prova 1 calc2 2015/2 + gabarito

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
CAMPUS MACAE´
Engenharia 11 de Janeiro de 2016.
Professor Roberto Mamud
NOME: NOTA:
Prova 1 – Ca´lculo 2 - Engenharia– 2015/02
Justifique todas as suas respostas.
1a Questa˜o. (2,0 pontos) Resolva as seguintes equac¸o˜es:
(a) 3
dx
dt
− 4x3 sen t = 0;
(b)
dy
dx
+ 2y = 2x+ e−3x.
2a Questa˜o. (3,0 pontos) Resolva o seguinte problema de valor de contorno:
y′′ − 4y′ + 5y = ex cos(2x)
y(pi/2) = 0
y(pi) = 0.
3a Questa˜o. (1,5 ponto) Considere a curva C em R3, parametrizada por
α(t) = (cos t, 2t2 + 1, 3t), t ∈ [0, 2pi].
Determine para quais valores de t0, a reta tangente a` curva C intercepta o eixo x no ponto
α(t0).
4a Questa˜o. (3,5 pontos) Considere a curva C, parametrizada pela func¸a˜o vetorial
σ(t) = (2t+ 1, sen t, cos t), t ∈ [0, 2pi],
e o ponto P0 = (pi/2 + 1,
√
2/2,
√
2/2) = σ(pi/4).
(a) Determine as equac¸o˜es parame´tricas da reta r(t), tangente a` curva C no ponto P0;
(b) Determine a equac¸a˜o do plano perpendicular a` reta r(t), no ponto P0. Este plano e´
conhecido como plano normal;
(c) Determine o comprimento da curva C;
(d) Suponha que σ(t) represente o vetor posic¸a˜o de uma part´ıcula que percorre a curva
C, no instante de tempo t. Mostre que o vetor velocidade V (t) e´ perpendicular ao
vetor acelerac¸a˜o A(t).
Boa Prova!
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