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2006 7-1 ufpr/tc405 7 7ADERÊNCIA ENTRE O CONCRETO E O AÇO 7.1 Tipos de aderência A aderência entre o concreto e o aço pode ser obtida: − por adesão (Figura 7.1a); − por atrito (Figura 7.1b); e − mecanicamente (Figura 7.1c) Figura 7.1 - Tipos de aderência A aderência mecânica, conseguida através de mossas ou saliências, é a mais eficiente de todas. A caracterização da superfície de aderência das barras de aços destinados a armaduras para concreto armado é feita pelo coeficiente de conformação superficial η, através ensaio estabelecido na ABNT NBR 7477. Os valores mínimos para este coeficiente, apresentados na ABNT NBR 7480 são estabelecidos em função da categoria do aço. Para a ABNT NBR 6118, a conformação superficial é medida pelo coeficiente η1. Os valores para este coeficiente são estabelecidos em função do tipo de superfície lateral das barras. As relações entre os coeficientes η e η1, apresentadas pela ABNT NBR 6118, item 8.3.2, são mostradas na Tabela 7.11. Superfície η1 η Lisa (CA-25) 1,00 ≥ 1,0 Entalhada (CA-60) 1,40 ≥ 1,5 Nervurada (CA-50) 2,25 ≥ 1,5 Tabela 7.1 - Relação entre η e η1 7.2 Ancoragem de barras tracionadas Seja a Figura 7.2 onde é mostrada a transferência da força normal Rs atuante na barra de aço para o bloco de concreto. Esta transferência de força é possível devido ao desenvolvimento de tensões tangenciais de aderência τb,x entre a armadura e o concreto. 1 A ABNT NBR 6118, item 8.3.2, define o coeficiente de conformação superficial da ABNT NBR 7480 como sendo ηb. As barras nervuradas são, também, referidas como de alta aderência. concreto aço a) b) c) 2006 7-2 ufpr/tc405 Figura 7.2 - Transferência de força normal Fazendo o equilíbrio de forças atuantes no seguimento de barra dx, tem-se: )d(AdxuA x,sx,ssx,bx,ss σ+σ=τ+σ x,ssx,b dAdxu σ=τ x,s 2 x,b d4 dx σπφ=τφπ dx d 4 x,s x,b σ ⋅ φ =τ x,b x,s 4 dx d τ⋅ φ = σ Equação 7.1 A solução da Equação 7.1 só é possível se for conhecida a variação de τb,x ao longo de x. A solução simplificada (usada em projeto com a introdução de coeficientes de segurança adequados) consiste em adotar para τb,x um valor constante, admitindo as tensões de aderência uniformemente distribuídas ao longo do trecho da barra situado dentro do bloco de concreto (Figura 7.3). Nestas condições tem-se: unif,b x,s 4 dx d τ⋅ φ = σ dx4d unif,bx,s τ⋅ φ =σ ∫∫ τ⋅ φ =σ dx4d unif,bx,s x4 unif,bx,s τ⋅ φ =σ Equação 7.2 dx φ σs = Rs / As τb,x σs,x x Rs τb,x dx tensões tangenciais de aderência tensões normais na barra As = πφ2/4 u = πφ φ σs,x + dσs,x 2006 7-3 ufpr/tc405 A Equação 7.2 corresponde a uma reta e a Figura 7.3 mostra o esquema simplificado de transferência de força atuante na barra para o bloco de concreto (τb,unif é constante e σs,x varia linearmente). Em se tratando de valores de projeto (valores de cálculo), o valor da tensão normal σs deve ficar limita a fyd e a força Rs assume o valor de cálculo Rsd. Figura 7.3 - Comprimento de ancoragem - valores de projeto Do exposto na Figura 7.3, torna-se possível determinar o comprimento de ancoragem necessário lb,nec para tornar nula, no final da barra, a tensão normal nela atuante, ou seja, o comprimento de ancoragem necessário para que a força atuante na barra possa ser transferida para o concreto. Do diagrama de tensões normais mostrado na Figura 7.3 pode-se estabelecer: s sd sx,snec,b x,s A Rx 00x =σ=σ⇒= =σ⇒= l Introduzindo os valores de lb,nec e σs na Equação 7.2, tem-se: nec,bunif,bs 4 l τ⋅ φ =σ unif,b s nec,b 4 τ σ ⋅ φ =l Equação 7.3 7.3 Influência da posição da barra A qualidade da aderência varia em função da posição da barra. Barras horizontais situadas na parte superior de uma viga ou de uma laje têm qualidade de aderência inferior àquelas colocadas na parte inferior. Devido à segregação do concreto fresco, ocorre um acúmulo de água sob as barras horizontais superiores, conforme mostrado na Figura 7.4. Posteriormente, sendo esta água absorvida pelo concreto, vazios serão formados na parte inferior das barras superiores diminuindo, conseqüentemente, a qualidade da aderência. A sedimentação do cimento que ocorre antes do início da pega e a exudação do excesso de água de amassamento também contribuem para a pior qualidade de aderência do concreto situado na parte superior de uma viga ou laje (Figura 7.4). Figura 7.4 - Qualidade da aderência - armadura horizontal superior φ σs = (Rsd / As) ≤ fyd τb,unif x Rs = Rsd τb,unif lb,nec tensões tangenciais de aderência tensões normais na barra σs,x = (4/φ) (τb,unif) x água acumulada sob a barra água de exudação armadura superior concreto 2006 7-4 ufpr/tc405 A ABNT NBR 6118, item 9.3.1, considera os trechos de barras em boa situação de aderência quando estiverem em uma das posições seguintes: a. com inclinação maior que 45° sobre a horizontal; b. horizontais ou com inclinação menor que 45° sobre a horizontal, desde que (Figura 7.5): − para elementos estruturais com h < 60 cm, localizados no máximo 30 cm acima da face inferior do elemento ou da junta de concretagem mais próxima; − para elementos estruturais com h ≥ 60 cm, localizados no mínimo 30 cm abaixo da face superior do elemento ou da junta de concretagem mais próxima. Os trechos das barras em outras posições e quando do uso de formas deslizantes devem ser considerados em má situação quanto à aderência. Figura 7.5 - Situações de boa e má aderência para armaduras horizontais Em termos gerais pode-se dizer que as armaduras negativas (armaduras horizontais superiores) de vigas e lajes com altura superior a 30 cm então em situações de má aderência. As armaduras positivas de lajes e vigas (armaduras horizontais inferiores), bem como as armaduras de pilares (armaduras verticais), de modo geral, estão em situação de boa aderência. Figura 7.6 - Armaduras em situações de boa e má aderência 7.4 Resistência de aderência de cálculo A ABNT NBR 6118, item 9.3.2.1, estabelece que a resistência de aderência de cálculo entre armadura e concreto na ancoragem de armaduras passivas deve ser obtida pela seguinte expressão: ctd321bd ff ηηη= Equação 7.4 sendo: c inf,ctk ctd f f γ = boa aderência má aderência bo a ad er ên ci a pilares vigas ou lajes com h > 30 cm (h ≤ 30 cm ⇒ só boa aderência) h > 30 cm h < 60 cm boa aderência má aderência boa aderência má aderência 30 cm 30 cm h ≥ 60 cm 2006 7-5 ufpr/tc405 =η aderência alta ou nervuradas barras25,2 entalhadas barras40,1 lisas barras00,1 1 =η aderência má de situações70,0 aderência boa de situações00,1 2 =φ ≤φ =η mm 40 92,0 mm 32 00,1 3 Na falta de ensaios para a determinação mais precisa do valor da resistência à tração do concreto característica, é permitido pela ABNT NBR 6118, item 8.2.5, o uso das seguintes expressões: mct,supctk, mct,infctk, 3 2 ckmct, f 3,1f MPa em valoresf 0,7f f 0,3f = = = Equação 7.5 Sendo fckj ≥ 7MPa, as expressões da Equação 7.5 podem também ser usadas para idades diferentes de 28 dias. Combinando a Equação 7.4 e a Equação 7.5, tem-se: 3 2 ck 3 2 ckmct,infctk, f 0,21f 0,37,0f 0,7f = ×== c 3 2 ck c inf,ctk ctd f 0,21f f γ = γ = γ ηηη=ηηη= c 3 2 ck 321ctd321bd f 0,21 ff MPa em ff 21,0 f ck3 2 ck c 321 bd γ ηηη = Equação 7.6 Os valores de γc estão mostrados na Tabela [3.7] e para o ELU valem: =γ isexcepciona scombinaçõe20,1 construção de ou especiais scombinaçõe20,1 normais scombinaçõe40,1 c Exemplo 7.1: Determinar o valor de fbd para a região superior de uma viga de concreto armado que terá 70 cm da altura. Considerar: concreto: C25; barra nervurada: φ 40 mm; e combinação normal de carregamento - ELU. Solução: O valor de fbd é determinado pela Equação 7.6. Para η1 deverá ser usado o valor 2,25 que corresponde a barra nervurada; para η2 deverá ser usado o valor 0,7 que corresponde a situação de má aderência, região superior de viga de 70 cm (ver Figura 7.6); para η3 deverá ser usado o valor 0,92 que corresponde a barra de diâmetro 40 mm; e para γc deverá ser usado o valor 1,4 que corresponde a combinação de normal de carregamento - ELU. a. Dados C25MPa 25fck = nervurada barra25,21 =η aderência má de situação70,02 =η 2006 7-6 ufpr/tc405 mm 40 92,03 =φ=η normal combinação - ELU40,1c =γ b. fbd MPa em ff 21,0 f ck3 2 ck c 321 bd γ ηηη = MPa ,86125 4,1 92,07,025,221,0f 3 2bd = ×××= MPa ,861fbd = ◄ Os valores de fbd para situações de boa aderência e barras com diâmetro igual ou menor que 32 mm estão mostrados na Tabela 7.2. fbd φ ≤ 32 mm (boa aderência) γc = 1,40 barras concreto lisas entalhadas nervuradas C20 1,11 MPa 1,55 MPa 2,49 MPa C25 1,28 MPa 1,80 MPa 2,89 MPa C30 1,45 MPa 2,03 MPa 3,26 MPa C35 1,60 MPa 2,25 MPa 3,61 MPa C40 1,75 MPa 2,46 MPa 3,95 MPa C45 1,90 MPa 2,66 MPa 4,27 MPa C50 2,04 MPa 2,85 MPa 4,58 MPa Tabela 7.2 - Valores de fbd1 7.5 Comprimento de ancoragem - valores de cálculo Os valores de cálculo para comprimento de ancoragem de barras, a serem usados em projetos de estruturas de concreto armado, são obtidos da Equação 7.3 substituindo τb,unif por fbd, de tal forma que: bd s nec,b f4 σ ⋅ φ =l Equação 7.7 No caso particular em que a tensão normal σs corresponde ao valor limite de cálculo fyd, tem-se: bd yd b f f 4 ⋅ φ =l Equação 7.8 A ABNT NBR 6118, item 9.4.2.4, define o valor de lb da Equação 7.8 como sendo o comprimento de ancoragem básico, necessário para ancorar a força limite As fyd, atuante na barra, admitindo, ao longo desse comprimento, resistência de aderência uniforme e igual a fbd. Deve ser observado que o valor do comprimento de ancoragem necessário (lb,nec da Equação 7.7) será sempre menor ou igual ao comprimento de ancoragem básico (lb da Equação 7.8) pois σs ≤ fyd. ABNT NBR 6118: 9.4.2.4 Comprimento de ancoragem básico Define-se comprimento de ancoragem básico como o comprimento reto de uma barra de armadura passiva necessário para ancorar a força limite As fyd nessa barra, admitindo, ao longo desse comprimento, resistência de aderência uniforme e igual a fbd, conforme item 9.3.2.1. 1 Para situação de má aderência, multiplicar os valores da tabela por 0,7. 2006 7-7 ufpr/tc405 O comprimento de ancoragem básico é dado por: bd yd b f f 4 ⋅ φ =l 9.4.2.5 Comprimento de ancoragem necessário O comprimento de ancoragem necessário pode ser calculado por: min,b ef,s cal,s bnec,b A A lll ≥α= sendo: α = 1,0 para barras sem gancho; α = 0,7 para barras tracionadas com gancho, com cobrimento no plano normal ao do gancho ≥ 3φ; α = 0,7 quando houver barras transversais soldadas conforme 9.4.2.2; α = 0,5 quando houver barras transversais soldadas conforme 9.4.2.2 e gancho, com cobrimento no plano normal ao do gancho ≥ 3φ; lb calculado conforme 9.4.2.4; lb,min o maior valor entre 0,3lb, 10φ e 100 mm Permite-se, em casos especiais, considerar outros fatores redutores do comprimento de ancoragem necessário. Deve ser observado que a apresentação do comprimento de ancoragem necessário apresentado pelo item 9.4.2.5 da ABNT NBR 6118, aparentemente, difere do estabelecido pela Equação 7.7. No entanto, os dois modos de apresentação são equivalentes, como demonstrado a seguir. A Equação 7.7 decorre da Figura 7.3 onde é mostrado que: ef,s sd s sd s A R A R ==σ onde As representa a área da seção transversal efetiva (As,ef) da barra tracionada pela força Rsd. Desta forma, a Equação 7.7 pode ser escrita ef,s sd bdbd s nec,b A R f 1 4f4 ⋅⋅ φ = σ ⋅ φ =l Como uma força pode ser sempre representada pelo produto de uma área por uma tensão, para a força Rsd vale: ydcal,ssd fAR ×= onde As,cal representa a área a ser calculada (As,cal ≤ As,ef), para que a tensão σs atuante na barra tracionada pela força Rsd resulte igual a fyd. Desta forma, tem-se: ef,s ydcal,s bdef,s sd bd nec,b A fA f 1 4A R f 1 4 × ⋅⋅ φ =⋅⋅ φ =l ou ainda: ef,s cal,s b ef,s cal,s bd yd nec,b A A A A f f 4 ll =⋅⋅ φ = Equação 7.9 A Equação 7.9 é, portanto, a mesma apresentada pela ABNT NBR 6118, item 9.4.2.5, a menos do fator α. Desta forma, o valor de lb,nec pode ser calculado por: φ≥α= cm10 10 3,0 max A A b ef,s cal,s bnec,b l ll Equação 7.10 A combinação da Equação 7.7 com a Equação 7.9, resulta em: ef,s cal,s bd yd bd s nec,b A A f f 4f4 ×× φ = σ × φ =l de tal forma que, a tensão atuante na barra tracionada fica definida por: 2006 7-8 ufpr/tc405 yd ef,s cal,s s fA A ×=σ Equação 7.11 Exemplo 7.2: Determinar o valor do comprimento de ancoragem básico das barras de armadura positiva (armadura inferior) a ser usado em vigas de concreto armado a serem construídas com concreto classe C20 e aço CA-50. Considerar apenas barras nervuradas com diâmetros inferiores a 40 mm e combinações normais de carregamento - ELU. Solução: O valor de lb é determinado pela Equação 7.8, com fbd definido pela Equação 7.6. Para η1 deverá ser usado o valor 2,25 que corresponde a barra nervurada; para η2 deverá ser usado o valor 1,0 que corresponde a situação de boa aderência, região inferior de vigas (ver Figura 7.6); para η3 deverá ser usado o valor 1,0 que corresponde a barras de diâmetro menor que 40 mm; para γc deverá ser usado o valor 1,4 que corresponde a combinações normal de carregamento - ELU; e para γs deverá ser usado o valor 1,15 que corresponde a combinações normal de carregamento - ELU. a. Dados C20MPa 20fck = CA50MPa 500fyk = nervurada barra25,21 =η aderência boa de situação00,12 =η mm 40 00,13 <φ=η normal combinação - ELU40,1c =γ normal combinação - ELU15,1s =γ MPa 435 1,15 500ff s yk yd ==γ = b. fbd MPa em ff 21,0 f ck3 2 ck c 321 bd γ ηηη = MPa 2,4920 4,1 0,10,125,221,0f 3 2bd = ×××= c. lb bd yd b f f 4 ⋅ φ =l φ=⋅φ= 44 49,2 435 4b l φ= 44bl ◄ Os valores de lb para CA-50, situações de boa aderência e barras com diâmetro igual ou menor que 32 mm estão mostrados na Tabela 7.3. 2006 7-9 ufpr/tc405 lb γc = 1,40 γs = 1,15 φ ≤ 32 mm (boa aderência) CA-50- Barras concreto Lisas entalhadas nervuradas C20 98φ 70φ 44φ C25 85φ 61φ 38φ C30 75φ 54φ 33φ C35 68φ 48φ 30φ C40 62φ 44φ 28φ C45 57φ 41φ 25φ C50 53φ 38φ 24φ Tabela 7.3 - Comprimento de ancoragem básico - CA-501 7.6 Redução do comprimento de ancoragem 7.6.1 Ganchos das armadurasde tração Uma das maneiras permitida pela ABNT NBR 6118 para a redução de comprimentos de ancoragem é através do uso de ganchos em armaduras tracionadas (Figura 7.7). Figura 7.7 Tipos de ganchos De acordo com o item 9.4.2.3 da ABNT NBR 6118, os ganchos podem ser: a. semicirculares, com ponta reta de comprimento não inferior a 2φ (Figura 7.7.a) ; b. em ângulo de 45° (interno), com ponta reta de comprimento não inferior a 4φ (Figura 7.7.b) ; e c. em ângulo reto, com ponta reta de comprimento não inferior a 8φ (Figura 7.7.c). Para as barras lisas, os ganchos devem ser semicirculares. O diâmetro interno da curvatura (D) dos ganchos das armaduras longitudinais de tração deve ser pelo menos igual ao estabelecido na Tabela 7.4. Tipo de Aço Bitola (mm) CA-25 CA-50 CA-60 <20 4φ 5φ 6φ ≥20 5φ 8φ - Tabela 7.4 Diâmetro dos pinos de dobramento É importante observar que o uso de ganchos em barras tracionadas é bastante restrito. A necessária cobertura de concreto (3φ), no plano normal ao do gancho, praticamente, só ocorre nas extremidades de vigas que terminam em vigas, como mostrado na Figura 7.8. O gancho da armadura da viga V2, tem, dentro da viga V1, cobertura lateral de concreto maior que 3φ. Para outras barras da viga V1, posicionadas fora do encontro das vigas, torna-se mais difícil a obtenção do cobrimento exigido pela ABNT NBR 6118. 1 Para situação de má aderência, dividir os valores da tabela por 0,7. 2φ D φ a) 4φ D φ b) 8φ D φ c) 2006 7-10 ufpr/tc405 Figura 7.8 Ganchos em extremidade de viga 7.6.2 Barras transversais soldadas Outra maneira permitida pela ABNT NBR 6118 para a redução de comprimentos de ancoragem é através do uso de barras transversais soldadas (Figura 7.9). Figura 7.9 Ancoragem com barras transversais soldadas De acordo com o item 9.4.2.2 da ABNT NBR 6118, a redução de comprimentos de ancoragem é através do uso de barras transversais soldadas poderá ser feita desde que: a. o diâmetro da barra soldada seja maior ou igual a 60% do diâmetro da barra ancorada (φt ≥ 0,6 φ); b. a distância da barra transversal ao ponto de início da ancoragem seja maior ou igual 5 vezes o diâmetro da barra ancorada (≥ 5 φ); e c. a resistência ao cisalhamento da solda seja maior ou igual a 30% da resistência da barra ancorada (0,3 As fyd). 7.7 Diagrama Rsd Conforme mostrada na Figura 7.3, as armaduras necessitam, em sua parte final, de um determinado comprimento para se fixarem (ancorarem) dentro da massa de concreto. Desta forma o diagrama de tensões normais possível de ser desenvolvido em uma barra de aço destinada a armadura para concreto armado é o mostrado na Figura 7.10. V2 V1 V2 V1 ≥ 3φ lb,nec ≥ 5φ φ lb,nec ≥ 5φ φ lb,nec ≥ 5φ φ φt lb,nec ≥ 5φ φ 2006 7-11 ufpr/tc405 Figura 7.10 - Diagrama de tensões normais em barras de aço para concreto armado Deve ser observado na Figura 7.10 que a tensão normal na barra σs só pode atingir o valor máximo fyd se houver espaço suficiente para ancoragem com o desenvolvimento do comprimento de ancoragem básico lb (lado direito do diagrama). Quando o espaço necessário para a ancoragem da barra é restrito (lado esquerdo do diagrama), onde somente o comprimento de ancoragem necessário lb,nec pode ser desenvolvido, a tensão normal σs é menor que fyd. Se as ordenadas mostradas no diagrama de tensões da Figura 7.10 forem multiplicas por As (área da seção transversal da barra) chega-se ao diagrama de força resistente Rsd1, como mostrado na Figura 7.11 (trocou-se tensão por força). Figura 7.11 - Diagrama Rsd (esforço resistente de cálculo) 1 A força resistente Rsd é a mesma força mostrada na Figura [5.14] e na Figura 7.3. σs lb,nec lb fyd início da ancoragem As Rsd = As σs lb,nec lb Rsd = As fyd início da ancoragem As 2006 7-12 ufpr/tc405 Exemplo 7.3: Determinar o diagrama de força resistente de cálculo Rsd para as armaduras negativas (tracionadas) da viga abaixo indicada. Considerar: concreto: C20; barra nervurada: CA-50; combinação normal de carregamento - ELU; e σs = fyd (máximo aproveitamento das barras). Solução: O valor de lb deverá ser determinado para cada barra usando a Equação 7.8, com fbd definido pela Equação 7.6. Para η1 deverá ser usado o valor 2,25 que corresponde a barra nervurada; para η2 deverá ser usado o valor 0,7 que corresponde a situação de má aderência, região superior de vigas (ver Figura 7.6); para η3 deverá ser usado o valor 1,0 que corresponde a barras de diâmetro menor que 40 mm; para γc deverá ser usado o valor 1,4 que corresponde a combinações normal de carregamento - ELU; e para γs deverá ser usado o valor 1,15 que corresponde a combinações normal de carregamento - ELU. Os diagramas individuais Rsd (N1, N2 e N3) são obtidos de módulo análogo ao apresentado na Figura 7.11 usando somente valores lb na horizontal e As fyd na vertical. Por se tratar de armadura negativa, os valores das forças deverão ser posicionados "para cima", contrário ao apresentado na Figura 7.11 que corresponde a armaduras positivas ("para baixo"). O diagrama final Rsd corresponde à somatória dos diagramas individuais. a. Dados - uniformização de unidades (kN e cm) C20kN/cm 2MPa 20f 2ck == CA50kN/cm 0,50MPa 500f 2yk == nervurada barra25,21 =η aderência má de situação70,02 =η mm 40 00,13 <φ=η normal combinação - ELU40,1c =γ normal combinação - ELU15,1s =γ 2 s yk yd kN/cm 5,43MPa 4351,15 500ff === γ = b. fbd MPa em ff 21,0 f ck3 2 ck c 321 bd γ ηηη = 23 2bd kN/cm 0,174MPa 1,74204,1 0,17,025,221,0f == ×××= N1 φ 12,5 280 cm 2N2 φ 16 510 cm 2N3 φ 16 620 cm - 2ª cam A A N3 N2 N1 Corte AA 2006 7-13 ufpr/tc405 c. lb bd yd b f f 4 ⋅ φ =l φ=⋅φ= 63 174,0 5,43 4b l cm100mm10081663mm 16 cm80mm5,7875,1263mm 12,5 b b ≈=×=⇒=φ ≈=×=⇒=φ l l d. Diagramas individuais das forças resistentes de cálculo d.1. φ 12,5 mm, lb = 80 cm 2 22 s cm ,2314 1,25 4 A =π=πφ= kN 53,543,5,231fAR ydssd =×== d.2. φ 16 mm, lb = 100 cm 2 22 s cm ,0124 1,6 4 A =π=πφ= kN 87,443,52,01fAR ydssd =×== e. Diagrama Rsd 80 cm 53,5 kN 87,4 kN 100 cm 403,1 kN 349,6 kN 174,8 kN 0 kN Rsd 100 cm 2N2 2 x 87,4 = 174,8 kN 100 cm 2 x 87,4 = 174,8 kN 2N3 80 cm 1 x 53,5 = 53,5 kN N1 2006 7-14 ufpr/tc405 7.8 Diagrama MRd1 Seja a Figura 7.121, onde são mostradas as solicitações e resistências atuantes em um trecho de viga de concreto armado de seção retangular sem armadura de compressão. Figura 7.12 - Esforços e solicitações em vigas de concreto armado Por se tratar de seção retangular sem armadura de compressão, para a Figura 7.12, são válidas as seguintes expressões: 1cdcd RR = 1RdRd MM = Da Figura 7.12 também valem as seguintes expressões: cdc f85,0=σ 2 ydz −= de tal forma que: sd1cd RR = ybR wc1cd σ= ybf85,0R wcd1cd = sssd AR σ= zRzRM sd1cd1Rd == Portanto: sswcd Aybf85,0 σ= cd s w s fb A 85,0 1y σ ⋅⋅= 2 ydz −= σ ⋅⋅−= cd s w s fb A 7,1 1dz σ ⋅⋅−= cd s w s fdb A 7,1 11dz σ ⋅⋅−==β cd s w s z fdb A 7,1 11 d z Equação 7.12 Introduzindo o valorde βz na equação de MRd1, tem-se: 1 Esta Figura corresponde à Figura [5.14] do Capítulo [5]. As ∆l εs MSd esforços resistentes de cálculo solicitação de cálculo x εc σc Rsd MRd = MRd1 d bw Rcd = Rcd1 z h 1 y = 0,8 x 2006 7-15 ufpr/tc405 ( ) ( )( )dAdRzRM zsszsdsd1Rd βσ=β== dAM zss1Rd βσ= Equação 7.13 Admitindo que εyd ≤ εs ≤ 101, do diagrama tensão-deformação do aço (Figura [4.5]) pode-se estabelecer: yds f=σ ⋅⋅−==β cd yd w s z f f db A 7,1 11 d z Equação 7.14 dfAM zyds1Rd β= Equação 7.15 A Equação 7.13 corresponde ao momento fletor resistente de cálculo para barras ancoradas com lb,nec (σs < fyd) e a Equação 7.15 corresponde ao momento fletor resistente de cálculo para barras ancoradas com lb (σs = fyd). Observar, também, que a Equação 7.13 e a Equação 7.15 estão contidas na Equação [5.18] usada para a determinação de armadura longitudinal de vigas de seção retangular sem armadura de compressão. O diagrama de momento fletor resistente MRd1 de uma barra, definido pela Equação 7.13 e pela Equação 7.15, é análogo ao diagrama da Figura 7.11, com ordenada As σs βz d para ancoragem lb,nec (σs < fyd) e ordenada As fyd βz d para ancoragem lb (σs = fyd), como mostrado na Figura 7.13. De modo simplificado pode-se dizer que o digrama de momento fletor resistente MRd1 é obtido do diagrama Rsd multiplicando suas ordenadas pelo braço de alavanca z (βz d). Figura 7.13 - Diagrama MRd1 (momento resistente de cálculo) Exemplo 7.4: Determinar o diagrama de momento resistente de cálculo MRd1 para as armaduras positivas (tracionadas) da viga abaixo indicada. A viga tem 20 cm de base e 50 cm de altura útil. Considerar: concreto: C25; barra nervurada: CA-50; combinação normal de carregamento - ELU; e σs = fyd (máximo aproveitamento das barras). 1 Esta condição para εs corresponde aos domínios 2 e 3 da Figura [5.4]. Corresponde, também, às vigas subarmadas (dúteis, se βx observar os limites estabelecidos pela Equação [5.3]). d MRd1 = Rsd z = As σs βz d lb,nec lb MRd1 = Rsd z = As fyd βz d início da ancoragem As 2006 7-16 ufpr/tc405 Solução: O valor de lb deverá ser determinado para cada barra usando a Equação 7.8, com fbd definido pela Equação 7.6. Para η1 deverá ser usado o valor 2,25 que corresponde a barra nervurada; para η2 deverá ser usado o valor 1,0 que corresponde a situação de boa aderência, região inferior de vigas (ver Figura 7.6); para η3 deverá ser usado o valor 1,0 que corresponde a barras de diâmetro menor que 40 mm; para γc deverá ser usado o valor 1,4 que corresponde a combinações normal de carregamento - ELU; e para γs deverá ser usado o valor 1,15 que corresponde a combinações normal de carregamento - ELU. O diagrama MRd1 é obtido de módulo análogo ao diagrama Rsd do Exemplo 7.3, com o uso da Equação 7.15 para determinação dos valores dos momentos resistentes de cálculo. Por se tratar de armadura positiva, os valores dos momentos deverão ser posicionados "para baixo", como apresentado na Figura 7.13. a. Dados - uniformização de unidades (kN e cm) C20kN/cm 2,5MPa 25f 2ck == CA50kN/cm 0,50MPa 500f 2yk == nervurada barra25,21 =η aderência boa de situação00,12 =η mm 40 00,13 <φ=η normal combinação - ELU40,1c =γ normal combinação - ELU15,1s =γ viga da larguracm 20bw = viga da útil alturacm 50d = barra da diâmetrocm 1,6 mm 16 ==φ 2 c ck cd kN/cm 79,1MPa 17,91,4 25ff === γ = 2 s yk yd kN/cm 5,43MPa 4351,15 500ff === γ = b. fbd MPa em ff 21,0 f ck3 2 ck c 321 bd γ ηηη = 23 2bd kN/cm 0,289MPa 2,89254,1 0,10,125,221,0f == ×××= 210 A A B B N1 φ 16 350 cm 2N2 φ 16 750 cm 2N3 φ 16 880 cm N3 BB AA N3 N2 2006 7-17 ufpr/tc405 c. lb bd yd b f f 4 ⋅ φ =l φ=⋅φ= 38 289,0 5,43 4b l cm 60mm 608163838b ≈=×=φ=l d. βz d.1. 2 φ 16 mm (seção BB) 2 22 s cm 02,44 1,6 2 4 2A =π=πφ= ⋅⋅−=β cd yd w s z f f db A 7,1 11 943,0 79,1 5,43 5020 02,4 7,1 11z = ⋅ × ⋅−=β d.2. 4 φ 16 mm (seção AA) 2 22 s cm 04,84 1,6 4 4 4A =π=πφ= 885,0 79,1 5,43 5020 04,8 7,1 11z = ⋅ × ⋅−=β d.3. 5 φ 16 mm (seção situada entre 2,1 m e 5,6 m da face interna do pilar esquerdo) 2 22 s cm 05,104 1,6 5 4 5A =π=πφ= 856,0 79,1 5,43 5020 05,10 7,1 11z = ⋅ × ⋅−=β d.4. Adoção de um único valor para βz Deve ser observado, neste exemplo, que para uma variação de armadura de 150% (de 2 barras para 5 barras) a variação de βz foi de -9% (de 0,943 para 0,856). Com o objetivo de não perder a linearidade entre os valores de MRd1 para as diversas combinações de barras, é prática comum no detalhamento de vigas de concreto armado adotar, independentemente do número de barras atuantes na seção transversal de qualquer trecho de viga, um único valor para o braço de alavanca z, ou seja adotar um único βz (z = βz d). Para que as condições de segurança não sejam violadas, adota-se o menor βz (menor braço de alavanca, menor fletor resistente MRd1) que justamente correspondente à seção transversal com maior número de barras, ou seja adota-se o βz correspondente à seção transversal mais solicitada (onde atua o máximo momento fletor solicitante de cálculo MSd). Desta forma, o modo simplificado de determinar o valor de βz é através do uso da equação: ⋅⋅−=β cd yd w max,s z f f db A 7,1 11 165cm05,10A 2max,s φ= 856,0 79,1 5,43 5020 05,10 7,1 11z = ⋅ × ⋅−=β 856,0z =β e. Diagrama MRd1 para uma barra de 16 mm 2 22 s cm 01,24 1,6 4 A =π=πφ= 500,85643,501,2dfAM zyds1Rd ×××=β= 37 kNm 60 cm 2006 7-18 ufpr/tc405 kNm 73kNcm 3742M 1Rd == Existindo barras com bitolas diferentes, para cada uma delas deverá ser desenvolvido o diagrama MRd1. f. Diagrama MRd1 g. Condição de segurança 1 x 37 = 37 kNm 0 kNm MRd1 60 cm 60 cm 60 cm 2 x 37 = 74 kNm 2 x 37 = 74 kNm N1 2N2 2N3 74 kNm 185 kNm 148 kNm MRd1 MSd,desl 2006 7-19 ufpr/tc405 A viga será segura se, em qualquer seção transversal, for verificada a condição ( )dddesl,Sd1Rd SRMM ≥≥ Além do exposto neste exemplo, outras condições para detalhamento de armadura longitudinal de vigas devem ser observadas, como as estabelecidas no item 18.3.2.3 da ABNT NBR 6118. 7.9 Posição relativa entre os diagramas MSd,desl e MRd1 7.9.1 Vãos e apoios intermediários de vigas Segundo a ABNT NBR 6118, item 18.3.2.3.1, o diagrama MRd1, nos pontos onde a tensão normal atuante nas barras é nula (pontas das barras), deve ficar afastado de 10 φ (diâmetro da barra que esta sendo ancorada) do diagrama MSd,desl, (diagrama de momentos fletores solicitantes, deslocado) como mostrado na Figura 7.14. Figura 7.14 Posição relativa entre os diagramas MSd,desl e MRd1 Exemplo 7.5: Detalhar a armadura positiva da viga abaixo representada. A viga tem 15 cm de base e 50 cm de altura. Dados: concreto: C20; e barra nervurada: CA-50. Considerar: somente solicitações normais; al lb barra m + 1 barra m + 2 barra m lb barra m diâmetro φ barra m + 1 diâmetro φ ≥ 10 φ lb lb barra n barra n + 1início da ancoragem final da ancoragem MSd,desl MSd MRd1 barra n barra n diâmetro φ ≥ 10 φ ≥ 10 φ ≥ 10 φ ≥ 10 φ 2006 7-20 ufpr/tc405 viga de seção retangular, sem armadura de compressão e simplesmente tttttttapoiada nos pilares; - pilares com 20 cm de largura; estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, tttttttγq = 1,4, γc = 1,4 e γs = 1,15); - al = d; armadura transversal (estribos): 6,3 mm; cobrimento nominal: 3 cm; e dimensão máxima do agregado: 12,5 mm. Obs.: peso próprio da viga incluído na carga gk. Solução: O valor de lb é determinado de modo análogo ao do Exemplo 7.2. A determinação da armadura necessária para resistir ao máximo momento fletor positivo é feita de modo análogo ao do Exemplo [5.1]. O posicionamento das barras é determinado de modo análogo ao mostrado na Figura 7.14. a. Diagrama MSd b. Dados C20MPa 20fck = normal combinação - ELU40,1c =γ 2 c ck cd kN/cm43,1MPa3,141,4 20ff === γ = nervurada barra25,21 =η aderência boa de situação00,12 =η mm 40 00,13 <φ=η MPa em ff 21,0 f ck3 2 ck c 321 bd γ ηηη = 47,25 kNm 84,00 kNm + - - Esc. hor.: 1:0,667 Esc. vert.: 1:20 1,5 m 1,5 m 5,0 m gk = 30 kN/m Esc.: 1:0,667 2006 7-21 ufpr/tc405 23 2bd kN/cm0,249MPa 2,49204,1 0,10,125,221,0f == ×××= CA50MPa 500fyk = normal combinação - ELU15,1s =γ 2 s yk yd kN/cm43,5MPa4351,15 500ff === γ = bd yd b f f 4 ⋅ φ =l φ=⋅φ= 44 249,0 5,43 4b l cm 15bw = cm 50h = cm446-50d == (assumido) cm 3cnom = cm0,63mm 3,6t ==φ cm1,25mm 5,12dmax == 2 2 2 min,s cm13,1 cm13,150150015,0 cm86,05015 5,43 43,1035,0maxA = =×× =××× = 2maxs, cm,030501504,0A =××= kNcm8400kNm84MSd == kNcm2951143,14415272,0M 2lim,1Rd =×××= { compressão de armadura de enecessidad há nãoMM kNcm29511 lim,1Rd kNcm4008 Sd ⇒< 321 kNcm4008MMM 1RdRdSd === c. Armadura longitudinal OK272,0202,0 43,14415 4008 2c <=×× =β =β =β ⇒⇒=β 000,1 862,0 202,0 s z tabela c 321 OK cm0,30 cm13,1cm09,5 5,43000,144862,0 4008A 2 2 2 s < > = ××× = 2 2 2 2 2 cm25,51025,123 cm57,1 4 0,12102 cm68,3 4 25,135,123 =φ+φ = ×π ×=φ = ×π ×=φ 2cal,s cm09,5A = 2ef,s cm25,5A = d. Verificação de ah e av cm00,2av = ( ) cm00,2 13 25,1363,020,3215ah =− ×+×+×− = 15 cm 6,3 mm 3 cm 10 mm 2 cm 12,5 mm ah 2006 7-22 ufpr/tc405 cm0,2 cm63,025,15,0d5,0 cm25,1 cm2 maxa max v = =×= =φ≥ l OK cm0,2 cm50,125,12,1d2,1 cm25,1 cm2 maxa max h = =×= =φ≥ l OK e. Verificação de d ×π ×+ ×π × ++× ×π ×+ × ×π × = 4 0,12 4 25,13 2 0,10,225,1 4 0,12 2 25,1 4 25,13 y 22 22 cg ( ) ( ) cm56,10,1225,13 2 0,10,225,10,12 2 25,125,13 y 22 22 cg =×+× ++××+ ×× = ( )nomtcg cyhd +φ+−= ( ) OKcm44cm81,440,363,056,150d >=++−= cm81,44d = cm45da ≈=l f. Determinação de MRd1 x yds cdw s fA fdb68,0 β =β xs 5,4325,5 43,181,441568,0 β× × ××× =β xs 862,2 β=β sx 349,0 β=β =β =β =β ⇒⇒=β OK000,1 860,0 204,0 349,0 s z c tabela x 321 cd 2 wc1Rd fdbM β= 4434421 SdM 2 1Rd kNcm4008kNcm786843,181,4415204,0M >=×××= 4 0,12 4 25,13 4 25,13 7868M 22 2 5,12,1Rd ×π ×+ ×π × ×π × ×=φ kNm62kNcm1586 25,5 68,37868M 5,12,1Rd ==×=φ 4 0,12 4 25,13 4 0,12 7868M 22 2 10,1Rd ×π ×+ ×π × ×π × ×=φ kNm26kNcm6282 25,5 57,17868M 10,1Rd ==×=φ cg d φt cnom φl ycg (ycg + φt + cnom) h av 2006 7-23 ufpr/tc405 Verificação do valor de βz e MRd1 (Equação 7.14 e Equação 7.15) ⋅⋅−==β cd yd w s z f f db A 7,1 11 d z OK860,0 43,1 5,43 81,4415 25,5 7,1 11z = × × ×−=β dfAM zyds1Rd β= kNcm7868kNcm801881,44860,05,4325,5M 1Rd >=×××= (imprecisão de tabela) A diferença dos valores de MRd1, calculados como funções de βc (8 786 kNcm) e de βz (8 801 kNcm), é devida à imprecisão de tabela. Para βx igual a 0,349412 (valor mais exato), βc corresponderia a 0,204392 e βz seria igual a 0,860234. O valor de MRd1, função de βc, 0,204392 x 15 x 44,812 x 1,43 resultaria igual a 8803 kNcm e o valor de MRd1, função de βz, 5,25 x 43,5 x 0,860235 x 44,81 corresponderia a 8803 kNcm. Esta imprecisão de tabela será ignorada na seqüência da resolução deste Exemplo. g. Determinação dos comprimentos de ancoragem cm44mm4401044mm10,b ==×=φl cm55mm5505,1244mm5,12,b ==×=φl h. Diagrama MSd,desl i. Posicionamento vertical das barras em relação ao diagrama MSd,desl 47,25 kNm 84,00 kNm al = 45 cm MSd,desl MSd Esc. hor.: 1:66,7 Esc. vert.: 1:20 φ 12,5 mm φ 12,5 mm φ 12,5 mm φ 10 mm φ 10 mm 62 kNm Esc. hor.: 1:66,7 Esc. vert.: 1:20 88 kNm 84 kNm 2006 7-24 ufpr/tc405 j. Leque de ancoragem k. Paralelismo de ancoragem lb = 44 cm 2 φ 10 mm - 310 cm 0 0 1 2 3 1 2 0 1 2 3 0 1 2 lb = 55 cm 55 cm 44 cm φ 10 mm φ 12,5 mm Esc. hor.: 1:66,7 Esc. vert.: 1:20 paralelas ≥ 10 φ paralelas ≥ 10 φ 0 0 1 2 1 2 3 0 0 1 2 1 2 3 φ 10 mm φ 12,5 mm lb = 55 cm lb = 44 cm Esc. hor.: 1:66,7 Esc. vert.: 1:20 55 cm 44 cm 88 kNm 62 kNm 84 kNm 2006 7-25 ufpr/tc405 l. Diagramas MRd1 dos conjuntos de barras Obs.: Todas as pontas das barras estão afastadas de uma distância maior ou igual a 10 φ do diagrama MSd,desl. O paralelismo de ancoragem existente do lado direito é simétrico em relação ao lado esquerdo. m. Detalhamento da armadura longitudinal positiva Para detalhamento da armadura longitudinal negativa ver Exemplo 7.6. 2 N3 - φ 12,5 mm - 510 cm 1 N2 - φ 12,5 mm - 400 cm 2 N1 - φ 10 mm - 310 cm - 2ª cam. Esc.: 1:66,7 40 cm 15 cm 85 cm armadura superior (negativa) não detalhada armadura inferior (porta-estribo) não detalhada cnom = 3 cm lb = 44 cm 2 φ 12,5 mm 510 cm 1 φ 12,5 mm 400 cm 2 φ 10 mm 310 cm 0 0 1 2 3 1 2 0 1 2 3 0 1 2 lb = 55 cm 55 cm 44 cm φ 10 mm φ 12,5 mm Esc. hor.: 1:66,7 Esc. vert.: 1:20 paralelas paralelas paralelas 2006 7-26 ufpr/tc405 n. Verificações De acordo com o item 18.3.2.4 -c da ABNT NBR 6118, pelo menos 25% da armadura positiva deve ser estendida aos apoios intermediários. Como duas barras (N3) chegam ao apoio, tem-se: OK%25%47 4 0,12 4 25,13 4 25,12 A% 22 2 apoio,s >=×π ×+ ×π × ×π × = De acordo com item 18.3.2.4.1 da ABNT NBR 6118, as armaduras positivas provenientes do meio do vão deverãoestender-se, no mínimo, 10 φ além da face do apoio. Como a armadura N3 está posicionada 15 cm além da face interna do apoio, o item da Norma está verificado (10 φ corresponde a 12,5 cm). o. Diagramas MSd,desl e MRd1 7.9.2 Balanços Para os trechos de vigas em balanços, o detalhamento da ancoragem reta requer alguns cuidados especiais. Pela Figura 7.15 pode ser observado que, pelo detalhamento apresentado em 7.9.1, parte da armadura reta ancorada ficaria situada fora da viga. Figura 7.15 Vigas em balanço Embora dispositivos especiais de ancoragem possam ser usados para resolver a situação da armadura mostrada na Figura 7.15, é prática comum a dobra desta armadura para dentro da viga. Para se evitar que trechos expressivos de ancoragem se situem na vertical é conveniente adotar para ∆lb valores não superiores a 25% de lb, como mostrado na Figura 7.16 (∆lb contado a partir da face final do balanço). Como as pontas de barras devem estar afastadas de 10 φ do diagrama MSd,desl e a parte dobrada não pode ser maior que d, tem-se para ∆lb: ∆lb lb MSd,desl MRd1 MRd1 MSd,desl 2006 7-27 ufpr/tc405 ≤∆≤φ d 25,0 min10 bb l l Equação 7.16 Se as desigualdades apresentadas na Equação 7.16 não puderem ser verificadas simultaneamente, prevalece os 10 φ, desde que inferiores a d. Figura 7.16 Detalhe de armadura de viga em balanço O comprimento do trecho reto dobrado (trecho vertical), também, não deverá ser inferior a 10 φ (Figura 7.16). Para a definição do diâmetro do pino de dobramento das barras longitudinais que chegam a ponta do balanço deve ser usada a Tabela 7.6, apresentada em 7.13. Exemplo 7.6: Detalhar a armadura negativa da viga abaixo representada. A viga tem 15 cm de base e 50 cm de altura. Dados: concreto: C20; e barra nervurada: CA-50. Considerar: somente solicitações normais; viga de seção retangular, sem armadura de compressão e simplesmente tttttttapoiada nos pilares; - pilares com 20 cm de largura; estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, tttttttγq = 1,4, γc = 1,4 e γs = 1,15); - al = d; armadura transversal (estribos): 6,3 mm; cobrimento nominal: 3 cm; e dimensão máxima do agregado: 12,5 mm. Obs.: peso próprio da viga incluído na carga gk. Solução: O valor de lb é determinado de modo análogo ao do Exemplo 7.2. A determinação da armadura necessária para resistir ao máximo momento fletor negativo é feita de modo análogo ao do Exemplo [5.2]. O posicionamento das barras é determinado de modo análogo ao mostrado na Figura 7.14. d ≥10 φ ∆lb ≤ 0,25 lb φ 1,5 m 1,5 m 5,0 m gk = 30 kN/m Esc.: 1:0,667 2006 7-28 ufpr/tc405 a. Diagrama MSd b. Dados C20MPa 20fck = normal combinação - ELU40,1c =γ 2 c ck cd kN/cm43,1MPa3,141,4 20ff === γ = nervurada barra25,21 =η aderência má de situação70,02 =η mm 40 00,13 <φ=η MPa em ff 21,0 f ck3 2 ck c 321 bd γ ηηη = 23 2bd kN/cm0,174MPa 74,1204,1 0,17,025,221,0f == ×××= CA50MPa 500fyk = normal combinação - ELU15,1s =γ 2 s yk yd kN/cm43,5MPa4351,15 500ff === γ = bd yd b f f 4 ⋅ φ =l φ=×φ= 63 174,0 5,43 4b l cm 15bw = cm 50h = cm446-50d == (assumido) cm 3cnom = cm0,63mm 3,6t ==φ cm1,25mm 5,12dmax == 2 2 2 min,s cm13,1 cm13,150150015,0 cm86,05015 5,43 43,1035,0maxA = =×× =××× = 2maxs, cm,030501504,0A =××= 47,25 kNm 84,00 kNm + - - Esc. hor.: 1:0,667 Esc. vert.: 1:20 2006 7-29 ufpr/tc405 kNcm7254kNm25,47MSd == kNcm2951143,14415272,0M 2lim,1Rd =×××= { compressão de armadura de enecessidad há nãoMM kNcm29511 lim,1Rd kNcm7254 Sd ⇒< 321 kNcm7254MMM 1RdRdSd === c. Armadura longitudinal OK272,0114,0 43,14415 7254 2c <=×× =β =β =β ⇒⇒=β 000,1 928,0 114,0 s z tabela c 321 OK cm0,30 cm13,1cm66,2 5,43000,144928,0 7254A 2 2 2 s < > = ××× = 2 2 cm14,3 4 0,1410 4 =×π×=φ (2 camadas) 2cal,s cm66,2A = 2ef,s cm14,3A = d. Verificação de ah e av cm00,2av = ( ) cm74,5 12 0,1263,020,3215ah =− ×+×+×− = cm0,2 cm63,025,15,0d5,0 cm25,1 cm2 maxa max v = =×= =φ≥ l OK cm0,2 cm50,125,12,1d2,1 cm25,1 cm2 maxa max h = =×= =φ≥ l OK e. Verificação de d cm00,2 4 0,14 2 0,10,20,1 4 0,12 2 0,1 4 0,12 y 2 22 cg = ×π × ++× ×π ×+ × ×π × = ( )nomtcg cyhd +φ+−= ( ) OKcm44cm37,440,363,000,250d >=++−= cm37,44d = cm45da ≈=l f. Determinação de MRd1 x yds cdw s fA fdb68,0 β =β xs 5,4314,3 43,137,441568,0 β × ××× =β sx 211,0 β=β cg d φt cnom φl ycg h av 15 cm ah 3 cm 10 mm 2 cm 6,3 mm 2006 7-30 ufpr/tc405 =β =β =β ⇒⇒=β OK000,1 916,0 131,0 211,0 s z c tabela x 321 cd 2 wc1Rd fdbM β= 4434421 SdM 2 1Rd kNcm7254kNcm532543,137,4415131,0M >=×××= Verificação do valor de βz e MRd1 (Equação 7.14 e Equação 7.15) ⋅⋅−==β cd yd w s z f f db A 7,1 11 d z OK916,0 43,1 5,43 37,4415 14,3 7,1 11z = × × ×−=β dfAM zyds1Rd β= OKkNcm5325kNcm551537,44916,05,4314,3M 1Rd ≈=×××= g. Determinação dos comprimentos de ancoragem cm63mm6301063mm10,b ==×=φl h. Diagrama MSd,desl i. Posicionamento vertical das barras em relação ao diagrama MSd,desl (apoio esquerdo) 47,25 kNm 84,00 kNm al = 45 cm MSd,desl MSd Esc. hor.: 1:66,7 Esc. vert.: 1:20 φ 10 mm 55,3 kNm 47,25 kNm Esc. hor.: 1:33,3 Esc. vert.: 1:10 2006 7-31 ufpr/tc405 i. Leque de ancoragem e definição de ∆lb (apoio esquerdo) O ponto K corresponde ao ponto final de ancoragem (ponta de barra) das barras que irão cobrir o momento negativo que aparece na ponta do balanço devido ao deslocamento do diagrama MSd. O valor de ∆lb satisfaz a todas as desigualdades da Equação 7.16, ou seja, menor que 0,25 lb (15,75 cm), menor que d (44,37 cm) e maior que 10 φ (10 cm). j. Diagramas MRd1 dos conjuntos de barras (apoio esquerdo) A dobra da barra N1 foi ajustada de 18 para 20 cm (15 cm correspondente a ∆lb mais 3 cm de cnom). 20 cm 2 φ 10 mm 195 cm 2 φ 10 mm 275 cm (rt.: 255 cm; db.: 20 cm) 0 0 4 3 1 2 4 3 1 2 K lb = 63 cm Esc. hor.: 1:33,3 Esc. vert.: 1:10 lb = 63 cm ∆lb = 15 cm (<25% de lb) paralelas paralelas paralelas ≥ 10 φ (10 cm) ≥ 10 φ ≥ 10 φ < d 3 cm (cnom) da face final do balanço 0 4 1 2 3 0 K lb = 63 cm φ 10 mm 55,3 kNm 47,25 kNm Esc. hor.: 1:33,3 Esc. vert.: 1:10 lb = 63 cm ∆lb = 15 cm 4 1 2 3 2006 7-32 ufpr/tc405 k. Detalhamento da armadura longitudinal negativa Para detalhamento da armadura longitudinal positiva ver Exemplo 7.5. 7.9.3 Apoios extremos de vigas Conforme visto em [6.2], a analogia da treliça de Morsh apresenta um conjunto de forças como mostrado na Figura7.17. Figura 7.17 Forças atuantes na treliça de Morsh Na Figura 7.17 tem-se: MSd momento fletor solicitante de cálculo; Rcd força resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido; Rsd força resistente de cálculo atuante na armadura tracionada; VSd força cortante solicitante de cálculo. Ainda, na Figura 7.17, deve ser observado que: − na região do apoio, a resultante Rsd é função direta da reação de apoio VSd; e − em região afastada do apoio, a resultante Rsd é função direta do momento fletor MSd. Segundo o item 18.3.2.4-b da ABNT NBR 6118, a força cortante solicitante de cálculo VSd (externa) pode ser equilibrada (internamente) pelas forças Rcwd (força resistente atuante no diagonal comprimida de concreto) e Rsd (força resistente atuante na armadura tracionada), como mostrado na Figura 7.18. Figura 7.18 Equilíbrio de forças no apoio 20 255 60 cm 2ª cam 2 N1 - φ 10 mm - 275 cm 2 N2 - φ 10 mm - 195 cm 2 N2 - φ 10 mm - 195 cm 2ª cam 255 60 cm Esc.: 1:66,7 armadura inferior (positiva) não detalhada armadura superior (porta-estribo) não detalhada 20 2 N1 - φ 10 mm - 275 cm cnom = 3 cm MSd Rsd Rcd VSd Rcw θ Rsd VSd la dtan =θ 2006 7-33 ufpr/tc405 Da Figura 7.18, tem-se: Sdsd Vd aR l= Equação 7.17 ABNT NBR 6118: 18.3.2.4 Armadura de tração nas seções de apoio Os esforços de tração junto aos apoios de vigas simples ou contínuas devem ser resistidos por armadura longitudinais que satisfaçam à mais severa das seguintes condições: a) no caso de ocorrência de momentos positivos, as armaduras obtidas através do dimensionamento da seção; b) em apoios extremos, para garantir ancoragem da diagonal de compressão, armaduras capazes de resistir a uma força de tração RSd = (al / d) Vd + Nd, onde Vd é a força cortante no apoio e Nd é a força de tração eventualmente existente; c) em apoios extremos e intermediários, por prolongamento de uma parte da armadura de tração do vão (As,vão), correspondente ao máximo momento positivo do tramo (Mvão), de modo que: - As,apoio ≥ 1/3 (As,vão) se Mapoio for nulo ou negativo e de valor absoluto Mapoio ≤ 0,5 Mvão; - As,apoio ≥ 1/4 (As,vão) se Mapoio for negativo e de valor absoluto Mapoio > 0,5 Mvão. 18.3.2.4.1 Ancoragem da armadura de tração nos apoios "Quando se tratar do caso de 18.3.2.4-a), as ancoragens devem obedecer aos critérios da figura 18.3. Para os casos de 18.3.2.4-b) e c), em apoios extremos, as barras das armaduras devem ser ancoradas a partir da face do apoio, com comprimentos iguais ou superiores ao maior dos seguintes valores: − lb,nec, conforme 9.4.2.5; − (r + 5,5 φ); − 60 mm. Quando houver cobrimento da barra no trecho, medido normalmente ao plano do gancho, de pelo menos 70 mm, e as ações acidentais não ocorrerem com grande freqüência com seu valor máximo, o primeiro dos três valores anteriores pode ser desconsiderado, prevalecendo as duas condições restantes. Para os casos de 18.3.2.4-b) e c), em apoios intermediários, o comprimento de ancoragem pode ser igual a 10 φ, desde que não haja qualquer possibilidade da ocorrência de momentos positivos nessa região, provocados por situações imprevistas, particularmente por efeito de vento e eventuais recalques. Quando essa possibilidade existir, as barras devem ser contínuas ou emendadas sobre o apoio. As seguintes observações devem ser feitas a respeito dos itens 18.3.2.4 e 18.3.2.4.1 da ABNT NBR 6118: a. A expressão que aparece em 18.3.2.4-b, ficaria melhor representada se aparecesse como: SdSdSd NVd a R += l onde: RSd representaria a força (horizontal) de tração solicitante de cálculo (externa) atuante na direção da armadura que chega ao apoio; VSd representaria a força (vertical) cortante solicitante de cálculo (externa) atuante no apoio; NSd representaria a força (horizontal) normal de tração solicitante de cálculo (externa) que poderia atuar na viga; al corresponderia ao deslocamento horizontal do diagrama MSd (momento fletor solicitante de cálculo); e d corresponderia a altura útil da viga. 2006 7-34 ufpr/tc405 Desta forma todos os componentes da equação seriam referidos a valores solicitantes de cálculo (externos). Observar que a Equação 7.17 corresponde ao equilíbrio de uma força vertical solicitante (externa) por forças resistentes (internas). Daí aparecer Rsd1 (s minúsculo) no lugar de RSd2 (s maiúsculo). Ambas representam forças atuantes na armadura horizontal, sendo Rsd a correspondente resistência (interna) da força solicitante RSd (externa). Pela condição de segurança, Rsd ≥ RSd (a resistente tem que ser maior ou igual a solicitante). A ABNT NBR 6118, ao usar RSd (s maiúsculo), procura representar a solicitação que estará submetida a armadura na região de ancoragem. b. O r que aparece na expressão r + 5,5 φ, do item 18.3.2.4.1, corresponde ao raio interno mínimo de curvatura, definidos na Tabela 7.4. 7.9.3.1 Ancoragem reta sem gancho ou barra transversal soldada A ancoragem reta, sem gancho ou barra transversal soldada, de apoio extremo de vigas de concreto armado pode ser representada pela Figura 7.19. Figura 7.19 Ancoragem reta sem gancho O valor de lb,nec é dado pela Equação 7.7 e vale: bd s nec,b f4 σ × φ =l Por outro lado, RSd da Figura 7.19 pode ser obtido da Equação 7.17 e vale: SdSd Vd aR l= A tesão σs que aparece na equação de lb pode ser representada por: yd ef,s Sd s fA V d a ≤=σ l Introduzindo o valor de σs na expressão de lb,nec, tem-se: ef,s Sd bd nec,b A V d a f 1 4 l l ×× φ = ou ainda, yd Sd ef,s Sd bdef,s nec,b f V d aA V d a f4 1 A ×≥ ×× φ = l ll Equação 7.18 1 R de resultante (força resistente), s (minúsculo) de aço e d de "design" (projeto/cálculo). 2 R (maiúsculo) de força, S (maiúsculo) de solicitação e d de "design" (projeto/cálculo). RSd hpil lb,nec hpil ≥ lb,nec + cnom 2006 7-35 ufpr/tc405 O item 9.4.2.5 da ABNT NBR 6118, estabelece, para lb,nec: φ≥ cm10 10 3,0 max b nec,b l l Equação 7.19 Por outro lado, o item 18.3.2.4.1 da ABNT NBR 6118 define que os comprimentos de ancoragem, em apoios extremos, devem ser iguais ou superiores a r + 5,5 φ ou 60 mm. Como o limite de 60 mm (6 cm) é inferior a 100 mm (10 cm) e o maior diâmetro apresentado na Tabela 7.4 corresponde a 8 φ (raio 4 φ, r + 5,5 φ = 9,5 φ), a verificação da Equação 7.19 atende, por inteiro, ao estabelecido em 18.3.2.4.1 da ABNT NBR 6118. Lembrando que: bd yd b f f 4 ⋅ φ =l tem-se: φ × φ ≥ cm10 10 f f 4 3,0 max b bd yd nec,b 43421 l l Equação 7.20 Valores mínimos para lb,nec podem, então, serem tabelados, como mostrado a seguir. lb,nec γc = 1,40 CA-50 (boa aderência) γs = 1,15 barras nervuradas concreto 10 mm 12,5 mm 16 mm 20 mm 22 mm 25 mm 32 mm C20 13 cm 16 cm 21 cm 26 cm 29 cm 33 cm 42 cm C25 11 cm 14 cm 18 cm 23 cm 25 cm 28 cm 36 cm C30 10 cm 13 cm 16 cm 20 cm 22 cm 25 cm 32 cm C35 10 cm 13 cm 16 cm 20 cm 22 cm 25 cm 32 cm C40 10 cm 13 cm 16 cm 20 cm 22 cm 25 cm 32 cm C45 10 cm 13 cm 16 cm 20 cm 22 cm 25 cm 32 cm C50 10 cm 13 cm 16 cm 20 cm 22 cm 25 cm 32 cm Tabela 7.5 Valores mínimos de lb,nec para ancoragem de apoio extremo Somando-se aos valores apresentados na Tabela 7.5, o cobrimento nominal (cnom), têm-se os valores mínimos para a dimensão do pilar (hpil). A junção da Equação7.18 com a Equação 7.20, permite: 2006 7-36 ufpr/tc405 yd Sd ef,s bd yd Sd bdef,s nec,b f V d a A cm10 10 f f 4 3,0 V d a f4 1 A b ×≥ φ × φ ≥×× φ = l l l 43421 l Equação 7.21 Exemplo 7.7: Detalhar a armadura positiva da viga abaixo representada. A viga tem 20 cm de base e 60 cm de altura. Dados: concreto: C25; e barra nervurada: CA-50. Considerar: somente solicitações normais; viga de seção retangular, sem armadura de compressão e simplesmente tttttttapoiada nos pilares; - pilares com 20 cm de largura; estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, tttttttγq = 1,4, γc = 1,4 e γs = 1,15); armadura transversal (estribos): 6,3 mm; cobrimento nominal: 3 cm; e dimensão máxima do agregado: 19 mm. Obs.: peso próprio da viga incluído na carga gk. Solução: O valor de lb é determinado de modo análogo ao do Exemplo 7.2. A determinação da armadura necessária para resistir ao máximo momento fletor positivo é feita de modo análogo ao do Exemplo [5.1]. A determinação de al é feita de modo análogo ao do Exemplo [6.7]. Para a verificação da ancoragem de apoio extremo usar a Equação 7.21. O posicionamento das barras é determinado de modo análogo ao mostrado no Exemplo 7.5. 6,0 m gk = 20 kN/m Esc.: 1:0,667 2006 7-37 ufpr/tc405 a. Diagramas MSd e VSd b. Dados C25MPa 25fck = MPaemf 250 f1 ck ck v2 −=α 9,0 250 251v2 =−=α normal combinação - ELU40,1c =γ 2 c ck cd kN/cm79,1MPa9,171,4 25ff === γ = nervurada barra25,21 =η aderência boa de situação00,12 =η mm 40 00,13 <φ=η MPa em ff 21,0 f ck3 2 ck c 321 bd γ ηηη = 23 2bd kN/cm0,289MPa 2,89254,1 0,10,125,221,0f == ×××= MPaemf f21,0 f ck c 3 2 ck ctd γ = 2 3 2 ctd cm/kN128,0MPa28,14,1 2521,0f === CA50MPa 500fyk = 126 kNm + Esc. hor.: 1:0,667 Esc. ver.: 1:20 84 kN Esc. hor.: 1:0,667 Esc. ver.: 1:40 2006 7-38 ufpr/tc405 normal combinação - ELU15,1s =γ 2 s yk yd kN/cm43,5MPa4351,15 500ff === γ = cm 20bw = cm 06h = cm456-60d == (assumido) cm 3cnom = cm0,63mm 3,6t ==φ cm1,9mm 19dmax == c. Verificação de VRd2 dbf27,0V wcd2v2Rd α= kN470542079,19,027,0V 2Rd =××××= 2RdSd VV ≤ kN84V max,Sd = (o correto seria o VSd,face que é menor que VSd,eixo) { OKVV kN470 2Rd kN84 max,Sd <321 (verificado para VSd,eixo, fica verificado VSd,face) d. Valor de al Será admitido Modelo I, estribos verticais dbf6,0V wctdc = kN835420128,06,0Vc =×××= ( ) ≤ ≥ − = d d5,0 VV V 2 da cmax,Sd max,Sd l kN84V max,Sd = (o correto seria VSd,face) ( ) cm26828384 84 2 54a = − =l cm54a cm54d cm27545,0d5,0 a =⇒ =≤ =×=≥ ll cm54da ==l e. Determinação de lb bd yd b f f 4 ⋅ φ =l φ=⋅φ= 38 289,0 5,43 4b l f. Armadura longitudinal 2 2 2 min,s cm80,1 cm80,160200015,0 cm73,16020 5,43 43,1035,0maxA = =×× =××× = 2maxs, cm,048602004,0A =××= kNcm60012kNm126MSd == kNcm3952879,15420272,0M 2lim,1Rd =×××= { compressão de armadura de enecessidad há nãoMM kNcm39528 lim,1Rd kNcm60012 Sd ⇒< 321 kNcm60012MMM 1RdRdSd === OK272,0121,0 79,15420 60012 2c <=×× =β 2006 7-39 ufpr/tc405 =β =β ⇒⇒=β 000,1 923,0 121,0 s z tabela c 321 OK cm0,38 cm80,1cm81,5 5,43000,154923,0 60012A 2 2 2 S < > = ××× = 2 2 cm14,6 4 25,155,12 5 =×π×=φ (2 camadas) 2cal,s cm81,5A = 2ef,s cm14,6A = g. Verificação de ah e av cm00,2av = ( ) cm5,4 13 25,1363,020,3220ah =− ×+×+×− = cm0,2 cm95,09,15,0d5,0 cm25,1 cm2 maxa max v = =×= =φ≥ l OK cm3,2 cm3,29,12,1d2,1 cm25,1 cm2 maxa max h = =×= =φ≥ l OK h. Verificação de d ×π ×+ ×π × ++× ×π ×+ × ×π × = 4 25,12 4 25,13 2 25,10,225,1 4 25,12 2 25,1 4 25,13 y 22 22 cg ( ) cm93,123 2 25,10,225,12 2 25,13 ycg =+ ++×+ × = ( )nomtcg cyhd +φ+−= ( ) OKcm54cm44,540,363,093,160d >=++−= cm44,54d = i. Determinação de MRd1 x yds cdw s fA fdb68,0 β =β xs 5,4314,6 79,144,542068,0 β× × ××× =β xs 962,4 β=β sx 202,0 β=β =β =β =β ⇒⇒=β OK000,1 919,0 126,0 202,0 s z c tabela x 321 cd 2 wc1Rd fdbM β= 44 344 21 SdM 2 1Rd kNcm60012kNcm3691379,144,5420126,0M >=×××= kNm134M 1Rd = 15 cm 6,3 mm 3 cm 2 cm 12,5 mm ah cg d φt cnom φl ycg h av 2006 7-40 ufpr/tc405 Verificação do valor de βz e MRd1 (Equação 7.14 e Equação 7.15) ⋅⋅−==β cd yd w s z f f db A 7,1 11 d z OK919,0 79,1 5,43 44,5420 14,6 7,1 11z = × × ×−=β dfAM zyds1Rd β= OKkNcm36913kNcm3631344,54919,05,4314,6M 1Rd ≈=×××= j. Determinação dos comprimentos de ancoragem cm48mm4755,1238mm5,12,b ==×=φl k. Ancoragem de apoio extremo cm20hpil = cm3cnom = cm17320nec,b =−≤l yd Sd ef,s bd yd Sd bdef,s nec,b f V d aA cm10 10 f f 4 3,0 maxV d a f4 1 A b ×≥ φ × φ ≥×× φ = l l l 43421 l A Tabela 7.5 mostra que somente barras de 10 mm e 12,5 mm podem ser usadas como ancoragem de apoio extremo (lb,nec ≤ 17 cm). A escolha de barras de 12,5 mm para o máximo momento fletor positivo se mostrou correta. 2ef,s cm93,15,43 84 d dA =×≥ (mínimo de 2 barras de 12,5 chegando ao apoio ⇒ 2,45 cm2) 2ef,s ef,s cm34,5A84 d d 289,04 1 A 25,117 ≥⇒×× × ×≥ (5 barras de 12,5 mm igual a 6,14 cm2) Pelos cálculos referentes à ancoragem de apoio extremo, são necessárias 5 barras de 12,5 mm além da face do apoio da viga. Isto significa que todas as barras (5) definidas para o máximo momento fletor positivo deverão ser estendidas até os apoios. Verificações: OKcm17cm8,1484 d d 289,04 1 14,6 25,1 nec,b <=××× ×=l OKcm1,14 cm10 cm5,1225,11010 cm1,14 289,0 5,43 4 25,13,0 f f 4 3,0 max bd yd nec,b = =×=φ =× × =× φ ≥l 2006 7-41 ufpr/tc405 l. Diagrama MSd,desl m. Posicionamento vertical das barras em relação ao diagrama MSd,desl n. Leque de ancoragem 126 kNm Esc. hor.: 1:66,7 Esc. ver.: 1:20 face interna do pilar al = 54 cm MSd,desl MSd 134 kNm 126 kNm 1 2 3 4 5 0 lb = 48 cm 0 φ 12,5 mm Esc. hor.: 1:66,7 Esc. ver.: 1:20 lb = 48 cm 1 2 3 4 5 134 kNm φ 12,5 mmEsc. hor.: 1:66,7 Esc. ver.: 1:20 126 kNm 2006 7-42 ufpr/tc405 o. Diagrama MRd1 do conjunto de barras p. Detalhamento da armadura longitudinal positiva q. Verificação De acordo com o item 18.3.2.4-c da ABNT NBR 6118, pelo menos 33% da armadura positiva deve ser estendida aos apoios extremos. Como todas as barras chegam ao apoio, o item da Norma está verificado. 5 φ 12,5 mm 614 cm paralelas h ≥ 60 cm 17 cm 17 cm 1 2 3 4 5 0 lb = 48 cm 0 φ 12,5 mm Esc. hor.: 1:66,7 Esc. ver.: 1:20 lb = 48 cm 1 2 3 4 5 face interna do pilar face interna do pilar 5 N1 - φ 12,5 mm - 614 cm armadura superior (porta-estribo) não detalhada cnom = 3 cm Esc.: 1:66,7 2006 7-43 ufpr/tc405 r. Diagramas MSd,desl e MRd1 7.9.3.2 Ancoragem reta com gancho ou barra transversal soldada A ancoragem reta, com gancho ou barra transversal soldada, de apoio extremo de vigas de concreto armado pode ser representada pela Figura 7.20. Figura 7.20 Ancoragem reta com gancho De acordo com o item 9.4.2.5 da ABNT NBR 6118, o uso do gancho ou da barra transversal soldada, permite uma redução de 30% no comprimento de ancoragem. Se o gancho e a barra transversal soldada forem usados simultaneamente, a redução passa a ser de 50%. Desta forma a Equação 7.21 pode ser escrita como: yd Sd ef,s bd yd Sd bdef,s nec,b f V d aA cm10 10 f f 4 3,0 maxV d a f4 1 A ×≥ φ × φ ≥ ×× φ α= l ll Equação 7.22 sendo: α = 0,7 para barras tracionadas com gancho, com cobrimento no plano normal ao do gancho ≥ 3φ; α = 0,7 quando houver barras transversais soldadas conforme 9.4.2.2; α = 0,5 quando houver barras transversais soldadas conforme 9.4.2.2 e gancho, com cobrimento no plano normal ao do gancho ≥ 3φ; MSd MSd,desl MRd1 RSd hpil lb,nec hpil ≥ lb,nec + cnom 2006 7-44 ufpr/tc405 Os valores mínimos para lb,nec permanecem os mesmos da Equação 7.21, ou seja, os valores da Tabela 7.5 independem da existência de ganchos ou barras transversais soldadas. 7.10 Armadura transversal na ancoragem Embora as equações de ancoragem tenham sido estabelecidas em função da simplificação apresentada na Figura 7.3, onde é admitido que as tensões (forças) tangenciais são paralelas ao eixo da barra, a verdadeira distribuição de forças (tensões) na interface concreto-aço tem um aspecto mais próximo do apresentado na Figura 7.21. Nesta interface, as forças (tensões) diagonais de compressão (Rb,diag) atuantes no concreto são acompanhadas por forças (tensões) transversais de tração (Rb,traç) para o estabelecimento do equilíbrio do elemento ∆x. Figura 7.21 - Região de ancoragem - equilíbrio de forças As forças (tensões) de tração (Rb,traç) são responsáveis pela criação de uma região microfissurada no entorno das barras de aço, conforme mostrado na Figura 7.22. Figura 7.22 - Microfissuras na região de ancoragem Nas regiões de ancoragem, microfissuradas como mostrado na Figura 7.22, podem ocorrer rupturas, como mostrado na Figura 7.23. Estas rupturas se configuram: − pela separação ("split") do concreto no plano horizontal que contem as barras (Figura 7.23a); − pela separação do concreto no plano horizontal que contem as barras, acompanhada de fendilhamentos em planos perpendiculares ao de ruptura (Figura 7.23b); e − pela separação do concreto, em forma de cunhas ("notch") individuais (Figura 7.23c). Figura 7.23 - Tipos de ruptura em regiões de ancoragem Mostra, ainda, a Figura 7.23, que as rupturas em regiões de ancoragem são devidas, principalmente a: − posição relativa entre as armaduras; e − posição das barras dentro da massa de concreto. σb,traç lb a) b) c) ∆x Rs +∆ Rs Rs forças aplicadas na barra Rb,diag Rb,diag forças aplicadas no concreto Rb,traç Rb,tang = ∆ Rs 2006 7-45 ufpr/tc405 As providências a serem tomadas para evitar rupturas nas regiões de ancoragem consistem na adoção de: − cobrimento adequado (≥ 3φ) das armaduras de tal forma que a região microfissurada fique interna ao concreto e afastada das bordas (Figura 7.24a); − espaçamento adequado (≥ 3φ) entre as armaduras evitando ao máximo a sobreposição de regiões microfissuras (Figura 7.24b); e − armaduras (estribos) que costurem os planos de ruptura ou fendilhamento (Figura 7.24c). Figura 7.24 - Providências para evitar rupturas em regiões de ancoragem ABNT NBR 6118, item 9.4.1.1: "À exceção das regiões situadas sobre apoios diretos, as ancoragens por aderência devem ser confinadas por armaduras transversais (ver 9.4.2.6) ou pelo próprio concreto, considerando-se este caso quando o cobrimento da barra ancorada for maior ou igual a 3φ e a distância entre barras ancoradas for maior ou igual a 3φ. 7.10.1 Armadura transversal para ancoragem de barras de diâmetro menor que 32 mm ABNT NBR 6118, item 9.4.2.6.1: "Ao longo do comprimento de ancoragem deve ser prevista armadura transversal capaz de resistir a 25% da força longitudinal de uma das barras ancoradas. Se a ancoragem envolver barras diferentes, prevalece para esse efeito, a de maior diâmetro. Figura 7.25 - Armadura transversal de barras ancoradas - φlong < 32 mm A colocação da armadura transversal, necessária em regiões de ancoragem, normalmente é colocada sob a forma de estribos fechados (Asw,b), como mostrado na Figura 7.25. ≥3φ ≥3φ a) φ b) ≥3φ φ c) lb Asw,b As Rs = As x fyd sb 2006 7-46 ufpr/tc405 Segundo o item 9.4.2.6.1 da ABNT NBR 6118, a equivalência de forças resulta: sbsw, R4 1R = ou ainda ( ) ( )ydsbywd,bsw, fA4 1fA n ×=× com: b b s n l= Desta forma, tem-se: b,yws yd b s b bsw, f f 4 A s A ×= l Equação 7.23 No caso em que as barras longitudinais e transversais forem constituídas de mesmo material (fyd = fywd,b), tem-se: b s b bsw, 4 A s A l = Equação 7.24 O espaçamento entre as armaduras transversais (estribos) deve seguir as mesmas limitações estabelecidas para armadura de cisalhamento (ABNT NBR 6118, item 18.3.3.2). Exemplo 7.8: Determinar a armadura transversal necessária para a ancoragem de barras de 16 mm. Considerar: concreto: C20; barra nervurada: CA-50; situação de má aderência; cobrimento e espaçamento entre barras menor que 3φ; altura útil da viga igual a 50 cm; combinação normal de carregamento - ELU; e σs = fyd (máximo aproveitamento das barras). Solução: O valor de lb deverá ser determinado pela Equação 7.8, com fbd definido pela Equação 7.6. Para η1 deverá ser usado o valor 2,25 que corresponde a barra nervurada; para η2 deverá ser usado o valor 0,7 que corresponde a situação de má aderência; para η3 deverá ser usado o valor 1,0 que corresponde a barras de diâmetro menor que 40 mm; para γc deverá ser usado o valor 1,4 que corresponde a combinações normal de carregamento - ELU; e para γs deverá ser usado o valor 1,15 que corresponde a combinações normal de carregamento - ELU. A armadura transversal necessária para ancoragem deverá ser definida pela Equação 7.24. a. Dados - uniformização de unidades (kN e cm) C20kN/cm 2,0MPa 20f 2ck == CA50kN/cm 0,50MPa 500f 2yk == nervurada barra25,21 =η aderência má de situação7,02 =η mm 40 00,13 <φ=η normal combinação - ELU40,1c =γ normal combinação - ELU15,1s =γ barra da diâmetrocm 1,6 mm 16 ==φ viga da útil alturacm 50d = 2006 7-47 ufpr/tc405 ancorada barrauma de ltransversa seção da área2,01cm 4 1,6 4 A 2 22 s = ×π = πφ = 2 s yk yd kN/cm 5,43MPa 4351,15 500ff === γ = b. fbd MPa em ff 21,0 f ck3 2 ck c 321 bd γ ηηη = 23 2bd kN/cm 0,174MPa 74,1204,1 0,17,025,221,0f == ×××= c. lb bd yd b f f 4 ⋅ φ =l φ=⋅φ= 63 174,0 5,43 4b l cm 100mm 0810166363b ≈=×=φ=l d. Asw,b/sb b s b bsw, 4 A s A l = /mcm 0,5/cmcm 0,005 1004 01,2 s A 22 b bsw, == × = ◄ considerando armadura transversal constituída por barras de 5 mm, tem-se: 2 22 bsw, cm 0,24 0,5 4 A =×π=πφ= cm 40s005,0 s 20,0 b b =⇒= como o valor de sb deve ficar limitado a 60% da altura útil da viga ou a 30 cm, tem-se: cm30 cm 30 cm 30506,0 minsb = =× ≤ e. Solução armadura transversal: 1 φ de 5 mm a cada 30 cm.◄ 7.10.2 Armadura transversal para ancoragem de barras de diâmetro maior ou igual a 32 mm ABNT NBR 6118, item 9.4.2.6.2: Deve ser verificada a armadura em duas direções transversais ao conjunto de barras ancoradas. Essas armaduras transversais devem suportar os esforços de fendilhamento segundo os planos críticos, respeitando espaçamento máximo de 5φ (onde φ o diâmetro da barra ancorada). Quando se tratar de barras comprimidas, pelo menos uma das barras constituintes da armadura transversal deve estar situada a uma distância igual a quatro diâmetros (da barra ancorada) além da excentricidade da barra. A colocação da armadura transversal, necessária em regiões de ancoragem, pode ser feita, como mostrado na Figura 7.26. 2006 7-48 ufpr/tc405 Figura 7.26 - Armadura transversal de barras ancoradas - φlong ≥ 32 mm Para as barras verticais (Axwy,b), a equivalência de forças longitudinais e transversais resulta: ( ) ( )ydsbywd,bswy, fA4 1fA ×∑=×∑ Equação 7.25 onde: − Aswy,b corresponde a área da seção transversal de uma barra vertical e sua somatória abrange todas as barras colocadas ao longo do comprimento de ancoragem lb (na Figura 7.26 são mostradas apenas quatro destas barras); e − As corresponde a área da seção transversal de uma das barras ancoradas e sua somatória abrange todas as barras que compõem o plano de fendilhamento X (barras 1, 2, 3 e 4 da Figura 7.26). Para as barras verticais (Axwx,b), a equivalência de forças longitudinais e transversais resulta: ( ) ( )ydsbywd,bswx, fA4 1fA ×∑=×∑ Equação 7.26 onde: − Aswx,b corresponde a área da seção transversal de uma barra horizontal e sua somatória abrange todas as barras colocadas ao longo do comprimento de ancoragem lb (na Figura 7.26 são mostradas apenas duas destas barras); e − As corresponde a área da seção transversal de uma das barras ancoradas e sua somatória abrange todas as barras que compõem o plano de fendilhamento Y (barras 5 e 6 da Figura 7.26). 7.11 Ancoragem de barras comprimidas Não deve haver distinção entre comprimentos de ancoragem de barras tracionadas ou comprimidas. A única exigência feita pela ABNT NBR 6118, item 9.4.2.1 é que as barras comprimidas devem ser ancoradas sem gancho em suas extremidades. No caso específico de sapatas e blocos sobre estacas (Figura 7.27), onde nascem pilares, a aplicação direta da Equação 7.10, para ancoragem de barras dentro destas estruturas, não deve ser feita. É recomendado que o limite mínimo 0,3 lb seja aumentado para 0,8 lb, de tal forma que: 6 5 4 3 2 1 Plano de fendilhamento X (barras 1, 2 ,3 e 4) Plano de fendilhamento Y (barras 5 e 6) ∑Aswx,b Armadura de costura do plano Y e paralelos ∑Aswy,b Armadura de costura do plano X e paralelos barra passante barra ancorada 2006 7-49 ufpr/tc405 φ × φ ≥×× φ = cm10 10 f f 4 8,0 max A A f f 4 b bd yd ef,s cal,s bd yd nec,b 43421 l l Equação 7.27 Figura 7.27 Sapatas e blocos sobre estacas Exemplo 7.9: Um pilar de seção transversal 25 cm x 50 cm nasce de um bloco de fundação que tem 70 cm de altura útil e será construído com concreto classe C15. Sabendo-se que o pilar necessita 18,05 cm2 de área de armadura de aço CA-50 (barras nervuradas) para resistir às solicitações normais de compressão (ELU), determinar o número de barras de 32 mm necessárias para compor a armadura longitudinal deste pilar. Ao final dos cálculos, apresentar o diagrama Rsd da barra. 70 cm d ≥ lb,nec h0 h h d ≥ lb,nec 2006 7-50 ufpr/tc405 Solução: A solução deste problema consiste em se determinar, para as barras do pilar, um comprimento de ancoragem igual ou inferior a 70 cm (altura útil do bloco de fundação). Os cálculos mostrarão que é impossível ancorar barras de 32 mm neste bloco. O valor de lb,nec deverá ser determinado pela Equação 7.27, com fbd definido pela Equação 7.6. Para η1 deverá ser usado o valor 2,25 que corresponde a barra nervurada; para η2 deverá ser usado o valor 1,0 que corresponde a situação de boa aderência (Figura 7.6); para η3 deverá ser usado o valor 1,0 que corresponde a barras de diâmetro menor que 40 mm; para γc deverá ser usado o valor 1,4 que corresponde a combinações normal de carregamento - ELU; e para γs deverá ser usado o valor 1,15 que corresponde a combinações normal de carregamento - ELU. O diagramas Rsd será estabelecido em função da tensão atuante nas barras (Equação 7.11). Deve ser lembrado que o concreto C15, aqui usado, é permitido pela ABNT NBR 6118 apenas em obras de fundações. a. Dados - uniformização de unidades (kN e cm) C15kN/cm 1,5MPa 15f 2ck == CA50kN/cm 0,50MPa 500f 2yk == nervurada barra25,21 =η aderência boa de situação0,12 =η mm 40 00,13 <φ=η normal combinação - ELU40,1c =γ normal combinação - ELU15,1s =γ fundação de bloco do útil alturacm 70d = barra da diâmetrocm 3,2 mm 32 ==φ pilar do ltransversa seção da áreacm12505025A 2c =×= aço do cálulo de aresistêncikN/cm 43,5MPa 435 1,15 500 γ f f 2 s yk yd ==== cálculada armadura de áreacm05,18A 2cals, = gancho em terminar pode não comprimida armadura0,1=α bloco do útil altura à limitado ancoragem de ocomprimentcm70nec,b ≤l b. fbd MPa em ff 21,0 f ck3 2 ck c 321 bd γ ηηη = 23 2bd kN/cm 0,205MPa 05,2154,1 0,10,125,221,0f == ×××= c. lb bd yd b f f 4 ⋅ φ =l φ=⋅φ= 53 205,0 5,43 4b l cm 170mm 1696233553b ≈=×=φ=l 2006 7-51 ufpr/tc405 d. Valor mínimo de comprimento de ancoragem (Equação 7.27) cm70cm136 cm10 cm322,31010 cm1361708,08,0 max b nec,b >= =×=φ =×= ≥ l l Como o valor mínimo para lb,nec resultou maior que 70 cm (altura útil do bloco de fundação), torna-se impossível a ancoragem de barras de 32 mm neste bloco. e. Verificação da possibilidade de ancorar barras de 25 mm cm 133mm 1325253553b ≈=×=φ=l cm70cm106 cm10 cm255,21010 cm1061338,08,0 max b nec,b >= =×=φ =×= ≥ l l Como o valor mínimo para lb,nec resultou maior que 70 cm (altura útil do bloco de fundação), torna-se impossível a ancoragem de barras de 25 mm neste bloco. f. Verificação da possibilidade de ancorar barras de 20 mm cm 106mm 1060203553b ≈=×=φ=l cm70cm85 cm10 cm200,21010 cm851068,08,0 max b nec,b >= =×=φ =×= ≥ l l Como o valor mínimo para lb,nec resultou maior que
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