Equações de 2º Grau##

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Equação do primeiro e segundo grau exercícios vestibular e teoria 
 
Equação do primeiro grau 
 
É definido como uma equação como toda e qualquer igualdade (=) 
que somente pode ser satisfeita para alguns valores que estejam agregados 
em seus domínios. 
 
Exemplos: 
 
3x – 4 = 2 à o número X que é desconhecido recebe o termo de 
incógnita. 
 
3y + 4 = 7 à o número Y que é desconhecido recebe o termo de 
incógnita. 
 
Desta forma acima, é impossível afirmar se a igualdade do problema 
é verdadeira ou falsa, pois os valores das incógnitas são desconhecidos. 
 
É possível verificar que as equações acima se tornam verdadeiras 
quando: 
 
x = 2, veja: 
 
3x – 4 = 2 
 
3x = 2 + 4 à 3x = 6 à x = 2 
 
y = 1, veja: 
 
3y = 7 – 4 à 3y = 3 à y = 1 
 
Assim os conjuntos são verdadeiros (V) e com soluções (S) = 2 e 1 
respectivamente 
 
Agora que foi definido o termo equação, pode-se definir o que é 
equação do primeiro grau, como toda equação que satisfaça a forma: 
 
ax + b = 0 
 
Onde, tem-se: 
 
a e b , são as constantes da equação, com a ≠ 0 (diferente de zero) 
 
Observe: 
 
4x + 10 = 1 
 
a = 4 
 
b = 10 >> constantes (4,10) 
 
3x – 6 = 0 
 
a = 3 
 
b = 6 >> constantes (3,6) 
 
Exercícios Equação primeiro grau 
 
1) (UFG – 2010 – 2ª Fase) Uma agência de turismo vende pacotes 
familiares de passeios turísticos, cobrando para crianças o equivalente a 2/3 
do valor para adultos. Uma família de cinco pessoas, sendo três adultos e 
duas crianças, comprou um pacote turístico e pagou o valor total de R$ 
8.125,00. Com base nessas informações, calcule o valor que a agência 
cobrou de um adulto e de uma criança para realizar esse passeio. Resp: 
adulto R$ 1.850,00 criança R$ 1.250,00 
 
2) Determine o valor de x na equação a seguir aplicando as técnicas 
resolutivas. 
 
a) 3 – 2 * (x + 3) = x – 18 Resp: x = 5 
b) 50 + (3x − 4) = 2 * (3x – 4) + 26 Resp: x = 28/3 
 
3) (PUC-PR) Durante determinado ano foram matriculados 100 novos 
alunos em um colégio. No mesmo ano, 15 alunos antigos trancaram a 
matrícula. Sabendo-se que, no final do ano, o número de alunos 
matriculados, em relação ao ano anterior, havia aumentado em 10%, o 
número de alunos ao final do ano era de: 
 
a) 8 alunos b) 10 alunos c) 12 alunos d) 14 alunos e) 15 alunos 
 
 
Equação segundo grau 
 
DEFINIÇÃO 
 
 
Uma equação do 2º grau com uma variável tem a forma: 
 
ax² + bx + c = 0 
 
onde os números reais a, b e c são os coeficientes da equação, sendo que a 
deve ser diferente de zero. Essa equação é também chamada de equação 
quadrática, pois o termo de maior grau está elevado ao quadrado 
 
x é a incógnita 
 
a, b, e c números reais, chamados de coeficientes. 
 
Na fórmula de Bhaskara utilizaremos somente os coeficientes. Veja: 
 
 
 
Exemplo: 
 
1º passo: determinar o valor do discriminante ou delta (?) 
? = b² – 4 * a * c 
? = (–2)² – 4 * 1 * (–3) 
? = 4 + 12 
? = 16 
 
2º passo 
 
 
Os resultados são x’ = 3 e x” = –1. 
 
Exercícios resolvidos equações do segundo Grau 
 
1) Uma tela retangular com área de 9600cm2 tem de largura uma vez e 
meia a sua altura. Quais são as dimensões desta tela? 
Se chamarmos de x altura da tela, temos que 1,5x será a sua largura. Sabemos 
que a área de uma figura geométrica retangular é calculada multiplicando-se 
a medida da sua largura, pela medida da sua altura. Escrevendo o enunciado 
na forma de uma sentença matemática temos: 
x . 1,5x = 9600 
Que pode ser expressa como: 
1,5x2 - 9600 = 0 
Note que temos uma equação do 2° grau incompleta, que como já vimos terá 
duas raízes reais opostas, situação que ocorre sempre que o coeficiente b é 
igual a zero. Vamos aos cálculos: 
 
As raízes reais encontradas são -80 e 80, no entanto como uma tela não pode 
ter dimensões negativas, devemos desconsiderar a raiz -80. 
Como 1,5x representa a largura da tela, temos então que ela será de 1,5 . 80 
= 120. Portanto: 
Esta tela tem as dimensões de 80cm de altura, por 120cm de largura. 
 
2) Resolva as equações do 2ºgrau abaixo: 
a) x² – 7x + 4 = 0 
 
 
 
b) 9y² – 12y + 4 = 0 
 
 
3) Resolva a seguinte equação fracionária do 2º grau. 
 
 
4) Comprei 4 lanches a um certo valor unitário. De outro tipo de 
lanche, com o mesmo preço unitário, a quantidade comprada foi igual 
ao valor unitário de cada lanche. Paguei com duas notas de cem reais e 
recebi R$ 8,00 de troco. Qual o preço unitário de cada produto? 
O enunciado nos diz que os dois tipos de lanche têm o mesmo valor unitário. 
Vamos denominá-lo então de x. 
Ainda segundo o enunciado, de um dos produtos eu comprei 4 unidades e do 
outro eu comprei x unidades. 
Sabendo-se que recebi R$ 8,00 de troco ao pagar R$ 200,00 pela mercadoria, 
temos as informações necessárias para montarmos a seguinte equação: 
4 . x + x . x + 8 = 200 
Ou então: 
 
Como x representa o valor unitário de cada lanche, vamos solucionar a 
equação para descobrimos que valor é este: 
 
As raízes reais da equação são -16 e 12. Como o preço não pode ser negativo, 
a raiz igual -16 deve ser descartada. Assim: 
O preço unitário de cada produto é de R$ 12,00. 
 
Exercícios equação 2º Grau 
 
1) O triplo do quadrado do número de filhos de Pedro é igual a 63 
menos 12 vezes o número de filhos. Quantos filhos Pedro tem? 
 
 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
2) Um dardo é lançado da origem, segundo um referencial dado, e percorre 
a trajetória de uma parábola. A função que representa essa parábola é y = -
x2 + 4x. Quais são as coordenadas do ponto no qual esse dardo atinge sua 
altura máxima? 
 
Resp: xv = 2 e yv = 4 
 
3) Na equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, os números a e c têm sinais 
contrários. Pode-se afirmar que: 
 
a) A equação tem duas raízes reais de sinais contrários. 
b) A equação tem duas raízes reais positivas. 
c) A equação tem duas raízes reais negativas. 
d) A equação pode não ter raízes reais. 
e) n.d.a. 
 
4) (PUCCAMP) Se v e w são as raízes da equação x2 + ax + b = 0, onde a e 
b são coeficientes reais, então v2 + w2 é igual a: 
a) a2 - 2b 
b) a2 + 2b 
c) a2 - 2b2 
d) a2 + 2b2 
e) a2 - b2 
 
 
 
EQUAÇÃO DO 2° GRAU 
A fórmula quadrática de Sridhara (Bhaskara) 
 
Mostraremos na sequência como o matemático Sridhara, obteve a Fórmula (conhecida 
como sendo) de Bhaskara, que é a fórmula geral para a resolução de equações do 
segundo grau. Um fato curioso é que a Fórmula de Bhaskara não foi descoberta por ele 
mas pelo matemático hindu Sridhara, pelo menos um século antes da publicação de 
Bhaskara, fato reconhecido pelo próprio Bhaskara, embora o material construído pelo 
pioneiro não tenha chegado até nós. 
O fundamento usado para obter esta fórmula foi buscar uma forma de reduzir a equação 
do segundo grau a uma do primeiro grau, através da extração de raízes quadradas de 
ambos os membros da mesma. 
 
Seja a equação: 
 
ax² + bx + c = 0 
 
onde os números reais a, b e c são os coeficientes da equação, sendo que a deve ser 
diferente de zero. Essa equação é também chamada de equação quadrática, pois o termo 
de maior grau está elevado ao quadrado 
 
Equação Completa do segundo grau 
 
Uma equação do segundo grau é completa, se todos os coeficientes a, b e c são 
diferentes de zero. 
 
Exemplos: 
 
1) 2 x² + 7x + 5 = 0 
2) 3 x² + x + 2 = 0 
 
o coeficiente a é diferente de zero. 
Exemplos: 
1) 4 x² + 6x = 0 
2) 3 x² + 9 = 0 
3) 2 x² = 0 
 
Resolução de equações completas do 2° grau 
 
Comovimos, uma equação do tipo: ax²+bx+c=0, é uma equação completa do segundo 
grau e para resolvê-la basta usar a fórmula quadrática (atribuída a Bhaskara), que pode 
ser escrita na forma: 
onde Δ=b²-4ac é o discriminante da equação.Para esse discriminante Δ, há três possíveis 
situações: 
 
1) Δ <> 0, há duas soluções reais e diferentes 
 
Mostraremos agora como usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação: 
 
x² - 5 x + 6 = 0 
 
1) Identificar os coeficientes: a=1, b= -5, c=6 
2) Escrever o discriminante Δ = b²-4ac. 
3) Calcular Δ=(-5)²-4×1×6=25-24=1 
4) Escrever a fórmula de Bhaskara: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. Calcular o discriminante de cada equação e analisar as raízes em cada caso: 
 
a) x² + 9 x + 8 = 0 (R:-1 e -8) 
b) 9 x² - 24 x + 16 = 0 (R:4/3) 
c) x² - 2 x + 4 = 0 (vazio) 
d) 3 x² - 15 x + 12 = 0 (R: 1 e 4) 
e) 10 x² + 72 x - 64 = 0 (R:-8 e 4/5) 
e) 5x² - 3x - 2 = 0 
f) x² - 10x + 25 = 0 
g) x² - x - 20 = 0 
h) x² - 3x -4 = 0 
i) x² - 8x + 7 = 0 
 
 
 
RESOLVA AS EQUAÇÕES DE 2º GRAU 
 
 
1) x² - 5x + 6 = 0 _____(R:2,3) 
2) x² - 8x + 12 = 0 ______(R:2,6) 
3) x² + 2x - 8 = 0______ (R:2,-4) 
4) x² - 5x + 8 = 0 ______(R:vazio) 
5) 2x² - 8x + 8 = 0_______ (R:2,) 
6) x² - 4x - 5 = 0_______ (R:-1, 5) 
7) -x² + x + 12 = 0_______ (R:-3, 4) 
8) -x² + 6x - 5 = 0_______ (R:1,5) 
9) 6x² + x - 1 = 0______ (R:1/3 , -1/2) 
10) 3x² - 7x + 2 = 0 ______(R:2, 1/3) 
11) 2x² - 7x = 15 _______(R:5, -3/2) 
12) 4x² + 9 = 12x______ (R:3/2) 
13) x² = x + 12 ______(R:-3 , 4) 
14) 2x² = -12x - 18 _____(R:-3 ) 
15) x² + 9 = 4x_____ (R: vazio) 
16) 25x² = 20x – 4 ____(R: 2/5) 
17) 2x = 15 – x² ______(R: 3 , -5) 
18) x² + 3x – 6 = -8____ (R:-1 , -2) 
19) x² + x – 7 = 5 ____(R: -4 , 3) 
20) 4x² - x + 1 = x + 3x² ___(R: 1) 
21) 3x² + 5x = -x – 9 + 2x²____ (R: -3) 
22) 4 + x ( x - 4) = x _____(R: 1,4) 
23) x ( x + 3) – 40 = 0 _____(R: 5, -8) 
24) x² + 5x + 6 = 0 _____(R:-2,-3) 
25) x² - 7x + 12 = 0 _____(R:3,4) 
26) x² + 5x + 4 = 0 _____(R:-1,-4) 
27) 7x² + x + 2 = 0 _____(vazio) 
28) x² - 18x + 45 = 0 _____(R:3,15) 
29) -x² - x + 30 = 0 _____(R:-6,5) 
30) x² - 6x + 9 = 0 _____(R:3) 
31) ( x + 3)² = 1_______(R:-2,-4) 
32) ( x - 5)² = 1_______(R:3,7) 
33)( 2x - 4)² = 0_______(R:2) 
34) ( x - 3)² = -2x²_______(R:vazio) 
 
35)Na equação 3x² - 12 = 0 as soluções são: 
a)0 e 1 
b)-1 e 1 
c)-2 e 2 (x) 
d)-3 e 3 
e)0 e 4 
 
36) x² + 3x - 28 = 0 (R: -7,4) 
37) 3x² - 4x + 2 = 0 (R: vazio) 
38) x² - 3 = 4x + 2 (R: -1,5) 
 
 
 
 
PROBLEMAS COM EQUAÇÃO DO 2° GRAU 
 
 
 
1) A soma de um numero com o seu quadrado é 90. Calcule esse numero. (R:9 e-10) 
 
2) A soma do quadrado de um número com o próprio número é 12. Calcule esse numero 
(R: 3 e -4) 
 
3) O quadrado menos o dobro de um número é igual a -1. Calcule esse número. (R:1) 
 
4) A diferença entre o quadrado e o dobro de um mesmo número é 80. Calcule esse 
número (R:10 e -8) 
 
5) O quadrado de um número aumentado de 25 é igual a dez vezes esse número. Calcule 
esse número (R: 5) 
 
6) A soma do quadrado de um número com o seu triplo é igual a 7 vezes esse número. 
Calcule esse número.(R: 0 e 4) 
 
7) O quadrado menos o quádruplo de um numero é igual a 5. Calcule esse número (R: 5 
e -1) 
 
8) O quadrado de um número é igual ao produto desse número por 3, mais 18. Qual é 
esse numero? (R: 6 e -3) 
 
9) O dobro do quadrado de um número é igual ao produto desse numero por 7 menos 3. 
Qual é esse numero? (R:3 e ½) 
 
10) O quadrado de um número menos o triplo do seu sucessivo é igual a 15. Qual é esse 
numero?(R: 6 e -3) 
 
11) Qual o número que somado com seu quadrado resulta em 56? (R:-8 e 7) 
 
12) Um numero ao quadrado mais o dobro desse número é igual a 35. Qual é esse 
número ? (R:-7 e 5) 
 
13) O quadrado de um número menos o seu triplo é igual a 40. Qual é esse número? 
(R:8 e -5) 
 
14) Calcule um número inteiro tal que três vezes o quadrado desse número menos o 
dobro desse número seja igual a 40. (R:4) 
 
15) Calcule um número inteiro e positivo tal que seu quadrado menos o dobro desse 
número seja igual a 48. (R:8) 
 
16) O triplo de um número menos o quadrado desse número é igual a 2. Qual é esse 
número? (R:1 e 2) 
 
17) Qual é o número , cujo quadrado mais seu triplo é igual a 40? ( R: 5 , -8) 
 
18) O quadrado de um número diminuido de 15 é igual ao seu dobro. Calcule esse 
número. 
(R: 5 e -3) 
 
19) Determine um número tal que seu quadrado diminuído do seu triplo é igual a 26. 
(R:7 e -4) 
 
20) Se do quadrado de um número, negativo subtraimos 7, o resto será 42. Qual é esse 
número? 
(R: -7) 
 
21) A diferença entre o dobro do quadrado de um número positivo e o triplo desse 
número é 77. Calcule o número. (R: 7) 
 
22) Determine dois números ímpares consecutivos cujo produto seja 143. (R: 11 e 13 ou 
-11, -13) 
 
23) Um azulejista usou 2000 azulejos quadrados e iguais para revestir 45m² de parede. 
Qual é a medida do lado de cada azulejo? (R:15 cm) 
 
 
 
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÃO 
INCOMPLETAS 
 
 
 
Resolver uma equação é determinar todas as suas soluções. Vejamos, através de 
exemplos, como se resolvem as equações incompletas do 2° grau 
 
1° CASO – equações da forma ax² + c = 0, (b = 0) 
 
Exemplos: 
 
1) x² - 25 = 0 
x² = 25 
x = √25 
x = 5 
logo V= (+5 e -5) 
 
2) 2x² - 18 = 0 
2x² = 18 
x² = 18/2 
x² = 9 
x = √9 
x = 3 
logo V= (-3 e +3) 
 
3) 7x² - 14 = 0 
7x² = 14 
x² = 14/7 
x² = 2 
x = √2 
logo V = (-√2 e +√2) 
 
4) x²+ 25 = 0 
x² = -25 
x = √-25 
obs: não existe nenhum número real que elevado ao quadrado seja igual a -25 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Resolva as seguintes equações do 2° grau 
 
a) x² - 49 = 0 (R: -7 e +7) 
b) x² = 1 (R: +1 e -1) 
c) 2x² - 50 = 0 (R: 5 e -5) 
d) 7x² - 7 = 0 (R: 1 e -1) 
e) 5x² - 15 = 0 (R: √3 e -√3) 
f) 21 = 7x² (R: √3 e -√3) 
g) 5x² + 20 = 0 (R: vazio) 
h) 7x² + 2 = 30 (R: 2 e -2 ) 
i) 2x² - 90 = 8 (R: 7 e -7) 
j) 4x² - 27 = x² (R:3 e -3) 
k) 8x² = 60 – 7x² (R: 2 e -2) 
l) 3(x² - 1 ) = 24 (R: 3 e -3) 
m) 2(x² - 1) = x² + 7 (R:3 e -3) 
n) 5(x² - 1) = 4(x² + 1) (R:3 e -3) 
o) (x – 3)(x + 4) + 8 = x (R:2 e -2) 
 
2° CASO: Equações da forma ax² + bx = 0 ( c = 0) 
 
Propriedade: Para que um produto seja nulo é preciso que um dos fatores seja zero . 
 
Exemplos 
 
1) resolver x² - 5x = 0 
fatorando x ( x – 5) = 0 
 
deixando um dos fatores nulo temos x = 0 
 
e o outro x – 5 = 0 , passando o 5 para o outro lado do igual temos x = 5 
 
logo V= (0 e 5) 
 
2) resolver: 3x² - 10x = 0 
fatorando: x (3x – 10) = 0 
 
deixando um dos fatores nulo temos x = 0 
 
Tendo também 3x – 10 = 0 
3x = 10 
x = 10/3 
 
logo V= (0 e 10/3) 
 
Observe que, nesse caso, uma das raízes é sempre zero. 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Resolva as seguintes equações do 2° grau. 
 
a) x² - 7x = 0 (R: 0 e 7) 
b) x² + 5x = 0 (R: 0 e -5) 
c) 4x² - 9x = 0 (R: 0 e 9/4) 
d) 3x² + 5x =0 (R: 0 e -5/3) 
e) 4x² - 12x = 0 (R: 0 e 3) 
f) 5x² + x = 0 (R: 0 e -1/5) 
g) x² + x = 0 (R: 0 e -1) 
h) 7x² - x = 0 (R: 0 e 1/7) 
i) 2x² = 7x (R: 0 e 7/2) 
j) 2x² = 8x (R: 0 e 4) 
k) 7x² = -14x (R: 0 e -2) 
l) -2x² + 10x = 0 (R: 0 e 5) 
 
2) Resolva as seguintes equações do 2° grau 
 
a) x² + x ( x – 6 ) = 0 (R: 0 e 3) 
b) x(x + 3) = 5x (R: 0 e 2) 
c) x(x – 3) -2 ( x-3) = 6 (R: 0 e 5) 
d) ( x + 5)² = 25 (R: 0 e -10) 
e) (x – 2)² = 4 – 9x (R:0 e -5) 
f) (x + 1) (x – 3) = -3 (R: 0 e 2) 
�������������	�
�������
� ���������
�
���������	
��
��
����	���	����	
��
��
���
 
1) Identifique os coeficientes de cada equação e diga se ela é completa ou não: 
a) 5x2 - 3x - 2 = 0 
b) 3x2 + 55 = 0 
c) x2 - 6x = 0 
d) x2 - 10x + 25 = 0 
 
2) Achar as raízes das equações: 
a) x2 - x - 20 = 0 x' = 5 e x'' = -4 
b) x2 - 3x -4 = 0 x' = 4 e x'' = -1 
c) x2 - 8x + 7 = 0 x' = 7 e x'' = 1 
 
3) Dentre os números -2, 0, 1, 4, quais deles são raízes da equação x2-2x-8= 0? 
4) O número -3 é a raíz da equação x2 - 7x - 2c = 0. Nessas condições, determine o valor 
do coeficiente c: 
 c = 15 
5) Se você multiplicar um número real x por ele mesmo e do resultado subtrair 14, você 
vai obter o quíntuplo do número x. Qual é esse número? 
 X = 7 ou -2 
6) Para quais valores de k a equação x² - 2x + k- 2 = 0 admite raízes reais e desiguais? 
 K < 3 
7) Determine o valor de p, para que a equação x² - (p - 1) x + p-2 = 0 possua raízes 
iguais. 
 P = 3 
8) Para quais valores de m a equação 3x² + 6x +m = 0 não admite nenhuma raiz real? 
 
 m > 3 
 9) Observe o seguinte problema: 
 Uma quadra de tênis tem a forma da figura, com perímetro de 64 m e área de 192 m2. 
 Determine as medidas x e y indicadas na figura.
�
Comprimento = 24m 
 Largura = 8m 
 
Exercícios de Equações de 2º Grau 
1) Identifique os coeficientes de cada equação e diga se ela é completa 
ou não: 
a) 5x2 - 3x - 2 = 0 
b) 3x2 + 55 = 0 
c) x2 - 6x = 0 
d) x2 - 10x + 25 = 0 
 
 
2) Achar as raízes das equações: 
a) x2 - x - 20 = 0 
b) x2 - 3x -4 = 0 
c) x2 - 8x + 7 = 0 
 
 
3) Dentre os números -2, 0, 1, 4, quais deles são raízes da equação x2-2x-
8= 0? 
 
 
4) O número -3 é a raíz da equação x2 - 7x - 2c = 0. Nessas condições, 
determine o valor do coeficiente c: 
 
 
5) Se você multiplicar um número real x por ele mesmo e do resultado 
subtrair 14, você vai obter o quíntuplo do número x. Qual é esse 
número?