INTEGRA+ç+âO INDEFINIDA - AULA I - alunos

Prévia do material em texto

1
Cálculo Diferencial e Integral II
Integração
Prof.: Edmilson Monteiro
� Antiderivação e Integração
� Antiderivação é uma operação que consiste em encontrar uma 
função F cuja derivada (F ‘) é uma função conhecida f. Se a 
função F existir, ela é chamada antiderivada de f.
� Exemplo
� Seja . Uma antiderivada de f é:
pois .
� Costuma-se chamar a operação de antiderivação também por 
integração e a antiderivada de integral.
CxxF += 3
3
1)(2)( xxf =
2)(' xxF =
Introdução
2
� Antiderivação e Integração
� Todas integrais indefinidas devem ter o complemento “ +C” em 
sua solução pois muitas funções têm a mesma derivada.
� A integral indefinida é aquela para a qual não foi definida um 
intervalo de valores, portanto, ela é uma função ou família de 
funções;
� A integral definida é aquela definida dentro de um certo intervalo 
e calculada neste intervalo, portanto, ela é um número.
Introdução
� Integral Indefinida
� A operação que envolve uma integral indefinida consiste em achar 
sua primitiva, ou seja, é a mesma operação que consiste em 
achar uma antiderivada. O que muda então?
� A notação!
� Para denotar a integral de uma função passaremos a utilizar a 
seguinte notação:
� Seja . Uma primitiva de f é:
pois . Assim, a nova notação estabelece que:
2)( xxf = CxxF += 3
3
1)(
)()(' xfxF =
∫ = )()( xFdxxf
Integral Indefinida
3
� Exemplo
� A integral de é: 
� A integral de é:
� A integral de é:
� A integral de é: 
� ... 
2)( xxf = C
xdxx +=∫ 3
3
2
xxf sen)( = Cxxdx +−=∫ cossen
x
exf =)( Cedxe xx +=∫
xxf cos)( = Cxxdx +=∫ sencos
Introdução
� Outro Exemplo
� A função é uma primitiva da função 
f(x)=cos2x, pois .
� Fazendo,
� Não é uma tarefa muito fácil encontrar a primitiva de certas 
funções, mas existem métodos para isto e iremos aprender alguns 
deles.
CxxF += 2sen
2
1)(
)(2cos02cos2.
2
1)(' xfxxxF ==+=
Cxxdx +=∫ 2sen2
12cos
Introdução
4
�Definição simbólica
� Se F(x) é uma primitiva de f(x), a expressão F(x) + C é chamada 
integral indefinida da função f(x) e é representada pela 
expressão:
� O símbolo “dx” que aparece na fórmula serve para identificar a 
variável sobre a qual se processa a integração.
∫ += CxFdxxf )()(
Introdução
�Exemplo
� Significa que a operação de integração incide sobre a variável “x”.
� Significa que a operação de integração incide sobre a variável “y”.
dxx∫
2
dyyx∫
32
.
Introdução
5
� Integral de uma função constante
� Uma primitiva de uma função constante f(x)=k, é a função linear 
F(x)=k.x, pois F’(x) = (k.x)’ = k. Logo:
� Exemplo
Cxkdxk +=∫ ..
Cxdx +=∫ .5.5
Introdução
� Integral de uma função potência
� Seja, por exemplo, f(x)=x4.
� Uma primitiva de f(x) é pois F’(x)=x4. Logo: 
� Portanto, uma primitiva da função f(x)=xn, com n≠-1, é a função
5
)(
5
x
xF =
C
n
xdxx
n
n +
+
=
+
∫ 1
.
1
Cxdxx +=∫ 5
.
5
4
1
)(
1
+
=
+
n
x
xF
n
Introdução
6
� Caso especial de Integral de uma função potência
� Seja, por exemplo, f(x)=x-1=1/x.
� Uma primitiva de f(x)=1/x é a função F(x)=ln|x|, portanto:
Cxdx
x
+=⋅∫ ln
1
Introdução
� Integral de função exponencial
� Integrais de funções trigonométricas
Cedxe xx +=∫
Cxxdx +=∫ sencos
Cxxdx +−=∫ cossen
Ctgxxdx +=∫
2sec
Introdução
7
� Integrais de funções trigonométricas
� Integral das funções inversas
Cxdxtgxx +=∫ sec..sec
Cgxxdx +=∫ cotseccos
2
Cxdxgxx +−=∫ seccos.cot.seccos
Cxdx
x
+=
−
∫ arcsen.1
1
2
Carctgxdx
x
+=
+∫
.
1
1
2
Introdução
� Propriedades
� Integral da soma
� Exemplo
∫ ∫ ∫+=+ dxxgdxxfdxxgxf )()()].()([
∫ ∫ ∫ ∫++=++ dxxdxdxxdxxx 4)4( 22
3
3x
2
2x x4+ + + C
Propriedades
8
�Propriedades
� Integral da diferença
� Exemplo
∫ ∫ ∫−=− dxxgdxxfdxxgxf )()()].()([
∫ ∫ ∫−=− dxxdxxdxxx
2424 )(
5
5x
3
3x- + C
Propriedades
� Técnicas de Integração
� Método da Substituição: A chave do método da substituição é 
dividir a função em partes e depois encontrar uma parte da 
função cuja derivada também faça parte dela.
� Exemplo
� Podemos dividir a equação acima em duas partes:
� 1 parte: sen x.dx e
� 2 parte: cos x.
� Repare que a derivada do cos x é -sen x, portanto, a derivada do 
cosseno faz parte da função.
Técnicas de Integração
dx
x
x
∫ cos
sen
9
� Passos:
� Procure na função pela parte cuja derivada esteja na função. Se 
você estiver em dúvida, tente usar a que está no denominador ou 
alguma expressão que esteja sendo elevada a uma potência;
� Chame-a de “u” e tome sua derivada com relação ao diferencial 
(dx, dy, dt, etc.). Acrescentando esse diferencial;
� Use as expressões “u” e “du” para substituir as partes da integral 
original;
� A sua nova integral será mais fácil de ser calculada, mas não 
esqueça de, ao final, desfazer a substituição.
Técnicas de Integração
� Exemplo
� Use o método de substituição para encontrar a integral:
� Solução
� Devemos escolher parte da função cuja derivada esteja na 
função, como a derivada de sen x = cos x e a derivada do cos x = 
-sen x, e, ambas estão na função, na dúvida... selecionamos a 
parte que está no denominador, isto é: cos x;
� Chamamos u = cos x;
� Agora derivamos u com relação a “x”, portanto: du = - sen x.dx;
� Como na função original a função seno é positiva, basta 
multiplicar ambos os lados por –1 para que ela fique positiva;
Técnicas de Integração
dx
x
x
∫ cos
sen
dxxdu .sen=−
10
� Solução
� Basta re-escrever a integral original com as expressões “u” e 
“du”;
� Integral original:
� Nova integral: 
� Que também pode ser re-escrito como:
Técnicas de Integração
∫ x
dxx
cos
.sen
∫
−
u
du
∫− u
du
� Solução
� Basta calcular: ;
� O passo final é desfazer a substituição de u pelo o valor da 
original:
� Se derivarmos , teremos:
Técnicas de Integração
Cu
u
du
+−=− ∫ ||ln
Cx
u
du
+−=− ∫ |cos|ln
Cx +− |cos|ln
)cos(
)(
x
xsen
11
� Outro Exemplo
� Use o método de substituição para encontrar a integral:
� Solução
� Chamamos u = 3x;
� Agora derivamos u com relação a “x”, portanto: du = 3.dx;
� Basta re-escrever a integral original com as expressões “u” e 
“du”;
� Note que 3.dx não está na equação original, apenas dx. Para ficar 
apenas com dx, fazemos:
Técnicas de Integração
∫ dxx).3cos(
dxdu =
3
� Solução
� Basta re-escrever a integral original com as expressões “u” e 
“du”;
� Integral original:
� Nova integral: 
� Que também pode ser re-escrita:
Técnicas de Integração
∫ dxx).3cos(
∫ 3
.cos
du
u
∫ duu.cos3
1
12
� Solução
� Calculando , temos:
� Substituindo u pelo seu valor original, teremos:
Técnicas de Integração
∫ duu.cos3
1 Cuduu +=∫ sen.3
1
.cos
3
1
Cxduu +=∫ 3sen.3
1
.cos
3
1
� Técnicas de Integração
� Integração por partes: 
No Cálculo-I, quando calculávamos a derivada do produto de 
duas funções aplicávamos uma regra: chamávamos uma das 
funções de u, a outra função de v e sua derivada era dada 
por u’·v + u·v’.
� Exemplo
Seja f(x)= ex.sen(x). Chamamos u=ex, v=sen(x) e
f’(x)=ex.sen(x)+ex.cos(x).
� A integração por partes irá se aplicar a esses casos em que a 
função é constituída por um produto e também nos casos em 
que uma das funções pode ser derivada repetidamente e a outra 
pode ser integrada repetidamente.
Técnicas de Integração
13
� Técnicas deIntegração
� Integração por partes:
Assim, considere f(x) e g(x) duas funções deriváveis. A regra 
do produto nos diz que:
� Ou, dito de outra maneira:
Técnicas de Integração
[ ] )(').()().(')().( xgxfxgxfxgxf
dx
d
+=
[ ] ''.'. uvvuvu +=
� Técnicas de Integração
� Em termos de integrais indefinidas, a equação se torna:
Técnicas de Integração
[ ] )(').()().(')().( xgxfxgxfxgxf
dx
d
+=
[ ] [ ]dxxgxfxgxfdxxgxf
dx
d
∫∫ += )(').()().(')().(
[ ] dxxgxfdxxgxfdxxgxf
dx
d
∫ ∫∫ += )(').()().(')().(
[ ] ∫∫∫ =− dxxgxfdxxgxfdxxgxfdx
d )(').()().(')().(
14
� Rearranjando os termos, temos:
� Que é a fórmula da integração por partes.
� Porém essa fórmula é mais facilmente lembrada na forma 
diferencial. Sejam:
� u = f(x) du = f’(x)dx;
� v = g(x) dv = g’(x)dx.
� Usando a regra de substituição, a fórmula acima pode ser 
simplificada para:
Técnicas de Integração
dxxgxfxgxfdxxgxf ∫∫ −= )().(')().()(').(
∫∫ −= vduuvudv
� Exemplo-1:
� Usando o método da integração por partes, determine:
� Solução
� Usamos a fórmula simplificada da integração por partes, fazendo:
� u = x, du = dx;
� v = senx, dv = cosxdx.
� Então:
Técnicas de Integração
∫ xdxx cos.
∫∫ −= vduuvudv
∫∫ −= dxxxxxdxx .sensen.cos.
cxxxxdxx ++=∫ cossen.cos.
15
� Observações
� O objetivo da integração por partes é passar de uma integral 
que não sabemos como calcular para uma integral que 
podemos calcular.
� Geralmente, escolhemos dv primeiro sendo a parte do integrando, 
incluindo dx, que sabemos integrar de maneira imediata; u é a parte 
restante.
� Lembre-se de que a integração por partes nem sempre funciona.
� A integração por partes irá se aplicar a esses casos em que a função é 
constituída por um produto e também nos casos em que uma das funções 
pode ser derivada repetidamente e a outra pode ser integrada 
repetidamente.
Técnicas de Integração
∫udv
∫ vdu
Calcular: ∫ dxex
x
A integral dada deve ser escrita na forma .∫ dvu
Seja, portanto:
dxex x∫
xu = dxedv x=
Deste modo:
Cexedxexeduvuvdvudxxe xxxxx +−=−=−== ∫∫∫∫
a constante C pode ser 
incluída apenas no final.
INTEGRAÇÃO POR PARTES
dxdu =
xxx edxevdxedv ==→= ∫∫∫
Então:
16
Calcular: ∫
− dxex x2
Solução
Seja:
2xu = dxedv x−=
Assim:
dx2xdu =
xxx edxevdxedv −−− −==→= ∫∫∫
Portanto:
2xdx)e(exduvuvdvudxex xx2x2 ∫∫∫∫ −−− −−−=−==
INTEGRAÇÃO POR PARTES
A última integral é semelhante à original, com a exceção de 
que x2 foi substituído por x. 
ou:
dxex2exdxex xx2x2 ∫∫
−−− +−= (1)
Outra integração por partes aplicada a
completará o problema.
dxex x∫
−
Seja:
xu = dxedv x−=
17
Assim:
dxdu =
xxx edxevdxedv −−− −==→= ∫∫∫
Portanto:
dx)e(exduvuvdvudxex xxx ∫∫∫∫ −−− −−−=−==
ou:
1
xxxxx Ceexdxeexdxex +−−=+−= −−−−− ∫∫ (2)
Substituindo (2) em (1) resulta:
[ ]
1
xxx2
1
xxx2
xx2x2
C2e2ex2ex
Ceex2ex
dxex2exdxex
+−−−=
+−−+−=
+−=
−−−
−−−
−−−
∫∫
Portanto:
Ce)2x2x(dxex x2x2 +++−= −−∫
INTEGRAÇÃO POR PARTES – CONTINUAÇÃO
18
Calcule as seguintes integrais por integração por partes
Calcule as seguintes integrais por integração por partes
19
Calcule as seguintes integrais por integração por partes
Calcule as seguintes integrais por integração por partes
20
Calcule as seguintes integrais por integração por partes
Calcule as seguintes integrais por integração por partes
21
Calcule as seguintes integrais por integração por partes