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Instituto de Matema´tica - INMA/UFMS
Quarta Lista de Probabilidade e Estat´ıstica - Engenharia Civil
1. Considere Z ∼ N(0; 1). Com o aux´ılio da tabela, calcule a probabilidade de:
(a) P (0 < Z < 1.81)? Resp: 0.4649.
(b) P (−2.03 < Z < 0)? Resp: 0.4788.
(c) P (Z > 0.63)? Resp: 0.2643.
(d) P (Z < −1.02)? Resp: 0.1539.
(e) P (−1.03 < Z < 2.01)? Resp: 0.8263.
(f) P (0.31 < Z < 2.13)? Resp: 0.3617.
(g) P (−2.13 < Z < −0.97)? Resp: 0.1494.
2. Considere Z ∼ N(0; 1). Encontre o valor de zo tal que:
(a) P (0 < Z < zo) = 0.4649? Resp: zo = 1.81.
(b) P (Z < −zo) = 0.2932? Resp: zo = 0.55.
(c) P (Z > zo) = 0.2266? Resp: zo = 0.75.
(d) P (Z < zo) = 0.0314? Resp: zo = −1.86.
(e) P (−0.23 < Z < zo) = 0.5722? Resp: zo = 2.08.
(f) P (−zc < Z < zo) = 0.90? Resp: zo = 1.64.
(g) P (Z < zo) = 0.09? Resp: zo = −1.34.
(h) P (−1.71 < Z < zo) = 0.25? Resp: zo = −0.54.
(i) P (Z < −zo) = 0.09? Resp: zo = 1.34.
3. Se X ∼ N(10; 4). Calcule:
(a) P (9 ≤ X ≤ 12)? Resp: 0.5328.
(b) P (8 ≤ X ≤ 10)? Resp: 0.3413.
4. Se X ∼ N(1; 0.16). Calcule P (0.2 ≤ X ≤ 1.8)? Resp: 0.9544.
5. Uma enchedora automa´tica de garrafas de refrigerante esta regulada para que o volume
me´dio de liquido em cada garrafa seja de 1.000 cm3 e o desvio-padra˜o de 10 cm3. Pode-se
admitir que a distribuic¸a˜o da varia´vel seja normal.
(a) Qual a probabilidade de garrafas em que o volume de liquido e menor que 990 cm3?
Resp: 0.1587.
(b) Qual a probabilidade de garrafas em que o volume de liquido na˜o se desvia da me´dia
em mais que dois desvios-padra˜o? Resp: 0.9545.
6. Suponha que o diaˆmetro me´dio dos parafusos produzidos por uma fa´brica e´ de 0.25 po-
legadas e o desvio-padra˜o 0.02 polegadas. Um parafuso e´ considerado defeituoso se seu
diaˆmetro e´ maior que 0.28 polegadas ou menor que 0.20 polegadas. Suponha distribuic¸a˜o
normal.
(a) Encontre a probabilidade de parafusos defeituosos. Resp: 0.073.
(b) Qual deve ser a medida do diaˆmetro para que tenhamos no ma´ximo 12% de parafusos
defeituosos? Resp: 0.2265.
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7. Uma fa´brica de cimento produz sacos de 50 kg com variaˆncia de 0.25 kg2. Determine a
probabilidade de que um saco selecionado aleatoriamente tenha:
a) entre 50 kg e 51 kg; Resp: 47.72%
b) entre 49 kg e 51 kg. Resp: 95.44%
c) acima de 51.5 kg. Resp: 0.13%
d) abaixo de 48.75 kg. Resp: 0,62%
e) entre 50.5 kg e 51.5 kg. Resp: 15.74%
f) abaixo de 48.5 kg ou acima de 51.5 kg. Resp: 0.26%
g) Em 1000 sacos sa´ıdos desta unidade de ensacamento, quantos sera˜o esperados com o
peso entre 49.5 kg e 51.5 kg? Resp: 840 sacos.
8. A durac¸a˜o de certos tipos de amortecedores, em km rodados e´ normalmente distribu´ıda,
possui durac¸a˜o me´dia de 5000 km e desvio-padra˜o de 1000 km.
(a) Qual a probabilidade de um amortecedor escolhido ao acaso durar entre 4500 e 6350
km? Resp: 0.603.
(b) Se o fabricante desejasse fixar uma garantia de quilometragem, de tal forma que se a
durac¸a˜o do amortecedor fosse inferior a garantia, o amortecedor seria trocado, de quanto
deveria ser esta garantia para que somente 1% dos amortecedores fossem trocados? Resp:
2670.
9. Suponha que T, a durac¸a˜o ate´ falhar de uma pec¸a, seja normalmente distribu´ıda com
E(T) = 90 horas e desvio-padra˜o 5 horas. Quantas horas de operac¸a˜o mı´nimas devem ser
consideradas, a fim de se achar uma probabilidade de 0.90? Resp: 83.6.
10. Dois dispositivos eletroˆnicos com lei de falhas exponencial com me´dia respectivamente 5h
e 10 h sa˜o ligados em paralelos formando um u´nico sistema e funcionando independente-
mente. Determinar:
(a) A probabilidade de cada um dos dispositivos apo´s 20 horas; Resp: 0.135 e 0.0183.
(b) A probabilidade do sistema todo apo´s 20 horas; Resp: 0.1512.
11. Um componente eletroˆnico tem distribuic¸a˜o exponencial, com me´dia de 50 horas. Suposta
uma produc¸a˜o de 10.000 unidades, quanto deles espera-se que durem entre 45 e 55 horas?
Resp: 737.
12. Suponha que a durac¸a˜o de vida de um dispositivo eletroˆnico seja exponencialmente dis-
tribu´ıda. Sabe-se que a probabilidade desse dispositivo durar mais de 100 horas de operac¸a˜o
e´ de 0.90. Quantas horas de operac¸a˜o devem ser levadas em conta para conseguir-se uma
probabilidade de 0.95? Resp: 48.72.
13. A resisteˆncia a` compressa˜o de amostras de cimento pode ser modelada por uma distribuic¸a˜o
normal, com uma me´dia de 6000 quilogramas por cent´ımetro quadrado e um desvio padra˜o
de 100 quilogramas por cent´ımetro quadrado. Qual e´ a probabilidade de a resisteˆncia da
amostra ser menor que 6250 quilogramas por cent´ımetro quadrado? Qual e´ a probabilidade
de a resisteˆncia da amostra estar entre 5800 e 5900 quilogramas por cent´ımetro quadrado?
Que resisteˆncia e´ excedida por 95% das amostras? Resp: 0.9938; 0.1360 e 5835.50.
14. O tempo de vida de uma betoneira antiga utilizada em uma obra tem distribuic¸a˜o ex-
ponencial com me´dia de 20 horas. Qual e´ a probabilidade dessa betoneira falhar apo´s
30 horas? Qual e´ a probabilidade dessa betoneira falhar antes das 30 horas? Qual e´ a
probabilidade dessa betoneira falhar apo´s a sua durac¸a˜o me´dia? Resp: 0.2231; 0.7769 e
0.3678794.
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15. Um fabricante de baterias sabe, por experieˆncia na a´rea, que as baterias de sua fabricac¸a˜o
e´ normalmente distribu´ıda com me´dia e desvio padra˜o de 600 e 100 dias respectivamente.
Ele fabrica 10000 baterias mensalmete e oferece uma garantia de 312 dias, isto e´, ele troca
as baterias que apresentarem falhas nesse per´ıodo. Quantas baterias ele devera´ trocar pelo
uso da garantia, mensalmente? Resp: Ele deve substituir mensalmente 20 baterias em
10000 fabricadas.
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