Parte 01

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Administrac¸a˜o, Cieˆncias Conta´beis, Cieˆncias Econoˆmicas Prof. Fabr´ıcio Fernando Halberstadt
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
MATEMA´TICA FINANCEIRA
OPERAC¸O˜ES FINANCEIRAS
Denomina-se operac¸a˜o financeira qualquer operac¸a˜o que envolva a aplicac¸a˜o de valores moneta´rios destinada a obter seus
valores relativos no tempo. Portanto, esta˜o envolvidos simultaneamente os fatores capital, tempo e taxa de juro.
CAPITAL
Qualquer quantia de moeda dispon´ıvel para ser aplicada, em determinada data, denomina-se de Capital, Valor Atual
ou Valor Presente ou Atual.
Usaremos a notac¸a˜o PV (Present Value).
JURO
Considere a seguinte situac¸a˜o:
Se A empresta a B a importaˆnxia de R$400,00 pelo prazo de um ano, e´ comum que, ao final desse prazo, B devolva a
importaˆncia de R$400,00 acrescida, digamos, de R$100,00 como uma compensac¸a˜o finaceira denominada juro.
Juro e´ a remunerac¸a˜o, a qualquer t´ıtulo, atribu´ıda ao capital.
Para o exemplo anterior podemos determinar a taxa de juros da operac¸a˜o por meio da divisa˜o do valor dos juros pelo capital
inicial.
100
400
= 0, 25 −→ 25%
Usaremos a notac¸a˜o J.
TAXA DE JUROS
A taxa de juros, ou simplesmente taxa, e´ a unidade de medida dos juros. Apresenta-se em dois formatos:
• Taxa percentual ou centesimal: Representada por r(rate).
E´ a remunerac¸a˜o atribu´ıda a centos do capital na unidade de tempo indicada. Acompanha o s´ımbolo %. Exemplo:
4,6%a.m., 12%a.a.
• Taxa unita´ria: Representada por i(interest).
E´ a remunerac¸a˜o atribu´ıda a` unidade referida de tempo. Exemplo: 0,046a.m., 0,12a.a.
OBSERVAC¸A˜O: Nos ca´lculos das operac¸o˜es financeiras sempre devemos utilizar a taxa unita´ria.
Temos enta˜o que:
i =
J
PV
r =
( J
PV
)
• 100 i =
r
100
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EXEMPLO 1: O capital de R$16.000,00 esteve aplicado durante um ano e rendeu R$ 1.216,00. Qual a taxa anual dessa
aplicac¸a˜o?
EXEMPLO 2: Uma financeira promete uma renda de R$ 2.580,00 para uma aplicac¸a˜o de R$ 30.000,00 em um per´ıodo
de 6 meses. Qual a taxa mensal praticada pela financeira na referida aplicac¸a˜o?
MONTANTE OU VALOR FUTURO
Apo´s o per´ıodo de uma aplicac¸a˜o, o investidor tem a sua disposic¸a˜o o valor aplicado(PV) acrescido dos juros(J). A soma
desses valores e´ chamada de Montante ou Valor Final ou Valor Futuro.
Usaremos a notac¸a˜o FV(Future Value).
Segue que,
FV = PV + J
EXEMPLO 1: Uma capital de R$85.200,00 foi aplicado durante um quadrimestre e rendeu R$4.089,60 de juro. Pede-se:
a) Qual o montante final?
b) A que taxa esteve aplicado o capital?
EXEMPLO 2: Um investidor ao aplicar um capital de R$10.000,00 resgatou apo´s 15 meses uma quantia de R$11.185,00.
a) Qual o juro da aplicac¸a˜o?
b) A que taxa mensal esteve aplicado o capital?
REGIMES DE CAPITALIZAC¸A˜O
Capitalizac¸a˜o e´ a operac¸a˜o de adic¸a˜o dos juros ao capital. Existem dois tipos de capitalizac¸a˜o, o Regime de Capi-
talizac¸a˜o Simples e o Regime de Capitalizac¸a˜o Composta.
• Regime de Capitalizac¸a˜o Simples ou Regime de Juros Simples, consiste em somar os juros ao capital no final do prazo
contratado. Neste regime, o ca´lculo dos juros sempre e´ realizado sobre o valor inicial. Os juros simples sa˜o tambe´m
chamados de juros lineares.
• Regime de Capitalizac¸a˜o Composta ou Regime de Juros Compostos, consiste em adotar per´ıodos de capitalizac¸a˜o, que e´
o intervalo de tempo durante o qual os juros sa˜o calculados e incorporados ao capital acumulado ate´ o per´ıodo anterior,
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isto e´, os juros sa˜o calculados sobre o capital acumulado ate´ o per´ıodo imediatamente anterior. Os juros compostos sa˜o
tambe´m chamados de juros exponenciais.
Suponha que um capital de R$10.000,00 aplicado a` taxa de 10% ao ano segundo os dois regimes:
Pode-se observar que em operac¸o˜es com apenas um per´ıodo de capitalizac¸a˜o o valor dos juros produzidos indifere quanto
ao tipo de capitalizac¸a˜o utilizado. A partir do segundo per´ıodo de capitalizac¸a˜o, o sistema de juros compostos produz uma
quantia maior de juros em comparac¸a˜o aos produzidos pelos juros simples.
O montante produzido pelos juros simples e´ uma progressa˜o aritme´tica e o montante resultante dos juros compostos e´ uma
progressa˜o geome´trica.
FLUXO DE CAIXA OU DIAGRAMA DE CAPITAL NO TEMPO
O fluxo de caixa consiste numa representac¸a˜o gra´fica das entradas e sa´ıdas de capitais de uma operac¸a˜o financeira dis-
postas ao longo do tempo. E´ geralmente constitu´ıdo por um diagrama de eixo horizontal(linha do tempo), estando as
entradas acima e as sa´ıdas abaixo.
O fluxo de caixa pode ser constru´ıdo sob duas o´ticas: a do credor e a do devedor. A escolha da o´tica na˜o influencia nos
resultados obtidos.
Construir o fluxo de caixa de uma operac¸a˜o e´ essencial para o entendimento e elucidac¸a˜o de todos os componentes desta,
principalmente quando a referida operac¸a˜o e´ complexa, apresentando muitas varia´veis.
EXEMPLO 1: Elabore o fluxo de caixa, para o devedor e para o credor, das seguintes situac¸o˜es-problema:
a) Um produto e´ vendido a prazo em 8 prestac¸o˜es mensais de R$450,00 cada, vencendo a primeira 3 meses apo´s a compra.
Se a taxa de juros adotada e´ de 6,5%a.m., qual e´ o prec¸o a` vista do produto?
b) Um imo´vel e´ vendido a prazo em 6 prestac¸o˜es mensais de R$7.0000,00 cada, mais uma entrada de R$12.000,00. Se
a taxa de financiamento combinada foi de 1,73%a.m., qual o prec¸o a` vista do imo´vel?
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c) Um a empresa deve a uma financeira dois empre´stimos: um de R$20.000,00 com vencimento para 150 dias; outro de
R$30.000,00 com vencimento para 240 dias. A empresa quer acordar com a financeira uma proposta em que realiza o paga-
mento de ambos empre´stimos em quatro parcelas iguais em 30, 60, 90 e 120 dias. Se a taxa da operac¸a˜o for de 2,8%a.m.,
qual o valor de cada parcela?
d) O prec¸o a` vista de uma casa e´ de R$96.700,00. A prazo, ela e´ vendida com uma entrada de R$30.000,00 e mais 5
prestac¸o˜es mensais, iguais e consecutivas, de R$15.600,00 com a primeira vencendo 60 dias apo´s a compra. Qual a taxa
mensal de juros adotada pelo vendedor?
REGIME DE CAPITALIZAC¸A˜O SIMPLES - JUROS SIMPLES
No ca´lculo dos juros simples deve-se considerar a taxa incidindo apenas sobre o capital inicial, ou seja, a taxa de juros
na˜o incide sobre os juros acumulados. Desta forma, os juros variam linearmente ao longo do tempo, isto e´, se quisermos
transformar a taxa mensal em anual, basta multiplicarmo-na por 12 meses; se quisermos transformar uma taxa anual em
semestral, e´ necessa´rio dividi-la por 2 semestres; e assim por diante.
Podemos calcular os juros simples atrave´s de:
J = PV.i.n
PV e´ o capital inicial, i e´ a taxa unita´ria de juros e n o nu´mero de per´ıodos de aplicac¸a˜o do PV .
OBSERVAC¸A˜O: A taxa e o prazo devem referir-se a mesma unidade de tempo.
EXEMPLO 1: Represente graficamente os juros simples em func¸a˜o do tempo.
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MONTANTE E VALOR ATUAL
Temos que J = PV.i.n e FV = PV + J , assim:
FV = PV + PV in
segue que,
FV = PV (1 + in)
EXEMPLO 1: Tomou-se emprestada a importaˆncia de R$1200.00, pelo prazo de 2 anos, a` taxa de 30%a.a. Qual sera´ o valor
do juro a ser pago? E o montante?
EXEMPLO 2: Um capital de R$10.500,00 aplicado durante um ano, rende juros de R$1.192,40. Determine a taxa mensal a
que esteve aplicado o capital.
EXEMPLO 3: Sabe-se que os juros de R$14.350,00 foram obtidos com a aplicac¸a˜o de R$148.000,00, a` taxa de 6%a.t.
Determine quantos dias permaneceu aplicado.
EXEMPLO 4: Qual o capital que, estando aplicado por 5 anos, a` uma taxa de 1,2%a.m., rende R$5.400,00 de juros?
EXEMPLO 5: Determinar o montante do empre´stimo de R$90.000,00, pelo prazo de 4 anos, a` taxa de 11%a.a.
EXEMPLO 6: Sabendo-se que certo capital, aplicado durante 10 semestres,a` taxa de 24%a.a. rende R$17.420,00 de
juros, determinar o valor do capital inicial e do montante ao final do prazo de aplicac¸a˜o.
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EXEMPLO 7: Qual o capital aplicado a juros simples de 1,2%a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias?
EXEMPLO 8: Se a taxa de uma aplicac¸a˜o e´ de 20%a.a., quantos meses sera˜o necessa´rios para dobrar um capital apli-
cado atrave´s da capitalizac¸a˜o simples? E se a taxa for de 18%a.a.?
EXERCI´CIOS
1) Determine o valor dos juros simples de um empre´stimo de R$900,00 pelo prazo de 5 anos, sabendo que a taxa co-
brada e´ de 3% a.m. R: R$1.620,00
2) Um capital de R$25.000,00 aplicado durante 7 meses, rende juros de R$7.875,00. Determine a taxa de juros simples
correspondente. R: 4,5%a.m.
3) Se R$3.000,00 foram aplicados por cinco meses a` taxa de juros simples de 4% ao meˆs, determine:
a) os juros recebidos; R: R$600,00
b) o montante. R: R$3.600,00
4) Uma aplicac¸a˜o de R$3.000,00 a juros simples de taxa mensal igual a 6%, gerou montante igual a R$3.420,00. Deter-
mine o prazo de aplicac¸a˜o. R: 2 meses e 10 dias
5) Qual a taxa de juros simples que, aplicada durante 16 meses, produz um total de juros igual a 38% do valor princi-
pal? R: 2,38%a.m.
6) Um capital acrescido dos juros simples pelo prazo de treˆs meses e meio resulta num montante de R$ 448.000,00. O
mesmo capital, acrescido dos juros simples pela mesma taxa pelo prazo de 8 meses, resulta num montante de R$574.000,00.
Calcule o valor do capital aplicado e a taxa mensal de juros. R: R$415.7000,10 e 2,59%a.m.
7) Um capital aplicado transformou-se em R$13.000,00. Se a taxa de juros foi de 42% ao ano e o rendimento de R$4.065,29,
indicar quantos meses durou a operac¸a˜o. R: 13 meses
8) Dividir R$540,00 em duas partes de modo que a primeira produza em 6 meses o mesmo juro que a segunda em 3
meses, ambas com a mesma taxa de aplicac¸a˜o. PV1 = R$60,00 e PV2 = R$480,00
9) Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado para que seu valor dobre, no sistema de juros simples, a taxa
de 2% ao meˆs. R: 50 meses
10) Joa˜o fez um depo´sito a prazo fixo por 2 anos. Decorrido o prazo, o montante, que era de R$112.000,00, foi reapli-
cado em mais um ano a uma taxa de juros 15% superior a` primeira. Sendo o montante de R$137.760,00 e o regime de
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capitalizac¸a˜o juros simples, qual era o capital inicial? R: R$80.000,00
11) Um agricultor, possuidor de um estoque de 5.000 sacas de cafe´, na esperanc¸a de uma alta do produto, rejeita uma
oferta de compra desse estoque ao prec¸o de R$80,00 a saca. Dois meses mais tarde, forc¸ado pelas circunstaˆncias, vende o
estoque ao prec¸o de R$70,00 a saca. Sabendo-se que a taxa corrente de juro e´ de 6% a.a., qual foi em R$ o preju´ızo real do
agricultor? R:54.000,00
12) Uma pessoa deposita R$30.000,00 num banco que paga 4%a.a. de juros, e recebe, ao fim de certo tempo, juros iguais a
1/6 do capital. Qual o prazo de aplicac¸a˜o desse dinheiro? R: 50 meses
13) Quanto se deve aplicar a 12% ao meˆs, para que se obtenha os mesmos juros simples que os produzidos por R$400.000,00
emprestados a 15% ao meˆs, durante o mesmo per´ıodo? R: R$500.000,00
14) Certo capital, acrescido dos juros resultantes de sua aplicac¸a˜o durante 8 meses, eleva-se a R$23.100,00. O mesmo
capital, acrescido dos juros resultantes de 13 meses de aplicac¸a˜o, a` mesma taxa, eleva-se a R$23.475,00. Calcular o capital e
a taxa anual. R: R$22.500,00 e 4%a.a.
15) Um total de R$6.000,00 sera´ investido, parte a 3,5% e parte a 6%. Se o rendimento total esperado e´, no mı´nimo,
de R$300,00. Qual o valor ma´ximo que podera´ ser investido a 3,5%? R: R$2.400,00
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TAXAS PROPORCIONAIS
Duas taxas i1 e i2 sa˜o ditas proporcionais se os seus per´ıodos de aplicac¸a˜o n1 e n2, respectivamente, satisfazem:
i1 · n1 = i2 · n2
Por exemplo, as taxas 2%a.m. e 24%a.a. sa˜o taxas proporcionais.
TAXAS EQUIVALENTES
Duas taxas sa˜o denominadas equivalentes se, aplicadas a capitais iguais em tempos iguais, produzem juros iguais. No
regime de capitalizac¸a˜o simples, taxas proporcionais sa˜o tambe´m equivalentes, e vice-versa.
EXEMPLO 1) Um investidor aplicou um capital de R$4.200,00 a juros simples de 2,25%a.m. por um per´ıodo de 3 anos.
a) Determinar a taxa proporcional anual;
b) Calcular os juros e o montante recebido;
c) Mostre que as taxas proporcionais sa˜o tambe´m equivalentes.
TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA
Denomina-se de taxa nominal a que e´ contratada em uma operac¸a˜o financeira. Essa taxa nem sempre e´ taxa efetiva
praticada nessa operac¸a˜o, em geral e´ menor. Isso se deve ao fato de existirem impostos, taxas adicionais e outros encargos
financeiros que incidem sobre a operac¸a˜o. Conforme a convenieˆncia, muitas vezes, as taxas efetivas sa˜o mascaradas.
EXEMPLO 1) Uma pessoa depositou R$6.500,00 num banco, a prazo fixo, por dois meses, a` taxa de 2,50%a.m. Sabendo
que sobre os juros incide 15% de Imposto de Renda, determine:
a) O valor dos juros;
b) O imposto de renda retido;
c) O valor l´ıquido de resgate;
d) O rendimento efetivo mensal(taxa efetiva);
e) Qual a variac¸a˜o percentual da taxa nominal apresentada para a taxa efetiva.
EXEMPLO 2) Considere que as operac¸o˜es financeiras do exemplo anterior tenham sido realizadas no per´ıodo em que era
cobrada a CPMF(Contribuic¸a˜o Proviso´ria sobre a Movimentac¸a˜o ou Transmissa˜o de Valores e de Cre´ditos e Direitos de
Natureza Financeira) que vigorou de 1997 a 2007, sendo de o,38% sobre a movimentac¸a˜o financeira. Refac¸a os ca´lculos.
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EXEMPLO 3) Uma instituic¸a˜o financeira faz empre´stimos cobrando 2,7%a.m. de juros simples que devem ser pagos an-
tecipadamente pelo mutua´rio. Qual a taxa efetiva mensal de juros simples que o mutua´rio paga por um empre´stimo de
R$18.000,00 por 3 meses?
EXEMPLO 4) Considere o caso do exemplo anterior tendo ocorrido na e´poca da vigeˆncia da cobranc¸a da CPMF de o,38%
sobre movimentac¸a˜o financeira.
EXEMPLO 5) Observe o anu´ncio:
Qual a taxa efetiva mensal praticada pela loja?
EXEMPLO 6) Observe o anu´ncio:
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Qual a taxa efetiva mensal praticada pela loja?
CONTAGEM DE TEMPO - JUROS COMERCIAIS E JUROS EXATOS
• Juros comerciais: referem-se ao ano comercial sendo de 360 dias.
• Juros exatos: consideram o ano civil de 365 dias.
A na˜o ser que esteja expl´ıcito que se deva utilizar os juros exatos, por convenc¸a˜o, usamos os juros comerciais.
EXEMPLO 1) Um capital de R$14.730,00 e´ aplicado a` uma taxa de 14%a.a. por um per´ıodo de 90 dias. Calcule os juros
simples comercias e exatos dessa aplicac¸a˜o.
TEMPO EXATO E TEMPO APROXIMADO
• Tempo exato: considera-se exatamente o tempo transcorrido em uma operac¸a˜o financeira. Contagem no calenda´rio.
• Tempo aproximado: adota-se todos os meses como tendo 30 dias.
REGRA DOS BANCOS
Trata-se da convenc¸a˜o de calcular os juros por meio de juros comerciais e tempo exato. E´ forma que maiores juros
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proporciona, sendo chamados de juros banca´rios.
EXEMPLO 1) Calcule o tempo exato e aproximado entre as seguintes datas:
a) 21 de maio e 14 de novembro do mesmo ano;
b) 7 de setembro e 4 de fevereiro do ano seguinte;
EXEMPLO 2) Considere uma operac¸a˜o financeira cujo capital envolvido e´ de R$ 40.000,00, a taxa de 28%a.a. no per´ıodo
de 10 de marc¸o a 10 de agosto do mesmo ano. Calcule:
a) Juros comerciais e tempo exato;
b) Juros comerciais e tempo aproximado;
c) Juros exatos e tempo aproximado;
d) Juros exatos e tempo exato.
EXERCI´CIOS
1) Um empre´stimo de R$8.500,00 foi realizado em 20/07 e pago em 25/11 do mesmo ano. Sabendo que a taxa foi de
45%a.a., qual o juro total a ser pago? R: R$1.360,00
2) Um capital de R$5.000,00 rendeu R$625,00 de juro. Sabendo-se que a taxa de juros contratada foi de 30%a.a. e que a
aplicac¸a˜o foi feita dia 18 de marc¸o. Pergunta-se qual foi a datado vencimento, se:
a) Considerou-se juros comercial; R: 15/08
b) Considerou-se juro exato. R: 17/08
3) Qual o capital que deve ser aplicado no per´ıodo de 05/06 a 30/11 do mesmo ano, a` taxa de 36% ao ano, para ren-
der um juro de R$5.696,00? R: R$32.000,00
4) A que taxa mensal foi aplicado um capital de R$6.000,00, que, durante 6 meses e 20 dias, rendeu R$1.320,00? R:
3,3%a.m.
5) Um capital inicial de R$16.000,00, a` taxa de 36% ao ano, rendeu R$2.192,00 de juro. Sabendo que a aplicac¸a˜o foi
feita no dia 15/05/2011, qual foi a data de vencimento do contrato? R: 29/09/2011
6) Uma loja vende uma ma´quina por R$30.000,00 a` vista. A prazo, vende por R$33.080,00, sendo R$800,00 de entrada
e o restante apo´s 4 meses. Qual e´ a taxa de juros mensal cobrada? R: 2,64%a.m.
7) Sabe-se que um determinado capital dobrou apo´s aplicado durante um per´ıodo de 8 anos a juros simples. A que taxa foi
aplicado este capital? R: 12,5%a.a.
8) A que taxa de juros simples anual deve ser aplicado um capital para que em dois anos ele aumente em 50%? R:
11
25%a.a.
9) Um capitalista aplicou um capital de R$6.000,00 em 27 de abril de 2006, resgatando-o em 12 de janeiro de 2007. Sabendo
que a taxa da operac¸a˜o era de 16%a.a., calcule o juros simples exato e banca´rio. R: R$683,84 e R$693,33
10) Realizou-se uma aplicac¸a˜o de R$50.000,00 em uma operac¸a˜o para 14 dias a 2,8%a.m. Sabe-se que a al´ıquota do Imposto
de Renda e´ de 25% sobre os juros. Calcule o valor de resgate l´ıquido e a taxa l´ıquida(efetiva). R$50.490,00 e 2,10%a.m.
11) Calcule a taxa de juros praticada na compra a prazo estabelecida no seguinte anu´ncio: R: 11,76%
12) O capital de R$1.200,00 foi dividido em duas partes tais que a primeira aplicada a juros simples de 8% ao meˆs em dois
meses rendeu a mesma quantia que a segunda a` 10% ao meˆs em treˆs meses. Calcule as duas parcelas do capital. R: PV1 =
782,61; PV2 = 417,39
13) Aplicar um capital a 8%a.m. por 15 meses, equivale aplicar o mesmo capital a 6% por quanto tempo? R: 20 me-
ses
14) Aplicar um capital a 4%a.m por um ano, equivale aplicar o mesmo capital a que taxa de juros mensal por 7 me-
ses? R:6,86%a.m.
15) A terc¸a parte de um capital foi aplicada a 18% ao ano. A quarta parte a 20% ao ano e o restante a 15% ao ano a
juros simples. Ao fim dos treˆs anos os juros somaram R$5.000,00. Qual foi o capital aplicado? R: R$8.000,00
16) Quanto se deve aplicar a 12% ao meˆs, para que se obtenha os mesmos juros simples que os produzidos por R$400.000,00
emprestados a 15% ao meˆs, durante o mesmo per´ıodo? R: R$500.000,00
17) Treˆs capitais sa˜o aplicados a juros simples: o primeiro a 25% ao ano, durante 4 anos, o segundo a 24% ao ano, durante 3
anos e 6 meses e o terceiro a 20% ao ano, durante 2 anos e 3 meses. Juntos renderam R$8.070,00 de juros. Sabendo-se que
o segundo capital e´ o dobro do primeiro, e que o terceiro e´ o triplo do segundo, qual o valor do terceiro capital? R: R$9.000,00
18) Um microondas e´ vendido por R$380,00 a` vista ou com uma entrada de 30% e mais um pagamento de R$290,00
apo´s 40 dias. Qual a taxa mensal de juros simples envolvida na operac¸a˜o? R: 6,77%a.m
19) Carlos aplicou R$1.200,00 por 132 dias em uma instituic¸a˜o financeira e, R$980,00 em outra instituic¸a˜o financeira por
125 dias. Os juros da primeira aplicac¸a˜o excederam em R$92,54 os juros da segunda aplicac¸a˜o. Qual a taxa de juros das
aplicac¸o˜es, sendo que elas sa˜o iguais? R: 7,73%a.m.
20) Uma empresa possui duas ofertas de compra de um mesmo produto: uma no valor de R$ 225,00 para 30 dias, e
outra por R$238,00 para 60 dias. Qual a oferta mais vantajosa para a empresa, considerando-se uma taxa de mercado
9%a.m.? R: Pagamento em 30 dias.
21) Um banco empresta R$10.000,00 a juros postecipados de 12%a.m., prazo de 2 meses, mas em compensac¸a˜o exige saldo
me´dio de R$2.000,00. Qual a taxa de juros efetivamente cobrada? R: 15%a.m.
22) Um investidor depositou R$11.300,00 num banco, a prazo fixo, por 30 meses, a` taxa de 1,75%a.m. Sabendo que
sobre os juros incide 15% de Imposto de Renda, determine:
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a) O valor dos juros; R: R$5.932,50
b) O imposto de renda retido; R: R$889,88
c) O valor l´ıquido de resgate; R: R$16.342,63
d) O rendimento efetivo mensal(taxa efetiva); R: 1,49%a.m.
e) Qual a variac¸a˜o percentual da taxa nominal apresentada e a taxa efetiva. R: 14,86%
23) Um vendedor ao oferecer um celular ao cliente propo˜e: “O celular custa R$550,00. A` vista possui um desconto de
12%, ou parcelamos em duas vezes iguais de R$285,00, com uma de entrada e a segunda para 90 dias”. Qual a taxa de juros
simples praticada nessa situac¸a˜o? R: 14,41%a.m.
24) Na venda a prazo de um bem, cujo prec¸o a` vista era de R$300,00, a loja propunha 25% de entrada e o saldo acrescido
de juros simples anuais de 60%. Se em 05/09/2010 o cliente deu o aceite em uma duplicata de R$243,00, referente ao saldo,
qual o vencimento desta duplicata? R: 23/10/2010
25) Um poupador deposita mensalmente, a partir da data zero, a quantia de R$50,00 a juros simples de 48% ao ano.
que montante tera´ em um meˆs apo´s fazer o 12o depo´sito, sendo este o u´ltimo? Generalize o problema, deduzindo uma
fo´rmula que lhe permita resolveˆ-lo para qualquer taxa de juros. R: R$756,00
26) Nas compras a` vista,uma loja disponibiliza 5% de desconto. A prazo, acresce 4% e divide o pagamento em duas
parcelas: uma de entrada e a outra em 45 dias. Qual a taxa de juros simples praticada pela loja? R: 13,95%a.m.
27) Voceˆ fara´ um empre´stimo banca´rio na modalidade de “juros antecipados”. Neste sistema os juros sa˜o calculados sobre
o valor a pagar no final do empre´stimo e sa˜o descontados no ato da liberac¸a˜o do dinheiro. A operac¸a˜o, sob a taxa de juros
simples de 5% ao meˆs, sera´ realizada por 3 meses. O banco cobra uma taxa de abertura de cre´dito de R$18,00. Se voceˆ
precisa “levar para casa”(valor l´ıquido apo´s todos os descontos) uma importaˆncia de R$2.800,00 determine:
a) O valor do empre´stimo(valor a pagar no final do prazo); R: R$3.315,29
b) A taxa efetiva mensal de juros que voceˆ estara´ pagando. R: 6,13%a.m.
28) Considere agora que uma pessoa realizou, no ano de 2006, um empre´stimo nas mesmas condic¸o˜es do enunciado do
exemplo anterior, pore´m com a cobranc¸a adicional de CPMF de 0,38% sobre movimentac¸a˜o financeira. Refac¸a as contas
para o que e´ pedido nos itens “a”e “b”para essa operac¸a˜o. R: R$3.316,78 e 6,17%a.m.
29) Uma loja de informa´tica anuncia a seguinte promoc¸a˜o: “compre seu computador pelo prec¸o de tabela, pagando 30%
como entrada e o restante em 60 dias”. Se o comprador pagar a` vista recebera´ um desconto de 10% sobre o prec¸o de tabela.
Qual a taxa mensal de juros simples que estara´ sendo paga por quem optar pela compra a prazo? R: 8,33%a.m.
30) Joana aplicou R$10.000,00 a` taxa de 16,5%a.a. Cinco meses depois aplicou um capital de R$9.500,00 a` uma taxa
de 21%a.a. Quanto tempo depois desta segunda aplicac¸a˜o os montantes das duas aplicac¸o˜es sera˜o iguais? R: 16,5 meses
13
DESCONTOS SIMPLES
• T´ıtulo de cre´dito: documento que comprova publicamente que determinada pessoa(f´ısica ou jur´ıdica) e´ credora de
certa quantia especificada. Deve especificar: quanto deve ser pago, quando, por quem e a quem. Sa˜o exemplos de
t´ıtulos de cre´dito:
– NOTA PROMISSO´RIA;
– DUPLICATA;
– LETRA DE CAˆMBIO;
– AC¸A˜O;
– CERTIFICADOS DE DEPO´SITO;
– CHEQUE(se for pre´-datado);
– OUTROS.
• Desconto: e´ a quantia a ser abatida do valor nominal, isto e´, a diferenc¸a entre o valor nominal(N) e o valor atual(A)
quando do resgate de um t´ıtulo de cre´dito antes da data predeterminada.
Sa˜o divididos em descontos simples(comercial e racional) e descontos compostos(comercial e racional).
DESCONTO COMERCIAL SIMPLES(por fora, banca´rio): Equivale aos juros simplesdo valor nominal.
Dc = N.i.n
Como, A = N - d
Segue que,
Ac = N - N.i.n
Ac = N(1 - i.n)
EXEMPLO 1) Um t´ıtulo de R$6.000,00 vai ser descontado a` taxa de 2,1% ao meˆs. Faltando 45 dias para o vencimento do
t´ıtulo, determine:
a) o valor do desconto;
b) o valor atual comercial.
EXEMPLO 2) Um fornecedor necessitando de capital para equil´ıbrio de caixa, resolveu descontar uma duplicata emitida em
seu favor no valor de R$32.000,00, 65 dias antes do seu vencimento. O banco fez o desconto comercial simples a uma taxa
de 6,8%a.m. Pede-se:
a) o desconto feito pelo banco;
b) a quantia recebida pelo fornecedor portador da duplicata;
c) a taxa efetiva da operac¸a˜o;
e) o percentual de acre´scimo na taxa.
14
SOBRE O PRAZO DE ANTECIPAC¸A˜O DE UM DESCONTO
Considere a seguinte situac¸a˜o: “Qual e´ o desconto comercial simples sobre um t´ıtulo de cre´dito no valor de R$50.000,00 a
uma taxa de 10%a.m., realizado um ano antes da data predeterminada? E´ poss´ıvel realizar esse desconto?”
QUESTA˜O: Qual e´ o prazo n de antecipac¸a˜o para que seja poss´ıvel o Dc?
Para que seja poss´ıvel o processo, e´ necessa´rio que o desconto comercial simples seja menor ou igual ao valor nominal do
t´ıtulo, ou seja
dc ≤ N
N.i.n ≤ N
i.n ≤ 1
n ≤
1
i
Observe que o prazo de antecipac¸a˜o poss´ıvel depende apenas da taxa do desconto, isto e´, n independe do valor nominal do
t´ıtulo.
EXEMPLO 1) Calcule o prazo ma´ximo de antecipac¸a˜o para a situac¸a˜o de desconto imediatamente anterior.
EXEMPLO 2) Uma empresa gostaria de realizar todos os descontos de seus t´ıtulos por um valor na˜o inferior a 88% do
nominal. O que deve fazer essa empresa para que qualquer desconto comercial simples atenda a essa exigeˆncia?
CUSTO EFETIVO DE UMA OPERAC¸A˜O
Nas operac¸o˜es de desconto, taxas banca´rias adicionais e impostos fazem com que a taxa apresentada na˜o seja a efetiva.
Considere:
N: valor nominal do t´ıtulo;
n: prazo de antecipac¸a˜o do t´ıtulo;
i: taxa nominal de desconto;
Io: IOF(Imposto sobre Operac¸o˜es Financeiras) - incide sobre o valor nominal do t´ıtulo;
ir: taxa de registro(TAC - taxa de abertura de cre´dito) - incide sobre o valor nominal do t´ıtulo;
T: tarifa por t´ıtulo;
Lr: l´ıquido de resgate.
15
Assim temos que,
Lr = N - dc - IOF - taxa de registro - tarifa
Como dc = N.i.n
e
IOF = Ac.Io.n
IOF = N(1 - i.n)Io.n
Substituindo segue que,
Lr = N [(1− i.n)(1− Io.n)− ir]− T
EXEMPLO 1) Uma financeira faz a operac¸a˜o de desconto comercial simples a` uma taxa de 8,2%a.m. e cobrando uma 0,5%
sobre o valor do t´ıtulo como taxa de registro. Considerando a taxa do IOF de 0,0041% ao dia, determine:
a) O valor l´ıquido depositado de R$21.740,00, descontado 50 dias antes de vencer.
b) A taxa efetiva da operac¸a˜o.
EXEMPLO 2) Um banco realiza a operac¸a˜o de desconto simples a uma txaxa de 7%a.m., cobrando 0,75% de despesas
administrativas e R$7,80 de tarifa por t´ıtulo. Considere a cobranc¸a dia´ria de IOF de 0,0041%, pede-se:
a)o valor realmente retirado por uma empresa que realiza um desconto de t´ıtulo no valor de R$16.000,00, 20 dias antes de
vencer;
b) a taxa efetiva da operac¸a˜o;
c) o percentual de variac¸a˜o da taxa nominal para a taxa efetiva.
EXERCI´CIOS
1) Uma duplicata de R$6.900,00 foi resgatada antes de seu vencimento por R$6.072,00. Calcule o tempo de antecipac¸a˜o,
sabendo que a taxa de desconto comercial foi de 4% ao meˆs. R; 3 meses
2) Uma nota promisso´ria, cujo valor nominal e´ de R$2.000,00, foi resgatada 2 meses antes do vencimento, a` taxa de 30%a.a.
Qual e´ o desconto comercial? R: R$100,00
3) Um t´ıtulo, no valor nominal de R$8.400,00, com vencimento em 18/10, e´ resgatado em 20/07. Se a taxa de juro contratada
foi de 54%a.a., qual e´ o valor comercial descontado? R: R%7.266,00
4) Um t´ıtulo de R$4,800,00 foi resgatado antes de seu vencimento por R$4776,00. Sabendo que a atxa de desconto co-
mercial e´ de 32,4% ao ano, calcule o tempo de antecipac¸a˜o do resgate. R: 2 meses e 15 dias
5) O valor nominal de uma letra descontada por dentro, em regime de capitalizac¸a˜o simples, a` taxa de 8% a.a., 1 meˆs
e 15 dias antes de seu vencimento, e que apresentou o desconto de R$40,00 e´ igual a quanto? R: R$4.100,00
16
6) O desconto comercial simples de uma letra descontada 4 meses antes do vencimento, a` de 5% a.a., sabendo-se que o
seu desconto racional simples e´ R$120,00, e´ igual a .....? R: R$122,00
7) Uma instituic¸a˜o financeira deseja operar com uma taxa efetiva de juros simples de 120%a.a. para operac¸o˜es de dois
meses. Qual a taxa de desconto comercial simples (banca´rio) que deve cobrar? R: 100%a.a.
8) Um t´ıtulo, no valor nominal de R$80.000,00, foi pago com 3 meses de antecedeˆncia, sofrendo um desconto comercial
simples de R$1.500,00. Qual foi a taxa anual de desconto praticada? R: 7,5%a.a.
9) Um t´ıtulo de R$6.000,00 foi descontado a` taxa de 2,1%a.m., faltando 45 dias para o seu vencimento. Sabendo que o
desconto comercial foi de R$189,00, calcule a taxa de juro efetiva. R: 2,17%a.m.
10) Uma duplicata de R$23.000,00 foi resgatada 112 dias antes do seu vencimento por R$21.068,00. Determine a taxa
de desconto nominal e efetiva. R: 2,25%a.m. e 2,46%a.m.
11) O desconto comercial de um t´ıtulo foi de R$750,00, adotando-se uma taxa de 30%a.a. Quanto tempo faltaria para
o vencimento do t´ıtulo, se seu valor nominal fosse de R$20.000,00? R: 45 dias
12) O valor nominal de um t´ıtulo e´ igual ao dobro do seu valor de face(aplicac¸a˜o). Sabendo-se que a txa de juros cor-
rente e´ de 12,5%a.m., qual e´ o prazo de aplicac¸a˜o? R: 8 meses
13) Um banco realiza a operac¸a˜o de desconto simples a uma taxa de 5,2%a.m., cobrando 0,6% de despesas administra-
tivas e R$4,60 de tarifa por t´ıtulo. Considere a cobranc¸a dia´ria de IOF de 0,0041%, pede-se:
a)o valor realmente retirado por uma empresa que realiza um desconto de t´ıtulo no valor de R$16.000,00, 20 dias antes de
vencer; R: R$15.332,07
b) a taxa efetiva da operac¸a˜o; R: 6,53%a.m.
c) o percentual de variac¸a˜o da taxa nominal para a taxa efetiva. 25,58%
14) Refac¸a os ca´lculos para o exerc´ıcio anterior considerando que a operac¸a˜o foi realizado quando havia cobranc¸a da CPMF
de 0,38% sobre movimentac¸a˜o financeira. R$15.274,03, 7,72%a.m. e 42,96%
15) O portador de um t´ıtulo resolveu desconta´-lo quatro meses antes do vencimento com desconto comercial de 13% ao
meˆs e aplicar o valor apurado a 18% ao meˆs de juros simples, pelo mesmo per´ıodo. Fez um bom nego´cio ou teria sido melhor
aguardar o vencimento do t´ıtulo? Justifique. R: Na˜o fez bom nego´cio.
16) Efetuada a operac¸a˜o de desconto de um t´ıtulo a` taxa de 6%a.m., o valor do t´ıtulo reduziu-se em 14%. Qual o prazo de
antecipac¸a˜o? R: 2 meses e 10 dias
17) O desconto de um t´ıtulo de R$10.000,00 resultou em um cre´dito de R$8.050,00 na conta do cliente de um banco.
Se a taxa desconto simples cobrada pelo banco for de 6,5%a.m., calcular o prazo ate´ o vencimento do t´ıtulo e a taxa efetiva
cobrada. (desconsidere o IOF). R: 3 meses e 8,07%a.m.
17
DESCONTO RACIONAL SIMPLES(real, por verdadeiro, por dentro): E´ calculado sobre o valor do t´ıtulo.
dr = Ar.i.n
dr = (N - dr).i.n
Portanto,
dr =
N.i.n
1− i.n
Donde podemos calcular o valor atual,
Ar = N - dr
Ar = N -
N.i.n
1− i.n
Portanto,
Ar =
N
1 + i.n
Observe que Ar = PV e FV = N.
EXEMPLO 1) Calcule o valor do desconto racional praticado sobre uma duplicata de R$9.700,00 a taxa de 7,24%a.m.
de juros simples, para daqui a 2 meses e meio.
EXEMPLO 2) Um t´ıtulo foi resgatado 34 dias antes de seu vencimento por R$30.864,20. Sabendo que o desconto pra-
ticado foi o racional a taxa de 6,74% ao meˆs, determine:
a) o valor do t´ıtulo?
b) o valor do deconto?
DESCONTO SIMPLES X DESCONTORACIONAL
Temos que:
dc = N.i.n e dr =
N.i.n
1 + in
Portanto,
18
dc = dr(1 + i.n) e dr =
dc
1 + i.n
EXEMPLO 1) Um t´ıtulo foi descontado racionalmente a` taxa de 56%a.a., 3 meses antes do vencimento resultando num
desconto de R$4.000,00. Determine o valor do desconto comercial e o valor do t´ıtulo.
EXERCI´CIOS
1) Qual o valor do desconto racional simples de um t´ıtulo no valor de R$8.000,00 apresentado 3 meses antes de seu venci-
mento, sendo de 2% a.m. a taxa de desconto? R: R$452,83
2) O quociente entre os descontos comercial e racional e´ 1,06. Qual sera´ o prazo de antecipac¸a˜o, se a taxa de juros for
de 24% a.a. e se o regime for de capitalizac¸a˜o simples? R: 3 meses
3) Qual e´ o desconto comercial simples de uma letra descontada 4 meses antes do vencimento, a` de 5% a.a., sabendo-se
que o seu desconto racional simples e´ R$120,00? R: R$122,00
4)Determine o valor nominal de um t´ıtulo, sabendo-se que a diferenc¸a entre seus descontos comercial simples e racional
simples, efetuados a` taxa de 6% a.a., em 3 meses, e´ de R$27,00. R: R$121.800,00
5) Qual o valor nominal de uma Nota Promisso´ria, a vencer em 30 de maio, que, descontada por fora no dia 3 de abril
do mesmo ano, a` taxa de 6% a.m., produziu um desconto de R$1.881,00? R: R$17.750,00
6) Uma letra sofreu desconto “por dentro”(ou racional) simples 6 meses antes do vencimento. O valor nominal e o va-
lor l´ıquido sa˜o inversamente proporcionais a 50 e 53, respectivamente. Calcule a taxa anual do desconto. R: 12%
7) Uma pessoa toma emprestado R$6.000,00 a` taxa de 15%a.a., para pagamento em 3 anos. Se pagar a d´ıvida 27 me-
ses depois, sendo de 12% a.a. taxa de desconto racional simples, o valor a ser pago sera´, em R$ de ........? R: R$189,00
8) Ao pagar um t´ıtulo de R$3.600,00 com antecipac¸a˜o em 90 dias, recebo um desconto de R$486,00. Qual e´ a taxa de
desconto racional simples? R: 5,2%a.m.
9) O valor atual de um t´ıtulo e´ de
3
5
do seu valor nominal, tendo sido descontado com um prazo antecipado de 4 me-
ses. Calcule a taxa de desconto racional simples da operac¸a˜o. R: 16,67% a.m.
10) Dois t´ıtulos de valores nominais R$25.400,00 e r$77.000,00, com vencimento para 90 e 180 dias, respectivamente, produ-
ziram o valor l´ıquido de R$53.512,74, quando descontados e somados.
a) Se o desconto for comercial, qual a taxa mensal correspondente? R: 9,08%a.m.
b) E se o desconto for o desconto racional simples? R: 18%
11) O valor atual de um t´ıtulo e´ igual a a 50% do seu valor nominal. Calcule a taxa de desconto, sabendo-se que o
pagamento desse t´ıtulo foi antecipado 5 meses. R: 10%a.m.
12) Um investidor depositou R$10.000,00 num banco, a prazo fixo, por 24 meses, a` taxa de 1,5%a.m. Sabendo que so-
bre os juros incide 15% de Imposto de Renda, determine:
19
a) O valor dos juros; R: R$3.600,00
b) O imposto de renda retido; R: R$540,00
c) O valor l´ıquido de resgate; R: R$13.060,00
d) O rendimento efetivo mensal(taxa efetiva); R: 1,28%a.m.
e) Qual a variac¸a˜o percentual da taxa nominal apresentada e a taxa efetiva. R: 14,67%
13) A diferenc¸a entre os descontos por fora e por dentro de um t´ıtulo e´ de r$56,25. Pede-se o valor nominal do t´ıtulo,
sabendo-se que foi apresentado a desconto 45 dias antes do vencimento, a` taxa 2,5% ao meˆs. R: R$41.500,00.
14) Ao se fazer o desconto comercial de um t´ıtulo o valor do desconto calculado foi de 25% do valor do t´ıtulo. Se o
desconto fosse racional que porcentagem o valor de desconto seria em relac¸a˜o ao valor nominal do t´ıtulo? R: 20%
15) Jorge emprestou determinada quantia a seu amigo Marcos pelo prazo de 150 dias, a juros simples de 2,5% ao meˆs,
e recebeu uma nota promisso´ria representativa da d´ıvida. Treˆs meses depois Marcos propoˆs a Jorge a quitac¸a˜o da d´ıvida,
naquele momento, mediante uma operac¸a˜o de desconto racional simples do t´ıtulo a` taxa de 2,5% ao meˆs. Jorge aceitou e
recebeu, para liquidac¸a˜o da d´ıvida, o valor de R$1.392,86. Determine o valor originalmente emprestado. R: R$1.300,00
20
DESCONTO DE DUPLICATAS - CUSTO EFETIVO
O desconto de um conjunto de duplicatas ira´ depender dos custos envolvidos na operac¸a˜o(IOF, taxa de registro, tarifa
por t´ıtulo...). Assim, apresenta-se dois me´todos para o ca´lculo do custo efetivo: utilizac¸a˜o da taxa me´dia, utilizac¸a˜o do prazo
me´dio.
CUSTO EFETIVO POR MEIO DA TAXA ME´DIA: Considere a seguinte situac¸a˜o-problema: “Suponha que uma
empresa necessite descontar 3 t´ıtulos e que os valores l´ıquidos recebidos, os prazos de antecipac¸a˜o e as taxa efetivas sejam os
seguintes:
lj nj ij
R$12.400,00 3 meses 12,34%a.a.
R$18.000,00 44 dias 11,2%a.a.
R$11.000,00 92 dias 12,88%a.a.
Qual o custo efetivo da operac¸a˜o de desconto?”
Generalizando teremos I =
m∑
j=1
Lj .ij .nj
m∑
j=1
Lj .nj
21
EXEMPLO 1) Uma empresa levou a uma instituic¸a˜o financeira os seguintes t´ıtulos:
R$5.000,00 para 15 dias
R$58.000,00 para 60 dias
R$84.000,00 para 124 dias
R$16.000,00 para 80 dias
A financeira cobra 6%a.m. de desconto simples, 0,7% sobre o valor do t´ıtulo como despesas administrativas e tarifa de R$4,20
por t´ıtulo. Considere IOF de 0,0041%a.d., calcule:
a) o valor recebido por t´ıtulo;
b) a taxa de custo efetivo por t´ıtulo;
c) o total recebido pela empresa;
d) o custo efetivo da operac¸a˜o;
e) a variac¸a˜o percentual da taxa nominal para a taxa efetiva da operac¸a˜o.
22
CUSTO EFETIVO POR MEIO DO PRAZO ME´DIO: Consideres a seguinte situac¸a˜o-problema: “Uma empresa
apresentou as seguintes duplicatas a um banco:
R$15.000,00 para 15 dias
R$38.000,00 para 90 dias
R$16.000,00 para 40 dias
R$75.000,00 para 80 dias
Considerando que o banco cobra taxa de 5,6% de desconto, IOC de 0,0667% ao dia, taxa de registro de R$1,20 e um custo
de borderoˆ de R$28,00. Determine:
a) O valor l´ıquido liberado ao cliente;
b) o custo efetivo mensal pelo prazo me´dio ponderado.
Observe que o prazo me´dio sera´ dado por: nmed =
m∑
j=1
Nj .nj
m∑
j=1
Nj
23
EXERCI´CIOS
1) Pelo empre´stimo banca´rio de R$30.000,00 pelo per´ıodo de 150 dias, uma empresa recebe a quantia de R$22.875,00.
Determine a taxa de desconto e a taxa de juros dessa operac¸a˜o. R: 4,75%a.m. e 6,23%a.m.
2) Qual a taxa mensal simples do desconto banca´rio de um valor de resgate igual a R$21.000,00, 70 dias antecipados, e
cujo valor atual e´ de R$18.876,30? R: 4,33%a.m.
3) Uma pessoa descontou uma nota promisso´ria de R$42.600,00, 76 dias antes do vencimento e, depositou o valor rece-
bido em sua conta corrente. O extrato da conta corrente indicou um depo´sito de R$34.200,00. Sabendo que o banco cobra
uma taxa de 0,8% sobre o valor nominal do t´ıtulo, pede-se:
a) a taxa de desconto comercial cobrada pelo banco; R:7,47%a.m.
b) a taxa efetiva mensal; R: 7,78%a.m.
c) o percentual de variac¸a˜o da taxa nominal para a taxa efetiva. R: 4,18%a.m.
4) Um banco deseja operar a uma taxa efetiva de 12,4%a.m. para operac¸o˜es a 2 meses. Sabendo que o banco cobra
1,85% sobre o valor do t´ıtulo para despesas administrativas e realiza a operac¸a˜o a desconto comercial simples, determine a
taxa de desconto comercial adotada pelo banco. R: 9,01%a.m.
5) Um capitalista investe R$50.000,00 em letras de caˆmbio, com vencimento para 180 dias e renda fixada em 7%a.m.
de juros simples.
a) calcule o valor nominal do t´ıtulo. R: R$710.000,00
b) Se o t´ıtulo for descontado 150 dias antes de vencer, quanto o investidor recebera´ por ele, se o desconto comercial simples
for de 7%a.m.? Analise o resultado. R: R$461.500,00
6) Uma empresa leva a um banco 5 t´ıtulos para descontar a uma taxa de 12%a.m., IOF de 0,0041% ao dia e tarifa de
R$4,60 por t´ıtulo. Sabendo que os valores dos t´ıtulos e os prazos de antecipac¸a˜o de cada um sa˜o:
R$8.456,00para 37 dias
R$7.400,00 para 26 dias
R$2.245,00 para 40 dias
R$1.845,00 para 15 dias
R$199.900,00 para 15 dias
Determine,
a) o valor l´ıquido recebido por cada t´ıtulo;
b) o valor dos juros pagos por t´ıtulo;
c) o valor creditado na conta da empresa;
d) o total dos juros pagos;
e) o custo mensal de cada t´ıtulo;
f) o prazo me´dio do custo efetivo;
g) o custo efetivo da operac¸a˜o.
24