AULA 4 FUND MAT

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Relatório - Plano de Aula
	
		14/01/2015 15:31
	
	
	
	
	
	
	
	
		
	
	
	
	
	
	
	
	
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		Disciplina: GST1073 - FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
	Semana Aula: 4
	TEMA
	CONCEITOS FUNDAMENTAIS DE ÁLGEBRA E ARITMÉTICA. Razão e proporção, Propriedades das proporções, Regras de três simples e composta, Porcentagem.
	OBJETIVOS
	Ao final desta aula, o aluno deverá ser capaz de: 
Compreender o conceito de razão entre duas grandezas.
Reconhecer os termos de uma razão.
Reconhecer razões inversas.
Identificar proporções como igualdade de duas razões.
Identificar meios e extremos de uma proporção.
Determinar o termo desconhecido de uma proporção, aplicando a propriedade fundamental das proporções.
Aplicar as propriedades de proporções nas diversas situações.
Resolver problemas que envolvam duas grandezas direta e inversamente proporcionais.
Resolver problemas que envolvam três ou mais grandezas diretamente ou inversamente proporcionais.
Compreender a ideia de taxa de porcentagem.
Identificar e representar porcentagens.
Representar porcentagens em frações e em decimais, e vice-versa.
Resolver problemas, envolvendo porcentagens em sua vida prática.
	ESTRUTURA DO CONTEÚDO
	1. MOTIVAÇÃO/INTRODUÇÃO.
Nos mapas temos um exemplo clássico de uso de razões. As distâncias nos mapas estão em escala menor que a real, e Escala é a razão entre a medida do desenho e a medida real. 
2. RAZÃO 
Razão entre dois números a e b, , é o quociente . 
A razão compara quantidades, calculando o quociente entre estas quantidades. 
Dizemos que “a está para b”.
Nomenclatura: 
Os números a e b são os termos da razão. 
O numerador a é o antecedente e o denominador b é o consequente da razão.
Exemplo.
Consideremos uma casa com 1200 m² de área construída em uma área total de 4800 m² de área total. 
A razão da área construída para a área total será:
Razões Equivalentes 
Duas ou mais razões são equivalentes quando as frações que as representam são equivalentes. 
Exemplo: 
Razões Inversas 
Duas razões são inversas quando o antecedente da primeira é igual ao consequente da segunda e vice versa. 
Exemplo: e .
3. PROPORÇÃO
Chamamos de proporção à igualdade entre razões.
Sendo a, b, c, d números reais com b e d diferentes de zero.
Nomenclaturas: 
k é constante da proporção.
a e d de extremos da proporção e 
b e c de meios da proporção. 
4. PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES
Seja a proporção 
1) Propriedade Fundamental da Proporção: O produto dos meios é igual ao produto dos extremos. 
2) A soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes assim como cada antecedente está para o seu consequente. 
 ou 
3) Troca dos meios
4) Troca dos extremos
5) Inversão das razões
 
5. GRANDEZAS PROPORCIONAIS
Grandezas Diretamente Proporcionais
Se um produto custa 30 reais a unidade e quisermos comprar duas unidades, pagaremos 60, se quisermos comprar três unidades, 90, e assim por diante. 
Dobrando a quantidade de unidades de produtos que compramos, dobrará o valor a ser pago, se triplicarmos a quantidade, pagaremos o triplo. 
As grandezas quantidade de produtos e preço pago são diretamente proporcionais. 
Exemplo: 
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, multiplicando o valor de uma delas por um número positivo, o valor da outra fica multiplicado por esse mesmo número positivo.
Grandezas Inversamente Proporcionais
Quando percorremos um trecho, por exemplo, de 240 km, em uma rodovia, com velocidade média de 24 km/h, levaremos 10 horas para percorrê-lo. Se percorrermos este mesmo trecho, com velocidade média de 48 km/h, levaremos 5 horas para percorrer e assim por diante. 
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, multiplicando o valor de uma delas por um número positivo, o valor da outra é dividido por esse mesmo número positivo.  
	Velocidade média (km/h)
	Tempo
(h)
	24
	10
	48
	5
No problema, o produto dos números correspondentes é 240: 
Temos que : 
6. REGRA DE TRÊS SIMPLES
A regra de três simples é uma regra prática para determinar o quarto termo de uma proporção, conhecendo-se os outros três termos. 
Quando há somente duas grandezas, a regra é simples.
Para resolvermos a regra de três simples, após organizá-las em uma tabela, basta que identifiquemos se as grandezas envolvidas são diretamente ou inversamente proporcionais.
Se as grandezas são diretamente proporcionais, mantemos as razões e montamos a proporção entre estas razões.
Se as grandezas forem inversamente proporcionais, invertemos uma das razões e montamos a proporção. 
Uma outra forma de se resolver a regra de três é, depois de organizada a tabela, marcar o número que está na coluna do x (valor desconhecido). Identificamos se as grandezas envolvidas são diretamente ou inversamente proporcionais. 
Se as grandezas são diretamente proporcionais, multiplicamos os valores em forma de X. 
Se as grandezas forem inversamente proporcionais, multiplicamos os valores em linha. 
Exemplo.
 
Um artesão consegue fazer três bonecos em 18 minutos. Em oito horas de trabalho quantos bonecos este artesão conseguiria produzir?
Resolução. 
8 horas = 8x60 minutos= 480 minutos
	Bonecos
	Tempo (min)
	3
	18
	x
	480
Se temos mais tempo, poderemos fazer mais bonecos. As grandezas são diretamente proporcionais. Mantemos a razão. 
Portanto em 8 horas o artesão conseguiria produzir 80 bonecos.
Pensando da outra forma, marcando o número que está na coluna do x, como as grandezas são diretamente proporcionais, marcamos o valor em X com o valor marcado. 
	Bonecos
	Tempo (min)
	3
	18
	x
	480
O valor de x será o produto dos números marcados, dividido pelos não marcados. 
7. REGRA DE TRÊS COMPOSTA
A regra é dita composta quando envolve três ou mais grandezas, sejam elas diretas ou inversas.
O primeiro passo para resolvermos uma regra de três composta é organizar as grandezas em uma tabela, colocamos cada grandeza e seus valores em suas colunas. Marcamos o valor conhecido que está na mesma coluna de x. O que se faz depois é identificar se as grandezas envolvidas são diretamente ou inversamente proporcionais, relacionando cada grandeza com a grandeza cujo valor é desconhecido (x).
Se as grandezas são diretamente proporcionais, marcamos o valor que está na direção em forma de X com o valor marcado referente à grandeza desconhecida.
Se as grandezas são inversamente proporcionais, marcamos o valor que está em linha com o valor marcado da coluna da grandeza desconhecida. 
O valor de x será o produto dos números marcados, divididos pelo produto dos números não marcados. 
Exemplo. 
Um grupo de 10 trabalhadores descarregam 210 caixas de mercadoria em 3 horas. Quantas horas 25 trabalhadores precisarão para descarregar 350 caixas?
Resolução. 
	Trabalhadores
	caixas
	horas
	10
	210
	3
	25
	350
	x
A princípio, marcamos o número conhecido na coluna do valor desconhecido (horas)
Comparando a primeira coluna, número de trabalhadores com as horas, quando aumentamos o número de trabalhadores, podemos diminuir as horas trabalhadas. 
Grandezas inversamente proporcionais: marcamos o valor que está em linha com o valor numérico marcado na coluna de x. 
Comparar a segunda coluna (caixas) com a última (horas), se precisamos descarregar mais caixas, precisaremos aumentar a quantidade de horas trabalhadas. 
Grandezas diretamente proporcionais: marcamos o valor em X com o valor numérico marcado na coluna de x.
	Trabalhadores
	caixas
	horas
	10
	210
	3
	25
	350
	x
	Aumentamos.
	
Aumentamos
	Diminui.
Aumenta.
Assim, 350 caixas podem ser descarregadas por 25 trabalhadores em 2 horas de trabalho.
8. PORCENTAGEM
Considere uma pizza, dividida em 100 pedaços iguais. 
Cada pedaço corresponderá a um por cento. 
Considerando os 100pedaços, teremos a unidade: 
Formas de representação:
Forma fracionária: .
Forma decimal ou taxa unitária: 0,20
Forma ou taxa Percentual: 20%
Exemplo.
Um certo produto sofreu dois descontos sucessivos de 15% e depois um acréscimo de 8%. Seu preço final, em relação ao inicial:
a) decresceu 24%		
b) decresceu 23%	
c) aumentou 22%
d) aumentou 21,97%		
e) decresceu 21,97%
Resolução. 
Suponha o preço do produto 100.
Desconto de 15%: 100-15=85.
Desconto de 15% sobre 85.
Acréscimo de 8% sobre 72,25:
O decréscimo foi de 100-78,03= 21,97
	PROCEDIMENTOS DE ENSINO
	1. MOTIVAÇÃO/INTRODUÇÃO.
O professor pode introduzir diversas aplicações de razão, tais como os mapas, velocidade média, densidade demográfica, etc. 
2. RAZÃO 
A partir de uma aplicação real, sugerimos que o professor proceda a definição de razão entre dois números, reforçando que a razão nada mais é do que um quociente, uma divisão 
É importante que o docente sinalize a nomenclatura dos termos, antecedente e consequente. 
É interessante que o professor trabalhe com razões equivalentes e inversas. 
3. PROPORÇÃO
Sugerimos que, após a definição de proporção, observe a nomenclatura de meios, extremos, constante da proporção. Interessante que se relembre as operações com frações. 
4. PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES
Enunciar as propriedades e observar que todas têm ligação com a propriedade fundamental das proporções. 
5. GRANDEZAS PROPORCIONAIS
Sugerimos introduzir as noções de grandezas direta e inversamente proporcionais com um exemplo prático. 
6. REGRA DE TRÊS SIMPLES
É importante se fazer o link entre as grandezas proporcionais e a montagem da regra de três, invertendo ou não a razão, na resolução. 
7. REGRA DE TRÊS COMPOSTA
Diferenciar a regra de três simples e a composta pelo número de grandezas envolvidas e trabalhar bem a interpretação dos problemas, identificando se as grandezas são diretas ou inversamente proporcionais. 
8. PORCENTAGEM
Mais uma vez, é importante se fazer a ligação da porcentagem com as frações e trabalhar as formas de representação, transformando a forma fracionária em forma decimal ou percentual e vice versa.
Os exercícios contextualizados envolvendo descontos são importantes de serem trabalhados. 
	RECURSOS FÍSICOS
	Além dos recursos físicos oferecidos pela sala de aula tradicional, como quadro branco, é proveitoso fazer uso do Laboratório de informática com acesso a jornais, revistas, vídeos e jogos virtuais. 
Recomendamos a leitura do capítulo referente a regra de três e porcentagem no material didático.
Acesse a Biblioteca Virtual da Estácio e pesquise mais exercícios nos livros disponíveis.
	APLICAÇÃO: ARTICULAÇÃO TEORIA E PRÁTICA
	SUGESTÃO DE EXERCÍCIOS
1. Levo duas horas e meia para percorrer 15km. Se eu tiver quer percorrer 54km, quanto tempo eu levarei?
2. Um produtor rural tem uma produção anual de frangos de cerca de 18 toneladas. Em um bimestre este produtor irá produzir quantas toneladas de frango?
3. A 60km/h faço o percurso entre duas cidades em duas horas. Trafegando a 80km qual o tempo estimado para percorrer este trajeto?
4. Uma torneira enche um tanque em 6 horas. Se forem utilizadas 3 torneiras, qual o tempo necessário para enche-lo?
5. Para esvaziar um compartimento com 700m3 de capacidade, 3 ralos levaram 7 horas para fazê-lo. Se o compartimento tivesse 500m3 de capacidade, ao utilizarmos 5 ralos quantas horas seriam necessárias para esvaziá-lo?
6. Duas costureiras trabalhando 3 dias, 8 horas por dia, produzem 10 vestidos. Se 3 costureiras trabalharem por 5 dias, quantas horas ela precisarão trabalhar por dia para produzirem 25 vestidos?
7. Um produto sofreu um aumento de 20% em uma semana e 30% na semana seguinte. Ao final das duas semanas, qual foi a taxa de aumento total deste produto?
8. Sobre um salário base de R$ 1.200,00, foram aplicados: a) adicional de 20% pela chefia; b) adicional de 5% pela produtividade; c) desconto de 6% de previdência. Calcule o salário resultante e a taxa de variação.
9. (Vunesp-SP) O dono de um supermercado comprou de seu fornecedor um produto por x reais (preço de custo) e passou a revendê-lo com lucro de 50%. Ao fazer um dia de promoções, ele deu aos clientes do supermercado um desconto de 20% sobre o preço de venda deste produto. Pode-se afirmar que, no dia de promoções, o dono do supermercado teve, sobre o preço de custo:
a) prejuízo de 10%.
b) prejuízo de 5%.
c) lucro de 20%.
d) lucro de 25%.
e) lucro de 30%
10. (Fuvest-SP) Barnabé tinha um salário de x reais em janeiro. Recebeu aumento de 80% em maio e 80% em novembro. Seu salário atual é:
a) 2,56 x    b) 1,6x   c) x + 160       d) 2,6x e) 3,24x
11. (PUC) Um carro foi vendido por R$ 10.000,00, com prejuízo de 20% sobre o preço da compra. O carro havia sido comprado , em reais, por:
a)10.200,00		b)11.500,00	c)12.000,00	d)12.500,00		e)13.000,00
	AVALIAÇÃO
	SUGESTÃO DE EXERCÍCIOS
1. Levo duas horas e meia para percorrer 15km. Se eu tiver quer percorrer 54km, quanto tempo eu levarei?
	Tempo (h)
	km
	2,5
	15
	x
	54
	Aumentamos.
	Aumentamos
Quando a distância aumenta, o tempo também aumenta. 
As duas grandezas são diretamente proporcionais.
Portanto levarei 9 horas para percorrer os 54km.
2. Um produtor rural tem uma produção anual de frangos de cerca de 18 toneladas. Em um bimestre este produtor irá produzir quantas toneladas de frango?
	Tempo (meses)
	toneladas
	12
	18
	2
	x
	Diminuo.
	Diminuo
As duas grandezas são diretamente proporcionais.
Em um bimestre o produtor produzirá 3 toneladas de frango.
3. A 60km/h faço o percurso entre duas cidades em duas horas. Trafegando a 80km qual o tempo estimado para percorrer este trajeto?
	Velocidade (km.h)
	horas
	60
	2
	80
	x
	Aumento.
	Diminuo
Quando a velocidade aumenta, o tempo diminui já que estamos trafegando mais rapidamente. 
As duas grandezas são inversamente proporcionais.
Invertemos uma razão.
A 80km/h estima-se que o trajeto seja feito em uma hora e meia.
4. Uma torneira enche um tanque em 6 horas. Se forem utilizadas 3 torneiras, qual o tempo necessário para enche-lo?
	Torneiras
	horas
	1
	6
	3
	x
	Aumento.
	Diminuo
Quando a quantidade de torneiras aumenta, o tempo diminui já que aumentamos o volume da vazão. 
As duas grandezas são inversamente proporcionais e precisamos inverter uma das razões.
Se utilizarmos 3 torneiras, tal tanque poderia ser abastecido em 2 horas.
5. Para esvaziar um compartimento com 700m3 de capacidade, 3 ralos levaram 7 horas para fazê-lo. Se o compartimento tivesse 500m3 de capacidade, ao utilizarmos 5 ralos quantas horas seriam necessárias para esvaziá-lo?
	Capacidade (m3)
	ralos
	horas
	700
	3
	7
	500
	5
	x
	Diminuo
	
Aumento
	Diminuo
Diminuo
Portanto com 5 ralos poderíamos esvaziar 500m3 em três horas.
6. Duas costureiras trabalhando 3 dias, 8 horas por dia, produzem 10 vestidos. Se 3 costureiras trabalharem por 5 dias, quantas horas ela precisarão trabalhar por dia para produzirem 25 vestidos?
	Costureiras
	dias
	horas
	vestidos
	2
	3
	8
	10
	3
	5
	x
	25
	Aumenta
	
Aumento
	Diminui
Diminui.
Aumento
	
Aumento
Cinco dias do trabalho de 3 costureiras podem render 25 vestidos sem que se altere a jornada diária de trabalho, ou seja, elas ainda continuarão a trabalhar 8 horas por dia.
7. Um produto sofreu um aumento de 20% em uma semana e 30% na semana seguinte. Ao final das duas semanas, qual foi a taxa de aumento total deste produto?
Vamos imaginar um produto que custa R$ 100,00 (podemos comparar com o preço igual a 100, pois é o mesmo que comparar com a unidade); como o primeiro aumento é de 20% sobre R$ 100,00 (0,20 x R$ 100,00 = R$ 20,00), temos um montante de R$ 120,00. 
Sabendo que o segundo aumento é de 30% sobre R$ 120,00 (0,30 x R$ 120,00 = R$36,00), o preço do produto é elevado a R$ 120,00 + R$ 36,00 = R$ 156,00.
Portanto, o aumento é de R$ 56,00 sobre um preço de R$ 100,00. 
100-------100%
56-------x
x=5600/100=56%
8. Sobre um salário base de R$ 1.200,00, foram aplicados: a) adicional de 20% pela chefia; b) adicional de 5% pela produtividade; c) desconto de 6% de previdência. Calcule o salário resultante e a taxa de variação.
20% de 1200 = 240
5% de 1200=60
- 6% de 1200 = -72
1200+300-72= 1428.
19%
9. (Vunesp-SP) O dono de um supermercado comprou de seu fornecedor um produto por x reais (preço de custo) e passou a revendê-lo com lucro de 50%. Ao fazer um dia de promoções, ele deu aos clientes do supermercado um desconto de 20% sobre o preço de venda deste produto. Pode-se afirmar que, no dia de promoções, o dono do supermercado teve, sobre o preço de custo:
a) prejuízo de 10%.
b) prejuízo de 5%.
c) lucro de 20%.
d) lucro de 25%.
e) lucro de 30%
Supondo R$ 100,00 o preço de custo da mercadoria.
50% sobre o preço de custo 50,00
O dono do supermercado venderá a mercadoria por R$150,00.
Dando 20% de desconto sobre o preço de venda: 20% de 150,00=30
A mercadoria passara a custar R$120,00.
Houve então um aumento de R$20,00 em relação ao preço de venda.
Lucro de 20% 
10. (Fuvest-SP) Barnabé tinha um salário de x reais em janeiro. Recebeu aumento de 80% em maio e 80% em novembro. Seu salário atual é:
a) 2,56 x    b) 1,6x   c) x + 160       d) 2,6x e) 3,24x
11. (PUC) Um carro foi vendido por R$ 10.000,00, com prejuízo de 20% sobre o preço da compra. O carro havia sido comprado , em reais, por:
a)10.200,00		b)11.500,00	c)12.000,00	d)12.500,00		e)13.000,00
Preço de compra: x
	CONSIDERAÇÃO ADICIONAL
	Bibliografias Básica e Complementar propostas no Plano de Ensino do curso, indubitavelmente, deverão sempre ser objeto de constantes consultas para os estudos e desenvolvimento do Plano de Aula. 
Bibliografia
LEITE, Álvaro Emílio, CASTANHEIRA, Nelson Pereira. Equações e Regra de Três. Coleção Desmistificando a Matemática. São Paulo: Editora Intersaberes, 2024.