Topologia para físicos notas de aula Tião 2004 CBPF

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1 Revisão
Neste curso, estudaremos propriedades globais (que dizem respeito ao todo)
de diversos tipos de espaços. Estas propriedades estão, muitas vezes, asso-
ciadas a características locais (que dizem respeito a partes especí…cas dos
espaços). Diversos teoremas (por exemplo, os diversos teoremas do índice,
que estudaremos no …nal do curso) e técnicas (como a dos grupos de co-
homologia) expressam frequentemente esta relação entre o global e o local.
A generalidade destas técnicas encontra diversas aplicações em Física, em
suas diversas sub-áreas. Iniciaremos com uma revisão de alguns conceitos
matemáticos simples que serão essenciais no estudo que faremos a seguir.
1.1 Homomor…smos, Isomor…smos e Espaços Quocientes
Começamos imaginando um conjuntoX no qual esteja de…nida uma operação
(que chamaremos de lei de composição) que associa, a cada dois elementos
de X, digamos a e b, um terceiro elemento que chamaremos de a � b. Como
exemplo, podemos tomar o conjunto de todas as matrizes n� n reais, com a
seguinte lei de composição:
a � b = ab� ba = [a; b] ,
onde ab refere-se ao produto de matrizes usual. Observe que a lei de com-
posição acima não é necessariamente comutativa (a�b = b�a) nem associativa
((a � b) � c = a � (b � c)).
Considere dois conjuntos, X e Y , onde sejam de…nidas leis de composição.
Vamos denotar a operação em X pelo símbolo � e a operação em Y por �.
Assim, estamos supondo que, se a e b pertencem a X, a�b também pertence,
e se u e v pertencem a Y , u � v 2 Y . Um mapa f : X ! Y é chamado de
homomor…smo se
f (a � b) = f (a) � f (b) .
Podemos ver que a estrutura algébrica do espaço X é preservada em Y , ou
seja, o que acontece em X entre a e b acontece em Y entre f (a) e f (b). Se,
além disso, o mapa f for bijetivo (sobrejetivo e injetivo), o homomor…smo
em questão é chamado de isomor…smo, os espaços X e Y são ditos isomorfos
e este fato é denotado por X �= Y .
Um tipo particular de conjunto dotado de lei de composição será muito
importante para os nossos propósitos. Um grupo G é um conjunto dotado
1
de uma lei de composição (que indicaremos por “�”) que associa a cada dois
elementos um terceiro (pode ser um dos dois) pertencente ao mesmo conjunto
(dizemos que o conjunto é fechado pela lei de composição em questão), de
modo que os requisitos abaixo sejam satisfeitos:
1. Existe um elemento, que chamaremos de e, tal que, se g 2 G, g � e =
e � g = g;
2. Para todo g 2 G, existe um elemento g�1, tal que g � g�1 = g�1 � g = e;
3. A associação de três elementos satisfaz (g1 � g2) � g3 = g1 � (g2 � g3).
No que segue, adotaremos uma notação simpli…cada para a lei de com-
posição de um grupo: denotaremos g1�g2 simplesmente por g1g2, quando
não houver possibilidade de confusão com outros tipos de leis de com-
posição.
Um subgrupo de um grupo G é um subconjunto de elementos de G,
fechado pela mesma lei de composição do grupo, contendo a identidade e e
satisfazendo às demais propriedades mencionadas acima. Há dois subgrupos
especiais que aparecem imediatamente, quando consideramos um homomor-
…smo f : G1 ! G2 (G1 e G2 sendo grupos): o núcleo e a imagem. O núcleo
(que denotaremos por ker f) é o conjunto de elementos de G1 tais que, se
g 2 ker f � G1, f (g) = �e, onde �e é a identidade em G2. A imagem (que indi-
caremos por Im f) é o conjunto composto por todos os elementos de G2 tais
que, se �g 2 Im f , �g = f (g), para ao menos um g 2 G1. Vamos mostrar que
o núcleo e a imagem são subgrupos (de G1 e G2, respectivamente): tomemos
dois elementos de ker f , g1 e g2; aplicando f ao seu produto,
f (g1g2) = f (g1) f (g2) = �e�e = �e.
Isso mostra que g1g2 2 ker f . Tomemos, agora, g 2 ker f e e a identidade em
G1. Podemos escrever
�e = f (g) = f (eg) = f (e) f (g)
= f (e) �e = f (e) ,
o que mostra que e 2 ker f . Analogamente, se g 2 ker f , �e = f (gg�1) =
f (g) f (g�1) = f (g�1), o que mostra que g�1 2 ker f . A associatividade
em ker f decorre da associatividade em G1. Assim, vemos que ker f é um
subgrupo de G1.
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Mostraremos agora que Im f é um subgrupo de G2: sejam �g1 e �g2 2 Im f .
Então, �g1 = f (g1) e �g2 = f (g2), para pelo menos dois g1 e g2 2 G1. O
produto de �g1 e �g2 pode, então, ser escrito como
�g1�g2 = f (g1) f (g2) = f (g1g2) = f (g) ,
com g = g1g2. Assim, se �g1 e �g2 2 Im f , �g1�g2 2 Im f . A identidade pertence
a Im f , pois
f (e) = f (ee) = f (e) f (e) .
Multiplicando por (f (e))�1 dos dois lados (lembre-se que G2 é um grupo!),
f (e) = �e,
o que diz que �e 2 Im f (e, além disso, que é, pelo menos, a imagem da
identidade de G1). Se �g pertence a Im f , e �g = f (g),
f
�
gg�1
�
= �e = f (g) f
�
g�1
�
= �gf
�
g�1
�
= f
�
g�1
�
�g.
Isso diz que f (g�1) = �g�1 (a inversa é única, para cada elemento do grupo,
tente mostrar!). A associatividade é novamente decorrênte da propriedade
similar em G2, o que estabelece que Im f é um subgrupo de G2.
Além disso, ker f é um subgrupo normal de G1 (um subgrupo H de um
grupo G é dito normal se, para cada h 2 H, ghg�1 2 H, para todo g 2 G).
Para ver isso, tomemos um h 2 ker f e um g arbitrário em G1. Vemos que,
f
�
ghg�1
�
= f (g) f (h) f
�
g�1
�
= f (g) �ef
�
g�1
�
= f (g) f
�
g�1
�
= f
�
gg�1
�
= f (e) = �e.
Portanto, ghg�1 2 ker f para todo g 2 G.
Precisaremos, para explorar a relação entre os homomor…smos e os es-
paços conectados por eles, do conceito de relação de equivalência: chamamos
de relação R num conjunto X, um subconjunto de X � X � X2. Se um
ponto (a; b) de X2 está em R, dizemos que a se relaciona com b pela relação
R, ou ainda aRb. Um exemplo de relação é o subconjunto de R2
R = f(a; b) ja e b 2 R e a < bg .
A relação entre a e b é denotada, nesse caso, como a < b. Uma relação é dita
de equivalência se satisfaz às seguintes propriedades
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1. (a; a) sempre pertence a R, para todo a 2 X;
2. Se (a; b) 2 R, (b; a) 2 R;
3. Se (a; b) 2 R e (b; c) 2 R, então (a; c) 2 R.
Uma relação de equivalência (observe que o exemplo citado não satisfaz
os requisitos acima) é usualmente denotada pelo símbolo “�”. Assim, se
(a; b) pertence à relação, escrevemos a � b e lemos “a é equivalente a b”.
Como exemplo, tomemos o conjunto X = fa; b; cg. É simples ver que R =
f(a; a) ; (b; b) ; (c; c) ; (a; b) ; (b; a)g é uma relação de equivalência sobre X.
A existência de uma relação de equivalência num conjunto X faz com que
ele se particione naturalmente em subconjuntos onde, em cada um, todos os
elementos são equivalentes uns aos outros. Estes subconjuntos são chamados
de classes de equivalência. A classe de equivalência de um elemento a é
denotada por [a]. O elemento a usado para denotar a classe de equivalência [a]
(poderia ser qualquer elemento equivalente a a) é chamado de representativo
da classe. No exemplo dado acima temos duas classes de equivalência, [a] e
[c]. Mostramos muito facilmente que:
1. As classes de equivalência são disjuntas ou coincidem (se duas classes
têm interseção não nula, não pode haver elemento de uma que não
pertença também à outra): de fato, suponha que a 2 [a1] e a 2 [a2] e
que b 2 [a1] e b =2 [a2]. Então a � a1, o que implica em a1 � a. Como
a � a2, pela terceira propriedade, a1 � a2 e, então, [a1] = [a2]. Logo,
b 2 [a2], o que contraria a hipótese;
2. Todo elemento de X está em uma e apenas uma classe de equivalência:
como, para todo a 2 X, a � a, vemos que a 2 [a]. Se ele pertencer
a outra classe, ela coincidirá com [a], pelo que foi mostrado no ítem
anterior.
O conjunto formado por todas as classes de equivalência é chamado con-
junto quociente de X pela relação R (ou espaço quociente, ou grupo quo-
ciente, dependendo da estrutura que ele acomodar) e é denotado como X= �.
Teremos bastante interesse num tipo especí…co de relação de equivalência,
imposto sobre conjuntos que possuam a estrutura de grupo. Dado um sub-
grupo H � G, podemos estabelecera seguinte relação de equivalência em G:
diremos que g1 � g2 se g1 = g2h, onde h 2 H (mostre você mesmo que esta
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é uma relação de equivalência!). A classe de equivalência de g é usualmente
denotada por [g] � gH, e é chamada de classe lateral à esquerda (em inglês,
left coset). O conjunto quociente do grupo G por esta relação de equivalên-
cia é chamado G= �� G=H. Um método sistemático para montar as classes
de equivalência de G=H consiste em …xar um elemento g e multiplicá-lo por
todos os elementos de H. É preciso, contudo, checar se as outras classes de
equivalência encontradas assim não são redundantes.
Em geral G=H não possui estrutura de grupo, exceto na circunstância
em que H é um subgrupo normal. Pode-se mostrar isto, a partir de uma
proposta de lei de composição no conjunto quociente da seguinte forma
(g1H) (g2H) := (g1g2)H.
Com a lei de composição acima, é fácil mostrar que G=H é um grupo. Con-
tudo, quando tratamos com classes de equivalência, devemos mostrar que a
lei de composição é válida independente do representativo, para obter con-
sistência em nossas a…rmações. Tomemos �g1 como representativo de g1H e �g2
representando g2H. Será que (�g1H) (�g2H) = (g1g2)H? Para isto, devemos
mostrar que (g1g2)H = (�g1�g2)H, ou seja, devemos encontrar um h 2 H tal
que
�g1�g2 = g1g2h.
Mas, �g1 = g1h1 e �g2 = g2h2, com h1 e h2 2 H. Assim,
�g1�g2 = g1h1g2h2
= g1h1g2h2g
�1
2 g2.
Como o subgrupo H é normal, g2h2g�12 = h3 2 H. Prosseguindo na mesma
linha,
g1h1h3g2 = g1h4g2
= g1g2g
�1
2 h4g2
= g1g2h5,
onde usamos que H é um subgrupo para que h4 = h1h3 2 H e o fato de H
ser normal para de…nir h5 = g�12 h4g2 2 H. Mostramos, assim, que
�g1�g2 = g1g2h5,
com h5 = g�12 h1g2h2, que era o que queríamos provar. Observe a importância
crucial do fato de H ser subgrupo normal, na demonstração acima. Caso H
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não fosse normal, a de…nição de produto de classes de equivalência seria
dependente do representativo e, portanto, não faria sentido.
Observe ainda que sempre há uma classe de equivalência [h], formada
pelos elementos de H. Quando H é normal, esta classe desempenha o papel
de identidade no grupo quociente.
Com isto, estamos prontos para mostrar o teorema fundamental do ho-
momor…smo, que diz o seguinte: considere dois grupos G1 e G2 e um homo-
mor…smo f : G1 ! G2. Então,
G1= ker f �= Im f
Para mostrar o teorema, vamos de…nir um mapeamento � : G1= ker f !
Im f como � ([g]) = f (g). Como todo mapeamento envolvendo classes de
equivalência, primeiro devemos nos certi…car de que ele seja bem de…nido,
ou seja, independente do representativo. De fato, os elementos de uma classe
[g] diferem entre si por produtos com elementos h 2 ker f ,
g0 = gh.
Assim
� ([g0]) = f (g0) = f (gh)
= f (g) f (h) = f (g) �e
= f (g) = � ([g]) .
Vamos mostrar que � é um isomor…smo. Para isto, veri…camos primeiro que
ele é um homomor…smo,
� ([g1] [g2]) = � ([g1g2]) = f (g1) f (g2)
= � ([g1])� ([g2]) ,
onde, lembramos, pudemos usar a lei de composição bem de…nida no espaço
quociente pelo fato de ker f ser um subgrupo normal deG1. Devemos mostrar
que � é injetivo e sobrejetivo agora. Suponha que � [g1] = � [g2]. Então
f (g1) = f (g2) e
(f (g1))
�1 f (g2) = f
�
g�11
�
f (g2)
= f
�
g�11 g2
�
= �e.
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Isso mostra que g�11 g2 = h 2 ker f , o que signi…ca que g2 = g1h, ou seja,
[g1] = [g2]. Logo, � é injetivo. Considere agora qualquer elemento �g de
Im f . Por de…nição, �g = f (g), g 2 G1, e assim, �g = � ([g]). Portanto, � é
sobrejetivo e está provado o teorema.
Vamos dar alguns exemplos, que pretendem ilustrar tanto o conceito de
espaço quociente quanto a aplicação do teorema fundamental do homomor-
…smo.
1. Em todo grupo G encontramos dois subgrupos naturais: aquele com-
posto apenas pelo elemento identidade (feg) e o próprio G. Ambos
são subgrupos normais (mostre!). Consideremos H = feg. As classes
de equivalência neste caso têm apenas um elemento cada: [g] = fgg.
Assim, G=H �= G. Tomando agora H = G, observamos que qualquer
g é equivalente a qualquer g0:
g = g0h,
h = (g0)�1 g 2 H = G.
Assim, se todos os elementos de G são equivalentes, há apenas uma
classe de equivalência [g] = [e]. Assim, G=G �= feg.
2. O conjunto dos inteiros, Z, pode ser considerado um grupo pela oper-
ação de adição usual: a identidade é o número 0, o elemento inverso
de um elemento n é o elemento �n e a associatividade é conseqüen-
cia natural da mesma propriedade para a adição. Como nm = mn
(n+m = m+n), ele é um exemplo do que chamamos de grupo abeliano,
que se de…ne pela comutabilidade de quaisquer dos seus elementos. É
claro que todo subgrupo de um grupo abeliano é imediatamente nor-
mal (pois ghg�1 = gg�1h = h 2 H por hipótese). O conjunto 2Z é
de…nido como o subconjunto de Z consistindo dos múltiplos de 2. Ele
é um subgrupo (normal) de Z. Vamos calcular Z=2Z. A relação de
equivalência proposta é tal que n e n0 são equivalentes se
n = n0 + 2k.
Os elementos de Z podem ser divididos em dois tipos: elementos do
tipo n = 2j e do tipo n = 2j + 1. Cada elemento do primeiro tipo
é equivalente a todos do mesmo tipo pois, se n = 2j e m = 2k, n �
m = 2 (j � k) = 2l. Analogamente, se n = 2j + 1 e m = 2k + 1,
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n � m. Contudo, é imediato ver que n = 2j não é equivalente a
nenhum m = 2k + 1, pela relação de equivalência proposta. Temos,
assim, duas classes de equivalência, que podem ser denotadas pelos
representativos [0] e [1]. Como antes, a lei de composição natural no
espaço quociente será
[a] + [b] = [a+ b] .
Podemos estabelecer explicitamente todas as composições possíveis,
dado o número …nito de elementos do grupo quociente:
[0] + [0] = [0 + 0] = [0] ,
[1] + [0] = [1 + 0] = [1] ,
[1] + [1] = [1 + 1] = [2] = [0] .
Esta lei de composição é característica do chamado grupo cíclico de
ordem 2, ou Z2. A identidade é a classe [0] (que é a própria inversa) e
a inversa da classe [1] também é ela mesma. Assim, concluímos que
Z
2Z
= Z2.
3. Vamos denotar por Z � Z o conjunto dos pares f(i; j) ji; j 2 Zg1. É
claro que Z�Z também é um grupo e que existe um subgrupo normal
constituído pelos pares do tipo f(0; i) ji 2 Zg �= Z. Vamos denotá-lo
por H. Pretendemos calcular o espaço quociente
Z� Z
H
.
Observamos que a relação de equivalência é a seguinte: dois elementos
(a1; b1) e (a2; b2) são equivalentes se
(a1; b1) = (a2; b2) + (0; i) ,
1A notação parece ser um pouco abusiva, pois Z não é um espaço vetorial; o conjunto
em questão é, estritamente, Z2 = Z� Z. Contudo, esta última notação não leva em conta
o fato de que cada componente do par ordenado “herda” a operação de soma do seu Z
correspondente
(i; j) + (k; l) = (i+ k; j + l) ,
com o que os pares ordenados exibem o mesmo comportamento de vetores que pertencem a
uma soma direta de espaços vetoriais. Assim, a notação Z�Z parece ser a mais adequada,
por evidenciar esta propriedade.
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para algum i 2 Z. Os elementos equivalentes são, então, do tipo
(a; b1) � (a; b2) , para todo bi 2 Z.
Claramente, (a; b1) não é equivalente a (a0; b1) ou a (a0; b2), se a 6= a0.
As classes de equivalência podem ser descritas, então, como:
[a] = f(a; b) ja 2 Z é …xo e b 2 Z é qualquerg .
É imediato ver que a seguinte lei de composição pode ser imposta de
forma não ambígua (independente do representativo)
[a] + [a0] = [a+ a0] = [a0] + [a] .
Também é imediato ver que as classes de equivalência estão em cor-
respondência biunívoca com os inteiros. Isto, mais o fato de a lei de
composição imitar a lei de composição de Z, faz com que concluamos
que
Z� Z
H
�= Z.
Observe que, se houvessemos escolhido um outro subgrupo de Z � Z,
igualmente isomorfo a Z, não necessariamente teríamos obtido o mesmo
resultado. Considere o subgrupo H0 = f(0; 2i) ji 2 Zg = 2Z. Ele é
claramente isomorfo a Z. A relação de equivalência
(a1; b1) � (a2; b2) se (a1; b1) =(a2; b2) + (0; 2i) ,
implica na existência de dois tipos de classes de equivalência:
[(a; 0)] = f(a; 2i) ja 2 Z é …xo e i 2 Z é qualquerg ,
[(a; 1)] = f(a; 2i+ 1) ja 2 Z é …xo e i 2 Z é qualquerg .
A lei de composição é
[(a; 0)] + [(b; 0)] = [(a+ b; 0)] ,
[(a; 0)] + [(b; 1)] = [(a; 1)] + [(b; 0)] = [(a+ b; 1)] ,
[(a; 1)] + [(b; 1)] = [(a+ b; 0)] ,
o que nos dá a estrutura abaixo para o espaço quociente
Z� Z
H0
�= Z� Z2.
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4. Os três exemplos acima são conseqüencias triviais do teorema funda-
mental do homomor…smo. No primeiro exemplo, consideramos primeira-
mente o homomor…smo f : G! G, f (g) = g (ker f = feg, Im f = G)
e, então, o outro homomor…smo f : G ! G, f (g) = e (ker f = G,
Im f = feg). Para o segundo, o homomor…smo em questão é f : Z !
Z2 dado por f (n) = 0, se n = 2j e f (n) = 1 se n = 2j + 1, para
algum j 2 Z. O núcleo é ker f = 2Z e a imagem é Z2. No terceiro
caso, primeiramente tomamos o homomor…smo f : Z � Z! Z, dado
por f (i; j) = i. Obviamente, ker f = f(0; j) jj 2 Zg �= H e Im f = Z.
Para obter os resultados correspondentes a H0, o homomor…smo em
questão é f : Z� Z! Z� Z2, dado por
f (i; j) =
�
(i; 0) , se j for par,
(i; 1) , se j for ímpar.
O núcleo de f é H0 e a imagem é Z � Z2, o que mostra o resultado
anterior.
1.2 Espaços Topológicos, Homeomor…smos e Invari-
antes Topológicos
O conceito de espaço topológico visa de…nir a estrutura mais básica na qual
possamos estabelecer o conceito de continuidade e tomar limites. Ele é a
base para todo o estudo posterior de variedades diferenciáveis e …brados, que
encontram numerosas aplicações na Física. Vamos à sua de…nição: consider-
emos um conjunto X e um conjunto T de subconjuntos Ui � X, não sendo
necessário ser um número …nito de subconjuntos. O par (X; T ) é chamado
de espaço topológico se as seguintes propriedades forem satisfeitas:
1. O conjunto vazio ; e o próprio X pertencem a T .
2. Qualquer união de qualquer número (…nito ou in…nito) de subconjuntos
Ui pertence a T .
3. Qualquer interseção, de qualquer número …nito de subconjuntos Ui
pertence a T .
Usualmente chamamos o próprio X de espaço topológico. Os Ui são
chamados conjuntos abertos e T é dita a topologia de X. Existem sempre
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duas topologias óbvias para qualquer conjunto X: a topologia discreta, na
qual T é tomado como sendo o conjunto de todos os subconjuntos de X, e a
topologia trivial, na qual T = f;; Xg. Pode-se mostrar facilmente que estas
duas de…nições de T satisfazem às três propriedades que de…nem um espaço
topológico.
Vamos estabelecer uma série de conceitos relacionados à de…nição de con-
junto aberto. Num espaço topológico X, chamamos V � X de vizinhança de
um ponto x se V contém algum conjunto aberto que, por sua vez, contenha
x. Se, além disso, o próprio V for um conjunto aberto, chama-lo-emos de
vizinhança aberta. Um espaço topológico é dito um espaço de Hausdor¤ se,
para quaisquer dois x e x0 2 X, sempre existirem vizinhanças Vx e Vx0, de x
e x0 respectivamente, tais que Vx \ Vx0 = ;.
Prosseguindo, de…nimos um subconjunto A de um espaço topológico X
como fechado se o seu complemento em X for um conjunto aberto. Observe
que X e ; são tanto abertos como fechados e que podem existir conjuntos
que não são nem abertos nem fechados. Dado um conjunto arbitrário A
(aberto, fechado ou nenhum dos dois) de…nimos o fecho de A como o menor
(no sentido de estar contido em todos e não conter nenhum) conjunto fechado
que contém A e o denotaremos por �A. O interior de A é de…nido como o
maior subconjunto aberto de A e é indicado por A�. A fronteira b (A) é
de…nida como o complemento de A� em �A: b (A) = �A� A�. É fácil ver que
um conjunto aberto é sempre disjunto de sua fronteira e que um conjunto
fechado sempre a contém.
A última série de conceitos que explicitaremos principia com o de cober-
tura: uma família fAi; i 2 Ig (o conjunto I é dito um conjunto de índices;
ele pode ser, por exemplo, o conjunto dos números inteiros) de subconjuntos
de um espaço topológico X é chamada assim se[
i2I
Ai = X.
Se todos os Ai são abertos, a cobertura é chamada de cobertura aberta. Ob-
serve que o número dos Ai pode ser …nito ou in…nito e que podem haver
muitas (até mesmo in…nitas) coberturas para um dado X. Isto nos leva ao
conceito de espaço compacto: um espaço topológico X é dito compacto se,
para toda cobertura aberta fUi; i 2 Ig, existir um subconjunto …nito J � I
tal que fUi; i 2 Jg também é uma cobertura aberta de X.
Tendo considerado os pontos acima, relativos à estrutura de conjun-
tos abertos num espaço topológico, passamos a estudar espaços especí…cos,
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chamados espaços métricos, nos quais existe uma de…nição natural de con-
junto aberto. Um espaço X é chamado de espaço métrico se podemos de…nir
uma função d : X2 ! R, chamada de métrica, satisfazendo às seguintes
condições:
1. d (x; y) = d (y; x);
2. d (x; y) � 0, com a igualdade valendo apenas se x = y;
3. d (x; y) + d (y; z) � d (x; z).
Num espaço métrico, existe uma escolha simples para a topologia: os
conjuntos abertos são de…nidos como
U" (x) = fy 2 Xjd (x; y) < "g
e todas as suas possíveis uniões. Os conjuntos U" (x) são chamados de bolas
abertas de raio " em torno de x (chamado de centro da bola aberta). É
simples veri…car que as bolas abertas (com todos os raios e centros) e todas as
suas possíveis uniões fornecem uma topologia para X, denominada topologia
métrica.
Podemos mostrar facilmente a seguinte propriedade de todos os conjuntos
abertos desta topologia: todo elemento x de um conjunto aberto (que pode
ser algum dos U" ou alguma união arbitrária deles) é centro de uma bola
aberta inteiramente contida nele. De fato, se x 2 Ur (a), então " = r �
d (x; a) > 0. Vamos, então, mostrar que U" (x) � Ur (a). Suponha que y 2
U" (x). Então, d (y; x) < ", e então d (y; a) � d (y; x)+d (x; a) < "+d (x; a) =
r�d (x; a)+d (x; a) = r. Portanto, U" (x) � Ur (a). Reciprocamente, se todo
elemento de um conjunto U � X é centro de uma bola aberta contida em U ,
então U é aberto, pois U pode ser visto como a união de todos estes conjuntos
abertos (o que, pelos axiomas que de…nem a topologia, é um aberto).
Para nossa maior comodidade, vamos de…nir por f (U) o conjunto de
todos os pontos de Y obtidos pela aplicação de f a todos os pontos de U .
Vamos também de…nir o conceito de imagem inversa f�1 (y) de um ponto
y 2 Y : trata-se do conjunto de pontos de X que são levados em y pela
ação de f . Observe que, se f não é sobrejetiva, f�1 (y) pode ser o conjunto
vazio. Indo um pouco mais longe, podemos de…nir f�1 (V ), com V sendo um
subconjunto de Y , como a união das imagens inversas de todos os pontos de
V .
12
Num espaço métrico de…nimos de maneira direta uma função contínua,
usando a métrica: uma função f : X ! Y (X e Y sendo espaços métricos)
é dita contínua no ponto x se, para um " > 0, real e arbitrário, sempre é
possível encontrar um � > 0, real, de modo que, dado um y que satisfaça
d (y; x) < �, então d (f (y) ; f (x)) < ". Dito de outra forma, dada uma bola
aberta V" (f (x)) � Y , sempre é possível encontrar um � tal que f (U� (x)) �
V" (f (x)). Dizemos que f é contínua em X se ela for contínua em todos os
pontos de X.
Podemos, agora, mostrar a seguinte proposição: para que um mapea-
mento de um espaço métricoX em outro Y seja contínuo (no sentido métrico),
é necessário e su…ciente que a imagem inversa de todo subconjunto aberto V
de Y , f�1 (V ), seja um subconjunto aberto de X. Para ver isso, primeira-
mente suponhamos que f seja contínua e tomemos um aberto V � Y . Va-
mos mostrar que U = f�1 (V ) é um aberto em X. Para cada ponto x 2 U ,
f (x) 2 V . Como V é aberto, existe um " > 0 tal que f (x) 2 V" (f (x)), com
a bola aberta V" (f (x)) � V . Sendo f contínua em x, existe � > 0 tal que
f (U� (x)) � V" (f (x)) � V .
Mas, f (U� (x)) � V implica em U� (x) � f�1 (V ) = U . Logo, U é aberto
pois,contendo um ponto x, contém também uma bola U� (x). Para mostrar
a volta, supomos agora que f : X ! Y é tal que, para todo aberto V � Y ,
U = f�1 (V ) é aberto em X. Considere um ponto genérico x de X. V" (f (x))
é um aberto de Y contendo f (x). Então, f�1 (V" (f (x))) é um aberto em X
contendo x. Conclui-se que existe uma bola aberta U� (x) � f�1 (V" (f (x))),
o que implica em f (U� (x)) � V" (f (x)). Isto conclui a demonstração.
As considerações acima permitem que formulemos a questão da con-
tinuidade de uma função f : X ! Y em termos apenas das topologias
dos espaços em consideração. A função f : X ! Y será dita contínua no
ponto x se, para cada aberto V de Y , com f (x) 2 V , existir um aberto U
de X, com x 2 U e f (U) � V . Chamamos um mapeamento f : X ! Y de
contínuo se, dado um aberto V � Y , f�1 (V ) for um conjunto aberto em X.
Pode-se mostrar que uma função f : X ! Y é contínua se e somente se ela
é contínua em cada ponto x 2 X. Esta de…nição, independente da de…nição
de uma métrica, claramente torna mais ampla a classe de espaços para os
quais podemos discutir questões ligadas á continuidade.
Tendo de…nido os conceitos acima, estamos em posição para considerar o
conceito de homeomor…smo entre espaços topológicos X e Y , não necessaria-
mente métricos: um mapeamento f : X ! Y é chamado de homeomor…smo
13
se ele é contínuo e sua inversa existe e também é contínua. É imediato no-
tar que a relação entre X e Y de…nida como “X é homeomorfo a Y ” (ou
seja, existe um homeomor…smo entre X e Y ) é uma relação de equivalência,
que divide todos os espaços topológicos em classes de equivalência que levam
em conta essencialmente se é possível ou não “deformar”continuamente um
espaço no outro.
A próxima pergunta que aparece é: como caracterizar as classes de equi-
valência de espaços homeomorfos uns aos outros? Não se sabe fazer isso em
geral. Podemos, contudo, falar em invariantes topológicos, que são quanti-
dades ou propriedades que não variam quando aplicamos homeomor…smos
sobre o espaço. Alguns exemplos seriam a conectividade (simples ou múlti-
pla), compacidade (propriedade do espaço ser compacto ou não), grupos de
homologia, grupos de homotopia, característica de Euler, etc. Estudaremos
diversos invariantes topológicos ao longo deste curso e poderemos veri…car a
utilidade deles na classi…cação dos espaços topológicos. Na prática, se algum
invariante topológico difere quando calculado para dois espaços, eles não po-
dem ser conectados por homeomor…smos, não estando, portanto, na mesma
classe de equivalência.
1.3 Exercícios
1. Calcule (Z� Z) = (Z� 2Z).
2. Calcule Z=nZ.
3. Justi…que seus resultados através do teorema fundamental do homo-
mor…smo.
4. Mostre que qualquer espaço métrico é um espaço de Hausdor¤.
5. Mostre que a função f : R! R, dada por
f (x) =
� �x+ 1 x � 0
�x+ 1
2
x > 0
,
é descontínua no ponto x = 0, levando em consideração a topologia
usual em R, qual seja, a de que qualquer intervalo aberto (a; b) é um
conjunto aberto (os abertos seriam os intervalos e todas as suas uniões).
Investigue a mesma questão dotando R primeiramente da topologia
trivial e depois da discreta.
14
1.4 Referências
1. M. Nakahara, Geometry, Topology and Physics, IOP, 1990, Bristol (ca-
pítulo 2 e início do capítulo 3).
2. E. Lages Lima, Elementos de Topologia Geral, Ao Livro Técnico, 1970,
Rio de Janeiro (capítulos 1 a 3).
3. C. Nash e S. Sen, Topology and Geometry for Physicists, Academic
Press, 1983, Londres (capítulo 1)
15
1 Variedades Diferenciáveis (1/5)
Se os espaços topológicos nos permitiam a consideração de mapeamentos
contínuos, as variedades diferenciáveis vão tornar possível a consideração
de mapeamentos suaves. Dizemos que um mapeamento f : Rn ! Rm é
suave (ou de classe C1) se suas derivadas de ordem arbitrária existem e são
contínuas. O estudo das variedades diferenciáveis irá nos dar instrumentos
para de…nir e utilizar mapeamentos suaves no contexto mais geral possível,
qual seja, o de substituir Rn e Rm por variedades diferenciáveis arbitrárias
M e N .
1.1 De…nição e Exemplos
Uma variedade diferenciável é um espaço topológicoM que satisfaz às seguintes
propriedades:
1. M é localmente homeomorfo a Rm, para algum m < 1. Isso quer
dizer que, ao redor de qualquer elemento p de M existe um aberto U
e um homeomor…smo � de U num aberto1 de Rm. O valor de m é o
mesmo para todos os elementos deM . O par (U; �) é chamado de carta
coordenada. A união de todas as cartas é chamada de atlas de M .
2. Se (U1; �1) e (U2; �2) são duas cartas tais que U1\U2 6= ;, notamos, da
propriedade acima, que um ponto p 2 U1 \ U2 pode ser mapeado em
Rm usando �1 ou �2. Vamos, então, requerer que as aplicações �1 ���12
e �2 � ��11 , de Rm em Rm, sejam suaves2. Estas aplicações (chamadas
de funções de transição) têm a função de prover uma mudança de de-
scrição (ou de coordenadas) do ponto p (veja a …gura 1). Com este
requerimento, esperamos que tal mudança se dê de modo suave.
1Uma pergunta interessante é: será que toda variedade diferenciável é automaticamente
um espaço de Hausdor¤ (espaços onde, dados quaisquer dois pontos p e q, sempre existem
abertos Up e Uq que os contém e são disjuntos)? A dúvida surgiu devido a Rm ser do
tipo Hausdor¤ e cada aberto da cobertura ser homeomorfo a ele. Um contra-exemplo é
mostrado em Hawking e Ellis (citado ao …nal).
2É preciso requerer também que a inversa seja suave, em geral. Um exemplo unidimen-
sional ajuda a esclarecer a questão: suponhamos que f : R ! R é tal que sua derivada
existe e g (x) é a sua inversa. Então, de
g (f (x)) = x,
1
Figura 1: Função de transição entre um aberto U 0j e outro U
0
i , ambos contidos em R
m.
chegamos a
dg (f (x))
dx
= 1
=
dg
df
f 0 (x)
) dg
df (x)
=
1
f 0 (x)
.
Daí, chamando y = f (x),
dg
dy
=
1
f 0 (g (y))
.
Trocando o índice y por x, obtemos
dg
dx
=
1
f 0 (g (x))
.
2
Figura 2: Projeção estereográ…ca para S1.
Empregaremos a seguinte notação: a aplicação de � em p tem como resul-
tado o ponto (x1; :::; xm) 2 Rm. Frequentemente iremos nos referir a uma das
coordenadas do ponto de Rm, digamos x�. Indicaremos este fato escrevendo
�� (p) ou x� (p). Passamos, a seguir, a considerar alguns exemplos:
� O círculo S1: podemos dotar S1 de uma estrutura de variedade difer-
enciável de várias maneiras, mas uma bem comum é a projeção estere-
ográ…ca. S1 pode ser considerado como UN [ US, onde
UN =
�
S1 � polo Norte	 ,
US =
�
S1 � polo Sul	 .
Para todo ponto p 2 UN , consideramos o mapeamento �N : UN ! R
descrito na …gura 2 (abaixo), que associa xN a p. Da mesma forma,
se p 2 US, �S : US ! R, lhe dará uma coordenada xS. Com exceção
dos pólos Norte e Sul, todos os pontos têm duas coordenadas xN e xS.
A função �S � ��1N nos dá a relação entre essas coordenadas, xS (xN).
Usando semelhança de triângulos (…gura 3), obtemos que
tan� =
2
xN
=
xS
2
,
Isso implica na existência da derivada da inversa g (x) apenas se f 0 (g (x)) 6= 0, o que não
pode ser garantido em geral.
3
Figura 3: Relação entre xN e xS .
o que implica em xS = 4=xN , para um círculo de raio 1. Vemos que
a função de transição é bem de…nida em todos os pontos de UN \ US,
do qual não fazem parte nem o pólo Norte nem o Sul (o pólo Norte
tem coordenada xS = 0, mas não tem um valor correspondente em UN ,
nem precisa ter, pois não faz parte deste aberto; isto torna a regra de
transição bem de…nida para todos os pontos que têm duas coordenadas,
o que não é o caso do pólo Norte nem do Sul).
Outra coisa que podemos reparar é que todos os pontos têm apenas
uma coordenada, dentro de uma mesma carta. Isto não ocorreria se
tentássemos coordenatizar S1 com apenas uma carta (o próprio S1,
no caso). Usando o ângulo ' de…nido na …gura 4, veríamos que os
pontos imediatamente acima do equador teriamcoordenadas próximas
de 0, enquanto os pontos imediatamente abaixo teriam coordenadas
próximas a 2�. Assim, haveria uma descontinuidade em funções de ',
todas as vezes que ele passasse por 0. Este problema está ausente na
coordenatização usando duas cartas.
� O espaço RP n: de…nimos o espaço projetivo real RP n através de uma
relação de equivalência entre pontos deRn+1�f0g. Dizemos que x � y
se existe a 2 R�f0g tal que y = ax. Assim, RP n = (Rn+1 � f0g) = �.
Denotamos o representativo da classe de equivalência por [(x0; :::; xn)]
4
Figura 4: Coordenatização única de S1.
onde xk é a k-ésima coordenada do ponto x 2 Rn+1. Os n+1 números
x0, x1,..., xn são chamados de coordenadas homogêneas e não podem nos
dar boas coordenadas paraRP n, desde que representam ambigüamente
a classe de equivalência. Além disso, seriam n + 1 coordenadas para
um espaço n-dimensional. Para obter boas coordenadas, notamos que
(tomando xi 6= 0)
xj
xi
=
yj
yi
,
se y = ax. A seguir, de…nimos as coordenadas inomogêneas
�j(i) =
xj
xi
.
De…nimos uma coordenada redundante �i(i) = 1, para facilitar cálculos
posteriores. As coordenadas independentes são, contudo, apenas as n
que restam, com i 6= j. É claro, então, que cada classe [(x0; :::; xn)] (com
xi 6= 0) será caracterizada por um conjunto único de valores dos �j(i).
Vamos de…nir abertos Ui exatamente como o conjunto de classes para as
quais xi 6= 0 (esta condição pode ser imposta de maneira independente
do representativo, já que, se xi 6= 0, qualquer yi = axi também o será).
O mapa �i : Ui � RP n ! Rn é, então,
�i :
��
x0; :::; xn
��! �x0
xi
; :::;
xi�1
xi
; 1;
xi+1
xi
; :::;
xn
xi
�
.
5
Se [(x0; :::; xn)] 2 Ui \ Uj, ele também terá a possibilidade de ser coor-
denatizado por
�j :
��
x0; :::; xn
��! �x0
xj
; :::;
xj�1
xj
; 1;
xj+1
xj
; :::;
xn
xj
�
.
A relação entre as duas coordenatizações será
�k(j) =
xi
xj
�k(i),
que representa �j � ��1i . As funções de transição são suaves, e temos
uma estrutura de variedade diferenciável associada a RP n.
1.2 Cálculo sobre Variedades: Vetores
Considere duas variedades, M e N , m- e n-dimensionais respectivamente, e
um mapeamento f : M ! N . Através de f , um ponto p pertencente à carta
(U; �) deM é levado a f (p), que pertence a (V; ) em N . As imagens de p e
f (p) em Rm e Rn também são relacionadas pelo mapeamento F : Rm ! Rn
dado por (veja a …gura 5)
F = � f � ��1.
Chamando as coordenadas de p em M de x� e as coordenadas de f (p) em
N de y�, é claro que y� = F� (x), onde, como usual, estamos designando
por x a n-upla (x1; :::; xm). Muitas vezes, quando a coordenatização estiver
clara, escreveremos y� = f� (x), o que constitui um abuso de linguagem mas
uma simpli…cação na notação. Diremos que o mapeamento f é diferenciável
de classe C1 (ou suave) se F o for. Se, além disso, ele for inversível e sua
inversa também for suave, f será chamado de difeomor…smo e M será dito
difeomorfo a N e vice-versa. É claro que as dimensões deM e N deverão ser
as mesmas, neste caso.
Há outros tipos de mapeamentos importantes, em se tratando de var-
iedades. Uma curva aberta numa variedade M é um mapeamento suave
� : (a; b) ! M , onde supomos que a < 0 < b, por conveniência. Uma curva
fechada é um mapeamento suave de S1 em M . Uma função f sobre M é
um mapeamento suave de M em R. Vamos denotar o espaço de todas as
funções sobre M por M. Um conjunto muito importante de funções é o
das funções coordenadas, de…nidas como �� : M ! R da seguinte maneira:
6
Figura 5: Mapa associado a f , conectando Rm e Rn.
7
�� (p) = P � � � (p) = x�, onde P � é a aplicação de Rm ! R que associa
ao ponto (x1; :::; xm) a �-ésima coordenada do ponto p, x�. Quando não for
necessário especi…car a coordenatização, iremos denotá-las por x� (p) direta-
mente.
Podemos, agora, de…nir um vetor tangente X a uma curva � num ponto
p de M : supondo que � (0) = p, vamos de…nir o vetor tangente como uma
aplicação deM em R, dada por
X [f ] =
df (� (t))
dt
����
t=0
.
A interpretação geométrica …ca clara quando usamos uma coordenatização
(observe que a de…nição acima não faz uso de nenhuma!). Considere o trecho
da curva � (t) sob consideração (aquele na vizinhança de p) como estando
dentro de uma carta (U; �). Podemos ver que
f (� (t)) = f
�
��1 � � � � (t)�
= F (� (� (t)))
= F
�
x1� (t) ; :::; x
m
� (t)
�
.
Dessa forma, vemos que a função f tem uma análoga F que “imita”, na im-
agem da curva � emRm, (x1� (t) ; :::; x
m
� (t)), tudo o que ela faz. Prosseguindo
no cálculo,
X [f ] =
dF (x1� (t) ; :::; x
m
� (t))
dt
����
t=0
=
dx��
dt
@F (x�)
@x��
����
t=0
,
onde estamos empregando a notação de Einstein, segundo a qual, índices
repetidos implicam em somas. Vamos identi…car cada pedaço da expressão
acima: @F (x�) =@x�� representa o gradiente da função escalar F : R
m ! R,
induzida por f . Este termo é independente da curva � (t), podendo ser
substituído por @F (x�) =@x
�
�, contanto que � (0) = � (0). Mantida esta
restrição, podemos então escrever @F (x) =@x�. O conjunto de quantidades
dx��=dt representa as componentes do vetor tangente à curva induzida em
Rm pela curva � (t) (vamos chamar esta curva de c (t) = ��� (t)). Com isso,
vemos que a expressão
dx��
dt
@F
@x�
8
representa o produto escalar, em Rm, entre o vetor tangente a c (t) e o
gradiente da função escalar F . Assim, X [f ] tem a interpretação (em Rm)
de derivada direcional de F ao longo da tangente a c em � (p). É claro que
a derivada direcional é completamente caracterizada pelas m quantidades
dx��
dt
.
Conseguimos, assim, trabalhando com quantidades induzidas em Rm, asso-
ciar um vetor a uma curva � (t) na variedade. É claro que existem in…nitas
curvas passando por p que estarão associadas ao mesmo X. O vetor tangente
é, então, mais apropriadamente associado à classe de equivalência de curvas
que passam por p e têm a mesma derivada direcional (no sentido mencionado
acima). O conjunto de todos os vetores tangentes é, claramente, um espaço
vetorial, chamado de espaço tangente a M em p, e simbolizado por TpM .
Na de…nição do vetor tangente, vemos que a função f não desempenha
nenhum papel na sua caracterização, da mesma forma que um ponto x em R
não importa para caracterizar uma função f (x). Para caracterizar comple-
tamente um vetor tangente, precisamos apenas fornecer m números X�, que
chamamos de componentes do vetor, sendo o restante das operações a serem
realizadas, comum a qualquer vetor tangente. Considere agora os � vetores
e� (f) =
@F
@x�
.
Suas componentes são X�e� = �
�
�. É claro que qualquer vetor pode ser escrito
de modo único como combinação linear dos e�3
X (f) = X�e� (f) ,
o que permite que consideremos os e� como uma base do espaço tangente.
Abstraindo a função f sobre a qual o vetor está operando, escrevemos
X = X�e�,
e� =
@
@x�
.
Nesta notação está implícita uma coordenatização �, que conduz às coorde-
nadas x�. E se mudarmos de coordenatização? Suponha que o ponto p em
3Para uma outra demonstração deste fato, veja o capítulo 1 de Isham.
9
questão está em uma região de interseção de duas cartas, uma com coordena-
tização � e outra com (que conduz a coordenadas y�). Vemos que o vetor
tangente à curva � em p pode ser escrito da mesma forma como
X (f) = X�e� (f) =
dx��
dt
@F (x�)
@x��
����
t=0
= �X��e� =
dy��
dt
@ �F (y�)
@y��
����
t=0
,
onde y�� (t) = P
� � � � (t) e �F = f � �1. Inserindo ��1 � �,
y�� (t) = P
� � � ��1 � � � � (t)
= �y� (x� (t)) ,
onde de…nimos �y� = P � � � ��1, como a �-ésima componente da função de
transição � ��1. Além disso,
x�� (t) = P
� � � � �1 � � � (t)
= �x� (y� (t)) .
Estas duas relações nos dizem que podemos considerary�� como função de x
�
�
e vice-versa, graças ao fato de que a função de transição é um difeomor…smo.
Obtemos, também, a relação entre �F e F :
�F (y�) = f � �1 � (p)
= f � ��1 � � (p)
= F (x�) .
Assim,
�e� (f) =
@ �F (y�)
@y��
=
@x��
@y��
@F (x�)
@x��
=
@x��
@y��
e� (f)
e
�X� =
dy��
dt
=
@y��
@x��
dx��
dt
=
@y��
@x��
X� .
10
Vemos que as componentes e os vetores da base transformam-se inversamente
uns aos outros, de modo que a expressão do vetor …que independente da
coordenatização. A matriz Jacobiana da transformação é de…nida como
J�� =
@x��
@y��
.
Devido ao fato de as componentes de um vetor tangente transformarem-se
através da inversa da matriz Jacobiana, chamamos estas componentes de
contravariantes.
No que se segue, quando estiverem claras as coordenadas em jogo, usare-
mos freqüentemente a notação @=@x� � @� e apenas em caso de ambigüidade
voltaremos a mencionar a função f sobre a qual atua o vetor X.
1.3 Exercícios
1. Mostre que, se uma função f : M ! N é diferenciável em dois dados
sistemas de coordenadas em M e N , ela o é em todos os outros.
2. ConsidereM e N como variedades diferenciáveis. Mostre queM �N é
uma variedade diferenciável. Dada uma curva � (t) emM e outra � (t)
em N , com � (0) = p e � (0) = q, monte a curva correspondente em
M�N e calcule o vetor tangente a ela em (p; q), exibindo explicitamente
as suas componentes numa base adequada.
1.4 Referências
1. C. J. Isham, Modern Di¤erential Geometry for Physicists, World Sci-
enti…c, 1989, Cingapura (capítulo 1).
2. M. Nakahara, Geometry, Topology and Physics, IOP, 1990, Bristol (ca-
pítulo 5).
3. C. Nash e S. Sen, Topology and Geometry for Physicists, Academic
Press, 1983, Londres (capítulo 2).
4. S. W. Hawking e G. F. R. Ellis, The Large Scale Structure Of Space-
Time, Cambridge University Press, 1984, Inglaterra (capítulo 2).
11
1 Variedades Diferencia´veis (2/5)
Vetores tangentes na˜o sa˜o os u´nicos objetos associados a m-uplas em Rm
que podem ser definidos intrinsecamente numa variedade diferencia´vel. Nes-
ta aula, com o aux´ılio de te´cnicas usuais empregadas em espac¸os vetoriais,
vamos definir 1-formas e tensores, primeiramente num dado ponto p. Em
seguida, vamos estender as definic¸o˜es para todos os pontos de M , obtendo,
assim, campos tensoriais.
1.1 Ca´lculo sobre Variedades: 1-formas
Dado o espac¸o vetorial TpM , sempre podemos definir funcionais lineares
sobre ele: sa˜o aplicac¸o˜es lineares ω que associam a cada vetor um nu´mero
ω (X) ∈ R. Dizemos que os funcionais tomam valores sobre os reais, mas
podemos generalizar o conceito associando nu´meros complexos, quate´rnions
ou elementos de uma a´lgebra de Lie (a ser definida em aulas posteriores). Por
enquanto, estaremos interessados no caso de valores reais. Podemos definir
uma soma e uma multiplicac¸a˜o por escalares (reais) no espac¸o dos funcionais
lineares, atrave´s da seguinte regra
(λ1ω1 + λ2ω2) (X)
.
= λ1ω1 (X) + λ2ω2 (X) .
Com isto, este espac¸o se torna um espac¸o vetorial, que e´ chamado dual a TpM
e indicado por T ∗pM . Ele tambe´m e´ chamado de espac¸o cotangente aM em p.
Os funcionais lineares sa˜o chamados de vetores duais, vetores cotangentes ou
1-formas. O exemplo mais simples (e fundamental) de 1-forma e´ a diferencial
de uma func¸a˜o: dada uma func¸a˜o f associamos a ela uma 1-forma df atrave´s
de
df (X)
.
= X (f)
= Xµ
∂F
∂xµ
,
onde F = f ◦ φ−1, para um homeomorfismo φ dado como parte de uma
coordenatizac¸a˜o. Observe que o funcional definido acima e´ linear
df (λ1X1 + λ2X2) = (λ1X1 + λ2X2) (f)
= λ1X1 (f) + λ2X2 (f)
= λ1df (X1) + λ2df (X2) ,
1
se, no espac¸o tangente, tivermos definido
(λ1X1 + λ2X2) (f)
.
= λ1X1 (f) + λ2X2 (f) .
Lembrando das func¸o˜es coordenadas, definidas na aula anterior, podemos
obter mais m 1-formas dxµ. Sua ac¸a˜o sobre um vetor arbitra´rio X sera´
dxµ (X) = X (xµ)
= Xν
∂xµ
∂xν
= Xνδµν = X
µ.
O efeito de aplicar as 1-formas dxµ a um vetor X e´ selecionar a sua µ-e´sima
componente. Aplicando sobre os vetores base do espac¸o tangente, eν ,
dxµ (eν) = eν (x
µ)
=
∂xµ
∂xν
= δµν .
Num espac¸o vetorial de dimensa˜o finita, esta relac¸a˜o significa que as m 1-
formas dxµ sa˜o uma base de T ∗pM , chamada de base dual. Vamos recordar
a prova desta afirmac¸a˜o. Consideremos uma 1-forma gene´rica ω. Como ω e´
uma aplicac¸a˜o linear,
ω (X) = Xµω (eµ) .
Portanto, uma 1-forma e´ completamente fixada pela sua ac¸a˜o sobre os ve-
tores base eµ. Considere a 1-forma espec´ıfica ω
′ = ωµdxµ com ωµ = ω (eµ).
Aplicando ω′ a X,
ω′ (X) = Xνω′ (eν)
= Xνωµdx
µ (eν)
= Xµωµ.
A aplicac¸a˜o de ω′ a X da´ o mesmo resultado que a aplicac¸a˜o de ω, para
qualquer X. Logo, ω = ω′ e podemos escrever
ω = ωµdx
µ.
A relac¸a˜o dxµ (eν) = δ
µ
ν implica na independeˆncia linear de dx
µ pois, supondo
que ωµdx
µ = 0,
0 = ωµdx
µ (eν)
= ωµδ
µ
ν = ων .
2
Isto prova que os dxµ sa˜o uma base de T ∗pM .
A base dual dxµ foi definida atrave´s do uso expl´ıcito de uma coordenati-
zac¸a˜o. Contudo, o conceito de 1-forma ω (X) e´ independente do sistema de
coordenadas. E´ u´til observar como variam a base e as componentes de uma
1-forma por mudanc¸as de coordenatizac¸a˜o. As func¸o˜es coordenadas va˜o para
yµ (p) = yµ ◦ φ−1 ◦ φ (p)
= yµ (x) ,
onde as coordenadas yµ referem-se a outro homeomorfismo ψ. As 1-formas
ba´sicas dyµ podem ser expressas em termos da base dxµ como
dyµ = αµνdx
ν .
Para calcular αµν basta aplicar dy
µ sobre os vetores base eν ,
dyµ (eν) = α
µ
σdx
σ (eν)
= αµν .
Por outro lado, usando a definic¸a˜o da diferencial,
dyµ (eν) =
∂yµ
∂xν
,
obtemos
dyµ =
∂yµ
∂xν
dxν .
Para obter a lei de transformac¸a˜o das componentes aplicamos a 1-forma sobre
os vetores base e¯µ da nova coordenatizac¸a˜o,
ω (e¯µ) = ω¯νdy
ν (e¯µ)
= ω¯µ.
Por outro lado,
ω (e¯µ) = ωνdx
ν (e¯µ)
= ων e¯µ (x
ν)
= ων
∂xν
∂yµ
,
3
ou
ω¯µ =
∂xν
∂yµ
ων .
Vemos que as componentes de uma 1-forma mudam com a matriz Jacobiana
da mudanc¸a de coordenadas, diferentemente das componentes de um vetor
tangente, que mudam com a inversa. Devido a isto, elas sa˜o chamadas de
componentes covariantes.
Na demonstrac¸a˜o acima ha´ uma diferenc¸a em relac¸a˜o a quando obtive-
mos as leis de transformac¸a˜o das componentes de um vetor. La´, utilizando
a relac¸a˜o Xµ = dxµα/dt consegu´ıamos obter a lei de transformac¸a˜o dos X
µ
sem usar a invariaˆncia do vetor com relac¸a˜o a` coordenatizac¸a˜o (esta e´ uma
propriedade o´bvia devido a` definic¸a˜o de vetor tangente, mas o ponto aqui e´
que na˜o precisamos usa´-la). Em contraste, aqui e´ necessa´rio utilizar explici-
tamente a invariaˆncia da 1-forma, pois na˜o ha´ uma definic¸a˜o mais primitiva
das componentes ωµ.
1.2 Tensores e Campos Tensoriais
1.2.1 Preliminares
• Vamos considerar os vetores sobre outro ponto de vista: como funcio-
nais lineares sobre o espac¸o cotangente. Para isto, definimos a ac¸a˜o de
um vetor sobre uma 1-forma como
X (ω) := ω (X) = Xµωµ.
Dito de outra forma, se temos dois vetores X e X¯, eles podera˜o ser
considerados iguais se a sua ac¸a˜o sobre qualquer 1-forma arbitra´ria
coincidir:
Xµωµ = X¯
µωµ, para qualquer ωµ ⇒ Xµ = X¯µ.
Assim, a ac¸a˜o de um vetor sobre 1-formas definida acima caracteriza
completamente o vetor. Isto nos da´ uma descric¸a˜o completamente dual
dos espac¸os tangente e cotangente.
• Vamos recordar o conceito de espac¸o produto tensorial. Dados dois
espac¸os vetoriais, X e Y , podemos formar um terceiro espac¸o, chamado
de produto tensorial de X e Y e denotado por X ⊗ Y , associando a
cada par de vetores x ∈ X e y ∈ Y um vetor x⊗ y de modo que:
4
1. a associac¸a˜o seja bilinear em x e y, ou seja, dados λ1, λ2, α1 e α2
escalares arbitra´rios,
(λ1x1+ λ2x2)⊗ y = λ1x1 ⊗ y + λ2x2 ⊗ y,
x⊗ (α1y1 + α2y2) = α1x⊗ y1 + α2x⊗ y2;
2. se {xi} e´ uma base em X e {yj} e´ uma base em Y , enta˜o {xi ⊗ yj}
e´ uma base em X ⊗ Y .
1.2.2 Tensores como Funcionais Multilineares
Podemos, agora, definir objetos multilineares sobre a variedade, aproveitando
os conceitos trabalhados ate´ enta˜o. Para sermos concretos, vamos conside-
rar um funcional bilinear de um vetor e uma 1-forma, T (ω,X). Usando a
bilinearidade de T e expressando ω e X em termos de bases associadas a um
mesmo sistema de coordenadas em T ∗pM e TpM , vemos que
T (ω,X) = T (ωµdx
µ, Xνeν)
= ωµX
νT (dxµ, eν) .
Observamos que a expressa˜o acima e´ explicitamente independente de co-
ordenatizac¸o˜es, o que define T como um objeto com significado intr´ınseco
(independente do sistema de coordenadas) a` variedade. Dada uma outra
coordenatizac¸a˜o ψ, que fornec¸a coordenadas x¯µ para o ponto p, temos
T (ω,X) = T
(
ω¯µdx¯
µ, X¯ν e¯ν
)
= ω¯µX¯
νT (dx¯µ, e¯ν) .
Os coeficientes T µν := T (dx
µ, eν) possuem uma lei de transformac¸a˜o bem
definida em relac¸a˜o a mudanc¸as de coordenatizac¸a˜o:
T¯ µν := T (dx¯
µ, e¯ν)
= T
(
∂x¯µ
∂xα
dxα,
∂xβ
∂x¯ν
eβ
)
=
∂x¯µ
∂xα
∂xβ
∂x¯ν
T (dxα, eβ)
=
∂x¯µ
∂xα
∂xβ
∂x¯ν
Tαβ.
5
Substituindo as expresso˜es anteriormente encontradas para ω¯µ e X¯
ν em ter-
mos de ωµ e X
ν , vemos que
ω¯µX¯
νT (dx¯µ, e¯ν) = ωµX
νT (dxµ, eν) = T (ω,X) .
. A lei de transformac¸a˜o dos T µν e´ usualmente tomada (em textos de F´ısica)
como a definic¸a˜o deste conjunto de coeficientes como um tensor de tipo (1, 1)
(uma vez contravariante e uma vez covariante).
Vamos mostrar, a seguir, que o funcional bilinear que estamos conside-
rando e´ um elemento do espac¸o produto tensorial dos espac¸os tangente e
cotangente, TpM ⊗ T ∗pM , onde agora consideramos ambos como espac¸os de
funcionais lineares. Um elemento t´ıpico da base deste espac¸o sera´
eµ ⊗ dxν .
O elemento acima pode, por sua vez, ser considerado um funcional bilinear
sobre T ∗pM × TpM , cuja ac¸a˜o seja definida por
eµ ⊗ dxν (ω,X) := eµ (ω) dxν (X) = ωµXν .
Qualquer tensor podera´, agora, ser escrito como combinac¸a˜o linear desta base
T (ω,X) = T µνeµ ⊗ dxν (ω,X) .
Para ver isto, notamos que, num funcional que seja a combinac¸a˜o linear de
funcionais bilineares, os coeficientes devem ser obtidos atrave´s da aplicac¸a˜o
de T aos vetores base de TpM e T
∗
pM ,
T (dxα, eβ) = T
µ
νeµ ⊗ dxν (dxα, eβ)
= T µνeµ (dx
α) dxν (eβ)
= T µνδ
α
µδ
ν
β = T
α
β.
Com isto, vemos que
T µνeµ ⊗ dxν (ω,X) = ωµXνT (dxµ, eν) ,
que coincide com o funcional bilinear definido no in´ıcio1. Vemos, assim, que
o tensor de tipo (1, 1) e´ um elemento de TpM ⊗ T ∗pM .
1Nada nos impediria de tomar a base de TpM diferente da base de T ∗pM , mas ter´ıamos
dificuldades para descrever mudanc¸as de coordenadas. A base escolhida muda, por mu-
6
E´ claro que podemos formar produtos tensoriais de um nu´mero arbitra´rio
de espac¸os vetoriais, aplicando as regras acima sucessivamente. Vamos usar
isto para formar o produto tensorial de q espac¸os tangentes por r espac¸os
cotangentes em p. Um elemento gene´rico deste espac¸o e´ chamado de tensor
de tipo (q, r) e pode ser escrito como
T = T µ1...µqν1...νreµ1 ⊗ ...⊗ eµq ⊗ dxν1 ⊗ ...⊗ dxνr .
A ac¸a˜o de T como funcional multilinear sobre r vetores e q 1-formas e´ definida
naturalmente,
T
(
ω1, ..., ωq;X1, ...Xr
) .
= T µ1...µqν1...νreµ1
(
ω1
)
...eµq (ω
q) dxν1 (X1) ...dx
νr (Xr)
= T µ1...µqν1...νrω
1
µ1
...ωqµqX
ν1
1 ...X
νr
r .
Dentro desta perspectiva, uma 1-forma e´ um tensor de tipo (0, 1), ω (X) =
ωµX
µ ≡ TµXµ, e um vetor tangente e´ um tensor de tipo (1, 0), cuja ac¸a˜o
sobre 1-formas e´ dada por X (ω) = Xµωµ ≡ T µωµ. Um tensor de tipo (0, 0)
e´ simplesmente um nu´mero real.
Podemos dizer, enta˜o, que um tensor e´ completamente caracterizado, nu-
ma dada coordenatizac¸a˜o, pelo conjunto de coeficientes T µ1...µqν1...νr . Como
fazemos, enta˜o, para obter um nu´mero real a partir do conjunto de compo-
nentes do tensor? Precisamos de q conjuntos de componentes de 1-formas
para contrair com os ı´ndices contravariantes e r conjuntos de componentes de
vetores tangentes, para contrair com os ı´ndices covariantes e formar, assim,
o nu´mero desejado.
A relac¸a˜o entre as componentes de um tensor em duas coordenatizac¸o˜es
arbitra´rias e´
T¯ µ1...µqν1...νr =
∂x¯µ1
∂xα1
...
∂x¯µq
∂xαq
∂xβ1
∂x¯ν1
...
∂xβr
∂x¯νr
Tα1...αqβ1...βr .
danc¸as de coordenadas, como
e¯µ ⊗ dx¯ν = ∂x
α
∂yµ
∂yν
∂xβ
eα ⊗ dxβ ,
o que implica (como vimos) em transformac¸o˜es bem definidas para os coeficientes
T¯µν =
∂yµ
∂xα
∂xβ
∂yν
Tαβ .
Com coordenadas arbitra´rias para cada espac¸o, quando trabalha´ssemos com as compo-
nentes do tensor (o que e´ muitas vezes o caso) ter´ıamos que lembrar as coordenadas a`s
quais esta´ associado cada ı´ndice, para escrever corretamente suas transformac¸o˜es.
7
Note que ı´ndices superiores, associados a espac¸os tangentes, transformam-
se como as componentes de um vetor, enquanto ı´ndices inferiores mudam
como componentes de 1-formas. Guardar a posic¸a˜o dos ı´ndices nas contas e´
importante, enta˜o, desde que ela indica a origem geome´trica do objeto.
1.2.3 Campos Tensoriais
Fac¸amos corresponder um vetor tangente a cada ponto de M , o que cha-
maremos de Xp. Agora imagine a aplicac¸a˜o destes vetores a uma func¸a˜o
f ∈M (o conjunto das func¸o˜es suaves de M em R). O conjunto de nu´meros
assim obtidos pode ser visto como uma func¸a˜o que, a cada ponto p da vari-
edade associa o nu´mero real Xp (f), ou seja, um outro elemento de M. Se
esta func¸a˜o for suave, para todas as func¸o˜es f ∈ M, diremos que a corres-
pondeˆncia proposta e´ um campo vetorial sobre M . Analogamente, podemos
definir um campo de 1-formas sobre M , tomando uma 1-forma para cada
ponto de M , ωp, de maneira que a aplicac¸a˜o delas sobre um dado campo
vetorial Xp produza uma func¸a˜o suave de M em R, ωp (Xp). E´ imediato ge-
neralizar a construc¸a˜o para definir campos tensoriais de tipo (q, r), que agem
sobre campos vetoriais e campos de 1-formas,
Tp = Tp
(
ω1p, ..., ω
q
p, X1,p, ..., Xr,p
)
.
1.3 Me´trica e Correspondeˆncia entre TpM e T
∗
pM
Utilizando um tipo espec´ıfico de campo tensorial, e´ poss´ıvel estabelecer uma
correspondeˆncia entre TpM e T
∗
pM , para cada p ∈ M . Ele e´ chamado de
me´trica e e´ um campo tensorial g (X, Y ) do tipo (0, 2) que satisfaz a`s seguin-
tes propriedades:
1. g (X, Y ) = g (Y,X);
2. g (X,X) ≥ 0, sendo igual a zero se, e somente se, X = 0;
Uma propriedade alternativa, que substitui a segunda e e´ u´til em va´rios
casos de interesse e´:
2′. Se g (X, Y ) = 0 para qualquer X ∈ TpM , enta˜o Y = 0.
8
Uma variedade onde vale a propriedade 2 e´ chamada de Riemaniana,
enquanto, se vale 2′, a variedade e´ dita pseudo-Riemaniana.
Podemos ver que, se existe um tensor deste tipo, e´ imediato construir uma
correspondeˆncia entre vetores e 1-formas. Num dado sistema de coordenadas,
o tensor g e´ escrito como
g = gµνdx
µ ⊗ dxν .
Podemos mostrar (exerc´ıcio 1) que as duas propriedades acima implicam na
existeˆncia de (g−1)µν e em gµν = gνµ (isto tambe´m e´ verdade trocando a
propriedade 2 pela propriedade alternativa). Chamaremos a inversa de gµν
de gµν . Ela satisfaz
gµαg
αν = δνµ.
Dado um vetor X, caracterizado numa certa coordenatizac¸a˜o por suas com-
ponentes Xµ, podemos agora associar uma 1-forma a ele, ωX = Xµdx
µ defi-
nindo suas componentes como
Xµ = gµνX
ν .
Analogamente, dada uma 1-forma ω, caracterizada por suas componentes
ωµ, podemos associar um vetor Xω = ω
µeµ, com ω
µ dado por
ωµ = gµνωµ.
Observamos que tanto Xµ quanto ω
µ teˆm as propriedades de transformac¸a˜o
corretas em relac¸a˜o a mudanc¸as de coordenatizac¸a˜o(covariante para Xµ e
contravariante para ωµ), para que possam ser tomados como componentes de
1-formas e vetores, respectivamente. Para que isso ocorresse, foi fundamental
a existeˆncia do tensor g, o que propiciou que suas componentes (e as da matriz
inversa) compensassem as transformac¸o˜es de Xµ (e de ωµ).
E´ fa´cil ver que esta correspondeˆncia e´ um isomorfismo entre o espac¸o
tangente e o cotangente. E´ imediato definir um produto escalar no espac¸o
tangente
(X, Y ) = ωY (X) = ωX (Y ) = gµνX
µY ν = g (X, Y ) ,
e um outro no espac¸o cotangente
(ω, α) = α (Xω) = ω (Xα) = g
µνωµαν = g (Xω, Xα) .
9
Com essas definic¸o˜es, vemos que (exerc´ıcio 2),
(X,Y ) = (ωX , ωY ) ,
(ω, α) = (Xω, Xα) .
Em muitas aplicac¸o˜es, isto permite que usemos “componentes covariantes”
de um vetor, e falemos de “vetores covariantes e contravariantes”, mesmo
que isso parec¸a uma contradic¸a˜o, em face do que expusemos aqui. A per-
missa˜o para isso vem do isomorfismo existente entre o espac¸o tangente e o
cotangente, quando esta´ presente um tensor me´trico.
1.4 Exerc´ıcios
1. Mostre que, dadas as propriedades que caracterizam o tensor me´trico,
det gµν 6= 0 e gµν = gνµ. Mostre que o mesmo e´ verdade, usando a
propriedade alternativa 2′. Contudo, neste caso, na˜o se podera´ garan-
tir que os autovalores da matriz gµν sa˜o positivos definidos, como no
primeiro caso.
2. Mostre que Xµ = gµνX
ν tem as propriedades de transformac¸a˜o das
componentes de uma 1-forma e que ωµ = gµνων se transforma como as
componentes de um vetor tangente.
3. Mostre que
(X, Y ) = (ωX , ωY ) ,
(ω, α) = (Xω, Xα) .
1.5 Refereˆncias
1. C. J. Isham, Modern Differential Geometry for Physicists, World Sci-
entific, 1989, Cingapura (cap´ıtulo 1).
2. M. Nakahara, Geometry, Topology and Physics, IOP, 1990, Bristol (ca-
p´ıtulo 5 e cap´ıtulo 7 (para a parte da me´trica)).
3. C. Nash e S. Sen, Topology and Geometry for Physicists, Academic
Press, 1983, Londres (cap´ıtulo 2).
10
1 Variedades Diferenciáveis (3/5)
Vamos, agora, discutir mapeamentos entre espaços tangentes e cotangentes
de variedades distintas, induzidos pela existência de um mapa suave entre
elas. Isto nos permitirá considerar o conceito de ‡uxo gerado por um campo
vetorial e de derivada de Lie, conceitos muito importantes para a interpre-
tação do papel geométrico desempenhado pelos campos vetoriais.
Há pelo menos dois tipos de mapeamentos que permitem construir cam-
pos tensoriais, desde que tenhamos difeomor…smos de uma variedade M em
outra N . Vamos considerá-los separadamente.
1.0.1 O Mapa Diferencial
O mapa diferencial (em inglês di¤erential map ou push-forward) associa, a
um vetor tangente no ponto p de M , um outro vetor tangente num ponto
associado a q em N , de maneira suave. O contexto, em geral, ajuda a não
confundirmos este mapeamento com o que estudamos na aula passada, o
diferencial de uma função (que associa uma 1-forma a uma função). Vamos
de…ní-lo: suponha que f seja uma função suave de M em N . Ao vetor
X 2 TpM , associamos, então, o vetor f�X em Tf(p)N da seguinte maneira
f�X (g) := X (g � f) ,
onde f�X age sobre uma função g de N em R (…gura 1). Em termos de
Figura 1: O mapa diferencial associa, ao vetor tangente à curva � (t) no ponto p em M , o vetor tangente
à curva f (� (t)) no ponto q = f (p) em N .
1
coordenatizações � emM e emN , podemos traduzir a de…nição acima para
as componentes dos vetores tangentes. Por um lado, o vetor induzido pelo
mapeamento diferencial pertence ao espaço tangente a N em f (p). Assim,
ele pode ser escrito como
f�X (g) =W�
@ (g � �1 (y))
@y�
= W�
@G (y)
@y�
,
onde estamos associando as coordenadas y� à coordenatização por do ponto
f (p) em N e G = g � �1. Por outro lado, a expressão X (g � f) refere-se à
atuação de um vetor do espaço tangente a M em p. Então,
X (g � f) = X� @ (g � f � �
�1 (x))
@x�
= X�
@
0@g � �1 � yz }| { � f � ��1 (x)
1A
@x�
= X�
@G (y (x))
@x�
= X�
@y�
@x�
@G (y)
@y�
.
Daí,
W� =
@y�
@x�
X� .
Dadas as componentes X� do vetor original em TpM , o mapa diferencial
fornece, através de uma transformação linear simples, as componentes de um
outro vetor em Tf(p)M . Observe que a matriz @y�=@x� não é necessariamente
quadrada, dado que as dimensões deM e N não precisam coincidir. Se, além
de suave, f for também bijetiva1 (ou seja, um difeomor…smo) podemos notar
que um campo vetorial em M induz um campo vetorial em N .
Outra possibilidade é de…nir um campo vetorial no próprio M , partindo
de um vetor dado num ponto p e usando um mapeamento f : M ! M .
Isso será explorado quando falarmos dos grupos de Lie e de campos vetoriais
invariantes à esquerda.
1Se f não for bijetiva, pode ocorrer de haver mais de um vetor associado a um único
ponto de N , o que não está de acordo com o conceito de campo vetorial.
2
Uma vez de…nido o mapa diferencial para um vetor, ele pode ser estendido
para tensores do tipo (q; 0), ou
T = T �1:::�qe�1 
 :::
 e�q .
A extensão é
f�T = T �1:::�qf�e�1 
 :::
 f�e�q .
As componentes do novo tensor, em N , serão
W�1:::�q =
@y�1
@x�1
:::
@y�q
@x�q
T �1:::�q .
O mapa diferencial satisfaz ainda à seguinte propriedade: dados f :M !
N e g : N ! P suaves, o mapa diferencial da aplicação composta g � f :
M ! P é
(g � f)� = g� � f�.
É muito simples demonstrar esta a…rmação: seja X um vetor de TpM e h
uma função de P em R. Então
(g � f)�X (h) = X (h � g � f)
= f�X (h � g)
= g� (f�X (h)) .
1.0.2 O Retrocesso
Este segundo mapeamento (em inglês chamado pullback) atua sobre 1-formas,
mas no sentido oposto: dado um mapeamento suave f :M ! N , o retrocesso
associa uma 1-forma ! de T �f(p)N a uma 1-forma em T
�
pM , que denotaremos
por f �!, da seguinte maneira
f �! (X) = ! (f�X) ,
com X sendo um vetor de TpM . Mais uma vez, vamos calcular as compo-
nentes da 1-forma f �! = ��dx� a partir das de ! = !�dy�: vamos considerar
f�X = W ��e�, onde W� = @y�=@x�X� e �e� = @=@y�. Atuando com ! sobre
ele,
! (f�X) = !�dy�
�
W ��e�
�
= !�
@y�
@x�
X�.
3
Por outro lado,
f �! (X) = ��X�.
Supondo que o vetor X é arbitrário e igualando os dois lados da equação que
de…ne o retrocesso,
�� =
@y�
@x�
!�.
Pelos mesmos argumentos anteriores, podemos induzir um campo de 1-formas
em M a partir de um em N , quando f for um difeomor…smo. Também é
possível estender o conceito de retrocesso para tensores do tipo (0; r) sobre
N : se T é dado por
T = T�1:::�rdy
�1 
 :::
 dy�r ,
o tensor obtido por retrocesso será
f �T = T�1:::�rf
�dy�1 
 :::
 f �dy�r .
Suas componentes, em M , serão
��1:::�q =
@y�1
@x�1
:::
@y�r
@x�r
T�1:::�r .
O retrocesso também satisfaz uma lei de composição. Consideremos f :
M ! N e g : N ! P . Mostraremos que
(g � f)� = f � � g�.
De fato, tomando ! como uma 1-forma de Tf�g(p)P e X como um vetor de
TpM ,
(g � f)� ! (X) = ! ((g � f)�X)
= ! (g� (f�X))
= g�! (f�X)
= f � � g�! (X) .
A questão que se coloca a seguir é se podemos generalizar as operações
de indução de vetores e 1-formas para tensores gerais, do tipo (q; r). Usando
apenas f : M ! N , diríamos que não é possível a generalização, já que f�
induz um tensor em N e f � induz em M . Contudo, é possível generalizar a
4
indução se o mapeamento f entre as variedades for um difeomor…smo. Vamos
tomar o tensor genérico de tipo (q; r), de…nido em
qQ
TpM 
rQ
T �pM ,
T = T �1:::�q�1:::�re�1 
 :::
 e�q 
 dx�1 
 :::
 dx�r .
Podemos de…nir um tensor induzido emN por um difeomor…smo f :M ! N
da seguinte forma
f�T = T �1:::�q�1:::�rf�e�1 
 :::
 f�e�q 
�
f�1
��
dx�1 
 :::
 �f�1�� dx�r ,
que pertence a
qQ
Tf(p)N
rQ
T �f(p)N . É fácil ver que as componentes do tensor
induzido W�1:::�q�1:::�r são dadas em termos de T
�1:::�q�1:::�r como (exercício
1)
W�1:::�q�1:::�r =
@y�1
@x�1
:::
@y�q
@x�q
@x�1
@y�1
:::
@x�r
@y�r
T �1:::�q�1:::�r .
Desta forma, campos de tensores de tipo arbitrário (q; r) em M podem in-
duzir outros campos de tensores de mesmo tipo em N . Agora, contudo, M
e N devem ter a mesma dimensão, já que f é um difeomor…smo.
1.1 Fluxos e Derivadas de Lie
Vamos nos perguntar a seguinte questão: será que, dado um campo vetorial
sobre uma variedade M , é possível encontrar um conjunto de curvas tal que
por cada ponto passe apenas uma curva e o vetor tangente a ela nesse ponto
coincida com o vetor associado ao campo vetorial ali? Como veremos, o
desenvolvimento desta pergunta levará ao conceito de campos vetoriais como
geradores de transformações de coordenadas in…nitesimais sobre a variedade.
Consideremos um campo vetorial X sobre M . Vamos, primeiramente,
de…nir uma curva integral de X, passando pelo ponto p: trata-se de uma
curva � (t), passando por p, tal que
1. � (0) = p;
2. �� (d=dt) = X�(t), para todo t 2 (�"; ") de R.
A segunda condição requer um pouco mais de explicação. Estamos usando
o mapa diferencial para associar ao vetor tangente em um t genérico do
5
intervalo (�"; ") de R (que é d=dt), um outro vetor tangente em � (t) de M ,
dado por
��
�
d
dt
�
(f) =
df (� (t))
dt
=
dF (�� (t))
dt
=
d��
dt
e� (f) ,
onde f é uma função de M em R, sobre a qual atua o vetor induzido, e
usamos uma coordenatização �, de…nindo
�� (t) � �� (� (t))
= x� (� (t)) .
Assim, lembrando que
X�(t) (f) = X
� (� (t)) e� (f) ,
vemos que a segunda condição é equivalente a
d��
dt
= X� (� (t)) .
Esta equação diz que o vetor tangente à curva � (t), num ponto genérico
da mesma, tem as mesmas componentes que o campo vetorial X naquele
ponto. A resposta à questão inicial é, portanto, positiva. Além disso, como é
uma equação diferencial de primeira ordem com condição inicial especi…cada
(�� (0) = x� (p) � x�), a solução é única. Variando o ponto p, obtemos outras
curvas integrais, correspondendo aos valores que o campo vetorial assume nos
novos pontos. Ou seja, para cada campo vetorial existe uma, e apenas uma
família de curvas das quais ele é vetor tangente em cada ponto da variedade.
Vamos indexar as famílias de curvas pelo ponto p escolhido para a condição
inicial, �� (t; p), onde �� (0) = x� (ou � (0) = p).
A restrição t 2 (�"; ") se justi…ca. Para escolhas adequadas de ", podemos
garantir que o trecho da curva sob consideração caia todo dentro de um dado
aberto U . Em geral, contudo, não se pode garantir a existência da solução
para todos os valores de t 2 R (veja o livro de Isham para uma menção
dos problemas em potencial, principalmente para variedades não-compactas).
6
Isto motiva a de…nição de um campo vetorial completo como sendo aquele
cuja curva integral em cada ponto p da variedade pode ser estendida para
todos os valores de t 2 R. Para variedades compactas, pode-se mostrar que
todo campo vetorial sobre ela é completo.
O mapa � (t; p), de R � M ! M é chamado de ‡uxo gerado por X.
Vamos mostrar que
� (t; � (s; p)) = � (t+ s; p) ,
para quaisquer s, t tais que � (t+ s; p) exista. De fato,
d
dt
�� (t; � (s; p)) = X� (� (t; � (s; p)))
e
� (0; � (s; p)) = � (s; p) .
Por outro lado,
d
dt
�� (t+ s; p) =
d
d (t+ s)
�� (t+ s; p)
= X� (� (t+ s; p))
e
� (0 + s; p) = � (s; p) .
Como os dois lados da equação satisfazem a mesma equação diferencial com
a mesma condição inicial, o teorema de existência e unicidade de soluções de
equações diferenciais nos diz que eles são iguais. A condição � (t; � (s; p)) =
� (t+ s; p) implica na invariância do ‡uxo pela escolha da condição inicial.
Esta propriedade pode ser usada para obtermos uma outra visão dos ‡uxos.
Consideremos t …xo e p variável, cobrindo toda a variedade. Nessas condições,
um‡uxo �t (p) pode ser visto como um difeomor…smo deM emM . De…nindo
uma lei de composição
�t � �s (p) � � (t; � (s; p))
= � (t+ s; p)
= �t+s (p) ,
obtemos uma estrutura de grupo comutativo onde
�0 (p) = p é o difeomor…smo identidade,
��t = (�t)
�1 é o difeomor…smo inverso.
7
Este grupo é chamado grupo de transformações a um parâmetro. Con-
siderando " in…nitesimal
��" (p) = �
� ("; p)
= �� (0; p) + "
d��
dt
����
t=0
= x� + "X� (� (0; p))
= x� + "X� (p) = x� + "X� (x) .
Esta expressão justi…ca que chamemos o campo vetorial X de gerador in…-
nitesimal da transformação �t. Vamos generalizar o raciocínio acima para
uma transformação …nita:
��t (p) = �
� (t; p)
= x� + t
d
ds
�� (s; p)
����
s=0
+
t2
2!
�
d
ds
�2
�� (s; p)
�����
s=0
+ :::
=
"
1 + t
d
ds
+
t2
2!
�
d
ds
�2
+ :::
#
�� (s; p)js=0
= exp
�
t
d
ds
�
�� (s; p)js=0 .
Esta operação é convenientemente indicada por
�� (t; p) = exp (tX)x�.
É simples ver que a expressão acima goza de todas as propriedades anteri-
ormente descritas para o ‡uxo, como consequência de propriedades análogas
da exponencial.
1.2 Exercícios
1. Mostre a expressão
W �1:::�q�1:::�r =
@y�1
@x�1
:::
@y�q
@x�q
@x�1
@y�1
:::
@x�r
@y�r
T�1:::�q�1:::�r ,
que indica a relação entre as componentes do tensor de tipo (q; r) in-
duzido em N e as componentes do tensor original em M .
8
2. Mostre que o ‡uxo gerado em R2 por
X = �y @
@x
+ x
@
@y
é
� (t; p) = (x0 cos t� y0 sen t; x0 sen t+ y0 cos t)
onde x (p) = (x0; y0).
1.3 Referências
1. C. J. Isham, Modern Di¤erential Geometry for Physicists, World Sci-
enti…c, 1989, Cingapura (capítulo 1).
2. M. Nakahara, Geometry, Topology and Physics, IOP, 1990, Bristol (ca-
pítulo 5).
3. C. Nash e S. Sen, Topology and Geometry for Physicists, Academic
Press, 1983, Londres (capítulo 2).
9
1 Variedades Diferencia´veis (4/5)
1.1 Fluxos e Derivadas de Lie (continuac¸a˜o)
Na aula anterior, conseguimos associar campos vetoriais a conjuntos de cur-
vas em uma variedade e vice-versa. Uma questa˜o natural que se coloca e´ a de
medir variac¸o˜es infinitesimais dos vetores associados com um campo vetorial
dado. Ha´ uma maneira natural de definir tais variac¸o˜es, se considerarmos a
direc¸a˜o da variac¸a˜o como associada a uma outra curva integral, gerada por
um outro campo vetorial. Consideremos dois campos vetoriais, X e Y , cujas
respectivas curvas integrais σ e τ , passando pelo mesmo ponto p, satisfazem
dσµ (t, p)
dt
= Xµ (σ (t, p)) ,
dτµ (t, p)
dt
= Y µ (τ (t, p)) .
Como avaliar a taxa de variac¸a˜o, por exemplo, do campo Y , entre um ponto
p e outro q, infinitesimalmente pro´ximo? Lembramos que a adic¸a˜o de vetores
em pontos diferentes na˜o esta´ definida. Precisamos, enta˜o, de alguma ma-
neira de “trazer” o valor do campo vetorial em q para p, para compara´-lo,
em p, com o seu valor ali. Isto pode ser facilmente conseguido se o ponto q
for tal que
σ (ε, p) ≡ σε (p) = q,
ou seja, se q pertencer ao fluxo gerado porX. Neste caso, σ−ε (q) = p e (σ−ε)∗
ira´ mapear vetores tangentes de TqM em outros de TpM , como vimos na aula
anterior. O vetor que correspondera´ a Y (q) em TpM sera´ (σ−ε)∗ Y (q) (figura
1), e poderemos definir a derivada de Lie do campo vetorial Y ao longo do
fluxo σ de X como
LXY := lim
ε→0
1
ε
[(σ−ε)∗ Y (q)− Y (p)] ,
que e´ um vetor em p. Como o procedimento de tomar o limite quando ε→ 0
sempre resulta em um vetor no ponto p, poder´ıamos dar definic¸o˜es alterna-
tivas para a derivada de Lie (exerc´ıcio 1). Vamos considerar, concretamente,
como as componentes do novo vetor (a derivada de Lie) se exprimem em
termos das componentes de X e Y . Considerando as coordenadas de p como
1
Figura 1: Usando (σ−ε)∗, “trazemos” o vetor Y (q) para o ponto p e, neste ponto, comparamos o vetor
induzido com Y (p).
xµ, e as de q como
φµ (q) = φµ (σε (p))= σµ (ε, p)
= σµ (0, p) + ε
dσµ (t, p)
dt
∣∣∣∣
t=0
= xµ + εXµ (σ (0, p))
= xµ + εXµ (x) ,
vemos que
Y (q) = Y µ (q) eµ (q)
= Y µ (xµ + εXµ (x)) eµ (q)
=
(
Y µ (x) + εXν
∂Y µ
∂xν
)
eµ (q) .
Aplicando o mapa diferencial (σ−ε)∗ a esse vetor, obtemos um outro em
TpM , e lembrando que, neste caso, as coordenadas do ponto de sa´ıda sa˜o
2
σµ (ε, p) = xµ + εXµ e as do ponto de chegada sa˜o
σµ (−ε, q) = σµ (−ε, σ (ε, p))
= σµ (0, p) = xµ,
obtemos
(σ−ε)∗ Y (q) = Y
µ (q)
∂σν (−ε, q)
∂σµ (ε, p)
eν (p)
= Y µ (q)
∂xν
∂σµε (p)
eν (p) .
Para calcular a derivada acima, notamos que a dependeˆncia de xµ em σµε (p) =
xµ + εXµ e´ definida por
xµ (σµε (p)) = σ
µ
ε (p)− εX
µ (x)
= σµε (p)− εX
µ (σε (p)) + O
(
ε2
)
.
Assim,
∂xν
∂σµε (p)
=
∂ (σνε (p)− εX
ν (σε (p)))
∂σµε (p)
= δνµ − ε
∂Xν (σε (p))
∂σµε (p)
.
Juntando os resultados parciais,
(σ−ε)∗ Y (q) = Y
µ (q)
(
δνµ − ε
∂Xν (σε (p))
∂σµε (p)
)
eν (p)
=
(
Y µ (x) + εXα
∂Y µ
∂xα
)(
δνµ − ε
∂Xν (σε (p))
∂σµε (p)
)
eν (p)
= Y µ (x) eµ (p) + ε
(
Xν
∂Y µ
∂xν
− Y ν (x)
∂Xµ (σε (p))
∂σνε (p)
)
eµ (p)
+ O
(
ε2
)
.
Assim, a derivada de Lie assume a expressa˜o (lembrando que lim
ε→0
σµε (p) = x
µ)
LXY = lim
ε→0
(
Xν
∂Y µ
∂xν
− Y ν (x)
∂Xµ (σε (p))
∂σνε (p)
)
eµ (p)
=
(
Xν
∂Y µ
∂xν
− Y ν
∂Xµ
∂xν
)
eµ (p) .
3
Esta expressa˜o e´ a traduc¸a˜o, em coordenadas, da definic¸a˜o geome´trica dada
anteriormente. Ela possui uma expressa˜o alternativa que ajuda bastante a
explicitar suas propriedades alge´bricas. Definimos o pareˆntese de Lie de dois
campos vetoriais X e Y como um campo vetorial que age da seguinte forma
sobre uma func¸a˜o f : M → R,
[X,Y ] (f) := X (Y (f))− Y (X (f)) .
Na definic¸a˜o acima, usamos que, para um campo vetorial X, Xp (f) pode
ser visto como uma func¸a˜o de M em R, conforme a definic¸a˜o dada na aula
passada. E´ fa´cil ver que (exerc´ıcio 2)
LXY = [X,Y ] .
O pareˆntese de Lie e´ bilinear nos seus argumentos, antissime´trico e satisfaz
a` identidade de Jacobi
[X, [Y, Z]] + [Z, [X,Y ]] + [Y, [Z,X]] = 0.
Vamos mostrar rapidamente algumas propriedades u´teis:
1. Se f e g sa˜o func¸o˜es de M em R, LfXY = f [X,Y ]− Y (f)X:
[fX, Y ] (g) = fX (Y (g))− Y (fX (g))
= fX (Y (g))− fY (X (g))− Y (f)X (g)
= f [X,Y ] (g)− Y (f)X (g) ;
2. De modo ana´logo mostramos que
LXfY = f [X,Y ] +X (f)Y ;
3. Se f e´ um mapeamento entre duas variedades M e N , X e Y sa˜o
campos vetoriais sobre M , enta˜o f∗ [X,Y ] = [f∗X, f∗Y ]:
Vamos denotar por xµ e eµ as coordenadas e vetores base do espac¸o
TpM , e por y
α e e¯α as quantidades correspondentes (via aplicac¸a˜o de
4
f e f∗) em Tf(p)M ; assim, temos
f∗ [X,Y ] = f∗
[(
Xµ
∂Y ν
∂xµ
− Y µ
∂Xν
∂xµ
)
eν
]
=
(
Xµ
∂Y ν
∂xµ
− Y µ
∂Xν
∂xµ
)
∂yα
∂xν
e¯α
=
(
Xµ
∂
∂xµ
(
∂yα
∂xν
Y ν
)
− Y µ
∂
∂xµ
(
∂yα
∂xν
Xν
))
e¯α
=
(
Xµ
∂yβ
∂xµ
∂
∂yβ
(
∂yα
∂xν
Y ν
)
− Y µ
∂yβ
∂xµ
∂
∂yβ
(
∂yα
∂xν
Xν
))
e¯α.
O que acabamos de obter e´ o resultado desejado, desde que fac¸amos as
identificac¸o˜es
f∗X = X
µ ∂y
β
∂xµ
e¯β,
f∗Y = Y
µ ∂y
β
∂xµ
e¯β.
A derivada de Lie pode ser definida tambe´m para 1-formas. A ide´ia e´
a mesma, apenas usamos o retrocesso para comparar 1-formas definidas em
pontos diferentes, p e q = σ (ε, p), onde σ e´ o fluxo gerado pelo campo X,
LXω := lim
ε→0
1
ε
[(σε)
∗ ω (q)− ω (p)] .
Vamos observar a expressa˜o em componentes da derivada de Lie de 1-formas.
Para isso, calculamos primeiramente
(σε)
∗ ω (q) = ωµ (q)
∂σµ (ε, p)
∂xν
dxν (p)
= ωµ (q)
∂ (xµ + εXµ (x))
∂xν
dxν (p)
= ωµ (x
µ + εXµ (x))
(
δµν + ε
∂Xµ
∂xν
)
dxν (p)
= ωµ (x) dx
µ (p) + ε
(
Xµ
∂ων
∂xµ
+ ωµ
∂Xµ
∂xν
)
(x) dxν (p) .
Assim,
LXω =
(
Xµ
∂ων
∂xµ
+ ωµ
∂Xµ
∂xν
)
dxν (p) .
5
Ainda no mesmo esp´ırito, podemos definir a derivada de Lie de uma
func¸a˜o de M em R:
LXf := lim
ε→0
1
ε
[f (σε (p))− f (p)]
= lim
ε→0
1
ε
[F (xµ + εXµ)− F (xµ)]
= Xµ
∂F
∂xµ
= X (f) ,
onde, mais uma vez, σ e´ o fluxo gerado por X e F = f ◦ φ, com φ sendo a
coordenatizac¸a˜o em questa˜o. Como σt sa˜o difeomorfismos, na˜o ha´ problemas
para definir uma derivada de Lie ao longo do fluxo σ gerado pelo campo
vetorial X para tensores arbitra´rios do tipo (q, r)
LXT := lim
ε→0
1
ε
[(σ−ε)∗ T (q)− T (p)] ,
onde, se
T (q) = T µ1...µqν1...νr (q) e¯µ1 ⊗ ...⊗ e¯µq ⊗ dy
ν1 ⊗ ...⊗ dyνr ,
definimos
(σ−ε)∗ T (q) = T
µ1...µq
ν1...νr (q = σε (p)) (σ−ε)∗ e¯µ1 ⊗ ...⊗ (σ−ε)∗ e¯µq
⊗ (σε)
∗ dyν1 ⊗ ...⊗ (σε)
∗ dyνr .
Na˜o e´ dif´ıcil, seguindo os mesmos passos detalhados anteriormente para ve-
tores e 1-formas obter a expressa˜o em componentes de LXT .
1.2 Formas Diferenciais
Vamos considerar, por fim, um subconjunto dos tensores de tipo (0, r) que
consiste de todos os tensores desse tipo com os coeficientes totalmente antis-
sime´tricos. Por exemplo, um tensor antissime´trico do tipo (0, 2) e´
ω = ωµνdx
µ ⊗ dxν
onde ωµν = −ωνµ. Existe mais uma expressa˜o equivalente a` expressa˜o acima,
grac¸as a` antissimetria de ωµν ,
ω = −ωµνdx
ν ⊗ dxµ
6
Assim, somando as duas expresso˜es e dividindo por 2, obtemos uma expressa˜o
completamente antissime´trica tambe´m nas 1-formas base
ω =
1
2
ωµν (dx
µ ⊗ dxν − dxν ⊗ dxµ) .
Definindo o produto exterior de duas 1-formas base como
dxµ ∧ dxν := dxµ ⊗ dxν − dxν ⊗ dxµ,
obtemos,
ω =
1
2
ωµνdx
µ ∧ dxν .
O procedimento pode ser generalizado, mas antes de fazer isso, vamos consi-
derar o caso de um tensor antissime´trico de tipo (0, 3), para entender melhor
a generalizac¸a˜o. Considere ω dado por
ω = ωµνρdx
µ ⊗ dxν ⊗ dxρ
onde ωµνρ = −ωνµρ = −ωµρν = ωρµν = −ωρνµ = ωνρµ e´ completamente
antissime´trico em todos os ı´ndices. Existem, agora, mais cinco expresso˜es
equivalentes, que vamos exibir abaixo
ω = ωµνρdx
ν ⊗ dxρ ⊗ dxµ
ω = ωµνρdx
ρ ⊗ dxµ ⊗ dxν
ω = −ωµνρdx
µ ⊗ dxρ ⊗ dxν
ω = −ωµνρdx
ν ⊗ dxµ ⊗ dxρ
ω = −ωµνρdx
ρ ⊗ dxν ⊗ dxµ
Para obter uma expressa˜o completamente antissime´trica, somamos as seis
expresso˜es obtidas e dividimos por 6 = 3! (o nu´mero de permutac¸o˜es dos treˆs
ı´ndices, raza˜o do nu´mero de expresso˜es equivalentes que obtivemos),
ω =
1
3!
ωµνρ (dx
µ ⊗ dxν ⊗ dxρ + dxν ⊗ dxρ ⊗ dxµ + dxρ ⊗ dxµ ⊗ dxν
−dxµ ⊗ dxρ ⊗ dxν − dxν ⊗ dxµ ⊗ dxρ − dxρ ⊗ dxν ⊗ dxµ)
≡
1
3!
ωµνρdx
µ ∧ dxν ∧ dxρ.
7
Na expressa˜o acima definimos o produto exterior de treˆs 1-formas base. A
generalizac¸a˜o, para um tensor completamente antissime´trico de tipo (0, r)
(uma r-forma, ou uma forma de grau r) e´
ω = ωµ1...µrdx
µ1 ⊗ ...⊗ dxµr
=
1
r!
ωµ1...µrdx
µ1 ∧ ... ∧ dxµr ,
onde
dxµ1 ∧ ... ∧ dxµr =
∑
P
sinal (P ) dxµP (1) ⊗ ...⊗ dxµP (r) ,
com P sendo uma permutac¸a˜o arbitra´ria de 1...r, sinal (P ) sendo + se a
permutac¸a˜o for par (troca de ı´ndices um nu´mero par de vezes) ou − se
a permutac¸a˜o for ı´mpar (troca de ı´ndices um nu´mero ı´mpar de vezes). Por
exemplo, para levar 1234 em 4321, temos que trocar os ı´ndices de posic¸a˜o um
nu´mero ı´mpar de vezes. Assim, o termo dxµ4⊗dxµ3⊗dxµ2⊗dxµ1 apareceria
com sinal − na definic¸a˜o de dxµ1 ∧ dxµ2 ∧ dxµ3 ∧ dxµ4 . As propriedades de
antissimetria do tensor tambe´m podem ser expressas, nessa notac¸a˜o, como
ωµ1...µr = sinal (P )ωµP (1)...µP (r) .
E´ imediato verificar as seguintes propriedades do produto exterior de r 1-
formas base
1. dxµ1 ∧ ...∧dxµr = 0 se algum ı´ndice µi aparecer pelo menos duas vezes;
2. dxµ1 ∧ ... ∧ dxµr = sinal(P ) dxµP (1) ∧ ... ∧ dxµP (r) ;
3. dxµ1 ∧ ... ∧ dxµr e´ linear em cada dxµi .