corpos pdf

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Anotac¸o˜es sobre corpos.
Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡
Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ
rodrigo.uff.math@gmail.com
‡
21 de maio de 2013
1
Suma´rio
1 Corpos 3
1.1 Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Axiomas alge´bricos de um corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 Subcorpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Homomorfismo e Isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Construc¸a˜o de uma raiz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.5 Corpos de decomposic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.6 Extenso˜es normais e separa´veis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.7 Extenso˜es puramente insepara´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.8 Exemplos (revisar e rearranjar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2
Cap´ıtulo 1
Corpos
1.1 Corpos
1.2 Axiomas alge´bricos de um corpo
Definic¸a˜o 1 (Corpo). Um corpo e´ um conjunto K munido de duas operac¸o˜es, uma adic¸a˜o
+ e uma multiplicac¸a˜o × que satisfazem os axiomas que descreveremos a seguir (Chama-
dos axiomas de corpo1). Sejam x, y, z elementos quaisquer de K, que sera˜o chamados de
nu´meros.
Axiomas da adic¸a˜o
Axioma 1. Para cada par de nu´meros x e y corresponde um terceiro nu´mero z chamado
de soma de x e y e denotado por x+ y.
Axioma 2 (Existeˆncia de elemento neutro para adic¸a˜o). Existe 0 ∈ K tal que x+0 = x.
Axioma 3 (Comutatividade da adic¸a˜o). x+ y = y + x
Axioma 4 (Associatividade da adic¸a˜o). (x+ y) + z = x+ (y + z)
1Em ingleˆs e´ usada a palavra field para o que chamamos de corpo.
3
CAPI´TULO 1. CORPOS 4
Axioma 5 (Existeˆncia de inverso aditivo). Existe −x ∈ K tal que
x+ (−x) = 0.
O elemento −x e´ chamado sime´trico de x.
Definic¸a˜o 2 (Subtrac¸a˜o). Definimos a operac¸a˜o de subtrac¸a˜o como x− y := x+ (−y).
Axiomas da multiplicac¸a˜o
Axioma 6. Para cada par de nu´meros x e y corresponde um terceiro nu´mero z chamado
de produto de x e y e denotado por x.y.
Axioma 7 (Comutatividade da multiplicac¸a˜o). x.y = y.x.
Axioma 8 (Existeˆncia do elemento neutro multiplicativo). Existe 1 ∈ K tal que
1.x = x.
Axioma 9 (Associatividade da multiplicac¸a˜o).
(x.y).z = x.(y.z).
Axioma 10 (Existeˆncia do inverso multiplicativo). Para todo x 6= 0 ∈ K existe x−1 ∈ K
tal que
x.x−1 = 1.
Enfatizamos que 0−1 na˜o esta´ definido. Sempre que consideramos x−1, estaremos
supondo x 6= 0. O elemento x−1 e´ chamado inverso de x.
Observac¸a˜o 1. Como uma operac¸a˜o e´ definida como func¸a˜o, enta˜o podemos adicionar e
multiplicar de ambos lados de uma igualdade, sem alterar a igualdade. por exemplo, dado
c fixo no corpo, temos a func¸a˜o soma que faz Sc(x) = x+ c, se x = y enta˜o Sc(x) = Sc(y),
logo x+ c = y + c, o mesmo vale para o produto, temos Pc(x) = x.c func¸a˜o, da´ı se x = y
tem-se Pc(x) = Pc(y), isto e´, x.c = y.c.
CAPI´TULO 1. CORPOS 5
x = y ⇒ x+ c = y + c
x = y ⇒ x.c = y.c ∀ c ∈ K.
Definic¸a˜o 3 (Frac¸a˜o). Sendo x 6= 0 definimos a frac¸a˜o
y
x
= y.x−1
chamamos y de numerador e x de denominador da frac¸a˜o
y
x
.
Axioma 11 (Distributividade da multiplicac¸a˜o).
x(y + z) = xy + xz.
Esses sa˜o os axiomas da adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o num corpo.
Exemplo 1. Considerando Q,Z e N munidos de multiplicac¸a˜o e adic¸a˜o usuais.
ˆ O conjunto dos nu´meros racionais Q e´ um corpo.
ˆ O conjunto dos inteiros Z na˜o e´ um corpo, pois na˜o possui inverso multiplicativo
para todo elementos, por exemplo na˜o temos o inverso de 2.
ˆ O conjunto dos nu´meros naturais na˜o e´ um corpo, pois na˜o possui sime´trico para
cada elemento contido nele.
Exemplo 2. O conjunto dos polinoˆmios de coeficiente racionais Q[t] na˜o e´ um corpo, pois
por exemplo o elemento x na˜o possui inverso multiplicativo, se houvesse haveria
n∑
k=0
akx
k
tal que x
n∑
k=0
akx
k = 1 =
n∑
k=0
akx
k+1 o que na˜o e´ poss´ıvel pois o coeficiente do termo
independente x0 e´ zero em
n∑
k=0
akx
k+1 e deveria ser 1.
CAPI´TULO 1. CORPOS 6
Propriedade 1. SejamX um conjunto qualquer eK um corpo, enta˜o o conjunto F (X,K)
munido de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o de func¸o˜es e´ um anel comutativo com unidade, na˜o exis-
tindo inverso para todo elemento. Lembrando que em um anel comutativo com unidade
temos as propriedades, associativa, comutativa, elemento neutro e existeˆncia de inverso
aditivo, para adic¸a˜o. valendo tambe´m a comutatividade, associatividade, existeˆncia de
unidade 1 para o produto e distributividade que relaciona as duas operac¸o˜es.
Demonstrac¸a˜o.
ˆ Vale a associatividade da adic¸a˜o
((f + g) + h)(x) = (f(x) + g(x)) + h(x) = f(x) + (g(x) + h(x)) = (f + (g + h))(x)
ˆ Existe elemento neutro da adic¸a˜o 0 ∈ K e a func¸a˜o constante 0(x) = 0 ∀ x ∈ K, da´ı
(g + 0)(x) = g(x) + 0(x) = g(x).
ˆ Comutatividade da adic¸a˜o
(f + g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g + f)(x)
ˆ Existe a func¸a˜o sime´trica, dado g(x), temos f com f(x) = −g(x) e da´ı
(g + f)(x) = g(x)− g(x) = 0.
ˆ Vale a associatividade da multiplicac¸a˜o
(f(x).g(x)).h(x) = f(x).(g(x).h(x))
ˆ Existe elemento neutro da multiplicac¸a˜o 1 ∈ K e a func¸a˜o constante I(x) = 1 ∀ x ∈
K, da´ı
(g.I)(x) = g(x).1 = g(x).
ˆ Comutatividade da multiplicac¸a˜o
(f.g)(x) = f(x)g(x) = g(x)f(x) = (g.f)(x)
Por u´ltimo vale a distributividade (f(g + h))(x) = f(x)(g(x) + h(x)) = f(x)g(x) +
f(x)h(x) = (f.g + f.h)(x).
Na˜o temos inverso multiplicativo para toda func¸a˜o, pois dada uma func¸a˜o, tal que
f(1) = 0 e f(x) = 1 para todo x 6= 1 em K, na˜o existe func¸a˜o g tal que g(1)f(1) = 1,
pois f(1) = 0, assim o produto de f por nenhuma outra func¸a˜o gera a identidade.
CAPI´TULO 1. CORPOS 7
1.2.1 Subcorpo
Definic¸a˜o 4 (Subcorpo). Um conjunto A ⊂ K munido das operac¸o˜es +, × do corpo k
que satisfaz as propriedades
ˆ O elemento neutro da adic¸a˜o 0 pertence ao conjunto.
ˆ O elemento neutro da multiplicac¸a˜o 1 pertence ao conjunto.
ˆ A adic¸a˜o e´ fechada.
ˆ O produto e´ fechado.
ˆ Dado x ∈ A implica −x ∈ A.
ˆ Dado x 6= 0 ∈ A tem-se x−1 ∈ A.
Propriedade 2. Sejam K um corpo
P =
⋂
A⊂K | A e´ corpo
A.
Enta˜o P e´ corpo, sendo o menor subcorpo de K .
Demonstrac¸a˜o. Se K = {0} enta˜o P = {0} que e´ corpo . Considere enta˜o K um
corpo na˜o trivial.
Temos que mostrar os seguintes itens
ˆ O elemento neutro da adic¸a˜o 0 pertence ao conjunto.
ˆ O elemento neutro da multiplicac¸a˜o 1 pertence ao conjunto.
ˆ A adic¸a˜o e´ fechada.
ˆ O produto e´ fechado.
ˆ Dado x ∈ P implica −x ∈ P .
ˆ Dado x 6= 0 ∈ P tem-se x−1 ∈ P.
CAPI´TULO 1. CORPOS 8
As propriedades, associativida, comutatividade, distributividade, na˜o precisam ser de-
monstradas pois valem em subconjuntos de K.
Demonstrando os itens:
ˆ O elemento neutro da adic¸a˜o 0 pertence ao conjunto, pois 0 pertence a todos sub-
corpos, logo pertence a intersec¸a˜o dos subcorpos.
ˆ O elemento neutro da multiplicac¸a˜o 1 pertence ao conjunto, pois pertence a todos
subcorpos.
ˆ A adic¸a˜o e´ fechada. Dados x e y em P , enta˜o x e y pertence a todo subcorpo A ⊂ K,
portanto x+ y ∈ A qualquer e da´ı x+ y ∈ P.
ˆ O produto e´ fechado. Dados x e y em P , enta˜o x e y pertence a todo subcorpo
A ⊂ K, portanto x.y ∈ A qualquer e da´ı x.y ∈ P.
ˆ Dado x ∈ P implica −x ∈ P . Se x ∈ P enta˜o x pertence a todo subcorpo A e da´ı
−x ∈ A qualquer e portanto −x ∈ P.
ˆ Dado x 6= 0 ∈ P tem-se x−1 ∈ P. Se x ∈ P enta˜o x ∈ A para qualquer subcorpo A
de K e da´ı x−1 ∈ A qualquer enta˜o x−1 ∈ P .
P e´ o menor subcorpo pois dado qualquer subcorpo A ⊂ K temos A ⊂ P , pois A e´
um elemento da intersec¸a˜o
⋂
A⊂K | A e´corpo
A.
1.3 Homomorfismoe Isomorfismo
Definic¸a˜o 5 (Homomorfismo de corpos). Sejam A,B corpos. Uma func¸a˜o f : A → B
chama-se um homomorfismo quando se tem
f(x+ y) = f(x) + f(y)
f(x.y) = f(x).f(y)
f(1A) = 1B
para quaisquer x, y ∈ K. Denotaremos nesse caso as unidades 1A e 1B pelos mesmos
s´ımbolos e escrevemos f(1) = 1.
CAPI´TULO 1. CORPOS 9
Propriedade 3. Se f e´ homomorfismo enta˜o f(0) = 0.
Demonstrac¸a˜o. Temos
f(0 + 0) = f(0) + f(0) = f(0)
somando −f(0) a ambos lados segue
f(0) = 0.
Propriedade 4. Vale f(−a) = −f(a).
Demonstrac¸a˜o. Pois
f(a− a) = f(0) = 0 = f(a) + f(−a)
da´ı f(−a) = −f(a).
Corola´rio 1.
f(a− b) = f(a) + f(−b) = f(a)− f(b).
Propriedade 5. Se a e´ invert´ıvel enta˜o f(a) e´ invert´ıvel e vale f(a−1) = f(a)−1.
Demonstrac¸a˜o.
f(a.a−1) = f(1) = 1 = f(a).f(a−1)
enta˜o pela unicidade de inverso em corpos segue que f(a)−1 = f(a−1).
Propriedade 6. f e´ injetora.
Demonstrac¸a˜o. Sejam x, y tais que f(x) = f(y), logo f(x)− f(y) = 0, f(x− y) = 0,
se x 6= y enta˜o x− y seria invert´ıvel logo f(x− y) na˜o seria nulo, enta˜o segue que x = y.
Propriedade 7. f(A) e´ subcorpo de B.
Demonstrac¸a˜o.
ˆ A adic¸a˜o e´ fechada, dados a = f(x) e b = f(y) enta˜o a+ b ∈ f(A) pois
f(x+ y) = f(x) + f(y) = a+ b.
ˆ O produto e´ fechado, pois f(x.y) = f(x).f(y) = a.b.
CAPI´TULO 1. CORPOS 10
ˆ −a ∈ f(A) pois f(−x) = −f(x) = −a.
ˆ Se a 6= 0 enta˜o a−1 ∈ f(A) pois f(x−1) = f(x)−1, x 6= 0 pois se fosse x = 0 enta˜o
a = 0, logo x e´ invert´ıvel.
Propriedade 8. Se f e´ bijetora enta˜o a func¸a˜o inversa f−1 de f e´ um homomorfismo.
Demonstrac¸a˜o. Sejam a = f−1(x) e b = f−1(y).
ˆ f−1(1) = 1 pois f(1) = 1.
ˆ
f−1(x+ y) = f−1(f(a) + f(b)) = f−1(f(a+ b)) = a+ b = f−1(x) + f−1(y).
ˆ
f−1(x.y) = f−1(f(a).f(b)) = f−1(f(a.b)) = a.b = f−1(x).f−1(y).
Propriedade 9 (Composic¸a˜o de homomorfismo). A composic¸a˜o de homomorfismos e´ um
homomorfismo .
Demonstrac¸a˜o. Considere f : A → B e g : B → C homomorfismos enta˜o g ◦ f :
A→ C e´ um homomorfismo.
ˆ Vale g(f(1A)) = g(1B) = 1C .
ˆ g(f(x+ y)) = g(f(x) + f(y)) = g(f(x)) + g(f(y))
ˆ g(f(x.y)) = g(f(x).f(y)) = g(f(x)).g(f(y))
Definic¸a˜o 6 (Isomorfismo). Um Isomorfismo e´ um homomorfismo bijetor. Dois corpos
sa˜o ditos isomorfos se existir um isomorfismo entre eles. Para todos os efeitos dois corpo
isomorfos sa˜o considerados ideˆnticos.
Corola´rio 2. Se f e´ isomorfismo enta˜o f−1 e´ isomorfismo .
Definic¸a˜o 7 (Automorfismo). Um automorfismo de corpos e´ um isomorfismo do corpo
nele mesmo .
CAPI´TULO 1. CORPOS 11
Corola´rio 3. A composic¸a˜o de bijec¸o˜es e´ uma bijec¸a˜o, a composic¸a˜o de homomorfismo
e´ um homomorfismo, logo a composic¸a˜o de isomorfismos e´ um isomorfismo, em especial
a composic¸a˜o de automorfismo e´ um automorfismo .
Definic¸a˜o 8 (Homomorfismo caracter´ıstico-HC). Sejam D um domı´nio, P : Z → D
o u´nico homomorfismo de ane´is tal que P (1) = 1D . Chamamos P de homomorfismo
caracter´ıstico de D. Enta˜o
P (n) =
n∑
k=1
1D = n.1D
para qualquer n ∈ Z .
Propriedade 10. O nu´cleo de P e´ um ideal de Z.
Demonstrac¸a˜o. O nu´cleo de P , e´ o conjunto de nu´meros inteiros
ker(P ) = {x ∈ Z | x.1D = 0}.
Tal conjunto e´ um ideal de Z pois
ˆ 0 ∈ Ker(P ), pois 0.1D = 0.
ˆ Dados dois elementos x, y ∈ Ker(D) enta˜o x = x11D = 0, y = y1.1D = 0 logo
x+y = 0 = x11D+y11D =
x1∑
k=1
1D+
y1∑
k=1
1D =
x1∑
k=1
1D+
y1+x1∑
k=1+x1
1D =
y1+x1∑
k=1
1D = (x1+y1)1D
portanto x1 + y1 ∈ Ker(D).
ˆ Sendo x ∈ Ker(P ) e y ∈ Z tem-se x = x1.1D = logo y.x = y.0 = 0 = (y.x1).1D
Propriedade 11. P (Z) e´ subanel de D.
Demonstrac¸a˜o.
ˆ 0 ∈ P (Z) pois 0.1D = 0.
ˆ A soma e´ fechada . x, y ∈ P (Z) enta˜o
x1∑
k=1
1D +
y1∑
k=1
1D =
y1+x1∑
k=1
1D.
CAPI´TULO 1. CORPOS 12
ˆ 1D ∈ P (Z) pois 1.1D = 1D.
ˆ A multiplicac¸a˜o e´ fechada . x, y ∈ P (Z) enta˜o
x.y =
x1∑
k=1
y1∑
k=1
1D =
y1x1∑
k=1
1D.
ˆ Dado x ∈ P (Z) enta˜o −x ∈ P (Z), basta ver que
−n∑
k=1
1D +
n∑
k=1
1D = −
n∑
k=1
1D +
n∑
k=1
1D = 0.
Corola´rio 4. Como Z e´ um domı´nio principal, existe n0 ∈ Z com n0 ≥ 0 tal que
ker(P ) = I(n0) = n0Z.
Propriedade 12. Como D e´ um domı´nio enta˜o o nu´cleo de p e´ um ideal primo de Z.
Assim n0 = 0 ou n0 = p com p primo.
Demonstrac¸a˜o. Ker(P ) e´ primo, pois dados x, y ∈ Z tais que x.y ∈ Ker(P ) tem-se
x.y∑
k=1
1D = 0 =
x∑
k=1
1D
y∑
k=1
1D = 0
da´ı como D e´ domı´nio segue que x.1D ou y1D sa˜o nulos, o que prova que x ou y em
ker(P ).
Agora se o gerador do ideal fosse um nu´mero composto n0 = x.y enta˜o
n0∑
k=1
1D =
x∑
k=1
1D.
y∑
k=1
1D = 0
da´ı x ou y ∈ Ker(P ) o que compromete a minimalidade de n0, logo n0 e´ primo ou n0 = 0.
Corola´rio 5. Se n0 = 0, P e´ injetora (o nu´cleo so´ tem o elemento nulo) e D conte´m um
subanel isomorfo a` Z .
{n.1D, n ∈ Z} = P (Z) ⊂ D.
Vale n.1D 6= 0D∀n 6= 0.
Corola´rio 6. Caso n0 = p Para cada n ∈ Z por divisa˜o euclidiana de n por p , existem
q e r ∈ Z tais que n = pq + r, logo
n.1D = (qp+ r)1D = q(p1D) + r1D = r.1D
CAPI´TULO 1. CORPOS 13
enta˜o
P (Z) = {n1D, n ∈ Z} = {r1D, r ∈ [0, p− 1]N} = {01D, · · · , (p− 1)1D}.
Definic¸a˜o 9 (Caracter´ıstica de um domı´nio.). Seja D um domı´nio. Chamaremos o ge-
rador na˜o-negativo do nu´cleo do HC de caracter´ıstica de D. Dizemos que D e´ de carac-
ter´ıstica zero, quando ker{P} = {0}. Nesse caso D conte´m um subanel isomorfo a` Z.
Escrevemos car(D) = 0. Dizemos que D e´ de caracter´ıstica p, onde p e´ primo, quando
ker(P ) = P.Z nesse caso D conte´m um subanel isomorfo a` Zp, escrevemos car(D) = p.
Corola´rio 7. Todo corpo e´ um domı´nio, enta˜o a caracter´ıstica de um corpo e´ 0 ou p,
com p primo .
Definic¸a˜o 10 (Corpo de frac¸o˜es de um domı´nio). Para todo domı´nio D, podemos cons-
truir o seu corpo de frac¸o˜es Q(D), a` saber o conjunto
Q(D) = {a
b
| a, b ∈ D, b 6= 0}
onde
a
b
=
c
d
⇔ ad = bc.
Propriedade 13. Q(D) e´ um corpo com as operac¸o˜es
a
b
+
c
d
=
ad+ bc
bd
e
a
b
c
d
=
ac
bd
.
Propriedade 14. Q(D) e´ um corpo que tem as seguintes propriedades
1. D e´ um subanel de Q(D).
2. Se K e´ um corpo e D e´ um subanel de K enta˜o Q(D) e´ subcorpo de K. (Q(D) e´ o
menor corpo gerado por D.)
Demonstrac¸a˜o.
1. Seja a ∈ D enta˜o ∀b ∈ D, b 6= 0 temos ab
b
=
a
1
, identificamos a com
a
1
. A adic¸a˜o
e multiplicac¸a˜o de D correspondem a` adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o de Q(D), restritas a`s
frac¸o˜es com denominador 1D.
CAPI´TULO 1. CORPOS 14
2. .
Definic¸a˜o 11 (Corpo das func¸o˜es racionais com coeficientes num corpo.). Sejam K um
corpo e K[x] o domı´nio dos polinoˆmios com coeficiente em K. K(x), o corpo das func¸o˜es
racionais com coeficientes em K e´ definido como
k(x) = {f(x)
g(x)
| f(x), g(x) ∈ K[x]; g(x) 6= 0}
k(x) e´ o corpo das frac¸o˜es de k[x].
Definic¸a˜o 12 (Extensa˜o de corpos). Sejam K e L corpos. Dizemos que L e´ uma extensa˜o
de K ⇔ K e´ um subcorpo de L. Escrevemos L|K. Nesse caso K ⊂ L, K e´ um corpo
com as operac¸o˜es de L e 1k = 1L. L|K leˆ-se, extensa˜o L sobre K.
Exemplo 3. Sa˜o extenso˜es R|Q, C|Q, R|Q, C|R.
Propriedade 15. Seja a extensa˜o L|K enta˜o
car(L) = car(K).
Demonstrac¸a˜o. K e L sa˜o corpos logo 1 ∈ K, L e da´ı
n∑
k=1
1 ∈ K, L e assume o
mesmo valor em ambos para todo n ∈ N , da´ı ambos corpos tem a mesma caracter´ıstica,
pois se a soma se anula em um corpo tambe´m se anula em outro e se a soma na˜o se anular
em um dos corpos tambe´m na˜o se anula em outro pois assumem mesmo valor em ambos
corpos para todo n ∈ N .
Exemplo 4. Seja K um corpo. Sabemos que car(K) = 0 ou car(k) = p, onde p e´ um
natural primo. No primeiro caso k conte´m um domı´nio isomorfo a` Z, a` saber o domı´nio
D = {n.1K |n ∈Z}. Como K e´ um corpo , o corpo de frac¸o˜es de D e´ um subcorpo de K,
assim
K ⊃ Q(D) = { n.1K
m.1K
| n,m ∈ Z; m 6= 0} ' Q.
Propriedade 16. Omenor subcorpo deK e´Q(D) ' Q.No sentido que qualquer subcorpo
de K deve conter Q(D).
CAPI´TULO 1. CORPOS 15
Definic¸a˜o 13 (Corpo primo). Seja K um corpo, O corpo primo de K e´ o menor subcorpo
de K.
Exemplo 5. Quando car(K) = 0, m1k = 0 ⇔ m = 0 e o corpo primo de K e´
Q(D) = { n.1K
m.1K
| n,m ∈ Z; m 6= 0}.
Propriedade 17. Seja L|K uma extensa˜o de corpos. As operac¸o˜es de adic¸a˜o e multi-
plicac¸a˜o de L induzem em L uma estrutura de K-espac¸o vetorial. O multiplicac¸a˜o por
escalar do conjunto K, dada como cα onde c ∈ K e α ∈ L e a adic¸a˜o α + β usual de
elementos de L.
Definic¸a˜o 14 (Grau L|K). A dimensa˜o de L como K-espac¸o vetorial e´ chamada de grau
de L|K, denotamos [L : K] = dimk(L).
Definic¸a˜o 15 (Extenso˜es finitas). Seja L|K uma extensa˜o de corpos, dizemos que L|K
e´ extensa˜o finita quando [L : K] = c, c um nu´mero natural e denotamos [L : K] < ∞.
Caso contra´rio dizemos que L|K e´ extensa˜o infinita e denotamos [L : K] =∞.
Exemplo 6. Seja K um corpo, enta˜o K|K e´ uma extensa˜o finita, pois K e´ um K-espac¸o
vetorial de dimensa˜o 1, pois 1k e´ uma base para K.
Exemplo 7. C|R e´ uma extensa˜o finita, pois {1, i} gera C como um R-espac¸o vetorial e
ale´m disso e´ linearmente independente, logo e´ uma base.
Exemplo 8. [Q(
√
2 : Q] = 2 pois temos base {1,
√
2}.
Exemplo 9. (Exemplo de uma extensa˜o infinita)
Sendo K um corpo e x uma indeterminada sobre K, a extensa˜o K(x)|K e´ infinita,
pois {xk, k ∈ N} e´ linearmente independente sobre K, logo vale [K(x) : K] =∞.
Propriedade 18 (Multiplicatividade do grau). Sejam L|K e K|F extenso˜es finitas de
corpos, enta˜o L|F e´ extensa˜o finita e [L : F ] = [L : K][K : F ].
CAPI´TULO 1. CORPOS 16
Demonstrac¸a˜o. Seja L|KB = {ak|k ∈ In} uma base da extensa˜o L|K e K|FB =
{bs|s ∈ Im} uma base para a extensa˜o K|F . Vamos mostrar que
L|FB = {akbs|k ∈ In, s ∈ Im}
e´ uma base de L|F . Seja l ∈ L por L ser K espac¸o vetorial, existem kj ∈ K tal que
l =
n∑
j=1
ajkj
e como kj ∈ K e K e´ F -espac¸o vetorial, enta˜o existem f(s,j) ∈ F tal que
kj =
m∑
s=1
f(s,j)bs
logo
l =
n∑
j=1
aj
( m∑
s=1
f(s,j)bs
)
=
n∑
j=1
( m∑
s=1
f(s,j).bs.aj
)
=
n∑
j=1
m∑
s=1
f(s,j).(bs.aj)
assim podemos escrever l como combinac¸a˜o linear dos elementos {ajbs|j ∈ In, s ∈ Im}.
Vamos mostrar agora que e´ linearmente independente, suponha
0 =
n∑
j=1
(
m∑
s=1
f(s,k).bs)︸ ︷︷ ︸
kj∈K
.aj
como L|KB e´ linearmente sobre K, temos que ter
m∑
s=1
f(s,j).bs = 0
mas comoK|FB e´ linearmente independente sobre F segue que f(s,j) = 0 para todo s ∈ Im.
Assim segue que L|FB e´ uma base para L|F .
Propriedade 19. Se [L : F ] e´ finita enta˜o [L : K] e [K : F ] sa˜o finitas.
Demonstrac¸a˜o. Sejam as extenso˜es L|K e K|F . Supondo [L : F ] finita K ⊂ L
implica dimF K ≤ dimF L o que implica [K : F ] ≤ [L : F ]. Seja {ek, k ∈ Il} base de
L como F espac¸o vetorial L =
l∑
k=1
Fek ⊂
l∑
k=1
Kek ⊂ L onde a primeira soma e´ direta,
logo sabemos que {ek, k ∈ Il} gera L como K espac¸o vetorial da´ı dimK L ≤ l, isto e´,
[L : K] ≤ l, logo tambe´m e´ finita.
CAPI´TULO 1. CORPOS 17
Corola´rio 8. Sejam as extenso˜es L|K e K|F . [L : F ] e´ finita ⇔ [L : K] e [K : F ] sa˜o
finitas.
Propriedade 20. Seja M uma extensa˜o do corpo K . Se [M : K] = p, p primo, enta˜o
todo corpo L com K ⊂ L ⊂M , satisfaz L = K ou K = M .
Demonstrac¸a˜o. Por multiplicatividade do grau temos
[M : K] = p = [M : L] [L : K]
logo [M : L] = 1 ou [L : K] = 1, da´ı L = K ou L = M .
Definic¸a˜o 16 (Torre de corpos). Uma torre de corpos e´ uma sequeˆncia de corpos (Fk)
n
1
onde Fk+1|Fk. Uma torre e´ dita finita⇔ a sequeˆncia e´ finita, caso contra´rio ela e´ infinita.
Definic¸a˜o 17 (Adjunc¸a˜o). Sejam L|K uma extensa˜o de corpos e S tal que S ⊂ L. K[S]
e´ o menor anel contido em L contendo K∪S e e´ domı´nio por herdar propriedade do corpo
L. Dizemos que k[S] e´ o subanel de L obtido pela adjunc¸a˜o de S a` K.
K(S) e´ o menor corpo contido em L contendo K ∪ S, da mesma maneira K(S) e´ dito o
subcorpo de L obtido pela adjunc¸a˜o de S a` K.
Definic¸a˜o 18 (Compositum). Sejam E e F extenso˜es de K, se E e F esta˜o contidos em
um corpo L, denotamos por EF o menor subcorpo de L que conte´m E e F e o chamamos
de compositum de E e F em L. Se E e F na˜o sa˜o subconjuntos de um corpo L enta˜o na˜o
definimos o compositum.
O compositum de uma subfamı´lia arbitra´ria de subcorpos de um corpo L e´ o menor
subcorpo contendo todos os corpos da famı´lia ( Sendo no ma´ximo L ).
Tambe´m chamamos a extensa˜o EF |F de translac¸a˜o de E para F .
Definic¸a˜o 19. Seja K um subcorpo de E e (αk)
n
1 elementos de E denotamos por
K(α1, · · · , αn)
ou K(αk)
n
1 como o menor subcorpo de E contendo K e os elementos de (αk)
n
1 .
CAPI´TULO 1. CORPOS 18
Propriedade 21. K(α1, · · · , αn) e´ o corpo cujos elementos consistem em todos quocientes
da forma
f(α1, · · · , αn)
g(α1, · · · , αn)
onde f e g sa˜o polinoˆmios de n varia´veis com coeficientes em K e g(α1, · · · , αn) 6= 0.
Demonstrac¸a˜o.
Propriedade 22. Sejam L|K uma extensa˜o de corpos e α ∈ L, S = {α}, K[x] o domı´nio
dos polinoˆmios com coeficientes em K, enta˜o
K[α] = {f(α) | f(x) ∈ K[x]}
o menor subanel de L que conte´m K ∪ {α} e´ {f(α) | f(x) ∈ K[x]}, o conjunto dos
polinoˆmios com coeficientes em K aplicados em α.
Demonstrac¸a˜o.
Para qualquer f(x) =
n∑
k=0
akx
k emK[x] temos f(α) =
n∑
k=0
akα
k ∈ L. A = {f(α) | f(x) ∈
K[x]} e´ subanel de L que conte´m K ∪ {α}, conte´m α, pois f(x) = x ∈ K[x], da´ı
f(α) = α ∈ A , tambe´m conte´mK, pois dado a0 ∈ K temos o polinoˆmio f(x) = a0 ∈ K[x]
e da´ı f(α) = a0 ∈ A. O conjunto A e´ subanel pois 0 ∈ B, a soma e o produto sa˜o fechados
e o inverso aditivo pertence ao conjunto, as outras propriedades tambe´m se verificam,
temos uma soma abeliana, produto associativo e vale a propriedade distributiva. Para
qualquer subanel B de L que contenha K ∪ {α} tem-se
ˆ αn ∈ B ∀n ∈ N
ˆ a.αn ∈ B, com a ∈ K.
ˆ Logo
n∑
s=0
Kαs ⊂ A, da´ı A ⊂ B.
Logo todo anel de L que conte´m K ∪ {α} conte´m A, logo A e´ o menor subanel.
Corola´rio 9. K(α) e´ o menor subcorpo de L que conte´m L e K ∪ {α} e tem que conter
o domı´nio K[α], portanto K(α) conte´m o corpo de frac¸o˜es de K[α], isto e´,
CAPI´TULO 1. CORPOS 19
K(α) ⊃ Q(K[α]) = {f(α)
g(α)
| f(x), g(x) ∈ K[x], g(α) 6= 0} ⊂ K(α)
disso segue que
K(α) = {f(α)
g(α)
| f(x), g(x) ∈ K[x], g(α) 6= 0}
Definic¸a˜o 20 (Finitamente gerado). E e´ finitamente gerado sobre K, se existem elemen-
tos (αk)
n
1 em E, tais que E = K(αk)
n
1 .
Definic¸a˜o 21 (Elemento alge´brico ou transcendente sobre K). Seja L|K uma extensa˜o
de corpos e seja a ∈ L. a e´ dito alge´brico sobre K ⇔ existe f(x) ∈ K[x] \ {0} tal que
f(a) = 0, caso contra´rio a e´ transcedental sobre K.
Corola´rio 10. Se a e´ alge´brico sobre K, F |K extensa˜o, enta˜o a e´ alge´brico sobre F ,
pois existe P (x) ∈ K[x] tal que P (α) = 0, pore´m de K ⊂ F segue P (x) ∈ F [x], pois os
coeficientes em K tambe´m sa˜o elementos de F , logo a e´ alge´brico sobre F .
Corola´rio 11. Suponha a torre de corpos
K ⊂ K(α1) ⊂ K(α1, α2) ⊂ · · ·K(α1, · · · , αn)
cada elemento gerado pelo anterior pela adjunc¸a˜o de um u´nico elemento. Se cada αk e´
alge´brico sobre K enta˜o enta˜o cada αt+1 e´ alge´brico sobre K(α1, · · · , αt), da´ı cada degrau
e´ alge´brico e a torre e´ dita alge´brica.
Definic¸a˜o 22 (Polinoˆmio mı´nimo de a sobre K). Sejam L|K e a ∈ L alge´brico sobre K.
O polinoˆmio P (x) ∈ K[x] moˆnico irredut´ıvel tal que P (a) = 0 e´ o polinoˆmio mı´nimo de
a sobre K. Denotaremos tal polinoˆmio como Pa|K(x).
Exemplo 10. Todo α∈ K e´ alge´brico sobre K, com polinoˆmio mı´nimo x− α ∈ K[x].
Exemplo 11. i e´ alge´brico sobre Q e seu polinoˆmio mı´nimo sobre Q e´ x2 + 1 ∈ Q[x].
Exemplo 12. pi e e sa˜o nu´meros transcendentes sobre Q.
CAPI´TULO 1. CORPOS 20
Propriedade 23. Se P (x) ∈ K[x] tal que P (a) = 0 enta˜o Pa|K(x)|P (x).
Teorema 1 (Caracterizac¸a˜o de elementos alge´bricos). Sejam L|K uma extensa˜o de corpos
e α ∈ L. Temos que α e´ alge´brico sobre k ⇔ [K(α) : K] < ∞, nesse caso k(α) = k[α]
,[K(α) : K] = n, onde n = grau(P (x)) e P (x) ∈ K[x] e´ o polinoˆmio mı´nimo de α sobre
K.
Demonstrac¸a˜o.
⇒). Sejam P (x) o polinoˆmio mı´nimo de α sobre K, f(x) ∈ K[x] tal que f(α) 6= 0.
Enta˜o P (x) na˜o divide f(x) e da´ı existem g(x), h(x) em K[x] tais que
g(x)P (x) + h(x)f(x) = 1
disso segue que h(α)f(α) = 1, f(α) e´ invert´ıvel em K[α], que fica sendo na˜o apenas anel
pore´m corpo, por isso deve ser igual a` K(α).
As poteˆncias α0, · · · , αn−1 sa˜o LI sobre K, pois se na˜o
n−1∑
k=0
akα
k = 0 com coeficientes
na˜o todos nulos em K, da´ı g(x) =
n−1∑
k=0
akx
k e´ na˜o nulo e g(α) = 0 logo P (x) divide g(x),
o que e´ absurdo pois o primeiro possui grau maior.
Seja f(α) ∈ K[α] onde f(x) ∈ K[x] enta˜o existem polinoˆmios q(x), r(x) em K(x) tais
que ∂ R < n e f(x) = q(x)P (x) + r(x) enta˜o f(α) = r(α) e α0, · · · , αn−1 e´ base de k[α]
como espac¸o vetorial sobre K, logo [K(α) : K] = n.
⇐).
Supondo [k(α) : K] = n, tomamos A = {α0, · · · , αn}, A e´ linearmente dependente
sobre K, pois possui n+ 1 elementos, logo existe (ck)
n
0 em K nem todos nulos, tais que
n∑
k=0
ckα
k = 0
logo tomando f(x) =
n∑
k=0
ckx
k em K[x] temos f na˜o nulo e f(α) = 0, da´ı α e´ alge´brico
sobre K.
Corola´rio 12. Sejam L|K uma extensa˜o de corpos e α ∈ L. Temos que α e´ transcendente
sobre K ⇔ K(α)|K e´ extensa˜o infinita. Nesse caso K[a] 6= K(α).
CAPI´TULO 1. CORPOS 21
Exemplo 13. Seja α = 3
1
3 , estudamos a extensa˜o Q(α)|Q. Temos α3 = 2, α e´ raiz de
x3−2zinQ[x] que e´ irredut´ıvel pelo crite´rio de Eisenstein , da´ı [Q(α) : Q] = 3 e {1, α, α2}
e´ uma base de Q(α) sobre Q .
Propriedade 24. Sejam L|K um extensa˜o de corpos, α ∈ L. K(α, β) = K(S) onde
S = {α, β}. Vale que
K(α)(β) = K(α, β) = K(β)(α).
Demonstrac¸a˜o. Vale que α, β ∈ K(α, β) e K ⊂ K(α, β) logo K(α) ⊂ K(α, β) e
K(α)(β) ⊂ K(α, β). K(α)(β) e´ o menor subcorpo de L que conte´m K(α) ∪ {β} enta˜o
K(α)(β) ⊃ K(α) ∪ {β} ⊃ K ∪ {α, β}
logo K(α)(β) ⊃ K(α, β) pois K(α, β) e´ o menor subcorpo de L que conte´m K ∪ {α, β},
disso segue que K(α, β) = K(α)(β).
Como K(α, β) = K(β, α) = K(β, α) enta˜o
K(α)(β) = K(α, β) = K(β)(α).
Exemplo 14. Mostre que Q(
√
2 +
√
3) = Q(
√
2,
√
3) como temos
√
2,
√
3 ∈ Q(
√
2,
√
3)
segue
√
2 +
√
3 ∈ Q(
√
2,
√
3) logo Q(
√
2 +
√
3) ⊂ Q(
√
2,
√
3). Vamos mostrar que
√
2 e
√
3 ∈ Q(
√
2 +
√
3) .
Sendo α =
√
2+
√
3 temos
√
3 = α−
√
2⇒ 3 = α2−2
√
2α+2 logo 2
√
2α = α2−1⇒
√
2 =
α2 − 1
2α
∈ Q(α) e
√
3 = α−
√
2 ∈ Q(α) logo Q(
√
2 +
√
3) = Q(
√
2,
√
3).
O polinoˆmio mı´nimo de α sobre Q pode ser obtido da seguinte maneira, de
2
√
2α = α2 − 1⇒ 8α2 = α4 − 2α2 + 1⇒ α4 − 10α2 + 1 = 0
portanto α e´ alge´brico sobre Q e o polinoˆmio mı´nimo de α sobre Q e´ α4 − 10α2 + 1, pois
[Q(
√
2)(
√
3) : Q] = [Q(
√
2)(
√
3) : Q(
√
2)][Q(
√
2) : Q] = 2.2 = 4
pois
√
3 /∈ Q(
√
2) (mostre!).
Definic¸a˜o 23 (Extensa˜o simples). Seja L|K uma extensa˜o de corpos. Dizemos que L|K
e´ uma extensa˜o simples ⇔ ∃α ∈ L tal que L = K(α).
CAPI´TULO 1. CORPOS 22
Propriedade 25. Seja L|K uma extensa˜o de corpo. Se α, β ∈ L sa˜o alge´bricos sobre K,
enta˜o α± β, α.β e α
β
com β 6= 0 sa˜o alge´bricos sobre K, Desse modo
{α ∈ L|α e´ alge´brico sobre K}
e´ um subcorpo de L que conte´m K.
Demonstrac¸a˜o. Seja δ ∈ {α± β, α.β α
β
β 6= 0} enta˜o δ ∈ K(α, β) e
K ⊂ K(δ) ⊂ K(α, β).
Vamos mostrar que [K(α, β) : K] <∞ da´ı por multiplicatividade dos graus
[K(α, β) : K] = [K(α, β) : K(δ)] [K(δ) : K]
pelo que ja´ mostramos o fato de [K(α, β) : K] ser finito implica [K(α, β) : K(δ)] e
[K(δ) : K] finitos logo alge´bricos.
Sejam f , g ∈ K[x] os polinoˆmios mı´nimos de α e β sobre K, com graus m e n
respectivamente temos que
[K(α) : K] = m, [K(β) : K] = n.
f(x) ∈ K(x) ⊂ K(β)[x] e´ tal que f(α) = 0, logo α e´ alge´brico sobre K(β), sendo P
o polinoˆmio mı´nimo de α sobre K(β) de grau s, ele divide f(x) em K(β)[x] logo s ≤ m,
portanto [K(β)(α) : K(β)] = s ≤ m o grau e´ finito e a extensa˜o total [K(α, β) : K] = sn
e´ finita por multiplicatividade dos graus. Como a extensa˜o [K(α, β) : K] e´ finita ela e´
alge´brica.
Definic¸a˜o 24 (Fecho alge´brico de Q). Consideremos a extensa˜o de corpos C|Q. Chama-
mos de fecho alge´brico de Q ao subcorpo Q de C definido por
Q = {α ∈ C,α e´ alge´brico sobre Q}
Q e´ realmente corpo pela propriedade anterior. O conjunto dos nu´meros alge´bricos e´
um corpo.
Corola´rio 13.
Q ⊂ Q ⊂ C.
CAPI´TULO 1. CORPOS 23
Corola´rio 14. A extensa˜o Q|Q e´ infinita, pore´m e´ alge´brica .
Ela e´ infinita, pois supondo que fosse finita [Q : Q] = n, arranjamos um elemento que
na˜o e´ raiz de nenhum polinoˆmio com grau ≤ n, por exemplo xn+1 − 2 e´ irredut´ıvel sobre
Q, α sendo uma raiz desse polinoˆmio tem-se que [Q(α) : Q] = n + 1 e Q(α) ⊂ Q, logo
na˜o pode ser [Q : Q] = n.
Definic¸a˜o 25 (Extensa˜o alge´brica ou transcendente). A extensa˜o de corpos L|K e´ dita
alge´brica ⇔ todo α ∈ L e´ alge´brico sobre K. Caso contra´rio L|K e´ dita transcendente.
Corola´rio 15. A extensa˜o R|Q e´ transcendente.
Exemplo 15. pi e´ transcendente, isto e´, ∀ P (x) ∈ Q[x] \ {0} vale que P (pi) 6= 0.
Exemplo 16. A extensa˜o C|R e´ alge´brica. Dado α ∈ C enta˜o existem a, b ∈ R tais que
α = a+ bi, logo
(a− α)2 = (bi)2 = −b2 = a2 − 2α.a+ α2 ⇒ a2 + b2 − 2aα+ α2 = 0,
α e´ ra´ız de f(x) = x2 − 2ax+ a2 + b2, todo nu´mero complexo e´ ra´ız de um polinoˆmio de
coeficientes reais, da´ı α ∈ C arbitra´rio e´ alge´brico sobre R e portanto C|R e´ uma extensa˜o
alge´brica.
Propriedade 26. Se F |K e´ extensa˜o finita, enta˜o F |K e´ alge´brica.
Demonstrac¸a˜o.[1] Sejam dim[F : K] = n, a ∈ F , e a sequeˆncia (ak)nk=0 que possui
n+ 1 termos, como possui n+ 1 termos na˜o pode ser linearmente independente sobre K,
logo existem (ks)
n
0 em K, tais que
n∑
s=0
ksa
k = 0
portanto fabricamos um polinoˆmio P (x) =
n∑
s=0
ksx
k, que se anula em a, como tal elemento
e´ arbitra´rio segue que a extensa˜o e´ alge´brica.
Demonstrac¸a˜o.[2] Seja α ∈ F arbitra´rio. Temos que K ⊂ K(α) ⊂ F e da´ı por
multiplicatividade dos graus sabemos que [K(α) : K] divide [L : K], como e´ finita, enta˜o
α alge´brico.
CAPI´TULO 1. CORPOS 24
Propriedade 27. Se L|K e´ uma extensa˜o finita, enta˜o existem (αk)n1 em L, alge´bricos
sobreK tais que L = K(αk)
n
1 , isto e´, se L e´ uma extensa˜o finita deK enta˜o L e´ finitamente
gerada.
Demonstrac¸a˜o. Seja n = [L : K] e {αk, k ∈ In} ⊂ L uma base de L sobre K, enta˜o
L =
n∑
k=1
Kαk ⊂ K(αk)n1 ⊂ L
logo L = K(αk)
n
1 , pela proposic¸a˜o anterior cada αk e´ alge´brico sobre K, pois a extensa˜o
e´ finita e por isso alge´brica.
Propriedade 28. Seja F |K extensa˜o, enta˜o sa˜o equivalentes
1. K[α] e´ corpo
2. ϕ : K[x]→ K[α] com ϕ(f(x)) = f(α) na˜o e´ injetora.
3. α e´ alge´brico.
Demonstrac¸a˜o.
ˆ 1) ⇒ 2). α−1 ∈ K[α] implica que existe P (x) =
n∑
k=0
akx
k com ak ∈ K tal que
P (α) =
1
α
=
n∑
k=0
akα
k, disso segue que
n∑
k=0
akα
k+1 = 1, implica que tomando
f(x) =
n∑
k=0
akx
k+1 − 1 temos ϕ(f(x)) = f(α) = 0 logo a func¸a˜o na˜o e´ injetora
pois possui mais de um elemento no seu Kernel, ale´m do polinoˆmio nulo.
ˆ 2) ⇒ 3). Existe f(x) ∈ K[x] tal que ϕ(f) = 0 = f(α), logo α e´ alge´brico sobreK,
pois temos polinoˆmio que se anula com coeficientes em K. 3) ⇒ 2) tambe´m na˜o e´
complicado, pois α alge´brico implica que existe P (x) ∈ K[x] \ {0} tal que P (α) = 0
da´ı tem-se ϕ(P ) = 0.
ˆ 3) ⇒ 1). Seja Pα|K(x) o polinoˆmio mı´nimo de α sobre K, seja h(α) ∈ K[α] \ {0}.
h(x) ∈ K[x], h(x) na˜o se anula em α, temos duas possibilidade do mdc com o
CAPI´TULO 1. CORPOS 25
polinoˆmio mı´nimo ele e´ 1 ou e´ o polinoˆmio mı´nimo, a segunda possibilidade se
descarta pois h na˜o se anula em α, enta˜o existem g1 e g2 polinoˆmios tais que
1 = Pα|K(x)g1(x) + h(x)g2(x)
e da´ı aplicando em α tem-se
1 = h(α)g2(α)
o inverso esta´ no conjunto, logo temos um corpo, pois o conjunto ja´ era anel comu-
tativo com unidade.
Propriedade 29. L|K e´ alge´brica ⇔ todo anel R, com K ⊂ R ⊂ L for corpo.
Demonstrac¸a˜o.
⇒).
Suponha L|K alge´brica, seja um anel R com K ⊂ R ⊂ L, seja α ∈ R temos que
mostrar que α−1 ∈ R, α e´ alge´brico sobre K, como α ∈ L enta˜o α e´ alge´brico sobre K,
existe P (x) =
n∑
k=0
akx
k tal que
n∑
k=0
akα
k = 0, tomamos o menor t tal que αt 6= 0 logo
n∑
k=0
akα
k =
n∑
k=t
akα
k = 0
n∑
k=t+1
akα
k = −atαt ⇒
n∑
k=t+1
akα
k−1−t =
n−1−t∑
k=0
ak+t+1α
k = −atα−1
como at ∈ K enta˜o a−1t ∈ K e em R, portanto α−1 e´ escrito como soma de elementos do
anel R por isso pertence ao anel, como quer´ıamos mostrar.
⇐).
Tomamos α ∈ L arbitra´rio, K[α] e´ anel, logo e´ corpo. Logo existe α−1 ∈ K[α].
Existe P (x) =
n∑
k=0
akx
k com ak ∈ K tal que P (α) = 1
α
=
n∑
k=0
akα
k, disso segue que
n∑
k=0
akα
k+1 = 1, implica que tomando f(x) =
n∑
k=0
akx
k+1 − 1 temos f(α) = 0 logo α e´
alge´brico sobreK, como o α tomado e´ arbitra´rio, segue que L|K e´ uma extensa˜o alge´brica.
Propriedade 30. Sejam F |K, α ∈ F , temos que k(α)|K e´ finita ⇔ α e´ alge´brico sobre
K.
Demonstrac¸a˜o.
CAPI´TULO 1. CORPOS 26
⇒).
K(α)|K e´ finita implica que K(α)|K e´ alge´brica, logo α e´ alge´brico sobre K.
⇐). Suponha que α seja alge´brico,
Pα|K(x) = xn +
n−1∑
k=0
akx
k,
vamos mostrar que {1, α, · · · , αn−1} e´ base deK(α)|K. Primeiro, suponho por absurdo
que o conjunto seja L.D, enta˜o existem (ks)
n−1
0 em K, na˜o todos nulos tais que
0 =
n∑
s=0
ksα
s
tomando h(x) =
n∑
s=0
ksx
s chegamos em contradic¸a˜o com minimalidade do grau do po-
linoˆmio mı´nimo.
f(α) ∈ K[α], pois por divisa˜o euclidiana
f(x) = Pα|K(x)g(x) + r(x)
aplicando x = α temos
f(α) = r(α)
, da´ı r(x) tem que ser identicamente nulo, pois o grau e´ menor que do polinoˆmio mı´nimo.
Definic¸a˜o 26 (Classe de extenso˜es nota´veis2 ). Seja C uma certa classe de extenso˜es
E|F , dizemos que C e´ nota´vel, quando se verificam as condic¸o˜es
1. Seja E|F |K, enta˜o E|K ∈ C ⇔ E|F e F |K em C.
2. Se F |K em C e E e´ qualquer extensa˜o de K com EF em algum corpo enta˜o EF |E
em C.
3. Se F |K e K|E em C com F e E subcorpos de um mesmo corpo, enta˜o FE|K em
C.
(refazer figuras)
2No texto de algebra de Serge Lang o termo usado e´ distinguished, pore´m preferi usar o termo nota´vel
CAPI´TULO 1. CORPOS 27
Figura 1.1: Na propriedade 1) vale a ida e a volta
Figura 1.2: Propriedade 2)
Corola´rio 16. A condic¸a˜o 3) segue das condic¸o˜es 1) e 2) pois se E|K e F |K em C enta˜o
pela condic¸a˜o 2) segue EF |E e pela condic¸a˜o 1) EF |K em C. Enta˜o precisamos testar
apenas as duas primeiras condic¸o˜es.
Propriedade 31. A classe das extenso˜es alge´bricas e das finitas sa˜o nota´veis.
Demonstrac¸a˜o. Considere C a classe das extenso˜es finitas.
1. E|F e F |K sa˜o finitas ⇔ E|K e´ finita, por multiplicatividade dos graus.
2. Suponha F |K finita e E extensa˜o de K, existem elementos (αk)n1 em F , alge´bricos
sobre K, tais que F = K(αk)
n
1 , enta˜o EF = EK(αk)
n
1 = E(αk)
n
1 enta˜o EF |E e´
finitamente gerada por elementos alge´bricos, portanto finita.
Agora o caso de extenso˜es alge´bricas.
ˆ ⇐).
Suponha E|K alge´brica, dado α ∈ E existe P (x) ∈ K[x] tal que P (α) = 0, como
F ⊂ E enta˜o F e´ alge´brico sobre K. E e´ alge´brico sobre F pois, como K ⊂ F enta˜o
P (x) ∈ K[x] ⊂ F [x].
CAPI´TULO 1. CORPOS 28
Figura 1.3: Propriedade 3)
⇒ . Suponha que F |K e E|F sa˜o alge´bricos. Seja α ∈ E arbitra´rio, enta˜o α satisfaz
n∑
k=0
akα
k = 0
com ak ∈ F , pois α e´ alge´brico sobre F . Seja F0 = K(αk)n1 enta˜o F0|K e´ finita, pois
F |K e´ alge´brica, logo cada ak e´ alge´brico. Considere a torre:
K ⊂ F0 ⊂ F0(α)
cada degrau da torre e´ finito, enta˜o F0(α) e´ finito sobre K, da´ı α e´ alge´brico em K,
como α e´ arbitra´rio enta˜o E|K e´ alge´brica.
ˆ Seja F |K alge´brica, enta˜o E|F e´ alge´brica, pois dado α ∈ F temos P (x) ∈ K[x] tal
que P (α) = 0, como K ⊂ E vale P (x) ∈ K[x] ⊂ E[x], enta˜o todo elemento de F e´
alge´brico sobre E, o conjunto
A = {x ∈ EF | xe´ alge´brico sobre E}
e´ corpo e conte´m E e F , como EF e´ o menor corpo com essa propriedade, enta˜o
EF = A enta˜o todo elemento de EF e´ alge´brico sobre E
Exemplo 17. Determine o polinoˆmio mı´nimo de α = cos(
2pi
p
) + isen(
2pi
p
) em Q, onde p
e´ um natural primo.
Sabemos que αp = cos(2pi) + isen(2pi) = 1, logo α e´ raiz de
xp − 1 = (x− 1)
p−1∑
k=0
xk
CAPI´TULO 1. CORPOS 29
seja f(x) =
xp − 1
x− 1 enta˜o
f(x+ 1) =
(x+ 1)p − 1
x
=
∑p
k=0
(
p
k
)
xk − 1
x
=
∑p
k=1
(
p
k
)
xk
x
p−1∑
k=0
(
p
k + 1
)
︸ ︷︷ ︸
ak
xk
logo a0 = p, ap = 1 p|a0 e p2 6 |a0, p 6 |ap, ale´m disso p|ak para os outros valores por
propriedade de coeficiente binomial. Logo f(x + 1) e´ irredut´ıvel sobre Q por crite´rio de
Eisenstein. Vale que [Q(α) : Q] = p− 1.
1.4 Construc¸a˜o de uma raiz.
Seja K um corpo e f(x) um polinoˆmio de grau ≥ 1 em K[x], nesta sec¸a˜o consideramos
o problema de achar uma extensa˜o E de K em qual f possui uma raiz. Se P (x) e´ um
polinoˆmio irredut´ıvel em K[x] que divide f(x) enta˜o qualquer raiz de P (x) tambe´m e´ raiz
de f(x), logo iremos nos restringir ao estudo com polinoˆmio irredut´ıveis.
Definic¸a˜o 27 (Raiz). Seja L|K uma extensa˜o de corpos e seja f(x) ∈ k[x]. Um elemento
α ∈ Le´ uma raiz de f(x) ⇔ f(α) = 0.
Propriedade 32. Seja L|K uma extensa˜o de corpos e α ∈ L uma raiz de f ∈ K[x].
Enta˜o, (x− α)|f(x) em L[x].
Demonstrac¸a˜o.
Como f(x) ∈ K[x] ⊂ L[x] por divisa˜o euclidiana por x−α em L[x] existem q(x), r(x)
em L[x] tais que
f(x) = (x− α)q(x) + r(x)
onde r(x) = 0 ou 0 ≤ ∂r(x) < 1, da´ı r(x) = r ∈ L, f(x) = (x− α)q(x) + r, f(α) = 0 = r,
f(x) = (x− α)q(x).
Definic¸a˜o 28 (Multiplicidade de raiz). Seja L|K uma extensa˜o de corpos. Dizemos que
α ∈ L e´ uma raiz de multiplicidade m de f(x) ∈ k[x] ⇔ (x − α)m|f(x) em L[x] mas
(x− α)m+1 na˜o divide f(x) em L[x].
ˆ Quando m = 1, α e´ uma raiz simples de f .
CAPI´TULO 1. CORPOS 30
ˆ Com m = 2, temos raiz dupla.
ˆ Com m = 3, raiz tripla e assim por diante.
ˆ Com m ≥ 2, α e´ dita mu´ltipla.
Contamos uma raiz de multiplicidade m como sendo m ra´ızes (α)m1 .
Propriedade 33. Se f(x) e´ de multiplicidadem enta˜o em L[x] temos f(x) = (x−α)mq(x)
onde q(α) 6= 0.
Propriedade 34. Seja K um corpo. Se f(x) ∈ k[x] e´ um polinoˆmio de grau n ≥ 1 enta˜o
f(x) tem no ma´ximo n raz´es em qualquer extensa˜o L de K.
Demonstrac¸a˜o. Faremos a demonstrac¸a˜o por induc¸a˜o sobre n = ∂f(x) ≥ 1. Se n = 1
temos f(x) = ax+ b, a 6= 0, b ∈ K logo temos apenas uma raiz x = −b
a
∈ K, fica provada
a base da induc¸a˜o.
Supomos o resultado va´lido para os polinoˆmios em K[x] de grau s, 1 ≤ s < n e
vamos provar para n. Seja L|K, f(x) ∈ K[x] com ∂f(x) = n. Se f(x) na˜o tem raiz
em L, enta˜o o resultado segue. Supondo que f(x) tem raiz em α ∈ L de multiplicidade
m , como (x − α)m | f(x) ∈ L[x] enta˜o n = ∂f(x) ≥ m = ∂(x − α). Em L[x] temos
f(x) = (x−α)mq(x) com q(α) 6= 0, ∂q(x) = n−m ≥ 0. Se β 6=α ∈ L e´ raiz de f(x) enta˜o
0 = (β−α)mq(β) ∈ L, L e´ corpo enta˜o q(β) = 0. β e´ raiz de q(x), n > ∂q(x) = n−m ≥ 1.
Por hipo´tese de induc¸a˜o q(x) tem no ma´ximo n−m ra´ızes em L e da´ı f(x) tem no ma´ximo
m+ (n−m) = n = ∂f(x) ra´ızes em L, e o resultado segue por induc¸a˜o.
Definic¸a˜o 29 (Congrueˆncia mo´dulo I). Sejam A um anel comutativo com unidade e I
um ideal de A escrevemos
a ≡ b mod I ⇔ a− b ∈ I.
Observac¸a˜o 2. A classe de equivaleˆncia de a ∈ A e´ denotada por a, e´ chamada de classe
residual mo´dulo I ou classe de congrueˆncia mo´dulo I. Tem-se
a = {x ∈ A | x ≡ a mod I} = I + a.
Sejam a, b, a′, b′ ∈ A.
CAPI´TULO 1. CORPOS 31
Propriedade 35. Se a ≡ a′ e b ≡ b′ enta˜o a.b ≡ a′.b′
Demonstrac¸a˜o. Se a ≡ a′ e b ≡ b′ enta˜o existem c, c′ ∈ I tais que a − a′ = c e
b− b′ = c′ e ainda
a.b− a′.b′ = a.b− a.b′ + a.b′ − a′.b′ = a(b− b′) + b′(a− a′) = a.c′ + b′.c ∈ I
por propriedade de ideal.
Definic¸a˜o 30 (Multiplicac¸a˜o em A/I). Sejam A um anel comutativo com unidade 1A e
I um ideal de A. Sejam a, b ∈ A. Definimos a operac¸a˜o de multiplicac¸a˜o
a.b = a.b.
Propriedade 36 (Propriedades da adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o em A/I). A/I e´ um anel
comutativo. Sejam A um anel comutativo com unidade 1A e I um ideal de A. A adic¸a˜o
e multiplicac¸a˜o de A/I teˆm as seguintes propriedades, para quaisquer a, b, c ∈ A/I.
A adic¸a˜o possui as propriedades:
ˆ Associatividade.
ˆ Comutatividade.
ˆ Existeˆncia do elemento neutro 0A = I.
ˆ Existeˆncia do sime´trico de a que e´ −a.
A multiplicac¸a˜o possui as seguintes propriedades:
ˆ Associatividade.
ˆ Comutatividade.
ˆ A multiplicac¸a˜o se relaciona com a soma atrave´s da propriedade distributiva.
ˆ Se I 6= A existe a unidade 1A = I + 1A.
Observac¸a˜o 3. Quando I = A para quaisquer a,b ∈ A temos que a ≡ b mod I, neste
caso A/I = {0A} e´ o anel identicamente nulo.
CAPI´TULO 1. CORPOS 32
Corola´rio 17. Sejam A um anel comutativo com unidade e I um ideal de A, enta˜o A/I
e´ um anel comutativo . Se I 6= A enta˜o A/I e´ um anel comutativo com unidade.
Seja A um anel comutativo com unidade
Propriedade 37. P e´ um ideal primo de A ⇔ A/P e´ um domı´nio.
Demonstrac¸a˜o.
⇒). Seja P ideal primo de A, tem-se P 6= A, enta˜o A/P e´ anel comutativo com
unidade. Sejam a, b ∈ A tais que a.b = 0 enta˜o
a.b = a.b = 0
⇔ a.b ≡ 0 mod P ⇔ a.b ∈ P. Como P e´ um ideal primo vale a ∈ P ou b ∈ P de onde
segue a = 0 ou b = 0 logo A/P e´ domı´nio.
⇐). Seja A/P domı´nio. enta˜o A/P e´ anel comutativo com unidade, logo P ⊂ A
propriamente. Sejam a, b ∈ A tais que a.b ∈ P enta˜o 0 = ab = ab como A/P e´ domı´nio
tem-se a = 0 ou b = 0 implicando a ∈ P ou b ∈ P logo P e´ ideal primo.
Propriedade 38. M e´ um ideal maximal de A ⇔ A/M e´ um corpo.
Demonstrac¸a˜o. ⇒). Seja M um ideal maximal de A assim M e´ ideal primo e A/M
e´ um domı´nio. Precisamos mostrar apenas que todo a 6= 0 em A/M tem inverso. Como
a 6= 0 segue a /∈ M e M ⊂ M + I(a) propriamente, logo A = M + I(a), assim existe
m ∈M e x ∈ A tais que 1 = m+ xa, em classe mo´dulo M segue
1 = m+ xa = xa
implicando que a e invert´ıvel em A/M com inverso x.
⇐). Seja A/M corpo, enta˜o A/M e´ domı´nio e M e´ ideal primo, logo M 6= A. Seja I
ideal de A tal que M ⊂ I ⊂ A ,m propriamente, tome x ∈ I tal que x /∈ M enta˜o x 6= 0
e existe y ∈ A/M tal que
1 = xy
logo existe m ∈ M tal que 1 − xy = m, 1 = m + xy ∈ I implicando I = A, assim M e´
ideal maximal.
Propriedade 39. Sejam K um corpo, p(x) ∈ K[x] polinoˆmio moˆnico enta˜o k[x]/(p(x))
e´ um corpo ⇔ p(x) e´ irredut´ıvel.
CAPI´TULO 1. CORPOS 33
Demonstrac¸a˜o. ⇐). Como estamos num domı´nio principal p(x) irredut´ıvel implica
(p(x)) ideal maximal da´ı k[x]/(p(x)) e´ corpo.
⇒).
k[x]/(p(x)) sendo corpo implica que (p(x)) e´ ideal maximal, logo ideal primo, portanto
p(x) e´ irredut´ıvel, pois caso contra´rio existiriam g(x).h(x) = p(x), da´ı p(x)|h(x), h(x) =
v(x)p(x), da´ı g(x)v(x)p(x) = p(x)⇒ g(x)v(x) = 1 enta˜o g(x), v(x) ∈ K, h(x) e´ associado,
logo p e´ irredut´ıvel.
Teorema 2. Sejam K um corpo e p(x) ∈ K[x] polinoˆmio irredut´ıvel de grau n. Enta˜o
existe uma extensa˜o L|K com [L : K] = n, tal que p(x) tem uma raiz α ∈ L.
Propriedade 40. Demonstrac¸a˜o.
Polinoˆmios de grau 2 ou 3 sa˜o irredut´ıveis em K[x] ⇔ na˜o possuem ra´ızes em K.
Demonstrac¸a˜o.
Exemplo 18. Consideramos o polinoˆmio P (x) = x2 + x + 1 ∈ Z2[x],, avaliamos P em
todos elementos de Z2, temos P (0) = 1 = P (1) = 1, logo P (x) na˜o tem ra´ızes em Z2,
P (x) e´ irredut´ıvel em Z2[x].
Seja
L = Z2[x]/(x
2 + x+ 1) ' Z2[α] = {a+ bα, a b ∈ Z2}
e α2 + α+ 1 = 0, L e´ corpo pois P (x) e´ irredut´ıvel, L, possui 4 elementos
L = {0, 1, α, 1 + α}.
Temos z2 ⊂ L, car(L) = 2, [L : Z2] = 2.
Podemos calcular as poteˆncias de α da seguinte maneira
α2 + α + 1 = 0⇒ α2 = −α− 1 = α + 1
α3 = α2.α = (α+ 1)α = α2 + α = 1.
h(x) = x3 − 1 tem todas suas ra´ızes em L, pois elas sa˜o 1, α, α + 1.
CAPI´TULO 1. CORPOS 34
Exemplo 19. Seja E = F2(α) onde α e´ raiz de 1 + x + x
2 enta˜o σ : E → E com
σ(a+ bα) = a+ b(α + 1) e´ um automorfismo de E sobre F2. a, b ∈ F2.
Vamos mostrar que σ e´ uma bijec¸a˜o e um homomorfismo.
1. Vale σ(x+ y) = σ(x) + σ(y) com x, y em E. Pois
σ(a1 + b1α) = a1 + b1(α + 1)
σ(a2 + b2α) = a2 + b2(α + 1)
σ(a1 + b1α + a2 + b2α) = σ(a1 + a2 + (b1 + b2)α) = a1 + a2 + (b1 + b2)(α + 1)
logo vale a igualdade.
2.
σ[(a1 + b1α)(a2 + b2α)] = σ[a1a2 + a1b2α + b1a2α+ b1b2α
2] =
usando que α2 = α+ 1 tem-se
= σ[a1a2 + b1b2 + a1b2α+ b1a2α+ b1b2α] = σ[a1a2 + b1b2 + (a1b2 + b1a2 + b1b2)α] =
= a1a2 + b1b2 + (a1b2 + b1a2 + b1b2)(α + 1)
por outro lado
σ(a1 + b1α)σ(a2 + b2α) = (a1 + b1[α+1])(a2 + b2[α+1]) = (a1 + b1α
2)(a2 + b2α
2) =
= a1a2 + a1b2α
2 + a2b1α
2 + b1b2α
4 =
usando que α4 = α e α2 = α + 1 segue
a1a2+(a1b2+a2b1)(α+1)+b1b2(α+1)+b1b2 = a1a2+b1b2+(a1b2+b1b2+a2b1)(α+1)
que e´ igual ao encontrado calculando σ aplicado no produto.
3. A func¸a˜o e´ sobre F2 pois σ(a + 0α) = a + 0(α + 1) = a, em especial σ(1) = 1. σ e´
injetora, como e´ func¸a˜o entre corpos finitos segue que tambe´m e´ bijetora. Portanto
σ e´ um automorfismo de E sobre F2.
CAPI´TULO 1. CORPOS 35
Propriedade 41. Seja f(x) ∈ K[x] com grau(f(x)) ≥ 1, enta˜o, existe uma extensa˜o
finita L|K na qual f(x) tem uma raiz α e [L : K] ≤ grau (f(x)).
Demonstrac¸a˜o. Seja P (x) ∈ K[x] fator moˆnico e irredut´ıvel de f(x), como p(x) | f(x),
toda raiz de p(x) e´ uma raiz de f(x). Pela propriedade anterior existe extensa˜o L|K na
qual p(x) possui uma raiz α e [L : K] = ∂p(x) ≤ ∂f(x).
Teorema 3. Seja f(x) ∈ K[x] com n = grau (f(x)) ≥ 1, enta˜o, existe uma extensa˜o L
de K tal que [L : K] ≤ n! na qual f(x) tem n ra´ızes, isto e´, possui todas as ra´ızes de
f(x).
Demonstrac¸a˜o. Faremos a prova por induc¸a˜o sobre n = ∂f(x). Para n = 1. Se
f(x) ∈ K[x] tem grau 1, enta˜o f(x) tem todas suas ra´ızes em K = L, [L : K] = 1 ≤ 1!.
Supomos o resultado va´lido para polinoˆmios de grau s com coeficientes em corpos onde
1 ≤ s < n. Seja f(x) ∈ K[x] com ∂f(x) = n, vamos mostrar que vale para f(x).
Existe uma extensa˜o F |K na qual f(x) tem raiz α1 e [F : K] ≤ ∂f(x) = n. Em F [x]
temos f(x) = (x − α1)q(x), com ∂q(x) = n − 1 e q(x) ∈ F [x]. Por hipo´tese de induc¸a˜o,
existe L|F em que q(x) possui n− 1 ra´ızes com [L : F ] ≤ (n− 1)!, as ra´ızes de f(x) sa˜o
α1 e as ra´ızes de q(x). O polinoˆmio f(x) tem n ra´ızes, o ma´ximo poss´ıvel e
[L : K] = [L : F ][F : K] ≤ (n− 1)!.n = n!.
Propriedade 42. Seja K um corpo e (fk)
n
1 polinoˆmios em K[x] na˜o constantes, enta˜o
existe uma extensa˜o E de K na qual cada fk possui uma raiz.
Demonstrac¸a˜o. Consideramos o polinoˆmio g(x) =
n∏
k=1
fk(x) e usamos o teorema
anterior.
Exemplo 20. Seja F = {a1, · · · , an} um corpo finito, enta˜o existe polino´mio P (x) ∈ F [x]
que na˜o possui raiz em F .
Consideramos 1 6= 0, da´ı,tomamos P (x) ∈ F [x] da forma
P (x) = 1 +
n∏
k=1
(x− ak)
para qualquer s ∈ F vale F (s) = 1 6= 0, logo ele na˜o possui raiz em F .
CAPI´TULO 1. CORPOS 36
Propriedade 43. Seja K um corpo, existe uma extensa˜o Ka que e´ alge´brica sobre K e
algebricamente fechada.
Demonstrac¸a˜o. Seja E uma extensa˜o de K que e´ algebricamente fechada e seja Ka a
unia˜o de todas extenso˜es subcorpos de E que sa˜o alge´bricas sobreK. Enta˜oKa e´ alge´brica
sobre K, pois seus elementos sa˜o tomados como alge´bricos (lembre que o conjunto dos
alge´bricos e´ corpo). Se α ∈ E e α e´ alge´brico sobre Ka, enta˜o α e´ alge´brico sobre K. Se
f e´ um polinoˆmio em Ka[x] \Ka enta˜o f tem uma raiz α em E, da´ı α e´ alge´brico sobre
Ka, enta˜o α ∈ Ka e Ka e´ algebricamente fechado.
Propriedade 44. Se L e´ algebricamente fechado e f ∈ L[x] \ L enta˜o existe c ∈ L e
(αk)
n
1 em L tal que
f(x) = c
n∏
k=1
(x− αk).
Demonstrac¸a˜o. Como L e´ algebricamente fechado, f tem uma raiz α1 em L, logo
existe g(x) ∈ L[x] tal que
f(x) = (x− α1)g(x).
Se ∂g(x) ≥ 1 repetimos o argumento indutivamente. Notamos que c e´ o coeficiente de xn
em f , e se os coeficientes de f esta˜o em um subcorpo K de L, enta˜o c ∈ K.
Propriedade 45. Seja K um corpo e σ : K → L um mergulho, L um corpo algebri-
camente fechado, P (x) o polinoˆmio irredut´ıvel de α alge´brico sobre K. O nu´mero de
poss´ıveis extenso˜es de σ em K(α) e´ ≤ o nu´mero de ra´ızes de P (x), sendo igual ao nu´mero
de ra´ızes distintas de P .
Demonstrac¸a˜o.
Propriedade 46. Sejam K um corpo, E uma extensa˜o alge´brica sobre K, σ : K → L um
mergulho, L algebricamente fechado, enta˜o existe uma extensa˜o de σ para um mergulho
de E em L.
Se E e´ algebricamente fechado e L e´ alge´brico sobre σ(K) enta˜o qualquer extensa˜o de
σ e´ um isomorfismo de E em L.
Demonstrac¸a˜o.
CAPI´TULO 1. CORPOS 37
Propriedade 47. Seja K um corpo, E, E ′ extenso˜es alge´bricas de K, se E, E ′ sa˜o
algebricamente fechados, enta˜o existe um isomorfismo
f : E → E ′
induzindo a identidade em K.
Demonstrac¸a˜o. Consideramos o mergulho σ : K → K com σ(x) = x, enta˜o qualquer
uma de suas extenso˜es e´ um isomorfismo pelo teorema anterior, pois σ(K) = K ⊂ E ′, E ′
e´ alge´brico sobre σ(K) , e E,E ′ sa˜o algebricamente fechados.
Uma extensa˜o alge´brica e algebricamente fechada de um corpo K e´ determina a menos
de isomorfismos, enta˜o tal tipo de extensa˜o sera´ chamada de o fecho alge´brico de K, que
denotaremos por Ka.
Propriedade 48. Se um corpo K na˜o e´ finito, enta˜o qualquer extensa˜o alge´brica de K
tem a mesma cardinalidade de K.
Se K e´ finito enta˜o Ka e´ enumera´vel .
Demonstrac¸a˜o.
Corola´rio 18. Qa 6= C, pois R ⊂ C, R e´ na˜o enumera´vel, da´ı C e´ na˜o enumera´vel e na˜o
podemos ter Qa = C, pois Qa e´ enumera´vel.
1.5 Corpos de decomposic¸a˜o
Definic¸a˜o 31 (Corpos de decomposic¸a˜o ou de ra´ızes). Seja f(x) ∈ K[x] com
grauf(x) ≥ 1.
Uma extensa˜o L|K e´ dita um corpo de decomposic¸a˜o ou corpo de ra´ızes de f sobre k ⇔
f se decompo˜e em produto de fatores lineares em L[x] e na˜o se decompo˜e em produto de
fatores lineares em F [x], onde F e´ qualquer subcorpo pro´prio de L contendo K. L e´ o
menor corpo contendo K com a propriedade de f ter grauf ra´ızes em L. L e´ dito o corpo
de ra´ızes de f .
CAPI´TULO 1. CORPOS 38
Notamos que f(x) ∈ K[x] sempre possui um corpo de decomposic¸a˜o, pois podemos
tomar tal corpo como o corpo gerado pelas suas ra´ızes em um fecho alge´brico Ka de K.
Definic¸a˜o 32 (Extenso˜es isomorfas). Dizemos que L|K e L′|K ′ sa˜o extenso˜es isomorfas
⇔ existe f : L→ L′ isomorfismo de corpos tal que f(K) = K ′.
Definic¸a˜o 33 (Extensa˜o de isomorfismo). Seja f : K → K ′ um isomorfismo de corpos
e sejam L|K e L|K ′ extenso˜es de corpos. Dizemos que g : L → L′ estende f ⇔ g e´ um
isomorfismo, tal que g|K = f. Nesse caso L|K e L′|K ′ sa˜o extenso˜es isomorfas.
Propriedade 49 (Extensa˜o de isomorfismo ). Seja f : K → K ′ um isomorfismo de
corpos, enta˜o:
1. K[x] e K ′[x] sa˜o domı´nios isomorfos.
2. Se L|K e L′|K ′ sa˜o extenso˜es de corpos, p(x) ∈ K[x] e´ moˆnico irredut´ıvel, α ∈ L
e´ raiz de p(x) e β ∈ L′ e´ raiz de f(p(x)) enta˜o o isomorfismo f : K → K ′ admite
extensa˜o que tambe´m denotaremos por f , f : K(α)→ K ′(β) com f(α) = β.
Demonstrac¸a˜o.
1. Se h(x) =
n∑
k=0
akx
k ∈ K[x] definimos g(h(x)) =
n∑
k=0
f(ak)x
k, enta˜o g : K[x]→ K ′[x]
e´ um isomorfismo de ane´is. Tomamos t(x) =
m∑
k=0
bkx
k. Para a soma, supomos sem
perda de generalidade que n ≥ m e completamos os poss´ıveis indices de t(x) com
valores nulos. Vale
g(h(x)+ t(x)) = g(
n∑
k=0
(ak+bk)x
k) =
n∑
k=0
f(ak+bk)x
k =
n∑
k=0
f(ak)x
k+
n∑
k=0
f(bk)x
k =
= g(h(x)) + g(t(x))
e para o produto temos
g(h(x).t(x)) = g(
n∑
k=0
akx
k.
m∑
k=0
bkx
k) = g(
n+m∑
k=0
ckx
k) =
n+m∑
k=0
f(ck)x
k
CAPI´TULO 1. CORPOS 39
onde ct =
t∑
s=0
asbt−s, da´ı f(ct) =
t∑
s=0
f(as)f(bt−s) e ale´m disso
g(h(x))g(t(x)) =
n∑
k=0
f(ak)x
k.
m∑
k=0
f(bk)x
k) =
n+m∑
k=0
c′kx
k
onde c′t =
t∑
s=0
f(as)f(bt−s), logo c′t = f(ct) e vale g(h(x)t(x)) = g(h(x))g(t(x)). A
func¸a˜o e´ injetora e sobrejetora por propriedade do isomorfismo f .
2. P (x) e´ irredut´ıvel em K[x]⇔ f(p(x)) e´ irredut´ıvel em K ′[x]. Como α ∈ L e´ raiz de
p(x) = xn +
n∑
k=0
bkx
k enta˜o 0 = p(α) = αn +
n∑
k=0
bkα
k. Se existe isomorfismo f de
K(α) em outro corpo, enta˜o
0 = f(0) = f(α)n +
n∑
k=0
f(bk)f(α)
k = f(p(f(α)))
, isto e´ f(α) e´ raiz de f(p(x)) com f(p(x)) moˆnico e irredut´ıvel em f(K[x]) = K ′[x].
A extensa˜o f e´ definida se conhecemos f(α) pois f(αk) = f(α)k e (αk)n−10 e´ uma
base de K(α) sobre K, onde n = ∂f(x) Dado isomorfismo f : K → K ′, existe um
u´nico isomorfismo f : K(α)→ K ′(β) com f(α) = β.
Corola´rio 19 (Extensa˜o de identidade). Se p(x) ∈ K(x) e´ polinoˆmio moˆnico irredut´ıvel
e α, β sa˜o duas ra´ızes de p(x), enta˜o K(α) e K(β) sa˜o corpos isomorfos com f : K(α)→
K(β) definida por f(a) = a para a ∈ K e f(α) = β. Nesse caso f estende a func¸a˜o
identidade em K .
Definic¸a˜o 34 (K-isomorfismo). Dizemos que L|K e L′|K sa˜o extenso˜es K-isomorfas ⇔
existe f : L→ L′ um isomorfismo tal que f |K = I ou que exista um isomorfismo de L em
L′ que estende I : K → K.
Teorema 4 (Extensa˜o de isomorfismo a corpo de ra´ızes). Sejam f(x) ∈ K[x] \ K ,
g : K → K ′ um isomorfismo de corpos, L um corpo de ra´ızes de f(x) sobre K e L′ um
corpo de ra´ızes de g(f(x)) sobre K ′, enta˜o L|K e L′|K ′ sa˜o extenso˜es isomorfas com um
isomorfismo h que estende g.
CAPI´TULO 1. CORPOS 40
Demonstrac¸a˜o. Faremos a prova por induc¸a˜o sobre n = [L : K]. Suponha que
[L : K] = 1 enta˜o f(x) ∈ K[x] se decompo˜e em L = K em produto de fatores lineares,
isto e´, f(x) tem todas suas ra´ızes em K e f(x) = a
m∏
k=1
(x− αk) com a, (αk)m1 em K.
Como g : K[x]→ K ′[x] e´ um isomorfismo de ane´is enta˜o g(f(x)) = g(a)
m∏
k=1
(x−g(αk))
com g(a), (g(αk))
m
1 em g(K) = K
′ e g(f(x)) se decompo˜e em K ′[x], logo L′ = K ′ e
g : K → K ′ e´ o isomorfismo procurado, temos enta˜o uma extensa˜o trivial.
Supondo o teorema va´lido para os polinoˆmios com coeficientes em K0 cujo corpo
de decomposic¸a˜o L0 sobre K0 tenha [L0 : K0] < n, seja f(x) ∈ K[x] com corpo de
decomposic¸a˜o L sobre K, tal que [L : K] = n > 1. f(x) tem um fator moˆnico irredut´ıvel
p(x) ∈ K[x] com ∂p(x) = r > 1. Sejam g(p(x)) o fator moˆnico irredut´ıvel de g(f(x)) em
K ′[x]. Como f(x) se decompo˜e em L e p(x)|f(x) em K[x] enta˜o todas as ra´ızes de p(x)
esta˜o em L, logo existe α ∈ L tal que p(α) = 0. Portanto por multiplicatividade dos graus
[L : K(α)] =
[L : K]
[K(α) : K]
=
n
r
< n.
Tomando L′ um corpo de ra´ızes de g(f(x)) sobre K ′ e β ∈ L′ uma raiz de g(p(x))
enta˜oo isomorfismo g : K → K ′ se estende a um isomorfismo de K(α) em K ′(β) tambe´m
denotado por g, com g(α) = β.
L e´ um corpo de ra´ızes de f(x) sobre K0 = k(α), e L
′ e´ um corpo de ra´ızes de g(f(x))
sobre K ′[β], pois f(x) ∈ K[x] ⊂ K(α)[x] e f(x) se decompo˜e em L num produto de
fatores lineares e na˜o se decompo˜e em um subcorpo F com K ⊂ F L, pois se na˜o L na˜o
seria corpo de ra´ızes sobre K de f(x). Com [L : k0] < n, enta˜o por hipo´tese de induc¸a˜o
g : K0 = K(α) → K ′(β) se estende a um isomorfismo h : L → L′, esse e´ o isomorfismo
procurado.
Propriedade 50 (Unicidade do corpo de decomposic¸a˜o). Se L|K e L|′K sa˜o corpos de
decomposic¸a˜o sobre K de f(x) ∈ K[x]\K, enta˜o L|K e L′|K sa˜o extenso˜es K -isomorfas.
Demonstrac¸a˜o. Tomamos K = K ′ e f : I : K → K enta˜o existe isomorfismo
h : L→ L′ com h(a) = a∀a ∈ K.
Definic¸a˜o 35 (Corpo algebricamente fechado). Um corpo K e´ algebricamente fechado
⇔ todo polinoˆmio na˜o constante em K[x] tem uma raiz em K.
CAPI´TULO 1. CORPOS 41
Teorema 5. Para todo corpo K, existe corpo algebricamente fechado K tal que K ⊂ K.
Definic¸a˜o 36 (Mergulho). Um mergulho e´ um homomorfismo injetivo. A imagem do
mergulho σ : F → L pode ser denotada por σF ou F σ, tambe´m podemos denotar a
aplicac¸a˜o σ(x) como xσ. Sendo E|F , um mergulho f : E → L e´ dito sobre σ se f |Fσ,
nesse caso tambe´m dizemos que f estende σ. Se σ e´ a identidade enta˜o dizemos que f e´
um mergulho de E sobre F .
Propriedade 51. Sejam E|K alge´brica e σ : E → E um mergulho de E sobre K, enta˜o
σ e´ um automorfismo.
Demonstrac¸a˜o. Por definic¸a˜o ja´ sabemos que σ e´ injetiva, falta enta˜o mostrar que e´
sobrejetiva. Seja α ∈ E, P (x) seu polinoˆmio irredut´ıvel emK[x], E ′ subcorpo de E gerado
por todas as ra´ızes de P (x) em E. E ′ e´ finitamente gerado logo E ′|K e´ finita. σ leva raiz
de P (x) em raiz de P (x), σ e´ de E ′ em E ′. Podemos ver σ como um k-homomorfismo de
espac¸os vetoriais, pois σ induz a identidade em K. Como σ e´ injetiva a imagem σ(E ′) e´
um subespac¸o de E ′, tendo a mesma dimensa˜o, [E ′ : K], enta˜o σ(E ′) = E ′, como α ∈ E ′,
segue que α esta´ na imagem de σ e a propriedade fica provada.
Definic¸a˜o 37. Sejam E|K e F |K todos em um corpo L, definimos
E[F ] := {
n∑
k=1
ak.bk, ak ∈ E, bk ∈ F}.
Corola´rio 20. E[F ] = F [E], por simetria entre E e F na definic¸a˜o.
Propriedade 52. E[F ] e´ anel.
Demonstrac¸a˜o.
ˆ 0 ∈ E[F ] Basta tomar
n∑
k=1
ak.bk com cada ak = bk = 0. A adic¸a˜o e´ comutativa,
associativa por propriedades de corpo e temos para um elemento
n∑
k=1
ak.bk o seu
sime´trico
n∑
k=1
(−ak).bk.
CAPI´TULO 1. CORPOS 42
ˆ O produto e´ fechado pois
(
n∑
k=1
ak.bk)(
n∑
k=1
a′k.b
′
k)
um elemento do produto e´ da forma as.bs.a
′
t.b
′
t = (as.a
′
t)︸ ︷︷ ︸
a∈E
. (bs.b
′
t)︸ ︷︷ ︸
b∈F
.
ˆ O produto e´ distributivo em relac¸a˜o a adic¸a˜o, a` esquerda e a direita, pois a pro-
priedade e´ herdade do corpo L. Ale´m disso e´ associativo e comutativo por mesmo
motivo. Temos o elemento neutro da multiplicac¸a˜o 1 =
1∑
k=1
1.1.
Com isso temos um anel comutativo com unidade.
Corola´rio 21. E,F ⊂ E[F ], pois qualquer a ∈ E pertence ao conjunto a =
1∑
k=1
a.1 o
mesmo para F .
Corola´rio 22. EF e´ o corpo quociente do anel K[F ], pois K[F ] e´ anel e conte´m E , F ,
as combinac¸o˜es
n∑
k=1
ak.bk pertencem a EF , como EF e o corpo quociente sa˜o os menores
corpos que conte´m tal anel, enta˜o sa˜o iguais.
Propriedade 53. Se L e E sa˜o corpos de decomposic¸a˜o de f(x) ∈ K[x] , enta˜o existe
um isomorfismo σ : E → L induzindo a identidade em K.
Se K ⊂ L ⊂ Ka onde Ka e´ o fecho alge´brico de K, enta˜o qualquer mergulho de E em
Ka induzindo a identidade em K e´ um isomorfismo de E em L.
Demonstrac¸a˜o.
Definic¸a˜o 38 (Corpo de decomposic¸a˜o de uma famı´lia). Seja I um conjunto de indices
e {fk}k∈I uma famı´lia de polinoˆmios em K[x] \ K, tal que cada fk se divide em fatores
lineares em L[x] e L e´ gerado por todas as ra´ızes de todo os polinoˆmios fk, K ∈ I.
Corola´rio 23. Nas condic¸o˜es da definic¸a˜o anterior. Seja Ka o fecho de K e Lk um
corpo de decomposic¸a˜o de fk em K
a, enta˜o o compositum de cada Lk e´ um corpo de
decomposic¸a˜o para nossa famı´lia de polinoˆmios.
Propriedade 54. Sejam L e E corpos de decomposic¸a˜o da famı´lia {fk}k∈I , qualquer
mergulho de E em Ka induzindo a identidade em K gera um isomorfismo de E em K.
CAPI´TULO 1. CORPOS 43
Demonstrac¸a˜o.
Se a famı´lia I e´ finita enta˜o os polinoˆmios podem ser enumerados como (fk)
n
1 , um
corpo de decomposic¸a˜o para o polinoˆmio
f(x) =
n∏
k=1
fk(x)
e´ um corpo de decomposic¸a˜o para a famı´lia.
1.6 Extenso˜es normais e separa´veis.
Definic¸a˜o 39 (Extensa˜o normal). Uma extensa˜o L|K e´ normal⇔ cada polinoˆmio moˆnico
irredut´ıvel f(x) ∈ K[x] que tem uma raiz em L tem todas as suas ra´ızes em L.
Propriedade 55. Se L|K e´ extensa˜o normal enta˜o L|F e´ normal, sendo K ⊂ F ⊂ L.
Demonstrac¸a˜o.
Teorema 6. Seja L uma extensa˜o alge´brica de K, contida num fecho alge´brico Kade K,
enta˜o as seguintes propriedades sa˜o equivalentes:
1. Todo mergulho de L em Ka sobre K induz um automorfismo de L.
2. L e´ um corpo de decomposic¸a˜o de uma famı´lia de polinoˆmios de K[x].
3. Cada polinoˆmio irredut´ıvel de K[x] que possui uma raiz em L se divide em fatores
lineares em L ( tem todas ra´ızes em L ).
Qualquer extensa˜o satisfazendo uma das treˆs propriedades acima e´ normal.
Propriedade 56 (Caracterizac¸a˜o das extenso˜es normais finitas). Uma extensa˜o L|K e´
normal finita⇔ L e´ corpo de decomposic¸a˜o sobre K de algum polinoˆmio f(x) ∈ K[x]\K.
Demonstrac¸a˜o.
⇒). Suponha que L|K seja normal finita, existem (αk)n1 em L alge´bricos sobre K,
tais que L = K(αk)
n
1 . Sejam (Pk(x))
n
1 em K[x] os polinoˆmios mı´nimos, ordenadamente,
de (αk)
n
1 sobre K. Seja f(x) =
n∏
k=1
Pk(x) ∈ K[x] pela normalidade de L|K, todas as
CAPI´TULO 1. CORPOS 44
ra´ızes de (Pk(x))
n
1 esta˜o em L, logo f(x) se decompo˜e em produto de fatores lineares
em L. Qualquer corpo F , com K ⊂ F com a propriedade de f(x) se decompor em
produto de fatores lineares, conte´m K ∪ {αk}n1 , portanto L = K(αk)n1 ⊂ F , L e´ o corpo
de decomposic¸a˜o sobre K de f(x).
⇐).
Suponha que L seja corpo de decomposic¸a˜o sobre K de algum polinoˆmio f(x) ∈
K[x] \ K, enta˜o L|K e´ uma extensa˜o finita, pois e´ gerado pela adjunc¸a˜o das ra´ızes de
f a K, pelo fato de ser corpo de decomposic¸a˜o o corpo na˜o deve ser feita adjunc¸a˜o de
outros elementos fora as ra´ızes, pois se na˜o ter´ıamos um corpo intermedia´rio o que e´ contra
hipo´tese de ser corpo de decomposic¸a˜o. Agora provamos a normalidade. Seja P (x) ∈ K[x]
moˆnico irredut´ıvel que tenha uma raiz α1 em L, vamos mostrar que todas as ra´ızes de
P (x) esta˜o em L. Sejam F tal que F ⊂ L, corpo de decomposic¸a˜o de f(x)p(x) sobre K,
α1 ∈ L e α2 arbitra´ria, ra´ızes de P (x) em F , temos que [L(α1) : L] = [L(α2) : L] pois
[L(α2) : L][L : K] = [L(α2) : K(α2)][K(α2) : K]
[L(α1) : L][L : K] = [L(α1) : K(α1)][K(α1) : K]
vale que [K(α1) : K] = [K(α2) : K] pois P (x) e´ o polinoˆmio mı´nimo de α1 e α2 sobre
K. L(αk) (k = 1 ou k = 2) e´ um corpo de decomposic¸a˜o sobre K(αk) de f(x), logo
K(α1) e K(α2) sa˜o isomorfos (por propriedade ”Extensa˜o da unidade”) , L(α1)|K(α1) e
L(α2)|K(α2) sa˜o extenso˜es isomorfas, portanto [L(α2) : K(α2)] = [L(α1) : K(α1)] o que
implica finalmente [L(α1) : L] = [L(α2) : L].
Como α1 foi tomado em L, enta˜o L(α1) = L, [L(α1) : L] = 1 = [L(α2) : L] logo α2
arbitra´rio raiz de P (x) tambe´m pertence a L, o que implica que se uma raiz de P (x)
pertence a L, enta˜o todas pertencem, logo L|K e´ normal.
Definic¸a˜o 40 (Derivada formal de polinoˆmios). Seja f(x) =
n∑
k=0
akx
k ∈ K[x], ondeK e´
um corpo. A derivada de f(x)e´
f ′(x) = Df(x) =
n∑
k=0
kakx
k−1.
Propriedade 57 (Linearidade).
D[af(x) + bg(x)] = af ′(x) + bg′(x).
CAPI´TULO 1. CORPOS 45
Propriedade 58 (Regra do produto).
(f(x).g(x))′ = f ′(x).g(x) + f(x).g′(x).
Propriedade 59.
D(x− a)m = m(x− a)m−1.
Propriedade 60. O polinoˆmio f(x) ∈ K[x] \ K tem uma raiz mu´ltipla em alguma
extensa˜o L de K ⇔f(x) e f ′(x) teˆm um fator comum de grau ≥ 1 em K[x].
Demonstrac¸a˜o.
⇒). Seja α ∈ L uma raiz de f(x) ∈ K[x] com multiplicidade m > 1, enta˜o f(x) =
(x−α)mq(x) em L[x] com q(α) 6= 0. Vale que f ′(x) = m(x−α)m−1q(x)+(x−α)mq′(x), da´ı
f ′(α) = m.0.q(α)+0.q′(α) = 0, portanto α tambe´m e´ raiz de f ′(x). Tomando P (x) ∈ K[x]
polinoˆmio mı´nimo de α sobre K, temos que P (x)|f(x) e P (x)|f ′(x) em K[x].
⇐). Suponha que g(x) ∈ K[x], com ∂g(x) ≥ 1, seja o fator comum de f(x) e f ′(x).
Seja α ∈ L (K ⊂ L) raiz de g(x). Vale que f(x) = (x − α)mq(x), q(α) 6= 0, para algum
m > 1, caso contra´rio f(x) = (x − α)q(x), q(α) 6= 0 e f ′(x) = q(x) + (x − α)q′(x) enta˜o
f ′(α) = q(α) 6= 0, o que contraria a hipo´tese, logo f(x) = (x − α)mq(x), q(α) 6= 0, para
algum m > 1.
Seja p(x) ∈ k[x] um polinoˆmio irredut´ıvel, para as duas pro´ximas propriedades.
Propriedade 61. Se car(K) = 0 enta˜o todas as ra´ızes de P (x) sa˜o simples.
Demonstrac¸a˜o. Suponha por absurdo que P (x) ∈ K[x] tem raiz mu´ltipla ⇔ P (x) e
P ′(x) tem um divisor comum de grau n ≥ 1. Como P (x) e´ irredut´ıvel enta˜o P (x)|P ′(x)
logo P ′(x) = 0, pois se fosse P ′(x) 6= 0 com ∂P (x) > ∂P ′(x) e dai P (x) 6 |P ′(x). P ′(x) =
0 ⇔ P (x) = a0 ∈ K que na˜o e´ irredut´ıvel, chegamos em um absurdo enta˜o P (x) deve
possuir apenas ra´ızes simples.
Propriedade 62. Se car(K) = p enta˜o P (x) tem raiz mu´ltipla ⇔ P (x) ∈ K[xp].
Demonstrac¸a˜o. Repetimos o mesmo argumento da proposic¸a˜o anterior, concluindo
que P ′(x) = 0, pore´m em caracter´ıstica p, isso acontece ⇔
n∑
k=0
kakx
k−1 = 0 e da´ı p|k, por
isso o polinoˆmio assume a forma
∑
l
alpx
lp.
CAPI´TULO 1. CORPOS 46
Definic¸a˜o 41 (Polinoˆmio irredut´ıvel separa´vel ou insepara´vel.). O polinoˆmio irredut´ıvel
p(x) ∈ K[x] e´ dito separa´vel sobre K ⇔ todas as suas ra´ızes sa˜o simples. Caso contra´rio,
o polinoˆmio e´ dito insepara´vel sobre K.
Definic¸a˜o 42 (Polinoˆmio separa´vel ). O polinoˆmio p(x) ∈ K[x] e´ dito separa´vel sobre K
⇔ seus fatores irredut´ıveis sa˜o separa´veis. Caso contra´rio, o polinoˆmio e´ dito insepara´vel
sobre K.
Definic¸a˜o 43 (Elemento separa´vel). Seja L|K uma extensa˜o de corpos. Um elemento
α ∈ L alge´brico sobre K e´ dito separa´vel sobre K ⇔ o polinoˆmio mı´nimo de α sobre K
e´ separa´vel sobre K.
Definic¸a˜o 44 (Extensa˜o separa´vel). Seja L|K uma extensa˜o de corpos . L|K e´ uma
extensa˜o separa´vel ⇔ todo elemento de L alge´brico sobre K e´ separa´vel sobre K. Caso
contra´rio L|K e´ dita extensa˜o insepara´vel.
Propriedade 63. Seja K um corpo com carK = 0. se α e β sa˜o alge´bricos sobre K,
enta˜o existe y ∈ K(α, β) tal que K(α, β) = K(y), isto e´, toda extensa˜o finita e´ simples
em corpos de caracter´ıstica zero.
Demonstrac¸a˜o. Sejam f(x) e g(x) em K[x], polinoˆmios mı´nimos de α e β sobre K
com ∂f(x) = n e ∂g(x) = m, L com K(α, β) ⊂ L, um corpo de decomposic¸a˜o sobre K de
f(x).g(x), enta˜o f(x) e g(x) se decompo˜e em fatores lineares em L[x], sendo f(x) e g(x)
com ra´ızes simples, ordenadamente (αk)
n
1 e (βk)
m
1 em L (α1 = α, β1 = β). Consideramos
a equac¸a˜o
αk + xβj = α+ xβ
com j 6= 1 e X ∈ L, tal equac¸a˜o possui uma u´nica soluc¸a˜o em L, a saber
x =
αk − α
β − βj .
Como car(K) 6= 0, K e´ infinito, logo existe c ∈ K tal que c 6= αk − α
β − βj . Tomando
y = α+ cβ temos que K(α, β) = K(y), pois y = α+ cβ ∈ K(α, β) logo K(y) ⊂ K(α, β),
agora iremos mostrar que α e β ∈ K(y). Temos α = y − cβ. Seja h(x) = f(y − cx) ∈
K(y)[x] ⊂ L[x], enta˜o
h(β) = f(y − cβ) = f(α)
CAPI´TULO 1. CORPOS 47
como g(β) = 0 e g(x) ∈ K[x] ⊂ K(y)[x] enta˜o g(x) e h(x) tem fator comum x− β em
alguma extensa˜o de K(y). x − β e´ o mdc(g(x), h(x)) em K(y)[x] pois se βj 6= β e´ outra
raiz de g(x), enta˜o y − cβj 6= αk (caso contra´rio desenvolvendo a expressa˜o chegamos em
c =
αk − α
β − βj apo´s desenvolver a igualdade)
h(βj) = f(y − cβj) 6= 0
ale´m disso (x−β)2 6 |g(x) logomdcF [x](g(x), h(x)) = x−β onde F e´ alguma extensa˜o de
K(y), mdcK(y)[x](g(x), h(x)) 6= 1, (pois se na˜o existiriam z(x) e L(x) tais que L(x)g(x) +
z(x)h(x) = 1, pore´m aplicando x = α temos 0 = 1 absurdo) e tem que ser um divisor de
x− β, logo o mdc e´ x− β, isto e´ x− β ∈ K(y)[x] da´ı β ∈ K(y), α = y − cβ ∈ K[y],
K(α, β) ⊂ K(y)⇒ K(y) = K(α, β) .
Teorema 7 (Teorema do elemento primitivo). Seja L|K uma extensa˜o finita, com car(K) =
0. Enta˜o L = K(α) para algum α ∈ L.
Demonstrac¸a˜o. Seja L|K uma extensa˜o finita, existem (αk)n1 em L, alge´bricos sobre
K tais que L = K(αk)
n
1 .
Provaremos o teorema por induc¸a˜o sobre n, o nu´mero de geradores alge´bricos de L
sobre K. Se n = 1, nada temos a fazer. Suponha o resultado va´lido para os corpos
gerados sobre K por n elementos alge´bricos, onde n ≥ 1. Seja L = K(αk)n+11 com cada
αk alge´brico sobre K, temos que L = F (αn+1) onde F = K(αk)
n
1 , por hipo´tese de induc¸a˜o
existe y ∈ F tal que F = K(y), enta˜o
L = K(αk)
n+1
1 = F (αn+1) = K(y)(αn+1) = K(y, αn+1),
pela propriedade anterior existe α ∈ L tal que L = K(y, αn+1) = K(α) .
Exemplo 21. Determine se a extensa˜o e´ normal
Q(i,
√
5)|Q.
Temos que f(x) = (x2 + 1)(x2 − 5) ∈ Q[x]. As ra´ızes de f sa˜o i,−i,
√
5,−
√
5, temos
L = Q(i,−i,
√
5,−
√
5) = Q(i,
√
5) logo e´ normal.
CAPI´TULO 1. CORPOS 48
Exemplo 22. Determine se a extensa˜o e´ normal
Q(
3
√
2)|Q.
Na˜o e´ normal pois f(x) = x3− 2 e´ irredut´ıvel moˆnico sobre Q[x] e na˜o teˆm todas as suas
ra´ızes em Q(
3
√
2).
Exemplo 23. Seja L|K uma extensa˜o de grau 2, com car(k) 6= 2. Mostre que existe
a ∈ L tal que L = k(a) e a2 ∈ K e que L|K e´ normal e separa´vel.
Seja β ∈ L, β /∈ K enta˜o [K(β) : K] = n > 1 e [L : k(β)] = m por multiplicatividade
dos graus, temos que n.m = 2 = [L : k] = [L : k(β)][K(β) : K], como n > 1 tem-se n = 2
e m = 1 logo [L : k(β)] = 1, implicando que k(β) = L.
Aplicando algoritmo de Briot-Ruffini dividindo x2 + bx + c com b, c ∈ K por x − β
encontramos um fator x+ b+ β logo a extensa˜o e´ normal , pois a outra raiz e´−b− β ∈ L.
Exemplo 24. A classe de extenso˜es normais na˜o e´ nota´vel, uma extensa˜o de grau 2 e´
sempre normal, pore´m a extensa˜o L = Q(
4
√
2)|Q na˜o e´ normal, as ra´ızes complexas de
x4 − 2 na˜o esta˜o em L e a extensa˜o e´ obtida por sucessivas extenso˜es de grau 2 (que sa˜o
normais)
Q ⊂ Q(
√
2) ⊂ Q( 4
√
2).
Propriedade 64. 1. Se L|E|K e L e´ normal sobre K enta˜o L e´ normal sobre E.
2. Se K1 e K2 sa˜o normais sobre K e esta˜o contidas em algum corpo corpo L enta˜o
K1K2 e K1 ∩K2 sa˜o normais sobre K.
Demonstrac¸a˜o.
Definic¸a˜o 45 (Grau de separablidade ). Sejam E um extensa˜o alge´brica de F e σ : F → L
um mergulho , tal que L seja o fecho alge´brico de σ(F ). O grau de separabilidade de E
em F , denotado por [E : F ]s e´ o nu´mero de extenso˜es de σ para um mergulho de E em
L.
CAPI´TULO 1. CORPOS 49
Propriedade 65. Seja E|F |K uma torre, enta˜o
[E : K]s = [E : F ]s[F : K]s,
se E|K e´ finita enta˜o [E : K]s ≤ [E : K], isto e´, o grau de separabilidade e´ no ma´ximo
igual ao grau da extensa˜o.
Demonstrac¸a˜o.
Propriedade 66. Seja E|K finita e E|F |K enta˜o
[E : K]s = [E : K]⇔ [E : F ]s = [E : F ] e [F : K]s = [F : K].
Demonstrac¸a˜o.
Como [E : K] e´ finita enta˜o [E : F ] e [F : E] tambe´m o sa˜o, logo tambe´m sa˜o finitas
[E : F ]s e [F : E]s.
⇒). Supondo [E : K]s = [E : K] temos
[E : F ]s[F : K]s = [E : F ][F : K]
se os dois nu´meros do lado direito fossem menores queseus correspondentes na direita,
enta˜o na˜o ter´ıamos uma igualdade, logo um dele deve ser igual, de onde por lei do corte
segue a igualdade das outras duas partes.
⇐).
Se [E : F ]s = [E : F ] e [F : K]s = [F : K] enta˜o por multiplicac¸a˜o segue que
[E : F ]s[F : K]s = [E : F ][F : K] e da´ı [E : K]s = [E : K].
Definic¸a˜o 46 (Grau de inseparabilidade). Se [E : K]s divide [E : K] enta˜o definimos
[E : K]i :=
[E : K]
[E : K]s
que e´ chamado de grau de inseparabilidade.
Propriedade 67. O grau de inseparabilidade e´ multiplicativo .
CAPI´TULO 1. CORPOS 50
Demonstrac¸a˜o. Seja E|F |K extensa˜o, enta˜o
[E : K]i =
[E : K]
[E : K]s
=
[E : F ][F : K]
[E : F ]s[F : K]s
= [E : F ]i[F : K]i.
Propriedade 68. Seja um extensa˜o E|K, ela e´ separa´vel ⇔ [E : K]s = [E : K].
Demonstrac¸a˜o.
Propriedade 69. Se K ⊂ F ⊂ L e α ∈ L e´ separa´vel sobre K enta˜o α e´ separa´vel sobre
F .
Demonstrac¸a˜o. Se F e´ um polinoˆmio separa´vel em K[x] tal que f(α) = 0 enta˜o
f tem coeficientes em F , logo α e´ separa´vel sobre F . Um elemento separa´vel continua
separa´vel quando subimos de corpo.
Propriedade 70. Seja E|K alge´brica gerada por uma famı´lia de elementos {αk}k∈I . Se
cada αk e´ separa´vel sobre K enta˜o E e´ separa´vel sobre K
Demonstrac¸a˜o.
Corola´rio 24. Se E e´ gerado por um nu´mero finito de elementos, cada qual separa´vel
sobre K, enta˜o E e´ separa´vel.
Teorema 8. A classe de extenso˜es separa´veis e´ nota´vel .
Definic¸a˜o 47 (Fecho separa´vel). O compositum de todas extenso˜es separa´veis de um
corpo K em um fecho alge´brico Ka e´ uma extensa˜o separa´vel, que denotaremos por Ks
ou Ksep e sera chamado de fecho separa´vel de K.
Definic¸a˜o 48 (Conjugado). Se E|K e´ alge´brica e σ qualquer um mergulho de E em Ka
sobre K, enta˜o chamamos σ(E) de um conjugado de E em Ka.
Definic¸a˜o 49 (Elementos conjugados). Seja α alge´brico sobre K. Se (σk)
r
1 sa˜o mergulhos
distintos de K(α) em Ka sobre K, enta˜o chamamos (σk(α))
r
1 de conjugados de α em K
a,
esses elementos sa˜o as ra´ızes distintas do polinoˆmio irredut´ıvel de α sobre K. A menor
extensa˜o normal de K contendo um desses conjugados e´ K(σkα)
r
1.
CAPI´TULO 1. CORPOS 51
Teorema 9 (Teorema do elemento primitivo II). Seja E|K finita, existe α ∈ E tal que
E = K(α)⇔ existe apenas um nu´mero finito de corpos F , tais que K ⊂ F ⊂ E. Se E e´
separa´vel sobre K enta˜o existe tal elemento α.
Demonstrac¸a˜o.
⇒).
Assumindo que existe apenas um nu´mero finito de corpos entre E eK. Sejam α, β ∈ E
arbitra´rios, conforme c varia em K, podemos ter apenas um nu´mero finito de corpos do
tipo K(α + cβ), enta˜o existem c1, c2 ∈ K com c1 6= c2 tais que
K(α + c1β) = K(α + c2β) = L,
α+c1β e α+c2β esta˜o em L, enta˜o α+c2β−α−c1β = (c2−c1)β ∈ L , c2−c1 6= 0 ∈ K ⊂
L logo possui inverso em L de onde segue tambe´m que β ∈ L, logo α+c1β−c1β = α ∈ L,
por isso K(α, β) pode ser gerado por um elemento , procedemos por induc¸a˜o para o caso
de E = K(αk)
n
1 .
Propriedade 71. Toda extensa˜o alge´brica L|K em corpos de caracter´ıstica zero e´ se-
para´vel.
Demonstrac¸a˜o. Dado α ∈ L, tomamos seu polinoˆmio mı´nimo P (x) ∈ K[x] ele e´
separa´vel pelo que ja´ mostramos em derivadas formais.
1.7 Extenso˜es puramente insepara´veis
Propriedade 72. Seja α alge´brico sobre K, α ∈ Ka, P (x) ∈ K[x] polinoˆmio irredut´ıvel
de α se car(K) = p > 0 enta˜o existe um inteiro u ≥ 0 tal que qualquer raiz de f tem
multiplicidade pu e temos
[K(α) : K] = pu[K(α) : K]s
e αp
u
e´ separa´vel sobre K.
Demonstrac¸a˜o.
CAPI´TULO 1. CORPOS 52
Propriedade 73. Para cada E|K finita, [E : K]s divide [E : K] o quociente e´ 1 se a
caracter´ıstica e´ zero e uma poteˆncia de p se a caracter´ıstica e´ p > 0.
Demonstrac¸a˜o.
Propriedade 74. Uma extensa˜o finita E|K e´ separa´vel ⇔ [E : K]i = 1.
Demonstrac¸a˜o.
Daqui em diante nesta sec¸a˜o assumimos que estamos em um corpo de caracter´ıstica
p > 0.
Definic¸a˜o 50. α alge´brico sobre K e´ dito ser puramente insepara´vel sobre K, se existe
um inteiro n ≥ 0 tal que αpn ∈ K.
Propriedade 75. Seja E|K alge´brica, enta˜o sa˜o equivalentes:
1. [E : Ks] = 1
2. Cada α ∈ E e´ puramente insepara´vel sobre K.
3. Para cada α ∈ E, o polinoˆmio irredut´ıvel de α sobre K e´ do tipo xpn − a = 0 para
algum n ≥ 0 e a ∈ K.
4. Existe um conjunto de geradores {ak}k∈I de E sobre K tal que cada αk e´ puramente
insepara´vel sobre K.
Demonstrac¸a˜o.
ˆ 1)⇒ 2) e 2)⇒ 3). Seja α ∈ E, temos [K(α) : K]s = 1, pois
[E : K]s︸ ︷︷ ︸
1
= [E : K(α)]s[K(α) : K]s
, seja f(x) irredut´ıvel de α sobre K enta˜o f tem apenas uma raiz, pois [K(α) :
K]s e´ igual ao nu´mero de ra´ızes distintas de f(x). Seja m = [K(α) : K] enta˜o
∂f = m, e a fatorac¸a˜o de f sobre K(α) e´ f(x) = (x − α)m, escrevemos m = pn.r
onde mdc(r, p) = 1, enta˜o f(x) = (xp
n − αpn)r, por expansa˜o desse termo e pelos
coeficientes de f(x) estarem em K, segue que rap
n ∈ K, com r 6= 0 ∈ K, tomando
a = αp
n
enta˜o α e´ raiz de xp
n − a que divide f(x) , da´ı segue que f(x) = xpn − a,
pois e´ o polinoˆmio irredut´ıvel, isto e´, r = 1. Com isso provamos 1)⇒ 2) e 2)⇒ 3).
CAPI´TULO 1. CORPOS 53
ˆ 3)⇒ 4) Tomamos I como a famı´lia dos α ∈ E tal que o polinoˆmio irredut´ıvel de α
sobre K e´ do tipo xp
n − a com n ≥ 0 e a ∈ K, cada α e´ puramente insepara´vel pois
αp
n
= a ∈ K, todo α ∈ E e´ dessa forma, logo tal famı´lia gera E.
ˆ 4)⇒ 1) Seja E uma extensa˜o gerada por elementos puramente insepara´veis {αk}K∈I ,
qualquer mergulho de E sobre K leva αk em uma raiz de fk(x) que divide algum
xp
n − a, que por sua vez possui apenas uma raiz, logo o mergulho de E sobre K e´ a
identidade em cada αk e por isso e´ a identidade em E, disso segue que [E : K]s = 1
como desejado.
Definic¸a˜o 51 (Extensa˜o puramente insepara´vel). Uma extensa˜o e´ dita ser puramente
insepara´vel se satisfaz uma das condic¸o˜es do teorema anterior.
Propriedade 76. A classe das extenso˜es separa´veis e´ nota´vel.
Demonstrac¸a˜o.
Propriedade 77. Sejam E|K alge´brica, E0 o compositum de todos subcorpos F de E
tais que K ⊂ F e F |K e´ separa´vel, enta˜o E0|E e´ puramente insepara´vel.
Demonstrac¸a˜o.
Propriedade 78. Se E|K alge´brica e´ separa´vel e puramente insepara´vel enta˜o E = K.
Demonstrac¸a˜o. Como E|K e´ separa´vel enta˜o vale [E : K]i = 1, como tambe´m e´
puramente insepara´vel enta˜o [E : K]s = 1, da´ı [E : K] = 1 e e E = K.
Propriedade 79. Seja L normal sobre K e K0 sua extensa˜o maximal separa´vel, enta˜o
K0|K tambe´m e´ normal.
Demonstrac¸a˜o.
Propriedade 80. Sejam E,F duas extenso˜es finitas de K, E|K separa´vel e F |K pura-
mente insepara´vel . Assuma E,F subcorpos de um corpo comum, enta˜o
[EF : F ] = [E : K] = [EF : K]s
[EF : E] = [E : K] = [EF : K]i.
CAPI´TULO 1. CORPOS 54
Demonstrac¸a˜o. Por termos a classe das extenso˜es separa´veis e das insepara´veis como
nota´veis, segue que EF |F e´ separa´vel e EF |E e´ insepara´vel.
Vale que
[EF : K]s = [EF : F ]s︸ ︷︷ ︸
[EF :F ]
[F : K]s︸ ︷︷ ︸
1
= [EF : F ]
[EF : K]s = [EF : E]s︸ ︷︷ ︸
1
[E : K]s︸ ︷︷ ︸
[E:K]
= [E : K]
de maneira similar
[EF : K]i = [EF : F ]i︸ ︷︷ ︸
1
[F : K]i︸ ︷︷ ︸
[F :K]
= [F : K].
[EF : K]i = [EF : E]i︸ ︷︷ ︸
[EF :E]
[E : K]i︸ ︷︷ ︸
1
= [EF : E].
Propriedade 81. Sejam Ep o corpo de todos elementos xp, x ∈ E, E|K extensa˜o finita.
1. Se EpK = E enta˜o E e´ separa´vel sobre K.
2. Se E e´ separa´vel sobre K enta˜o Ep
n
K = E ∀n ≥ 1.
Demonstrac¸a˜o.
1. Seja E0 o subsespac¸o maximal separa´vel de E. Assumindo E
pK = E. Seja E =
K(αk)
n
1 . E e´ puramente insepara´vel sobre E0, existe m tal que α
pm
k ∈ E0∀K, enta˜o
Ep
m ⊂ E0, mas EpmK = E ⊂ E0 logo E = E0 e´ separa´vel sobre K.
2.
1.8 Exemplos (revisar e rearranjar)
Propriedade 82. Se [K(α) : K] e´ ı´mpar enta˜o