Apostila 7 - Partículas - Professor Claudio - FURG

Prévia do material em texto

Física I - sistema com N particulas - Colisão
Claudio M. Maekawa
The Date
ii
Contents
Física Geral I - Sistema de N Partículas vii
1 Sistemas de partículas 1
1.1 O Centro de Massa (CM): Sistema discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 CM: Sistema Contínuo de Partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Sistemas esféricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 A 2a¯ Lei de Newton e o CM: Sistema discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Quantidade de movimento para N partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Sist. N partic.:Conservação da quantidade de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5.1 Aplicação: Explosão - Mov. dos Fragmentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6 Movimento Relativo e Sistema de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7 Sistemas com massa variável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Colisão. 21
2.0.1 As colisões em Física Nuclear: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.0.2 As Leis de Conservação e Colisões Clássicas: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1 Durante a colisão: Impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.1 Sequência de colisões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Caso Inelástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.1 Colisão completamente inelástico de 2 corpos em 1-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Caso Elástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.1 Caso 1: Projétil-Alvo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.3 Caso 2: Projétil-Projétil em 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
A The First Appendix 39
Afterword 41
iii
iv CONTENTS
Preface
v
vi PREFACE
Física Geral I - Sistema de N Partículas
Curso de Fisica Geral - cap 9 e 10
- Corpo Sólido, Centro de Massa de sistemas discretos e contínuos, Lei de Newton, Momento Linear do CM,
Conservação de Momento Linear, Explosão, Massa Variável.
Colisões, Impulso, colisão inelástica, colisões elástica projétil-alvo e projétil-projétil .
vii
viii FÍSICA GERAL I - SISTEMA DE N PARTÍCULAS
Chapter 1
Sistemas de partículas
O aumento do número de partículas no sistema gera uma séria di…culdade: o aumento no número de equações a
serem resolvidas.
Veja o seguinte:
1) Sistema com uma partícula.
A 2a¯ Lei de Newton é dada por:
~F =
d~p
dt
(1.1)
onde ~F é a força resultante sobre a partícula e ~p = m~v (t) é o momento linear da partícula (quantidade de movi-
mento).
No caso de uma força constante ~F e massa m constante, temos que
d
dt
m~v (t) =
=0�
d
dt
m
�
~v (t) +m
d
dt
~v (t)
= m
d
dt
~v (t)
e a 2a¯ Lei de Newton se torna:
~F = m~a: (1.2)
1
2 CHAPTER 1. SISTEMAS DE PARTÍCULAS
2) Caso com duas partículas:
Teremos duas equações
~F1 = m1~a1; ~F2 = m2~a2; (1.3)
3) Para quatro partículas:
E aumenta o número de equações
~F1 = m1~a1; ~F2 = m2~a2; ~F3 = m3~a3; ~F4 = m4~a4: (1.4)
3
4) Para N partículas:
Teremos N equações.
~F1 = m1~a1; ~F2 = m2~a2; ~F3 = m3~a3; ~F4 = m4~a4;
~F5 = m5~a5; ~F6 = m6~a6; ::: ; ~FN = mN~aN ; (1.5)
E no caso onde N é muito grande?
Estratégia: Transformar o problema complexo num mais simples que se sabe resolver.
Sabemos resolver o problema de uma partícula.
Como reduzir um problema com N partículas para o caso de uma partícula?
Isso é possível?
R. O caso do corpo rígido.
Corpo Rígido Sistema de N partículas distribuídas uniformemente tal que as distâncias entre elas é mantida …xa.
Os corpos que conhecemos não são totalmente rígidos. As moléculas que os compõe agitam-se em torno de um
ponto de equilíbrio. Contudo dentro da precisão que vamos estudar, pode-se desprezar essa agitação molecular e
considerar que os corpos são aproximadamente rígidos.
Será possível reduzir o problema de um corpo rígido com N partículas ao problema de uma partícula?
A de…nição de corpo rígido permite essa redução.
Veja que todas as partículas se mantém a mesma distância uma das outras.
Assim se uma partícula se deslocar, todas as outras a acompanham.
E só precisamos estudar o movimento de uma única partícula ou ponto do corpo.
Um ponto especial
4 CHAPTER 1. SISTEMAS DE PARTÍCULAS
1.1 O Centro de Massa (CM): Sistema discreto
O Centro de Massa é um ponto especial de um corpo.
O CM se move como se toda a massa do corpo estivesse sobre ele.
Localização do CM.
Caso dois corpos:
Dois corpos
1) posição x1 e massa m1 2) posição x2 e massa m2.
A posiçao do xCM é dada por
xCM =
m1x1 +m2x2
M
; M = m1 +m2 (1.6)
Tres corpos:
xCM =
m1x1 +m2x2 +m3x3
M
; M = m1 +m2 +m3 (1.7)
Para N corpos
xCM =
m1x1 +m2x2 +m3x3 + :::+mNxN
M
; M = m1 +m2 + :::+mN (1.8)
Essa última equação pode ser escrita numa forma mais sintética por
xCM =
1
M
NX
i=1
mixi (1.9)
1.1. O CENTRO DE MASSA (CM): SISTEMA DISCRETO 5
Caso em 3-D
Podemos extender essa expressão para o eixo y e eixo z.
yCM =
1
M
NX
i=1
miyi; zCM =
1
M
NX
i=1
mizi; (1.10)
As coordenadas xCM , yCM e zCM podem ser usadas para serem componentes de um vetor posição ~rCM
~rCM = xCM {^+ yCM |^+ zCM k^: (1.11)
Relação entre ~rCM e ~ri da partícula i.
O vetor posição ~ri da partícula i de massa mi é dado por
~ri = xi {^+ yi|^+ zik^: (1.12)
Substituindo as expressões (1.9,1.10,) de xCM , yCM e zCM em ~rCM
~rCM = xCM {^+ yCM |^+ zCM k^:
=
1
M
NX
i=1
mixi {^+
1
M
NX
i=1
miyi |^+
1
M
NX
i=1
mizi k^: (1.13)
podemos colocar 1M
PN
i=1mi em evidência
~rCM =
1
M
NX
i=1
mi
~riz }| {�
xi {^+ yi|^+ zik^
�
: (1.14)
e usando a expressão de ~ri, obtemos
~rCM =
1
M
NX
i=1
mi~ri: (1.15)
Exemplo
Duas partículas …xas ao longo do eixo x.
mA = 3; 0 kg xA = 3; 0 cm mB = 2; 0kg; xB = 7; 0cm
Calcule xCM
xCM =
3:0kg � 3:0cm+ 2:0kg � 7:0cm
5:0kg
= 4:6cm (1.16)
6 CHAPTER 1. SISTEMAS DE PARTÍCULAS
1.2 CM: Sistema Contínuo de Partículas
No caso de um sistema contínuo e uniforme de partículas é difícil obter a massa mi localizada na coordenada xi.
Podemos de…nir um elemento de massa dm localizado na posição x:
E não temos mais a soma
P
i.
Realiza-se a substituição
mi ! dm; xi ! x;
X
i
!
Z
e temos:
xCM =
1
M
NX
i=1
mixi ! xCM = 1
M
Z
xdm; (1.17)
analogamente para as outras componentes:
yCM =
1
M
Z
ydm; zCM =
1
M
Z
zdm; (1.18)
Porém temos um problema. O termo dm indica que a variável de integração é m e não x, y ou z. Podemos
contornar esse problema.
Para o caso dos corpos com massa distribuído uniformente, a densidade � é constante e dada por
� =
M
V
(1.19)
onde M= massa total e V = volume total do corpo.
Um pedaço do corpo bem pequeno tem volume elementar dV e a massa contida nesse elemento de volume é dm.
Como a massa do corpo é distribuída uniformemente então a densidade nesse pedaço do corpo também é �, então
� =
dm
dV
e temos que
dm
dV
=
M
V
! dm = M
V
dV (1.20)
Substituindo os dm em (1.18), temos
xCM =
1M
Z
xdm! xCM = 1
M
Z
x
M
V
dV ! xCM = 1
V
Z
xdV
analogamente, se obtém
yCM =
1
V
Z
ydV; zCM =
1
V
Z
zdV; (1.21)
1.2. CM: SISTEMA CONTÍNUO DE PARTÍCULAS 7
Agora dV indica um elemento de volume de um cubo elementar, i.e.: dV = dx dy dz onde dx, dy e dz são os
lados do cubo elementar. O símbolo
R
_dV =
R
_dxdydz na realidade signi…ca:
R
_dx
R
_dy
R
_dz
Exemplo 1 - Caso 2-D
Uma superfície retângular de comprimento L e altura h. Coloca uma das pontas na origem do sistema de
coordenadas
Se fosse em 3-D, teríamos
dV = dxdydz (1.22)
Como temos 2�D, então em vez de elemento de volume dV trocamos por da elemento de área
da = dxdy
e em vez de volume V precisamo da área da superfície :
a = Lh
Só precisamos de duas coordenadas: xCM e yCM .
Assim, reescreve-se
xCM =
1
V
Z
xdV ! xCM = 1
a
Z
xda;
yCM =
1
V
Z
ydV ! yCM = 1
a
Z
yda
Substitui o elemento de área da = dxdy e a integral
R
se torna uma integral dupla
R R
pois temos a multiplicação
de duas diferenciais: dxdy.
xCM =
1
Lh
Z Z
xdxdy; yCM =
1
Lh
Z Z
ydxdy;
Os límites das integrações:
(
Na direção x: xini = 0; xfin = L
Na direção y : yini = 0; yfin = h
e reescreve-se:
xCM =
1
Lh
Z L
0
xdx
Z h
0
dy; yCM =
1
Lh
Z L
0
dx
Z h
0
ydy;
Cálculo de xCM
xCM =
1
Lh
Z L
0
xdx
"Z h
0
dy
#
;
8 CHAPTER 1. SISTEMAS DE PARTÍCULAS
a integração em y: Z h
0
dy = yjh0 = [h� 0] = h
substitui em xCM
xCM =
1
Lh
Z L
0
xdx [h] =
1
L
Z L
0
xdx
integra em x:
xCM =
1
L
"Z L
0
xdx
#
=
1
L
x2
2
����L
0
=
1
L
�
L2 � 0
2
�
e obtemos:
xCM =
L
2
(1.23)
Cálculo de yCM
yCM =
1
Lh
Z L
0
dx
"Z h
0
ydy
#
; (1.24)
integra em y: Z h
0
ydy =
y2
2
����h
0
=
h2 � 0
2
=
h2
2
; (1.25)
substitui em yCM
yCM =
1
Lh
Z L
0
dx
�
h2
2
�
=
h
2L
Z L
0
dx: (1.26)
Integra em x:
yCM =
h
2L
h
xjL0
i
=
h
2L
[L� 0] ; (1.27)
e obtemos:
yCM =
h
2
(1.28)
Em resumo:
xCM =
L
2
; yCM =
h
2
: (1.29)
Análise do resultado: Essas coordenadas são também o centro geométrico. Esse ponto se comporta como
tendo toda a massa do corpo concentrado nele. Isso signi…ca que se aplicarmos um força externa nesse ponto a barra
se movimenta como um todo de forma equilibrada. Assim esse ponto também é chamado de ponto de equilíbrio.
1.2. CM: SISTEMA CONTÍNUO DE PARTÍCULAS 9
Exemplo 2
Um Cubo em 3-D
Realiza-se o cálculo análogo ao caso 2-D
xCM =
1
V
Z
xdV; yCM =
1
V
Z
ydV; zCM =
1
V
Z
zdV;
O volume do cubo é V = L3
usamos dV = dxdydz
Cálculo de xCM
xCM =
1
L3
Z
xdxdydz =
1
L3
Z L
0
Z L
0
Z L
0
xdxdydz
reescreve
xCM =
1
L3
Z L
0
xdx
Z L
0
dy
Z L
0
dz
calculando cada integral
xCM =
1
L3
�
L2
2
�
[L] [L] =
L
2
(1.30)
Cálculo de yCM
yCM =
1
L3
Z
ydxdydz =
1
L3
Z L
0
dx
Z L
0
ydy
Z L
0
dz;
o cálculo de cada integral resulta em
yCM =
1
L3
[L]
�
L2
2
�
[L] =
L
2
(1.31)
Cálculo de zCM
zCM =
1
L3
Z
zdxdydz =
1
L3
Z L
0
dx
Z L
0
dy
Z L
0
zdz
e o resultado é
zCM =
L
2
Assim o CM para esse caso do cubo está localizado em:
xCM =
L
2
; yCM =
L
2
; zCM =
L
2
: (1.32)
Análise do resultado: Novamente obtemos que o centro geométrico é o centro de equilíbrio do corpo.
Com base nesses resultados se desenvolve a espectativa de que num corpo com distribuição homogênea de massa
o centro geométrico é o centro de equilíbrio.
10 CHAPTER 1. SISTEMAS DE PARTÍCULAS
1.2.1 Sistemas esféricos
Caso de um disco de raio R com a origem do sistema de referencial no centro do disco.
Temos que transformar de variáveis cartesianas (x; y) para variáveis polares (r; �) pois isso facilita o cálculo.
O elemendo de área, da.
Usando a de…nição de ângulo
� =
ds
r
onde ds é o comprimento do arco e r é o raio. No nosso caso temos um intervalo de ângulo d�. Pode-se reecrever:
ds = rd�
O outro lado é dr Assim o elemento de área é
da = rdrd�: (1.33)
Das coordenadas esféricas temos
x = r cos �; y = r sin �: (1.34)
Substituindo essas expressões nas fórmulas de xCM e yCM , temos
xCM =
1
a
Z Z
xda;! xCM = 1
�R2
Z Z
r cos �rdrd�; (1.35)
yCM =
1
a
Z Z
yda;! yCM = 1
�R2
Z Z
r sin �rdrd�;
Cálculo de xCM :
xCM =
1
�R2
Z Z
r cos �rdrd�;
=
1
�R2
Z R
0
r2dr
Z 2�
0
cos �d�;
A integral em �. Z 2�
0
cos �d� = sin �j2�0 = 0:
1.3. A 2A¯ LEI DE NEWTON E O CM: SISTEMA DISCRETO 11
Então
xCM = 0: (1.36)
Cálculo de yCM
yCM =
1
�R2
Z Z
r sin �rdrd�;
=
1
�R2
Z R
0
r2dr
Z 2�
0
sin �d�; (1.37)
Cálculo da integral Z 2�
0
sin �d� = � cos �j2�0 = � (cos 2� � cos 0) = 0: (1.38)
CM do disco está localizado em
xCM = 0; yCM = 0: (1.39)
1.3 A 2a¯ Lei de Newton e o CM: Sistema discreto
Usando o operador derivada sobre a coordenada de posição do CM (~rCM ),
d
dt
~rCM =
d
dt
PN
i=1mi~riPN
j=1mj
=
m1
d
dt~r1 +m2
d
dt~r2 + :::mN
d
dt~rN
M
e da de…nição de velocidade instantênea
~v =
d
dt
~r; (1.40)
temos
~vCM =
m1~v1 +m2~v2 + :::mN~vN
M
(1.41)
Essa equação pode ser reescrita por
M~vCM = m1~v1 +m2~v2 + :::mN~vN
De…nindo a quantidade de movimento do CM por:
~PCM = M~vCM : (1.42)
reescreve-se
~PCM = ~p1 + ~p2 + :::~pN = ~ptotal (1.43)
ou seja, a quantidade de movimento do CM é igual à soma total das quantidades de movimento de cada partícula
do sistema.
Aplicando o operador derivada temporal na expressão de ~vCM , temos
d
dt
~vCM =
m1
d
dt~v1 +m2
d
dt~v2 + :::mN
d
dt~vN
M
; (1.44)
e usando a de…nição de aceleração instantânea:
~a =
d~v
dt
; (1.45)
12 CHAPTER 1. SISTEMAS DE PARTÍCULAS
temos:
~aCM =
m1~a1 +m2~a2 + :::mN~aN
M
; (1.46)
Onde de…ne-se a aceleração do CM, por
~aCM =
d
dt
~vCM
Reescrevendo a equação (1.46)
M~aCM = m1~a1 +m2~a2 + :::mN~aN ; (1.47)
Pode-se identi…car o lado direito da igualdade por
m1~a1 +m2~a2 + :::mN~aN = ~F1 + ~F2 + :::+ ~FN = ~R
Assim, temos
~R = M~aCM : (1.48)
Essa equação nos mostra que a Resultante ~R das forças atua sobre o CM.
Temos a forma da 2a¯ lei para o caso do sistema com N partículas.
Assim o CM está se comportando como um corpo de massa M sob a ação de uma força ~R.
1.4 Quantidade de movimento para N partículas
Para um sistema com N partículas. Cada partícula i de massa mi e velocidade ~vi, possui quantidade de movimento
dada por:
~pi = mi~vi; (1.49)
A quantidade de movimento total ~ptotal é dada por
~ptotal = ~p1 + ~p2 + :::+ ~pN =
NX
i=1
~pi = ~PCM : (1.50)
A segunda lei de Newton na sua forma mais geral, nos diz que a variação temporal da quantidade de movimento
(d~p=dt) de uma partícula é causada pela ação de uma força ~f sobre ela, em termos matemáticos:
~f =
d~p
dt
: (1.51)
Para o sistema com N partículas, aplicamos o operador derivada:
d
dt
sobre a equação (1.50) e obtemos
d
dt
~ptotal =
d
dt
~p1 +
d
dt
~p2 + :::+
d
dt
~pN =
d
dt
~PCM : (1.52)
Essa equação nos diz que soma das variações de quantidade movimento de cada partícula é igual a variação da
quantidade de movimento do Centro de Massa ( ddt
~PCM ).
1.5. SIST. N PARTIC.:CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO 13
Usando a equação (1.51) para a partícula i, temos:
d
dt
~pi = ~fi (1.53)
onde ~fi representa a força sobre a partícula i. Substituindo essa equaçãoem (1.52), temos
~f1 + ~f2 + :::+ ~fN =
d
dt
~PCM : (1.54)
Mas a força resultante é:
~R = ~f1 + ~f2 + :::+ ~fN
então
~R =
d
dt
~PCM (1.55)
Essa é a segunda lei para o caso do sistema com N partículas. Ela mostra que a Força Resultante ~R causa a
variação da quantidade de movimento do Centro de Massa.
1.5 Sist. N partic.:Conservação da quantidade de movimento
Vamos ver o que ocorre quando a resultante ~R é nula. Da equação
~R =
d
dt
~PCM (1.56)
temos
0 =
d
dt
~PCM (1.57)
Do cálculo.
Quando uma derivada é nula?
R. Quando a função a ser derivada é uma constante.
Assim para o nosso caso, a equação
0 =
d
dt
~PCM (1.58)
nos diz que
~PCM = const. (1.59)
Essa é a Lei de conservação do momento linear (quantidade de movimento linear).
Interpretação de ~PCM = constante.
Signi…ca que a qualquer instante t o vector ~PCM é o mesmo, ou seja:
~P antestot = ~P
depois
tot (1.60)
14 CHAPTER 1. SISTEMAS DE PARTÍCULAS
1.5.1 Aplicação: Explosão - Mov. dos Fragmentos
Um corpo de massa m = 6; 0 kg desliza sem atrito sobre o chão com velocidade v = 4; 0 m=s. De repente o corpo
explode em dois pedaços A e B. Suas massas são mA e mB ,respectivamente. Temos que mA = 2; 0 kg . O pedaço
A viaja com velocidade ~vA = +vAx^ (vA = 8; 0 m=s). Como se determina a velocidade ~vB do pedaço B?
Pode-se aplicar a lei de conservação de momento linear?
Adotamos o eixo x^ na direção do chão e no sentido do movimento do corpo m.
Análise:
Se ~R = 0, onde ~R soma das forças externas ao sistema, podemos aplicar a lei de conservação de momento linear.
Será que ~R = 0?
Quais forças atuam no sistema?
Antes da explosão:
Forças:
Gravitacional
Normal
9>>=>>;!
8>><>>:
São forças na direção vertical e
não há movimento nessa direção.
Logo ~R = 0
Depois da explosão:
8>><>>:
O sistema de fragmentos A e B
se matém na direção horizontal.
continua a ser ~R = 0
Força da explosão ! São forças internas.
Conclusão: Não há resultante de forças externas atuando ! O momento linear total se conserva.
Aplicando a lei de conservação de momento linear.
Antes da explosão.
Só tem o corpo de massa m e velocidade ~v = vx^:
~P initot = ~p = m~v: (1.61)
Depois da explosão:
Dois fragmentos, cada um tem momentos lineares: ~pA e ~pB , e temos:
~P fimtot = ~pA + ~pB = mA~vA +mB~vB :
A lei de conservação de momento linear, nos diz que
~P initot =
~P fimtot ; (1.62)
aplicando para esse caso, temos:
m~v = mA~vA +mB~vB ; (1.63)
Na direção x^
mvx^ = mAvAx^+mBvBx^;
como x^ é constante pode-se escrever
vetorz }| {
mv x^ =
vetorz }| {
(mAvA +mBvB) x^; (1.64)
Para que o vetor à esquerda seja igual ao vetor à direita, temos que
mv = mAvA +mBvB : (1.65)
1.5. SIST. N PARTIC.:CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO 15
A incógnita é vB todos os demais nós conhecemos, então, usamos essa equação para obter:
vB =
mv �mAvA
mB
: (1.66)
Análise do resultado: o conteúdo físico
No caso em que:
1) mAvA < mv ! vB é positivo, os fragmentos se movimento para x positivo.
2) mAvA > mv ! vB é negativo, os fragmentos se movimentam em sentidos opostos.
Da condição mA +mB = m obtemos que mA < m e mB < m
Usando mA < m analisa-se o numerador
mv �mAvA = m
�
v � mA
m
vA
�
pode-se ver mAm < 1 assim ele atenua o efeito de vA
Para …car negativo temos que
v � mA
m
vA < 0; ! mA
m
vA > v; ! vA > v m
mA
assim se vA > v mmA o segundo caso é possível.
Podemos agora atribuir valôres.
m = 6; 0kg; v = 4; 0 m=s;
mA = 2; 0kg vA = 8; 0 m=s:
Usando mA +mB = m obtemos o valor para mB
mB = m�mA = 4; 0kg
Usando
vB =
mv �mAvA
mB
: (1.67)
obtemos o valor para vB
vB =
6; 0kg � 4; 0m=s� 2; 0kg � 8; 0 m=s
4; 0kg
=
24; 0� 16; 0
4; 0kg
kg m=s; (1.68)
=
8; 0
4; 0kg
kg m=s = 2; 0 m=s;
Resultado com valor de vB > 0. Já havíamos previsto que isso é possível. Qualitativamente esse resultado
concorda com a análise que foi feita.
16 CHAPTER 1. SISTEMAS DE PARTÍCULAS
1.6 Movimento Relativo e Sistema de partículas
Temos inicialmente um foguete viajando com velocidade ~vi = vix^ (vi = 2100 km=h) em relação ao Sol no espaço e
rebocando uma carga. O referencial está com a origem no centro do Sol.
A massa total do rebocador + carga é M .
Com uma pequena explosão o foguete ejeta a carga cuja massa é mc = 0; 20M . A velocidade do foguete em
relação à carga passa a ser de ~vrel = vrelx^ (vrel = 500 km=h).
Qual a velocidade …nal ~vf do foguete em relação ao Sol?
Aqui nesse problema, temos dois tópicos básicos:
1) Movimento relativo de dois referenciais.
Um é o referencial com origem no Sol. O outro é o referencial com origem na carga.
Aqui temos a lei de adição de velocidades (Transformação de Galileo)
2) Sistema com dois corpos.
O foguete e a carga.
Depois que a carga é ejetada.
Denote por ~vc a velocidade da carga no referencial do Sol.
Temos ~vf a velocidade do foguete no referencial do Sol,
e ~vrel a velocidade do foguete em relação à carga.
1.6. MOVIMENTO RELATIVO E SISTEMA DE PARTÍCULAS 17
O tópico 1) permite relacionar essas velocidades medidas nos diferentes referenciais.
~vf = ~vc + ~vrel (1.69)
e não conhecemos ~vc e ~vf .
O tópico 2) permite relacionar ~vf e ~vc com ~vi da seguinte forma:
No referencial do Sol. A conservação de momento nos fornece
~Pi = ~Pf (1.70)
onde ~Pié o momento linear total inicial e ~Pf é o momento linear total …nal.
No início
~Pi = M~vi (1.71)
No …m, temos os momentos da carga ~pc = mc~vc e do foguete ~pf = mf~vf e o momento total é
~Pf = mc~vc +mf~vf : (1.72)
Assim a conservação de momento linear total (1.70) é reescrita por
Mvix^ = 0; 2Mvcx^+mfvf x^
como todas as velocidades estão na mesma direção, pode-se reescrever:
Mvi = 0; 2Mvc +mfvf
A massa mf do foguete após a ejeção é determinada por
mf +mc = M ! mf = M �mc = M � 0; 2M = 0; 8M (1.73)
substitui esse resultado na eq. anterior, temos
Mvi = 0; 2Mvc + 0; 8Mvf (1.74)
Da eq. de adição de velocidades
vf x^ = vcx^+ vrelx^! vf = vc + vrel (1.75)
podemos obter vc
vf � vrel = vc
Substitui esse resutado na equação (1.74), temos
Mvi = 0; 2M (vf � vrel) + 0; 8Mvf (1.76)
e obtemos
Mvi = Mvf � 0; 2Mvrel !Mvi + 0; 2Mvrel = Mvf ;
vf = vi + 0; 2vrel
Substituindo os valôres, obtemos
vf = 2100 km=h+ 0; 2� 500 km=h = 2:200 km=h: (1.77)
Obs: Veja que se conseguiu aumentar a velocidade do foguete ejetando a carga.
18 CHAPTER 1. SISTEMAS DE PARTÍCULAS
1.7 Sistemas com massa variável
Vamos ver um caso onde m não é constante. Esses casos são muito comuns. Exemplo nos carros. Quando andamos
de carro, gastamos combustível e o carro …ca mais leve. Assim a massa do carro está variando a medida que ele
anda. Nas corridas de F1 o efeito da variação da massa é determinante para se obter a vitória.
Ao contrário dos carros, um foguete não pode usar o atrito para se locomover para frente, pois ele está no espaço
onde há o vácuo.
A impulsão do foguete: aplicação da Lei de Conservação de momento linear
O sistema: gases da exaustão + foguete.
Vamos ver como a emissão desses gases se converte em aceleração de um foguete.
Considera que o foguete já está no espaço e despreza-se a força gravitacional.
Inicialmente ele tem massa M e velocidade ~v medida em relação ao solo.
Depois de um tempo dt
O foguete perde massa dM . Considere que dM < 0 (negativo)
A massa …nal do foguete é : M + dM
A massa perdida sai como gases ejetados. ! massa ejetada = �dM
~u velocidade de �dM no referencial do solo.
Usa a conservação de momento linear
~Pi = ~Pf
No início
~Pi = M~v (1.78)
No …nal: Dois corpos
"corpo" 1: gases ejetados ! ~pgas = �dM~u
corpo 2: foguete ! ~pfoguete = (M + dM) (~v + d~v)
~Pf = �dM~u+ (M + dM) (~v + d~v)
1.7. SISTEMAS COM MASSA VARIÁVEL 19como o movimento é em uma dimensão, pode-se omitir o sinal do vetor, e temos:
Mv = �dMu+ (M + dM) (v + dv) (1.79)
Obtenção de u.
Seja vrel a velocidade relativa do foguete em relação aos gases ejetados, assim a lei de adição de velocidades nos
fornece
vfz }| {
(v + dv) = u+ vrel ! u = (v + dv)� vrel (1.80)
substitui esse u na eq. acima
Mv = �dM [(v + dv)� vrel] + (M + dM) (v + dv) ;
= �dM (v + dv) + dMvrel + (M + dM) (v + dv) ;
note porque se escolheu �dM ,
Mv = dMvrel +M (v + dv) ;
0 = dMvrel +Mdv;
�dMvrel = Mdv
Agora divide os dois lados por dt
�dM
dt
vrel = +M
dv
dt
O termo �dM=dt é a taxa com a qual o foguete perde a massa. Denota-se por
R = �dM
dt
; R > 0
e obtemos
Rvrel = Ma (1.81)
Interpretação física do resultado:
Essa equação nos mostra que a variação da massa (R) do foguete é responsável pela força (Ma) que o acelera.
Determinação da velocidade
Podemos obter, também uma expressão que relacionas as velocidades vf , vi e vrel com as massas inicial Mi e
…nal Mf do foguete.
A partir da equação
�dMvrel = Mdv (1.82)
divide por M
�dM
M
vrel = dv
e integra ambos os lados
�vrel
Z Mf
Mi
dM
M
=
Z vf
vi
dv
A integral da esquerda:
�
Z Mf
Mi
dM
M
= � lnM jMfMi = ln
Mi
Mf
20 CHAPTER 1. SISTEMAS DE PARTÍCULAS
A integral da direita: Z vf
vi
dv = vf � vi
Substituindo, obtemos
vf � vi = vrel ln Mi
Mf
; (1.83)
Valores para Mi e Mf
Mi = 2000, Mf = 1000. ! ln 20001000 = 0:693 15
Mi = 2000, Mf = 100. ! ln 2000100 = 2: 995 7
Interpretação da equação:
Essa equação nos mostra que quanto maior a diferença entre a massa …nal e inicial, maior será a diferença entre
a velocidade …nal e inicial para uma vrel constante. A diferença entre as massas precisa ser muito grande pois a
dependência na diferença de massas é logarítmica.
Já a dependência na velocidade relativa entre o foguete e os gases ejetados mostra que a diferença das velocidades
é bem mais sensível a esse termo. Isso mostra que a velocidade de ejeção é muito importante.
Esse resultado nos mostra porque um foguete deve funcionar quase como uma sucessão de explosões controladas,
pois é numa explosão que se pode obter a maior vrel e maior ln MiMf . (perda de massa)
Chapter 2
Colisão.
O sistema: Envolve apenas as partículas que participam da colisão.
Sistema fechado: Quando não entra e nem sai partículas
Sistema isolado: Quando não há forças externas resultantes.
Consequência para o sistema isolado:~Fres = 0 então
d~Ptot
dt
= 0! ~Ptot = const: (2.1)
ou seja o momento linear total é conservado.
Quando ocorre a colisão de um corpo contra outro, pode-se dividir o processo em tres etapas:
1) Etapa antes da colisão
2) Etapa durante a colisão
3) Etapa depois da colisão.
Como ~Ptot é conservado signi…ca que
~P initotal = ~P
fin
total (2.2)
As colisões da física clássica são agrupadas em duas classes:
1) Colisão elástica - Nessa classi…cação os corpos envolvidos mantém a integridade estrutural deles.
Exemplo: Colisão leve entre duas esferas de aço duro.
2) Colisão inelástica: Os corpos envolvidos nessa classe de colisão sofrem alterações estruturais.
Exemplo: colisão entre dois carros.
Na física quântica pode ocorrer, além dessas colisões, um outro tipo de colisão.
3) Reação. Nesse tipo de colisão ocorre alterações estruturais profundas de forma que é alterado a identidade
das partículas envolvidas.
Exemplo: Reações químicas -
2H2 +O2 ! 2H20 (2.3)
Etapa 1) Duas moléculas de hidrogênio colidem com uma molécula de oxigênio
Etapa 2) Durante a colisão as moléculas reagem. Ocorre interações moleculares que alteram as moléculas
iniciais.
21
22 CHAPTER 2. COLISÃO.
Etapa 3) Da região onde ocorreu a colisão sai duas moléculas de água.
Nomenclatura.
Reagentes: São os corpos antes da reação.! H2 e O2
Produtos: São os corpos que resultam da reação. ! H2O
2.0.1 As colisões em Física Nuclear:
Com energias da ordem de GeV (Giga eléctron Volt) quando dois núcleos colidem, os prótons e neutrons desses
núcleos se fragmentam e expõe o conteúdo de quarks.
Representação de uma colisão ´Núcleo-Núcleo. As bolas brancas representam os prótons e os nêutrons, as esferas
menores coloridas (azul,verde e vermelho) representam o conteúdo de quarks.
O Núcleo atômico é constituído de prótons (p) e nêutrons (n). O p tem carga positiva (e = módulo da carga do
e�) e n tem carga neutra. As massas do p e n são aproximadamente iguais
mp ' mn (2.4)
Os prótons e nêutrons recebem a classi…cação geral de núcleons.
Os quarks são as partículas elementares que constituem um núcleon. São necessários dois tipos de quarks para
formar um núcleon, o quark u e o quark d.
O quark u tem carga +2=3e. O quark d tem carga �1=3e . O núcleon é formado por três quarks. A conteúdo
de quarks do próton e do nêutron são:
p = u u d; n = u d d (2.5)
23
Com base nesse conteúdo e nas cargas dos quarks pode-se deduzir a carga do próton
p = u u d! 2
3
e+
2
3
e� 1
3
e =
4
3
e� 1
3
e = e; (2.6)
n = u d d! 2
3
e� 1
3
e� 1
3
e =
2
3
e� 2
3
e = 0:
O experimento de colisões é o principal experimento realizado em Física Nuclear para se poder desvendar as
Leis Fundamentais da Natureza. Esses experimentos são realizados em Laboratórios com equipamentos no estado
da arte da tecnologia.
tubo de con…namento do feixe de partículas.
Detector de partículas Zeus. O produto das colisões são observadas com esses detectores. As partículas pro-
duzidas saem da região de colisão com velocidades próximas da velocidade da Luz. A importância desses detectores
não se restringe à Física Nuclear. A construção desses detectores requer o desenvolvimento tecnológico de ponta
em diversas áreas da engenharia e forma especialistas que possuem uma capacidade ímpar. Após a construção dos
detectores, muitos engenheiros, físicos e técnicos são requisitados por empresas de alta tecnologia. Ex: A cada
rodada de experimento são desenvolvidos novos chips dedicados para atualizar os sistemas eletrônicos do detector.
24 CHAPTER 2. COLISÃO.
2.0.2 As Leis de Conservação e Colisões Clássicas:
Dependendo do tipo de colisão as leis de conservação são obedecidas ou não.
Leis de conservação: Colisão Elástica Colisão Inelástica
Momento Linear total Conserva Conserva
Energia Total Conserva Não-Conserva
Nas colisões inelásticas e reações, parte da energia total inicial Etot é gasta para realizar as alterações estruturais.
Assim a energia …nal total observada E0tot é menor que a energia total inicial Etot, i.e.:
E0tot < Etot: (2.7)
2.1 Durante a colisão: Impulso
Caso dois corpos: A e B.
Durante a colisão temos um intervalo elementar de tempo dt. Os dois corpos estão em contacto e nesse intervalo
temos:
A aplica força ~F (t) em B B aplica força �~F (t) em A
2.1. DURANTE A COLISÃO: IMPULSO 25
Da 2a¯ Lei de Newton
~F (t) =
d~p
dt
! d~p = ~F (t) dt
O tempo vai de ti à tf e nesse intervalo o momento ~p varia de ~pi à ~pf . Integramos a segunda expressão nos seus
respectivos intervalos: Z ~pf
~pi
d~p =
Z tf
ti
~F (t) dt (2.8)
A primeira integração Z ~pf
~pi
d~p = ~pf � ~pi (2.9)
A segunda integração é a de…nição de Impulso ~J
~J =
Z tf
ti
~F (t) dt (2.10)
Reunindo os dois resultados, temos o Teorema impulso-quantidade de movimento linear:
~J = ~pf � ~pi: (2.11)
Assim o Impulso produzido pela força ~F (t) durante um intervalo de tempo dt produz a variação de momento
linear do corpo que sofre a ação de ~F (t).
No caso de uma força média Fmed atuando no intervalo de tempo �t, pode-se escrever a intensidade do impulso
por:
J = Fmed�t: (2.12)
26 CHAPTER 2. COLISÃO.
2.1.1 Sequência de colisões
N projéteis todos com a mesma massa m e mesma velocidade~v são lançados em sequência sobre um alvo …xo
durante um intervalo de tempo �t.
Como o alvo está …xo, os projéteis batem e voltam
Vamos obter a força média Fmed exercida sobre o alvo.
Temos que a intensidade do impulso J sobre o alvo se relaciona com Fmed por
J = Fmed�t! Fmed = J
�t
: (2.13)
Por outro lado J se relaciona com a variação total da intensidade de momento linear do alvo
J = pf � pi = �Palvo
e pode-se reescrever
Fmed =
�Palvo
�t
(2.14)
Os projéteis batem e voltam do alvo, temos que
�Palvo = ��Ptotal dos projeteis
e temos:
Fmed = ��Ptotal dos projeteis
�t
Assume-se que todos os projéteis batem e voltam da mesma forma, assim
�p1 = �p2 = ::: = �pN = m�v; (2.15)
então
�Ptotal dos projeteis = N m�v
Substitui na expressão de Fmed chega-se à:
Fmed = � N
�t
m�v (2.16)
O termo N=�t é a taxa com que os projéteis atingem o alvo.
Análise de situações:
2.2. CASO INELÁSTICO 27
1) Os projéteis param ao atingir o alvo: vf = 0! �v = vf � vi = �v e temos:
F
(1)
med =
N
�t
mv: (2.17)
2) Os projéteis batem e voltam com j~vf j = v: ! �v = �v � v = �2v e temos:
F
(2)
med = 2
N
�t
mv = 2F
(1)
med
módulo da velocidade …nal igual à v :
2.2 Caso Inelástico
Nesse caso só a lei de conservação de momento linear é conservado. Para dois corpos A e B essa lei resulta em
~piniA + ~p
ini
B = ~p
fim
A + ~p
fim
B : (2.18)
2.2.1 Colisão completamente inelástico de 2 corpos em 1-D
Nesse caso, temos
1) Antes da colisão: Dois corpos distintos: A e B. mA, vA e mB , vB
2) Durante a colisão: A e B se fundem
3) Após a colisão: Só há um corpo AB cuja massa M = mA +mB , e velocidade V
A lei de conservação toma a forma
mAvA +mBvB = MV (2.19)
A velocidade do Centro de Massa.
Vimos que no caso de duas partículas a cordenada do centro de massa é dado por
~rCM =
mA~rA +mB~rB
M
; M = mA +mB (2.20)
Para obter a velocidade do CM , basta derivar essa expressão com relação à t mantendo as massas constantes.
d
dt
~rCM =
d
dt
mA~rA +mB~rB
M
=
1
M
d
dt
(mA~rA +mB~rB) ;
=
1
M
�
mA
d
dt
~rA +mB
d
dt
~rB
�
;
e usando a de…nição de velocidade, reescreve-se
~vCM =
1
M
(mA~vA +mB~vB) : (2.21)
Essa expressão pode ser reescrita na forma:
M~vCM = mA~vA +mB~vB :
Lembrando que o CM se comporta como uma partícula com massa M . Pode-se notar que
M~vCM = ~PCM (2.22)
28 CHAPTER 2. COLISÃO.
Assim
~PCM = ~pA + ~pB = ~Ptot (2.23)
ou seja. o momento linear do CM é igual ao momento linear total.
Como pela conservação de momento linear temos
~P initot = ~P
fin
tot
obtemos que
~PCM = ~P
fin
tot = M~V : (2.24)
e
V = vCM :
Assim, a velocidade do corpo que se formou depois da colisão tem o mesmo módulo da velocidade do CM do sistema
de 2 partículas antes da colisão.
2.3 Caso Elástico
Equacionando o caso com N corpos em colisão elástico:
Esse equacionamento nos fornece um guia para os casos mais especí…cos com N = 2; 3; 4; etc.
De…ne-se:
Momento linear das partículas 1; 2; :::; N antes da colisão:
~p1; ~p2; :::; ~pN : (2.25)
e o Momento linear total é:
~ptotal = ~p1 + ~p2 + :::+ ~pN :
Momento linear das partículas 1; 2; :::; N depois da colisão:
~p 01 ; ~p
0
2 ; :::; ~p
0
N : (2.26)
e o Mometo linear total …nal é
~p 0total = ~p
0
1 + ~p
0
2 + :::+ ~p
0
N :
A conservação do Momento linear total, nos diz que:
~ptotal = ~p
0
total (2.27)
A conservação de Energia:
No caso em que só há energia cinética das partículas.
A energia total antes da colisão
Etot = E1 + E2 + :::+ EN =
NX
i=1
Ei =
NX
i=1
1
2
mi (~vi)
2 (2.28)
onde ~vi = velocidade da partícula i antes da colisão.
2.3. CASO ELÁSTICO 29
Também se pode usar
Etot =
NX
i=1
(~pi)
2
2mi
(2.29)
Após a colisão, temos que
E0tot = E
0
1 + E
0
2 + :::+ E
0
N =
NX
i=1
E0i =
NX
i=1
1
2
mi (~v
0
i )
2 (2.30)
=
NX
i=1
(~p 0i )
2
2mi
onde ~v 0i = velocidade da partícula i depois da colisão.
A lei de conservação de energia é expressa por:
Etot = E
0
tot;
NX
i=1
1
2
mi (~vi)
2
=
NX
i=1
1
2
mi (~v
0
i )
2
; (2.31)
NX
i=1
(~pi)
2
2mi
=
NX
i=1
(~p 0i )
2
2mi
(2.32)
A escolha de se usar a expressão com ~vi ou ~pi, depende da conveniência do problema.
Exemplo: Sistema com N = 2 partículas.
A equação de conservação de energia, pode ser dada por
1
2
m1 (~v1)
2
+
1
2
m2 (~v2)
2
=
1
2
m1 (~v
0
1 )
2
+
1
2
m2 (~v
0
2 )
2
; (2.33)
ou por
(~p1)
2
2m1
+
(~p2)
2
2m2
=
(~p 01 )
2
2m1
+
(~p 02 )
2
2m2
: (2.34)
A conservação de momento linear.
Antes da colisão os momentos lineares das partículas 1 e 2 são, respectivamente: ~p1 e ~p2. Temos então que:
~ptot = ~p1 + ~p2: (2.35)
Depois da colisão os momentos lineares da partículas 1 e 2 se tornam ~p 01 e ~p
0
2 . O momento linear total …nal
é então:
~p 0tot = ~p
0
1 + ~p
0
2 : (2.36)
Aplica a lei de conservação de momento linear para esse caso, temos
~ptot = ~p
0
tot: (2.37)
ou seja:
~p1 + ~p2 = ~p
0
1 + ~p
0
2 (2.38)
Dessa equação se conhecermos tres dos quatro momentos lineares, o quarto momento pode ser determinado.
30 CHAPTER 2. COLISÃO.
Exemplo: ~p 02 é desconhecido e os demais são conhecidos. Para determinar ~p
0
2 se faz
~p 02 = ~p1 + ~p2 � ~p 01 : (2.39)
Obs: Essa é uma equação vetorial. Portanto é preciso que se conheça as direções e os sentidos além do módulo.
As direções dos vetores são dados pelos ângulos de inclinações de cada vetor em relação aos eixos do
referencial adequadamente escolhidos.
2.3.1 Caso 1: Projétil-Alvo
Equacionamento do problema.
Vamos obter um sistema de equações lineares que relacionam as grandezas antes e depois da colisão.
A partícula 1 (projétil) de massa m1 com velocidade ~v1 na direção x^ incide sobre a partícula 2 com massa m2 e
velocidade ~v2 = 0 (alvo parado).
Da lei de conservação de energia:
1
2
m1 (~v1)
2
+
1
2
m2 (~v2)
2
=
1
2
m1 (~v
0
1)
2
+
1
2
m2 (~v
0
2)
2 (2.40)
como ~v2 = 0, reescreve-se:
1
2
m1 (~v1)
2
=
1
2
m1 (~v
0
1)
2
+
1
2
m2 (~v
0
2)
2 (2.41)
ou
(~p1)
2
2m1
=
(~p 01 )
2
2m1
+
(~p 02 )
2
2m2
: (2.42)
Da lei de conservação de momento linear temos
Antes da colisão, temos:
~ptot = m1~v1 +m2~v2
Como ~v2 = 0, então temos que:
~ptot = m1~v1
Vamos decompor nos eixos x^ e y^. Como ~v1 está na direção x^, temos
v1x = j~v1j = v1; v1y = 0: (2.43)
2.3. CASO ELÁSTICO 31
Para o corpo 2, ~v2 = 0, temos
v2x = 0; v2y = 0
Assim na direção x^ só temos:
px = j~ptotj = m1v1: (2.44)
Depois da Colisão.
Temos que:O corpo 2 adquire momento: ~p 02 = m2~v
0
2
O corpo 1 passa a ter o momento linear: ~p 01 = m1~v
0
1
O momento total …nal é:
~p 01 + ~p
0
2 = m1~v
0
1 +m2~v
0
2 : (2.45)
e temos a seguinte con…guração:
Decomposição nos eixos:
Na direção x^:
v01x = v
0
1 cos�; v
0
2x = v
0
2 cos� (2.46)
p01x = m1v
0
1 cos�; p
0
2x = m2v
0
2 cos�: (2.47)
Na direção y^:
v01y = v
0
1 sin�; v
0
2y = v
0
2 sin�; (2.48)
p01y = m1v
0
1 sin�; p
0
2y = m2v
0
2 sin�: (2.49)
Aplicação da lei de conservação de momento linear total
decomposto em cada um dos eixos.
No eixo x^ :
p1x + p2x = p
0
1x + p
0
2x
32 CHAPTER 2. COLISÃO.
Como ~v2 = 0 ! p2x = 0
p1x = p
0
1x + p
0
2x (2.50)
substituindo as expressões dos momentos p1x = m1v1, p01x = m1v
0
1 cos�; p
0
2x = m2v
0
2 cos�:. (Eqs 2.44,2.47) nessa
equação obtemos:
m1v1 = m1v
0
1 cos�+m2v
0
2 cos�: (2.51)
No eixo y^:
p1y + p2y =p
0
1y + p
0
2y: (2.52)
seguindo o procedimento para o caso do eixo x^, obtemos dessa equação a seguinte expressão:
0 = m1v
0
1 sin�+m2v
0
2 sin�: (2.53)
Resumo:
Da conservação de energia, temos as seguintes equações:
1
2
m1 (~v1)
2
=
1
2
m1 (~v
0
1)
2
+
1
2
m2 (~v
0
2)
2 (2.54)
ou
(~p1)
2
2m1
=
(~p 01 )
2
2m1
+
(~p 02 )
2
2m2
: (2.55)
Da conservação de momento linear temos:
Na direção x^:
m1v1 = m1v
0
1 cos�+m2v
0
2 cos�: (2.56)
Na direção y^:
0 = m1v
0
1 sin�+m2v
0
2 sin�: (2.57)
2.3.2 Exemplos
Exemplo 1: Colisão frontal
Com o alvo parado no referencial de laboratório, temos: ~v2 = 0.
O eixo x^ passa pelo centro do corpo 2 e ~v 01 = �v01x^ enquanto ~v02 = v02x^
Dados antes da colisão:
m1 = 5kg; ~v1 = 10
m
s
x^; (2.58)
m2 = 7kg:
As incógnitas são v01 e v
0
2.
Da lei de conservação de momento linear na direção x^:
m1v1 = �m1v01 +m2v02: (2.59)
Da lei de conservação de energia, temos
2.3. CASO ELÁSTICO 33
1
2
m1 (~v1)
2
=
1
2
m1 (~v
0
1)
2
+
1
2
m2 (~v
0
2)
2 (2.60)
reescreve-se:
m1 (~v1)
2
= m1 (~v
0
1)
2
+m2 (~v
0
2)
2
: (2.61)
Isola v01 na equação (2.59)
m1v1 �m2v02 = �m1v01:
�v01 = v1 �
m2
m1
v02;
v01 =
m2
m1
v02 � v1; (2.62)
Substitui na equação (2.61)
m1 (v1)
2
= m1
�
m2
m1
v02 � v1
�2
+m2 (~v
0
2)
2
;
= m1
�
m2
m1
�2
(v02)
2 � 2m1m2
m1
v02v1 +m1 (v1)
2
+m2 (~v
0
2)
2
;
=
(m2)
2
m1
(v02)
2 � 2m2v02v1 +m1 (v1)2 +m2 (~v02)2 ;
cancela m1 (v1)
2
(m2)
2
m1
(v02)
2 � 2m2v02v1 +m2 (~v02)2 = 0;
reúne os termos com (v02)
2 �
m2
m1
+ 1
�
m2 (v
0
2)
2 � 2m2v02v1 = 0;
fatora v02
v02
��
m2
m1
+ 1
�
m2v
0
2 � 2m2v1
�
= 0;
temos duas soluções para v02
v02 = 0;
v02 =
2m1
(m2 +m1)
v1
Para obter v01 podemos usar (2.59)
m1v1 = �m1v01 +m2v02: (2.63)
Caso v02 = 0
v01 = �v1: (2.64)
Caso v02 =
2m1
(m2+m1)
v1
m1v1 = �m1v01 +m2
2m1
(m2 +m1)
v1;
m1v
0
1 =
2m2m1
(m2 +m1)
v1 �m1v1; (2.65)
34 CHAPTER 2. COLISÃO.
cancela m1
v01 =
2m2
(m2 +m1)
v1 � v1 = 2m2
(m2 +m1)
v1 � (m2 +m1)
(m2 +m1)
v1;
=
2m2 � (m2 +m1)
(m2 +m1)
v1 =
2m2 �m2 �m1
(m2 +m1)
v1;
e obtemos
v01 =
m2 �m1
(m2 +m1)
v1;
Temos então as seguintes possibilidades para as velocidades …nais:
1) ~v 01 = � m2�m1(m2+m1)v1x^ e ~v 02 = 2m1(m2+m1)v1x^
Os dois corpos se movimentam em sentidos contrários.
2) Massas iguais m2 = m1, temos
~v 01 = 0
~v02 = ~v1
. Aqui o corpo 1 pára e o corpo dois continua com velocidade ~v1.
3) Alvo maciço: m2 � m1 em
m2 �m1 = m2
�
1� m1
m2
�
; (2.66)
m2 +m1 = m2
�
1 +
m1
m2
�
; (2.67)
temos que m1=m2 � 1 e �
1� m1
m2
�
' 1;
�
1 +
m1
m2
�
' 1 (2.68)
assim
m2 �m1 ' m2; m2 +m1 ' m2; (2.69)
e as velocidades se aproximam de:
~v 01 ' �
m2
m2
v1x^ ' �~v1;
~v02 '
2m1
m2
~v1
Aqui o corpo 1 bate e volta com velocidade quase de mesma intensidade que a velocidade inicial enquanto que
o corpo 2 se move com um pequena velocidade na direção da velocidade inicial do corpo 1.
4) Projétil maciço: m1 � m2
~v 01 ' �
�m1
m1
v1x^ ' ~v1;
~v 02 '
2m1
m1
v1x^ ' 2~v1;
nesse caso vemos que a velocidade do projétil praticamente não muda ao passo que a velocidade do alvo muda
radicalmente.
Substituindo os valôres, temos
Caso 1 ~v 02 = 0x^
~v 01 = �10
m
s
x^ ~v 02 = 0x^
2.3. CASO ELÁSTICO 35
Caso 2
m1 = 5kg; ~v1 = 10
m
s
x^; (2.70)
m2 = 7kg:
~v 01 = �
7kg � 5kg
(7kg + 5kg)
10
m
s
x^ = � 2
12
10
m
s
x^ = �5
3
m
s
x^;
~v 02 =
2� 5kg
(7kg + 5kg)
10
m
s
x^ =
10
12
10
m
s
x^ =
25
3
m
s
x^
Exemplo 2:
No referencial de laboratório, temos os seguintes dados:
Antes da colisão
m1 = 10kg; ~v1 =
�
2
m
s
�
x^; (2.71)
m2 = 20kg; ~v2 = 0:
Depois da colisão, temos
� = 600; � = 300 (2.72)
Com esses dados, pode-se determinar v01 e v
0
2.
Substitui esses dados nas equações:,
m1v1 = m1v
0
1 cos�+m2v
0
2 cos�; (2.73)
0 = m1v
0
1 sin�+m2v
0
2 sin�: (2.74)
temos, da primeira equação:
10kg2
m
s
= 10kg v01 cos 60
0 + 20kg v02 cos 30
0;
na segunda equação
0 = 10kg v01 sin 60
0 + 20kgv02 sin 30
0:
as funções trigonométricas resultam em:
cos 600 =
1
2
; sin 600 =
p
3
2
;
cos 300 =
p
3
2
; sin 300 =
1
2
:
substitui esses dados, temos
10kg2
m
s
= 10kg v01
1
2
+ 20kg v02
p
3
2
;
0 = 10kg v01
p
3
2
+ 20kgv02
1
2
:
36 CHAPTER 2. COLISÃO.
Da segunda equação, temos
v01 = �
2
p
3
3
v02; (2.75)
substitui na primeira equação, obtemos
v02 =
p
3
m
s
;
Substitui esse resultado na equação anterior, obtemos
v01 = �2
m
s
: (2.76)
2.3.3 Caso 2: Projétil-Projétil em 1D
Temos dois projéteis, 1 e 2. Colisão frontal ! Os dois projéteis estão ao longo do mesmo eixo. Escolhe-se o eixo x^.
Dados antes da colisão:
(
Corpo 1 m1; ~v1 = v1x^
Corpo 2 m2; ~v2 = �v2x^
Dados depois da colisão:
(
Corpo 1 m1; ~v 01 = v
0
1x^
Corpo 2 m2; ~v 02 = v
0
2x^
Vamos determinar v01 e v
0
2,
Da conservação de momento linear, temos
m1v1 +m2v2 = m1v
0
1 +m2v
0
2: (2.77)
Da conservação de energia, temos
1
2
m1v
2
1 +
1
2
m2v
2
2 =
1
2
m1 (v
0
1)
2
+
1
2
m2 (v
0
2)
2
: (2.78)
reescreve-se essas duas equações agrupando por velocidades das partículas.
A primeira equação:
m1v1 �m1v01 = m2v02 �m2v2:
m1 (v1 � v01) = m2 (v02 � v2) : (2.79)
2.3. CASO ELÁSTICO 37
A segunda equação
1
2
m1v
2
1 +
1
2
m2v
2
2 =
1
2
m1 (v
0
1)
2
+
1
2
m2 (v
0
2)
2
:
m1v
2
1 �m1 (v01)2 = m2 (v02)2 �m2v22 ;
m1
h
v21 � (v01)2
i
= m2
h
(v02)
2 � v22
i
;
lembrando que : a2 � b2 = (a+ b) (a� b), reescreve-se
m1 (v1 + v
0
1) (v1 � v01) = m2 (v2 + v02) (v2 � v02) (2.80)
divide (2.80) por (2.79)
m1 (v1 + v
0
1) (v1 � v01)
m1 (v1 � v01)
=
m2 (v2 + v
0
2) (v2 � v02)
m2 (v02 � v2)
(2.81)
obtemos
v1 + v
0
1 = v2 + v
0
2 (2.82)
posso isolar v01 :
v01 = v2 + v
0
2 � v1
e substituir em (2.80)
m1v1 �m1 (v2 + v02 � v1) = m2v02 �m2v2:
m1v1 �m1v2 �m1v02 +m1v1 = m2v02 �m2v2:
isola v02:
m1v1 �m1v2 +m1v1 +m2v2 = m2v02 +m1v02:
2m1v1 + (m2 �m1) v2 = (m2 +m1) v02:
e obtemos
v02 =
2m1
m2 +m1
v1 +
m2 �m1
m2 +m1
v2 (2.83)
e substituindo v02 em (2.82) obtemos v
0
1:
v01 =
m1 �m2
m2 +m1
v1 +
2m2
m2 +m1
v2: (2.84)
38 CHAPTER 2. COLISÃO.
Appendix A
The First Appendix
The appendix fragment is used only once. Subsequent appendices can be created using the Chapter Section/Body
Tag.
39
40 APPENDIX A. THE FIRST APPENDIX
Afterword
The back matter often includes one or more of an index, an afterword, acknowledgements, a bibliography, a colophon,
or any other similar item. In the back matter, chapters do not produce a chapter number, but they are entered in
the table of contents. If you are not using anything in the back matter, you can delete the back matter TeX …eld
and everything that follows it.
41