Prova 2 (com gabarito)

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Segunda Prova de Cálculo 2
Questão 1 (8 pontos): Calcule a integral tripla∫∫∫
E
e(x
2+y2+z2)
3
2 dV
onde E é o sólido contido entre as esferas x2 + y2 + z2 = 1 e x2 + y2 + z2 = 9.
Em coordenadas esféricas temos que
• E = {(ρ, θ, φ | 1 ≤ ρ ≤ 3, 0 ≤ θ ≤ 2pi, 0 ≤ φ ≤ pi}
• e(x2+y2+z2) 32 = e(ρ2) 32 = eρ3
• dV = ρ2 sen φ dρ dθ dφ
Logo, ∫∫∫
E
e(x
2+y2+z2)
3
2 dV =
∫ pi
0
∫ 2pi
0
∫ 3
1
eρ
3
ρ2 sen φ dρ dθ dφ
Vamos calcular a integral com relação à ρ. Fazendo a mudança de variáveis u = ρ3, temos que du = 3ρ2 dρ
e, portanto, ∫
eρ
3
ρ2 dρ =
∫
eu
3
du =
eu
3
=
eρ
3
3
Portanto, ∫ 3
1
eρ
3
ρ2 sen φ dρ = sen φ
[
eρ
3
3
]ρ=3
ρ=1
=
(
e27 − e
3
)
sen φ
Calculando a integral do resultado com relação à θ:∫ 2pi
0
(
e27 − e
3
)
sen φ dθ =
(
e27 − e
3
)
sen φ [θ]θ=2piθ=0 =
(
2pi(e27 − e)
3
)
sen φ
Calculando a integral do resultado com relação à φ:∫ pi
0
(
2pi(e27 − e)
3
)
sen φ dφ =
(
2pi(e27 − e)
3
)
[− cosφ]φ=piφ=0 =
4pi(e27 − e)
3
Questão 2 (8 pontos): Calcule a integral tripla∫∫∫
E
(
1 +
√
x2 + y2
)
dV
onde E é o sólido limitado pelos parabolóides z = 2− x2 − y2 e z = x2 + y2.
A inteseção entre os dois parabolóides ocorre quando
2− x2 − y2 = x2 + y2 ⇒ 2 = 2x2 + 2y2 ⇒ 1 = x2 + y2
Logo, a interseção é o círculo de raio 1 localizado na altura z = 1. A projeção do sólido E no plano xy é
o disco x2 + y2 ≤ 1. Em coordenadas cilíndricas, temos
• z = x2 + y2 = r2
• z = 2− x2 − y2 = 2− r2
• D = {(r, θ) | 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2pi}
• E = {(r, θ, z) | 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2pi, r2 ≤ z ≤ 2− r2}
• 1 +√x2 + y2 = 1 + r
• dV = r dz dr dθ
Logo,∫∫∫
E
(
1 +
√
x2 + y2
)
dV =
∫ 2pi
0
∫ 1
0
∫ 2−r2
r2
(1 + r) r dz dr dθ =
∫ 2pi
0
∫ 1
0
∫ 2−r2
r2
r + r2 dz dr dθ
Calculando a integral em z:∫ 2−r2
r2
r + r2 dz = (r + r2) [z]z=2−r
2
z=r2 = (r + r
2)(2− 2r2) = 2r + 2r2 − 2r3 − 2r4
Calculando a integral do resultado com relação à r:∫ 1
0
2r+2r2−2r3−2r4 dr =
[
r2 +
2r3
3
− r
4
2
− 2r
5
5
]r=1
r=0
= 1+
2
3
− 1
2
− 2
5
=
1
2
+
2
3
− 2
5
=
15 + 20− 12
30
=
23
30
Calculando a integral do resultado com relação à θ:∫ 2pi
0
23
30
dθ =
[
23 θ
30
]θ=2pi
θ=0
=
23pi
15
Questão 3 (9 pontos): Calcule a integral dupla∫∫
D
(
y − x
y + x
)
dA
onde D é o paralelogramo de vértices (1, 0), (2, 1), (4,−1) e (3,−2).
Vamos fazer a mudança de variáveis u = y− x e v = y+ x. Observe que o paralelogramo é limitado pelas
retas y = x− 1, y = x− 5, y = −x+ 1 e y = −x+ 3 e que
• y = x− 1 ⇒ y − x = −1 ⇒ u = −1
• y = x− 5 ⇒ y − x = −5 ⇒ u = −5
• y = −x+ 1 ⇒ y + x = 1 ⇒ v = 1
• y = −x+ 3 ⇒ y + x = 3 ⇒ v = 3
Logo, o paralelogramo é limitado pelas retas u = −1, u = −5, v = 1 e v = 3 e temos que
D = {(u, v) | − 5 ≤ u ≤ −1, 1 ≤ v ≤ 3}
Somando as duas equações u = y − x e v = y + x, obtemos que u+ v = 2y e, portanto,
y =
u+ v
2
Subtraindo as duas equações u = y − x e v = y + x, obtemos que u− v = −2x e, portanto,
x =
−u+ v
2
O Jacobiano da mudança de coordenadas neste caso é
∂(x, y)
∂(u, v)
= det
∂x∂u ∂x∂v
∂y
∂u
∂y
∂v
 = det
−12 12
1
2
1
2
 = −1
2
e, consequentemente,
dA =
∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣ du dv = 12 du dv
O integrando é dado nas coordenadas u e v como u
v
. Logo,∫∫
D
(
y − x
y + x
)
dA =
∫ 3
1
∫ −1
−5
u
2v
du dv
Calculando a integral com relação à u:∫ −1
−5
u
2v
du =
1
2v
[
u2
2
]u=−1
u=−5
=
1
2v
[
1
2
− 25
2
]
= −24
4v
= −6
v
Calculando a integral do resultado com relação à v:∫ 3
1
−6
v
dv = −6 [ ln |v| ]v=3v=1 = −6 ln 3
Questão 4 (8 pontos): Calcule a área da região do plano contida dentro da circunferência x2 + y2 = 2x
e fora da circunferência x2 + y2 = 1.
Observe inicialmente que
x2 + y2 = 2x ⇒ (x− 1)2 + y2 = 1
Logo, esta equação representa a circunferência de raio 1 centrada no ponto (1, 0). Já a equação x2+y2 = 1
representa a circunferência de raio 1 centrada na origem.
Em coordenadas polares as equações das circunferências x2 + y2 = 2x e x2 + y2 = 1 se tornam r = 2 cos θ
e r = 1, respectivamente. Essas duas circunferências se encontram quando 2 cos θ = 1, e portanto, quando
cos θ = 1
2
. Isso ocorre quando θ = pi
3
e quando θ = −pi
3
. Logo,
D =
{
(r, θ) | 1 ≤ r ≤ 2 cos θ,−pi
3
≤ θ ≤ pi
3
}
A área da região do plano contida dentro da circunferência x2+y2 = 2x e fora da circunferência x2+y2 = 1
é dada por ∫∫
D
1 dA =
∫ pi
3
−pi
3
∫ 2 cos θ
1
r dr dθ
Vamos calcular a integral com relação à r:∫ 2 cos θ
1
r dr =
[
r2
2
]r=2 cos θ
r=1
= 2 cos2 θ − 1
2
= 1 + cos(2θ)− 1
2
= cos(2θ) +
1
2
Calculando a integral do resultado com relação à θ:∫ pi
3
−pi
3
cos(2θ) +
1
2
dθ =
[
sen (2θ)
2
+
θ
2
]θ=pi
3
θ=−pi
3
=
[
pi
6
+ sen
(
2pi
3
)]
−
[
−pi
6
− sen
(
2pi
3
)]
=
pi
3
+ 2 sen
(
2pi
3
)
=
pi
3
+
√
3