C2 Lista Semanal 9 - 2023_2 (Com Gabarito)

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CÁLCULO II
2023 - 1º Semestre
Lista de Exercícios 9
Questão 1. Calcule as derivadas de f na direção v⃗ e no ponto P :
a) f(x, y) =
x2 + 3x
4x2 + 6xy
, v⃗ = (1, 0) e P = (1, 5).
b) f(x, y, z) = z ln
(
xz
y
)
, v⃗ =
(
2√
13
,
3√
13
, 0
)
e P = (1, 2, 4).
Solução:
a) A derivada direcional de f na direção v⃗ no ponto P é dada por:
Dv⃗f(P ) = ∇f(P ) ·
v⃗
||v⃗||
,
onde ∇f(P ) é o vetor gradiente de f no ponto P .
Calculando o vetor gradiente de f :
∇f(x, y) =
(
∂f
∂x
,
∂f
∂y
)
=
(
(8x2 + 6xy)− 2x(2x+ 3)
(4x2 + 6xy)2
,
−3x(x+ 1)
(4x2 + 6xy)2
)
.
Substituindo P = (1, 5), temos:
∇f(1, 5) =
(
(8 + 30)− 2(2 + 3)
(4 + 30)2
,
−3(1 + 1)
(4 + 30)2
)
=
(
13
578
,
−3
578
)
.
E substituindo v⃗ = (1, 0), temos:
Dv⃗f(P ) = ∇f(P ) ·
v⃗
||v⃗||
=
(
13
578
,
−3
578
)
· (1, 0) = 13
578
.
Portanto, a derivada direcional de f na direção v⃗ no ponto P é 13
578
.
b) Prosseguimos de maneira análoga ao item anterior.
Calculando o vetor gradiente de f :
∇f(x, y, z) =
(
z
x
,−z
y
, ln
(
xz
y
)
+ 1
)
.
Substituindo P = (1, 2, 4), temos:
1
Universidade Federal do Pará
Cálculo II Lista de Exercícios 9
∇f(1, 2, 4) =
(
4
1
,−4
2
, ln
(
1 · 4
2
)
+ 1
)
= (4,−2, ln (2) + 1) .
E substituindo v⃗ =
(
2√
13
,
3√
13
, 0
)
, temos:
Dv⃗f(P ) = (4,−2, ln(2) + 1) ·
(
2√
13
,
3√
13
, 0
)
=
8√
13
− 6√
13
=
2√
13
.
Portanto, a derivada direcional de f na direção v⃗ no ponto P é
2√
13
.
Questão 2. Determine uma reta que seja tangente à curva x2+xy+y2 = 7 e paralela
à reta 5x+ 3y = 17.
Solução: Temos F (x, y) = x2 + xy + y2 e y = −5x
3
+ 17
3
, então
dy
dx
= −
∂f
∂x
∂f
∂y
= −2x− y
x+ 2y
Assim,
−2x− y
x+ 2y
= −5
3
6x− 3y = −5x− 10y
y = −11x
7
Portanto,
7 = x2 − 11
7
x2 +
121
49
x2
x2 = 5, 102
Logo,
x ≈ ±
√
5, 1,
e
y ≈ ±11
√
5, 1
7
.
Por fim,
y − 11
√
5, 1
7
= −5
3
(x−
√
5, 1)
ou, y +
11
√
5, 1
7
= −5
3
(x+
√
5, 1).
Questão 3. Determine o Hessiano das funções de duas variáveis indicadas abaixo:
a) f(x, y) = 6y2 − 3x2 + 4xy − 3.
b) f(x, y) = 2y3 − 9x3 + 24x2y − 7y2.
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Solução:
a) O Hessiano de f(x, y) é o determinante da matriz hessiana de segunda ordem,
definida como:
Hf (x, y) =
(
∂2f
∂x2
∂2f
∂x∂y
∂2f
∂y∂x
∂2f
∂y2
)
.
Calculando as derivadas parciais de segunda ordem de f :
∂2f
∂x2
= −6, ∂
2f
∂x∂y
= 4,
∂2f
∂y∂x
= 4,
∂2f
∂y2
= 12.
Logo, a matriz hessiana de f é:
Hf (x, y) =
(
−6 4
4 12
)
.
Portanto, o hessiano será
|Hf (x, y)| = −88.
b) Calculando as derivadas parciais de segunda ordem de f :
∂2f
∂x2
= −54x+ 48y, ∂
2f
∂x∂y
= 48x,
∂2f
∂y∂x
= 48x,
∂2f
∂y2
= 12y − 14.
Logo, a matriz Hessiana de f é:
Hf (x, y) =
(
−54x+ 48y 48x
48x 12y − 14
)
.
Portanto, o hessiano será
|Hf (x, y)| = −2304x2 + 576y2 − 648xy + 756x− 672y.
Questão 4. Seja a função k(x, y) = x2−4x+y2−6y. Determine os pontos críticos e
classifique-os em extremos relativos ou pontos de sela. Encontre também os extremos
absolutos da função no domínio fechado D = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 6}.
Solução: Para encontrar os pontos críticos, calculamos o gradiente e igualamos a
zero:
∇k(x, y) =
(
∂k
∂x
,
∂k
∂y
)
= (2x− 4, 2y − 6).
Igualando a zero:
2x− 4 = 0 =⇒ x = 2,
2y − 6 = 0 =⇒ y = 3.
O ponto crítico é (2, 3). Para classificar o ponto crítico, calculamos a matriz
hessiana:
Hk(x, y) =
(
∂2k
∂x2
∂2k
∂x∂y
∂2k
∂y∂x
∂2k
∂y2
)
=
(
2 0
0 2
)
.
A matriz hessiana é constante, então no ponto crítico terá os autovalores positivos
(2). Logo, temos que o ponto de crítico será um ponto de mínimo.
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Questão 5. Considere a função h(x, y) = xy − x2 − y2. Determine a direção de
variação máxima da função h no ponto Q(−1, 2).
Solução: Para encontrar a direção de variação máxima no ponto Q(−1, 2), primeiro
calculamos o gradiente:
∇h(x, y) =
(
∂h
∂x
,
∂h
∂y
)
= (y − 2x, x− 2y)
Avaliamos o gradiente no ponto Q:
∇h(−1, 2) = (2 · (2)− (−1), (−1)− 2 · (2)) = (5,−5).
A direção de variação máxima da função h no ponto Q é dada pelo vetor gradiente
no ponto Q. Portanto, a direção de variação máxima é o vetor (5,−5).
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