Aula 6 Limites fundamentais Derivada.OK

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24/03/2013 
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Ana Cristina Silva Matos 
Limites Infinitos e fundamental. 
24/03/2013 
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Limites envolvendo Funções Limitadas 
Limites Fundamentais 
Notamos que o gráfico está "preso" 
entre duas retas paralelas ao eixo x. 
Dessa maneira, 
 
 11,fIm 
senx)x(f 
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3 
1
0

 x
senx
lim
x
Limites Fundamentais 
x senx senx/x 
0,5 0,479425538 0,958851077 
0,4 0,389418342 0,973545855 
0,3 0,295520206 0,985067355 
0,2 0,198669330 0,993346654 
0,1 0,099833416 0,998334166 
0,01 0,009999833 0,999983333 
0,001 0,000999999 0,999999833 
01. 
     






x
yy = sin(x)/x
     






x
yy = sin(2x)/(2x)
     






x
yy = sin(8x)/(8x)
     






x
yy = sin(28x)/(28x)
Observe o gráfico da função na vizinhança do zero. 
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Aplicações: 
 
a) 
?
2
lim
0

 x
xsen
x
 
 b) 
?
5
3
lim
0

 xsen
xsen
x
?
.2
lim
2
2
0

 x
xtg
x ?
cos1
lim
20


 x
x
x
 
 c) 
 
 d) 
02. 
e
x
1
1lim
x
x








e = 2,71828 
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5 
Aplicações: 
?
x
1
1lim
x2
x








a) 
b) 
?
x
lim
x
x








3
1
?
1x
x
lim
x
x







c) 
?
x
lim
x
x








1
1
?
x
x
lim
x
x








 1
1
d) 
e) 
  ?x1lim x/1
0x


f) 
f) Faça uma mudança de variável x = 1/t 
 t→+∞ 
e
x
1
1lim
x
x








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O conceito de Derivadas está 
intimamente ligado ao conceito de reta 
tangente a uma curva. 
A 
B 
 A tangente é 
determinada por sua 
inclinação (Coeficiente 
angular) e pelo ponto 
de tangência. 
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x
Y
P
Q


s
x
Y


P
Q s

)x(f
0x

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8 
x
Y
P


0
0
x-x
)f(x-f(x)
lim)('
0xx
xf


Interpretação Geométrica: A derivada de uma função f no ponto a 
fornece o coeficiente angular (inclinação) da reta tangente ao gráfico 
de f no ponto (a, f(a)). 
Dizemos que a derivada de uma função 
num ponto , denotada por , é igual 
ao limite 
0x
0f '(x )
0
0
0
x x
0
f(x) f(x )
f '(x ) lim
x x



se esse limite existe e é finito. 
 O limite considerado no cálculo do 
coeficiente angular da reta tangente e da 
taxa instantânea de variação de uma 
função nos leva à seguinte definição: 
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Y'
dy
dx
d
(f)
dx
xD f
Notações de 
f’(x) 
0
0
x-x
)f(x-f(x)
lim)('
0xx
xf


Determine a derivada das funções: 
1)() 2  xxfa
154)() 2  xxxfb
0
0
x-x
)f(x-f(x)
lim)('
0xx
xf


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DERIVADAS 
Resolva: Calcule as seguintes derivadas 
usando a definição 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
  x5xf 
  1x2xf 
  6x4xf 
  2xxf 2 
  3xxxf 2 
0
0
x-x
)f(x-f(x)
lim)('
0xx
xf


x
Y
P


0 0 0y f(x ) f '(x ) (x x )  
0
0
x-x
)f(x-f(x)
0xx
lim)x('f


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0 0 0y f(x ) f '(x ) (x x )  
Encontrar a equação da reta tangente 
ao gráfico da função 
no ponto de abscissa 
3( ) 3 1f x x x  
2.x  
Determine o coeficiente angular e a 
equação da reta tangente à curva y = x2 
no ponto P(2, 4) 
044  xy
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0x
0f(x )
0 0
0
1
y f(x ) (x x )
f '(x )
  
t
n
0f '(x ) 0
0 0
0
1
y f(x ) (x x )
f '(x )
  
Encontre a reta normal ao gráfico da 
função anterior. 
       








x
y
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Encontrar a equação da reta normal à 
reta tangente ao gráfico da função f(x) 
no ponto de abscissa 
63)( 2  xxxf
1x
           











x
y
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15 
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FLEMMING, Diva Maria. Cálculo A. São 
Paulo: Makron Books, 1992. 
LEITHOLD , Louis. O cálculo com 
Geometria Analítica , v. 1 . Harbra, 1976. 
STEWART, James. Cálculo. v. 1, 5 ed. São 
Paulo: Pioneira, 2005