Notas de aula de Geometria Descritiva

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Geometria DescritivaGeometria Descritiva 
Prof. Sérgio VianaProf. Sérgio Viana
Estas notas de aulas são destinadas a todos aqueles que desejam ter
um conhecimento básico de Geometria Descritiva para um posteriorum conhecimento básico de Geometria Descritiva, para um posterior
estudo mais profundo.
Geometria Descritiva - Prof. Sérgio Viana
GEOMETRIA DESCRITIVA
Ciência que estuda os métodos de representação gráfica das figuras
espaciais sobre um plano, resolvendo os problemas em que são consideradas até
t ê di õ d tili d i dú t i tas três dimensões, capazes de ser utilizadas nas indústrias e nas artes.
Projeção : Figura geométrica obtida pela incidência sobre um plano de
perpendiculares tiradas dos extremos da linha ou objeto que se quer representar.
Classificação das Projeções
Projeção Ortogonal – cilíndrica fig 2 A e 3 A;
Projeção Obliqua – cilíndrica fig. 2B e 3 B ou cônica fig. 1.j ç q g g
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Projeção Cilíndrica
Fig.. 1 - A figura, sendo paralela ao plano, se projeta em sua real grandeza, ou seja, projeção igual a figura.Fig.. 1 A figura, sendo paralela ao plano, se projeta em sua real grandeza, ou seja, projeção igual a figura.
Fig.. 2 - Quando a figura é oblíqua ao plano, haverá uma acentuada modificação em sua imagem projetada.
Fig.. 3 - A figura é perpendicular ao plano. Sua projeção se reduz a um segmento.g g p p p p j ç g
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Projeção Cônica
A projeção cônica transforma um par de pontos em outro par, dando origem a triângulos semelhantes que tem 
é i ( P )um vértice comum ( P ).
Projeção Cônica Direta
Dependendo da origem dos elementos, pólo, figura e plano, a projeção será semelhante à figura objetiva ( ampliada 
ou reduzida ), ou mesmo reduzida a um ponto, portanto nula.
Fig.. 4 - Pólo, figura, plano - projeção ampliada.
Fig.. 5 - Pólo, plano, figura - projeção reduzida.
Fig.. 6 - Figura, pólo ( coincidentes com o plano ) - projeção inversa
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Projeção Cônica - Inversa
Fig 7 Pólo eqüidistantes da fig ra e plano projeção ig al à fig raFig.. 7 - Pólo eqüidistantes da figura e plano - projeção igual à figura.
Fig.. 8 - Pólo mais próximo da figura - projeção ampliada.
Fig.. 9 - Pólo mais próximo do plano - projeção reduzida.
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Projetividadej
Na figura abaixo temos a perspectiva de um objeto no espaço e suas
projeções ortogonais sobre dois planos de
projeção (π’) e (π). O símbolo que
representa o plano vertical de projeção é
(π’) e o símbolo que representa o plano(π ) e o símbolo que representa o plano
horizontal de projeção é (π). Na interseção
dos dois planos temos a linha de terra, que
é representada por LT.
Todo ponto a ser projetado é
representado por uma letra maiúscula entre
parênteses. Exemplo (A)
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A projeção de um ponto (A) no plano (π’) é representada por A’ e a sua
projeção no plano (π) será A.
Diedros
Os planos de projeção (π’) e (π)
dividem o espaço em quatro diedros e a
linha de terra divide cada plano de
projeção em dois sem iplanos.
SpHA – Sem iplano horizontal anterior;
SpHP – Sem iplano horizontal posterior;
SpVS – Sem iplano vertical superior;
SpVI – Sem iplano vertical inferior.
A região do espaço lim itada pelos SpHA e SpVS denom ina-se primeiro
diedro, a lim itada pelas SpVS e SpHP segundo diedro, a lim itada pelos SpHP e
SpVI terceiro diedro e a lim itada pelas SpVI e SpHA quarto diedroSpVI terceiro diedro e a lim itada pelas SpVI e SpHA quarto diedro.
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Épura
O francês Gaspard Monge foi o criador da Geometria Descritiva e idealizoup g
um modo de mostrar as projeções denominada Épura.
 figura 1 figura 2
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Não se pode medir com régua e compasso as distâncias A’(A) e A(A)
porque são desenhos que representam figuras no espaço e só podemos medir
di tâ i b l A i l b t t d li hdistâncias sobre o plano. Ao girarmos um plano sobre o outro, em torno da linha
de terra, temos o semiplano horizontal posterior (SpHP) coincidindo com o
semiplano vertical superior (SpVS). Teremos também a
coincidência do semiplano horizontal anterior (SpHA)
coincidindo com o semiplano vertical inferior (SpVI) conforme
figura 3 abaixofigura 3 abaixo.
 figura 3
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As projeções verticais e horizontais de um ponto qualquer determinam uma
linha perpendicular à linha de terra que chamamos de linha de chamada conforme
a figura abaixo.g
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Estudo do ponto
Na figura abaixo temos as três coordenadas de um ponto (A).
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Pos ição do pon to A fas tam en to Co ta
1 º D ied ro pos itivo pos itiva
2 º D ied ro nega tivo pos itiva
3 º D ied ro nega tivo nega tiva
4 º D ied ro pos itivo nega tiva
SpHA pos itivo nu la
SpVS nu lo pos itiva
SpHP nega tivo nu la
SpV I nu lo nega tiva
L T nu lo nu lo
A s coordenadas de um pon to são sempre dados na ordem (x;y ;z) , onde x é a abscissa; y o
afastam en to e z a co taafastam en to e z a co ta .
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Exemplo:
1. O ponto (A) no espaço onde (A) = (1;3;2) ou (A) = (x;y;z)
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R eba tim en to
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1. Em épura, a abscissa x de um ponto é marcado sobre a linha de terra, a
partir da origem pré fixada. A épura do ponto (A) é representada na
épura da seguinte forma, conforme a figura abaixo.
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 P lano B isse to r
O p lano que d iv id e um d ied ro em duas pa rte s igua is cham a -se p lano
b isse to r O s ím bo lo (β i) o u (β 13) s ign if ica p lano b isse to r ím pa r e (βp ) ou (β 24)b isse to r. O s ím bo lo (β i) o u (β 13) s ign if ica p lano b isse to r ím pa r e (βp ) ou (β 24)
s ign if ica p lano b isse to r pa r.
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Estudo da Reta
Dois pontos distintos determinam uma reta. A reta é representadap p
por uma letra minúscula entre parênteses (r). E r’ representa a projeção de
uma reta (r) no plano (π’) e r representa a projeção de uma reta (r) no plano
( )(π).
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Tipos de Retas
Reta Horizontal é toda reta paralela ao plano horizontal. Quando a reta é
paralela ao plano horizontal sua projeção vertical é paralela à linha de terra.
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Reta Frontal é toda reta paralela ao plano vertical. Quando a reta é
paralela ao plano vertical sua projeção horizontal é paralela á linha de terra.
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Reta Paralela à linha de terra é toda reta paralela à linha de terra e
paralela ao plano vertical e ao plano horizontal. Quando a reta é paralela ao plano
vertical e ao plano horizontal suas projeções são paralelas à linha de terra.p p j ç p
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Reta Vertical é toda reta perpendicular ao plano horizontal. A sua projeção
horizontal é um ponto e sua projeção vertical é uma reta vertical r’.
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Reta de Topo é toda reta perpendicular ao plano vertical. A sua projeção
horizontal é uma reta vertical e sua projeção vertical é um ponto.
O rebatimento de uma Reta de perfil será estudado mais adiante.
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T d R t Traçosde uma Reta
Traços de uma reta são os pontos onde a reta fura os planos de projeção.
(v) – Traço Vertical
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Para encontrar o traço vertical de uma reta, se prolonga sua projeção r até
a linha de terra. Na interseção da linha de terra com a projeção r levanta-se umaa linha de terra. Na interseção da linha de terra com a projeção r levanta se uma
linha de chamada até encontrar a projeção r’. Na interseção da linha de chamada
com a projeção r’ temos o traço (v).
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(H ) – T raço H o rizon ta l
Pa ra encon tra r o tra ço H o rizon ta l de um a re ta , se p ro longa sua p ro je ção r ’Pa ra encon tra r o tra ço H o rizon ta l d e um a re ta , se p ro longa sua p ro je ção r
a té a lin ha de te rra . N a in te rseção da linha de te rra com a p ro je ção r ’ le van ta -se
um a lin ha de cham ada a té encon tra r a p ro je ção r . N a in te rse ção da lin ha de
cham ada com a p ro je ção r tem os o tra ço (H ) .p j ç ç ( )
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Rebatimento de uma Reta de Perfil
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Retas Coplanares e Retas Não Coplanares
D t ã l ã l S d tDuas retas no espaço são coplanares ou não coplanares. Se duas retas
estão contidas no mesmo plano dizemos que são coplanares. Retas Coplanares
podem ser concorrentes, parale las ou coincidentes. As retas não coplanares são
também chamadas retas reversas.
As retas coplanares podem ser:
Concorrentes
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Pa ra le las
 - d is tin ta s
- co in c id en te s
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Reversas
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Planos
A interseção do plano (α) com o plano (π) determina a reta απ’ que seA interseção do plano (α) com o plano (π) determina a reta απ que se
denomina traço vertical do plano. A interseção do plano (α) com o plano (π)
determina uma outra reta, απ, que se determina traço horizontal. Na épura
qualquer plano pode ser representado por seus traços Os planos devem serqualquer plano pode ser representado por seus traços. Os planos devem ser
representados por uma letra grega minúscula.
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
MACHADO, Adervan. Geometria Descritiva. Editora McGraw-Hill do Brasil 
LTDA 1974LTDA, 1974 
PRÍNCIPE JR. Geometria Descritiva. V.1 e 2. 
STAMATO, José. Cadernos do MEC, Introdução ao Desenho Técnico, 1972 
http://www.mat.uel.br/marie ( acessado em 7/01/2008)