produto vetorial

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Anotac¸o˜es sobre produto vetorial.
Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡
Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ
rodrigo.uff.math@gmail.com
‡
1
Suma´rio
1 Produto vetorial 3
1.1 Produto vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Anti-comutatividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Produto misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1 < u× v, u >=< u× v, v >= 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2 Fo´rmula de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2
Cap´ıtulo 1
Produto vetorial
1.1 Produto vetorial
m Definic¸a˜o 1 (Produto vetorial em R2). Dado um vetor v ∈ R2. Seu produto vetorial
e´ um vetor em R2 obtido pela rotac¸a˜o de v de 90 graus no sentido anti-hora´rio.
m Definic¸a˜o 2 (Produto vetorial em R3). Dados dois vetores u = (u1, u2, u3) e v =
(v1, v2, v3) ∈ R3, definimos seu produto vetorial como um vetor em R3 denotado por u×v
ou u ∧ v, que e´ dado por
u× v :=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
e1 e2 e3
u1 u2 u3
v1 v2 v3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = (u2v3 − u3v2)e1 + (u3v1 − u1v3)e2 + (u1v2 − v1u2)e3
b Propriedade 1. Sejam u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3), w = (w1, w2, w3), vetores de
R3 enta˜o vale que
< u× v, w >=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
u1 u2 u3
v1 v2 v3
w1 w2 w3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
3
CAPI´TULO 1. PRODUTO VETORIAL 4
que por sua vez e´ igual ao volume do paralelepipedo gerado por u, v, w, com sinal . De
outra maneira, existe um u´nico vetor p ∈ R3 tal que
< p,w >=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
u1 u2 u3
v1 v2 v3
w1 w2 w3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
p e´ u× v.
ê Demonstrac¸a˜o.
b Propriedade 2 (Compatibilidade com multiplicac¸a˜o escalar). Vale que
(tu)× v = t(u× v) = u× (tv).
Onde t ∈ R, u, v ∈ R3.
ê Demonstrac¸a˜o.
Sejam u = (x, y, z), v = (A,B,C)
(tu)×v =
∣∣∣∣∣∣∣∣
e1 e2 e3
tx ty tz
A B C
∣∣∣∣∣∣∣∣ = (tyC−tzB,−txC+tzA, txB−tyA) = t(yC−zB,−xC+zA, xB−yA) =
= t
∣∣∣∣∣∣∣∣
e1 e2 e3
x y z
A B C
∣∣∣∣∣∣∣∣ = t(u× v)
por outro lado tambe´m e´ igual
u×(tv) =
∣∣∣∣∣∣∣∣
e1 e2 e3
x y z
tA tB tC
∣∣∣∣∣∣∣∣ = (ytC−ztB,−xtC+ztA, xtB−ytA) = t(yC−zB,−xC+zA, xB−yA).
Que e´ ideˆntico aos outros valores calculados, enta˜o valem as identidades.
b Propriedade 3 (Distributividade). Vale que
(u+ v)× w = u× w + v × w.
CAPI´TULO 1. PRODUTO VETORIAL 5
ê Demonstrac¸a˜o.
b Propriedade 4. Dados vetores v 6= 0 e w de R3, enta˜o existe u tal que
u× v = w ⇔< v,w >= 0.
ê Demonstrac¸a˜o.
Denotamos u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3), w = (w1, w2, w3). ⇒)
Suponha que u× v = w vamos mostrar que < v,w >= 0.
Calculamos w
u× v :=
∣∣∣∣∣∣∣∣
e1 e2 e3
u1 u2 u3
v1 v2 v3
∣∣∣∣∣∣∣∣ = (u2v3 − u3v2)e1 + (u3v1 − u1v3)e2 + (u1v2 − v1u2)e3
calculamos o produto escalar de tal vetor resultante com v, ficamos com
< v,w >= ((u2v3v1)︸ ︷︷ ︸
A
− (u3v2v1)︸ ︷︷ ︸
B
) + ((u3v1v2)︸ ︷︷ ︸
B
− (u1v3v2)︸ ︷︷ ︸
C
) + ((u1v2v3)︸ ︷︷ ︸
C
− (v1u2v3)︸ ︷︷ ︸
A
) = 0
os termos marcados com mesmos s´ımbolos se anulam.
⇐)
Supondo
< v,w >= 0 = v1w1 + v2w2 + v3w3
enta˜o o vetor u =
1
||v||v × w satisfaz a propriedade desejada, pois
v×w :=
∣∣∣∣∣∣∣∣
e1 e2 e3
v1 v2 v3
w1 w2 w3
∣∣∣∣∣∣∣∣ = (v2w3−v3w2)e1+(v3w1−v1w3)e2+(v1w2−w1v2)e3 = u
′ = u|v|2
calculando o produto vetorial do vetor u′ acima com v (perceba que u′ e´ u vezes a
norma de v fazemos desse modo para simplificar as contas, depois usaremos propriedade
de produto vetorial), tem-se∣∣∣∣∣∣∣∣
e1 e2 e3
v2w3 − v3w2 v3w1 − v1w3 v1w2 − w1v2
v1 v2 v3
∣∣∣∣∣∣∣∣
CAPI´TULO 1. PRODUTO VETORIAL 6
faremos as contas coordenada por coordenada, inciando com a primeira coordenada, temos
v23w1 − v1v3w3 − v1v2w2 + w1v22 = (v22 + v23)w1 + v1(−v3w3 − v2w2) =
agora usando 0 = v1w1+v2w2+v3w3 tem-se−v3w3−v2w2 = v1w1, manipulac¸a˜o semelhante
faremos tambe´m nas outras coordenadas, disso segue
= (v21 + v
2
2 + v
2
3)w1.
Agora na segunda coordenada, tem-se
−v2w3v3 + v23w2 + v21w2 − v1w1v2 = (v21 + v23)w2 + v2 (−v1w1 − w3v3)︸ ︷︷ ︸
v2w2
=
usando o resultado do produto interno segue
= (v21 + v
2
2 + v
2
3)w2.
Agora calculamos a terceira coordenada
v22w3 − v3v2w2 − v3v1w1 + v21w3 = (v21 + v22)w3 + v3 (−v2w2 − v1w1)︸ ︷︷ ︸
v3w3
= (v21 + v
2
2 + v3w3)w3.
Pelas contas que fizemos acima, mostramos que u′ × v = w |v|2, enta˜o basta toma
u′
|v|2 = u. Usamos aqui tambe´m que v 6= 0.
b Propriedade 5. Sejam u, v aplicac¸o˜es diferencia´veis em um intervalo real I. Se valem
as identidades
u′(t) = au(t) + bv(t)
v′(t) = cu(t)− av(t), a, b, c ∈ R
enta˜o u(t)× v(t) e´ constante.
ê Demonstrac¸a˜o. Calculamos a derivada
[u(t)× v(t)]′ = u′(t)× v(t) + u(t)× v′(t) =
CAPI´TULO 1. PRODUTO VETORIAL 7
substituindo os valores dados na propriedade e usando distributividade temos
= au(t)× v(t) + b v(t)× v(t)︸ ︷︷ ︸
0
+c u(t)× u(t)︸ ︷︷ ︸
0
−au(t)× v(t) = 0
pois os termos no meio se anulam e os dos extremos se cancelam .
A propriedade da derivada de uma func¸a˜o f : I → Rn ser nula implicar que f e´
constante, segue da desigualdade do valor me´dio .
1.2 Anti-comutatividade
b Propriedade 6 (Anti-comutatividade). Sejam v, w ∈ R3. Vale a anti comutatividade
v × w = −w × v.
ê Demonstrac¸a˜o. Sejam v = (v1, v2, v3) , w = (w1, w1, w3), temos que
v × w =
∣∣∣∣∣∣∣∣
i j k
v1 v2 v3
w1 w2 w3
∣∣∣∣∣∣∣∣ = (v2w3 − v3w2, v3w1 − v1w3, v1w2 − v2w1)
w × v =
∣∣∣∣∣∣∣∣
i j k
w1 w2 w3
v1 v2 v3
∣∣∣∣∣∣∣∣ = (v3w2 − v2w3, v1w3 − v3w1, v2w1 − v1w2)
perceba agora olhando para coordenada dos vetores que v × w = −v × w .
$ Corola´rio 1. Como vale u×w = −w× u enta˜o u× u = −u× u⇒ 2u× u = 0v e por
isso u× u = 0v.
b Propriedade 7. Valem que
1.
e1 × e2 = e3
2.
e2 × e3 = e1
CAPI´TULO 1. PRODUTO VETORIAL 8
3.
e3 × e1 = e2.
Onde e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) sa˜o elementos da base canoˆnica de
R3.
ê Demonstrac¸a˜o.
e1 × e2 =
∣∣∣∣∣∣∣∣
i j k
1 0 0
0 1 0
∣∣∣∣∣∣∣∣ = (0, 0, 1) = e3.
e2 × e3 =
∣∣∣∣∣∣∣∣
i j k
0 1 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ = (1, 0, 0) = e3.
e3 × e1 =
∣∣∣∣∣∣∣∣
i j k
0 0 1
1 0 0
∣∣∣∣∣∣∣∣ = (0, 1, 0) = e2.
$ Corola´rio 2. Temos que
(e1 × e2)× e1 = e3 × e1 = e2,
ale´m disso
e1 × (e2 × e1) = −e1 × (e1 × e2) = −e1 × e3 = e3 × e1 = e2.
Logo a operac¸a˜o entre esses valores e´ associativa.
b Propriedade 8. O produto vetorial em geral na˜o e´ associativo, isto e´, dados a, b, c
pode valer que
(a× b)× c 6= a× (b× c).
CAPI´TULO 1. PRODUTO VETORIAL 9
ê Demonstrac¸a˜o. Tomamos por exemplo a = (1, 0, 0), b = (1, 1, 0) e c = (1, 1, 1).
Temos que
a× b =
∣∣∣∣∣∣∣∣
i j k
1 0 0
1 1 0
∣∣∣∣∣∣∣∣ = (0, 0, 1),
da´ı
(a× b)× c =
∣∣∣∣∣∣∣∣
i j k
0 0 1
1 1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ = (−1, 1, 0),
ale´m disso
(b× c)× c =
∣∣∣∣∣∣∣∣
i j k
1 1 0
1 1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ = (1,−1, 0),
da´ı
a× (b× c) =
∣∣∣∣∣∣∣∣
i j k
1 0 0
1 −1 0
∣∣∣∣∣∣∣∣ = (0, 0,−1).
Portanto a× (b× c) = (0, 0,−1) e (a× b)× c = (−1, 1, 0), que sa˜o distintos, possuem
mo´dulos e direc¸o˜es diferentes.
b Propriedade 9. Sejam v1, v2, w ∈ R3 , c1, c2 constantes reais , enta˜o vale
(c1v1 + c2v2)× w = c1(v1 × w) + c2(v2 × w).
ê Demonstrac¸a˜o.
b Propriedade 10. u× v = 0⇔ u‖v.
ê Demonstrac¸a˜o.
1.3 Produto misto
m Definic¸a˜o 3 (Produto misto). Dados u, v, w em R3, definimos o produto misto
denotado por [u, v, w] como
[u, v, w] =< u× v, w > .
CAPI´TULO 1. PRODUTO VETORIAL 10
b Propriedade 11. Vale que
[u, v, w] =< u, v × w > .
ê Demonstrac¸a˜o.
u× v =
∣∣∣∣∣∣∣∣
i j k
u1 u2 u3
v1 v2 v3
∣∣∣∣∣∣∣∣ = (u2v3 − u3v2, u3v1 − u1v3, u1v2 − u2v1)
< u× v, w >=
= u2v3w1︸ ︷︷ ︸
−b
−u3v2w1︸ ︷︷ ︸
c
+u3v1w2︸ ︷︷ ︸
d
−u1v3w2︸ ︷︷ ︸
−e
+u1v2w3︸ ︷︷ ︸
a
−u2v1w3︸ ︷︷ ︸
−g
.
Agora
v × w =
∣∣∣∣∣∣∣∣
i j k
v1 v2 v3
w1 w2 w3
∣∣∣∣∣∣∣∣ = (v2w3− v3w2, v3w1 − v1w3, v1w2 − v2w1)
< v × w, u >=
= u1v2w3︸ ︷︷ ︸
a
−u1v3w2︸ ︷︷ ︸
−e
+u2v3w1︸ ︷︷ ︸
b
−u2v1w3︸ ︷︷ ︸
−g
+u3v1w2︸ ︷︷ ︸
d
− u3v2w1︸ ︷︷ ︸
−b
,
comparando os termos, percebemos que sa˜o iguais .
b Propriedade 12 (Permutac¸a˜o circular). Vale que
[u1, u2, u3] = [u3, u1, u2],
isto e´, podemos ’rodar’ os termos .
ê Demonstrac¸a˜o.
[u1, u2, u3] =< u1, u2×u3 >= − < u1, u3×u2 >= − < u1×u3, u2 >=< u3×u1, u2 >= [u3, u1, u2].
CAPI´TULO 1. PRODUTO VETORIAL 11
1.3.1 < u× v, u >=< u× v, v >= 0.
b Propriedade 13.
< u× v, u >=< u× v, v >= 0.
ê Demonstrac¸a˜o. Sejam u = (v1, v2, v3) , v = (w1, w1, w3), temos que
u× v =
∣∣∣∣∣∣∣∣
i j k
v1 v2 v3
w1 w2 w3
∣∣∣∣∣∣∣∣ = (v2w3 − v3w2, v3w1 − v1w3, v1w2 − v2w1)
tomando produto interno com u = (v1, v2, v3) segue que
< u× v, u >=
= v2w3v1︸ ︷︷ ︸
a
− v1v3w2︸ ︷︷ ︸
b
+ v2v3w1︸ ︷︷ ︸
c
− v2v1w3︸ ︷︷ ︸
a
+ v3v1w2︸ ︷︷ ︸
b
− v3v2w1︸ ︷︷ ︸
c
= 0,
do mesmo modo
< u× v, v >=
= v2w3w1︸ ︷︷ ︸
a′
− v3w2w1︸ ︷︷ ︸
b′
+ v3w1w2︸ ︷︷ ︸
b′
− v1w3w2︸ ︷︷ ︸
c′
+w3v1w2︸ ︷︷ ︸
c′
−w3v2w1︸ ︷︷ ︸
a′
= 0
b Propriedade 14.
|u× v| = |u||v|sen(θ)
onde θ ∈ [0, pi] tal que cos(θ) = < v,w >|v||w| e´ o aˆngulo entre os vetores.
ê Demonstrac¸a˜o. Basta mostrar que
|u× v|2+ < u, v >2= |u|2|v|2.
b Propriedade 15. Vale que
(u× v)× w =< u,w > v− < v,w > u.
ê Demonstrac¸a˜o.
Basta notar que (u× v)×w e < u,w > v− < v,w > u sa˜o formas trilineares, logo sa˜o
iguais se assumem mesmo valor na base.
CAPI´TULO 1. PRODUTO VETORIAL 12
m Definic¸a˜o 4 (Bases de mesma orientac¸a˜o). Duas bases de Rn, f = {f1, · · · , fn}, g =
{g1, · · · , gn} definem a mesma orientac¸a˜o quando o determinante da matriz de mudanc¸a
de base e´ positivo. Escrevemos
g1 = a1 1f1 + · · ·+ a1 nfn
...
gn = an 1f1 + · · ·+ an nfn
a matriz de mudanc¸a de base e´
a11 · · · a1n
...
...
...
an1 · · · ann
 .
A matriz de mudanc¸a de base e´ sempre na˜o nula. Se f e g possuirem a mesma
orientac¸a˜o , denotaremos tal fato por f ∼ g.
b Propriedade 16. ∼ e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia.
ê Demonstrac¸a˜o.
$ Corola´rio 3. Como o determinante da matriz de mudanc¸a de base na˜o e´ nulo, existem
apenas duas classes definidas pela relac¸a˜o de equivaleˆncia.
$ Corola´rio 4. Existem apenas duas orientac¸o˜es em Rn.
m Definic¸a˜o 5 (Orientac¸a˜o positiva). Definimos a orientac¸a˜o positiva de Rn como
aquela gerada pelos vetores canoˆnicos. A outra orientac¸a˜o e´ chamada de orientac¸a˜o ne-
gativa.
b Propriedade 17 (Derivac¸a˜o do produto vetorial). Vale que
(v × u)′ = v′ × u+ v × u′.
ê Demonstrac¸a˜o.
CAPI´TULO 1. PRODUTO VETORIAL 13
$ Corola´rio 5. Vale a regra da derivada do produto, logo vale a fo´rmula de integrac¸a˜o
por partes.
Z Exemplo 1. A base {(1, 2), (4, 2)} de R2 e´ positiva?
Escrevemos
(1, 3) = 1(1, 0) + 3(0, 1)
(4, 2) = 4(1, 0) + 2(0, 1)
a matriz de mudanc¸a de base fica como
 1 3
4 2

cujo determinante e´ −10 logo essa base na˜o e´ positiva.
Z Exemplo 2. A base {(1, 3, 5), (2, 3, 7), (4, 8, 3)} de R3 e´ positiva? Escrevemos
(1, 3, 5) = 1(1, 0, 0) + 3(0, 1, 0) + 5(0, 0, 1)
(2, 3, 7) = 2(1, 0, 0) + 3(0, 1, 0) + 7(0, 0, 1)
(4, 8, 3) = 4(1, 0, 0) + 8(0, 1, 0) + 3(0, 0, 1)
a matriz de mudanc¸a de base fica como
1 3 5
2 3 7
4 8 3

cujo determinante e´ 39, logo a base e´ positiva.
b Propriedade 18. Considere um plano P em R3 dado pela equac¸a˜o
ax+ by + cz = d
enta˜o o vetor (a, b, c) e´ normal ao plano.
CAPI´TULO 1. PRODUTO VETORIAL 14
ê Demonstrac¸a˜o. Seja (x1, y1, z1) um ponto qualquer do plano, enta˜o a reta
(x1, y1, z1)+ t(a, b, c) corta o plano em apenas um ponto, pois substituindo na equac¸a˜o do
plano, tem-se
ax1 + by1 + cz1︸ ︷︷ ︸
=d
+t(a2 + b2 + c2) = d⇒ t(a2 + b2 + c2) = 0⇒ t = 0
logo o u´nico ponto de tal reta no plano e´ (x1, y1, z1). Agora tomamos um ponto (x2, y2, z2)
distinto do primeiro tomado, e o vetor no plano
(x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1)
vamos mostrar que tal vetor forma aˆngulo reto com (a, b, c) por meio do produto escalar
< (a, b, c), (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1) >= ax2 + bx2 + cx2︸ ︷︷ ︸
=d
− (ax1 + bx1 + cx1)︸ ︷︷ ︸
d
= 0
portanto (a, b, c) e´ normal ao plano.
b Propriedade 19. A distaˆncia do plano ax+ by + cz = d ate´ a origem e´ dada por
|d|√
a2 + b2 + c2
.
ê Demonstrac¸a˜o. Tomamos a reta que passa pela origem e tem vetor diretor
(a, b, c)
r(t) = (0, 0, 0) + t(a, b, c) = t(a, b, c)
encontraremos o valor de t em que a reta intersecta o plano, substituindo na equac¸a˜o do
plano
t(a2 + b2 + c2) = d⇒ t = d
a2 + b2 + c2
enta˜o o ponto de intersecc¸a˜o e´ A =
(da, db, dc)
a2 + b2 + c2
calculando a distaˆncia desse ponto ate´ a
origem
d(A,O) =
√
d2a2
(a2 + b2 + c2)2
+
d2b2
(a2 + b2 + c2)2
+
d2c2
(a2 + b2 + c2)2
=
|d|√
a2 + b2 + c2
.
Essa deve ser a menor distaˆncia, pois se a reta partindo da origem fizesse um aˆngulo dife-
rente do aˆngulo reto, intersectando o plano num ponto P1, podemos tomar um triaˆngulo
retaˆngulo onde d(P,O) seria um cateto, Op1 seria a hipotenusa do triaˆngulo, da´ı seu
comprimento seria maior que d(A,O), justificado pelo teorema de Pita´goras
d(P1, O)
2 = d(A, 0)2 + d(A,P1)
2.
CAPI´TULO 1. PRODUTO VETORIAL 15
b Propriedade 20. O aˆngulo θ entre dois planos pi1 e pi2 que possuem vetores normais
v1 e v2 respectivamente e´ dado por
cos(θ) =
< v1, v2 >
|v1||v2| .
ê Demonstrac¸a˜o. Seja α o aˆngulo entre os vetores normais e β o aˆngulo entre
os planos, formamos um quadrila´tero ABCD, onde A e´ ponto de encontro das retas que
passam por pontos B ∈ pi1 C ∈ pi2 dos planos e tem direc¸a˜o do vetor normal a cada
plano , D um ponto da intersecc¸a˜o entre os planos. O aˆngulo em D̂ = θ e´ o aˆngulo entre
os planos, os aˆngulos B̂ e Ĉ sa˜o retos, o aˆngulo em  e´ α. Como a soma dos aˆngulos
internos de um quadrila´tero deve ser 360◦ enta˜o θ+α = 180◦, α = 180◦− θ da´ı segue que
cos(θ) = cos(α) por trigonometria.
$ Corola´rio 6. Dados os planos a1x + b1y + c1z = d1 e a2x + b2y + c2z = d2, enta˜o o
aˆngulo e´ dado por
cos(θ) =
a1a2 + b1b2 + c1c2√
a21 + b
2
1 + c
2
1
√
a22 + b
2
2 + c
2
2
.
Z Exemplo 3. Calcular o aˆngulo de intersecc¸a˜o entre os planos
5x+ 3y + 2z = 4, 3x+ 4y − 7z = 0.
cos(θ) =
13√
38
√
74
.
b Propriedade 21. Dados os planos a1x+ b1y + c1z = d1 e a2x+ b2y + c2z = d2 enta˜o
uma condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para que eles sejam paralelos e´ que
a1
a2
=
b1
b2
=
c1
c2
.
ê Demonstrac¸a˜o. Os planos sa˜o paralelos⇔ os vetores normais ao plano possuem
a mesma direc¸a˜o, isto e´, sa˜o mu´ltiplos, da´ı existe k, tal que
(a1, b1, c1) = k(a2, b2, c2).
b Propriedade 22. Se P = (x, y, z) satisfaz
< (P − P1)× (P − P2), P − P3 >= 0
CAPI´TULO 1. PRODUTO VETORIAL 16
onde P1, P2 e P3 sa˜o pontos distintos na˜o colineares, enta˜o x pertence ao plano determinado
por esses pontos.
ê Demonstrac¸a˜o. Se P pertence a reta que passa por P1 e P2 enta˜o os vetores
(P − P1) e (P − P2) sa˜o colineares e o produto vetorial e´ nulo, resultando num produto
escalar nulo, caso contra´rio sa˜o vetores linearmente independentes no plano e seu produto
vetorial gera um vetor normal ao plano, cujo produto escalar com um vetor do plano
P − P3 e´ nulo.
b Propriedade 23. Dados dois planos paralelos a1x+b1y+c1z = d1 e a2x+b2y+c2z = d2
ê Demonstrac¸a˜o.
1.3.2 Fo´rmula de Lagrange
b Propriedade 24 (Fo´rmula de Lagrange). Vale que
a× (b× c) = b < a, c > −c < b, a > .
ê Demonstrac¸a˜o.
m Definic¸a˜o 6 (Vetores rec´ıprocos). Dados treˆs vetores na˜o-coplanares a1, a2 e a3, os
vetores
ak =
ak+1 × ak+2
< a1, a2 × a3 >
sa˜o chamados de vetores rec´ıprocos . Estamos denotando aqui a4 = a1, a5 = a2,
a6 = a3, etc .
b Propriedade25. Vale que
< ak, aj >= δ(k, j),
onde δ(k, k) = 1 e δ(k, j) = 0, k 6= j e´ o delta de kronecker.
CAPI´TULO 1. PRODUTO VETORIAL 17
ê Demonstrac¸a˜o.
Suponha primeiro que j 6= k, enta˜o
< ak, aj >=<
ak+1 × ak+2
< a1, a2 × a3 >, aj >,
sendo que, como k 6= j enta˜o aj = ak+1 ou ak+2, segue que < ak+1× ak+2, aj >= 0 por
propriedade que ja´ mostramos do produto misto .
Agora se k = j, tem-se
< ak, ak >=<
ak+1 × ak+2
< a1, a2 × a3 >, ak >=
1
[a1, a2, a3]
[ak, ak+1, ak+2]
permutamos os elementos em [ak, ak+1, ak+2] ate´ que coincidam com [a1, a2, a3], o que
e´ poss´ıvel pois k ∈ {3, 2, 1}.
b Propriedade 26. Dado um vetor V , sendo a1, a2, a3 ∈ R3 na˜o coplanares, enta˜o
V =
3∑
k=1
< V, ak > ak,
V =
3∑
k=1
< V, ak > a
k.
ê Demonstrac¸a˜o. Como a1, a2, a3 sa˜o na˜o coplanares, formam uma base de R3,
enta˜o qualquer vetor V pode ser escrito como
V = c1a2 + c2a2 + c3a3 =
3∑
k=1
ckak,
aplicamos o produto interno < aj, >
< V, aj >=
3∑
k=1
ck < ak, a
j >= cj
1︷ ︸︸ ︷
< aj, a
j > = cj,
enta˜o cj =< V, a
j > em V =
3∑
k=1
ckak, onde usamos que < ak, a
j >= 0, j 6= k e
< aj, a
j >= 1 o que cancela todos os termos do somato´rio menos com j = k.
Vamos mostrar que {a1, a2, a3} e´ um conjunto LI . Suponha enta˜o
c1a
1 + c2a
2 + c3a
3 = 0,
CAPI´TULO 1. PRODUTO VETORIAL 18
aplicando < a1, > tem-se
c1 < a
1, a1 >= 0 = c1,
aplicando < a2, > segue
c2 < a2, a
2 >= 0 = c2,
finalmente c3 deve ser nulo tambe´m, enta˜o {a1, a2, a3} e´ um conjunto LI e da´ı base de
R3, por isso qualquer vetor V de R3 pode ser escrito como
V = c1a
1 + c2a
2 + c3a
3,
aplicando < a1, >,< a2, >, < a3, > tem-se respectivamente,
< V, a1 >= c1, < V, a2 >= c2, < V, a3 >= c3,
de onde segue que
V =
3∑
k=1
< V, ak > a
k.
m Definic¸a˜o 7 (Componentes covariantes e contravariantes de um vetor). Definimos a
componente covariante de um vetor V como
Vj =< V, aj >,
e sua componente contravariante como
V j =< V, aj > .
Definimos tambe´m
gij =< ai, aj >
gij =< ai, aj > .
b Propriedade 27. Valem que
1.
V j =
3∑
k=1
Vkg
ij
CAPI´TULO 1. PRODUTO VETORIAL 19
2.
Vj =
3∑
k=1
V kgij.
ê Demonstrac¸a˜o.
1. Da identidade que provamos
V =
3∑
k=1
< V, ak > ak,
usando as notac¸a˜o que definimos, tem-se
V =
3∑
k=1
V kak,
aplicando < aj, > segue
< V, aj >= V j,
usamos agora V =
3∑
k=1
Vk︷ ︸︸ ︷
< V, ak >a
k, no lugar de V na identidade anterior temos
3∑
k=1
Vk
gkj︷ ︸︸ ︷
< ak, aj > = V j
portanto
3∑
k=1
Vkg
kj = V j.
2. Da identidade que provamos
V =
3∑
k=1
< V, ak > a
k,
mudando para a notac¸a˜o definida segue
V =
3∑
k=1
Vka
k,
aplicando < aj, > temos
< V, aj >= Vj,
CAPI´TULO 1. PRODUTO VETORIAL 20
usando agora V =
3∑
k=1
V k︷ ︸︸ ︷
< V, ak >ak, no lugar de V na identidade anterior tem-se
3∑
k=1
V k
gjk︷ ︸︸ ︷
< aj, ak > = Vj,
portanto
3∑
k=1
V kgjk = Vj.
b Propriedade 28. Vale que
< V, V >=
3∑
j=1
V jVj =
3∑
j=1
3∑
t=1
VjVtg
tj =
3∑
j=1
3∑
k=1
V jV kgjk.
ê Demonstrac¸a˜o. Ja´ mostramos que
V j =
3∑
t=1
Vtg
tj,
usamos tal identidade em
3∑
j=1
V jVj =
3∑
j=1
Vj
3∑
t=1
Vtg
tj =
3∑
j=1
3∑
t=1
VjVtg
tj,
agora usamos na mesma equac¸a˜o outra identidade que ja´ mostramos
Vj =
3∑
k=1
V kgjk
3∑
j=1
V jVj =
3∑
j=1
V j
3∑
k=1
V kgjk =
3∑
j=1
3∑
k=1
V jV kgjk,
falta enta˜o mostrar que
< V, V >=
3∑
j=1
V jVj
isso segue das identidades
V =
3∑
k=1
V kak =
3∑
j=1
Vja
j,
CAPI´TULO 1. PRODUTO VETORIAL 21
substituindo no produto interno, segue
< V, V >=
3∑
k=1
3∑
j=1
V kVj < ak, a
j >=
3∑
j=1
V jVj,
onde usamos a propriedade de < aj, a
j >= 1 e < ak, a
j >= 0 caso contra´rio . Com tais
identidades temos o que quer´ıamos mostrar .