Resoluço Lista7

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Monitoria Micro I
Resoluc¸a˜o Lista 7 - Teoria da Firma / Custos
1. (a) E´ uma tecnologia do tipo substitutos perfeitos: f(k, l) = wk + rl
(b) E´ uma tecnologia do tipo complementares perfeitos: f(k, l) = min{αk, βl}
(c) E´ uma tecnologia do tipo Cobb-Douglas: f(k, l) = kαl1−α
2. (a) Basta derivar a func¸a˜o em relac¸a˜o a cada fator e checar os sinais:
fk = αAk
α−1lβ > 0
fkk = α(α− 1)Akα−2lβ < 0
fl = βAk
αlβ−1 > 0
fll = β(β − 1)Akαlβ−2 < 0
Note que, por hipo´tese, α e β sa˜o menores do que 1, por isto as segundas derivadas
sa˜o negativas.
(b) Se algum dos fatores na˜o apresentar rendimentos decrescentes, a firma tera´ um in-
centivo a usar quantidades cada vez maiores deste fator. Ou seja, na˜o haveria uma
quantidade de produto que tornaria o lucro ma´ximo.
(c) • Retornos constantes: α+ β = 1
• Retornos crescentes: α+ β > 1
• Retornos decrescentes: α+ β < 1
(d) Sabemos que a elasticidade da func¸a˜o de produc¸a˜o em relac¸a˜o a k e´ dada por:
εq,k =
∆q
q
∆k
k
=
∆q
∆k
k
q
u
∂q
∂k
.
k
q
= fk.
k
q
= αAkα−1lβ.
k
Akαlβ
= α
O mesmo vale para εq,l:
εq,l =
∆q
q
∆l
l
=
∆q
∆l
l
q
u
∂q
∂l
.
l
q
= fl.
l
q
= βAkαlβ−1.
l
Akαlβ
= β
1
(e)
3. (a) A TMSTSk,l e´ a inclinac¸a˜o da reta tangente a uma isoquanta qualquer da func¸a˜o
de produc¸a˜o. Se q = f(k, l), enta˜o a diferencial total de q e´ dada por:
dq =
∂f
∂k
.dk +
∂f
∂l
.dl
Sabemos que em qualquer ponto sobre uma isoquanta, a quantidade q e´ a mesma,
ou seja, dq = 0. Logo,
0 =
∂f
∂k
.dk +
∂f
∂l
.dl⇒ −∂f
∂l
.dl =
∂f
∂k
.dk ⇒ − dl
dk
=
∂f
∂k
∂f
∂l
=
PMgk
PMgl
= TMSTk,l
(b) A ideia aqui e´ exatamente igual a` que vimos na Teoria do Consumidor: se a func¸a˜o
de produc¸a˜o e´ estritamente monotoˆnica, fk > 0, fl > 0, isto e´, usar mais insumos
aumenta a quantidade produzida. Isto significa que as isoquantas, que sa˜o as curvas
de n´ıvel da func¸a˜o de produc¸a˜o, sa˜o negativamente inclinadas - para usar mais de k
a firma precisa abrir ma˜o de um pouco de l em uma dada isoquanta. Ale´m disto, se
a func¸a˜o for estritamente quasicoˆncava, as isoquantas sera˜o estritamente convexas,
ou seja, usar uma combinac¸a˜o de ambos os insumos permite estar numa isoquanta
mais alta - o que significa um n´ıvel de produc¸a˜o maior. Se ale´m disto a func¸a˜o de
produc¸a˜o for homogeˆnea de grau k ela tambe´m sera´ homote´tica, o que significa que
as isoquantas sera˜o simples projec¸o˜es umas das outras - a TMST depende apenas da
raza˜o
k
l
, na˜o do n´ıvel de produc¸a˜o.
(c) Uma func¸a˜o de produc¸a˜o linear e´ homogeˆnea de grau 1. Logo, ela ira´ apresentar
retornos constantes de escala.
2
4. (a) Vamos comec¸ar substituindo os valores dados na func¸a˜o:
f(2, 8) = 2 + 8 + 2
√
16 +B = 18⇒ 18 +B = 18⇒ B = 0
Ou seja, podemos reescrever a func¸a˜o como:
f(k, l) = k + l + 2
√
kl
Para ver que ela apresenta retornos constantes de escala, precisamos mostrar que ela
e´ homogeˆnea de grau 1:
f(tk, tl) = tk + tl + 2
√
tk.tl = t(k + l + 2
√
kl) = tf(k, l)
Portanto, f(k, l) e´ homogeˆnea de grau 1.
(b) Como f(k, l) e´ homogeˆnea de grau 1, ela tambe´m e´ homote´tica. Portanto, sabemos
que as TMST ′s sera˜o iguais:
TMSTk,l =
PMgk
PMgl
=
1 +
√
l
k
1 +
√
k
l
TMST3k,3l =
PMg3k
PMg3l
=
3 +
√
9l
k
3 +
√
9k
l
=
3
(
1 +
√
l
k
)
3
(
1 +
√
k
l
) = 1 +
√
l
k
1 +
√
k
l
(c) Basta notar que podemos reescrever a func¸a˜o dada como:
f(k, l) =
(√
k +
√
l
)2
=
(
k0.5 + l0.5
)2
Este e´ um caso particular da func¸a˜o CES, onde os paraˆmetros de escala e substituic¸a˜o
sa˜o γ = 2 e ρ = 0.5.
5.
q = f(k, l) = k1/4l3/4
(a) O problema desta firma e´ encontrar a combinac¸a˜o (k∗, l∗) que minimize o seu custo,
dado que ela quer produzir o n´ıvel q¯. Assim, ela escolhe k, l de modo a
min
k,l
wl + rk , s.a. k1/4l3/4 = q¯
Escrevendo o lagrangeano e tirando as CPO’s:
3
L = wl + rk − λ
[
k1/4l3/4 − q¯
]
∂L
∂k
= r − λ
4
(
l
k
)3/4
= 0
L
∂l
= w − 3λ
4
(
k
l
)1/4
= 0
Isolando λ:
λ = 4r
(
k
l
)3/4
=
4w
3
(
l
k
)1/4
⇒ 3r
w
=
l
k
⇒ l = 3r
w
k
Substituindo esta relac¸a˜o na func¸a˜o de produc¸a˜o:
k1/4l3/4 = q¯ ⇒ k1/4
(
3r
w
k
)3/4
= q¯ ⇒ k∗ =
( w
3r
)3/4
q¯
l∗ =
3r
w
k∗ =
3r
w
( w
3r
)3/4
q¯ =
(
3r
w
)1/4
q¯
Assim, a func¸a˜o custo total e´ dada por:
C(w, r, q) = wl∗ + rk∗ = w
(
3r
w
)1/4
q¯ + r
( w
3r
)3/4
q¯
C(w, r, q) = q¯
(
3r1/4w3/4 + 3−3/4w3/4r1/4
)
= q¯r1/4w3/4
(
31/4 + 3−3/4
)
A func¸a˜o custo me´dio e´ dada por:
C(w, r, q)
q
= r1/4w3/4
(
31/4 + 3−3/4
)
Note que, neste caso, a func¸a˜o custo marginal e´ igual a` func¸a˜o custo me´dio:
∂C(w, r, q)
∂q
= r1/4w3/4
(
31/4 + 3−3/4
)
O que era de se esperar, pois a func¸a˜o custo e´ linear em q - porque a func¸a˜o de
produc¸a˜o apresenta retornos constantes de escala.
(b) Como ja´ encontramos a forma geral no item anterior, basta substituir os dados de w
e r:
k∗ =
(
3
3
)3/4
q¯ = q¯ , l∗ =
(
3
3
)1/4
q¯ = q¯
(c) Como na soluc¸a˜o o´tima cada unidade adicional de capital e trabalho gera o mesmo
aumento de produto, ela vai procurar a opc¸a˜o de menor custo unita´rio. Como o
aluguel do capital e´ menor do que o sala´rio pago a cada trabalhador, a firma escolhe
contratar mais capital.
4
6. (a) No curto prazo, como o capital e´ fixo, podemos reescrever a func¸a˜o de produc¸a˜o
como:
q = f(k, l) =
√
100l = 10
√
l
Neste caso, como so´ temos uma varia´vel de escolha, na˜o precisamos usar o me´todo
do multiplicador de Lagrange. Basta isolar l na func¸a˜o de produc¸a˜o:
√
l =
q
10
⇒ l∗ = q
2
100
Usando os dados do enunciado para escrever o custo:
C(q) = wl∗ + rk∗ = 5.
q2
100
+ 10.100 =
q2
20
+ 1000
O custo me´dio e´:
C(q)
q
=
q
20
+
1000
q
E o custo marginal:
∂C(q)
∂q
=
q
10
(b) Sabemos que a curva de custo marginal cruza curva de custo me´dio em seu ponto de
mı´nimo. Assim,
CMg(q∗) = CMe(q∗)⇒ q
∗
10
=
q∗
20
+
1000
q∗
⇒ q
∗
20
=
1000
q∗
⇒ q∗2 = 20000⇒ q∗ ≈ 141
Substituindo na func¸a˜o custo:
C(q∗) =
q∗2
20
+ 1000 =
20000
20
+ 1000 = 2000
7. (a) Falso. Esta firma tem uma func¸a˜o de produc¸a˜o do tipo proporc¸o˜es fixas, ou seja,
ela sempre escolhe uma combinac¸a˜o em que k∗ = l∗. Sua func¸a˜o custo sera´ C(q) =
(w + r)q.
(b) Falso. A func¸a˜o de produc¸a˜o representa o maior n´ıvel de produc¸a˜o que a firma pode
atingir, dada uma quantidade de insumos.
(c) Falso. Suponha por exemplo a func¸a˜o de produc¸a˜o f(k, l) = k0.5l0.75. Esta func¸a˜o
apresenta retornos crescentes de escala - f(tk, tl) = t0.5k0.5t0.75l0.75 = t1.25k0.5l0.75-,
mas cada fator de produc¸a˜o tem rendimentos decrescentes - fkk = −0.25k−1.5l0.75 e
fll = −0.1875k0.5l−1.25.
(d) Verdadeiro. Basta notar que o custo me´dio e´ decrescente, ou seja, quanto maior a
escala de produc¸a˜o, menor o custo me´dio: CMe(q) = 5 +
7
q
(e) Falso. E´ uma func¸a˜o homogeˆnea de grau 1.
5
8. Vamos comec¸ar reescrevendo a func¸a˜o de produc¸a˜o para cada firma no curto prazo. Como
o n´ıvel de capital e´ fixo, temos
q1 = 625
1/4l3/4 = 5l3/4
q1 = 16
1/4l3/4 = 2l3/4
Sabemos que no o´timo, a produtividade marginal do trabalho deve ser igual ao sala´rio de
mercado, que e´ igual para ambas as firmas. Ou seja,
PMgl1 = w = PMgl2 ⇒ PMgl1
PMgl2
= 1
A produtividade marginal do trabalho e´ a derivada parcial da func¸a˜o de produc¸a˜o em
relac¸a˜o ao trabalho, portanto
PMgl1=
15
4
l
−1/4
1
PMgl2 =
6
4
l
−1/4
2
Fazendo a raza˜o entre as produtividades marginais:
PMgl1
PMgl2
= 1⇒
15
4
l
−1/4
1
6
4
l
−1/4
2
= 1⇒ 5
2
(
l2
l1
)1/4
= 1⇒
(
l2
l1
)
=
2
5
⇒ l2 = 16
625
l1
Como existem apenas 100 trabalhadores dispon´ıveis, sabemos que
l1 + l2 = 100⇒ l1 + 16
625
l1 = 100⇒ l1
(
1 +
16
625
)
= 100⇒ l∗1 =
62500
641
≈ 97 , l∗2 = 3
Para encontrar o n´ıvel de produto, basta substituir estes valores na func¸a˜o de produc¸a˜o
de cada firma e soma´-los:
q1 = 5l
3/4
1 = 597
3/4 ≈ 5.31 = 155
q2 = 5l
3/4
2 = 53
3/4 ≈ 5.2 = 10
Logo, Q = q1 + q2 = 165.
6