Sistema de Amortização - Matemática Financeira (1)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA 
CURSO DE SECRETARIADO EXECUTIVO BILINGUE 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
DOCENTE: MANOEL HELENO GOMES DA SILVA 
DISCENTES: MARIANA IRACEMA DA SILVA 
 RITA DE CASSIA FERREIRA SOUZA 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistema de Amortizações: 
Tipos, finalidade e instituições que a utilizam. 
 
 
 
 
 
 
 
 
MAMANGUAPE – 2024 
 
 
 
 
Introdução: 
Nos sistemas financeiros modernos, entender e aplicar métodos eficientes de 
amortização é essencial para indivíduos e instituições. Uma amortização é o 
processo de pagamento de uma dívida ao longo do tempo, dividindo-a em 
prestações regulares que incluem tanto o principal quanto os juros. Entre os 
diversos sistemas de amortização, um dos mais comuns e amplamente utilizados é 
o sistema de amortização constante, também conhecido como sistema de 
amortização francês. 
Neste trabalho, exploraremos os fundamentos do sistema de amortização, suas 
características, vantagens e limitações. Analisaremos como ele funciona em 
comparação com outros métodos de amortização, como o sistema de amortização 
alemão e o sistema de amortização americano. Além disso, examinaremos a 
aplicação prática desses sistemas em diferentes contextos financeiros, destacando 
suas implicações em termos de custos totais e fluxo de caixa. 
Ao compreendermos profundamente os sistemas de amortização, estaremos mais 
bem preparados para tomar decisões financeiras informadas, seja ao adquirir um 
empréstimo para uma casa, financiar um projeto empresarial ou investir em ativos 
de longo prazo. Vamos mergulhar no mundo das amortizações e desvendar os 
mecanismos que sustentam a gestão financeira eficaz. 
 
Desenvolvimento: 
O que é Sistemas de Amortização? 
Os sistemas de amortização são desenvolvidos basicamente para operações de 
empréstimos e financiamentos de longo prazo, envolvendo desembolsos periódicos 
do principal e encargos financeiros. Existem diversas maneiras de se amortizar uma 
dívida, devendo as condições de cada operação estarem estabelecidas em contrato 
firmado entre o credor (mutuante) e o devedor (mutuário). Uma característica 
fundamental dos sistemas de amortização a serem estudados neste capítulo é a 
utilização exclusiva do critério de juros compostos, incidindo os juros 
exclusivamente sobre o saldo devedor (montante) apurado em período 
imediatamente anterior. Para cada sistema de amortização é construída uma 
planilha financeira, a qual relaciona, dentro de certa padronização, os diversos 
fluxos de pagamentos e recebimentos. São consideradas também modalidades de 
pagamento com e sem carência, conforme estudadas em capítulos anteriores. Na 
carência, não há pagamento do principal, sendo pagos somente os juros. 
Eventualmente, os juros podem ser capitalizados durante o prazo de carência. 
Definições básicas: 
Os sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos tratam, basicamente, 
da forma pela qual o principal e os encargos financeiros são restituídos ao credor do 
capital. Antes do estudo desses vários sistemas, é importante que sejam definidos 
os principais termos empregados nas operações de empréstimos e financiamentos. 
 ■ Encargos (Despesas) Financeiros – Representam os juros da operação, 
caracterizando-se como custo para o devedor e retorno para o credor. 
■ Amortização – A amortização refere-se exclusivamente ao pagamento do 
principal (capital emprestado), o qual é efetuado, geralmente, mediante parcelas 
periódicas (mensais, trimestrais etc.). Alguns poucos tipos de empréstimos permitem 
que o capital emprestado seja amortizado por meio de um único pagamento ao final 
do período. Essa situação é descrita no denominado Sistema de Amortização 
Americano, a ser estudado mais adiante neste capítulo. 
 ■ Saldo Devedor – Representa o valor do principal da dívida, em determinado 
momento, após a dedução do valor já pago ao credor a título de amortização. 
 ■ Prestação – É composto do valor da amortização mais os encargos financeiros 
devidos em determinado período de tempo. 
■ Carência – Muitas operações de empréstimos e financiamentos preveem um 
diferimento na data convencional do início dos pagamentos. 
Conceito de equivalência de fluxos de caixa: 
Dois ou mais fluxos de caixa são equivalentes a uma determinada taxa de juros se 
seus valores presentes, calculados com essa mesma taxa, forem iguais. Lembrando 
que a equivalência de fluxos de caixa e a equivalência de taxas de juros estão 
diretamente ligadas ao regime de juros compostos. 
É importante ressaltar que a equivalência de fluxos de caixa depende, 
necessariamente, da taxa de juros usada para descontar os fluxos de caixa, a fim de 
obter seus valores presentes. Portanto, se dois ou mais fluxos de caixa são 
equivalentes a uma determinada taxa de juros, essa equivalência deixará de existir 
se a taxa de juros for alterada. 
Conceitos de amortização e de saldo devedor de financiamentos: 
O conceito de amortização está diretamente ligado ao principal do financiamento. O 
fluxo de caixa das amortizações é a forma como o principal é devolvido ao 
financiador ao longo do tempo. Assim, a soma das amortizações contidas nas 
prestações de qualquer financiamento é sempre igual ao valor do principal do 
financiamento. 
Nos sistemas de amortização de financiamentos é fundamental a definição da forma 
como o principal do financiamento vai ser amortizado. No sistema de pagamento 
único, no SAC e no sistema americano, as amortizações são claramente definidas 
por ocasião da assinatura dos contratos, ao passo que no sistema de prestação 
constante – Tabela Price, costuma-se apenas definir o valor das prestações, que é 
composto de amortização e juros. 
Sistemas equivalentes de amortização de financiamentos: 
Sistema de Pagamento Único: 
 
Nesse sistema, o devedor realiza um único pagamento ao final do prazo estipulado, 
não havendo pagamentos periódicos intermediários. Nesse caso, o valor a ser pago 
é composto pelo montante principal da dívida, acrescido dos juros acumulados 
durante o período. O cálculo envolve a aplicação da taxa de juros ao montante 
principal para determinar o valor dos juros. O valor final a ser pago é a soma do 
montante principal e dos juros calculados. 
 
Sistema de amortização americano: 
 
O Sistema de Amortização Americano (SAA) estipula que a devolução do capital 
emprestado é efetuada ao final do período contratado da operação de uma só vez. 
Não se prevê, de acordo com esta característica básica do SAA, amortizações 
intermediárias durante o período de empréstimo. Os juros costumam ser pagos 
periodicamente. 
 
Fundo de amortização: 
 
Junto com o SAA, costuma ser constituído pelo mutuário um Fundo de Amortização 
no qual vão sendo acumuladas poupanças periódicas durante o prazo do 
empréstimo. O objetivo deste fundo é que o seu montante, ao final do prazo n, seja 
igual ao valor da dívida. Estes depósitos são remunerados por meio de uma taxa 
periódica de juros. 
 
Sistema de prestações iguais – Tabela Price ou Sistema francês: 
 
Também conhecido como Tabela Price, é um dos sistemas de amortização mais 
utilizados do mercado. Nele, as prestações também são fixadas e compostas parte 
pela amortização do montante principal e parte pelos juros, que são maiores no 
início e diminuem progressivamente, enquanto a amortização aumenta ao longo do 
tempo. 
O cálculo envolve a utilização de uma fórmula específica para determinar o valor 
das prestações, levando em consideração a taxa de juros, o montante principal e o 
prazo do contrato. 
 
Exemplo numérico: 
 
Determine o valor do principal de um financiamento e o valor de sua prestação 
sabendo que ele é liquidado pela Tabela Price em quatro prestações iguais e 
sucessivas. A primeira prestação vence um período após a liberação dos recursos, 
e os valores das duas primeiras parcelas de amortização são $2.154,71 e 
$2.370,17, respectivamente. 
 
Solução 
 
As amortizaçõesda Tabela Price crescem exponencialmente, com a mesma taxa do 
contrato, assim temos: 
 
A2 = 2.370,17 = A1 (1 + i) = 2.154,71 (1 + i) → i = 0,10 = 10% por período 
 
A quarta e última amortização é obtida como segue: 
 
A4 = A2 (1 + i)2 = 2.370,17 (1 +10%)2 = 2.867,91 
 
O valor da prestação PMT é obtido através da relação que mantém com a última 
amortização (A4), como segue: 
 
PMT = An (1 + i) = 2.867,91 (1 + 10%) = 3.154,71 
 
O valor do principal do financiamento é obtido pela relação entre a amortização e 
juros da 1a prestação, como segue: 
 
J1 = PMT – A1 = 3.154,71 – 2.154,71 = 1.000,00 
 
J1 = 1.000,00 = PV × i = PV × 0,10 → PV = $10.000,00 
 
Sistema de amortização constante – SAC: 
O Sistema de Amortização Constante (SAC), tem como característica básica serem 
as amortizações do principal sempre iguais (ou constantes) em todo o prazo da 
operação. O valor da amortização é facilmente obtido mediante a divisão do capital 
emprestado pelo número de prestações. Os juros, por incidirem sobre o saldo 
devedor, cujo montante decresce após o pagamento de cada amortização, 
assumem valores decrescentes nos períodos. Em consequência do comportamento 
da amortização e dos juros, as prestações periódicas e sucessivas do SAC são 
decrescentes em progressão aritmética. 
 
 
Exemplo numérico: 
 
Um banco realizou um financiamento com pagamentos pelo sistema SAC, com 
amortizações mensais, iguais e sucessivas, e com a 1a prestação ocorrendo 30 
dias após a liberação dos recursos. Desse financiamento são conhecidos os 
seguintes valores: 
 
• Valor da 1a prestação = $25.000,00; 
 
• Valor da 2a prestação = $24.000,00; 
 
• Valor da última prestação = $21.000,00. 
 
Determine para esse financiamento: 
 
• o prazo (em meses); 
 
• a taxa de juros efetiva, em % ao mês; 
 
• o valor do principal financiado. 
 
SOLUÇÃO 
 
O decréscimo dos juros é igual a A × i, isto é: 
 
25.000,00 – 24.000,00 = 1.000,00 = A × i 
 
Na última prestação temos a seguinte relação: 
 
PRn = 21.000,00 = A + A × i = A + 1.000,00 → A = 20.000,00 
 
A taxa de juros é obtida pela relação a seguir: 
 
A × i = 1.000,00 = 20.000,00 × i → i = 0,05 = 5% a.m. 
 
Na 1a prestação temos: 
 
J1 = PR1 – A = 25.000,00 – 20.000,00 = 5.000,00 = PV × 5% 
 
Então temos: 
 
PV = 5.000,00 / 5% = 100.000,00 
 
O prazo do financiamento é obtido como segue: 
 
Prazo = n = PV / A = 100.000,00 / 20.000,00 = 5 meses 
 
Sistema de amortização misto – SAM: 
O sistema de amortização misto – SAM é uma mistura do SAC com a Tabela Price, 
e suas prestações são obtidas pela média ponderada entre as prestações desses 
dois sistemas de amortização. 
O Sistema de Amortização Misto (SAM) foi desenvolvido originalmente para as 
operações de financiamento do Sistema Financeiro de Habitação. Representa 
basicamente a média aritmética entre o sistema francês (SAF) ou Sistema de 
Prestação Constante (SPC) e o sistema de amortização constante (SAC), daí 
explicando-se a sua denominação. Para cada um dos valores de seu plano de 
pagamentos, deve-se somar aqueles obtidos pelo SPC com os do SAC e dividir o 
resultado por dois. 
 
Financiamentos com parcelas intermediárias – Uso de parcelas unitárias: 
O valor presente de um fluxo de caixa é sempre igual à soma das suas parcelas 
futuras, descontadas com uma certa taxa de juros. Quando se trata de um 
financiamento, se esse valor presente for igual ao valor do principal do 
financiamento, a taxa de desconto é sua taxa interna de retorno, pois anula o valor 
presente líquido do financiamento. Quando o financiamento apresentar fluxo de 
caixa que envolve pagamentos de prestações iguais e de parcelas intermediárias, 
seu valor presente (VP) é sempre igual à soma do valor presente das prestações 
com o valor presente das intermediárias, isto é: 
VP = VPprestações + VPintermediárias 
Quando as prestações são conhecidas, o valor presente das parcelas intermediárias 
tem de ser igual a: 
VPintermediárias = VP − VPprestações 
E vice-versa, quando as parcelas intermediárias são conhecidas, o valor presente 
das prestações tem de ser igual a: 
VPprestações = VP − VPintermediárias 
Financiamentos com parcelas mensais interrompidas – Uso de parcelas 
unitárias: 
Os exemplos numéricos deste item servem para mostrar a solução de problemas 
com prestações periódicas, quando ocorre uma interrupção de pagamento de 
alguma prestação, impossibilitando a utilização da função PMT da HP 12C e do 
simulador em Excel para o diagrama-padrão. 
 
Conclusão: 
Apresentamos detalhadamente o conceito de equivalência de fluxos de caixa, que é 
indispensável no processo de tomadas de decisão de investimentos. 
Fluxos de caixa são equivalentes, a uma determinada taxa de juros, se seus valores 
presentes (VP), calculados com essa mesma taxa de juros, forem iguais. 
Assim, a equivalência representa o ponto de indiferença entre dois fluxos de caixa. 
Tanto faz realizar o investimento A ou o investimento B se seus valores presentes 
forem iguais. 
A questão focal é que essa equivalência e, portanto, a igualdade de valores 
presentes, depende necessariamente da taxa de juros usada para descontar os 
fluxos de caixa, a fim de obter seus valores presentes (VP). 
Assim, se dois ou mais fluxos de caixa são equivalentes a uma determinada taxa de 
juros, essa equivalência deixará de existir se a taxa de juros for alterada. A 
equivalência de capitais, no regime de juros compostos, pode ser verificada no final 
de qualquer período n, desde que o período escolhido seja o mesmo para todos os 
fluxos de caixa envolvidos. 
Apresentamos também os conceitos de amortização e de saldo devedor de 
financiamentos, e detalhamos os principais sistemas de amortização de 
financiamentos usados no mercado (sistema de pagamento único, sistema 
americano, Tabela Price, SAC e SAM). 
Exemplificamos a obtenção dos valores de parcelas intermediárias em planos de 
financiamento, que dão uma flexibilidade na definição dos pagamentos para os 
mutuários, sem prejudicar a rentabilidade do financiador, desde que os planos de 
pagamentos sejam equivalentes. 
 
 
Referências Bibliográficas: 
 
NETO, Alexandre A. Matemática Financeira e suas Aplicações. Editora: Grupo 
GEN, 2022. E-book. ISBN 9786559773244. Disponível em: 
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786559773244/. Acesso em: 20 
abr. 2024. 
PUCCINI, Abelardo de L. Matemática financeira. Editora: Editora Saraiva, 2022. E-
book. ISBN 9786587958064. Disponível em: 
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786587958064/. Acesso em: 20 
abr. 2024. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	DOCENTE: MANOEL HELENO GOMES DA SILVA
	MAMANGUAPE – 2024