Gabarito Lista 9

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Gabarito da lista de exercícios 9
1. (a) x = t, y = 2t, z = 3t, 0 ≤ t ≤ 1
−→r (t) = t−→i + 2t−→j + 3t−→k , t ∈ [0, 1]
(b) x = 3t+ 1, y = 2t− 1, z = 5t+ 2, 0 ≤ t ≤ 1
−→r (t) = (3t+ 1)−→i + (2t− 1)−→j + (5t+ 2)−→k , t ∈ [0, 1]
(c)
(d)
(e)
2. (a)
17
√
17− 1
12
(b)
125− 13√13
48
(c) 1638, 4
(d)
√
34(16e4 − e)
9
(e)
464
5
+ 9 ln 3
(f) Errata: A integral é
∫
C
xey dx
Resposta:
e3 − 1
3
(g)
17
3
(h) 1 + cos 1− cos 2− cos 3
(i) 320
(j)
1
5
(k)
√
14(e6 − 1)
12
(l)
27
2
(m)
35
3
3.
1
4. (a)
1
x+ 2y
−→
i +
2
x+ 2y
−→
j
(b)
x√
x2 + y2 + z2
−→
i +
y√
x2 + y2 + z2
−→
j +
z√
x2 + y2 + z2
−→
k
5. (a) − 59
105
(b)
11
8
− 1
e
(c) −1
(d)
6
5
− cos 1− sen 1
(e) pi
6. Errata: O campo vetorial é
−→
F (x, y) = (x− y)−→i + xy−→j
Resposta: 3pi +
2
3
7. 2pi2
8. 0
9. 26
10. (a) Sim, sim, sim.
(b) Sim, não, não.
(c) Sim, sim, não.
(d) Não, não, não.
11. (a) 3x2 + 5xy + 2y2 + k
(b) O campo vetorial não é conservativo.
(c) O campo vetorial não é conservativo.
(d) xey + k
(e) x2 cos y − y sen x+ k
2
(f) x2y + x lnx+ k
(g) yex + x sen y + k
12. (a) xy + y2 + k, 2
(b)
x4y4
4
+ k, 4
(c) xyz + z2, 77
(d) x2z + z3 + xy2 + k, 7
(e) xy2 cos z + k, 0
(f) Errata: O campo vetorial é
−→
F (x, y, z) = ey
−→
i + xey
−→
j + (z + 1)ez
−→
k
Resposta: xey + zez + k, 2e
13. 30
14. Errata: O campo vetorial é
−→
F (x, y) = y
2
x2
−→
i − 2y
x
−→
j
Resposta: 0
15. (a) 6
(b) −2pi
(c)
2
3
(d) 0
16. (a) e− 1
(b)
318
5
(c)
1
3
(d) 0
(e) −24pi
(f) 0
3
17. (a)
4
3
− 2pi
(b) −16
(c)
625pi
2
18. (a) rot
−→
F = −x2−→i + 3xy−→j − xz−→k , div −→F = yz
(b) rot
−→
F = (xz2 − xy2)−→i + (x2y − yz2)−→j + (y2z − x2z)−→k , div −→F = 6xyz
(c) rot
−→
F = (x− y)−→i − y−→j +−→k , div −→F = 1− 1
2
√
z
(d) rot
−→
F =
−→
0 , div
−→
F = 1
(e) rot
−→
F =
1
y
−→
i − 1
x
−→
j +
1
x
−→
k , div
−→
F =
1
x
+
1
y
+
1
z
19. (a) xyz + k
(b) O campo vetorial não é conservativo.
(c) x2y + y2z + k
(d) xez + y + k
(e) O campo vetorial não é conservativo.
(f) cos(xy) + cos z + k
20. Não.
21. Não.
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