P2 Algebra linear com gabarito e comentario

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Segunda prova de A´lgebra Linear - 01/07/2011
Prof. - Juliana Coelho
JUSTIFIQUE SUAS RESPOSTAS! Questo˜es contendo so´ a resposta, sem desenvolvimento ou
justificativa sera˜o desconsideradas!
QUESTA˜O 1 (5,5 pts) - Considere a transformac¸a˜o linear
T : R2 → R2
(x, y) 7→ (2x+ 3y, 2y + 3x).
(a) (2,0 pts) Encontre o nu´cleo Nuc(T ) e a imagem Im(T ) da transformac¸a˜o T ;
Resp.: Primeiro encontraremos o nu´cleo de T . Por definic¸a˜o, o nu´cleo da transformac¸a˜o T e´ o
conjunto dos vetores (x, y) de R2 tais que T (x, y) = (0, 0), ou seja, tais que
(2x+ 3y, 2y + 3x) = (0, 0).
Assim, o nu´cleo e´ o conjunto-soluc¸a˜o do sistema linear homogeˆneo{
2x +3y = 0
3x +2y = 0 ⇒ x = 0, y = 0.
Portanto Nuc(T ) = {(0, 0)}.
Vamos agora encontrar a imagem de T . Para isso, note que dim(Nuc(T )) = 0 e logo, pelo
Teorema do Nu´cleo e da Imagem, temos
dim(R2) = dim(Nuc(T )) + dim(Im(T ))
2 = 0 + dim(Im(T )),
implicando que Im(T ) tem dimensa˜o igual a 2. Assim Im(T ) e´ um subespac¸o de dimensa˜o 2
de R2 e portanto tem que ser o pro´prio R2 inteiro. Logo Im(T ) = R2.
(b) (1,0 pts) Determine se T e´ invers´ıvel e, em caso afirmativo, encontre sua inversa T−1.
Resp.: A transformac¸a˜o T e´ invers´ıvel pois e´ injetora (ja´ que Nuc(T ) = {(0, 0)}) e sobrejetora
(ja´ que Im(T ) = R2). Vamos enta˜o achar a inversa de T . Como T e´ a transformac¸a˜o associada
a` matriz
M =
(
2 3
3 2
)
,
enta˜o a inversa T−1 sera´ a transformac¸a˜o associada a` matrizM−1. Agora lembre que a inversa
de uma matriz
(
a b
c d
)
e´ a matriz
1
det
(
d −b
−c a
)
onde det = ad− bc e´ o determinante da matriz. Assim, com
a = 2, b = 3, c = 3, d = 2
1
temos det(M) = 4− 9 = −5 e
M−1 =
1
−5
(
2 −3
−3 2
)
=
( −2/5 3/5
3/5 −2/5
)
.
Assim T−1 e´ a transformac¸a˜o associada a` matriz acima, isto e´,
T−1 : R2 → R2
(x, y) 7→
(−2x+ 3y
5
,
3x− 2y
5
)
.
(c) (2,0 pts) Ache os autovalores e respectivos autoespac¸os de T . Se poss´ıvel, exiba uma base
diagonalizante para T e exiba a matriz de T com respeito a esta base.
Resp.: Os autovalores de T sa˜o as ra´ızes do polinoˆmio caracter´ıstico p(λ) = det(M −λI), onde
M =
(
2 3
3 2
)
e´ a matriz associada a T na base canoˆnica e I e´ a matriz identidade. Logo
p(λ) = det
(
2− λ 3
3 2− λ
)
= (2− λ)2 − 9 = λ2 − 4λ− 5.
Como este polinoˆmio tem ra´ızes
λ =
4±√(−4)2 − 4 · (−5)
2
=
4±√36
2
= 5 e − 1
enta˜o T tem autovalores λ = 5 e λ = −1. Vamos agora encontrar os autoespac¸os Vλ associados
a cada um destes autovalores.
Como V−1 = Nuc(T − (−1)Id) = Nuc(T + Id), primeiro precisamos achar a lei desta trans-
formac¸a˜o. Temos
(T + Id)(x, y) = T (x, y) + Id(x, y) = (2x+ 3y, 3x+ 2y) + (x, y) = (3x+ 3y, 3x+ 3y).
Logo V−1 e´ o conjunto dos (x, y) tais que (3x+3y, 3x+3y) = (0, 0), ou seja, e´ o conjunto-soluc¸a˜o
do sistema homogeˆneo {
3x +3y = 0
3x +3y = 0 ⇒ y = −x.
Assim V−1 = {(x,−x) | x ∈ R} = 〈(1,−1)〉.
Como V5 = Nuc(T − 5Id), primeiro precisamos achar a lei desta transformac¸a˜o. Temos
(T − 5Id)(x, y) = T (x, y)− 5Id(x, y) = (2x+ 3y, 3x+ 2y)− 5(x, y) = (−3x+ 3y, 3x− 3y).
Logo V5 e´ o conjunto dos (x, y) tais que (−3x+3y, 3x−3y) = (0, 0), ou seja, e´ o conjunto-soluc¸a˜o
do sistema homogeˆneo { −3x +3y = 0
3x −3y = 0 ⇒ y = x.
Assim V5 = {(x, x) | x ∈ R} = 〈(1, 1)〉.
Como dim(V−1) = 1 e dim(V5) = 1, temos que
dim(V−1) + dim(V5) = 2 = dim(R2)
mostrando que T e´ diagonaliza´vel. Uma base que diagonaliza T e´ A = {(1,−1), (1, 1)} e a
matriz de T com respeito a esta base e´
[T ]A,A =
( −1 0
0 5
)
.
2
(d) (0,5 pts) Usando informac¸o˜es obtidas no item (c), classifique a curva coˆnica de equac¸a˜o
2x2 + 6xy + 2y2 − 4x+ 10y + 1 = 0.
Resp.: Para fazer esta classificac¸a˜o precisamos encontrar os autovalores da matriz
M =
(
2 3
3 2
)
associada a` forma quadra´tica 2x2 + 6xy + 2y2. Agora note que esta e´ a mesma matriz do
item anterior, que tem autovalores λ1 = 5 e λ2 = −1. Isto significa que a curva dada e´ uma
hipe´rbole ja´ que, apo´s uma mudanc¸a de coordenadas, sua equac¸a˜o fica
λ1X
2 + λ2Y 2 = c ⇒ 5X2 − Y 2 = c
onde c e´ uma constante e X e Y sa˜o as novas coordenadas.
QUESTA˜O 2 (2,0 pts) - Seja T : P1 → R3 uma transformac¸a˜o linear cuja matriz associada e´
[T ]A,B =
 1 32 1
−1 2
 .
ondeA = {−x+2, x−1} e´ uma base do espac¸o de polinoˆmios P1 eB = {(2,−1, 0), (0,−1, 1), (0, 3, 2)}
e´ uma base de R3.
(a) Ache a lei da transformac¸a˜o T .
Resp.: Como as colunas da matriz [T ]A,B sa˜o as expresso˜es de T (−x+ 2) e T (x− 1) na base
B, temos que
T (−x+ 2) = 1(2,−1, 0) + 2(0,−1, 1)− 1(0, 3, 2) = (2,−6, 0),
T (x− 1) = 3(2,−1, 0) + 1(0,−1, 1) + 2(0, 3, 2) = (6, 2, 5).
Assim, buscamos a lei da transformac¸a˜o linear T : P1 → R3 tal que T (−x + 2) = (2,−6, 0) e
T (x− 1) = (6, 2, 5). Para isso escrevemos os vetores ax+ b de P1 como combinac¸a˜o linear dos
vetores −x+ 2 e x− 1:
ax+ b = r(−x+ 2) + s(x− 1) = (−r + s)x+ (2r − s).
Basta enta˜o resolver o sistema{ −r +s = a
2r −s = b ⇒ r = a+ b, s = 2a+ b.
Assim, temos que
T (ax+ b) = rT (−x+ 2) + sT (x− 1)
= (a+ b)(2,−6, 0) + (2a+ b)(6, 2, 5)
= (14a+ 8b, −2a− 4b, 10a+ 5b)
Portanto a lei procurada e´
T : P1 → R3
ax+ b 7→ (14a+ 8b, −2a− 4b, 10a+ 5b).
3
(b) A transformac¸a˜o T e´ sobrejetora? Justifique.
Resp.: A transformac¸a˜o sera´ sobrejetora se sua imagem Im(T ) for igual a R3. Ora, pelo
Teorema do Nu´cleo e da Imagem temos que
dim(P1) = dim(Nuc(T )) + dim(Im(T ))
e como dim(P1) = 2 e dim(Nuc(T )) ≥ 0 (pois todo espac¸o vetorial tem dimensa˜o maior ou
igual a zero), enta˜o
2 = dim(Nuc(T )) + dim(Im(T )) ≥ 0 + dim(Im(T ))
mostrando que dim(Im(T )) ≤ 2 e portanto Im(T ) na˜o pode ser igual ao R3. Assim T na˜o e´
sobrejetora.
Outro modo de resolver a questa˜o e´ encontrar a imagem de T . Um vetor (r, s, t) de R3 esta´ na
imagem de T se existe ax + b ∈ P1 tal que T (ax + b) = (r, s, t), ou seja, se existem escalares
a, b ∈ R tais que
(14a+ 8b, −2a− 4b, 10a+ 5b) = (r, s, t).
Buscamos enta˜o condic¸o˜es sobre r, s, t para que existam escalares a, b satisfazendo o sistema
(∗)
 14a +8b = r−2a −4b = s10a +5b = t
ou seja, buscamos condic¸o˜es para que este sistema seja poss´ıvel. Montando e escalonando a
matriz do sistema temos 14 8 r−2 −4 s
10 5 t
→
 −2 −4 s14 8 r
10 5 t
→
 −2 −4 s0 −20 r + 7s
0 −15 t+ 5s
→
 −2 −4 s0 −20 r + 7s
0 0 (t+ 5s)− 34 (r + 7s)

onde fizemos as operac¸o˜es elementares L1 ↔ L2, L2 → L2 + 7L1, L3 → L3 + 5L1 e L3 →
L3 − 34L2. Assim, vemos que o sistema (∗) e´ poss´ıvel se e somente se
(t+ 5s)− 3
4
(r + 7s) = 0 ⇒ 3r − s− 4t = 0.
Portanto a imagem de T e´ Im(T ) = {(r, s, t) ∈ R3 | 3r − s− 4t = 0}, mostrando que T na˜o e´
sobrejetora.
QUESTA˜O 3 (1,0 pts) Determine se as afirmac¸o˜es abaixo sa˜o verdadeiras ou falsas, justificando
sua resposta:
(a) A func¸a˜o T : P2 → R2 dada por T (ax2 + bx+ c) = (ab, bc) e´ uma transformac¸a˜o linear.
Resp.: (Falso) Uma das condic¸o˜es para T ser linear e´ que T (k(ax2+bx+c)) = kT (ax2+bx+c).
Agora note que
T (k(ax2 + bx+ c)) = T (kax2 + kbx+ kc) = ((ka)(kb), (kb)(kc)) = (k2ab, k2bc)
e´ diferente de
k T (ax2 + bx+ c) = k(ab, bc) = (kab, kbc).
Logo T na˜o e´ uma transformac¸a˜o linear.
4
(b) Se uma transformac¸a˜o linear T : V → V tem 0 (zero) como autovalor, enta˜o T na˜o e´ invers´ıvel.
Resp.: (Verdadeiro) Lembre que se λ e´ autovalor de T enta˜o o autoespac¸o Vλ = Nuc(T − λId)
na˜o consiste apenas do vetor nulo, isto e´, a transformac¸a˜o associada T − λId na˜o e´ injetora.
Assim, se λ = 0 e´ autovalor enta˜o a transformac¸a˜o T − 0Id = T na˜o e´ injetora e portanto na˜o
e´ invers´ıvel.
QUESTA˜O 4 (1,5 pts) Seja T : V → V uma transformac¸a˜o linear e seja v ∈ V um autovetor de T
com autovalor associado λ.
(a) Verifique que para qualquer k ∈ R o mu´ltiplo kv e´ tambe´m um autovetorde T associado ao
autovalor λ.
Resp.: Basta verificar que T (kv) = λ(kv). Ora, por hipo´tese v e´ autovetor associado a λ e logo
temos que T (v) = λv. Agora, como T e´ linear, temos que
T (kv) = k T (v) = k(λv) = λ(kv).
(b) Verifique que v e´ autovetor da composic¸a˜o T ◦ T associado ao autovalor λ2.
Resp.: Temos que verificar que (T ◦ T )(v) = λ2v. Agora lembre que (T ◦ T )(v) = T (T (v)) e
que T (v) = λv (pois v e´ autovetor de T associado a λ, por hipo´tese). Assim, temos
(T ◦ T )(v) = T (T (v))
= T (λv)
= λT (v) (pois T e´ linear)
= λ(λv) (aplicando novamente que T (v) = λv)
= λ2v
5