AULA 18_DISTRIBUIÇÕES DE PROPABILIDADES CONTÍNUAS (PARTE 01)

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Profª Kellen Lima 
PROBABILIDADE 
& 
ESTATÍSTICA 
http://www.mspc.eng.br/matm/prob_est240.shtml 
Distribuições de Probabilidades 
Contínuas 
(Parte 01) 
AULA 
18 
CONTÍNUAS 
Hipergeométrica 
Poisson 
Distribuições de Probabilidades 
DISCRETAS 
Normal 
Uniforme 
Exponencial 
Binomial 
1. Objetivos da Aula 
Em duas aulas, 
vamos aprender: 
Distribuição 
uniforme 
Distribuição 
normal 
Distribuição 
exponencial 
2. Distribuições Contínuas 
• É dita contínua se o seu conjunto 
de valores possíveis consistir do 
intervalo completo de todos os 
valores, i.e, se para cada A< B, 
qualquer valor x entre A e B for 
possível; 
UMA 
VARIÁVEL 
ALEATÓRIA 
CONTÍNUA X 
• Espessura de um objeto; 
• Tempo para completar tarefa; 
• Temperatura de uma solução; 
• Altura. 
Exemplos: 
Se no estudo de ecologia de um lago fizermos medidas de 
profundidades em locais selecionados aleatoriamente, então: 
X = profundidade nesse local 
é uma variável contínua; 
A = profundidade mínima 
na região da amostragem; 
B = profundidade máxima. 
Por exemplo, se a variável for altura ou comprimento, poderá ser medida 
em km, m, cm e assim por diante, de forma que a VARIÁVEL É 
CONTÍNUA; 
Se a escala de medida de X pode ser subdividida tanto quanto se desejar, 
a variável será contínua. Caso contrário a variável será discreta. 
Como, para cada histograma, a área de todos os retângulos é igual a 1, logo a área 
total sobre a curva ajustada também é 1. A prob. de a profundidade em um ponto 
selecionado aleatoriamente estar entre a e b é igual à área sob a curva ajustada 
entre os dois referidos pontos a e b. Assim, na Figura (c) temos uma distribuição 
de probabilidade contínua. 
Se “considerarmos X discreta”, arredondando a profundidade para o valor mais 
próximo de metro, então os valores possíveis são inteiros não negativos ≤ M. Então, 
consideremos a área total de todos os retângulos igual a 1, Figura (a). 
Se a profundidade for medida com arredondamento para o centímetro seguinte e for 
usado o mesmo eixo de medidas para (a), cada retângulo no histograma de 
profundidades será muito mais estreito, apesar da área total permanecer 1, Figura 
(b); 
Se continuarmos executando medidas de forma mais e mais precisa, a sequência 
resultante terá uma curva cada vez mais ajustada, Figura (c); 
Suponha que a variável de interesse X seja a profundidade de um lago em um 
ponto da superfície escolhido aleatoriamente. Seja M = profundidade máxima (m), 
de modo que qualquer número do intervalo [0,M] seja um valor possível de X; 
3. Função de Densidade de Probabilidade 
co de f(x)o do gráfiárea abaixdxf(x)
xtodo,paraf(x)





1
0
  dxf(x)bXaP
b
a

A função de densidade de probabilidade (fdp) de X será, então, 
uma função 𝒇 𝒙 tal que, para quaisquer dois números 𝒂 e 𝒃, 
com 𝒂 ≤ 𝒃: 
A probabilidade de X pertencer a um intervalo (a,b) é a área 
obtida entre o intervalo e abaixo da curva da fdp(.) de X: 
Deve satisfazer as 
seguintes condições: 
Seja X o tempo que um livro de uma reserva de 
duas horas, na biblioteca de uma universidade, é 
examinado por um estudante selecionado 
aleatoriamente e suponha que X tenha uma 
função de densidade 
𝒇 𝒙 = 
𝟏
𝟐
𝒙, 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐
 𝟎, 𝒄𝒂𝒔𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓á𝒓𝒊𝒐
 
Calcule as probabilidades: 
𝑷 𝑿 ≤ 𝟏 , 𝑷 𝟎, 𝟓 ≤ 𝑿 ≤ 𝟏, 𝟓 , 𝑷 𝑿 > 𝟏, 𝟓 
(a) 𝑷 𝑿 ≤ 𝟏 = 
1
2
𝑥𝑑𝑥 =
1
4
𝑥2]0
1
= 0,25
1
0
 
(b) 𝑷 𝟎, 𝟓 ≤ 𝑿 ≤ 𝟏, 𝟓 = 
1
2
𝑥𝑑𝑥 =
1
4
𝑥2]0,5
1,5
= 0,5
1,5
0,5
 
(c) 𝑷 𝑿 > 𝟏, 𝟓 = 
1
2
𝑥𝑑𝑥 =
1
4
𝑥2]1,5
2
≈ 0,44
2
1,5
 
4. Função Distribuição Acumulada 
Propriedades? 
 
     

odo xdy, para tf(y) xXPxF
x
-
   
  rescente é não dec.F
xF e xF X
x
X
x
1lim0lim 

A fda 𝑭(𝒙) de uma v.a. contínua X é definida por: 
A função de distribuição acumulada (fda) 𝑭(𝒙) de uma v.a discreta X 
fornece, para qualquer nº específico de 𝒙, a prob. 𝑷(𝑿 ≤ 𝒙). Ela é obtida 
somando-se fmp 𝒑(𝒚) para todos os possíveis valores de 𝒚 que satisfaçam 
𝒚 ≤ 𝒙. A fda de uma v.a contínua fornece as mesmas probs. 𝑷 𝑿 ≤ 𝒙 e é 
obtida pela integração da fdp 𝒇(𝒚) entre os limites −∞ 𝒆 𝒙 
Para cada 𝒙, 𝑭(𝒙) é a área abaixo da curva de densidade à esquerda de 𝒙. Essa 
propriedade é ilustrada na Figura abaixo, onde 𝑭(𝒙) aumenta com ajuste à medida 
que 𝒙 aumenta. 
5. Uso de F(X) para calcular as 
Probabilidades 
𝑷 𝒂 ≤ 𝑿 ≤ 𝒃 = 𝑷 𝒂 < 𝑿 ≤ 𝒃 = 𝑷 𝒂 ≤ 𝑿 < 𝒃 = 𝑷 𝒂 < 𝑿 < 𝒃 
 
= 𝑭 𝒃 − 𝑭(𝒂) 
 
 
Seja X uma variável aleatória contínua com fda 𝒇 (𝒙) 
e F(x). Então para qualquer numero real 𝒂: 
𝑷 𝑿 > 𝒂 = 𝟏 − 𝑭(𝒂) 
E para quaisquer a, b números reais (a<b): 
A probabilidade desejada é a área sombreada abaixo da curva de densidade entre a 
e b, e é igual à diferença entre as duas áreas acumuladas sombreadas. 
6. Valor Esperado 
e 𝑬(𝒉(𝑿)) ≠ 𝒉(𝑬(𝑿)) para toda função 𝒉(. ) não linear! 
 
  dxf(x)xXE
-
 


     dxf(x)xhXhE
-
 



O valor médio ou esperado (média contínua ponderada) 
de uma v.a. contínua X com fdp 𝒇 (𝒙) é: 
Para uma função qualquer h(.): 
7. Variância 
       dxf(x)xXE
-
X XVar
222



 
     22 )(XVar XEXE 
O variância de uma v.a. contínua X com 𝒇 (𝒙) é: 
E também vale a propriedade: 
 
A fda da duração da retirada X descrita no exemplo 
anterior é 
F 𝒙 = 
𝟎 𝒙 < 𝟎
𝒙𝟐
𝟒
, 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐
𝟏 𝒙 ≥ 𝟐 
 
Use tais condições para calcular os itens a seguir: 
 
𝒂 𝑷 𝑿 = 𝟏 = F 1 =
𝑥2
4
= 
1
4
= 𝟎, 𝟐𝟓 
𝐛 𝐏 𝟎, 𝟓 ≤ 𝑿 ≤ 𝟏 = 𝐹 1 − 𝐹 0,5 =
12
4
 - 
0,52
4
= 𝟎, 𝟏𝟖𝟕𝟓 
𝒄 𝑷 𝑿 > 𝟎, 𝟓 = 1 − 𝑃 𝑋 ≤ 0,5 = 1 − 𝐹 0,5 = 1 −
0,52
4
= 𝟎, 𝟗𝟑𝟕𝟓 
𝒅 𝑬 𝑿 = 𝑥 ∙ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
∞
−∞
 𝑥 ∙
1
2
𝑥𝑑𝑥 =
1
2
2
0
 𝑥
2𝑑𝑥 =
𝑥3
6
]0
2
≈ 𝟏, 𝟑𝟑
2
0
 
𝑒 𝑬 𝑿𝟐 = 𝑥2 ∙ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
∞
−∞
 𝑥2 ∙
1
2
𝑥𝑑𝑥 =
1
2
2
0
 𝑥3𝑑𝑥 =
𝑥4
8
]0
2
= 𝟐
2
0
 
 
𝒇 𝑽𝒂𝒓 𝑿 = 𝐸 𝑋2 − 𝐸 𝑋 2 = 2 − 1,33 2 ≈ 𝟎, 𝟐𝟐 
𝒈 𝝈𝑿 𝒅𝒆𝒔𝒗𝒊𝒐 𝒑𝒂𝒅𝒓ã𝒐 = 𝑉𝑎𝑟(𝑋) ≈ 𝟎, 𝟒𝟕𝟏 
𝒇
𝒙
=
 
𝟏𝟐
𝒙
,
𝟎
≤
𝒙
≤
𝟐
 𝟎
,
𝒄𝒂
𝒔𝒐
 𝒄𝒐
𝒏
𝒕𝒓
á𝒓
𝒊𝒐
 
Na distribuição uniforme, um determinado valor apresenta 
a mesma probabilidade de ocorrência em qualquer lugar 
no intervalo entre o menor valor, a, e o maior valor, b. 
contrário caso 0 
bxase
ab
1


𝒇(𝒙) = 
Eventos com mesmo comprimento são equiprováveis! 
2
ba
E(X)


12
a)-(b
σ
2

A média de uma distribuição uniforme: 
O desvio padrão de uma distribuição unifome: 
4
2
62
2
ba
E(X) 




1547,1
12
2)-(6
12
a)-(b
σ
22

2 6 
0,25 
x 
f(x) 
Exemplo: Distribuição uniforme no intervalo [2,6]: 
𝒇 𝒙 =
𝟏
𝒃 − 𝒂
=
𝟏
𝟔 − 𝟐
= 𝟎, 𝟐𝟓 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝟐 ≤ 𝒙 ≤ 𝟔 
Suponha que a temperatura de reação X (em 
°C), em um certo processo químico, tenha 
função de densidade uniforme para A = - 5 e B 
= 5. Então, calcule: 
(a) 𝑷(𝑿 < 𝟎) Resp=0,5 
(b) 𝑷(−𝟐, 𝟓 < 𝑿 < 𝟐, 𝟓) Resp=0,5 
(c) 𝑷(−𝟐 ≤ 𝑿 ≤ 𝟑) Resp=0,5 
Faça os cálculos detalhados!!!!