Ay Bx ) zˆ
Esta definição, como também pode ser mostrado, é equivalente à conhecida regra
do produto vetorial: C=A×B é um vetor
(i) perpendicular ao plano formado por A e B (ou seja, perpendi-
cular a ambos os vetores);
(ii) de módulo igual a
|C| = |A| |B|senθ
(iii) de sentido dado pela regra da mão direita: gire A em direção a
B com os dedos da mão direita segundo o menor ângulo entre eles: o
sentido de C=A×B é o indicado pelo polegar desta mão.
A
B
C
Fig. 0.3 Regra da mão direita
Exercícios
1) Os vetores da origem de um sistema de coordenadas até os pontos A, B , C , D
são:
A = xˆ+ yˆ+ zˆ
B = 2 xˆ+3 yˆ
C = 3 xˆ+5 yˆ−2 zˆ
D = zˆ− yˆ
2Muitas vezes denominamos a operação A·A de elevar o vetor A ao quadrado.
Eduardo Resek Unifei
0.3 Produtos entre Vetores 5
Mostre que as linhas AB e C D são paralelas e determine a razão de seus compri-
mentos.
2) Mostre que os vetores
A= 2 xˆ− yˆ+ zˆ, B= xˆ−3 yˆ−5 zˆ, C= 3 xˆ−4 yˆ−4 zˆ
formam os lados de um triângulo retângulo, e determine os demais ângulos deste
triângulo.
3) Mostre que, sendo xˆi os versores dos eixos x1 ≡ x, x2 ≡ y , x3 ≡ z,
xˆi · xˆ j = δi j ,
onde δi j =
{
1, se i = j
0, se i 6= j .
4) Considere a relação entre três vetores A, B, C:
C=A−B.
Demonstre, quadrando esta relação e interpretando geometricamente o resultado,
a lei dos cossenos.
5) Sendo a um vetor constante e r o vetor posição de um ponto P (x, y, z) genérico
(o vetor que vai da origem do sistema de coordenadas até P ), determine qual a
superfície representada pelas seguintes equações:
a) (r−a)·a= 0
b) (r−a)·r= 0
6) Mostre que
xˆ× xˆ= yˆ× yˆ= zˆ× zˆ= 0
xˆ× yˆ= zˆ, yˆ× zˆ= xˆ, zˆ× xˆ= yˆ
yˆ× xˆ=− zˆ, zˆ× yˆ=− xˆ, xˆ× zˆ=− yˆ
7) Determine um vetor unitário perpendicular simultaneamente aos vetores a e
b, sendo
a = 2i+ j−k
b = i− j+k
8) Mostre que
A = xˆcosα+ yˆsenα
B = xˆcosβ+ yˆsenβ
Unifei Eduardo Resek
6 Capítulo 0 Cálculo vetorial: uma revisão
são vetores unitários no plano x y formando ângulos iguais a α e β, respectiva-
mente, com o eixo x. Obtenha por meio do produto escalar entre esses dois
vetores, a fórmula para cos(α−β).
9) Deduza a lei dos senos:
senα
|A| =
senβ
|B| =
senγ
|C|
A
C
B
γ
α
β
Fig. 0.4 Lei dos senos
10) A força magnética sofrida por uma partícula de carga q em movimento com
velocidade v num campo de indução magnética B é dada por
F= qv×B.
Através de três experimentos, encontrou-se que
se v= 1,0 xˆ, F
q
= 2,0 zˆ−4,0 yˆ
se v= 1,0 yˆ, F
q
= 4,0 xˆ−1,0 zˆ
se v= 1,0 zˆ, F
q
= 1,0 yˆ−2,0 xˆ
(unidades MKS). A partir desses resultados, determine B na região do espaço
considerada.
0.4 Cálculo Diferencial e Integral com Vetores
Consideraremos agora a extensão das idéias anteriormente introduzidas ao cál-
culo diferencial e integral. Estudaremos nesta seção os conceitos de derivada
direcional, gradiente, divergente e rotacional de uma função vetorial, bem como
os de integração ao longo de uma trajetória, de uma superfície ou volume, quando
introduziremos as idéias de fluxo e circulação (ou circuitação) de um vetor.
0.4.1 Derivada Direcional e Gradiente
A derivada direcional de uma função escalar φ(x, y, z) no ponto P (x, y, z) nada
mais é que a taxa de variação de φ com respeito à distância, medida segundo
uma certa orientação (direção), no ponto P considerado.
A equação φ(x, y, z) = φ0 sendo φ0 uma constante, representa o lugar geo-
métrico de todos os pontos (x, y, z) tais que φ = φ0, portanto uma superfície.
Se a partir do ponto P ∈ φ0 imprimirmos um deslocamento ∆r numa direção
qualquer, o ponto P ′ daí resultante pertencerá a uma outra superfície da mesma
Eduardo Resek Unifei
0.4 Cálculo Diferencial e Integral com Vetores 7
família, definida pela equação φ=φ0+∆φ. É evidente que, considerando o des-
locamento entre as duas superfícies, |∆r| =∆r será mínimo quando a direção de
∆r for perpendicular à superfície φ=φ0 (θ = 0). De acordo com a definição de
φ = φ0
φ = φ0 + ∆φ
P
P ′
∆r∆r cos θ
θ
nˆ
Fig. 0.5 Derivada direcional
derivada direcional e com a figura 5, podemos então escrever para o ponto P :
dφ
dr
: derivada direcional segundo a direção de ∆r, no limite em que ∆r→ 0;
dφ
dr cosθ
: derivada direcional segundo a direção de máxima variação de φ.
Definimos pois o gradiente da função escalar φ no ponto P como o vetor
com as seguintes características:
(i) intensidade: igual à da derivada direcional máxima de φ em P ;
(ii) direção: a da derivada direcionalmáxima de φ naquele ponto,
ou seja, perpendicular à superfície φ=φ0 que contem o ponto P ;
(iii) sentido: o dos φ crescentes.
Representamos o gradiente por ∇φ ou gradφ. Da definição, podemos escrever:
|∇φ| = dφ
dr cosθ
Então:
dφ=∇φ·dr ou dφ
dr
=∇φ·dr
dr
Esta equação define φ matematicamente. A partir dela, podemos determinar ∇φ
em qualquer sistema de coordenadas em que conheçamos a forma de d l.
φ = φ0
φ = φ0 + dφ
P
P ′
dr
∇φ
θ
nˆ
Fig. 0.6 Gradiente
Por exemplo, em se tratando de coordenadas cartesianas:
dr = xˆd x+ yˆd y + zˆd z
=⇒∇φ·dr = (∇φ)x d x+ (∇φ)y d y + (∇φ)z d z
Por outro lado:
dφ
dr
= ∂φ
∂x
d x
dr
+ ∂φ
∂y
d y
dr
+ ∂φ
∂z
d z
dr
dφ = ∂φ
∂x
d x+ ∂φ
∂y
d y + ∂φ
∂z
d z
Assim, com a definição de ∇φ,
∂φ
∂x
d x+ ∂φ
∂y
d y + ∂φ
∂z
d z = (∇φ)x d x+ (∇φ)y d y + (∇φ)z d z.
Como as diferenciais d x, d y , d z são independentes, podemos igualar os co-
eficientes correspondentes às diferenciais nos dois membros desta expressão,
resultando
(∇φ)x = ∂φ
∂x
, (∇φ)y = ∂φ
∂y
, (∇φ)z = ∂φ
∂z
,
ou
∇φ= ∂φ
∂x
xˆ+ ∂φ
∂y
yˆ+ ∂φ
∂z
zˆ.
Unifei Eduardo Resek
8 Capítulo 0 Cálculo vetorial: uma revisão
Exemplo Determinar o gradiente de f = f (r )= f (
√
x2+ y2+ z2).
Solução De acordo com a expressão obtida para ∇ f ,
∇ f (r )= xˆ∂ f (r )
∂x
+ yˆ∂ f (r )
∂y
+ zˆ∂ f (r )
∂z
Mas
∂ f (r )
∂x
= d f (r )
dr
∂r
∂x
= d f (r )
dr
x√
x2+ y2+ z2
= d f (r )
dr
x
r
.
Analogamente:
∂ f (r )
∂y
= d f (r )
dr
y
r
,
∂ f (r )
∂z
= d f (r )
dr
z
r
Então:
∇ f (r )= d f
dr
(x xˆ+ y yˆ+ z zˆ) 1
r
∇ f (r )= d f
dr
rˆ
0.4.2 Integração Vetorial
Antes de continuarmos a discutir outros aspectos relativos a diferenciação de veto-
res, é conveniente estudarmos alguns tópicos referentes a integração envolvendo
vetores.
Integral de Linha
A integral de linha de um campo vetorial F= F(r)= F(x, y, z) desde um ponto a
até um ponto b dados, ao longo de uma trajetória C é um escalar representado
por
b∫
a
C
F·dr,
onde dr é um vetor deslocamento infinitesimal ao longo da curva C . O cálculo da
integral é efetuado como o de uma integral Riemanniana ordinária: dividimos
a porção da curva C entre a e b em N partes, calculamos Fi ·∆ri para cada uma
delas e somamos tudo, tomando o limite em que N →∞ (ou ∆ri → 0).
b∫
a C
F·dr = lim
N→∞
N∑
i=1
Fi ·∆ri =
= lim
N→∞
N∑
i=1
Fi ∆ri cosθi
Em geral, o resultado depende não somente dos pontos extremos a e b, mas
também da curva C que os une.
a
b
C
θi
∆ri
Fi
Fig. 0.7 Integração ao longo de um
caminho
Eduardo Resek Unifei
0.4 Cálculo Diferencial e Integral com Vetores 9
O caso particular de integração ao longo de uma curva fechada é denotado
de forma especial como ∮
C
F·dr,
e denominado circulação ou circuitação de F em torno (ou ao longo) de C . O
resultado pode ou não ser nulo. A classe dos campos vetoriais para os quais a
integral acima se anula para qualquer que seja a curva fechada C é de especial
importância na física matemática.
Integral de Superfície — Fluxo
Dado um campo vetorial F numa região do espaço, definimos o fluxo ΦF do
campo através de uma superfície S como a integral
ΦF =
∫
S
F· nˆdS
onde dS é um elemento infinitesimal de área e nˆ um vetor unitário normal a
dS. É claro que ΦF é um escalar. O sentido de nˆ é para fora da superfície, se S
for uma superfície fechada; se S for aberta e finita, ela possui um contorno l ;
`
S
nˆ
Fig. 0.8 Regra da mão direita para
o versor normal
por convenção o sentido de nˆ é indicado pelo polegar da mão direita quando os
demais dedos abraçam l no sentido escolhido com positivo para sua orientação
(Figura 8)
S
dSi
Fi
θi
nˆi
Fig. 0.9 Fluxo de um vetor
O cálculo da integral é semelhante ao caso anteriormente considerado da
integral de linha: ∫
S
F· nˆdS = lim
N→∞
N∑
i=1
Fi · nˆi ∆Si
= lim
N→∞
N∑
i=1
Fi cosθi ∆Si
=
∫
S
F cosθdS
De forma análoga, o fluxo de F através de uma superfície fechada S é denotado
por ∮
S
F· nˆdS.
Integral de Volume
Aqui não há nada de especial: a integral de volume de um vetor F através de um
volume V definido por uma superfície fechada S,∫
V
Fd v
reduz-se simplesmente a três integrais escalares, uma para cada direção do es-
paço. Se F for expresso em coordenadas cartesianas, por exemplo, teremos∫
V
Fd v = xˆ
∫
V
Fx d v + yˆ
∫
V
Fy d v + zˆ
∫
V
Fz d v.
Unifei Eduardo Resek
10 Capítulo 0 Cálculo vetorial: uma revisão
0.4.3 Divergência
Um outro importante operador, essencialmente uma derivada, é o operador
divergente. O divergente (ou a divergência) de um campo vetorial F, denotado
por ∇·F ou divF é definido como o limite do fluxo de F através de uma superfície
fechada S por unidade de volume, quando o volume V delimitado por S tende a
zero:
∇·F= lim
V→0
1
V
∮
S
F· nˆdS
Vemos claramente que o divergente é uma função escalar de ponto (campo
escalar) — ele representa, em cada ponto, o fluxo por unidade de volume que
nasce de um elemento de volume coincidente com o ponto.
y
z
x
P
∆z
∆x
∆y
z0
y0
x0
Fig. 0.10 Elemento de volume
próximo ao ponto P (x0, y0, z0)
A definição acima é independente da escolha do sistema de coordenadas,
podendo pois ser usada para encontrar a forma específica de ∇·F em qualquer
sistema de coordenadas particular. Em coordenadas cartesianas retangulares,
por exemplo, tomamos um elemento de volume ∆v = ∆x∆y∆z, localizado no
ponto (x0, y0, z0). O fluxoΦF de um campo vetorial F através deste paralelepípedo
será, desprezando infinitésimos de ordem superior:∮
S
F · nˆdS =
∫
Fx (x0+∆x, y, z)d y d z−
∫
Fx (x0, y, z)d y d z
+
∫
Fy (x, y0+∆y, z)d x d z−
∫
Fy (x, y0, z)d x d z
+
∫
Fz (x, y, z0+∆z)d x d y −
∫
Fz (x, y, z0)d x d y,
De acordo com o teorema de Taylor, desprezando novamente infinitésimos supe-
riores:
Fx (x0+∆x, y, z) = Fx (x0, y, z)+∆x ∂Fx
∂x
∣∣∣
(x0,y,z)
Fy (x, y0+∆y, z) = Fy (x, y0, z)+∆y
∂Fy
∂y
∣∣∣
(x,y0,z)
Fz (x, y, z0+∆z) = Fz (x, y, z0)+∆z ∂Fz
∂z
∣∣∣
(x,y,z0)
,
de modo que
∇·F = lim
∆v→0
1
∆x∆y∆z
{
∆x
∫
∂Fx
∂x
∣∣∣
(x0,y,z)
d y d z
+∆y
∫
∂Fy
∂y
∣∣∣
(x,y0,z)
d x d z+∆z
∫
∂Fz
∂z
∣∣∣
(x,y,z0)
d x d y
}
.
Assim, tomando o limite e simplificando
∇·F= ∂Fx
∂x
+ ∂Fy
∂y
+ ∂Fz
∂z
Podemos agora enunciar um teorema extremamente importante da análise
vetorial envolvendo o divergente:
Eduardo Resek Unifei
0.4 Cálculo Diferencial e Integral com Vetores 11
Teorema do Divergente (Gauss): a integral do divergente de um campo vetorial
sobre um volume v é igual ao fluxo deste vetor através da superfície S que limita
v : ∫
v
∇·Fd v =
∮
S
F· nˆdS
Exemplo Determine ∇·r e ∇·[r f (r )].
Solução Aplicando diretamente a expressão encontrada acima,
∇·r=
(
xˆ
∂
∂x
+ yˆ ∂
∂y
+ zˆ ∂
∂z
)
·(x xˆ+ y yˆ+ z zˆ)= ∂x
∂x
+ ∂y
∂y
+ ∂z
∂z
=⇒∇·r= 3
De modo mais genérico:
∇·[r f (r )] = ∂
∂x
[x f (r )]+ ∂
∂y
[y f (r )]+ ∂
∂z
[z f (r )]
= 3 f (r )+ x
2
r
d f (r )
dr
+ y
2
r
d f (r )
dr
+ z
2
r
d f (r )
dr
= 3 f (r )+ r d f
dr
.
Em particular, se f (r )= r n−1, ou seja, r f (r )= r n ,
∇·( rˆr n)= 3r n−1+ (n−1)r n−1 = (n+2)r n−1.
Vemos que o divergente se anula para n = 2, fato que será importante futura-
mente:
∇·
( rˆ
r 2
)
= 0, para r 6= 0
0.4.4 Rotacional
Outro importante operador diferencial da análise vetorial é o rotacional, deno-
tado por ∇×F ou rot F, quando aplicado a um vetor F. Analogamente ao modo
como definimos o divergente, na seção anterior, por
∇·F= lim
V→0
1V
∮
S
nˆ·FdS
definimos o rotacional de um campo vetorial F, nas mesmas condições, por:
∇×F= lim
V→0
1
V
∮
S
nˆ×FdS
Esta definição, entretanto, é equivalente, pode-se mostrar, a uma outra que nos
será mais útil: considere no ponto P uma trajetória l fechada e contida num
Unifei Eduardo Resek
12 Capítulo 0 Cálculo vetorial: uma revisão
plano cuja normal é nˆ (o sentido de nˆ é, como sempre, definido pela regra da
mão direita aplicada ao sentido convencionado como positivo para a trajetória l );
a componente do vetor ∇×F na direção de nˆ é então definida como o limite da
relação entre a circulação de F ao longo de l e a área S delimitada por l , quando S
tende a zero:
nˆ·∇×F= lim
S→0
1
S
∮
`
F·dr.
Exercício Mostre a equivalência dessas duas definições.
Podemos determinar as componentes do vetor rotacional de um dado campo
F em qualquer sistema de coordenadas, através de uma das duas definições
apresentadas. Em coordenadas cartesianas o resultado é:
∇×F=
(∂Fz
∂y
− ∂Fy
∂z
)
xˆ+
(∂Fx
∂z
− ∂Fz
∂x
)
yˆ+
(∂Fy
∂x
− ∂Fx
∂y
)
zˆ,
ou, numa forma mnemônica, como a expansão de um determinante:
∇×F=
∣∣∣∣∣∣∣∣
xˆ yˆ zˆ
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
Fx Fy Fz
∣∣∣∣∣∣∣∣
O teorema de Stokes, enunciado a seguir, é também um resultado de importância
na análise vetorial:
Teorema de Stokes: A circulação de um campo vetorial ao longo de uma curva
fechada l é igual à integral de superfície de seu rotacional sobre qualquer superfí-
cie limitada pela curva: ∮
`
F·dr=
∫
S
∇×F· nˆdS
Exemplo 1 Mostre que ∇×( f V)= f ∇×V+ (∇ f )×V.
Solução De acordo com a expressão para o rotacional,
∇×( f V)=
∣∣∣∣∣∣∣∣
xˆ yˆ zˆ
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
f Vx f Vy f Vz
∣∣∣∣∣∣∣∣ ,
assim:(∇×( f V))x = ∂( f Vz )∂y − ∂( f Vy )∂z = f ∂Vz∂y + ∂ f∂y Vz − f ∂Vy∂z − ∂ f∂z Vy =
= f
(
∂Vz
∂y
− ∂Vy
∂z
)
+
(
∂ f
∂y
Vz − ∂ f
∂z
Vy
)
=
= ( f ∇×V)x + (∇ f ×V )x ,
Eduardo Resek Unifei
0.4 Cálculo Diferencial e Integral com Vetores 13
de modo que
∇×( f V)= f ∇×V+ (∇ f )×V
Exemplo 2 Encontre ∇×[r f (r )].
Solução De acordo com a fórmula obtida no exemplo anterior, temos:
∇×[r f (r )]= f ∇×r+∇ f ×r.
Mas
∇×r=
∣∣∣∣∣∣∣∣
xˆ yˆ zˆ
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
x y z
∣∣∣∣∣∣∣∣= 0,
e, além disso,
∇ f (r )= d f
dr
rˆ,
donde resulta, levando em conta que rˆ×r= 0, que
∇×[r f (r )]= 0
0.4.5 Aplicações sucessivas de∇
Vejamos o que resulta da aplicação sucessiva do operador ∇, de diversas formas e
a diversos tipos de quantidades.
Laplaciano
É, por definição, o divergente do gradiente de uma função escalar φ:
∇2φ=∇·∇φ
O laplaciano de um campo escalar resulta numa outra função escalar. Em coor-
denadas cartesianas, por exemplo, temos
∇2φ= ∂
2φ
∂x2
+ ∂
2φ
∂y2
+ ∂
2φ
∂z2
Divergente do rotacional
Nesse caso, teremos:
∇·∇×V = ∇·
∣∣∣∣∣∣∣∣
xˆ yˆ zˆ
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
Vx Vy Vz
∣∣∣∣∣∣∣∣=
∂
∂x
(∂Vz
∂y
− ∂Vy
∂z
)
+ ∂
∂y
(∂Vx
∂z
− ∂Vz
∂x
)
+ ∂
∂z
(∂Vy
∂x
− ∂Vx
∂y
)
Unifei Eduardo Resek
14 Capítulo 0 Cálculo vetorial: uma revisão
Considerando que V é uma função contínua e lisa das variáveis x, y , z, as suas de-
rivadas segundas com relação a estas variáveis podem ser tomadas em qualquer
ordem, isto é, por exemplo,
∂2Vz
∂x∂y
= ∂
2Vz
∂y∂x
,
o mesmo acontecendo com as demais derivadas. Desse modo, resulta que
∇·∇×V=∇·
∣∣∣∣∣∣∣∣
xˆ yˆ zˆ
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
Vx Vy Vz
∣∣∣∣∣∣∣∣= 0
Rotacional do gradiente
Pela expressão para o cálculo do rotacional, temos:
∇×∇φ=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
xˆ yˆ zˆ
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
∂φ
∂x
∂φ
∂y
∂φ
∂z
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 0
Rotacional do rotacional e gradiente do divergente
Em geral, nenhuma dessas duas operações são nulas, mas existe a seguinte
relação entre elas:
∇×∇×V=∇∇·V−∇2V,
onde o laplaciano de um vetor é o vetor cujas coordenadas cartesianas são os
laplacianos das componentes correspondentes do vetor original:
∇2V = (∇·∇Vx ) xˆ+ (∇·∇Vy ) yˆ+ (∇·∇Vz ) zˆ
= ∇2Vx xˆ+∇2Vy yˆ+∇2Vz zˆ.
Deve-se observar que esta última relação só é válida no sistema de coordenadas
cartesianas. Nos demais sistemas, ∇2V é definido pela primeira expressão.
Muitas vezes, escrevemos também, simbolicamente,
∇2V=∇·∇V.
0.4.6 Algumas Relações Úteis
Fornecemos, a seguir, algumas identidades freqüentemente necessárias no ma-
nuseio de expressões em cálculo vetorial.
∇(uv)= u∇v + v∇u
∇·( f V)= f ∇·V+∇ f ·V
Eduardo Resek Unifei
0.5 Sistemas de Coordenadas Curvilíneas 15
∇·(A×B)=B·∇×A−A·∇×B
∇×( f V)= f ∇×V+ (∇ f )×V∮
S
φ nˆdS =
∫
v
∇φd v∮
φdr=
∫
S
nˆ×∇φdS∫
v
(ϕ∇2φ−φ∇2ϕ)d v =
∮
S
(ϕ∇φ−φ∇ϕ)· nˆdS
Exercícios
11) Mostre que, se A é um vetor constante,
∇(A·r)=A.
12) Mostre que, se ∇×A= 0, então ∇·(A×r)= 0.
13) Se ∇×f 6= 0 mas ∇×(g f)= 0, onde g = g (x, y, z) e f= f(x, y, z), mostre que
f·∇×f= 0.
14) Se A e B são vetores constantes, mostre que ∇(A·B×r)=A×B.
15) Mostre que ∇×(φ∇φ)= 0.
16) Mostre que a integral de linha de um campo F antre dois pontos a e b do es-
paço,
∫ b
a
F·dr, é independente da trajetória se a condição ∇×F= 0 for satisfeita.
0.5 Sistemas de Coordenadas Curvilíneas
Nas primeiras seções, embora tenhamos introduzido o vetor posição radial r,
restringimo-nos quase que inteiramente ao uso de coordenadas cartesianas, cuja
grande vantagem é a sua simplicidade, devida ao fato de serem seus vetores
unitários constantes e os mesmos em todos os pontos do espaço.
Infelizmente nem todos os problemas em física e engenharia se adaptam a
uma solução desenvolvida em um sistema de coordenadas cartesianas. Por exem-
plo, num problema de força central, tal como a gravitacional ou a eletrostática,
a simetria praticamente exige que façamos uso de um sistema de coordenadas
em que a distância radial seja uma das coordenadas, ou seja, um sistema de
coordenadas esféricas.
Unifei Eduardo Resek
16 Capítulo 0 Cálculo vetorial: uma revisão
A escolha do sistema de coordenadas deve estar portanto, ligada à simetria
presente na situação analisada. Uma escolha adequada sempre facilita enorme-
mente a solução do problema.
Estudaremos basicamente dois tipos de sistemas de coordenadas, por serem
os mais comuns e os mais tratáveis: o sistema de coordenadas esféricas e o de
coordenadas cilíndricas.
Poderíamos desenvolver a teoria de forma a obter expressões genéricas váli-
das em qualquer sistema de coordenadas curvilíneas, como é feito na maioria
dos livros-texto sobre o assunto, particularizando depois os resultados para os
sistemas de interesse. Não seguiremos essa abordagem por considerarmos que,
analisando cada um deles separadamente e deduzindo ‘in loco’ as expressões
desejadas, podemos obter uma maior familiaridade com o sistema em questão.
0.5.1 Sistemas de Coordenadas Cilíndricas (ρ,ϕ, z)
A figura 11 ilustra os elementos do sistema de coordenadas cilíndricas. Dado um
ponto P de coordenadas (ρ,ϕ, z), temos as seguintes interpretações:
ρ: distância perpendicular do ponto P ao eixo z (0≤ ρ <∞);
ϕ: ângulo azimutal, isto é, o ângulo formado com o eixo x pela projeção do vetor posição
do ponto P sobre o plano x y (0≤ϕ< 2pi);
z: distância de P ao plano x y , ou seja, o mesmo que no sistema de coordenadas cartesianas.
Transformação de coordenadas
y
z
x
P ′
ρ
P
z
ρ
ρˆ
ϕˆ
zˆ
r
ϕ
Fig. 0.11 Coordenadas cilíndricas
e seus versores
A figura 12 mostra a projeção no plano x y da figura 11. Dela podemos escrever as
seguintes relações entre as coordenadas cilíndricas e as cartesianas:
Transformação de coordenadas cilíndricas para cartesianas:
x = ρ cosϕ,
y = ρ senϕ,
z = z.
x
y
ρˆ
ϕˆ
ρ
ϕ
y
x
ϕ
ϕ
P ′
Fig. 0.12 Projeção no plano x y
Transformação de coordenadas cartesianaspara cilíndricas:
ρ =
√
x2+ y2, 0≤ ρ <∞,
ϕ = arctan y
x
, 0≤ϕ< 2pi,
z = z.
Eduardo Resek Unifei
0.5 Sistemas de Coordenadas Curvilíneas 17
Transformação dos vetores unitários:
Os vetores unitários dos sistemas de coordenadas curvilíneas não são em geral
constantes, por isso merecem atenção especial quando envolvidos em operações
como derivação e integração. Vejamos como se relacionam os versores do sistema
de coordenadas cilíndricas com os de coordenadas cartesianas:
Versores cartesianos para cilíndricos: Da figura 12, decompondo os verso-
res ρˆ e ϕˆ nos eixos x, y , observando que os ângulos indicados na figura são iguais
a ϕ, obtemos:
ρˆ = xˆcosϕ+ yˆsenϕ
ϕˆ = − xˆsenϕ+ yˆcosϕ
zˆ = zˆ
Note que os versores ρˆ, ϕˆ, zˆ formam um sistema triortogonal: o produto escalar
entre qualquer par desses versores (distintos entre si) é nulo e, além disso:
ρˆ×ϕˆ= zˆ, ϕˆ× zˆ= ρˆ, zˆ× ρˆ = ϕˆ.
Versores cilíndricos para cartesianos: As transformações inversas são tam-
bém facilmente obtidas e são deixadas como exercício. O resultado é:
xˆ = ρˆ cosϕ− ϕˆsenϕ
yˆ = ρˆ senϕ+ ϕˆcosϕ
Vetor posição: O vetor posição de um ponto P genérico do espaço, cujas co-
ordenadas cilíndricas são (ρ,ϕ, z) e cartesianas (x, y, z), pode ser escrito, usando
apenas elementos de coordenadas cilíndricas, com:
r= ρ ρˆ+ z zˆ;
se expressarmos ρˆ em termos dos versores cartesianos, teremos a forma mais
adequada para o uso em integrações e derivadas,
r= ρ cosϕ xˆ+ρ senϕ yˆ+ z zˆ.
Elementos de área e volume
A fim de entendermos mais facilmente como determinar os elementos de volume
e superfície nos sistemas de coordenadas curvilíneas, vamos examinar como eles
são formados no nosso velho sistema de coordenadas cartesianas. O elemento de
área no plano x y , por exemplo, é obtido mantendo z = cte. e imprimindo peque-
nas variações d x e d y nas coordenadas (x, y) de um ponto P genérico (figura 13).
Temos então construído um elemento de área no plano x y (ou paralelo a ele), ou
seja, num plano z = constante. É claro que
x
y
dS = dx dy
Fig. 0.13 Elemento de área cartesi-
ana no plano x y
Unifei Eduardo Resek
18 Capítulo 0 Cálculo vetorial: uma revisão
(dS)z=cte = d x d y.
Um elemento de volume é facilmente obtido a partir daí, acrescentando agora
uma variação infinitesimal d z da coordenada z: teremos um pequeno cubo de
arestas d x, d y e d z, cujo volume é
d v = d x d y d z.
Em coordenadas cilíndricas basta agora repetirmos o raciocínio, acompa-
nhando a figura 14. No plano z = cte, imprimimos às coordenadas ρ eϕ variações
infinitesimais dρ e dϕ. Obtemos portanto um retângulo infinitesimal cujos lados
são dados por dρ e ρdϕ; sua área será portanto igual a
x
y
ρ
ϕ
dϕ
dρ
ρ dϕ
dS = ρ dρ dϕ
Fig. 0.14 Elemento de área polar
no plano x y
(dS)z=cte = ρdρdϕ.
Podemos igualmente escrever os elementos de área obtidos quando mantemos
cada uma das demais coordenadas constantes e permitimos às outras uma pe-
quena variação. Temos:
(dS)ρ=cte = ρdϕd z,
correspondente a ρ = cte (elemento de área lateral do cilindro) e
(dS)ϕ=cte = dρd z.
correspondente a ϕ= cte.
O elemento de volume, como a essa altura já deve ser óbvio, é conseguido
juntando-se, por exemplo, a variação d z àquela correspondente a z = cte:
d v = ρdρdϕd z
Forma dos operadores vetoriais
Para encerrar, listamos a seguir as formas assumidas no sistema de coordenadas
cilíndricas pelos diversos operadores diferenciais vetoriais estudados:
Gradiente
∇φ= ∂φ
∂ρ
ρˆ+ 1
ρ
∂φ
∂ϕ
ϕˆ+ ∂φ
∂z
zˆ
Divergente
∇·V= 1
ρ
∂
∂ρ
(ρVρ)+ 1
ρ
∂Vϕ
∂ϕ
+ ∂Vz
∂z
Rotacional
∇×V= 1
ρ
∣∣∣∣∣∣∣∣
ρˆ ρ ϕˆ zˆ
∂
∂ρ
∂
∂ϕ
∂
∂z
Vρ ρVϕ Vz
∣∣∣∣∣∣∣∣
Eduardo Resek Unifei
0.5 Sistemas de Coordenadas Curvilíneas 19
Laplaciano
∇2φ= 1
ρ
∂
∂ρ
(
ρ
∂φ
∂ρ
)
+ 1
ρ2
∂2φ
∂ϕ2
+ ∂
2φ
∂z2
Laplaciano de um vetor
(∇2V)ρ = ∇2Vρ− 1
ρ2
Vρ− 2
ρ2
∂Vϕ
∂ϕ
(∇2V)ϕ = ∇2Vϕ− 1
ρ2
Vϕ+ 2
ρ2
∂Vρ
∂ϕ
(∇2V)z = ∇2Vz
0.5.2 Sistemas de Coordenadas Esféricas (r,θ,ϕ)
A figura 15 ilustra os elementos de coordenadas esféricas, r,θ,ϕ de um ponto P
genérico do espaço, que possuem os seguintes significados:
r : módulo do vetor posição do ponto, ou seja, a distância do ponto P à origem do sistema
de coordenadas (0≤ r <∞);
θ: ângulo que o raio vetor (vetor posição) de P faz com o semieixo positivo z (0≤ θ ≤ pi),
também conhecido como ângulo polar;
ϕ: ângulo azimutal, isto é, o ângulo formado com o eixo x pela projeção do vetor posição
do ponto P sobre o plano x y (0≤ϕ< 2pi), ou seja, o mesmo significado que no sistema
de coordenadas cilíndricas;
Transformação de coordenadas
Na figura 15 podemos extrair dois triângulos retanˆgulos que nos possibilitarão
escrever as relações ligando o sistema de coordenadas esféricas e o de coorde-
nadas cartesianas; são eles o triângulo OPP ′′, onde O é a origem do sistema de
coordenadas, que é retângulo em P ′′ (ou OPP ′, retângulo em P ′, que é seme-
lhante a OPP ′′), e o triângulo OMP ′, retângulo em M . A figura 16 mostra esses
dois triângulos. Note que OMP ′ jaz no plano x y , enquanto OPP ′′ fica no plano
ϕ= cte e que, além disso, OP ′ = PP ′′ coincide com a definição do elemento ρ das
coordenadas cilíndricas.
x
y
z
M
x
y
P ′
P ′′
P
θˆ
r
θ
ϕ
rˆ
ϕˆ
Fig. 0.15 Coordenadas esféricas
Transformação de coordenadas esféricas para cartesianas: Da figura 16(b)
vemos que
x = OP ′ cosϕ,
y = OP ′ senϕ,
Unifei Eduardo Resek
20 Capítulo 0 Cálculo vetorial: uma revisão
enquanto, da figura 16(a),
z = r cosθ,
PP ′′ = r senθ
Como OP ′ = PP ′′ , as relações desejadas são
x = r senθcosϕ,
y = r senθ senϕ,
z = r cosθ,r
P
O
z
P ′′
ρ
θ (a)
O
P ′
Mx
yρ
ϕ
(b)
Fig. 0.16 Transformações de coor-
denadas
Transformação de coordenadas cartesianas para esféricas: Do ∆OPP ′′, o
teorema de Pitágoras fornece
r 2 = PP ′′ 2+ z2;
o mesmo teorema, aplicado a ∆OMP ′, conduz a
OP ′
2 = PP ′′2 = x2+ y2,
de modo que
r 2 = x2+ y2+ z2,
resultado que poderíamos obter diretamente a partir do produto escalar de r
por ele mesmo. Ainda, cada uma das figuras fornece um dos ângulos θ e ϕ; as
expressões finais são:
r =
√
x2+ y2+ z2, 0≤ r <∞,
θ = arccos z
r
, 0≤ θ ≤pi,
ϕ = arctan y
x
, 0≤ϕ< 2pi.
Transformação dos vetores unitários:
Versores cartesianos para esféricos: Da figura 15 percebemos que o versor
ϕˆ é sempre paralelo ao plano x y , não possuindo componente na direção do eixo
z. Percebemos também que este vetor é exatamente aquele que já determinamos
quando estudamos o sistema de coordenadas cilíndricas e, portanto já temos
pronta sua expressão de transformação:
ϕˆ=− xˆsenϕ+ yˆcosϕ.
Eduardo Resek Unifei
0.5 Sistemas de Coordenadas Curvilíneas 21
O versor rˆ é facilmente encontrado lembrando que
rˆ= r
r
= x
r
xˆ+ y
r
yˆ+ z
r
zˆ
Assim, usando as expressões obtidas para x, y e z,
rˆ= senθcosϕ xˆ+ senθ senϕ yˆ+cosθ zˆ.
O meio mais fácil de determinar θˆ é observando que, como os três versores
formam um sistema triortogonal,
θˆ = ϕˆ× rˆ=
∣∣∣∣∣∣
xˆ yˆ zˆ
−senϕ cosϕ 0
senθcosϕ senθ senϕ cosθ
∣∣∣∣∣∣
Assim, desenvolvendo e simplificando,
θˆ = cosθcosϕ xˆ+cosθ senϕ yˆ− senθ zˆ
Como já foi observado, os versores rˆ, ϕˆ, θˆ formam um sistema triortogonal:
o produto escalar entre qualquer par desses versores (distintos entre si) é nulo e,
além disso:
rˆ× θˆ = ϕˆ, ϕˆ× rˆ= θˆ, θˆ×ϕˆ= rˆ.
Versores esféricos para cartesianos: As transformações inversas são tam-
bém facilmente obtidas e são deixadas como exercício. O resultado é:
xˆ = senθcosϕ rˆ+cosθcosϕθˆθθ− senϕϕˆϕϕ
yˆ = senθ senϕ rˆ+cosθ senϕθˆθθ+cosϕϕˆϕϕ
zˆ = cosθ rˆ− senθθˆθθ
Vetor posição: O vetor posição de um ponto P genérico do espaço, cujas
coordenadasesféricas são (r,θ,ϕ) e cartesianas (x, y, z), pode ser escrito, usando
apenas elementos de coordenadas esféricas, com:
r= r rˆ,
pois r é um dos elementos de coordenadas esféricas. Expressando em termos dos
versores cartesianos, teremos a forma mais adequada para o uso em integrações
e derivadas,
r= r senθcosϕ xˆ+ r senθ senϕ yˆ+ r cosθ zˆ.
Unifei Eduardo Resek
22 Capítulo 0 Cálculo vetorial: uma revisão
Elementos de área e volume
Em coordenadas esféricas o elemento de superfície mais importante é aquele
obtido mantendo r constante e permitindo a θ e ϕ variarem infinitesimalmente
(figura 15). Da figura podemos determinar os lados do retângulo infinitesimal
assim formado: mantendo inicialmente ϕ fixo e variando θ de dθ, obtemos um
arco de comprimento r dθ. Se, por outro lado, mantivermos θ fixo e variarmos ϕ
de dϕ, teremos um arco de uma circunferência de raio r senθ, cujo comprimento
é portanto r senθdϕ. Logo, a área do elemento considerado será
(dS)r=cte = r 2 senθdϕdθ.
y
z
x
r sin θ dϕ
r dθ
dϕ
dθ
Fig. 0.17 Elemento de superfície
O elemento de volume é então facilmente encontrado a partir daí, bastando
permitir agora também ao raio vetor uma pequena variação dr : teremos um
cubo infinitesimal de lados dr , r senθdϕ e r dθ, cujo volume é
d v = r 2 senθdr dθdϕ
Podemos, ainda, novamente escrever os elementos de área obtidos quando
mantemos cada uma das demais coordenadas constantes e permitimos às outras
uma pequena variação. Temos:
(dS)θ=cte = r senθdr dϕ
correspondente a r = cte (elemento de área lateral de um cone com vértice na
origem semi-abertura θ) e
(dS)ϕ=cte = r dr dθ.
correspondente a ϕ= cte.
Forma dos operadores vetoriais
Em coordenadas esféricas os operadores diferenciais vetoriais estudados assu-
mem a seguinte forma:
Gradiente
∇φ= ∂φ
∂r
rˆ+ 1
r
∂φ
∂θ
θˆ+ 1
r senθ
∂φ
∂ϕ
ϕˆ
Divergente
∇·V= 1
r 2 senθ
[
senθ
∂
∂r
(r 2Vr )+ r ∂
∂θ
(senθVθ)+ r
∂Vϕ
∂ϕ
]
Eduardo Resek Unifei
0.5 Sistemas de Coordenadas Curvilíneas 23
Rotacional
∇×V= 1
r 2 senθ
∣∣∣∣∣∣∣∣
rˆ r θˆ r senθ ϕˆ
∂
∂r
∂
∂θ
∂
∂ϕ
Vr r Vθ r senθVϕ
∣∣∣∣∣∣∣∣
Laplaciano
∇2φ= 1
r 2 senθ
[
senθ
∂
∂r
(r 2
∂φ
∂r
)+ ∂
∂θ
(senθ
∂φ
∂θ
)+ 1
senθ
∂2φ
∂ϕ2
]
É interessante notar que
1
r 2
∂
∂r
(
r 2
∂φ
∂r
)
= 1
r
∂2
∂r 2
(rφ)
Laplaciano de um vetor
(∇2V)r =∇2Vr − 2
r 2
Vr − 2
r 2
∂Vr
∂θ
− 2cosθ
r 2 senθ
Vθ−
2
r 2 senθ
∂Vϕ
∂ϕ
,
(∇2V)θ =∇2Vθ−
1
r 2 sen 2θ
Vθ+
2
r 2
∂Vr
∂θ
− 2cosθ
r 2 sen 2θ
∂Vϕ
∂ϕ
,
(∇2V)ϕ =∇2Vϕ− 1
r 2 sen 2θ
Vϕ+ 2
r 2 senθ
∂Vr
∂ϕ
+ 2cosθ
r 2 sen 2θ
∂Vθ
∂ϕ
,
Estas expressões para ∇2V são inegavelmente confusas, mas algumas vezes são
necessárias (não há uma garantia expressa de que a natureza seja sempre simples).
Na verdade, não a utilizaremos no decorrer do nosso curso; apresentâmo-la aqui
apenas por questão de completeza.
Exercícios
x
y
(a,−a)
(a, a)(−a, a)
(−a,−a)
Fig. 0.18 Exercício 17
17) O campo elétrico de uma partícula carregada localizada na origem do sistema
de coordenadas é da forma:
E= K
r 3
r, K = cte.
a) Calcule o fluxo de E através da superfície esférica de raio a com centro na
origem.
b) Determine ∇·E e integre este resultado sobre o volume definido pela superfície
esférica, comparando os resultados. Você já esperava por isto?
c) Calcule a integral de linha do vetor E ao longo da trajetória no plano x y mos-
trada na figura.
d) Use o teorema de Stokes para verificar o resultado.
18) Usando os resultados dos teoremas integrais apresentados, encontre uma
fórmula para o volume de uma região em termos de uma integral sobre sua
superfície. Cheque seu resultado para uma esfera e para um paralelepípedo.
Unifei Eduardo Resek
Parte I
Eletrostática
25
Capítulo 1
A Lei de Coulomb e o Campo
Elétrico
1.1 Carga elétrica
Dá-se o nome de carga elétrica a uma propriedade da matéria introduzida
para entendermos qualitativa e quantitativamente um tipo de interação obser-
vada na natureza que, por razões históricas foi denominada interação elétrica ou
eletrostática. Desse modo, assim como a noção de massa gravitacional permite o
estudo da interação ou força gravitacional, a carga nos permite descrever as forças
elétricas entres corpos materiais. Entretanto, ao contrário da força gravitacional,
que é sempre atrativa, observou-se que a força elétrica pode ser de atração ou
repulsão. Assim, torna-se necessário admitir que existem duas espécies distintas
de carga elétrica, que convencionamos chamar de carga elétrica positiva e carga
elétrica negativa. Cargas elétricas de mesma espécie se repelem, ao passo que as
de espécies distintas se atraem.
+ +
+ −
− −
Fig. 1.1 Cargas elétricas
A carga elétrica é uma propriedade fundamental das partículas elementares
que constituem a matéria. De fato, a matéria é um aglomerado de átomos ou
moléculas, e átomos são constituídos por prótons, nêutrons e elétrons; duas
dessa partículas apresentam carga elétrica (o próton possui carga elétrica positiva,
enquanto a carga do elétron é negativa). Entretanto, em escala macroscópica,
os efeitos da carga elétrica tendem a ser mascarados pelo fato que, na média,
há iguais quantidades de carga de ambas as espécies num corpo macroscópico.
Dizemos que o corpo, nestas condições, encontra-se eletricamente neutro. Se, por
outro lado, há um excesso de prótons ou um excesso de elétrons, ele se encontrará
num estado que denominamos (eletricamente) carregado.
27
28 Capítulo 1 A Lei de Coulomb e o Campo Elétrico
1.2 Fatos experimentais importantes acerca da carga elé-
trica
Conservação da carga A carga elétrica total de um sistema isolado é constante
(a carga não pode ser criada nem destruída). Nunca foi observado qualquer
fenômeno que contrariasse esse fato. Mesmo em fenômenos "radicais"como o da
criação de um par elétron-pósitron, ou sua reação inversa, a aniquilação mútua
entre elétron e pósitron, originando radiação eletromagnética,
e−+e−
 γ,
onde γ representa um fóton de raios gama, a carga elétrica, ao contrário da massa,
é conservada, pois pósitron tem carga oposta à do elétron, enquanto um fóton,
radiação eletromagnética, não possui carga elétrica.
A carga é quantizada A carga elétrica só é encontrada na natureza em múltiplos
inteiros de uma carga fundamental (o quantum de carga). A menor carga livre
encontrada na natureza é, em valor absoluto, a do próton:
e = 1,602 ·10−19 C (1.1)
Um elétron possui carga exatamente oposta à esta, de modo que, para um corpo
macroscópico qualquer, teremos
q =±ne, n ∈N. (1.2)
Charles Augustin de Coulomb (1736-
1806, Francês) Em sua homenagem,
deu-se seu nome à unidade de carga
elétrica, o coulomb. Engenheiro de for-
mação, Coulomb foi principalmente
físico. Publicou 7 tratados sobre eletri-
cidade e magnetismo, e outros sobre
torção, atrito entre sólidos, etc.[3] Ex-
perimentador genial e rigoroso, realizou
uma experiência histórica com uma ba-
lança de torção para determinar a força
exercida entre duas cargas elétricas (lei
de Coulomb). Durante os últimos qua-
tro anos da sua vida, foi inspetor geral
do ensino público e teve um papel im-
portante no sistema educativo da época.
(Wikipedia)
1.3 Natureza dos materiais
Do ponto de vista elétrico podemos classificar os materiais basicamente como
condutores, isolantes (ou dielétricos) e semicondutores.
Isolantes são aqueles onde a carga elétrica não possui liberdade de movi-
mento, ou seja, oferecem alta resistência ao fluxo de carga elétrica. Exemplos
são os não metais, plásticos, madeiras, vidros, porcelanas, nylons, etc. Nesses
materiais a estrutura atômica/molecular é tal que todos os elétrons encontram-se
fortemente ligadosaos seus respectivos átomos ou moléculas.
Já nos Condutores as cargas podem se mover com relativa liberdade. Exem-
plos são os metais, o corpo humano ou de animais, a terra, soluções salinas. Nos
sólidos a condução se dá porque existem alguns elétrons onde a ligação com os
átomos é muito fraca (última camada da distribuição eletrônica), de modo que
eles se tornam praticamente livres.
Os semicondutores, por outro lado, possuem propriedades intermediárias,
não sendo tão condutivos quanto os metais, mas consideravelmente mais que os
dielétricos. O mecanismo de condução dos materiais dessa classe é bem distinto
do dos condutores e não será abordado nesse curso.
Um outro tópico que não será endereçado nesse curso é o da supercondutivi-
dade, propriedade apresentada por alguns materiais a baixíssimas temperaturas,
quando a resistência à condução se torna praticamente nula.
Eduardo Resek Unifei
1.4 Formas de eletrização 29
1.4 Formas de eletrização
Sendo constituídos por átomos, os corpos são naturalmente neutros do ponto
de vista elétrico. Entretanto, eles podem adquirir carga elétrica através de alguns
processos que discriminaremos a seguir, cujo efeito final é dotar o corpo de
uma carga líquida negativa (o corpo adquire elétrons) ou positiva (o corpo perde
elétrons):
1.4.1 Eletrização por atrito
Funciona bem para corpos isolantes. Se esfregarmos um material com outro,
há uma tendência dos elétrons se transferirem de um corpo para outro. Por
exemplo, esfregando um corpo de vidro com um pano de seda fará com que o
vidro ceda elétrons para o pano, fazendo com que o vidro apresente uma carga
líquida positiva e a seda negativa.
1.4.2 Eletrização por contato ou condução
Apropriada para carregar metais ou outros condutores. Se um corpo previamente
carregado toca um outro originalmente neutro, uma parte de sua carga se trans-
ferirá para o último, deixando-o carregado com carga de mesma natureza que a
sua.
1.4.3 Eletrização por indução
Também apropriada para condutores. Utilizamos também um corpo previamente
carregado, mas desta vez sem tocar o corpo que desejamos carregar. Aproximando
o objeto carregado do condutor e aterrando esse último1, elétrons fluirão de ou
para a terra (corpo carregado positivamente atrairá elétrons para o condutor,
negativamente expulsará alguns dos elétrons para a terra). Se, antes de afastarmos
o objeto carregado, cortarmos a ligação do condutor com a terra, ele terá se
carregado com uma carga oposta à do objeto auxiliar.
Fig. 1.2 Eletrização por indução1.4.4 Eletrização por irradiação
Submeter um corpo a radiação eletromagnética pode ter como consequência a
ejeção de elétrons de sua estrutura atômica. Um exemplo bem conhecido é o
efeito fotoelétrico, no qual até mesmo a luz visível pode causar a liberação de
elétrons ao incidir sobre uma superfície de, por exemplo, alumínio. Radiação
eletromagnética de frequência mais elevada (mais energética), pode até expelir
elétrons de camadas mais internas da estrutura atômica do material.
1Significa conectar, através de um fio condutor, o corpo a um grande reservatório de carga, com
capacidade para ceder e/ou receber elétrons (geralmente a própria Terra, daí a denominação.)
Unifei Eduardo Resek
30 Capítulo 1 A Lei de Coulomb e o Campo Elétrico
1.5 Lei de Coulomb
Lei experimental obtida por Charles Augustin de Coulomb em 1785, que
descreve quantitativamente a interação eletrostática, isto é, a força entre duas
cargas elétricas em repouso relativo. Essencialmente, ela estabelece que esta
força atua sobre a reta que contem as duas partículas, é diretamente proporcional
ao produto das carga e inversamente proporcional ao quadrado da distância que
as separa. Matematicamente,
O
r1
r2
r2 − r1 = R12
Rˆ12
q1
q2
F21
Fig. 1.3 Lei de Coulomb
F21 = k q1q2
R212
Rˆ12 = k q1q2
R312
R12, (1.3)
é a força que q1 exerce sobre q2, onde R12 = r2− r1 é o vetor com origem na carga
q1 e extremidade na carga q2. A constante k é frequentemente escrita em termos
da permissividade do vácuo, ²0:
k = 1
4pi²0
= 8,9874 ·109 N.m2/C2, ²0 = 10
−9
36pi
F/m= 8,85 ·10−12 F/m (1.4)
Essa expressão vetorial já fornece o sentido correto do vetor força quando as
cargas são consideradas com o sinal algébrico adequado.
Exemplo 1.1 Duas cargas elétricas idênticas de 2,5µC e massas iguais a
200g cada uma, são suspensas de um mesmo ponto no teto através de um
fio leve e inextensível de comprimento 1,0m. Qual o ângulo que cada um
dos fios formará com a vertical na posição de equilíbrio?
Solução:
q1 q2 F21F12
T2
mg
α
Fig. 1.4 Cargas suspensas
Adotando o sistema de eixos tal como na figura, podemos escrever as forças
que atuam sobre a carga q2 como
F21 = 1
4pi²0
q1q2[`senα xˆ−`senα(− xˆ)]
(2`senα)3
= q1q2
16pi²0`2 sen 2α
xˆ,
P=−mg zˆ,
T= T (−cosα xˆ+ senα zˆ)
A condição de equilíbrio é que F12+P+T= 0, implicando em(
q1q2
16pi²0`2 sen 2α
−T cosα
)
xˆ+ (T senα−mg ) zˆ= 0
=⇒ T senα=mg , T cosα= q1q2
16pi²0`2 sen 2α.
Dividindo uma pela outra, encontramos
tanα= 1
cotα
= q1q2 csc
2α
16pi²0`2mg
= 6,25 ·10
−12×9 ·109
4× (1,0)2×0,200×9,81 csc
2α= 7,17·10−3(1+cot2α),
Eduardo Resek Unifei
1.6 Campo elétrico 31
ou seja,
cot3α+cotα−139,52= 0.
Resolvendo esta equação encontramos cotα= 5,12229, donde
α= 10,8°
1.6 Campo elétrico
A experiência mostra que as cargas elétricas não interagem diretamente sobre as
outras; Quando o estado de uma determinada carga elétrica se altera (sua posição,
por exemplo), essa informação não é imediatamente pela sua vizinhança, mas
se propaga através do espaço com uma velocidade finita. Para melhor descrever
essa interação, faz-se necessário admitir a existência de um agente intermediário
que carrega essas informações a respeito do estado de um sistema de cargas. Esse
agente denominado campo elétrico.
Para definirmos o campo elétrico num ponto do espaço, adotamos o seguinte
procedimento: colocamos neste ponto uma carga teste q e determinamos a força
elétrica F que atua sobre ela. O campo elétrico é a razão F/q no limite de q
tendendo a zero:
E= lim
q→0
F
q
. Definição de Campo Elétrico(1.5)
O limite é necessário para garantir que a influência da carga teste sobre a distri-
buição original de cargas cujo campo queremos definir seja a menor possível. É
claro que, devido à quantização da carga elétrica, o processo de limite descrito
na equação acima nunca pode ser realizado estritamente em conformidade com
a definição matemática de limite (processo contínuo de varição da carga), nem
tampouco pode a carga chegar a valores menores que o quantum de carga.
1.7 Princípio da superposição
Fin
qn
Fi1
q1
Fij
qj
Fi3
q3
Fi2
q2
Fi
Fig. 1.5 Princípio da superposição
Para um sistema de muitas partículas, a força total sobre a i -ésima carga é obtida
pelo princípio da superposição, somando-se todas as forças devido a cada uma
das outras partículas como se as demais não existissem:
Fi = 1
4pi²0
N∑
j 6=i
Fi j = qi
4pi²0
N∑
j 6=i
q j
R2j i
Rˆ j i = qi
4pi²0
N∑
j 6=i
q j (ri − r j )
|ri − r j |3
(1.6)
O campo elétrico na posição ocupada pela carga de teste será, portanto:
E(ri )= 1
4pi²0
N∑
j 6=i
Fi j
qi
= 1
4pi²0
N∑
j 6=i
q j
R2j i
Rˆ j i = 1
4pi²0
N∑
j 6=i
q j (ri − r j )
|ri − r j |3
A força elétrica é linear
Unifei Eduardo Resek
32 Capítulo 1 A Lei de Coulomb e o Campo Elétrico
1.8 Linhas de força
Fig. 1.6 Linhas de força
Desde o princípio dos estudos sobre eletricidade foi introduzida a ideia de linhas
de força para representar visualmente o abstrato conceito de campo elétrico
numa certa região do espaço. São linhas orientadas no sentido do campo elétrico
em cada ponto do espaço, traçadas de modo a serem sempre tangentes ao campo
em cada ponto. As figurasa seguir ilustram alguns casos simples envolvendo
cargas pontuais. Note que as linhas de força são apenas uma forma intuitiva de
visualizar o campo; por exemplo, se por um lado existe em geral campo em todos
os pontos do espaço, nunca conseguiremos fazer passar uma linha de força por
todos os pontos. Na verdade, só conseguimos traçar um número finito arbitrário
de linhas, interpretando a concentração dessas linhas ao redor de certo ponto
como um indicativo da magnitude do campo naquele ponto.
1.9 Distribuições contínuas de cargas
No mundo real encontramos a propriedade carga elétrica presente nas partículas
elementares, tais como o elétron e o próton. Átomos e moléculas são, em seu
estado natural, eletricamente neutros. Corpos macroscópicos apresentam algum
excesso de carga quando, por algum processo, ocorre uma transferência de carga
de um corpo para outro (usualmente na forma de elétrons). Geralmente o número
de cargas elementares em excesso é muito grande e, associado ao fato que as
dimensões moleculares são muito pequenas, constitui em geral uma aproximação
excelente ignorar a natureza discreta da carga elétrica quando analisamos uma
situação envolvendo corpos macroscópicos. Trabalhamos então com o conceito
de distribuição contínua de cargas, isto é, com a hipótese que a carga elétrica
se distribui continuamente sobres volumes ou superfícies. Definimos então as
densidades de cargas:
O
rdv
′
r′
P
r− r
′
dE
Fig. 1.7 Distribuição volumétrica
Densidade volumétrica de cargas
ρ(r′)= lim
∆v ′→0
∆q
∆v ′
= d q
d v ′
(1.7)
Densidade superficial de cargas
σ(r′)= lim
∆s′→0
∆q
∆s′
= d q
d s′
(1.8)
Densidade linear de cargas
λ(r′)= lim
∆`′→0
∆q
∆`′
= d q
d`′
(1.9)
Para cada um desses tipos de distribuição de carga, podemos determinar a carga
total do objeto carregado como
Qv ′ =
∫
v ′
ρ(r′)d v ′ QS′ =
∫
S′
σ(r′)dS′ Q`′ =
∫
`′
λ(r′)dr′. (1.10)
Eduardo Resek Unifei
1.10 Exemplos de cálculo de campo elétrico 33
Do ponto de vista macroscópico, mesmo um volume tendendo a "zero"conterá
um número muito grande de átomos ou moléculas, o que nos garante uma apro-
ximação boa procedendo dessa forma. Tratamos então um elemento de carga
dS′
O
r
r′
P
r− r′
dE
Fig. 1.8 Distribuição superficial
d`′
O
r
r′
P
r− r ′
dE
Fig. 1.9 Distribuição linear
como uma carga pontual, de modo que o campo elétrico em um ponto P do es-
paço descrito pelo vetor posição r devido a uma distribuição arbitrária de cargas
seria
E(r)= 1
4pi²0
[
N∑
j=1
q j
R2j
Rˆ j +
∫
v ′
ρ(r′)
R2
Rˆd v ′+
∫
S′
σ(r′)
R2
RˆdS′+
∫
l ′
λ(r′)
R2
Rˆdl ′
]
, (1.11)
onde R é o vetor do elemento de carga em questão até a carga q0, e R j a partir da
j -ésima carga pontual.
Pode-se mostrar que uma carga pontual q num ponto r′ pode ser expressa
por uma densidade de cargas ρ(r)= qδ(r− r′). Além disso, as contribuições dos
diversos tipos de densidades de cargas são estruturalmente idênticas, de modo
que não há perda de generalidade se escrevermos o campo elétrico genericamente
como
E(r)= 1
4pi²0
∫
v ′
ρ(r′)
R2
Rˆd v ′ = 1
4pi²0
∫
v ′
ρ(r′)(r− r′)
|r− r′|3 d v
′. (1.12)
1.10 Exemplos de cálculo de campo elétrico
1.10.1 Um disco carregado não uniformemente
Um disco de DVD possui raios interno e externo respectivamente iguais a 1,0cm e
8,0cm, encontrando-se carregado com carga total 5,0µC, distribuída de maneira
inversamente proporcional à distância ao centro do disco. Determinar o campo
elétrico produzido por essa distribuição num ponto do eixo de simetria do DVD
(eixo perpendicular ao seu plano, passando pelo seu centro).
Solução: Como se trata de uma distribuição superficial de cargas, devemos pri-
meiramente determinar a sua expressão. Como a carga encontra-se distribuída
de maneira não uniforme, não podemos dizer que a densidade é simplesmente a
carga total do disco (que é conhecida) dividida pela sua área total. O que sabemos
é que a distribuição de cargas (ou seja, sua densidade superficial, neste caso)
é inversamente proporcional à distância de cada elemento de cargas ao centro
do disco. Se adotarmos um sistema de eixos cuja origem coincide com o centro
do disco, e eixo z perpendicular ao plano do disco, podemos identificar essa
distância coma a coordenada ρ do sistema de coordenadas cilíndricas. Assim
σ(r′)∝ 1
ρ′
= β
ρ′
, Carga distribuída de maneira
inversamente proporcional:
isso se refere à densidade da
distribuição!
onde β é uma constante a ser determinada. Isso é realizado Escrevendo a carga
total como em (1.8):
Q =
∫
S′
σ(r′)dS′ =
∫ 2pi
0
∫ b
a
β
ρ′
ρ′dρ′dϕ′ = 2piβ(b−a),
Unifei Eduardo Resek
34 Capítulo 1 A Lei de Coulomb e o Campo Elétrico
onde a e b são os raios interno e externo, respectivamente, teremos
β= Q
2pi(b−a) =
5,0 ·10−6
2pi×7,0 ·10−2 = 1,14 ·10
−5 C/m.
A densidade de cargas fica
σ(ρ′)= Q
2pi(b−a)ρ′ .
Lembrando que a lei de Coulomb se aplica para cargas pontuais ou infinitesimais,
x
y
z
r′
r
r− r′
dE
Fig. 1.10 Disco carregado
devemos determinar, para cada elemento de carga possível sobre a distribuição,
o campo que ele produz, somando para toda a distribuição. Devemos, para isso,
sempre escolher um elemento de cargas suficientemente genérico para repre-
sentar todo e qualquer possível elemento de cargas da distribuição. Não escolha,
por exemplo, um elemento de cargas sobre algum dos eixos, na periferia do disco
(nesse caso, pois a distribuição de cargas é superficial) e, jamais, na origem. A
figura ilustra o elemento de carga escolhido, cujo vetor posição escrevemos como
r′ = ρ′ ρˆ′, a ≤ ρ′ ≤ b.
Desejamos calcular o campo sobre um ponto qualquer do eixo z, assim escreve-
mos sucessivamente
r= z zˆ, r− r′ = z zˆ−ρ′ ρˆ′, |r− r′| = (z2+ρ′2)1/2.
A lei de Coulomb fornece então
E(r)=E(z)= 1
4pi²0
∫ 2pi
0
∫ b
a
β
ρ′
(z zˆ−ρ′ ρˆ′)
(z2+ρ′2)3/2ρ
′dρ′dϕ′.
Todo cuidado agora é pouco. Um erro muito comum cometido pelo estudante é
escrever, a partir daí que
Atenção para o erro muito
comum: tratar o versor
como constante!
E(z)= β
4pi²0
(
zˆ z
∫ 2pi
0
∫ b
a
dρ′dϕ′
(x2+ρ′2)3/2 − ρˆ
′
∫ 2pi
0
∫ b
a
ρ′dρ′dϕ′
(x2+ρ′2)3/2
)
u ERRADO!
O erro é que ρˆ′ é um vetor que varia de ponto para ponto, não pode portanto
ser retirado para fora do integral acima. Devemos escrevê-lo em termos de
versores de coordenadas cartesianas:
ρˆ′ = cosϕ′ xˆ+ senϕ′ yˆ,
o que resulta
E(z)= β
4pi²0
(
zˆ z
∫ 2pi
0
∫ b
a
dρ′dϕ′
(x2+ρ′2)3/2
− xˆ
∫ 2pi
0
∫ b
a
ρ′ cosϕ′dρ′dϕ′
(x2+ρ′2)3/2 − yˆ
∫ 2pi
0
∫ b
a
ρ′ senϕdρ′dϕ′
(x2+ρ′2)3/2
)
Eduardo Resek Unifei
1.10 Exemplos de cálculo de campo elétrico 35
Ora, os integrais em xˆ e yˆ se anulam, pois num intervalo completo de 0 a 2pi
tanto o seno como o cosseno, integrados, se anulam:∫ 2pi
0
cosϕ′dϕ′ =
∫ 2pi
0
senϕ′dϕ′ = 0.
No integral restante,∫ 2pi
0
dϕ′ = 2pi e
∫
dρ′
(z2+ρ′2)3/2 =
ρ′
z2
√
z2+ρ′2
.
O integral foi resolvido perfazendo-se a mudança de variáveisρ′ = z tanα ou, mais
fácil ainda, consultando este site. Resta-nos agora apenas completar o cálculo
introduzindo os limites do integral. Reintroduzindo o β calculado anteriormente,
fica:
E(z)= zˆ Q
4pi²0(b−a)z
(
bp
z2+b2
− ap
z2+a2
)
Com os valores numéricos, para z em cm, ficaria:
E(z)= zˆ 5,63 ·10
3
z
(
8p
z2+64
− 1p
z2+1
)
kV/mm
u Simetria!Vamos discutir um pouco mais esse resultado, com particular atenção à sime-
tria apresentada pela distribuição de cargas que, sem mesmo realizar nenhum
cálculo, nos permitiria prever que o único componente do campo elétrico seria o
longo do eixo de simetria do disco (eixo z).
x
y
z
r′
r
r− r′
dE
dE′Fig. 1.11 Elemento de carga simé-
trico
O cálculo do campo envolve a soma das contribuições de todos os possíveis
elementos de carga infinitesimais sobre a superfície do disco. Por isso devemos
escolher um elemento de carga suficientemente genérico sobre a distribuição,
para que ele possa representar qualquer possível elemento infinitesimal do disco,
tal como fizemos na figura. Ora, no processo de soma das contribuições, vamos
encontrar a de um elemento de carga simetricamente disposto, em relação ao
eixo z, ao elemento considerado. Sua contribuição dE′ para o campo em P será
um vetor de mesmo módulo que dE, pois sua distância ao ponto P é a mesma
que a do primeiro elemento e sua carga também é a mesma daquele! Isso se
deve ao fato de que a densidade de cargas sobre a superfície do disco, embora
não seja uniforme, depende apenas da distância do elemento ao centro do disco;
como o segundo elemento considerado está numa posição simétrica ao primeiro,
relativamente ao cento do disco, suas coordenadas ρ′ são idênticas. Além disso,
essa mesma geometria nos garante que os ângulos formados pelas contribuições
dE e dE′ com o eixo z são iguais, implicando que a soma vetorial de ambos será
ao longo desse eixo!
z
dS′dS′′
dE
r′
r
dE′
r′r′′
r− r′r− r′′
dE‖ dE′‖
Fig. 1.12 Cancelamento de compo-
nentes do campo
Poderíamos portanto, com base nessa análise, ter-nos poupado do cálculo
dos demais componentes, embora eles não tenham sido (nesse caso) difíceis (por
outro lado, uma escolha infeliz da ordem em que os integrais foram realizados
poderia ter mudado radicalmente esse panorama — tente, por exemplo, fazer
primeiramente o integral em ρ′ dos componentes em xˆ ou yˆ acima!).
Unifei Eduardo Resek
36 Capítulo 1 A Lei de Coulomb e o Campo Elétrico
1.10.2 Linha reta carregada uniformemente
Determinar o campo elétrico produzido, num ponto qualquer do espaço, por
uma distribuição retilínea infinita de cargas, carregada com uma densidade linear
uniforme de cargas λ. Adotemos o eixo z de forma que ele coincida com a
linha carregada Como a linha é infinita e a distribuição uniforme, percebemos
Se houver alguma direção
privilegiada em termos de
simetria na geometria da dis-
tribuição, é sempre vantajoso
adotá-la como sendo o eixo
z.
que o campo não deve depender da coordenada z do ponto de observação. É
aparente também que a direção do campo em cada ponto deve ser na direção da
perpendicular baixada do ponto até a linha carregada, nesse caso portanto, de
ρˆ. A não ser pela direção do campo, este não depende tampouco da coordenada
azimutal (que especifica a posição do ponto de observação ao redor da linha
de cargas). Assim, sem perda de generalidade, podemos calcular o campo num
ponto genérico do plano x y :
r= ρ ρˆ.
Escolhendo um elemento de carga genérico tal como o da figura, temosρ
z
P
r
d`′
r′
r− r′
dE
Fig. 1.13 Linha infinita carregada
r′ = z ′ zˆ =⇒ r− r′ = ρ ρˆ− z ′ zˆ, |r− r′| =
√
z ′2+ρ2,
e a lei de Coulomb fica
E(r)= 1
4pi²0
∫
`′
λ(r′)(r− r′)
|r− r′|3 dr
′ = λ
4pi²0
∫ ∞
−∞
ρ ρˆ− z ′ zˆ
(z ′2+ρ2) d z
′.
Nesse caso, o versor ρˆ é fixo, pois refere-se ao ponto de observação, e não ao
vetor posição do elemento de carga da distribuição. Já vimos que, por força
da simetria da distribuição, o campo deve resultar ao longo da direção axial, e
portanto o integral relativo ao componente zˆ deve se anular. De fato, o integrando
é uma função ímpar e os limites de integração simétricos com respeito à origem,
garantindo um resultado nulo para a integração. Resta-nos
ρ
z
P
r
d`′
r′
r− r′
dE
d`′′
r′′
r− r′′
dE′
Fig. 1.14 Simetria
E= ρˆ λρ
4pi²0
∫ ∞
−∞
d z ′
(z ′2+ρ2)3/2
A substituição z ′ = ρ tanα transforma o integral acima em ρ−2 cosα, pois d z ′ =
f(z′)
z′
Fig. 1.15 Integrando em zˆ
ρ sec2αdα e o denominador é equivalente a [ρ2(1+ tan2α)]3/2 = (ρ2 sec2α)3/2 =
ρ3 sec3α, agora com os limites de −pi/2 e pi/2. Claro que, se você preferir, sempre
se pode consultar este site. Resulta
E= λ
2pi²0ρ
ρˆ (1.13)
1.10.3 Uma semi-esfera carregada
Uma semi-esfera maciça de raio R encontra-se carregada com um densidade
volumétrica de cargas não uniforme dada por
ρ = ρ0 r
R
senθ,
Eduardo Resek Unifei
1.10 Exemplos de cálculo de campo elétrico 37
onde θ é o ângulo medido com respeito ao eixo de simetria da semi-esfera. Deter-
minar o campo elétrico no seu centro de curvatura.
y
z
x
dv′
r′ = r′ rˆ′
dE
θ′
Fig. 1.16 Semiesfera
A figura ilustra a disposição dos eixos do sistema de coordenadas. Escolhemos
um elemento de carga tal como o ilustrado na figura, para o qual podemos
escrever:
r′ = r ′ rˆ′ = r ′(senθ′ cosϕ′ xˆ+ senθ′ senϕ′ yˆ+cosθ′ zˆ)
Para um ponto qualquer no eixo de simetria da distribuição, fora dela, teremos
r= z zˆ.
Desse modo
r− r′ = z zˆ− r ′ rˆ′ = (z− r ′ cosθ) zˆ− r ′ senθ′ cosϕ′ xˆ− r ′ senθ′ senϕ′ yˆ
=⇒ |r− r′| = (z2+ r ′2−2zr ′ cosθ′)1/2,
e a lei de Coulomb fornece
E(r)= 1
4pi²0
∫
v ′
ρ(r′)(r− r′)
|r− r′|3 d v
′
= 1
4pi²0
∫ 2pi
0
∫ pi
pi/2
∫ R
0
ρ0
r ′ senθ′
R
×
[(z− r ′ cosθ′) zˆ− r ′ senθ′ cosϕ′ xˆ− r ′ senθ′ senϕ′ yˆ]
(z2+ r ′2−2zr ′ cosθ′)3/2 r
′2 senθ′dr ′dθ′dϕ
Os componentes em xˆ e yˆ novamente se anulam devido aos integrais na coor-
denada azimutal ϕ (você consegue justificar fisicamente através de argumentos
de simetria, o porquê disso?). Na direção de zˆ, o integral em ϕ resulta em 2pi.
Ficamos então com
E(z)= zˆ ρ0
2²0R
∫ pi
pi/2
∫ R
0
r ′3(z− r ′ cosθ′)sen 2θ′
(z2+ r ′2−2zr ′ cosθ′)3/2 dr
′dθ′.
O cálculo do integral acima é bem complicado, mas nossa tarefa consiste em
determinar o campo elétrico no centro de curvatura da distribuição, que é exata-
mente a origem. Para z = 0, a expressão acima fica
E(0)=− zˆ ρ0
2²0R
∫ pi
pi/2
∫ R
0
r ′4 cosθ′ sen 2θ′
r ′3
dr ′dθ′ =− zˆ ρ0
2²0
R2
2
[
sen 3θ
3
]pi
pi/2
,
ou
E(0)= ρ0R
2
12²0
zˆ
Unifei Eduardo Resek
38 Capítulo 1 A Lei de Coulomb e o Campo Elétrico
Questões sobre o Capítulo 1: A Lei de Coulomb e o Campo Elétrico
Q1.1 Você dispõe de um bastão de vidro, um lenço de seda e duas esferas de
metal (condutoras), inicialmente neutras, montadas em um suporte
de plástico (isolante). Descubra um modo de carregar as esferas com
cargas iguais e opostas. Não é permitido tocar com o bastão nas esferas.
é necessário que as esferas sejam do mesmo tamanho?
Q1.2 Se você friccionar vigorosamente um bastão de ebonite (um plástico
isolante) com uma flanela, o bastão ficará eletrizado. Entretanto, se
você friccionar uma moeda entre os dedos, ela não irá adquirir carga
alguma. Por que?
Q1.3 Depois de caminhar algum tempo sobre um carpete, você freqüen-
temente sente um “choque” ao tocar na maçaneta de metal da porta.
Qual a causa disso?
Q1.4 a) Defina linhas de força de um campo elétrico. b) Duas linhas de
força nunca se cruzam. Explique por que.
Q1.5 Uma carga pontual q é solta numa região de campo elétrico não uni-
forme. A trajetória que ela segue necessariamente coincide com uma
das linhas de força?
Q1.6 Duas cargas pontuais de mesmo módulo e sinais opostos encontram-
se sobre uma reta separadas por uma distância d . Determine a direção
e sentido do campo elétrico: a) sobre a reta e entre as cargas; b) sobre
a reta, fora das cargas, próximo à carga positiva; c) idem, próximo à
carga negativa; d) fora da reta, no plano mediatriz das cargas (plano
perpendicular à reta e que passa pelo ponto médio entre as cargas).
Problemas do Capítulo 1: A Lei de Coulomb e o Campo Elétrico
P1.1 Duas cargas de −10µC e 20µC encontram-se separadas por uma dis-
tância de 20cm. Onde deve ser colocada uma terceira carga de modo
que, sob a ação dessas duas, fique em repouso? Resp: Ao longo da reta suporte
das duas cargas,a 48,5cm da carga negativa e 68,5cm da positiva
P1.2 Dez cargas pontuais de 500µC estão colocadas sobre uma circunferên-
cia de raio 2 m, todas igualmente afastadas entre si. Calcule a força
exercida por esse conjunto sobre uma carga pontual de −20µC , situ-
ada sobre o eixo, dois metros afastada do plano da circunferência.
P1.3 Duas esferas condutoras idênticas possuem cargas de sinais opostos e
se atraem mutuamente com uma força de 0,108 N, quando separadas
por uma distância de 50 cm. Elas são ligadas por um fio condutor, que
é removido logo a seguir, passando então a se repelir com uma força
Eduardo Resek Unifei
1.10 Exemplos de cálculo de campo elétrico 39
de 0,036 N. Quais eram os valores iniciais das cargas das esferas? Resp:
±3,0µC e ∓1,0µC
P1.4 Uma carga Q deve ser dividida em duas: q e Q − q . Qual deve ser o
valor de q para que a repulsão coulombiana entre as duas novas cargas
seja máxima? Resp: q =Q/2
P1.5 Duas cargas pontuais de valor q e −q são fixadas nos pontos P1(0, a) e
P2(0,−a) respectivamente, de um sistema de coordenadas cartesianas,
formando o que se denomina um dipolo elétrico. Uma terceira carga
positiva e de mesmo valor, é colocada em algum ponto sobre o eixo
dos x.
a) Qual a intensidade e orientação da força exercida sobre a terceira
carga quando esta se encontra na origem?
b) Qual é a força sobre ela quando sua abcissa é x?
c) Esboce o gráfico da força sobre a terceira carga em função de x, para
valores de x entre −4a e 4a.
d) Mostre que quando a abcissa x da terceira carga for grande compa-
rada à distância a, a força sobre ela é inversamente proporcional ao
cubo da sua distância ao centro do dipolo.
e) Situando agora a terceira carga sobre o eixo dos y , a uma ordenada
y grande comparada com a distância a, mostre que a força sobre ela
também é inversamente proporcional ao cubo de sua distância à ori-
gem do dipolo.
Resp: a) − yˆ q
2
2pi²0a2
(= F0) b)
a3
(a2+x2)3/2 F0
d) F'− yˆ q
2a
2pi²0x3
e) F' yˆ q
2a
pi²0 y3
P1.6 Três cargas pontuais de mesma massa m = 200g e carga elétrica q são
penduradas por fios sem massa e inextensíveis, todos de comprimento
L = 1,0m, a partir de um ponto comum no teto. Na posição de equilí-
brio, a distância entre cada uma delas vem a ser de 20cm. Determine o
valor de cada carga. Resp: 0,765µC
P1.7 A cunha cilíndrica limitada pelas superfícies z = 0, z = 3(m), ϕ= 300,
ϕ = 600 e ρ = 5(m) tem densidade volumétrica de cargas dada por
ρv = ρ sen2ϕ(nC/m3). Determinar a carga elétrica total encerrada pela
cunha. Resp: 62,5nC
P1.8 Seja uma distribuição (infinita) de cargas com densidade ρ, dada no
sistema de coordenadas esféricas por
ρ =K e
−ar
r 2
, K = cte.
a) Considerando uma esfera de raio R centrada na origem do sistema,
determine a carga de um hemisfério.
Unifei Eduardo Resek
40 Capítulo 1 A Lei de Coulomb e o Campo Elétrico
b) Qual o raio R ′ da esfera que contem metade da carga total da distri-
buição (que é infinita!)?
Resp: a)
2kpi(1− e−aR )
a
b) R ′ = 1
a
ln2z
λ
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
P
α2
α1
Fig. 1.17 Linha finita (P1.9)
P1.9 Mostre que o campo elétrico produzido por uma linha carregada com
densidade de cargas uniforme λ e disposta ao longo do eixo zé dado
por
E= λ
4pi²0ρ
[
(cosα1+cosα2) ρˆ+ (senα2− senα1) zˆ
]
,
onde α1 e α2 são os ângulos mostrados na figura.
P1.10 Considere uma barra muito fina de comprimento L , uniformemente
carregada, com uma densidade linear de cargas λ.
a) Determine o campo eletrostático E produzido pela barra num
ponto situado no seu eixo mediatriz. Calcule E para os seguintes
casos: z >> L e z << L (ou L →∞, fio retilíneo infinito uniforme-
mente carregado).
b) Determine o campo num ponto sobre o eixo perpendicular à
barra que passa por uma de suas extremidades.
Resp: E= λL
2pi²0z
p
L2+4z2
zˆ. Para z >> L, E= q
4pi²0z2
zˆ, e, para z << L, (ou L →∞), E= λ2pi²0z zˆ.
P1.11 Uma barra muito fina de comprimento L = 1,0m é carregada com
uma densidade linear de cargas λ que varia linearmente ao longo da
barra, desde um valor −λ0 numa extremidade, até o valor λ0 no outro
extremo, sendo λ0 = 0,50µC/m. Determine o campo eletrostático
produzido pela barra num ponto situado: a) no seu eixo mediatriz, ap
2m da barra; b) no prolongamento da reta que contem a barra, a 2
m da extremidade. Resp: a) E=−0,24 xˆkV/m b) E= 0,10 xˆkV/m
P1.12 Usando a lei de Coulomb (integração direta), determine o campo pro-
duzido por um fio de carga Q e comprimento L, dobrado em forma
de um arco de circunferência de 60rˇ, no seu centro de curvatura; Resp:
E = q
12²0L2
, ao longo da bissetriz do arco da circunferência.
P1.13 Um fio não condutor muito fino forma uma circunferência de raio a e
está localizado no plano x y , com seu centro na origem. O fio possui
uma densidade linear de cargas dada por λ = λ0 senϕ, onde ϕ é o
ângulo medido a partir do eixo x positivo. Determine: a) a carga total
do fio; b) E na origem. c) Você acha alguma incoerência entre os
resultados de a) e b)? Resp: a) Zero b) E= (− yˆ) λ0
4²0a
P1.14 Considere um disco de raio a, uniformemente carregado, com densi-
dade superficial de carga σ;
a) Determine o campo eletrostático E num ponto qualquer do eixo
Eduardo Resek Unifei
1.10 Exemplos de cálculo de campo elétrico 41
de simetria deste disco; b) Uma partícula de carga Q e massa m é
solta do eixo z a partir do repouso, de uma distância z0 do disco.
Determine a velocidade que ela possuirá quando atingir uma dis-
tância (i ) 4z0, (i i ) ∞ do disco. c) Calcule E para os seguin-
tes casos: z >> a e z << a ( ou a →∞, isto é, o disco se torna um
plano infinito uniformemente carregado). d) Qual o máximo valor
de z para que se possa usar a aproximação de plano infinito (isto
é, considerar E ≈ σ/(2²0)), cometendo um erro de no máximo 5%?
Resp: a) ~E(z)= σ2²0 [1−
zp
z2+a2
] zˆ, para z > 0 , ~E(z)= σa2
4²0z2
zˆ= Q
4pi²0z2
zˆ (carga puntiforme) e
~E(z)= σ2²0 zˆ, (plano infinito).
P1.15 Determine o campo e o potencial eletrostáticos produzidos por um
disco de raio a carregado com σ=σ0 sen 2ϕ num ponto qualquer de
seu eixo de simetria.
P1.16 Uma carga está distribuída sobre o eixo z com densidade λ0 para |z| >
4m e λ = 0 para |z| < 4m. Determine o campo elétrico no ponto
P (0,2,0)m.
P1.17 Um quadrado, que possui lado 2m , está centrado na origem e situa-se
no plano z = 0, encontra-se carregado com uma densidade superficial
de cargas
σ= |x|nC/m2.
Determine: a) a carga total da distribuição; b) o campo E no ponto
P (0,0,1)m. Resp: a) Q = 2,0nC b) 8,02 zˆ (V/m)
P1.18 Um quadrado de lado 2m jaz no plano x y delimitado por 0≤ x ≤ 2m e
0≤ y ≤ 2m, carregado com carga superficial
σ= 2x(x2+ y2+4)3/2µC/m2.
Determine o campo elétrico no ponto do eixo z situado a 2m acima do
plano.
P1.19 Uma esfera não condutora de raio R está carregada com uma densi-
dade de cargas não uniforme dada por ρ = kr senθ, onde r é a distância
medida a partir do centro da esfera e θ é o ângulo a partir de um eixo de
referência. A esfera é cortada exatamente ao meio, num plano normal
ao referido eixo, e uma das partes jogada fora. Determine:
a) A carga total da semiesfera; b) O campo elétrico no centro de curva-
tura da semiesfera em função da carga total desta. Resp: b) E= 2Q
3pi2²0R2
zˆ
P1.20 Uma esfera condutora de raio R encontra-se carregada com uma den-
sidade superficial de cargas dada por σ=Q cosθ/R2. Determine:
a) Sua carga total;
b) Seu momento de dipolo total, definido como o vetor
p=
∫
S′
σ(r′)r′dS′
Unifei Eduardo Resek
42 Capítulo 1 A Lei de Coulomb e o Campo Elétrico
c) O campo que ela produz em seu centro (para quem gosta de desafios,
tente calcular o campo num ponto qualquer do eixo z, tanto para z <R
quanto para z >R). Resp: a) Q = 0, b) p= zˆ4piRQ/3, c) E= zˆ Q
3²0R2
Eduardo Resek Unifei