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Curso de Raciocínio Lógico Para o Concurso do INSS 
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Material de Apoio – 45 videoaulas. 
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Programa do curso: 
1- Conceitos básicos de raciocínio lógico: proposições; valores lógicos das 
proposições; sentenças abertas; número de linhas da tabela verdade; 
conectivos; proposições simples; proposições compostas. 
2- Tautologia. 
3- Operação com conjuntos. 
4 Cálculos com porcentagens. 
 
Aula 01 – Conceitos básicos de raciocínio lógico. 
Princípios lógicos. Proposições. 
Proposição 
Chamaremos de proposição a todo conjunto de palavras ou símbolos que 
exprimam um pensamento de sentido completo, para o qual seja possível 
atribuir, como valor lógico, ou a verdade ou a falsidade. 
 
Valores lógicos das proposições 
As proposições devem assumir os valores falsos ou verdadeiros, pois elas 
expressam a descrição de uma realidade. 
Uma proposição representa uma informação enunciada por uma oração, 
portanto pode ser expressa por distintas orações, tais como: “O João é marido 
de Maria”, ou podemos expressar também por “A Maria é esposa de João”. 
 Concluímos que as proposições estão associadas aos valores lógicos: 
verdadeiro (V) ou falso (F). 
Representaremos as proposições com as letras do alfabeto. 
 
Exemplo: 
Se a proposição p = “O ano possui doze meses.” é verdadeira então 
representaremos o valor lógico da proposição p por VAL(p) = V. 
Se a proposição q = “O Brasil é uma monarquia” é falsa então representaremos 
o valor lógico da proposição q por VAL(q) = F. 
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PRINCÍPIO DO TERCEIRO-EXCLUÍDO 
Uma proposição só pode ter dois valores lógicos; isto é: é verdadeira (V) ou falsa 
(F), não podendo ter outro valor lógico. 
 
PRINCÍPIO DA NÃO-CONTRADIÇÃO 
Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa simultaneamente. 
 
PRINCÍPIO DA IDENTIDADE 
O princípio da identidade declara que todas as coisas são idênticas a si mesmo. 
Assim pode ser enunciada como p é p. Vamos interpretar como “toda proposição 
p é equivalente a p”. 
Logo, voltando ao exemplo anterior temos: 
a) “O ano possui doze meses.” é uma proposição verdadeira. 
b) “O zero é um número.” é uma proposição verdadeira. 
c) “O Brasil é uma monarquia.”, é uma proposição falsa. 
 
As proposições serão representadas por letras do alfabeto: A, B, C, .... 
 
 
Aula 02 – Proposições simples e compostas; 
conectivos; valores lógicos das proposições. 
Proposição 
Algumas frases não admitem valores lógicos, e portanto não serão proposições. 
A frase “Boa sorte!” não é uma proposição, pois não admite o atributo 
verdadeiro ou falso. 
Portanto também não serão proposições as seguintes expressões: 
Exclamações: “Oh!”, “Parabéns!”. 
Interrogações: “Tudo bem?”, “Que dia é hoje?”, “Você é professor?”. 
Imperativos: “Seja um bom marido.”, “Estude para concursos.” 
Paradoxos: “Esta sentença é falsa”. 
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Proposições simples e compostas 
As proposições simples (átomos) combinam-se com outras, ou são modificadas, 
através de operadores (conectivos), gerando novas sentenças chamadas de 
moléculas (ou compostas). 
 
CONECTIVOS 
 Os conectivos serão representados da seguinte forma: 
 corresponde a “não” (Alguns autores usam o símbolo “ ~ ”, para 
representar a negação). 
 corresponde a “e” (conjunção) 
 corresponde a “ou” (disjunção) 
  corresponde a “se ... então ...” (condicional) 
 corresponde a “...se e somente se...” (bi-condicional) 
⊻ corresponde a “... ou ..., ou ..., mas não ambos (disjunção exclusiva) 
 
Assim podemos ter: 
• Negações: ~ 𝒑 (lê-se: não p) 
Exemplo: 
Seja a proposição p = “Lógica é difícil”. 
A proposição “Lógica não é difícil” poderá ser representada por ~ 𝒑. 
 
• Conjunções: p  q (lê-se: p e q) 
Exemplo: 
Sejam p e q proposições tal que: 
 p = “Trabalho” 
q = “Estudo”, então temos que: 
p  q = “Trabalho e estudo” 
 
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• Disjunções: p  q (lê-se: p ou q) 
Exemplo: 
Sejam p e q proposições tal que: 
p = “Trabalho” 
q = “Estudo”, então temos que: 
p  q = “Trabalho ou estudo” 
 
• Condicionais: p  q (lê-se: Se p então q) 
Exemplo: 
Sejam p e q proposições tal que: 
p = “Trabalho” 
q = “Estudo”, então temos que: 
p  q = “Se trabalho então estudo” 
 
• Bi-condicionais: p  q (lê-se: p se e somente se q) 
Exemplo: 
Sejam p e q proposições tal que: 
p = “Trabalho” 
q = “Estudo”, então temos que: 
p  q = “Trabalho se e somente se estudo” 
 
• Disjunção exclusiva: p ⊻ q ((lê-se: ou p, ou q, mas não ambos) 
Exemplo: 
Sejam p e q proposições tal que: 
p = “Trabalho” 
q = “Estudo”, então temos que: 
p ⊻ q = “Ou trabalho, ou estudo, mas não ambos” 
 
 
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Aula 03 – Conectivos lógicos e valores lógicos das 
proposições. 
Exercícios 
(2014 – Vunesp – Delegado de Polícia – PCSP) A lógica clássica possui 
princípios fundamentais que servem de base para a produção de raciocínios 
válidos. Esses princípios foram inicialmente postulados por Aristóteles (384 a 
322 a.C.) e até hoje dão suporte a sistemas lógicos. Tais princípios são os 
(A) da inferência, da não contradição e do terceiro incluído. 
(B) da diversidade, da dedução e do terceiro incluído. 
(C) da identidade, da inferência e da não contradição. 
(D) da identidade, da não contradição e do terceiro excluído. 
(E) da diversidade, da indução e da não contradição. 
Resposta: D 
 
Considerando os conectivos lógicos usuais e que as letras maiúsculas 
representem proposições lógicas simples, julgue o item seguinte acerca 
da lógica proposicional. 
(2014 – Cespe – Nível Intermediário – CADE) A sentença “Os candidatos 
aprovados e nomeados estarão subordinados ao Regime Jurídico Único dos 
Servidores Civis da União, das Autarquias e das Fundações Públicas Federais” 
é uma proposição lógica composta. 
Resposta: Errado 
 
No conjunto de todas as frases, as proposições encontram-se entre 
aquelas classificadas como declarativas e verbais, ou seja, entende-se 
como proposição todo conjunto de palavras ou símbolos que exprimam um 
pensamento de sentido completo, para o qual seja possível atribuir, como 
valor lógico, ou a verdade ou a falsidade. Assim, as proposições 
transmitem pensamentos, isto é, afirmam fatos ou exprimem juízos que se 
formam a respeito de determinados entes. Com base nessas informações, 
julgue se os itens a seguir são proposições. 
 
(2014 – CESPE- Tecnologista em Propriedade Industrial – INPI) Que 
excelente local de trabalho! 
Resposta: Não é proposição. 
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(2014 – CESPE - Tecnologista em Propriedade Industrial – INPI) Todo 
governante toma decisões, tendo como principal preocupação sua conservação 
no poder. 
Resposta: É proposição. 
 
(2014 – CESPE - Tecnologista em Propriedade Industrial – INPI) Esta 
afirmação é falsa. 
Resposta: Não é proposição. É paradoxo. 
 
 
Aula 04 – Proposições compostas e tabela verdade. 
Exercícios 
(FCC-ICMS-SP) Considere a proposição “Paula estuda, mas não passa no 
concurso”. Nessa proposição, o conectivo lógico é 
a) disjunção inclusiva. 
b) conjunção. 
c) disjunção exclusiva. 
d) condicional. 
e) bicondicional 
Resposta: B 
 
Exemplo 
Sejam as proposições p e q, tal que: 
p = ”Corre” 
q = ”O bicho pega” 
Descrever as seguintes proposições abaixo: 
a) p 
b) p  q 
c) p  q 
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d) p  q 
e) p  q 
f) p ⊻ q 
Resposta: Ver aula. 
Tabela verdade 
 
 
 
 
 
 
 
Aula 05 – Tabela verdade 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aula 06 – Exercícios de tabela verdade e proposições. 
Exemplo: 
Sejam p e q proposições. Complete a tabela verdade abaixo. 
 
p q p pq pq p q p q p ⊻ q 
V V F V V V V F 
V F F V F F F V 
F V V V F V F V 
F F V F F V V F 
p q p pq pq p q p q p ⊻ q 
V V F V V V V F 
V F F V F F F V 
F V V V F V F V 
F F V F F V V F 
p q p q pq pq p q p q 
V V 
V F 
F V 
F F 
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Aula 07 – Exercícios de tabela verdade e proposições. 
 
Exemplo: 
Sabendo que a proposição “se A, então B” é falsa, podemos concluir que: 
a) a proposição A é verdadeira e B é verdadeira. 
b) a proposição A é verdadeira e B é falsa. 
c) a proposição A é falsa e B é verdadeira. 
d) a proposição A é falsa e B é falsa. 
e) A proposição A é sempre falsa. 
Resposta: B 
 
 
 
Aula 08 – Número de linhas da tabela verdade. 
NÚMERO DE LINHAS DA TABELA VERDADE 
 O número de linhas da tabela verdade de uma proposição composta com 
n proposições simples é 2n . 
 
Exemplo: 
Observe que a tabela verdade de uma proposição composta com uma 
proposições simples possui 21 = 2 linhas. 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
Observe que a tabela verdade de uma proposição composta com duas 
proposições simples possui 22 = 4 linhas. 
 
 
 
 
 
 
p 
V 
F 
p q 
V V 
V F 
F V 
F F 
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Exemplo: 
Observe que a tabela verdade de uma proposição composta com três 
proposições simples possui 23 = 8 linhas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aula 09 – Exercícios de tabela verdade e proposições. 
 
Exercício 
(2014 – IBFC - Qualquer Nível Médio – SEPLAG/SEDS-MG) De acordo com 
os conectivos lógicos podemos afirmar que: 
a) Se o valor lógico de uma proposição p for verdade e o valor lógico de uma 
proposição q for falso, então p conjunção q é verdade. 
b) Se o valor lógico de uma proposição p for verdade e o valor lógico de uma 
proposição q for falso, então p disjunção q é verdade. 
c) Se o valor lógico de uma proposição p for verdade e o valor lógico de uma 
proposição q for falso, então p condicional q é verdade. 
d) Se o valor lógico de uma proposição p for verdade e o valor lógico de uma 
proposição q for falso, então p bicondicional q é verdade. 
Resposta: B 
 
 
Exercício 
(ESAF – 2009 – APOF - SEFAZ-SP) Assinale a opção verdadeira. 
a) 3 = 4 e 3 + 4 = 9 
b) Se 3 = 3, então 3 + 4 = 9 
c) Se 3 = 4, então 3 + 4 = 9 
d) 3 = 4 ou 3 + 4 = 9 
e) 3 = 3 se e somente se 3 + 4 = 9 
Resposta: C 
 
 
 
p q r 
V V V 
V V F 
V F V 
V F F 
F V V 
F V F 
F F V 
F F F 
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Aula 10 – Tautologias 
TAUTOLOGIA 
 
São as proposições compostas sempre verdadeiras, independentemente dos 
valores lógicos das proposições simples que as compõem. 
 
Para verificar se uma proposição é uma tautologia basta fazer a tabela verdade 
da proposição composta. 
 
Exemplos: 
a) A proposição (p  p) é uma tautologia, pois é sempre verdadeira para 
qualquer valor lógico da proposição p. 
 
b) A proposição (p  p) é uma tautologia, pois é verdadeira para qualquer valor 
lógico da proposição p. 
 
c) A proposição (p)  p é uma tautologia, pois é sempre verdadeira para 
qualquer valor lógico da proposição p. 
 
 
 
Aula 11 – Exemplos de tautologias. 
 
Exemplos (continuação): 
d) A proposição (p  q)  (p  q) é uma tautologia, pois é sempre verdadeira 
para todos os valores lógicos das proposições p e q. 
 
e) A proposição (p  q)  (q  p) é uma tautologia, pois é sempre 
verdadeira para todos os valores lógicos das proposições p e q. 
A tautologia (p  q)  (q  p) é conhecida como contra-positiva. 
 
 
 
Aula 12 – Exercícios de tautologias. 
Exemplos (continuação): 
f) A proposição (p  q)  (p  q) é uma tautologia, pois é sempre verdadeira 
para todos os valores lógicos das proposições p e q. 
A tautologia (p  q)  (p  q) é conhecida como tautologia de Morgan. 
 
g) A proposição (p  q)  (p  q) é uma tautologia, pois é sempre 
verdadeira para todos os valores lógicos das proposições p e q. 
A tautologia (p  q)  (p  q) também é conhecida como tautologia de 
Morgan. 
 
h) A proposição  (pq)  (p  q) é uma tautologia, pois é sempre verdadeira 
para todos os valores lógicos das proposições p e q. 
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Aula 13 – Principais tautologias. 
 
LISTA DE TAUTOLOGIAS MAIS COMUNS 
a) (p  p) 
b) (p  p) 
c) (p  p) (Identidade) 
d) (p  q)  (p  q) 
e) (p  q)  (q  p) (Contra-positiva) 
f) (p  q)  (p  q) (Morgan) 
g) (p  q)  (p  q) (Morgan) 
h) (p)  p (Negação dupla) 
i)  (p  q)  (p  q) 
 
 
 
Aula 14 – Tautologias; contradições; contingências. 
 
CONTRADIÇÕES 
 
 São as proposições compostas sempre falsas, independentemente dos valores 
lógicos das proposições simples que as compõem. Para verificar se uma 
proposição é uma contradição basta fazer a tabela verdade da proposição 
composta. 
 
Exemplo: 
A proposição (p  p) é uma contradição, pois é sempre falsa para qualquer 
valor lógico daproposição p. 
 
 
CONTINGÊNCIA 
 
 São as proposições compostas em que os valores lógicos dependem dos 
valores das proposições simples. Para verificar se uma proposição é uma 
contingência basta fazer a tabela-verdade da proposição. Se na tabela-verdade 
alguns valores lógicos forem verdadeiros e outros falsos teremos uma 
contingência. 
 
 
 
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Exemplo: 
A proposição (p  q) é uma contingência, pois a proposição pode ser verdadeira 
ou falsa dependendo dos valores lógicos de p e q. 
 
 
Aula 15 – Exercícios de tautologias, contradições e 
contingências. 
 
(FGV) A proposição (p  q)  (p  q) representa um: 
a) Contradição 
b) Contingência 
c) Tautologia 
d) Paradoxo 
e) N.R.A 
Resposta: C 
 
(FGV) A proposição (p  q)  (p  q) representa um: 
a) Contradição 
b) Contingência 
c) Tautologia 
d) Paradoxo 
e) N.R.A 
Resposta: C 
 
 
Aula 16 – Exercícios de tautologias, contradições e 
contingências. 
A proposição (p  p) representa um: 
a) Contradição 
b) Contingência 
c) Tautologia 
d) Paradoxo 
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e) N.R.A 
Resposta: C 
 
A proposição  (p)  p representa um: 
a) Contradição 
b) Contingência 
c) Tautologia 
d) Paradoxo 
e) N.R.A 
Resposta: C 
 
A proposição (p  p) representa um: 
a) Contradição 
b) Contingência 
c) Tautologia 
d) Paradoxo 
e) N.R.A 
Resposta: A 
 
(2009 – CESGRANRIO - Agente Administrativo – FUNASA) Denomina-se 
contradição a proposição composta que é SEMPRE FALSA, independendo do 
valor lógico de cada uma das proposições simples que compõem a tal 
proposição composta. Sejam p e q duas proposições simples e ~p e ~q, 
respectivamente, suas negações. Assinale a alternativa que apresenta uma 
contradição. 
(A) p ˄ q 
(B) q ˅ ~q 
(C) p ˅ ~q 
 (D) ~p ˄ q 
(E) ~p ˄ p 
Resposta: A 
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Aula 17 – Exercícios de tautologias, contradições e 
contingências. 
 
A proposição (p  q)  (q  p) representa um: 
a) Contradição 
b) Contingência 
c) Tautologia 
d) Paradoxo 
e) N.R.A 
Resposta: C 
 
(2009 – CESGRANRIO - Engenheiro Civil – CAPES) Chama-se tautologia à 
proposição composta que possui valor lógico verdadeiro, quaisquer que sejam 
os valores lógicos das proposições que a compõem. Sejam p e q proposições 
simples e ~p e ~q as suas respectivas negações. Em cada uma das alternativas 
abaixo, há uma proposição composta, formada por p e q. Qual corresponde a 
uma tautologia? 
(A) p ˅ q 
(B) p ˄ ~q 
(C) (p ˅ q) → (~p ˄ q) 
(D) (p ˅ q) → (p ˄ q) 
(E) (p ˄ q) → (p ˅ q) 
Resposta: E 
 
Aula 18 – Exercícios de tautologias, contradições e 
contingências. 
A proposição (p q)  (p  q) representa um: 
a) Contradição 
b) Contingência 
c) Tautologia 
d) Paradoxo 
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e) N.R.A 
Resposta: A 
 
(2013-ESAF-Analista Técnico-Administrativo – MF) Conforme a teoria da 
lógica proposicional, a proposição ~ P Λ P é: 
a) uma tautologia. 
b) equivalente à proposição ~ P V P . 
c) uma contradição. 
d) uma contingência. 
e) uma disjunção. 
Resposta: C 
 
Aula 19 – Proposição composta condicional. 
(ESAF – 2009 – APOF - SEFAZ-SP) Assinale a opção verdadeira. 
a) 3 = 4 e 3 + 4 = 9 
b) Se 3 = 3, então 3 + 4 = 9 
c) Se 3 = 4, então 3 + 4 = 9 
d) 3 = 4 ou 3 + 4 = 9 
e) 3 = 3 se e somente se 3 + 4 = 9 
Resposta: C 
 
(2014 – IBFC - Agente Administrativo - Pref. Alagoa Grande-PB) Sejam as 
proposições p: 15% de 30% = 45% e q: a quarta parte de uma dúzia é igual a 3, 
e considerando os valores lógicos dessas proposições, podemos afirmar que o 
valor lógico da proposição composta (p→q)↔~p é: 
a) falso 
b) verdadeiro ou falso 
c) verdade 
d) inconclusivo 
Resposta: C 
Aula 20 – Proposição composta condicional. 
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PROPOSIÇÃO CONDICIONAL 
(p  q) 
CONDIÇÕES NECESSÁRIAS E SUFICIENTES 
 Na condicional, a proposição antecedente p é chamada de condição 
suficiente para a proposição consequente q, e a proposição consequente q é 
chamada de condição necessária para p. 
Exemplo 
Sejam as proposições: 
p = “João é paulista”. 
q = “João é brasileiro”. 
A condicional será “Se João é paulista, então João é brasileiro”. 
 
A proposição (p  q) pode ser lida de várias maneiras distintas, como segue: 
a) Se p, então q. 
b) Se p, q. 
c) q, se p 
d) p implica q. 
e) p acarreta q. 
f) p é suficiente para q. 
g) q é necessário para p. 
h) p somente se q. 
i) p apenas se q. 
 
Exemplo 
A sentença “Se João é paulista, então João é brasileiro” pode ser lida como: 
a) Se João é paulista, então João é brasileiro. 
b) Se João é paulista, é brasileiro. 
c) João é brasileiro, se é paulista. 
d) João ser paulista implica João ser brasileiro. 
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17 
e) João ser paulista acarreta João ser brasileiro. 
f) João ser paulista é suficiente para João ser brasileiro. 
g) João ser brasileiro é necessário para João ser paulista. 
h) João é paulista somente se é brasileiro. 
i) João é paulista apenas se é brasileiro. 
Resposta: Ver aula. 
 
Aula 21 – Sentenças abertas. 
SENTENÇAS ABERTAS E SENTENÇAS GERAIS 
As proposições são declarações que podem ser verdadeiras ou falsas, mas não 
podem receber ambos valores lógicos. Portanto as sentenças abaixo são 
proposições: 
a) João é um médico. 
b) 10 é um número natural. 
c) 10+ 10 > 20 
Considere agora as seguintes sentenças abertas, que não podem receber o 
atributo verdadeiro ou falso: 
1) X é um médico. 
2) n é um número natural. 
3) x + y >20 
Concluímos que se atribuirmos um valor para as variáveis X, n, x e y, nas 
sentenças abertas acima, teremos as proposições dos casos anteriores a, b e c 
respectivamente. 
 
Exercício 
(ICMS_SP_VUNESP) Considere as seguintes frases: 
I. Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005. 
II.
5
x y é um número inteiro. 
III. João da Silva foi o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em 2000. 
É verdade que APENAS 
(A)) I e II são sentenças abertas. 
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18 
(B) I e III são sentenças abertas. 
(C) II e III são sentenças abertas. 
(D) I é uma sentença aberta. 
(E) II é uma sentença aberta. 
Resposta: A 
 
Aula 22 – Exercícios. 
 
(FGV) – Quando se afirma que P  Q (P implica Q) então: 
a. Q é condição suficiente para P. 
b. P é condição necessária para Q. 
c. Q não é condição necessária para P 
d. P é condição suficiente para Q. 
e. P não é condição suficiente nem necessária para Q. 
Resposta: D 
 
(2014 – Vunesp – Perito Criminal – PCSP) Das alternativas apresentadas, 
assinale a única que contém uma proposição lógica. 
(A) Ser um perito criminal ou não ser? Que dúvida! 
(B) Uma atribuição do perito criminal é analisar documentos em locais de crime. 
(C) O perito criminal também atende ocorrências com vítimas de terrorismo! 
(D) É verdade que o perito criminal realiza análises no âmbito da criminalística? 
(E) Instruções especiais para perito criminal. 
Resposta: B 
 
 
 
 
 
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19 
Aula 23 – Conjuntos. 
CONJUNTOS 
Um conjunto é uma coleção de objetos bem definida. 
Quando x é um dos objetos que constituem um determinado conjunto A, 
chamamos x de elemento do conjunto A, e dizemos que x pertence ao conjunto 
A, escrevendo da seguinte maneira x ∈ A. 
Se, porém, x não é um elemento do conjunto A, dizemos que x não pertence ao 
conjunto A, e escrevemos x  A. 
A relação entre um elemento e um conjunto é chamada de relação de 
pertinência. 
Geralmente representamos os conjuntos por letras maiúsculas (A,B,C,...), e os 
elementos por letras minúsculas (a, b, c, ...). 
Os conjuntos, na maioria das vezes, são definidos através de uma regra com a 
qual podemos decidir se os objetos pertencem ou não ao conjunto. 
Exemplo: 
Seja A o conjunto das mulheres de olhos verdes. 
Notamos que o conjunto A está bem definido, pois o objeto x pertence ao 
conjunto A quando for uma mulher e além disso tiver olhos verdes. 
Por outro lado, se x não for uma mulher ou se x for uma mulher que não tenha 
olhos verdes então x não pertence ao conjunto A. 
Portanto usaremos a notação A = {a, b, c, d, ...} para representar o conjunto A 
cujos elementos são os objetos a, b, c, d, .... 
O conjunto dos números naturais 0,1,2,3,... Será representado pelo símbolo N. 
N = {0, 1, 2,3, 4, ...}. 
O conjunto dos números inteiros será representado pela letra Z. 
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}. 
O conjunto dos números racionais, que é formado pelas frações 
p
q
, onde p e q 
pertencem a Z, com q ≠ 0 é representado pela letra Q, logo, 
Q = {
𝒑
𝒒
| 𝒑 ∈ 𝒁 𝒆 𝒒 ∈ 𝒁 𝒆 𝒒 ≠ 𝟎} 
Lê-se: Q é o conjunto das frações 
p
q
 tal que p pertence a Z e q pertence a Z e q 
é diferente de zero. 
 
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20 
Aula 24 – Conjuntos e subconjuntos. 
 
Um conjunto pode também ser representado por uma propriedade P, comum a 
todos os seus elementos, neste caso escrevemos: 
A = {x | x possui propriedade p} 
Lê-se o símbolo “|” como “tal que”. 
Se, no entanto, a propriedade P se refere aos elementos de um determinado 
conjunto C, escrevemos: 
A= {x ∈ C | x possui a propriedade p} 
Exemplo: 
Seja A o conjunto dos números inteiros maiores que zero. Então podemos 
escrever: 
𝑨 = {𝒙 ∈ 𝒁 | 𝒙 > 𝟎} 
Lê-se: A é o conjunto dos x pertencentes ao conjunto dos números inteiros, tal 
que x é maior que zero. 
Isto é: A = {1, 2, 3, 4, ...} 
Exemplo: 
Seja B o conjunto dos números pares. Podemos representar B da seguinte 
forma: 
B = {x | x = 2K e K ϵ N} 
Isto é; B = {0, 2, 4, 6, 8, ...} 
Exemplo: 
Seja C = {x | x é ímpar e 5 < x < 20}. 
Podemos representar C por C = {7, 9, 11, 13, 15, 17, 19}. 
Pode ocorrer que não existam elementos que satisfaçam a propriedade P, neste 
caso dizemos que o conjunto é vazio e denotamos por Ø. 
Deste modo, definimos conjunto vazio, e denotamos por Ø, ao conjunto que não 
possui elementos. 
Exemplo: 
{x ϵ N | 0 < x < 1} = Ø 
 
 
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21 
Exemplo: 
O conjunto dos dias da semana que começam com a letra A (no idioma 
português) é o conjunto vazio (Ø). 
 
SUBCONJUNTOS 
Dados os conjuntos A e B, dizemos que A é subconjunto de B quando todo 
elemento de A é também elemento de B. Escrevemos A ⊂ B (A é subconjunto 
de B). 
Observação: 
•Se A  B, dizemos que A está contido em B ou que A é parte de B. 
• A relação A  B chama-se relação inclusão. 
• O conjunto vazio (Ø) está contido em qualquer conjunto (isto é, Ø é subconjunto 
de qualquer conjunto). 
 
Conjunto dos Irracionais 
Chamamos de conjunto dos números irracionais, e representamos por I, ao 
conjunto dos números que não podem ser escritos na forma 
p
q
 tal que p ∈ Z e q 
∈ Z e q ≠ 0. 
Isto é; um número não pode ser racional e irracional ao mesmo tempo. 
 
 
Aula 25 – Conjuntos e subconjuntos. 
Conjunto das partes 
Seja o conjunto A, chamamos de conjunto das partes de A, e denotamos por 
P(A), ao conjunto formado por todos os subconjuntos de A. 
Exemplo: 
Seja A = {1, 2, 3}. Então todos os subconjuntos de A são: 
Ø, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1,3}, {2, 3}, {1, 2, 3} 
Logo 
P (A) = { Ø , {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1,3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} 
 
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22 
Observação: 
•Se um conjunto A possui n elementos, então P(A) possui 2n elementos. 
• A ∈ P(A) e Ø ∈P(A). 
 
Exemplo: 
Seja A={a, b, c}. 
Para a visualização dos conjuntos utilizamos o chamado diagrama de Venn. 
 
Exemplo: 
 
Exemplo: 
Dados os conjuntos 
A = {1, 2, 3, 4}; B = {3, 4, 5}; C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Faça o Diagrama de Venn e assinale Verdadeiro (V) ou Falso (F). 
a) ( ) A ⊂ B 
b) ( ) A ⊂ C 
c) ( ) B ⊂ C 
d) ( ) B ⊂ A 
e) ( ) {1, 4}⊂ A 
f) ( ) Ø ⊂ A 
Resposta: Ver aula. 
 
Aula 26 – Operações com conjuntos. 
 
OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 
UNIÃO ENTRE CONJUNTOS 
A união dos conjuntos A e B, é o conjunto A ∪ B, cujos os elementos são também 
elementos de A ou de B. Isto é, se x ϵ A ∪ B então x ϵ A ou x ϵ B. 
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23 
A  B = {x | x ϵ A ou x ϵ B} 
 
 
INTERSECÇÃO ENTRE CONJUNTOS 
A intersecção entre os conjuntos A e B é o conjunto A ∩ B, cujos elementos são 
simultaneamente elementos de A e de B. 
Isto é, se x ϵ A ∩ B então x ϵ A e x ϵ B. 
A ∩ B = {x | x ϵ A e x ϵ B} 
 
 
COMPLEMENTAR DE UM CONJUNTO 
Seja um conjunto A. Chamamos de complementar de A, e denotamos por AC, ao 
conjunto dos elementosque não pertencem ao conjunto A. 
Isto é; AC = {x | x  A} 
 
 A 
 
 
 
 
Observação: 
• Quando B ⊂ A, a diferença A–B chama-se conjunto complementar de B em 
relação a A e denotamos por CAB. Logo se B ⊂ A então A–B = CAB. 
Representamos 
n (A) - número de elementos do conjunto A 
n (B) - número de elementos do conjunto B 
A AC 
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24 
n (A ∩ B) - número de elementos do conjunto A ∩ B 
n (A ∪ B) - número de elementos do conjunto A ∪ B 
Então: n (A ∪ B) = n (A) + n (B) – n (A ∩ B). 
 
 
Aula 27 – Operações com conjuntos. União, 
intersecção, diferença, complementar. 
ALGUMAS PROPRIEDADES IMPORTANTES 
1. A ∪ Ø = A 
2. A∪ A = A 
3. A ∩ Ø = Ø 
4. A∩ A = A 
5. A ∪ B = B ∪ A 
6. A ∩ B = B ∩ A 
7. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) 
8. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) 
9. (AC)C = A 
10. A  B se somente se A ∪ B = B 
11. A  B se somente se A ∩ B = A 
12. A  B se somente se BC  AC 
13. A ∩ AC = Ø 
 
Exemplo: 
Seja A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5} 
Calcule: 
a) A – B 
b) A ∪ B 
c) A ∩ B 
d) B – A 
Resposta: Ver aula. 
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25 
 
Aula 28 – Exercício de operações de conjuntos. 
Exemplo: 
Seja A = {1, 2, 3}; B = {2, 4, 5}, C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Calcule: 
a) A ∩ B 
b) A  B 
c) (A ∩ B)  C 
d) (A  B) ∩ C 
Resposta: Ver aula. 
 
Aula 29 – Exercício de operações de conjuntos. 
Exemplo: 
Seja um conjunto A com 300 elementos, um conjunto B com 500 elementos. 
Suponhamos que há 100 elementos comuns em A e B. Quantos elementos 
possui: 
a. somente o conjunto A 
b. somente o conjunto B 
c. o conjunto A  B 
Resposta: Ver aula 
 
Aula 30 – Exercício de operações de conjuntos. 
Exemplo: 
Se A e B são dois conjuntos tais que A  B e A ≠ Ø, então: 
a) sempre existe x ϵ A tal que x  B. 
b) sempre existe x ϵ B tal que x  A. 
c) se x ϵ B então x ϵ A 
d) se x  B então x  A 
e) A ∩ B = Ø 
Resposta: D 
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26 
 
Exemplo: 
(MACK-SP) Sendo A = {1, 2, 3, 5, 7, 8} e B = {2, 3, 7}, então o complementar de 
B em relação a A é: 
a) Ø 
b) {8} 
c) {8, 9, 10} 
d) {9, 10, 11, ...} 
e) {1, 5, 8} 
Resposta: E 
 
Aula 31 – Exercício de operações de conjuntos. 
Exemplo: 
(Concurso Petrobras - 2011) Conversando com os 45 alunos da primeira série 
de um colégio, o professor de educação física verificou que 36 alunos jogam 
futebol, e 14 jogam vôlei, sendo que 4 alunos não jogam nem futebol nem vôlei. 
O número de alunos que jogam tanto futebol quanto vôlei é 
(A) 5 
(B) 7 
(C) 9 
(D) 11 
(E) 13 
Resposta: C 
 
Aula 32 – Exercício de operações de conjuntos. 
Exemplo: 
(BANCO DO BRASIL – FCC – 2010) Em um banco, qualquer funcionário da 
carreira de Auditor é formado em pelo menos um dos cursos: Administração, 
Ciências Contábeis e Economia. Um levantamento forneceu as informações de 
que 
I. 50% dos Auditores são formados em Administração, 60% são formados em 
Ciências Contábeis e 48% são formados em Economia. 
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27 
II. 20% dos Auditores são formados em Administração e Ciências Contábeis. 
III. 10% dos Auditores são formados em Administração e Economia. 
IV. 30% dos Auditores são formados em Ciências Contábeis e Economia. 
Escolhendo aleatoriamente um Auditor deste banco, a probabilidade de ele ser 
formado em pelo menos dois daqueles cursos citados é 
(A) 58% 
(B) 56% 
(C) 54% 
(D) 52% 
(E) 48% 
Resposta: B 
 
Aula 33 – Exercício de operações de conjuntos. 
Exemplo: 
Em uma classe, há 20 alunos que praticam futebol mas não praticam vôlei e há 
8 alunos que praticam vôlei mas não praticam futebol. O total dos que praticam 
vôlei é 15. Ao todo, existem 17 alunos que não praticam futebol. O número de 
alunos da classe é 
(A) 30. 
(B) 35. 
(C) 37. 
(D) 42. 
(E) 44. 
Resposta: E 
 
Aula 34 – Exercício de operações de conjuntos. 
Exemplo: 
Uma equipe de peritos criminais precisa descobrir a posição correta de um 
esconderijo e para tal dispõe somente do pedaço de um bilhete rasgado. 
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28 
 
A equipe situa-se na posição desse poço que se encontra dentro de um terreno 
de área circular de raio igual a 100 passos e não possui bússola para indicar o 
norte. Além disso, é noite. O bilhete rasgado não deixa claro se o número de 
passos a ser dado é de múltiplos de três ou de oito. Entretanto, a equipe é 
formada por peritos que entendem de métodos de contagem e que decidem usar 
o princípio da inclusão-exclusão: “Sendo A e B conjuntos cujo número de 
elementos é dado por n(A) e n(B), respectivamente, então n(A∪B) = n(A) + n(B) 
– n(A∩B), onde n(A∪B) é o número de elementos que pertence a pelo menos 
um dos conjuntos A e B”. 
Com base nesse princípio, determine o número máximo de tentativas que a 
equipe terá de realizar para encontrar o esconderijo. 
a) 33 
b) 12 
c) 45 
d) 41 
e) 4 
Resposta: D 
 
Aula 35 – Exercício de operações de conjuntos. 
Exemplo: 
(2014 - VUNESP - Escrevente - TJ-SP) O diagrama mostra a distribuição de 
pessoas, que possuem uma ou mais das habilidades A, B, C. As letras 
minúsculas representam o número de pessoas que possuem determinada ou 
determinadas habilidades. Por exemplo: a letra w, que está na intersecção dos 
grupos de habilidades A e B, representa a quantidade de pessoas que possuem 
ambas as habilidades citadas. 
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29 
 
Foi realizada uma enquete com todas essas pessoas, e elas deveriam responder 
SIM ou NÃO a essa única pergunta: “Você possui as habilidades A e C? Todas 
as pessoas responderam de forma verdadeira, e o número de pessoas que 
respondeu SIM foi 
(A) r. 
(B) x + s. 
(C) zero. 
(D) x + r + s. 
(E) w + r + y. 
Resposta: A 
 
Aula 36 – Porcentagem. Taxa de variação percentual. 
Porcentagem 
Taxa Percentual e Taxa Unitária 
 Taxa Percentual é a fração cujo denominador é igual a 100. Temos então 
que fração 
25
100
 é uma taxa percentual e será indicada por 25%, logo : 
%
100
x
x 
 
Quando efetuamos a divisão do numerador por 100, temos como resultado a 
taxa unitária. Exemplos: 
a) 
25
100
 = 25% (taxa percentual) 
b) 
25
100
 = 0,25(taxa unitária) 
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30 
Porcentagem 
 Calcular a porcentagem de um número significa multiplicar a fração 
percentual pelo número. Exemplo: Calcular: 
a) 
2
5
 de 300 = 
2
5
 x 300 = 
600
5
 = 120 
b) 25% de 400 = 25% x 400 = 
25
100
 x 400 = 100 
 
Exemplo: 
Um capital foi aplicado por um certo período a uma taxa de 4% no período, 
tendo recebido no final do prazo R$ 600,00 de juro. Qual o valor do capital 
aplicado? 
Resposta: R$ 1.500,00 
 
Exemplo: 
Um vendedor recebe um salário fixo de R$ 2.000,00 mais uma comissão de 
5% das vendas efetuadas. Se num certo mês ele recebeu R$ 6.000,00 (fixo 
mais comissão), qual o valor das vendas efetuadas nesse mês? 
Resposta: R$ 80.000,00 
 
Aula 37 – Exercícios de cálculo de porcentagem. 
Comparação de Dois Números 
 A fração 
a
b
 representa a porcentagem que o número a representa de um 
número b. 
Exemplo: 
Numa classe com 80 alunos, 28 foram aprovados em matemática. Qual a 
porcentagem de aprovados nessa matéria? Qual a porcentagem de 
reprovados? 
Resposta: 35% e 65%. 
 
Exemplo: 
(TRE/AC-FCC-2010) Relativamente ao total de registros de candidaturas 
protocolados certo mês por três Técnicos Judiciários, sabe-se que: 
8
15
 foi 
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31 
protocolado por Alciléia, 
5
12
 por Berenice e os demais por Otacílio. Assim 
sendo, a quantidade protocolada por Otacílio corresponde a que parte do total 
de registros protocolados nesse mês? 
(A) 5%. 
(B) 12,5%. 
(C) 15%. 
(D) 17,5%. 
(E) 20%. 
Resposta: A 
 
Aula 38 – Exercícios de cálculo de porcentagem. 
Exercícios 
(2014 - FCC - Tec. Judiciário - TI - TRF4) Três sócios criaram uma empresa. 
O sócio A participa com 3 cotas; o sócio B participa com 5 cotas e o sócio C 
participa com 7 cotas. Após um ano de funcionamento, a empresa aceitou 
um quarto sócio que entrou com a participação de mais 5 cotas. Desta 
maneira, o sócio A, cuja participação era de X%, passou a ser de Y%. A 
diferença entre X e Y é, igual a 
(A) 3. 
(B) 10. 
(C) 7. 
(D) 5. 
(E) 12. 
Resposta: D 
 
Exemplo: 
Um usuário da internet recebeu em outubro uma conta telefônica de R$ 
336,00, valor esse 140% superior ao da conta do mês anterior. A soma dos 
algarismos do valor da conta anterior é igual a: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
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32 
d) 4 
e) 5 
Resposta: E 
 
Aula 39 – Cálculo de porcentagem. Lucro sobre o preço 
de venda e sobre o preço de custo. 
 
Lucro Sobre o Preço de Venda e Lucro Sobre o Preço de Custo 
 Suponha que um produto seja adquirido pelo valor PC, e seja vendido pelo 
valor PV. Isto é: 
 PC = “preço de custo do produto” 
 PV = “preço de venda do produto” 
 L = “lucro obtido com a venda do produto” 
 
 Então temos que o lucro obtido com a venda do produto é: 
L = PV – PC 
 Sendo assim temos: 
a) Lucro sobre o preço de custo: 
L PV PC
PC PC


 . 
b) Lucro sobre o preço de venda: 
L PV PC
PV PV


 . 
 
Exercícios: 
Um comerciante comprou um produto por R$ 400,00 e vendeu por R$ 500,00? 
Qual foi o lucro sobre o preço de custo? 
Resposta: 25% 
 
Um comerciante comprou um produto por R$ 400,00 e vendeu por R$ 500,00? 
Qual foi o lucro sobre o preço de venda? 
Resposta: 20% 
 
Um produto é comprado por R$ 150,00 e é vendido por R$ 300,00. Qual foi o 
lucro sobre o preço de custo? Qual foi o lucro sobre o preço de venda? 
Resposta: 100% e 50% 
 
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33 
 
 
Aula 40 – Exercícios de cálculo de porcentagem. 
Exemplo: 
Um produto é vendido com um lucro de 20% sobre o preço de venda. Qual foi o 
lucro sobre o preço de custo? 
Resposta: 25% 
Taxa de Variação Percentual 
Chamamos de taxa de variação percentual a medida percentual de quanto a 
variável aumentou ou diminuiu. 
 Sendo assim, temos: 
 Vant= Valor antigo da variável. 
 Vnovo = Valor novo da variável. 
 Δ = Taxa de variação percentual 
 
novo ant
ant
V V
V

 
 ou 
 
 
Exercícios: 
O preço de um produto aumentou de R$ 500,00 para R$ 525,00. Qual foi a taxa 
de variação percentual do preço? 
Resposta: 5% 
 
Um capital de R$ 25.000,00 foi aplicado durante 3 meses, produzindo um 
montante de R$ 27.350,00. Qual a taxa trimestral dessa aplicação? 
Resposta: 9,4% 
 
(2014 - VUNESP - Escrevente - TJ-SP) A Câmara dos Deputados aprovou 
ontem a Medida Provisória no 647, que permite ao governo elevar para até 
27,5% o limite de etanol anidro misturado à gasolina vendida nos postos de 
combustível. Hoje, esse teto é de 25%. 
(O Estado de S.Paulo, 07.08.2014) 
Suponha que dois tanques, A e B, contenham quantidades iguais, em litros, de 
um combustível formado pela mistura de gasolina e de álcool anidro, sendo 25% 
o teor de álcool na mistura do tanque A e 27,5%, o teor de álcool na mistura do 
tanque B. 
Nessas condições, é correto afirmar que a quantidade de álcool no tanque B 
supera a quantidade de álcool no tanque A em 
1novo
ant
V
V
  
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34 
(A) 7,5% 
(B) 8% 
(C) 10% 
(D) 5% 
(E) 2,5% 
Resposta: C 
 
 
Aula 41 – Cálculo de porcentagem. Fator ou coeficiente 
de acumulação. 
Fator(ou Coeficiente) de Acumulação 
 Vimos no item anterior que a variação percentual é dada por: 
 1 1 1novo novo novo ant
ant ant
V V
V V
V V
       
 
 
e 
1
novo
ant
V
V 
 
 
 O fator ou coeficiente de acumulação denotado por 1 + Δ, é o valor que 
multiplicado pelo valor antigo produz o valor novo. 
 Notamos que para varias taxas de variação percentual consecutiva Δ1 , 
Δ2 , ... Δn aplicadas sucessivamente obtemos a fórmula: 
Vnovo = Vant (1+ Δ1)(1+ Δ2) ... (1+ Δn) 
que será chamado de fator de acumulação total dos n períodos consecutivos. 
Temos portanto que: 
Δ = (1+ Δ1)(1+ Δ2) ... (1+ Δn) – 1 
será chamada de taxa de variação total dos n períodos consecutivos. 
 
Observação: Se Δ1 = Δ2 = ... = Δn = Δ1 a fórmula será Vnovo = Vant [1+ Δ]n 
 
Exemplo 
Um produto teve um aumento de 25% e passou a custar R$ 360,00. Podemos 
concluir que o preço inicial do produto antes do aumento era: 
a) R$ 280,00. 
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35 
b) R$ 288,00. 
c) R$ 300,00. 
d) R$ 320,00. 
e) R$ 350,00. 
Resposta:B 
 
Aula 42 – Exercícios de cálculo de porcentagem. 
Exemplo: 
(CESPE) O preço da gasolina aumentou duas vezes em determinado mês: o 
primeiro aumento foi de 15% e o segundo, de 20%. Nessa situação, é correto 
afirmar que, nesse mesmo mês, o preço da gasolina subiu 
A) 35%. 
B) 36%. 
C) 37%. 
D) 38%. 
Resposta: D 
 
 
Aula 43 – Exercícios de cálculo de porcentagem. 
Exemplo: 
(2014 – Vunesp – Agente de Seg. Penitenciária de Classe I – SAP-SP) 
Uma pessoa comprou um produto exposto na vitrine por um valor 
promocional de 20% de desconto sobre o preço P do produto. Como ela 
pagou em dinheiro, teve mais 10% de desconto sobre o valor promocional. 
Então, essa pessoa pagou, sobre o preço P do produto, um valor igual a 
(A) 0,28P. 
(B) 0,03P. 
(C) 0,7P. 
(D) 0,3P. 
(E) 0,72P. 
Resposta: E 
 
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36 
Exemplo: 
O preço de uma bolsa é R$ 260,00. O dono da loja aumenta esse preço em 
40% e, querendo atrair os compradores, anuncia um desconto de 25% sobre 
o preço aumentado. Então, em relação ao preço inicial, o preço final da bolsa 
ficou 
(A) 10% mais barato. 
(B) 5% mais barato. 
(C) 5% mais caro. 
(D) 10% mais caro. 
(E) 13% mais caro. 
Resposta: C 
 
Aula 44 – Exercícios de cálculo de porcentagem. 
Exemplo: 
(2014 – FCC – Técnico Administrativo - Câmara Municipal de SP) O preço 
de uma mercadoria, na loja J, é de R$ 50,00. O dono da loja J resolve 
reajustar o preço dessa mercadoria em 20%. A mesma mercadoria, na loja 
K, é vendida por R$ 40,00. O dono da loja K resolve reajustar o preço dessa 
mercadoria de maneira a igualar o preço praticado na loja J após o reajuste 
de 20%. Dessa maneira o dono da loja K deve reajustar o preço em 
(A) 20%. 
(B) 50%. 
(C) 10%. 
(D) 15%. 
(E) 60%. 
Resposta: B 
 
Exemplo: 
(TRT 15ª REGIÃO – FCC 2010) Uma pesquisa revelou que, nos anos de 
2006, 2007 e 2008, os totais de processos que deram entrada em uma 
Unidade do TRT aumentaram, respectivamente, 10%, 5% e 10%, cada qual 
em relação ao ano anterior. Isso equivale a dizer que, nessa Unidade, o 
aumento cumulativo das quantidades de processos nos três anos foi de 
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(A) 25% 
(B) 25,25% 
(C) 26,15% 
(D) 26,45% 
(E) 27,05% 
Resposta: E 
 
Aula 45 – Cálculo de porcentagem. Exercícios de 
provas anteriores do INSS. 
(PROVA INSS 2012 - Técnico do Seguro Social – FCC) Em dezembro, 
uma loja de carros aumentou o preço do veículo A em 10% e o do veículo B 
em 15%, o que fez com que ambos fossem colocados a venda pelo mesmo 
preço nesse mês. Em janeiro houve redução de 20% sobre o preço de A e 
de 10% sobre o preço de B, ambos de dezembro, o que fez com que o preço 
de B, em janeiro, superasse o de A em 
(A) 11,5%. 
(B) 12%. 
(C) 12,5%. 
(D) 13%. 
(E) 13,5%. 
Resposta: C 
 
 
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