Lista de exercícios

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F´ısica 1B
March 7, 2015
1 Lista de exerc´ıcios
1. Considere uma colisa˜o frontal de duas pequenas esferas de massa m1 e m2 de modo
que elas se movem ao longo de um mesmo eixo, que pode ser escolhido como o eixo
OX . O coeficiente de restituic¸a˜o e da colisa˜o e´ definido por v′
1
−v′
2
= −e(v1−v2), onde
v1 e v2 sa˜o as velocidades das esferas antes da colisa˜o e v
′
1
e v′
2
, as velocidades apo´s a
colisa˜o (para na˜o sobrecarregar a notac¸a˜o, omitimos o sub´ındice x nas velocidades).
(a) Mostre que as velocidades apo´s a colisa˜o podem ser expressas como
v′1 =
(m1 − em2)v1 +m2(1 + e)v2
m1 +m2
; v′2 =
m1(1 + e)v1 + (m2 − em1)v2
m1 +m2
. (1)
(b) Mostre que a energia cine´tica de qualquer sistema formado por duas part´ıculas
em movimento unidimensional pode ser escrita na forma K = (1)/2)MV 2cm +
(1/2)µv2
12
, onde M = m1 +m2 e´ a massa total do sistema, Vcm a velocidade de
seu centro de massa e µ := m1m2/(m1+m2), a sua massa reduzida. Utilizando
esse resultado, mostre que o fator Q da colisa˜o descrita no enunciado e´ dado por
Q = −
1
2
(1− e2)
m1m2
m1 +m2
(v1 − v2)
2. (2)
(c) Escreva expresso˜es aproximadas para v′
1
, v′
2
e Q no caso em que (m2 >> m1).
(d) Como um exemplo do caso descrito no item anterior, suponha que uma bola seja
largada de uma altura h sobre a superf´ıcie da Terra. Supondo que o coeficiente
de restituic¸a˜o numa colisa˜o da bola com a Terra seja e, mostre que a altura
ma´xima h′ atingida pela bola apo´s uma colisa˜o e´ dada por h′ = e2h.
(e) Mostre que o intervalo de tempo transcorrido desde que a bola e´ abandonada
ate´ o instante em que ela atinge o repouso e´ dado por:
T =
√
2h
g
(1 + e)
(1− e)
.
Analise os casos extremos em que e = 0 e e = 1. Comente os resultados.
1
2. Uma bolinha de massa m1 colide frontalmente com uma outra, de massa m2, que
esta´ inicialmente em repouso. A colisa˜o, considerada perfeitamente ela´stica, ocorre
sobre a superf´ıcie de uma mesa sem atrito.
(a) Determine a frac¸a˜o ∆E/E0 em termos de m1 e m2, onde ∆E e´ a variac¸a˜o da
energia mecaˆnica da esfera de massa m1 e E0 e´ sua energia mecaˆnica inicial.
(b) Determine a raza˜o m1/m2 para a qual a perda de energia mecaˆnica da esfera
incidente nesta colisa˜o e´ igual a` metade de sua energia mecaˆnica inicial.
3. Considere dois pequenos blocos alinhados sobre o eixo OX . Inicialmente, o bloco da
esquerda, de massa m, tem velocidade v0ux, v0 > 0, enquanto o bloco da direita, de
massa 3m, esta´ em repouso, como indica a figura. Grudada no lado esquerdo desse
u´ltimo bloco ha´ uma mola ideal cujo extremo esquerdo possui um anteparo vertical
de massa desprez´ıvel. O bloco de massa m se choca com a mola do bloco da direita
fazendo com que ela se comprima ate´ um certo ponto e depois volte a se distender.
Suponha que todos os movimentos se processem no eixo OX , que a mola permanec¸a
sempre na direc¸a˜o desse eixo e despreze qualquer tipo de atrito e resisteˆncia do ar.
O
X
m
v0
3m
(a) A componente ao longo do eixo OX do momento linear total do sistema formado
pelos dois blocos e a mola se conserva durante a colisa˜o? E a energia mecaˆnica
do sistema? Justifique.
(b) Determine a velocidade do centro de massa do sistema no instante de maior
aproximac¸a˜o entre os blocos.
(c) Calcule de quanto a mola esta´ comprimida no instante de maior aproximac¸a˜o
entre os blocos.
4. Considere treˆs pequenos blocos alinhados sobre o eixo OX . Inicialmente, o bloco da
esquerda, de massa m, esta´ em repouso, o bloco do centro, tambe´m de massa m, tem
velocidade v0ux, v0 > 0, e o bloco da direita, de massaM , esta´ em repouso. Grudada
no lado esquerdo desse u´ltimo bloco ha´ uma mola ideal, cujo extremo esquerdo possui
um anteparo vertical de massa desprez´ıvel com o qual o bloco do centro ira´ se chocar.
Observe que o bloco do centro na˜o ficara´ preso a` mola podendo, inclusive, mudar
o sentido de seu movimento, dependendo da relac¸a˜o entre m e M . Considere, ale´m
disso, que todos os movimentos se processam no eixo OX , que a mola permanec¸a
sempre na direc¸a˜o desse eixo e que as u´nicas forc¸as ao longo de OX sejam as forc¸as
de interac¸a˜o dos blocos entre si e com a mola.
2
O
X
m m
v0
M
(a) Qual e´ a condic¸a˜o entre m e M para que o bloco do centro venha a se chocar
com o bloco da esquerda?
(b) Suponha que tal condic¸a˜o seja satisfeita e que, ao se chocar com o bloco da
esquerda, o bloco do centro fique grudado nele. Qual deve ser o valor deM para
que o sistema formado pelos blocos da esquerda e do centro se movam, juntos,
com uma velocidade igual a −(v0/4)ux?
(c) Na situac¸a˜o do item anterior, determine a velocidade final do bloco da direita.
5. Joa˜o, de massa mJ , e Maria, mais leve que Joa˜o, esta˜o em pe´ em extremos opostos
de uma canoa de massa mc e comprimento ℓ que se encontra em repouso relativo a`s
a´guas de uma lagoa. Num certo instante, eles resolvem trocar de lugar. Observando
a margem da lagoa, Joa˜o verifica que, apo´s trocar de lugar com Maria, a canoa se
desloca de uma distaˆncia d em relac¸a˜o a` a´gua. Supondo que o atrito entre a canoa e
a a´gua seja desprez´ıvel, determine a massa de Maria.
6. Uma pessoa de massa m se encontra inicialmente no centro de uma canoa de compri-
mento ℓ e massaM , ambas em repouso. Considere a canoa sime´trica de tal modo que
o seu centro de massa C esteja no seu ponto me´dio, como indica a figura. Num dado
instante, a pessoa percebe que um torpedo se aproxima da canoa se movimentando
numa linha reta perpendicular a` canoa. A distaˆncia da pessoa a` linha de tiro do
torpedo e´ ℓ/4.
C M
m
ℓ/4ℓ/4
(a) Para que o centro de massa C da canoa se afaste da linha de tiro do torpedo
a pessoa deve caminhar para a direita ou para a esquerda? Despreze o atrito
3
entre a canoa e a a´gua e suponha que a pessoa permanec¸a na canoa. Justifique
a sua resposta.
(b) Qual deve ser a condic¸a˜o sobre a raza˜o m/M para que, caminhando no sentido
correto, a pessoa possa evitar a colisa˜o?
7. Considere uma canoa de comprimento ℓ e duas pessoas, Pedro e Renata, sentadas cada
uma num dos extremos da canoa. Inicialmente, a canoa esta´ em repouso flutuando
sobre as a´guas paradas de um lago. Escolha o eixo OX ao longo da canoa, com a
sua origem no extremo esquerdo da canoa, onde, por hipo´tese, Pedro esta´ sentado e
apontando no de Pedro para Renata antes que eles troquem suas posic¸o˜es. Seja mP
a massa de Pedro, mR a de Renata e mc a da canoa.
(a) Pedro e Renata resolvem trocar de lugar. Supondo que a canoa se mova apenas
horizontalmente e desprezando o atrito entre ela e a a´gua, determine o desloca-
mento total da canoa ∆xC apo´s a troca.
(b) O resultado obtido no item anterior depende do modo como Pedro e Renata se
movimentam durante a troca?
8. Uma pequena esfera de dimenso˜es desprez´ıveis, de massa m e velocidade de mo´dulo
v1i = 3m/s (esfera 1), colide com uma outra, tambe´m de dimenso˜es desprez´ıveis e de
massa 2m, que esta´ inicialmente em repouso (esfera 2). Considere eixos coordenados
OXY de modo que o eixo OX esteja na direc¸a˜o e no sentido da velocidade da esfera
incidente. Escolha a origem O na posic¸a˜o onde ocorre a colisa˜o entre as esferas e
o instante t = 0 como aquele em que ocorre a colisa˜o (como de costuem, estamos
supondo que o tempo de colisa˜o seja desprez´ıvel). No instante tb = 2 s verifica-se que
a esfera incidente se encontra na posic¸a˜o r1b = −3 m uˆy.
(a) Determine a velocidade do centro de massa do sistema formado pelas duas esferas
antes da colisa˜o. Determine a posic¸a˜o do centro de massa no instante tb.
(b) Determine as velocidades das duas esferas apo´s a colisa˜o e o aˆngulo θ que a tra-
jeto´ria da esfera de massa 2m faz com o eixo OX . Fac¸a um desenho esquema´tico
da colisa˜o indicando as posic¸o˜es e as velocidades das duas esferas nos instantesta = −1 e tb = 1. Indique, ainda, as posic¸o˜es do centro de massa nesses dois
instantes.
(c) Determine a posic¸a˜o da esfera 2 no instante tb. A partir desses resultados veri-
fique que as duas esferas e o centro de massa esta˜o sobre uma mesma reta, como
esperado.
(d) Calcule o fator Q dessa colisa˜o supondo que m = (1/9) kg.
9. Suponha que um pequeno bloco de massa m incida com velocidade de mo´dulo v1i so-
bre um outro, de massaM , no qual esta´ presa uma mola ideal de constante ela´stica k.
4
Antes da colisa˜o, o bloco de massaM esta´ em repouso e a mola, com seu comprimento
natural.
O
Xm
v1i
k
M
Despreze o atrito entre os blocos e a superf´ıcie. Num dado instante, a compressa˜o
da mola sera´ ma´xima. Durante todo o processo a mola permanece na horizontal.
Calcule, nesse instante, as velocidades dos blocos e a compressa˜o ma´xima da mola
∆xmax.
10. Considere a seguinte colisa˜o entre duas pequenas esferas de mesma massa. Antes
do choque, elas possuem as velocidades v1 = v0ux e v2 = v0uy, respectivamente,
onde v0 e´ uma constante positiva. Apo´s a colisa˜o, elas permanecem grudadas uma na
outra com velocidade vf . Suponha que a resultante das forc¸as sobre cada uma delas
e´ sempre nula, exceto durante a colisa˜o, quando as forc¸as de contato sa˜o diferentes
de zero.
(a) Calcule o mo´dulo de vf e o aˆngulo entre vf e eixo OX .
(b) Calcule a variac¸a˜o da energia cine´tica nessa colisa˜o.
11. Dois blocos A e B de massas iguais a ma e mb esta˜o em repouso sobre uma superf´ıcie
horizontal sem atrito e manteˆm entre eles uma mola comprimida com o aux´ılio de
um fio ideal. Um terceiro bloco, C, de massa mc, esta´ parado a` direita de B. Essa
situac¸a˜o inicial do sistema de treˆs blocos esta´ representada na figura abaixo.
A B C
O fio que mante´m a mola comprimida e´ cortado. No instante em que a mola volta a
ter o seu tamanho natural (instante em que perde o contato com os blocos), o bloco
A tem uma velocidade para a esquerda de mo´dulo va. O bloco B colidira´, enta˜o, com
o bloco C.
(a) Determine a velocidade do bloco B logo antes da colisa˜o com o bloco C.
(b) Qual e´ a energia potencial ela´stica da mola antes do corte do fio?
(c) Supondo que o bloco B permanec¸a grudado com o bloco C apo´s colidir com ele,
determine a velocidade do conjunto B + C apo´s a colisa˜o.
5
(d) Usando explicitamente o resultado do item anterior, determine a velocidade do
centro de massa do sistema formado pelos treˆs blocos. Interprete o resultado.
(e) Determine a perda de energia ocorrida na colisa˜o de B com C.
12. Um sapo esta´, inicialmente, situado num dos extremos de uma plataforma de com-
primento ℓ que flutua, em repouso, sobre as a´guas paradas de um lago. Num dado
instante, o sapo da´ um salto com uma velocidade que faz com a horizontal um aˆngulo
de 45o. Suponha que a plataforma se movimente apenas na horizontal e despreze o
atrito entre a a´gua e a plataforma. Seja m a massa do sapo e M a da plataforma.
Existe um valor v0 para o mo´dulo da velocidade do sapo acima do qual o sapo na˜o
cai mais sobre a plataforma, mas sim dentro do lago. Determine esse valor em func¸a˜o
de m, M , ℓ e g.
ℓ
13. Considere duas esferas homogeˆneas, de mesmo raio R e massas m1 e m2,
sendo m2 = 3m1. No instante inicial t0, ambas esta˜o em repouso e a distaˆncia
entre seus centros e´ r0. O eixo OX e´ escolhido de forma que passe pelos centros das
esferas e com a origem O no centro da esfera de massa m1, como indica a figura.
Suponha que as forc¸as entre as esferas sejam apenas as gravitacionais.
O
m1 m2
X
R R
r0
(a) Calcule a posic¸a˜o inicial do centro de massa do sistema formado pelas duas
esferas.
(b) Quais as posic¸o˜es dos centros das esferas, denotadas por x1 e x2 respectivamente,
no instante em que elas colidem?
(c) O momento linear total do sistema e´ conservado durante esse movimento? E a
energia mecaˆncia total do sitema? Justifique suas respostas.
(d) Determine as velocidades das esferas no instante em que elas colidem.
6
14. Dois blocos de massas M1 e M2 esta˜o, inicialmente, em repouso sobre uma superf´ıcie
horizontal lisa. Uma pequeno proje´til de massa m e´ disparado de uma arma com
uma velocidade horizontal de mo´dulo v0 e atinge o bloco de massaM1 . Ele atravessa
totalmente esse bloco e atinge o segundo bloco, ficando preso dentro dele. Como a
velocidade inicial do proje´til e´ muito grande, suponha que ele se movimente sempre
numa reta horizontal. Na situac¸a˜o final, o bloco de massa M1 tem velocidade de
mo´dulo v1 e o bloco de massa m2 com o proje´til em seu interior tem velocidade de
mo´dulo v2, com v2 > v1.
v0m
M1 M2
v1 v
′
0
v1 v2
A figura ilustra as situac¸o˜es em um instante antes da bala atingir o primeiro bloco,
em um instante depois de passar pelo primeiro e antes de atingir o segundo, e em um
instante depois de incrustar no segundo. Considerando como dados as massas M1 e
M2 dos blocos, a massa m da bala, e as velocidades finais v1 e v2 dos blocos, calcule
(a) a velocidade inicial v0 da bala ao atingir o primeiro bloco e a velocidade v
′
0
com
que ela emerge dele,
(b) a velocidade do centro de massa do sistema formado pelo proje´til e pelos dois
blocos: (i) antes que ele atinja o primeiro bloco e (ii) depois que ele ficou preso
no interior do segundo bloco. Explique a relac¸a˜o entre os resultados obtidos.
15. Considere um peˆndulo f´ısico formado por uma barra homogeˆnea de massa M e com-
primento ℓ que esta´ suspensa por um eixo que passa por um de seus extremos. A
barra e´ abandonada do repouso quando esta´ na horizontal.
(a) Calcule a velocidade do centro de massa da barra quando ela esta´ na vertical.
7
(b) Calcule a componente, ao longo da direc¸a˜o da barra, da forc¸a que o eixo exerce
sobre o extremo articulado da barra quando ela faz um aˆngulo θ com a vertical.
16. Um sistema e´ constitu´ıdo por treˆs part´ıculas, de massasm1 = m,m2 = m em3 = 2m.
No instante t = 0 elas teˆm posic¸o˜es dadas por r10 = 0, r20 = bux e r30 = buy,
relativas ao sistema de eixos OXYZ indicado na figura. Nesse instante, as treˆs
part´ıculas teˆm velocidades iguais a v0 = v0ux e comec¸a a atuar sobre a part´ıcula de
massa m3 a forc¸a total F3 = Atux, onde A e´ uma constante positiva. As respectivas
forc¸as resultantes sobre as outras part´ıculas sa˜o nulas. A partir do instante t = 0,
determine
v0
m
v0
m
v0
2m F3
b
b
O
Y
X
(a) a func¸a˜o-movimento do centro de massa do sistema;
(b) o momento angular do sistema em relac¸a˜o a` origem O do sistema de eixos;
(c) o torque total sobre o sistema em relac¸a˜o a` origem O.
(d) Usando os resultados obtidos nos itens anteriores, verifique o Teorema do Torque
e Momento Angular.
17. Duas part´ıculas de massas m1 e m2, ligadas por uma barra r´ıgida de massa de-
sprez´ıvel, encontram-se inicialmente em repouso sobre uma superf´ıcie horizontal lisa,
conforme mostra a figura. Em t0 as part´ıculas de massas m1 e m2 esta˜o localizadas
nos pontos (d1, 0) e (0, d2), respectivamente.
A partir do instante t0 passam a atuar sobre elas as forc¸as F1 = F1uy e F2 = F2ux,
onde F1 e F2 sa˜o constantes positivas. Estas forc¸as esta˜o indicadas na figura.
(a) Calcule a posic¸a˜o inicial do centro de massa do sistema e determine a func¸a˜o-
movimento do centro de massa do sistema para t > t0.
8
Y
XO d1
d2
m1
m2
F1
F2
(b) Obtenha o momento total do sistema como func¸a˜o do tempo para t > t0.
(c) Se substitu´ıssemos a barra por uma mola ideal de constante k e com com-
primento natural igual ao da barra, o que mudaria nos resultados dos itens
anteriores?
18. Dois patinadores sobre gelo, de mesma massa m se aproximam um do outro com
velocidades em relac¸a˜o ao solo de mesmo mo´dulo v0, segundo trajeto´rias paralelas
separadas por uma distaˆncia r. Ao chegarem na situac¸a˜o de maior aproximac¸a˜oeles se da˜o as ma˜os e comec¸am a girar mantendo sempre a distaˆncia r entre eles.
Despreze o atrito dos patins com o gelo e considere os patinadores como part´ıculas
nesse problema.
(a) Calcule o momento angular do sistema relativo ao seu centro de massa e a
velocidade angular de rotac¸a˜o ω que os patinadores adquirem apo´s se darem a
ma˜os.
(b) Suponha, neste item, que depois de estarem em rotac¸a˜o com velocidade ω, os
patinadores diminuam para r/2 a dista˜ncia que os separa. Nessa situac¸a˜o, cal-
cule a nova velocidade de rotac¸a˜o do sistema dos dois patinadores?
19. Considere uma haste homogeˆnea de massa m e comprimento ℓ que pode girar em
torno de um eixo fixo horizontal que esta´ a uma distaˆncia ℓ/3 de um de seus extremos,
como mostra a figura. Despreze o atrito com o eixo e a resisteˆncia do ar.
ℓ
ℓ/3
(a) Calcule, inicialmente, o momento de ine´rcia da haste em relac¸a˜o ao eixo fixo.
9
(b) Suponha que a haste seja abandonada a partir do repouso de uma configurac¸a˜o
na qual ela esta´ na horizontal. No instante em que a haste atinge a configurac¸a˜o
vertical, calcule: (i) a sua energia cine´tica; (ii) o mo´dulo de sua velocidade
angular e (iii) o mo´dulo da velocidade de seu centro de massa.
20. Uma barra homogeˆnea fina, de massa M e comprimento a, esta´ em repouso na
horizontal, quando uma forc¸a impulsiva, vertical e para cima, age sobre uma de suas
extremidades, transmitindo a` barra uma impulsa˜o I. Como consequ¨eˆncia, a barra
e´ arremessada para cima girando. Ale´m da momentaˆnea forc¸a impulsiva e do peso,
nenhuma outra forc¸a age sobre a barra.
I
cm
Determine para que valor do mo´dulo I da impulsa˜o a barra da´, exatamente, uma
volta completa quando o seu centro de massa volta a` altura inicial em que recebeu
a impulsa˜o. Lembre-se de que o momento de ine´rcia de uma barra fina, relativo
a um eixo que lhe e´ perpendicular e passa pelo seu centro de massa, e´ dado por
Icm =Ma
2/12.
21. Uma haste fina e r´ıgida de comprimento ℓ esta´ inicialmente na vertical, em repouso e
com seu extremo inferior fixo na superf´ıcie horizontal de uma mesa. Esse extremo e´
articulado, de modo que a haste pode girar em torno dele. Perturba-se ligeiramente a
haste de modo que ela gire em torno de seu extremo inferior tombando sobre a mesa.
O momento de ine´rcia da haste em relac¸a˜o a um eixo que passa pelo seu centro de
massa e e´ perpendicular a` mesma e´ mℓ2/12, onde m e´ a sua massa. Determine a
velocidade da extremidade livre da haste no instante em que ela atinge a superf´ıcie
da mesa.
Sugesta˜o: Utilize a lei da conservac¸a˜o da energia e considere nula a energia cine´tica
inicial da haste
22. Uma part´ıcula de massa m desliza sobre uma superf´ıcie horizontal sem atrito com
velocidade de mo´dulo v0 e colide com uma haste uniforme de massaM e comprimento
L que, inicialmente, encontra-se em repouso na vertical. Embora o extremo superior
da haste esteja fixo, ela pode girar em torno de um eixo horizontal que passe por
esse ponto (ponto O). Apo´s a colisa˜o, a part´ıcula fica grudada na haste e o conjunto
(haste-part´ıcula) gira ate´ atingir um aˆngulo de inclinac¸a˜o ma´ximo θmax com a vertical,
como indica a figura. Despreze, nessa questa˜o, o atrito na articulac¸a˜o da haste e a
resisteˆncia do ar.
10
M,L
θmax
mv0
O
(a) Seja ta um instante imediatamente antes da colisa˜o e td um instante imediata-
mente depois da colisa˜o. Considere as seguintes grandezas do sistema haste-
part´ıcula: momento linear total, momento angular total relativo ao ponto O,
energia cine´tica total e energia mecaˆnica total. Dentre essas grandezas, quais
teˆm o mesmo valor nos instantes ta e td? Justifique a sua resposta.
(b) Determine o valor de θmax em func¸a˜o de m, v0, M , L, e g.
23. Um disco homogeˆneo de massa M e raio R esta´ inicialmente em repouso sobre uma
mesa horizontal lisa. Uma part´ıcula de massam se move sobre a mesa com velocidade
constante v ao longo de uma reta que tangencia a borda do disco, conforme indica
a figura. Ao passar pelo ponto de tangeˆncia a part´ıcula gruda instantaneamente no
disco. Sabendo que o momento de ine´rcia do disco relativo ao eixo que passa pelo
seu centro de massa e e´ perpendicular ao plano do disco e´ (1/2)MR2, determine:
v
m
R
M
(a) as velocidades do centro de massa do sistema constitu´ıdo pelo disco e pela
part´ıcula antes e depois de a part´ıcula grudar no disco;
(b) o momento de ine´rcia do sistema depois que a part´ıcula gruda no disco em
relac¸a˜o a um eixo perpendicular ao disco e que passe pelo centro de massa do
sistema;
(c) a velocidade angular do sistema apo´s a part´ıcula grudar no disco;
(d) o fator Q associado a essa colisa˜o.
24. Dois discos de espessura desprez´ıvel esta˜o sobre uma mesa lisa horizontal. Cada um
deles tem massa M e raio R. Em t = 0 eles esta˜o em repouso com seus centros
11
separados por uma distaˆncia d, sendo d > 2R. Considere um sistema de eixos OXY
com origem no centro de um dos discos, disco 1, com o plano OXY coincidindo com
o plano da mesa e com o eixo OX apontado para o centro do outro disco, disco 2,
como indica a figura.
R
F1
R
F2
d
XO
Y
A partir do instante t = 0 comec¸a a atuar no disco 1 a forc¸a F1 = (C0 + 2C t)ux e
no disco 2 a forc¸a F2 = (C0 + C t)ux, onde C0 e C sa˜o constantes positivas e t um
instante arbitra´rio (t > 0). Sabendo que o momento de ine´rcia de cada disco, em
relac¸a˜o a um eixo perpendicular ao seu plano e que passa pelo seu centro de massa,
e´ MR2/2, determine
(a) o instante de tempo tc no qual os dois discos se chocam;
(b) as posic¸o˜es dos centros dos discos nesse instante;
(c) as velocidades angulares ω1 e ω2 dos dois discos nesse instante.
25. Uma esfera oca homogeˆnea, de massa m e raio b, esta´ em repouso no ponto mais
alto de um hemisfe´rio de raio R que encontra-se fixo no solo e emborcado para baixo.
Perturba-se ligeiramente essa esfera de modo que ela entre em movimento rolando
sem deslizar sobre o hemisfe´rio ate´ o instante em que perde o contato com ele. Seja θ
o aˆngulo que, nesse instante, a reta que une o centro da esfera ao centro do hemisfe´rio
faz com a vertical, como indica a figura. Considere que a perturbac¸a˜o feita sobre a
C
R+b
θc
v0 ≈ 0
vc
esfera para coloca´-la em movimento e´ ta˜o pequena que a sua velocidade inicial no
12
topo do hemisfe´rio pode ser considerada nula. Sabendo que o momento de ine´rcia da
esfera em relac¸a˜o a um eixo que passe pelo seu centro de massa e´ ICMesfera =
2
3
MR2,
calcule o aˆngulo θ.
26. Este problema e´ uma versa˜o ligeiramente modificada do anterior. Considere nova-
mente ma esfera homogeˆnea, de massa m e raio b, que no instante t = 0 esta´ no ponto
mais alto de um hemisfe´rio de raio R, fixo no solo e emborcado para baixo. Em t = 0,
a velocidade de centro de massa da esfera e´, agora, horizontal e tem mo´dulo v0. A
esfera rola sem deslizar sobre o hemisfe´rio desde o instante inicial ate´ que, em um
instante posterior, ela perde contato com o hemisfe´rio. Nesse instante, a velocidade
do centro de massa da esfera e´ vc e o aˆngulo entre a reta que une o centro da esfera
ao centro do hemisfe´rio e a vertical e´ θc , como indica a figura.
C
R+b
θc
v0
vc
(a) Sabendo que o momento de ine´rcia da esfera em relac¸a˜o a um eixo que passa
pelo seu centro de massa e´ (2/5)MR2, calcule a aˆngulo θc.
(b) Determine vc.
27. Uma esfera homogeˆnea de massa m e raio r rola sem deslizar com velocidade angular
constante ω sobre uma superf´ıcie horizontal. No final dessa superf´ıcie a esfera atinge
(suavemente) uma calha semicircular de raio R, com R > r. O momento de ine´rcia
da esfera em relac¸a˜o a um eixo que passe por seu centro de massa e´ Icm = (2/5)mr
2.
ω
2r
ω
2R
13
Supondo que durante todo o movimento da esfera a condic¸a˜o de rolamento semdeslizamento seja satisfeita, calcule o menor valor de ω para que a esfera consiga
atingir o ponto mais alto da calha semicircular sem nunca perder o contato com a
superf´ıcie da calha (veja a figura).
28. No sistema esquematizado na figura abaixo, o bloco A tem massa mA, o bloco B tem
massa mB e a polia tem raio R e momento de ine´rcia I. O sistema esta´ inicialmente
em repouso. Determine a velocidade do bloco B depois que ele se desloca de uma
distaˆncia d. A partir desse resultado determine a acelerac¸a˜o do bloco B.
B
A
29. Um bloco de massaM esta´ sobre uma rampa inclinada que forma um aˆngulo θ com a
horizontal. Esse bloco esta´ conectado a um outro, de massa m, por um fio ideal que
passa por uma polia real. Essa, por sua vez, pode girar em torno de um eixo horizontal
que passa por seu centro, como indica a figura. A polia pode ser considerada como
um disco de raio R com momento de ine´rcia I relativo ao eixo horizontal. Despreze
o atrito do bloco de massa M com a superf´ıcie da rampa mas suponha que o atrito
entre o fio e a superf´ıcie da polia fac¸a com que na˜o haja deslizamento entre o fio e a
polia. Suponha, ainda, que m seja pequena o suficiente para que o bloco de massa
M desc¸a a rampa.
(a) Determine o mo´dulo da acelerac¸a˜o de cada bloco.
(b) Calcule as tenso˜es nos seguintes trechos do fio: (i) entre o bloco de massa M e
a polia e (ii) entre a polia e o bloco de massa m.
(c) Usando a conservac¸a˜o de energia, obtenha a velocidade do bloco de massa m
apo´s ele ter percorrido uma distaˆncia d, tendo iniciado seu movimento a partir
do repouso.
(d) Usando o resultado do item anterior, obtenha novamente o mo´dulo da acelerac¸a˜o
desse bloco.
30. Consideremos um disco homogeˆneo de massa M e raio R que pode girar sem atrito
em torno de um eixo fixo de rotac¸a˜o perpendicular a ele e que passa pelo seu centro
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M m
I,R
θ
de massa. Designemos esse eixo por OZ. Uma pessoa, de mesma massa que o disco,
M , esta´ inicialmente em repouso na periferia do disco, ou seja, a uma distaˆncia R
do eixo de rotac¸a˜o OZ. Escolha os eixos OXY de modo que, inicialmente, a pessoa
esteja sobre o eixo OX e o disco no plano OXY. Com isso, no instante inicial ti as
coordenadas cartesianas da pessoa sa˜o (R, 0, 0).
θ
ϕ
P
O
X
Y
Z
A Figura mostra o sistema num instante gene´rico durante a caminhada da pessoa.
Nela, θ e´ o aˆngulo entre o vetor-posic¸a˜o da pessoa e o eixo OX e ϕ e´ o aˆngulo entre
a marca feita no disco (semireta OP ) e esse mesmo eixo.
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(a) Quanto gira o disco depois que a pessoa, caminhando sempre em sua periferia e
no mesmo sentido, retornar ao ponto do disco de onde iniciou a sua caminhada?
(b) Verifique que os aˆngulos girados pela pessoa e pelo disco, em mo´dulo, na˜o sa˜o
iguais. Deˆ uma explicac¸a˜o para esse resultado.
(c) Suponha que em vez de caminhar pela periferia, a pessoa caminhe mantendo
sempre a distaˆncia k do eixo de rotac¸a˜o OZ. Calcule o valor de k para que
apo´s retornar ao mesmo ponto de partida sobre o disco, tanto a pessoa quanto
o disco tenham girado de π radianos (em sentidos opostos, obviamente).
31. Um cilindro homogeˆneo de massa M e raio R tem dois fios ideais enrolados em
torno dele, cada um pro´ximo a uma de suas extremidades, como indica a figura.
Os fios esta˜o tensos e presos ao teto com o cilindro mantido sempre na horizontal.
Suponha que o cilindro parta do repouso e va´ descendo a` medida que os fios va˜o se
desenrolando.
R
M
Sabendo que o momento de ine´rcia do cilindro relativo ao seu eixo de simetria e´
I =MR2/2, obtenha
(a) a acelerac¸a˜o angular do cilindro usando o teorema do torque e momento angular,
dL/dt = τ ,
(b) o mo´dulo da acelerac¸a˜o do centro de massa do cilindro e
(c) a tensao em cada fio.
32. Um disco homogeˆneo de massa M e raio R e´ puxado por um fio ideal horizontal que
esta´ preso em seu eixo, sendo F a forc¸a exercida pelo fio sobre esse eixo, como ilustra
a figura. O disco rola sem deslizar sobre a superf´ıcie.
Determine os mo´dulos da acelerac¸a˜o do centro de massa desse disco, de sua acelerac¸a˜o
angular e da forc¸a de atrito.
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M
R
fat
F
33. Um fio ideal que tem um de seus extremos preso a um disco de massa M e raio R e
nele esta´ enrolado, passa por uma polia ideal e tem pendurado em seu outro extremo
um bloco de massa m. O centro da polia esta´ fixo e o disco rola sem deslizar ( veja
figura).
m
M
R
(a) Mostre que a = 2αR, onde a e´ o mo´dulo da acelerac¸a˜o do bloco, α e´ o mo´dulo
de acelerac¸a˜o angular do disco e R e´ o raio do disco.
(b) Calcule os valores de a, α, da tensa˜o no fio e do mo´dulo da forc¸a de atrito.
(c) Supondo que M/m = 2/3, calcule o menor valor poss´ıvel para o coeficiente
atrito esta´tico µe entre o disco e a superf´ıcie horizontal para que a condic¸a˜o de
rolamento sem deslizamento na˜o seja violada.
34. Um disco homogeˆneo de massa m e raio R pode girar livremente, sem atritos, em
torno de seu eixo. O disco esta´ subindo uma rampa com o seu eixo sendo puxado
por uma forc¸a F paralela a` superf´ıcie da rampa, como indica a figura. A superf´ıcie
da rampa esta´ inclinada de um aˆngulo θ com a horizontal e o disco rola sem deslizar
ao subir por essa superf´ıcie. O momento de ine´rcia do disco em relac¸a˜o ao seu eixo
e´ (1/2)mR2.
Determine o mo´dulo da acelerac¸a˜o do centro de massa do disco.
35. Um disco homogeˆneo de massa M e raio R esta´ sobre uma superf´ıcie horizontal e
tem preso ao seu eixo uma das extremidades de uma mola ideal de constante ela´stica
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θ
R
F
m
k. A outra extremidade dessa mola esta´ fixa a uma parede, como ilustra a figura. O
disco e´ afastado de sua posic¸a˜o de equil´ıbrio e entre em movimento oscilato´rio. Seja
x a posic¸a˜o do centro de massa do disco num instante qualquer. Por convenieˆncia,
escolha a origem das posic¸o˜es de modo que x = 0 corresponda a` posic¸a˜o de equil´ıbrio
do disco.
ℓ0
k
x
M
R
Supondo que a mola permanec¸a senpre na horizontal e que o disco role sem deslizar
sobre a superf´ıcie determine o per´ıodo das oscilac¸o˜es do disco.
36. Uma porta com momento de ine´rcia I em relac¸a˜o a um eixo que passa pelas suas
dobradic¸as esta´ inicialmente em repouso. Uma porc¸a˜o de lama pegajosa de massa
m se choca perpendicularmente a` porta a uma distaˆncia d do eixo da dobradic¸a e
permanece grudada com a porta apo´s o choque. Supondo que o mo´dulo da velocidade
da porc¸a˜o de lama logo antes do choque seja v0, calcule o mo´dulo da velocidade
angular do sistema porta-lama logo apo´s o choque.
37. Considere um carretel de linha, inicialmente em repouso, formado por um cilindro
interno homogeˆneo de raio r e por dois discos ideˆnticos, homogeˆneos, de raio R cada
um (R > r). Os discos esta˜o presos nas extremidades do cilindro (como um ioˆ-ioˆ
de crianc¸a). Seja Icm o momento de ine´rcia do carretel em relac¸a˜o ao seu eixo de
simetria (eixo perpendicular aos discos que passa pelo seu centro de massa) e seja M
a massa total do carretel. Ha´ um fio ideal enrolado no cilindro interno do carretel que
e´ puxado a partir de t0 = 0 com uma forc¸a constante de mo´dulo F de tal modo que
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sua direc¸a˜o seja mantida fixa e sempre na vertical, como ilustra a figura. Suponha
que na˜o haja deslizamento entre o fio e o cilindro interno do carretel e que a tensa˜o no
fio seja pequena o suficiente para que o carretel na˜o perca o contato com a superf´ıcie.
r
R
F
fat
(a) Usando argumentos qualitativos, determine se o carretel ira´ se mover para a
direita ou para a esquerda.
(b) Calcule, para um dado valor de F , os mo´dulos da acelerac¸a˜o do centro de massa
do carretel, da sua acelerac¸a˜o angular e da forc¸a de atrito.
(c) Para valores de F cada vez maiores, mas ainda menores do que Mg para que o
carretel na˜o perca o contato com a superf´ıcie, o mo´dulo da normal vai dimin-
uindo.Com isso, diminui tambe´m o valor do coeficiente de atrito esta´tico µeN
entre a superf´ıcie e o carretel. Portanto, havera´ um valor de F acima do qual
na˜o sera´ mais poss´ıvel para o carretel rolar sem deslizar. Determine esse valor.
38. Considere o mesmo carretel descrito no problema anterior. No entanto, suponha
agora que o fio enrolado no cilindro interno do carretel seja puxado a partir de t0 = 0
com uma forc¸a constante de mo´dulo F de tal modo que sua direc¸a˜o seja mantida fixa
e fazendo um aˆngulo α com a horizontal, como ilustra a figura. Como no problema
anterior, suponha que na˜o haja deslizamento entre o fio e o cilindro interno do carretel
e que a tensa˜o no fio seja pequena o suficiente para que o carretel na˜o perca o contato
com a superf´ıcie.
(a) Pode-se mostrar que ha´ um valor de α, denotado por αc, tal que: para 0 ≤ α <
αc o carretel se move num certo sentido; para αc < α ≤ π/2 o carretel se move
no sentido oposto e para α = αc o carretel permanece em repouso. Determine
αc.
(b) Suponha que 0 ≤ α < αc. Indique o sentido do movimento do carretel e calcule
os mo´dulos da acelerac¸a˜o de seu centro de massa e da forc¸a de atrito.
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r
R
F
α
fat
(c) Supondo 0 ≤ α < αc, determine a partir de que valor de F , denotado por Fc, a
condic¸a˜o de rolamento sem deslizamento deixa de ser cumprida.
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