Teoria da Firma e Custos

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Monitoria Micro I
Lista 7 - Teoria da Firma / Custos
1. Escreva func¸o˜es de produc¸a˜o - f(k, l) - que representem as seguintes tecnologias:
(a) Dados os prec¸os dos fatores w e r, a firma usa apenas o fator mais barato ou qualquer
combinac¸a˜o de ambos se os prec¸os forem iguais.
(b) Para α unidades do fator k a firma utiliza β unidades do fator l.
(c) Para quaisquer prec¸os w e r, a firma sempre aloca uma parcela α de seu orc¸amento
para o fator k e (1− α) para o fator l.
2. Considere a func¸a˜o de produc¸a˜o
q = f(k, l) = Akαlβ
tal que A > 0, 0 < α < 1 e 0 < β < 1
(a) Mostre que fk > 0, fl > 0, fkk < 0, fll < 0
(b) Por que fkk, fll < 0 e´ uma propriedade deseja´vel para as func¸o˜es de produc¸a˜o que
usamos para modelar o problema da firma?
(c) Quais as restric¸o˜es precisamos impor sobre α e β para que a func¸a˜o de produc¸a˜o
apresente retornos constantes, crescentes e decrescentes de escala?
(d) Mostre que εq,k = α e εq,l = β (ε e´ a elasticidade da func¸a˜o de produc¸a˜o em relac¸a˜o
a cada fator).
(e) Desenhe um mapa de isoquantas para esta func¸a˜o.
3. Seja q = f(k, l) uma func¸a˜o de produc¸a˜o qualquer.
(a) Mostre que TMSTk,l =
PMgk
PMgl
.
(b) Suponha que f(k, l) e´ uma func¸a˜o estritamente quasicoˆncava e estritamente mo-
notoˆnica. Quais as implicac¸o˜es disto sobre as isoquantas? E se for tambe´m ho-
mogeˆnea de grau k?
(c) Suponha que f(k, l) e´ uma func¸a˜o linear. Esta func¸a˜o apresenta retornos de escala
crescentes, constantes ou decrescentes?
4. Suponha a func¸a˜o de produc¸a˜o
f(k, l) = k + l + 2
√
kl +B
(a) Suponha f(2, 8) = 18. Mostre que esta func¸a˜o apresenta retornos constantes de
escala.
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(b) Calcule a TMSTk,l e TMST3k,3l.
(c) Mostre que esta func¸a˜o e´ um caso particular da func¸a˜o CES.
5. Suponha uma firma que tem a func¸a˜o de produc¸a˜o
q = f(k, l) = k1/4l3/4
(a) Encontre as func¸o˜es custo total, custo me´dio e custo marginal desta firma (Dica:
lembre-se que a func¸a˜o custo e´ uma func¸a˜o que depende de w, r, q, logo estes paraˆmetros
devem aparecer expl´ıcitos na sua resposta - C(w, r, q)).
(b) A firma contrata os fatores num mercado competitivo, de modo que o sala´rio pago
a cada trabalhador e´ w = 3 e o aluguel do capital e´ r = 1. Encontre a soluc¸a˜o
para o problema da firma, isto e´, (k∗, l∗) que minimiza o seu custo para um n´ıvel de
produc¸a˜o gene´rico - q¯.
(c) A firma estuda duas possibilidades distintas para expandir sua produc¸a˜o: ela pode
contratar mais 2 trabalhadores ou alugar mais 2 unidades de capital. Qual e´ a melhor
opc¸a˜o?
6. Suponha uma firma com func¸a˜o de produc¸a˜o
q = f(k, l) =
√
kl
Considere que no curto prazo, o capital e´ fixo em k = 100, o sala´rio e´ w = 5 e o aluguel
do capital e´ r = 10.
(a) Encontre as func¸o˜es custo total, custo me´dio e custo marginal de curto prazo(Dica:
use os dados do enunciado para escrever os custos de curto prazo como func¸a˜o somente
de q - C(q)).
(b) Encontre o n´ıvel de produto q∗ que minimiza o custo me´dio da firma. Qual o custo
total da firma neste ponto? (Quando necessa´rio, arredonde os valores para o inteiro
mais pro´ximo).
7. Responda (V) ou (F) e justifique sua resposta:
(a) Uma firma que tem a func¸a˜o de produc¸a˜o q = f(k, l) = min{k, l} tera´ uma func¸a˜o
custo total dada por C(w, r, q) = min{w, r}.q, onde w e´ o sala´rio pago a cada traba-
lhador e r e´ o aluguel do capital.
(b) O problema t´ıpico da firma e´ minimizar custos, de modo que seu lucro seja o mais
alto poss´ıvel. Enta˜o, podemos dizer que uma func¸a˜o de produc¸a˜o representa a me-
nor quantidade que uma firma e´ capaz de produzir, dada uma certa quantidade de
insumos.
(c) Se uma firma opera com retornos crescentes de escala, enta˜o cada fator de produc¸a˜o
ira´ apresentar rendimentos crescentes.
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(d) Suponha uma firma que apresente a func¸a˜o custo total C(q) = 5q + 7. Esta firma
opera com economias de escala.
(e) Uma func¸a˜o de produc¸a˜o que apresenta retornos constantes de escala e´ uma func¸a˜o
homogeˆnea de grau zero.
8. Suponha duas firmas que possuem a mesma func¸a˜o de produc¸a˜o:
q = f(k, l) = k1/4l3/4
A firma 1 e´ mais mecanizada do que a firma 2, de modo que k1 = 625 e k2 = 16. Ambas
as firmas contratam trabalhadores num mercado de trabalho competitivo em que existem
100 trabalhadores dispostos a ofertar sua ma˜o-de-obra. Calcule quantos trabalhadores
cada firma ira´ contratar e qual a quantidade total de produto neste mercado (quando
necessa´rio arredonde valores para o inteiro mais pro´ximo).
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