Resolço Lista8

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Monitoria Micro I
Resoluc¸a˜o Lista 8 - Custos
1. (a) Planta 1: Antes de mais nada, note que esta func¸a˜o de produc¸a˜o e´ do tipo CES com
retornos crescentes de escala - f(k, l) = [kδ + lδ]
γ
δ , δ = 2, γ = 2. Portanto, podemos
usar o me´todo do multiplicador de Lagrange para encontrar as demandas o´timas pelos
fatores. O problema que a firma quer resolver e´ encontrar as quantidades o´timas de
(k, l) que minimizam o seu custo, sujeito a` tecnologia de que dispo˜e. Ou seja,
min
k,l
wl + rk , s.a. k2 + l2 = q
Como w e r sa˜o dados, podemos escrever o lagrangeano e tirar as CPO’s:
L = 2l + 4k − λ[k2 + l2 − q]
∂L
∂k
= 4− λ2k = 0
∂L
∂l
= 2− λ2l = 0
Isolando λ:
λ =
2
k
=
1
l
⇒ k = 2l
Substituindo na restric¸a˜o:
k2 + l2 = q ⇒ (2l)2 + l2 = q ⇒ 5l2 = q ⇒ l∗ =
(q
5
)1/2
, k∗ = 2
(q
5
)1/2
Assim, temos que as func¸o˜es custo total, marginal e me´dio desta planta sa˜o
CT1 = wl
∗ + rk∗ = 2
(q
5
)1/2
+ 4.2
(q
5
)1/2
= 10
(q
5
)1/2
= 2.
5
51/2
q1/2 = 2.(5q)1/2
CMg1 =
∂CT1
∂q
=
251/2
2q1/2
=
(
5
q
)1/2
CMe1 =
CT1
q
=
2.(5q)1/2
q
= 2
(
5
q
)1/2
Planta 2: Como esta planta tem uma tecnologia Cobb-Douglas, tambe´m podemos
usar o me´todo do multiplicador de Lagrange. O problema da firma e´
min
k,l
wl + rk , s.a. k2l2 = q
Escrevendo o lagrangeano e tirando as CPO’s:
L = 2l + 4k − λ[k2l2 − q]
1
∂L
∂k
= 4− λ2kl2 = 0
∂L
∂l
= 2− λ2lk2 = 0
Isolando λ:
λ =
2
kl2
=
1
lk2
⇒ l = 2k
Substituindo na restric¸a˜o:
k2l2 = q ⇒ k2(2k)2 = q ⇒ 4k4 = q ⇒ k∗ =
(q
4
)1/4
, l∗ = 2
(q
4
)1/4
Assim, temos que as func¸o˜es custo total, marginal e me´dio desta planta sa˜o
CT2 = wl
∗ + rk∗ = 2.2
(q
4
)1/4
+ 4.
(q
4
)1/4
= 8
(q
4
)1/4
= 2.
4
41/4
q1/4 = 2.43/4q1/4
CMg2 =
∂CT1
∂q
=
1
2
(
4
q
)3/4
CMe2 =
CT1
q
=
2.43/4q1/4
q
= 2
(
4
q
)3/4
Planta 3: Esta planta tem uma tecnologia do tipo proporc¸o˜es fixas (Leontieff), por-
tanto NA˜O podemos usar o multiplicador de Lagrange (lembre-se esta func¸a˜o de
produc¸a˜o nem e´ diferencia´vel!). Sabemos que para esta func¸a˜o, no o´timo devemos
ter 2k = 3l. Logo
q = 2k ⇒ k∗ = q
2
, q = 3l⇒ l∗ = q
3
Assim, as func¸o˜es custo que queremos encontrar sa˜o:
CT3 = wl
∗ + rk∗ =
2
3
q + 2q =
8
3
q
CMg3 = CMe3 =
8
3
Planta 4: Esta planta tem uma tecnologia do tipo substitutos perfeitos, logo ela vai
usar apenas o insumo que for mais barato. No caso, apenas trabalho: q = l. Assim,
as func¸o˜es de custos sa˜o:
CT4 = wl
∗ = 2q
CMg4 = CMe4 = 2
(b) Em ambas as plantas as func¸o˜es de produc¸a˜o sa˜o homogeˆneas de grau maior do que
1, portanto, a firma opera com retornos crescentes de escala nas duas plantas. Isto
significa que ela opera com economias de escala, ou seja, os custos me´dios decrescem
a` medida que a quantidade produzida aumenta.
2
2. Suponha uma firma que usa apenas o trabalho como fator de produc¸a˜o. Sua tecnologia e´
dada por
q = f(l) = Al
1
α
onde A > 0 e´ um paraˆmetro que representa o n´ıvel tecnolo´gico e α > 0.
(a) Como a firma usa apenas um insumo podemos simplesmente isolar l na func¸a˜o de
produc¸a˜o:
q¯ = Al
1
α ⇒ l 1α = q¯
A
⇒ l∗ =
( q¯
A
)α
(b) Se o choque tecnolo´gico aumenta a produtividade dos trabalhadores, a firma ira´
diminuir a demanda por trabalho, para manter o mesmo n´ıvel de produc¸a˜o q¯. E´ fa´cil
de ver isto na func¸a˜o de demanda por trabalho: se A aumenta, o denominador esta´
maior, logo, a expressa˜o inteira e´ menor.
(c) Podemos escrever a demanda por trabalho como:
l∗ =
( q¯
3
)2
As func¸o˜es custo sa˜o
CT = wl∗ = 3
( q¯
3
)2
=
1
3
q2
CMg =
2
3
q
CMe =
1
3
q
(d) A demanda por trabalho e´:
l∗ =
( q¯
3
)α
E as func¸o˜es custo
CT = wl∗ = 3
( q¯
3
)α
= 31−αqα
CMg = α31−αqα−1 = α
(
3
q
)1−α
CMe = 31−αqα−1 =
(
3
q
)1−α
Se α > 1 a func¸a˜o de produc¸a˜o tem retornos decrescentes de escala e os custos
marginal e me´dio sa˜o crescentes (a firma opera com deseconomias de escala). Se
α < 1 a func¸a˜o de produc¸a˜o tem retornos crescentes e o custos marginal e me´dio sa˜o
decrescentes (economias de escala). Para α = 1, a func¸a˜o de produc¸a˜o tem retornos
constantes e a func¸a˜o custo total e´ linear.
3. Precisamos primeiro determinar quanto a firma ira´ produzir em cada unidade. Sabemos
que para minimizar seus custos a firma sempre escolhera´ produzir na planta que tiver o
3
menor custo marginal. Assim,
CMg1 = 16q
CMg2 = 32
CMg1 < CMg2 ⇐⇒ 16q < 32 ⇐⇒ q < 2
Logo, sabemos que ela produzira´ q1 = 2 na planta 1 e q2 = 8 na planta 2. O custo total e´
dado por CT = CT1 + CT2 = 8q
2
1 + 32q2 = 8.4 + 32.8 = 288
4. Responda (V) ou (F) e justifique sua resposta:
(a) Falso. Se ela opera com economias de escala, o custo me´dio e´ decrescente. Mas, para
que o custo me´dio seja decrescente o custo marginal deve ser menor do que o custo
me´dio - cada nova unidade produzida deve custar menos do que a anterior.
(b) Falso. A func¸a˜o custo total e´ homogeˆnea de grau 1 nos prec¸os dos insumos. Se estes
dobrarem, o custo total dobra.
(c) Falso. Se a func¸a˜o for homote´tica, o caminho de expansa˜o da firma e´ uma linha
reta, na˜o a func¸a˜o custo. Pense, por exemplo, numa func¸a˜o de produc¸a˜o com retor-
nos crescentes de escala. Ela e´ homogeˆnea de grau maior do que 1 e, portanto, e´
homote´tica. Mas, a func¸a˜o custo que ela gera na˜o e´ linear.
(d) Verdadeiro. O multiplicador de Lagrange mostra exatamente isto. Quanto o custo
da firma aumentaria se usa´ssemos uma unidade a mais de algum dos fatores.
(e) Verdadeiro. No curto prazo, se o capital e´ constante, a fima na˜o consegue mais se
mover ao longo da isoquanta. Assim, vai existir um u´nico n´ıvel de produc¸a˜o q¯ onde
vale a igualdade. (Veja os slides que eu postei).
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