Extra_Energia_2_Prof_Dulceval

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Energia Potencial e Conservação 
da Energia 
CAPÍTULO 8 
Energia 
 Energia potencial é a energia associada 
com a posição da partícula. 
 
 Existe energia potencial gravitacional 
mesmo no caso de a mergulhadora 
ficar parada no trampolim. 
 
 Nenhuma energia é adicionada ao 
sistema mergulhadora –terra. Porém a 
energia armazenada é transformada 
de uma forma para outra durante sua 
queda. 
 
Energia 
 Como a transformação pode ser 
entendida a partir do teorema 
trabalho energia. 
 
 Veremos que a soma da energia 
cinética e potencial fornece a 
energia mecânica total do sistema e 
essa energia permanece constante 
durante o movimento do sistema 
(lei da conservação da energia) 
Energia Potencial Gravitacional 
 Em muitas situações tudo se passa 
como se “a energia fosse 
armazenada em um sistema para 
ser recuperado depois.” 
 
Garoto em um balanço: Nos pontos 
mais elevados, a energia é 
armazenada em outra forma, 
relacionada com a altura do ponto 
acima do solo, e esta energia é 
convertida em K quanto atinge o 
ponto inferior do arco. 
 Esse ex. da idéia de que 
existe uma energia 
associada com a posição 
dos corpos em um sistema. 
Este tipo de energia 
fornece o potencial ou a 
possibilidade de realizar 
trabalho (W) 
Energia Potencial Gravitacional 
Quando um martelo é elevado no ar, 
existe um potencial para um trabalho 
sobre ele ser realizado pela força da 
gravidade, porém isso só ocorre 
quando o martelo é liberado. Por esse 
motivo, a energia associada com a 
posição denomina-se ENERGIA 
POTENCIAL. 
 
 Existe uma energia potencial 
associada com o peso do corpo e com 
a altura acima do solo. Chamamos 
essa energia de ENERGIA 
POTENCIAL GRAVITACIONAL. 
Energia Potencial Gravitacional 
Quando um corpo cai sem resistência 
do ar, a energia potencial diminui à 
medida que a energia cinética 
aumenta. 
 
 Vimos “ usando o teorema do 
trabalho-energia para concluir que K 
do corpo em queda livre aumenta 
porque a força gravitacional realiza 
trabalho sobre ele. 
 
 Usaremos o teorema W-K para demonstrar que essas duas 
descrições de um corpo são equivalentes e para deduzir uma 
expressão para energia potencial. 
 
 
Energia Potencial Gravitacional 
Considere um corpo de massa m que 
se move ao longo de um eixo 0y. A 
força que atua sobre ele é a 
gravitacional. 
 Qual o Wg realizado pelo peso sobre 
o corpo qdo cai de uma altura y1 
acima da origem até uma altura 
menor y2? 
O peso e o deslocamento possui mesmo 
sentido, de modo Wg realizado sobre o corpo é 
positivo. 
 
)()()( 212121 yymgyymgyyFdFW ggg 
 Equação também válida para quando 
 y2 é maior que y1. Neste caso: 
Energia Potencial Gravitacional 
Podemos expressar Wg em termos da quantidade mgy no início 
e no final do deslocamento. 
 
mgyU 
Energia potencial 
gravitacional 
Seu valor inicial é U1 = mgy1 e seu valor final U2 = mgy2; 
 
12 UUU 
Podemos expressar Wg realizado pela força gravitacional 
durante o deslocamento de y1 a y2 como 
 
UUUUUW  )( 1221
Corpo se move de baixo para cima - y aumenta; Wg (-); 
 U aumenta (U >0). 
 Corpo se move de cima para baixo - y diminui; Wg (+); 
 U diminui (U >0). 
 
Forças conservativas e não 
conservativas 
 As forças que atuam num sistema, 
modificando-lhe a configuração, 
dizem-se conservativas quando, 
regressando o sistema à configuração 
inicial, readquire também a energia 
cinética inicial. 
 Isto significa que as forças 
conservativas conservaram a 
capacidade que o sistema tinha de 
realizar trabalho, e daí o seu nome. 
  Fg realiza de A a B, um trabalho resistente, que se traduz num aumento de energia 
potencial do sistema. Segue-se, depois, um trabalho potente, de B para A, que se traduz 
na restituição à forma cinética do incremento de energia potencial que tinha sido 
armazenada. 
 
Forças conservativas e não 
conservativas 
 As forças que atuam num sistema dizem-
se não conservativas ou dissipativas 
quando, ao deixarem de realizar trabalho, 
o sistema ou não regressa à configuração 
inicial ou regressa a ela com energia 
cinética diferente da que tinha no 
princípio. 
 A força de atrito, realiza sempre trabalho resistente não traduzido em aumento de energia 
potencial 
 Isto quer dizer que as forças não conservativas não conservaram 
a capacidade que o sistema tinha de realizar trabalho. 
Independência da trajetória para o 
trabalho de forças conservativas 
 Consideremos uma partícula em movimento em um percurso 
fechado, se o W realizado pela força neste percurso for nulo, 
então dizemos que as forças são conservativas. 
 
Ou seja, a energia total que se transfere da partícula e para a 
partícula durante a viaje de ida e volta ao longo do percurso fechado 
é nula. 
 Exemplo: O lançamento de um tomate. 
 
“O WR realizado pela força conservativa 
 movendo-se entre dois pontos não depende 
 da trajetória.” 
0resW
Independência da trajetória para o 
trabalho de forças conservativas 
 Consideremos um percurso fechado 
arbitrário para uma partícula sujeita a uma 
ação de uma única força. 
 A partícula se move do ponto inicial a para 
um ponto final b ao longo da trajetória 1 e 
retorna pela trajetória 2. 
 “A força realiza W sobre a partícula a medida que ela se movimenta ao longo 
de cada trajetória.” 
 
• O W realizado de a até b ao longo da trajetória 1 é: Wab,1 
• O W realizado da volta de b até a é; Wba,2 
 Se F for conservativa; Wres = 0. 
 
2,1,
2,1, 0
baab
baab
WW
WW


 O W realizado ao longo da trajetória de ida é igual ao negativo 
do W realizado ao longo da volta. 
  Consideremos o Wab,2 realizado pela força sobre a partícula 
quando ela se move de a até b ao longo da trajetória 2. 
 
2,2, baab WW 
Substituindo a equação acima na equação anterior. 
2,1, abab WW 
Portanto o W independe da trajetória quando F for conservativa. 
Determinando Valores de Energia 
Potencial 
 Encontrar a energia potencial dos dois tipos de energia 
discutido nesta seção: energia potencial gravitacional e energia 
potencial elástica. 
 Encontrar uma relação geral entre uma força conservativa e a 
energia potencial a ela associada. 
 
• Considere um objeto que se comporta como uma partícula e que 
é parte de um sistema no qual atua uma F conservativa. 
“ quando esta força realiza W sobre o objeto, a variação U na energia 
potencial associada ao sistema é o negativo do W.” 
 
 
 
UW 
Determinando Valores de Energia 
Potencial 
 No caso geral onde a força pode variar com a posição 
 
 
 
Substituindo W = - U, temos: 
 
 
 
Relação geral entre força e energia potencial. 
 
 
 

f
i
x
x
dxxFW )(

f
i
x
x
dxxFU )(
Energia Potencial Gravitacional 
 Consideremos uma partícula com massa m movendo-se 
verticalmente ao longo de y (positivo para cima). A medida que 
a partícula se move do ponto y1 para y2 a Fg realiza W sobre ela. 
 
 
 
Podemos usar configurações de referência na qual a partícula esta 
em um ponto de referência yi que tomamos como U = 0. Portanto: 
 
 
“a energia potencial gravitacional associada ao sistema partícula-terra depende apenas da 
Posição vertical y da partícula em relação à posição de referência y = 0, e não da 
posição. Horizontal.” 
 
ymgmgdymgdyxFU
y
y
x
x
xx
f
i
f
i
  21|)()(
mgyyU )(
Energia Potencial Elástica 
 Consideremos um sistema massa-mola, com o bloco se 
movendo na extremidade de uma mola de constante elástica k. 
Enquanto o bloco se move do ponto xi para o xf, a força da mola 
F = -kx realiza W sobre o bloco. 
 
 
 
 
Escolhendo um valor de referência U com o bloco na posição x na 
qual a mola se encontra relaxado x= 0. 
 
 
 
22
2
1
2
1
2
1
|)()( 2
1
if
x
x
x
x
x
x
kxkxU
xkkxdxkxdxxFU
f
i
f
i

 
22
2
1
 ;0
2
1
0 kxUkxU 
Conservação da Energia Mecânica 
 A energia mecânica de um sistema é a soma da energia cinética 
e potencial dos objetos que compõem o sistema: 
 
 
Energia mecânica: Forças conservativas e o sistema é isolado (Fext 
= 0). 
 Quando uma F conservativa realiza W sobre um objeto dentro 
de um sistema, essa força transfere energia entre a K do objeto e 
a U do sistema. Pelo teorema W-K 
 
 
 
 
UKEmec 
WK 
 Usando a equação da variação na energia potencial 
 
 
Combinando as duas equações anteriores 
 
 
Uma dessas energias aumenta na mesma quantidade que a outra 
diminui. 
Podemos reescrever como 
 
 
 
 
WU 
Conservação da Energia Mecânica 
UK 
1122
1212 )(
UKUK
UUKK


Conservação da energia 
mecânica. 
“Em um sistema isolado onde apenas forças conservativas causam 
variações de energia, a energia cinética e a energia potencial podem 
variar, mas a sua soma, a energia mecânica Emec do sistema, não pode 
variar” 
 
Este resultado é chamado de PRINCÍPIO DE CONSERVAÇÃODA 
ENEGIA MECÂNICA. 
 
Podemos escrever esse princípio de outra forma 
 
 
 
 
Conservação da Energia Mecânica 
UKEmec 
Este princípio nos permite resolver 
Problemas que seriam difíceis usando 
apenas as Leis de Newton. 
Quando a energia se conserva, podemos a soma de K e U em cada instante com aquele novo instante 
sem considerar o movimento intermediário e sem determinar o WR das F envolvidas. 
Conservação da Energia Mecânica 
 Exemplo do princípio de conservação aplicado: Enquanto um 
pêndulo oscila, a energia do sistema pêndulo-terra é transferida 
entre K e U, com a soma K+U permanecendo constante. 
 
Se conhecermos a Ug quando a massa do pêndulo esta no seu ponto 
mais alto, a equação da conservação da energia nos fornece a K do 
ponto mais baixo. 
 
 Vamos escolher o ponto mais baixo como ponto de referência, 
com U2 = 0 e no ponto mais alto U1 = 20 J. Como a massa pará 
momentaneamente no ponto mais alto, K1 = 0. Qual a energia no 
ponto mais baixo? 
 
 
JKK 20 ;2000 22 
Interpretando uma curva de energia 
potencial 
 Consideremos uma partícula que faz parte de um sistema no 
qual atuam uma força conservativa. O movimento da partícula 
se dar ao longo de um eixo x enquanto a F conservativa realiza 
W sobre ela. 
 Podemos obter bastante informação sobre o movimento da 
partícula a partir do gráfico energia potencial do sistema U(x). 
 
 Vimos que se conhecemos a F(x) que atua sobre a partícula 
podemos encontrar a energia potencial 
 

f
i
x
x
dxxFU )(
Interpretando uma curva de energia 
potencial 
 Queremos fazer agora o contrário; isto é, conhecemos a energia 
potencial U(x) e queremos determinar a força. 
 
 Para o movimento em uma dimensão, o W realizado pela força 
que atua sobre a partícula se move através de uma distância x é 
F(x) x. Podemos escrever 
 
 
Passando ao limite diferencial 
 
xxFWU  )(
dx
xdU
xF
)(
)( 
Interpretando uma curva de energia 
potencial 
 Verificar este resultado U(x) = ½ kx2 que é a energia potencial 
elástica e U(x) = mgx. 
 
 A curva de energia potencial 
 
 
- U versus x : podemos encontrar F 
 medindo a inclinação da 
 curva de U(x) em vários 
 pontos. 
Interpretando uma curva de energia 
potencial 
 Pontos de retorno 
Na ausência da força conservativas, a energia mecânica E de um 
Sistema possui um valor constante dado por 
 
 
K(x) é uma função energia cinética de uma partícula no sistema. 
 
 
Como Emec é constante, pelo ex. anterior igual a 5 J. Portanto no 
ponto x5 
 
mecExUxK  )()(
)()( xUExK mec 
JxK 145)( 
Interpretando uma curva de energia 
potencial 
 Pontos de Retorno 
 
 O valor de K máximo (5J) é no ponto x2 quando U(x) é 
mínimo. 
• K nunca pode ser negativo (v2), a partícula não pode se mover a 
para esquerda de x1, Emec – U(x) é negativo. Quando a partícula 
se move em direção a x1 a partir de x2, K diminui até K = 0 em 
x1. 
• Em x1 – a força é positiva (inclinação negativa). Significa que a 
partícula não permanece em x1, mas começa a se mover para 
direita, em sentido oposto ao seu movimento anterior. Portanto 
x1 é um PONTO DE RETORNO, um lugar onde K = 0 (pois U 
= E) e a partícula inverte o sentido do movimento. 
Interpretando uma curva de energia 
potencial 
Pontos de Equilíbrio 
 
 3 valores diferentes de Emec. 
 Se Emec = 4 J, o ponto de retorno 
mudar de x1 para um valor entre 
x1 e x2. 
 Qualquer ponto a direita de x5, a 
energia mecânica do sistema é 
igual a U(x); portanto, K = 0 
 e nenhuma força atua sobre a mesma, de modo que ela precisa está 
em repouso. Diz-se que a partícula em tal posição está em 
EQUILÍBRIO NEUTRO. 
Interpretando uma curva de energia 
potencial 
Pontos de Equilíbrio 
 
 Se Emec = 3 J, existe dois pontos 
de retorno: um entre x1 e x2 e 
outro entre x4 e x5. Além disso x3 
é um ponto onde K = 0. Se a 
partícula estiver neste ponto, a F 
= 0 e a partícula permanecerá em 
repouso. 
Se ela for ligeiramente deslocada em qualquer um dos dois sentidos, 
uma força não nula a empurra no mesmo sentido e a partícula 
continua se afastando ainda mais do ponto inicial. Uma partícula em 
tal posição é considerada em EQUILÍBRIO INSTÁVEL. 
Interpretando uma curva de energia 
potencial 
Pontos de Equilíbrio 
 
 Se Emec = 1 J. Se colocarmos em 
x4 ela permanecerá nesta posição. 
Ela não pode se mover nem para 
direita nem para esquerda por sua 
conta própria, pois seria 
necessário uma K negativa. 
Se empurramos ligeiramente para a esquerda ou para direita, aparece 
uma força restauradora que a faz retornar ao ponto x4. Uma partícula 
em tal posição é considerada em EQUILÍBRIO ESTÁVEL. 
Trabalho Realizado por uma Força 
Externa sobre um Sistema 
vimos: “ O W é a energia transferida PARA um sistema ou DE 
um sistema devido a atuação de uma força externa sobre este 
sistema.” 
 
Podemos extender esse conceito para uma Fext atuando sobre 
Um sistema. 
Quando a transferência de 
energia é PARA o sistema. 
Quando a transferência de 
energia é DO o sistema. 
Trabalho Realizado por uma Força 
Externa sobre um Sistema 
NA AUSÊNCIA DE ATRITO 
 
Num boliche quando você vai arremessar a bola, inicialmente você 
se agacha e coloca suas mãos em forma de concha por debaixo da 
bola sobre o peso. 
 
Depois você levanta rapidamente enquanto ao mesmo tempo puxa 
suas mãos bruscamente, lançando a bola para cima no nível do rosto. 
 
Durante o seu movimento para cima, a F que vc aplica realiza W, isto 
é, ela é uma força externa que transfere energia, mas para qual 
sistema? 
 
Trabalho Realizado por uma Força 
Externa sobre um Sistema 
NA AUSÊNCIA DE ATRITO 
 
Verificar quais energiasse modificam: 
 Há variação K da bola, e como a bola e a terra ficaram afastada, 
também houve uma variação Ug do sistema bola-terra. 
 
Para incluir essas variações, precisamos considerar o sistema bola- 
terra. Assim F é uma Fext que realiza W sobre o sistema, e o W é 
 
 
mecEUKW 
Energia equivalente para o W realizado por Fext 
sobre um sistema sem atrito. 
NA PRESENÇA DE ATRITO 
 
Consideremos um sistema onde uma F horizontal constante puxa o bloco 
ao longo do eixo x deslocando-o por uma distância d e aumentando a velo- 
cidade do bloco de v0 para v. 
 
 
O bloco será nosso sistema. Aplicando a segunda lei de Newton 
 
 mafF c 
Como as forças são constantes , temos 
 
 
Numa situação mais geral (uma na qual o bloco esteja subindo uma 
rampa), pode haver uma variação na energia potencial. Para incluir 
tal variação, temos 
 
Verificamos experimentalmente que o bloco e a porção do piso ao 
longo do qual ele se desloca ficam aquecidos enquanto o bloco 
desliza. Portanto foi verificado experimentalmente que essa energia 
térmica é igual 
 
Portanto 
 
 
 
advv 220
2 
dfKFd c
dfEFd cmec 
dfE cT 
Tmec EEW 
Trabalho realizado pelo sistema 
em presença de atrito. 
Conservação da Energia 
Todos os casos discutidos até agora obedecem a LEI DE CONSERVAÇÃO, 
 que está relacionada com a energia total de um sistema. Essa energia total é 
a soma da energia mecânica com a térmica ou qualquer outro tipo de 
energia interna. 
“A energia total E de um sistema pode mudar apenas por quantidades de 
energias que são transferidas para o sistema ou delas retiradas.” 
 
O único tipo de energia de transferência de energia que consideramos e o W 
realizado sobre um sistema. Assim, esta lei estabelece 
 
 
A lei de conservação de energia é algo baseado em inúmeros experimentos. 
 
intEEEEW Tmec 
Conservação da Energia 
SISTEMA ISOLADO 
 
Se um sistema está isolado de uma vizinhança, não podendo haver 
trocas com a vizinhança. Para este caso a lei de conservação da 
energia diz: 
 
“A energia total E, de um sistema isolado não pode variar.” 
 
Pode haver muitas transferências dentro do sistema; energia cinética 
em energia potencial ou térmica, entretanto a energia total do sistema 
não pode variar. 
 
 
Conservação da Energia 
e 
 
int1,2, EEEE Tmecmec 
 
 
 
“Em um sistema isolado, podemos relacionar a energia total em um 
dado instante com a energia total em outro instante sem ter que 
considerar as energias em tempos intermediários.” 
 
 
A conservação da energia pode der escrita de duas maneiras: 
0int  EEE Tmec
0W
 
Uma força externa pode mudar a K ou U de um 
objeto sem realizar W, isto é, sem transferir energia 
para o objeto. Em vez disso, é a força responsável 
pela transferência de energia de uma forma para 
outra dentro do objeto. 
 
Patinadora no gelo, inicialmente em repouso, empurra 
um corrimão e passa a deslizar sobre o gelo. Sua K 
aumenta porque o corrimão exerceu uma Fext sobre ela. 
No entanto a F não transfere energia para o corrimão 
para ela. Assim a força não realiza W sobre ela. Ao 
contrário a K aumenta como resultado de transferências 
internas a partir da energia bioquimica contida nos seus 
musculos. 
 
FORÇAS EXTERNAS E TRANSFERÊNCIA DE ENERGIA INTERNA 
 
 
Nesta situação podemos relacionar a Fext que atua sobre um objeto com 
a variação da energia mecânica do objeto. 
 
Durante seu empurrão e deslocamento de uma distância d, podemos 
considerar a aceleração constante, com velocidade variando de v0 a v e a 
patinadora com uma partícula desprezando o esforço de seus músculos. 
 
 
A situação também envolve uma variação na elevação do objeto, 
podemos incluir a energia potencial 
 
 
FORÇAS EXTERNAS E TRANSFERÊNCIA DE ENERGIA INTERNA 
 


cos
cos0
FdK
FdKK


cosFdUK 
A força do lado direito dessa 
Eq. não realiza W, mais é responsável 
pelas variações das energias. 
 
Potência é a taxa com que uma força transfere energia de uma forma 
para outra. 
 
“Se uma certa quantidade de energia E é transferida durante um 
intervalo de tempo t, a potência média devida à força é” 
 
 
 
 
E a potencia instantânea 
 
 
 
t
E
Pmed



POTÊNCIA 
.
dt
dE
P 